UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETCE - Escola de EngenhariaTEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II'

&

$

%

Título do Projeto:

ANÁLISE E MODELAGEM DO TRANSPORTE DOTENSOR DE REYNOLDS UTILIZANDO

DECOMPOSIÇÕES TENSORIAIS

'

&

$

%

Autor(es):

MATHEUS ALTOMARE CRUZ

'

&

$

%

Orientador(es):

RONEY LEON THOMPSON, Ph.D.

,

Data: 29 de Março de 2016

MATHEUS ALTOMARE CRUZ

ANÁLISE E MODELAGEM DO TRANSPORTE DO TENSORDE REYNOLDS UTILIZANDO DECOMPOSIÇÕES

TENSORIAIS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado aoCurso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau deEngenheiro Mecânico.

Orientador(es):

RONEY LEON THOMPSON, Ph.D.

,

Niterói

29 de Março de 2016

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

C957 Cruz, Matheus Altomare

Análise e modelagem do transporte do tensor de Reynolds

utilizando decomposições tensoriais / Matheus Altomare Cruz. –

Niterói, RJ: [s.n.], 2016.

87 f.

Trabalho (Conclusão de Curso) - Universidade Federal

Fluminense, 2016.

Orientador: Roney Leon Thompson.

1. Turbulência. 2. Simulação numérica. 3. Tensor de Reynolds. I.

Título.

CDD 532.0257

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à minha família, amigos e a todos aqueles que desejam desvendar o

misterioso mundo da turbulência.

vi

AGRADECIMENTOS

Os agradecimentos serão feitos em ordem cronológica dos eventos ao longo da gradua-

ção. Então vamos lá...

Primeiramente, gostaria de agradecer à minha família, pois sem eles nada seria possível.

Desde sempre estiveram ao meu lado apoiando às minhas decisões, e me dando a coragem e

motivação necessárias para conquistar tudo que tenho. Levarei para a minha vida profissional

a perseverança de meu pai, a coragem de minha mãe, a gentileza de minha avó e, é claro,

valentia de meu saudoso avô.

Gostaria de agradecer à professora, e terceira mãe, Maria Cindra por ter me mostrado o

mundo que escolhi viver: o acadêmico. Apesar de não ter dado continuidade na área, ela me

mostrou e despertou o interesse por fazer ciência. Se não fosse pela senhora, com certeza

não estaria onde estou. Obrigado por aqueles dois anos maravilhosos e pelas pizzas.

Também gostaria de agradecer ao professor Luiz Eduardo B. Sampaio. O senhor foi um

divisor de águas, pois na disciplina de termodinâmica que descobri minha inclinação para a

atual área a qual pertenço. Este trabalho começou com a oportunidade que o senhor me deu

ao me aceitar como aluno de iniciação científica.

Gostaria de agradecer também ao meu orientador oficial, o professor Roney Thompson.

O senhor não sabe, mas foi por causa de uma simples conversa de corredor que eu decidi o

que iria investigar pelo resto da minha carreira acadêmica. Desde aquele dia, soube exata-

mente o que fazer com o meu futuro. E isso, num mundo cheio de pessoas que simplesmente

não sabem o que fazer com as suas vidas, é uma dádiva. Obrigado por isso.

Aos três professores citados, um muitíssimo obrigado por terem me dado um norte. Es-

pero ser tão dedicado, talentoso e inteligente quanto vocês.

Quero muito agradecer ao Fernando. Você realmente me salvou. Sempre disposto a

vii

viii

ajudar e explicar com toda a paciência do mundo. Foi muito bom trabalhar contigo, e espero

que escrevamos muitos artigos juntos no futuro. Muito obrigado!

Gostaria de agradecer ao Cluster: Bernardo, Madeira, Bragança, Perroni e Firmino.

Meus fieis amigos que estiveram comigo do início ao fim, nas piores batalhas e nos mo-

mentos de alegria.

Quero agradecer à minha namorada, Johanna, que sempre esteve do meu lado. Me con-

solando nos momentos ruins e me dando forças para sempre seguir no caminho dos meus

sonhos. Minha fiel escudeira, minha amada.

Aos meus queridos amigos de infância, os Playmobilz, um abraço forte.

E um agradecimento especial ao meu eterno avô, Italo Altomare. Esta vitória dedico ao

senhor. Pois, neste último período extremamente sofrido, a sua imagem é a que mais me veio

a mente. O momento em que te falei que havia passado no vestibular do curso que o senhor

sempre sonhou e fazer, e não pode. Lembro do seu choro, lembro de ligar para o melhor

amigo cheio de orgulho. Consegui, velho. Conseguimos!

Obrigado a todos!

RESUMO

A modelagem dos escoamentos turbulentos é de vital importância para vários setores da

indústria. Justificando-se assim o desenvolvimento e aprimoramento de modelos que melhor

os descrevam, com o menor custo computacional possível.

O método de análise mais preciso é a simulação direta numérica, DNS. Este gera os re-

sultados mais acurados, porém com custo computacional altíssimo. Os campos estatísticos

oriundos de tais simulações de alto nível servem de base de dados para o desenvolvimento

de modelos menos custosos. Estes modelos resolvem os campos médios, e são conhecidos

como modelos RANS. Comparados aos DNS, os modelos RANS são significantemente me-

nos computacionalmente custosos. Fazendo com que estes sejam mais atrativos às industrias,

uma vez que estas necessitam de respostas rápidas.

A modelagem das equações médias corresponde em descrever a entidade tensorial que

surge na equação de transporte de momento linear médio. Existem várias abordagens, onde

a mais famosa são os métodos que evocam a hipótese de Boussinesq. Trata-se de uma des-

crição explícita do tensor de Reynolds.

O presente trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de modelos para a equação de

transporte do tensor de Reynolds. Usando, para isso, dados vindos de DNS. Lança-se mão

da teoria de decomposições tensoriais desenvolvidas por Thompson (2008).

Dos oito modelos propostos no presente trabalho, dois obtiveram destaque ao descreve-

rem a parte que necessita de modelagem da equação de transporte do tensor de Reynolds.

Apresentando erros entre 10−5% e 10−15% em praticamente todo o domínio. Os coeficientes

dos modelos em questão, mudam de comportamento dependendo da subcamada em que se

encontram.

ix

x

Palavras-Chave: Turbulência, Simulação Numérica Direta,Equações Médias, Tensor de

Reynolds.

ABSTRACT

The modelling turbulent flows is very important in several branches of industry. The

development of such models is justified by such a demand and the need to solve complex

problems in engineering.

The most accurate methodology to simulate turbulent flows nowadays is known as DNS,

Direct Numerical simulations. Though this methodology avoids the necessity of modeling it

is still prohibitive for real problems faced in engineering sciences. However, for its reliability

in describing the flow, DNS results and its statistics are the cornerstone in the development of

low computacional cost models. These models are known as RANS, or Reynolds-Averaged

Navier-Stokes, and are the most usually adopted in industrial problems for its robustness and

fast converging solutions.

The modelling of the mean equations of motion resumes in incompressible flows of

newtonian fluids to describe a new tensor field appearing in the mean momentum equa-

tion. Among the many approaches possible to the known closure problem in turbulence,

the Bousinesq’s hypothesis is undoubtedly the most frequent adopted in computational fluid

dynamics, which relates explicitly the turbulent stresses to the mean strain-rate tensor in a

newtonian-like fashion.

The present work deals however with the modelling of the transport equation for the

turbulent stresses, namely the Reynolds stress tensor. In order to do so DNS data of the

flow between flat plates is analyzed and the theory of tensor decomposition proposed by

Thompson (2008) is used.

Key-Words: Turbulence,Direct Numerical Simulation, Mean Equations, Reynolds Stress.

xi

LISTA DE FIGURAS

2.1 Valores de α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Distribuição Gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Cascata de energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1 Escoamento de Couette-Poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Campos de velocidade laminar versus turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Componentes do tensor de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Componentes xx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Componentes y y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Componentes zz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 Componentes x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8 Camada interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1 Norma de Φ⟨D⟩⟨v′v′⟩dev

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.1 Componentes do tensor Λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.2 Valores de η para cada DN S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.3 Módulo do tensor erro para cada DNS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.4 Coeficientes do Modelo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.5 Coeficientes do Modelo 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.6 Coeficientes do Modelo 3 normalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.7 Coeficientes do Modelo 7 normalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.8 Coeficientes do Modelo 3 normalizado e a camada interna. . . . . . . . . . . . 64

8.9 Coeficientes do Modelo 7 normalizado e a camada interna. . . . . . . . . . . . 65

xii

LISTA DE TABELAS

2.1 Valores dos adimensionais para o modelo κ-ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Valores dos adimensionais para o modelo κ-ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Parâmetros dos DNS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

xiii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. SISTEMAS TURBULENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Estatística básica dos sistemas turbulentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Campos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Equações de balanço médias de massa e momento linear . . . . . . 15

2.2.2 Tensor de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Equação de transporte do tensor de Reynolds . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Equação de transporte de κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Problema de fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Hipótese de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2 Modelos a zero equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3 Modelos a uma equação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.4 Modelos a duas equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.5 Modelo de retorno à isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Simulação Numérica Direta (DNS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Cascata de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.2 As hipóteses de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Hipótese da ergodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.0.1 Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.0.2 Campos de velocidade média e tensões de Reynolds. . . . . . . . . 36

xiv

xv

3.0.3 Componentes dos tensores da equação de transporte do tensor

de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.0.4 Lei de parede e a Camada interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. DECOMPOSIÇÃO TENSORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. TENSOR PERSISTÊNCIA À DEFORMAÇÃO (P) . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6. CRíTICA À HIPÓTESE DE BOUSSINESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7. HIPÓTESES PARA A MODELAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.1 Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2 Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3 Modelo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.4 Modelo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.5 Modelo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.6 Modelo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.7 Modelo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.8 Modelo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.9 Índice de desempenho η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8. RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9. CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10. TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

NOMENCLATURA

V Espaço amostral

U Variável aleatória

F (V ) Função de distribuição acumulada

f (V ) Função d densidade acumulada

⟨U ⟩ Média de U

U ′ Flutuação de U

var (U ) Variância de U

cov(U1,U2) Covariância entre U1 e U2

t Tempo

x Vetor posição

v Vetor velocidade

⟨v⟩ Média da velocidade

v′ Flutuação da velocidade

p Pressão

⟨p⟩ Média da velocidade

p ′ Flutuação da pressão

ρ Densidade

µ Viscosidade

ν Viscosidade cinemática

⟨v ′v ′⟩ Tensor de Reynolds

κ Energia cinética turbulenta

P Tensor produção turbulenta

xvi

xvii

Π Tensor gradiente-velocidade-pressão

ε Tensor dissipação turbulenta

T′ Fluxo de energia turbulenta

D Taxa de deformação

νT Viscosidade turbulenta

lm Comprimento de mistura

Re Número de Reynolds

δ Metade da altura do canal

1 INTRODUÇÃO

O conjunto de equações que define o escoamento dos fluidos é de natureza turbulenta,

fazendo com que estas sejam extremamente sensíveis a perturbações nas condições de con-

torno, condições iniciais e propriedades físicas do material. O que inviabiliza a previsão da

evolução desse sistema dinâmico.

Uma abordagem estatística se faz necessária diante desta problemática. Reinterpretam-

se os campos de velocidade e pressão como sendo campos de variáveis aleatórias e, com

isto, calculam-se os campos mais prováveis, os campos médios. Para tal, são derivadas

as equações médias de transporte onde, do termo advectivo, surge uma nova variável a ser

determinada, o tensor de Reynolds. Com o surgimento desta nova variável, o sistema torna-

se indeterminado, pois agora há mais variáveis do que equações. Vários modelos foram

propostos afim de se resolver este problema conhecido como problema do fechamento.

A simulação numérica direta das equações de transporte, DNS, é uma abordagem de

resolução direta das equações de Navier-Stokes com grau de refino de malha muito alto, a

fim de se capturar todas as estruturas turbulentas presentes num dado escoamento. Este tipo

de simulação é computacionalmente muito cara, mas serve de base de dados para a criação

de modelos estatísticos significativamente menos custosos. Tais modelos estatísticos são

conhecidos como modelos RANS.

No presente trabalho, usam-se resultados estatísticos advindos de DNS feitos por Kasagi

et al. (1992), para a investigação e desenvolvimento de novos modelos RANS para a equação

de transporte do tensor de Reynolds. Para tal, lança-se mão de uma teoria de decomposição

tensorial proposta por Thompson (2008).

No capítulo 2, é introduzida a teoria estatística necessária para a análise de escoamentos

turbulentos. Derivando-se as equações médias de transporte e apresentando os principais

modelos para escoamentos turbulentos.

1

2

No capítulo 3, disserta-se sobre os DNS pós processados no presente trabalho. Descre-

vendo o escamento em si, os métodos numéricos utilizados por Kasagi et al. (1992) e os

resultados obtidos pelo mesmo.

No capítulo 4, discuti-se a teoria matemática das decomposições tensoriais propostas

por Thompson (2008) necessárias para o desenvolvimentos dos modelos que descreverão a

equação de transporte do tensor de Reynolds.

No capítulo 5, analisa-se o tensor Persistência à Deformação, cuja definição depende da

teoria de decomposição tensorial apresentada no capítulo anterior. Este tensor também será

necessário para a construção dos modelos aqui estudados.

No capítulo 6, critica-se a hipótese que norteia os modelos RANS mais populares, a

hipótese de Boussinesq. Para tal, lança-se mão da teoria de decomposição tensorial.

No capítulo 7, são introduzidos os oito modelos que serão analisados no presente traba-

lho. Discutindo-os de maneira individual. Metade deles são bases que dependem da cinemá-

tica média do escoamento, e os demais dependem do próprio tensor de Reynolds.

No capítulo 8, são apresentados os resultados. Neste capítulo, inicialmente avalia-se

quais os modelos que apresentaram os melhores desempenhos. Onde dois deles se destaca-

ram apresentando erros relativos entre 10−5% e 10−15% em praticamente todo o domínio. Em

seguida, a fim de se obter curvas de coeficientes mais comportadas, normaliza-se as bases dos

dois modelos de maior desempenho. Obtém-se novas curvas que mudam de comportamento

dependendo da subcamada em que se encontram.

No capítulo 9, são discutidos as principais conclusões do estudo feito no presente traba-

lho.

2 SISTEMAS TURBULENTOS

Consideram-se dois sistemas dinâmicos, A e B , cujas evoluções no tempo são descri-

tas através de um conjunto de equações determinísticas, ea e eb respectivamente. Ambos

os sistemas possuem suas respectivas condições específicas, Ca e Cb . As quais englobam

condições iniciais, de contorno e propriedades dos materiais em questão.

Escolhe-se uma grandeza α para ser medida em um dado ponto e instante de tempo em

ambos os sistemas. Cem experimentos são feitos e cem medidas de α são feitas para cada

sistema dinâmico, todas as medições foram feitas no mesmo ponto do espaço e no mesmo

instante de tempo definido a partir do início de cada experimento. As condições Ca e Cb

são, na medida do possível, mantidas constantes ao longo de todos os experimentos. Porém,

estas sempre estarão sujeitas a perturbações, por menores que sejam.

Estas perturbações podem ser, por exemplo: vibrações nas imediações do experimento,

pequenas oscilações de temperatura, impurezas, pequenas variações nas condições iniciais,

etc.

A seguir, nas fig. 2.1(a) e 2.1(b), observam-se os valores medidos de α, para cada um

dos cem experimentos, dos dois sistemas dinâmicos.

0 50 100

Medicoes

αα

(a) Sistema dinâmico A.

0 50 100

Medicoes

αα

(b) Sistema dinâmico B .

Fig. 2.1: Valores de α.

3

4

Como fora supracitado, ambos os sistemas estavam sujeitos a perturbações nas condições

específicas, porém, como pode se ver a cima, apenas o sistema A foi sensível a tais pertur-

bações. Já o sistema B não foi sensível às mesmas, pois seus valores de α praticamente não

variaram de um experimento para o outro.

Isto sugere que o conjunto de equações ea amplificou as perturbações presentes em Ca ,

de forma a alterar o valor de α significantemente em cada medição. Por mais que ea seja

determinístico, não se obtém uma constância nas medições α, num dado ponto do espaço e

instante de tempo, mesmo com os experimentos sendo similares.

Esta sensibilidade às condições específicas torna inviável a previsibilidade de α, uma vez

que não se controla as perturbações atuantes em cada experimento. Faz-se necessário, então,

uma nova abordagem que sobreponha esta problemática.

Assume-se então esta incerteza, uma vez que é inviável controlar e computar todas as

possíveis perturbações que venham atuar sobre o sistema dinâmico. E, com isto, assume-se

também o fato de que α pode ter mais de uma configuração. Ou seja, em cada medição,

para cada experimento, pode-se obter valores diferentes. A priori, α pode possuir infinitas

possíveis configurações. Em outras palavras, reinterpreta-se α como sendo uma variável

aleatória.

Sendo este uma variável aleatória, todo o ferramental estatístico passa a ser útil para

o estudo da evolução deste sistema dinâmico. Agora, não mais se interpreta α como uma

grandeza estocástica, ou seja, que possui apenas uma possibilidade de configuração. α passa

a possuir infinitas possíveis configurações, onde umas são mais prováveis do que outras.

Perguntas como: O que irá acontecer? São trocadas por perguntas como: Qual a probabi-

lidade disto acontecer?

sistemas dinâmicos cujas equações que descrevam sua evolução no tempo sejam hiper

sensíveis às perturbações das suas condições específicas são chamados de sistemas turbu-

lentos.

5

2.1 Estatística básica dos sistemas turbulentos

Em sistemas turbulentos, passa-se a interpretar grandezas estocásticas como sendo variá-

veis aleatórias. Ou seja, tais grandezas de interesse podem assumir vários valores possíveis.

Um valor para cada configuração possível do sistema. Logo, atrelado a cada possibilidade

de valor, existe uma probabilidade associada da mesma ocorrer. Uma variável aleatória é

completamente definida quando se tem conhecimento de todas as probabilidades de cada

uma das infinitas possibilidades de configuração. Deste jeito, faz-se necessário uma função

que descreva tais probabilidades para cada configuração possível.

Sendo assim, para uma variável aleatória U qualquer, define-se a função de distribuição

acumulada (CDF),

F (V ) ≡ P −∞≤U ≤V (2.1)

onde P −∞≤U ≤V é a probabilidade de U assumir configurações pertencentes ao subcon-

junto −∞≤U ≤V de todas as possibilidades. Perceba que não está sendo analisada a pro-

babilidade de apenas uma configuração, e sim a de um conjunto de configurações possíveis.

O domínio da CDF é denominado espaço amostral da variável aleatória, que representa o

conjunto de todas as possibilidades de configuração de U . Logo, −∞≤U ≤V pertence ao

espaço amostral de U .

As propriedades da CFD são:

0 ≤ F (V ) ≤ 1 (2.2a)

limV →−∞

F (V ) = 0 (2.2b)

limV →+∞

F (V ) = 1 (2.2c)

6

F (aV1 +bV2) = aF (V1)+bF (V2), sendo a e b constantes quaisquer (2.2d)

Para calcular a probabilidade de U assumir alguma das configurações entre Va e Vb , ou

seja P Va ≤U ≤Vb, basta subtrair as CDFs associadas a cada um dos limites do intervalo,

P Va ≤U ≤Vb = F (Vb)−F (Va). (2.3)

A partir da CDF, define-se a função densidade de probabilidade, PDF,

f (V ) ≡ dF (V )

dV(2.4)

As propriedades da PDF são facilmente derivadas a partir das propriedades da CDF, eqs.

2.2,

f (V ) ≥ 0 (2.5a)

∫ ∞

−∞f (V )dV = 1 (2.5b)

f (aV1 +bV2) = a f (V1)+b f (V2), sendo a e b constantes quaisquer (2.5c)

A integração da PDF de uma variável aleatória U qualquer, em um subconjunto do es-

paço amostral de U definido por Va e Vb , é igual a probabilidade de U assumir umas das

7

configurações existentes neste intervalo. Ou seja,

P Va ≤U ≤Vb =∫ Vb

Va

f (V )dV = F (Vb)−F (Va). (2.6)

Como já foi dito, uma variável aleatória é completamente descrita quando se tem co-

nhecimento acerca de todas as probabilidades de configuração que a mesma pode assumir.

Como tais informações estão contidas nas CDF e PDF, estas definem completamente a va-

riável aleatória.

Uma característica importante desse tipo de análise é que as probabilidades calculadas

referentes à variável aleatória são grandezas estocásticas. Ou seja, consegue-se extrair in-

formações da evolução de um sistema turbulento que não mais variam de acordo com as

perturbações sofridas pelo mesmo.

Um exemplo de PDF é a famosa distribuição normal, ou Gaussiana, fig. 2.2(a). Des-

crita pela equação 2.7. E sua respectiva função de distribuição acumulada, fig. 2.2(b).

f (V ) = e−(V −c)2

2σ2 , (2.7)

onde σ2 é a variância (futuramente discutida neste trabalho) e c uma constante qualquer.

Estas curvas são de suma importância para a teoria das probabilidades e surgem, natural-

mente, em vários sistemas dinâmicos.

c0

0.5

1Gaussiana

(a) PDF da distribuição normal.

c0

0.5

1Gaussiana

(b) CDF da distribuição normal.

Fig. 2.2: Distribuição Gaussiana.

Embora seja importante o conhecimento de todas as configurações possíveis, é de maior

interesse saber qual é a mais provável de acontecer dentre todas as existentes no espaço

8

amostral. Esta configuração é conhecida como valor esperado, média, ou esperança, da

variável aleatória. A média de uma variável aleatória U , cuja PDF é f , é definida como

⟨U ⟩ ≡∫ +∞

−∞V f (V )dV. (2.8)

A generalização do operador média é definida para uma função g = g (U ) qualquer, defi-

nida no domínio do espaço amostral de U ,

⟨g (U )⟩ ≡∫ +∞

−∞g (V ) f (V )dV (2.9)

onde f é o PDF da variável aleatória U . ⟨g (U )⟩ é a configuração mais provável dentre todas

as possíveis, sendo esta calculada em função da PDF da variável aleatória U . Isto é, por mais

que g (U ) seja uma variável aleatória distinta de U , o cálculo de sua média é feito a partir do

PDF de U , e não de um novo PDF. E, em um caso geral, ⟨g (U )⟩ 6= g (⟨U ⟩).Pode-se interpretar esta média generalizada como sendo uma média ponderada de U ,

onde g corresponde a função peso.

A partir da eq. 2.9, deriva-se a seguinte propriedade:

⟨ag1(U )+bg2(U )⟩ = a⟨g1(U )⟩+b⟨g2(U )⟩, sendo a e b constantes quaisquer. (2.10)

Ou seja, o operador média é um operador linear.

Vale ressaltar que, apesar de g (U ) ser uma variável aleatória, a sua média é uma grandeza

estocástica, assim como a CDF e PDF de U . Nota-se que, ⟨g (U )⟩ não depende mais do

espaço amostral, uma vez que em sua definição, eq. 2.9, há uma integração no mesmo. Este

fato implica na propriedade,

⟨⟨g (U )⟩⟩ = ∫ −∞+∞ ⟨g (U )⟩ f (V )dV

= ⟨g (U )⟩∫ −∞

+∞f (V )dV︸ ︷︷ ︸

=1, eq. 2.5b.

9

⟨⟨g (U )⟩⟩ = ⟨g (U )⟩. (2.11)

A partir da definição de média, eq. 2.8, pode-se decompor uma variável aleatória U

como sendo a soma de ⟨U ⟩ com uma parcela flutuante. Esta decomposição é conhecida

como decomposição de Reynolds,

U ≡ ⟨U ⟩+U ′. (2.12)

A partir da eq. 2.12, define-se a flutuação U ′ como

U ′ ≡U −⟨U ⟩. (2.13)

A flutuação de U , U ′, guarda consigo a magnitude de aleatoriedade de uma variável alea-

tória. Por exemplo, variáveis estocásticas só possuem uma configuração possível, logo seu

valor é igual a sua média (raciocínio similar as contas feitas nas eqs.2.11). Como a variável é

igual a sua média, pela eq. 2.13 conclui-se que sua flutuação é nula. Como era de se esperar,

uma vez que uma variável estocástica é não aleatória.

Nota-se que, ao contrário da média, a flutuação também é uma variável aleatória, devido

a sua construção. Em outras palavras,

U ′ =U ′(V ) =V −⟨U ⟩ (2.14)

Aplicando-se o operador média na igualdade 2.13, revela-se uma importante propriedade

da flutuação,

⟨U ′⟩ = ⟨U −⟨U ⟩⟩︸ ︷︷ ︸Eq. 2.10.

⟨U ′⟩ = ⟨U ⟩− ⟨⟨U ⟩⟩︸ ︷︷ ︸Eq. 2.11.

⟨U ′⟩ = ⟨U ⟩−⟨U ⟩

10

⟨U ′⟩ = 0. (2.15)

que diz que a média da flutuação de uma variável aleatória é nula.

Uma medida do quão longe uma dada configuração de uma variável aleatória está de sua

média, ou seja, do valor esperado, é a variância. O operador variância é definido como

var (U ) ≡∫ +∞

−∞(V −⟨U ⟩)2 f (V )dV. (2.16)

A variância pode ser reescrita em função da flutuação, como pode ser visto a baixo.

var (U ) = ∫ +∞−∞ (V −⟨U ⟩︸ ︷︷ ︸

eq. 2.14.

)2 f (V )dV

var (U ) = ∫ +∞−∞ (U ′(V ))2 f (V )dV

var (U ) = ⟨U ′2⟩ (2.17)

A covariância entre duas variáveis aleatórias distintas é uma medida de interdependência

estatística entre ambas. Se o valor da covariância entre ambos for nulo, então estas variáveis

são independentes. Se o valor for positivo, quer dizer que o crescimento de uma implica no

crescimento da outra. E se for negativo, quer dizer que o crescimento de uma implica na

diminuição da outra. A covariância é definida como

cov(U1,U2)≡∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞(V1 −⟨U1⟩)(V2 −⟨U2⟩) f (V1,V2)dV1dV2. (2.18)

Como se trata de uma interação entre duas variáveis aleatórias distintas, com espaços

amostrais também distintos, a função distribuição de probabilidades deve também estar es-

crita em termos de ambos os espaços amostrais. O conceito de PDF é generalizado para duas

11

variáveis aleatórias,

f (V1,V2) = ∂F (V1,V2)

∂V1∂V2(2.19)

onde a CDF também é generalizada da mesma forma

F (V1,V2) = P −∞≤U1 ≤V1,−∞≤U2 ≤V2. (2.20)

Agora, a CDF representa a probabilidade de ambas as variáveis aleatórias estarem, simul-

taneamente, com configurações compreendidas nos intervalos definidos por V1 e V2 de seus

respectivos espaços amostrais.

O operador média aplicado a uma função de duas variáveis aleatórias é

⟨Q(U1,U2)⟩ =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Q(V1,V2) f (V1,V2)dV1dV2. (2.21)

Com a eq. 2.21 e a definição de flutuação, eq. 2.13, reescreve-se a eq. 2.18

cov(U1,U2)= ⟨U ′1U ′

2⟩. (2.22)

Perceba que para o caso

cov(U ,U )= ⟨U ′2⟩ = var (U ). (2.23)

A extensão desses conceitos para mais de duas variáveis aleatórias é imediata. Todas

as propriedades demonstradas para as CDF, PDF, média e flutuação são válidas para suas

versões com várias variáveis aleatórias.

2.2 Campos aleatórios

Estender todos os conceitos supracitados para uma análise de campos é necessário. Em

outras palavras, a configuração de uma variável aleatória U poderá, a priori, variar no tempo

e no espaço. Ou seja, para cada instante de tempo, um campo assumirá uma configuração

12

dentre todas as possíveis. E, esta configuração global é composta pelas várias configura-

ções locais assumidas em cada ponto do espaço. Então, a variável aleatória U passa a ser

representada da seguinte forma,

U =U (V ;x, t ). (2.24)

Por simplicidade, convenciona-se o uso do ponto e vírgula para separar a dependência fun-

cional com o espaço amostral das dependência espaço-temporal.

Para cada ponto do espaço, em cada instante, haverá uma estatística, no geral, distinta

das demais. Isto quer dizer que

F = F (V ;x, t )

f = f (V ;x, t )

⟨U ⟩ = ⟨U ⟩(x, t )

U ′ =U ′(V ;x, t )

cov(U1,U2)= cov(U1,U2)(x, t ).

(2.25)

Os escoamentos de fluido representam uma classe de sistemas dinâmicos que apresentam

a característica turbulenta. Ou seja, o campo de velocidade (v), e o campo de pressão (p)

são interpretados como aleatórios. Logo, existem campos de densidades de probabilidades,

associados a cada um desses campos, que os definem completamente.

No presente trabalho, será discutida a análise da turbulência dos escoamentos dos flui-

dos newtonianos, em regime de incompressibilidade, para propriedades do material sendo

constantes (densidade e viscosidade).

As equações de governo que descrevem este sistema dinâmico são o balanço de massa,

∇·v = 0, (2.26)

e a equação de balanço de momento linear para o escoamento de fluidos newtonianos incom-

13

pressíveis,

∂v

∂t+∇· (vv) =− 1

ρ∇p +ν∇2v (2.27)

também conhecida como equação de Navier-Stokes incompressível.

Uma igualdade que será largamente utilizada no presente trabalho está associada aos

termos advectivos das equações de transporte. Para a demonstração, generalizar-se-á a gran-

deza advectada, chamando-a de φ. Sendo assim, o termo advectivo será ∇· (vφ). No caso da

equação a cima, por exemplo, φ= v. A advecção, para escoamentos incompressíveis, pode

ser reescrita como

∇· (vφ) = ∂(vkφ)∂xk

= vk∂φ∂xk

+ ∂vk∂xk

φ

= v ·∇φ+ ( ∇·v︸︷︷︸=0, eq.2.26

)φ

∇· (vφ) = v ·∇φ. (2.28)

Como já foi dito, para se definir completamente uma variável aleatória, sua PDF é sufici-

ente. Logo, uma possibilidade de abordagem possível é o tratamento estatístico das equações

que regem o sistema dinâmico, afim de se obter equações de transporte para as densidades

de probabilidade de v e p. E, com estas, desenvolver modelos.

Porém, uma outra possibilidade é a análise dos campos mais prováveis. Ou seja, os

campos médios dos campos aleatórios em questão. Logo, faz-se necessário a obtenção das

equações de transporte das médias de v e p.

Algumas igualdades serão úteis para a realização de tal tarefa, como a média de derivadas

14

parciais,

⟨∂ f (x,y)∂y

⟩=

⟨lima→0

(f (x,y+a)− f (x,y)

a

)⟩⟨∂ f (x,y)∂y

⟩= lim

a→0

( ⟨ f (x,y+a)⟩−⟨ f (x,y)⟩a

)⟨∂ f (x,y)∂y

⟩= ∂⟨ f (x,y)⟩

∂y .

(2.29)

Com o resultado anterior, as médias de termos transientes, dos gradientes, divergentes e

laplacianos são

⟨∂ f

∂t

⟩= ∂(⟨ f ⟩)

∂t(2.30a)

⟨∇ f ⟩ =∇(⟨ f ⟩) (2.30b)

⟨∇ · f ⟩ =∇· (⟨ f ⟩) (2.30c)

⟨∇2 f ⟩ =∇2(⟨ f ⟩). (2.30d)

Outra igualdade muito relevante é a média do produto de duas variáveis aleatórias,

⟨AB⟩ = ⟨(⟨A⟩+ A′)(⟨B⟩+B ′)⟩= ⟨⟨A⟩⟨B⟩⟩+⟨A′B ′⟩+⟨⟨A⟩B ′⟩+⟨A′⟨B⟩⟩︸ ︷︷ ︸

As médias são estocásticas, então saem dos operadores média.

= ⟨A⟩⟨B⟩+⟨A′B ′⟩+⟨A⟩ ⟨B ′⟩︸︷︷︸=0, eq. 2.15.

+⟨B⟩ ⟨A′⟩︸︷︷︸=0, eq. 2.15.

15

⟨AB⟩ = ⟨A⟩⟨B⟩+⟨A′B ′⟩ (2.31)

que pode ser reescrita como

⟨AB⟩ = ⟨A⟩⟨B⟩+cov(A′ B ′). (2.32)

2.2.1 Equações de balanço médias de massa e momento linear

Tendo em mãos as igualdades necessárias para a derivação das equações de transporte

médias, aplicar-se-á o operador média em ambos os lados das equações de transporte de

massa, eq. 2.26, e transporte de momento linear, eq. 2.27. A começar pelo balanço de

massa,

⟨∇ ·v⟩︸ ︷︷ ︸Eq. 2.30c.

= ⟨0⟩

∇ · ⟨u⟩ = 0. (2.33)

Observa-se que a versão média do balanço de massa é similar a sua versão aleatória.

Subtraindo-se da versão aleatória, eq. 2.26, a versão média, eq. 2.33, encontra-se uma

versão do balanço de massa flutuante.

∇·v−∇·⟨v⟩ = 0

∇· (v−⟨v⟩) = 0

∇·v′ = 0. (2.34)

16

Com as eqs. 2.33 e 2.34, demonstram-se igualdades similares à eq. 2.28

∇· (⟨v⟩φ) = ⟨v⟩ ·∇φ (2.35a)

∇· (v′φ) = v′ ·∇φ. (2.35b)

As contas feitas para demonstrar as propriedades a cima são similares as feitas na eq. 2.28.

O mesmo é feito para a equação de balanço de momento linear incompressível,

⟨∂v∂t +∇· (vv)

⟩=

⟨− 1

ρ∇p +ν∇2v

⟩⟨∂v

∂t

⟩︸ ︷︷ ︸

Eq. 2.30a.

+⟨∇· (vv)⟩︸ ︷︷ ︸Eq. 2.30c.

= − 1ρ

⟨∇p⟩︸ ︷︷ ︸Eq. 2.30b.

+ν ⟨∇2v⟩︸ ︷︷ ︸Eq. 2.30d

∂⟨v⟩∂t +∇· (⟨vv⟩)︸ ︷︷ ︸

Eq. 2.31.

= − 1ρ∇(⟨p⟩)+ν∇2(⟨v⟩)

∂⟨v⟩∂t

+∇· (⟨v⟩⟨v⟩)+∇·⟨v′v′⟩ =− 1

ρ∇⟨p⟩+ν∇2⟨v⟩. (2.36)

A evolução das médias da velocidade e pressão do escoamento de um fluido newtoniano

incompressível é descrito pelas equações 2.33 e 2.36. Perceba que estas são similares às

equações aleatórias, eqs. 2.26 e 2.27, com a exceção do termo que surge da parte advectiva

da equação de balanço de momento linear. Então, a aplicação do operador média levou ao

surgimento do tensor

⟨v′v′⟩ =

⟨v ′

1v ′1⟩ ⟨v ′

1v ′2⟩ ⟨v ′

1v ′3⟩

⟨v ′2v ′

1⟩ ⟨v ′2v ′

2⟩ ⟨v ′2v ′

3⟩⟨v ′

3v ′1⟩ ⟨v ′

3v ′2⟩ ⟨v ′

3v ′3⟩

(2.37)

conhecido como tensor de Reynolds (1883).

17

2.2.2 Tensor de Reynolds

Reescrevendo-se o balanço de momento linear médio na sua forma conservativa

ρ∂⟨v⟩∂t

+ρ∇· (⟨v⟩⟨v⟩) =∇·(−⟨p⟩I+µ∇⟨v⟩−⟨v′v′⟩

)(2.38)

nota-se que há três parcelas de tensão atuando no balanço. A isotrópica (−⟨p⟩I), a viscosa

(µ∇⟨u⟩), e a parcela oriunda das flutuações de velocidade (−⟨u′u′⟩). Esta terceira tensão

extra é o que difere esta equação média da sua versão aleatória, eq. 2.27. Por causa disto, o

tensor de Reynolds representa as chamadas tensões de Reynolds. Perceba que esta tensão

extra não tem sentido físico quando olha-se as equações aleatórias. O fluido não está sob

ação de tensões extras. Estas são abstratas, pertencentes apenas ao ’mundo médio’.

Aplicando as definições 2.17 e 2.22, reescreve-se o tensor de Reynolds,

⟨v′v′⟩ =

var (v1) cov(v1, v2) cov(v1, v3)

cov(v2, v1) var (v2) cov(v2, v3)

cov(v3, v1) cov(v3, v2) var (v3)

. (2.39)

Observa-se, na eq. 2.39, que o tensor de Reynolds carrega consigo as medidas estatísticas

de variância de cada componente de velocidade e suas covariações em relações as demais

componentes de u. E, pela sua construção e o fato da covariância ser comutativa (cov(A,B) =cov(B , A)), sua matriz representativa é simétrica. Sendo assim, a priori, precisa-se de no

máximo seis componentes para definir completamente o tensor de Reynolds.

Prova-se que a matriz representativa do tensor de Reynolds é positiva semi-definida, ou

seja, para um tensor de primeira ordem constante qualquer a, a ·⟨u′u′⟩·a ≥ 0. Como pode ser

demonstrado abaixo:

a · ⟨v′v′⟩ ·a = ak · ⟨v ′i v ′

j ⟩ ·al

a · ⟨v′v′⟩ ·a = ai · ⟨v ′i v ′

j ⟩ ·a j

a · ⟨v′v′⟩ ·a = ⟨ai v ′i v ′

j a j ⟩a · ⟨v′v′⟩ ·a = ⟨(am v ′

m)2⟩ ≥ 0.

(2.40)

18

Como é positivo semi-definido, então possui autovalores não-negativos e, consequente-

mente, seu traço também. A partir disto, define-se a energia cinética turbulenta

κ(x, t ) ≡ 1

2Tr (⟨v′v′⟩) = 1

2⟨v ′

i v ′i ⟩. (2.41)

Trata-se de uma grandeza física não-negativa que representa a energia cinética média do

campo de flutuações de velocidade. Esta grandeza é um parâmetro usual de avaliação da

intensidade de turbulência dos escoamentos, e bastante importante para o desenvolvimento

de modelos.

2.2.3 Equação de transporte do tensor de Reynolds

Uma equação de transporte para o tensor de Reynolds pode ser derivada. Para tal, aplica-

se a decomposição de Reynolds, eq. 2.12, na versão aleatória da equação de transporte de

momento linear, eq. 2.27,

∂(⟨v⟩+v′)∂t +∇· ((⟨v⟩+v′)(⟨v⟩+v′)

)=− 1ρ∇(⟨p⟩+p ′)+ν∇2(⟨v⟩+v′)

∂(⟨v⟩+v′)∂t +∇· (⟨v⟩⟨v⟩)+∇· (v′v′

)+∇· (⟨v⟩v′)+∇· (v′⟨v⟩)=− 1

ρ∇(⟨p⟩+p ′)+ν∇2(⟨v⟩+v′).

Subtraindo-se a versão média do transporte de momento linear, eq. 2.36. Obtém-se então a

versão flutuante da equação de transporte de momento linear

∂(v′)∂t

+∇· (v′v′)+∇· (⟨v⟩v′

)+∇· (v′⟨v⟩)=− 1

ρ∇(p ′)+ν∇2(v′)+∇·⟨v′v′⟩. (2.42)

Com as eq. 2.35a e 2.35b, resscreve-se a equação a cima

∂(v′)∂t

+v′ ·∇(v′

)+⟨v⟩ ·∇(v′

)+v′ ·∇(⟨v⟩)︸ ︷︷ ︸A

=− 1

ρ∇(p ′)+ν∇2(v′)+∇·⟨v′v′⟩︸ ︷︷ ︸

B

. (2.43)

Agora, em ambos os lados da equação, justapõe-se à esquerda v′ e soma-se este resultado

à justaposição à direita, em ambos os lados da equação, com vetor v′. Ou seja, v′A + Av′ =v′B +Bv′. Cada parcela que compõe A e B são analisadas, utilizando-se a notação indicial,

19

separadamente abaixo.

v′ ∂v′∂t + ∂v′

∂t v′ = v ′i

∂v ′j

∂t + ∂v ′i

∂t v ′j

= ∂(v ′i v ′

j )

∂t

= ∂(v′v′)∂t

(2.44a)

v′(v′ ·∇v′

)+ (v′ ·∇v′

)v′ = v ′

i v ′k

∂v ′j

∂xk+ v ′

k

∂v ′i

∂xkv ′

j

= v ′k

∂(v ′i v ′

j )

∂xk

Eq. 2.35b.→ = v′ ·∇(v′v′)

= ∇· (v′v′v′)

(2.44b)

v′(⟨v⟩ ·∇v′

)+ (⟨v⟩ ·∇v′)v′ = v ′

i ⟨vk⟩∂v ′

j

∂xk+⟨vk⟩ ∂v ′

i∂xk

v ′j

= ⟨vk⟩(v ′

i

∂v ′j

∂k+ ∂v ′

i∂xk

v ′j

)= ⟨vk⟩

∂(v ′i v ′

j )

∂xk

Eq. 2.35a.→ = ⟨v⟩ ·∇(v′v′)

= ∇· (⟨v⟩v′v′)

(2.44c)

v′(v′ ·∇⟨v⟩)+ (

v′ ·∇⟨v⟩)v′ = v ′i v ′

k∂⟨v j ⟩∂xk

+ v ′k∂⟨vi ⟩∂xk

v ′j

= v ′i v ′

k∂⟨v j ⟩∂xk

+ v ′j v ′

k∂⟨vi ⟩∂xk

= (v′v′) ·∇(⟨v⟩)+ ((v′v′) ·∇(⟨v⟩))T

= (v′v′) · ⟨∇(v)⟩+ ((v′v′) · ⟨∇(v)⟩)T

(2.44d)

v′(− 1

ρ∇p ′)+

(− 1

ρ∇p ′)v′ = − 1

ρ

(v′

(∇p ′)+ (∇p ′)v′)

(2.44e)

20

v′(ν∇2v′

)+ (ν∇2v′

)v′ = νv ′

i∂∂xk

( ∂v ′j

∂xk

)+ν ∂∂xk

( ∂v ′i

∂xk

)v ′

j

= ν ∂∂xk

(v ′

i

∂v ′j

∂xk

)−ν ∂v ′i

∂xk

∂v ′j

∂xk+ν ∂

∂xk

( ∂v ′i

∂xkv ′

j

)−ν ∂v ′i

∂xk

∂v ′j

∂xk

= ν ∂∂xk

(v ′

i

∂v ′j

∂xk+ ∂v ′

i∂xk

v ′j

)−2ν∂v ′

i∂xk

∂v ′j

∂xk

= ν ∂∂xk

(∂(v ′i v ′

j )

∂xk

)−2ν∂v ′

i∂xk

∂v ′j

∂xk

= ν∇2(v′v′)−2ν(∇T v′ ·∇v′

)(2.44f)

v′(∇· ⟨v′v′⟩)+ (∇·⟨v′v′⟩)v′ = v′

⟨∇·v′v′⟩+⟨∇·v′v′

⟩v′ (2.44g)

As parcelas calculadas na eq. 2.44 compõem uma equação de transporte para o tensor v′v′.

Agora, passa-se o operador média em ambos os lados da equação. Novamente, cada parcela

é analisada separadamente abaixo.

⟨∂(v′v′)∂t

⟩= ∂(⟨v′v′⟩)

∂t (2.45a)

⟨∇· (v′v′v′)⟩ = ∇· (⟨v′v′v′⟩) (2.45b)

⟨∇· (⟨v⟩v′v′)⟩ = ∇· (⟨⟨v⟩v′v′⟩)

= ∇· (⟨v⟩⟨v′v′⟩)(2.45c)

21

⟨(v′v′) · ⟨∇(v)⟩+ (

(v′v′) · ⟨∇(v)⟩)T⟩

= ⟨(v′v′) · ⟨∇(v)⟩⟩+ (⟨

(v′v′) · ⟨∇(v)⟩⟩)T

= ⟨v′v′⟩ · ⟨∇(v)⟩+ (⟨v′v′⟩ · ⟨∇(v)⟩)T

= ⟨v′v′⟩ ·∇⟨v⟩+ (⟨v′v′⟩ ·∇⟨v⟩)T

⟨v′v′⟩ é simétrico.→ = ⟨v′v′⟩ ·∇⟨v⟩+∇T ⟨v⟩ · ⟨v′v′⟩T

= ⟨v′v′⟩ ·∇⟨v⟩+∇T ⟨v⟩ · ⟨v′v′⟩

(2.45d)

⟨− 1

ρ

(v′

(∇p ′)+ (∇p ′)v′)⟩

= − 1ρ

⟨v′

(∇p ′)+ (∇p ′)v′⟩

(2.45e)

⟨ν∇2(v′v′)−2ν

(∇T v′ ·∇v′)⟩ = ν∇2(⟨v′v′⟩)−2ν

⟨∇T v′ ·∇v′⟩

(2.45f)

⟨v′

⟨∇·v′v′⟩+⟨∇·v′v′

⟩v′

⟩= ⟨v′⟩⟨∇·v′v′

⟩+⟨∇·v′v′⟩⟨v′⟩

= 0⟨∇·v′v′

⟩+⟨∇·v′v′⟩

0

= 0

(2.45g)

Reagrupando as parcelas calculadas anteriormente, eqs. 2.45, para recompor ⟨v′A + Av′⟩ =⟨v′B +Bv′⟩, obtém-se a equação de transporte do tensor de Reynolds

∂⟨v′v′⟩∂t +∇· (⟨v⟩⟨v′v′⟩) = ν∇2(⟨v′v′⟩)−⟨v′v′⟩ ·∇⟨v⟩−∇T ⟨v⟩ · ⟨v′v′⟩︸ ︷︷ ︸

P

−

−∇· (⟨v′v′v′⟩)− 1

ρ

⟨v′

(∇p ′)+ (∇p ′)v′⟩

︸ ︷︷ ︸Π

−

−2ν⟨∇T v′ ·∇v′

⟩︸ ︷︷ ︸ε

.

(2.46)

22

∂⟨v′v′⟩∂t

+∇· (⟨v⟩⟨v′v′⟩) = ν∇2(⟨v′v′⟩)+P−∇· (⟨v′v′v′⟩)+Π−ε (2.47)

Esta equação apresenta, além de um termo transiente, advectivo e difusivo, quatro ou-

tros termos com significados físicos peculiares. ∇ · ⟨v′v′v′⟩ é a advecção turbulenta. Esta

representa um fluxo oriundo de estatísticas de terceira ordem (produto triplo das flutuações)

do campo de velocidade flutuante. ε é a dissipação turbulenta, que representa um fluxo de

saída de Tensor de Reynolds de um dado volume material, uma vez que o mesmo é positivo

semi-definido e é acompanhado por um sinal negativo na eq. 2.47. Como pode ser visto na

eq. 2.46, este tensor possui todas as componentes negativas, por isso representa um fluxo de

saída. Π é o tensor gradiente-velocidade-pressão , que descreve a interação entre o campo

flutuante de pressão com o campo tensorial das tensões de Reynolds. E, por fim, o termo P,

chamado de produção turbulenta. Este descreve a interação entre os gradientes de veloci-

dade médios e o campo tensorial. Este termo leva este nome por, geralmente, assumir valores

positivos na sua versão escalar, na equação de transporte da energia cinética turbulenta, que

será vista a seguir.

2.2.4 Equação de transporte de κ

Outra equação relevante à turbulencia é o transporte de energia cinética turbulenta κ.

Sua dedução se dá, inicialmente, pela aplicação do operador traço em ambos os lados da eq.

2.46. Ou seja, fazer a multiplicação escalarmente dupla em ambos os lados da equação com

23

o tensor identidade δi j . E, em seguida, aplicar ⟨v ′i v ′

i ⟩ = 2κ, como é definido na eq. 2.41.

∂⟨u′i u′

j ⟩∂t δi j +

∂(⟨vk ⟩⟨v ′i v ′

j ⟩)∂xk

δi j = ν ∂∂xk

(∂⟨v ′

i v ′j ⟩

∂xk

)δi j −⟨v ′

i v ′k⟩

∂⟨v j ⟩∂xk

δi j − ∂⟨vi ⟩∂xk

⟨v ′k v ′

j ⟩δi j−

−∂(⟨v ′k v ′

i v ′j ⟩)

∂xkδi j − 1

ρ

⟨v ′

i∂p ′∂x j

+ ∂p ′∂xi

v ′j

⟩δi j−

−2ν

⟨∂v ′

i∂xk

∂v ′j

∂xk

⟩δi j

∂⟨u′i u′

i ⟩∂t + ∂(⟨vk ⟩⟨v ′

i v ′i ⟩)

∂xk= ν ∂

∂xk

(∂⟨v ′

i v ′i ⟩

∂xk

)−⟨v ′

i v ′k⟩

∂⟨vi ⟩∂xk

− ∂⟨vi ⟩∂xk

⟨v ′k v ′

i ⟩︸ ︷︷ ︸Simétrico.

−

−∂(⟨v ′k v ′

i v ′i ⟩)

∂xk− 1

ρ

⟨v ′

i∂p ′∂xi

+ ∂p ′∂xi

v ′i

⟩−

−2ν

⟨∂v ′

i∂xk

∂v ′i

∂xk

⟩

∂(2κ)∂t + ∂(⟨vk ⟩2κ)

∂xk= ν ∂

∂xk

(∂(2κ)∂xk

)−2∂⟨vi ⟩

∂xk⟨v ′

k v ′i ⟩−

−∂(⟨v ′k v ′

i v ′i ⟩)

∂xk− 2

ρ

⟨v ′

i∂p ′∂xi

⟩−

−2ν

⟨(∂v ′

i∂xk

)2⟩(2.48)

encontrando-se, assim, a equação de transporte da κ.

∂κ∂t +∇· (⟨v⟩κ) = ν∇2κ−∇⟨v⟩ : ⟨v′v′⟩︸ ︷︷ ︸

P

−

−12∇· ⟨v′(v′ ·v′)⟩− 1

ρ⟨v′ ·∇p ′⟩︸ ︷︷ ︸Π

−

−ν⟨∇v′ : ∇v′⟩︸ ︷︷ ︸ε

(2.49)

∂κ

∂t+∇· (⟨v⟩κ) = ν∇2κ+P− 1

2∇·⟨v′(v′ ·v′)+Π−ε (2.50)

A interpretação dos termos de produção, dissipação, advecção turbulenta e gradiente-velocidade-

pressão possuem significados análogos às suas versões tensoriais.

24

Usualmente a equação de κ é reescrita da seguinte forma:

∂κ

∂t+∇· (⟨v⟩κ) =−∇·T′+P−ε (2.51)

onde T′, eq. 2.52, é o fluxo de energia turbulenta.

T′ =⟨

1

2v′(v′ ·v′)+v′

p ′

ρ+ν∇κ

⟩(2.52)

2.3 Problema de fechamento

As equações que descrevem os campos de velocidade e pressão médios, eq. 2.33 e 2.36,

possuem um novo conjunto de incógnitas, quando comparadas com as equações instantâneas

2.26 e 2.27. Isto ocorre devido ao surgimento do tensor de Reynolds, ⟨v′v′⟩. O sistema fica

com dez incógnitas, uma de pressão, as três de velocidade e os seis componentes de ⟨v′v′⟩.Porém, com apenas quatro equações, uma para o transporte de massa médio e outras três

para o transporte de momento linear médio, inviabiliza-se a obtenção de uma solução. O

surgimento das tensões de Reynolds ocasionam o chamado problema do fechamento.

Isto implica que é necessário um esforço para modelar o tensor, propondo novas equações

para que este sistema se feche. Antes de escrever sobre os principais modelos existentes

na literatura, faz-se necessário enunciar a principal hipótese que os norteia, a hipótese de

J.Boussinesq (1877).

A seguir, serão discutidos os principais modelos de fechamento. Sua classificação está

vinculada com o número de equações de transporte propostas.

2.3.1 Hipótese de Boussinesq

Similar à equação constitutiva dos fluidos newtonianos, para escoamentos incompressí-

veis, onde a parte deviatória do tensor das tensões T é modelado como

Tdev ≡ 2νD (2.53)

25

sendo D o tensor taxa de deformação. A hipótese de Boussinesq descreve a parte deviatórica

das tensões de Reynolds como sendo também linearmente proporcionais à taxa de deforma-

ção média do escoamento,

⟨v′v′⟩dev ≡ 2νT ⟨D⟩ (2.54)

onde νT é uma viscosidade turbulenta. Ao contrário da viscosidade molecular usual, ν,

que é uma propriedade do material, a viscosidade turbulenta está relacionada com o quão

turbulento o escoamento se encontra. Então, não é razoável supor que esta seja, a priori,

constante como a molecular. Logo, a descrição de νT (x, t ) se faz necessário nas modelagens.

2.3.2 Modelos a zero equações

Esta classe de modelos, como o nome sugere, não oferece equações de transporte extras.

Ao invés disto, modela-se diretamente a viscosidade turbulenta,

νT ≡ l 2m

∣∣∣∣∂⟨v⟩∂y

∣∣∣∣ (2.55)

onde y é uma direção normal a parede.

A ideia do modelo é dimensionalmente compor uma viscosidade turbulenta. Ou seja,

sabendo de antemão que a dimensão da viscosidade é comprimento ao quadrado por tempo,

pode-se compor νT através da multiplicação de um comprimento turbulento característico

e uma velocidade turbulenta característica. Neste caso, o comprimento característico em

questão é o comprimento de mistura, lm . Este corresponde ao livre caminho médio,

que pode ser entendido como a distância média que um turbilhão percorre até se chocar

com outro. Turbilhões são estruturas circulatórias presentes em escoamentos turbulentos,

normalmente ocasionados quando o escoamento passa por algum obstáculo ou por outras

correntes de fluido. A velocidade característica turbulenta é composta pelo produto de lm

com a norma da derivada direcional da velocidade média em relação a uma direção normal

a parede (y), lm

∣∣∣∣∂⟨v⟩∂y

∣∣∣∣.Uma outra opção de modelo foi proposta por Smagorinsky, onde muda-se a definição da

26

velocidade característica turbulenta. Esta agora passa a ser construída com o tensor taxa de

deformação médio, lm

√2tr (⟨D2⟩). Logo, o modelo é

νT ≡ l 2m

√2tr (⟨D2⟩). (2.56)

A principal dificuldade acerca destes modelos está vinculada à quantificação deste com-

primento de mistura. Uma vez que, segundo Bacchi (2009), a própria definição de turbilhão

ainda não é algo bem definida no meio acadêmico.

2.3.3 Modelos a uma equação

O modelo a uma equação é assim chamado pelo fato de utilizar a equação de transporte

de κ, eq. 2.51, além das equações médias de balanço de massa e momento linear.

Novamente, define-se νT como sendo o produto do comprimento turbulento caracterís-

tico lm e uma velocidade turbulenta característica, agora definida em função de κ. E, por

isto, a necessidade da equação de transporte extra. A viscosidade turbulenta é então definida

como

νT ≡ clmpκ (2.57)

onde c é um adimensional a determinar.

Porém, o fluxo de energia turbulenta, eq. 2.52, e a dissipação turbulenta, ε, da equação

de transporte de κ também necessitam de modelagem para que se resolva o problema do

fechamento. Um exemplo de modelagem usual para o fluxo de energia turbulenta T′ é

T′ ≡−νT

σκ∇κ (2.58)

sendo σκ um fator de correção. Esta relaciona T′ ao gradiente de κ, tornando este termo uma

espécie de difusão turbulenta.

O mesmo problema observado nos modelos a zero equações é vislumbrado aqui. O uso

do comprimento de mistura. Este, no geral, não pode ser usado para dois problemas distintos.

27

Pois os turbilhões variam, por exemplo, de uma geometria por onde passa o escoamento, para

outra. Tornando tais modelos incompletos. O desenvolvimento dos modelos a duas equações

é uma alternativa para se contornar tal problemática.

2.3.4 Modelos a duas equações

A alternativa encontrada para o uso do comprimento de mistura é a redefinição da vis-

cosidade turbulenta em termos da energia cinética turbulenta κ e da dissipação tuburlenta ε,

Launder and Jones (1972). E, por conta disto, se faz necessário as equações de transporte

para ambas. Este é o modelo κ-ε, o qual descreve a viscosidade como

νT ≡Cµκ2

ε(2.59)

onde Cµ é um parâmetro adimensional a determinar.

Em relação ao tratamento da equação de transporte de κ, a definição de T′ é a mesma

feita anteriormente. Logo, o transporte da energia cinética turbulenta é

∂κ

∂t+∇· (⟨v⟩κ) =∇·

(νT

σκ∇κ

)+P−ε (2.60)

A equação de transporte para a dissipação turbulenta é usualmente modelada da seguinte

forma

∂ε

∂t+∇· (⟨v⟩ε) =∇·

(νT

σε∇ε

)+Cε1

P

κ−Cε2

ε2

κ(2.61)

onde Cε1 e Cε2 são adimensionais a serem determinados.

A determinação destes adimensionais foi resultado do levantamento de dados de vários

tipos de escoamentos diferentes. Seus valores usuais são descritos na tabela 2.1.

Tab. 2.1: Valores dos adimensionais para o modelo κ-ε.

Cµ σκ σε Cε1 Cε2

0.09 1.00 1.30 1.44 1.92

28

Um modelo alternativo muito difundido é o modelo κ-ω, Wilcox (1988), onde

ω≡ κ

ε. (2.62)

A ideia é definir a viscosidade turbulenta em termos de κ e ω, da seguinte forma.

νT ≡ κ

ω(2.63)

Sendo assim, no lugar de uma equação de transporte para a dissipação turbulenta, propõe-

se uma equação de transporte para ω de maneira similar.

∂ω

∂t+∇· (⟨v⟩ω) =∇· ((ν+σνT )∇ω)+αPω

κ−βω2 (2.64)

E a equação de transporte da energia cinética turbulenta é reescrita

∂κ

∂t+∇· (⟨v⟩κ) =∇· ((ν+σ∗νT )∇κ)+P−β∗κω (2.65)

Os valores dos adimensionais que melhor descrevem o modelo, oriundos de levantamen-

tos de diversos escoamentos são observados na tabela 2.2.

Tab. 2.2: Valores dos adimensionais para o modelo κ-ω.

α β β∗ σ σ∗59

360

9100

12

12

2.3.5 Modelo de retorno à isotropia

Até então, tense dissertado a respeito de modelos explícitos do tensor de Reynolds, hi-

pótese de Boussinesq. Porém, há uma alternativa à esta abordagem explícita, a modelagem

da sua equação de transporte, 2.47. O primeiro modelo desta classe foi proposto por Rotta

(1951). No caso, este descreve a evolução da parte deviatórica do tensor de Reynolds.

∂⟨v′v′⟩dev

∂t+⟨v⟩ ·∇⟨v′v′⟩dev ≡−(CR −1)

ε

κ⟨v′v′⟩dev (2.66)

29

onde CR é a constante de Rotta a determinar. Como esta constante é maior do que a unidade,

a equação a cima mostra um decrescimento da parte deviatórica das tensões de Reynolds, por

isso o nome de retorno à isotropia.

2.4 Simulação Numérica Direta (DNS)

Até então, discutiu-se abordagens para a solução das equações médias do escoamento.

Para tal, vários modelos foram propostos para atender esta necessidade. No entanto, também

é possível a solução direta das equações aleatórias de balanço de massa e momento linear.

Onde, o resultado obtido são configurações de campos de pressão e de velocidade resultantes

de uma perturbação induzida no início da simulação. A ideia é resolver esses campos com

alto grau de refino de malha, para que o máximo de detalhes acerca da turbulência sejam

revelados em detalhes.

Porém, o DNS, quando comparado com os modelos anteriores, possui altíssimo custo

computacional devido à grande precisão e acurácia exigida pelo mesmo.

A questão central da simulação direta é o quão refinada a malha precisa ser para que

todos os detalhes do escoamento turbulento sejam capturados. Para tal, conceitos como a

cascata de energia e as hipóteses de Kolmogorov são necessários.

2.4.1 Cascata de energia

Richardson (1922), em seu trabalho sobre turbulência, percebeu que tais tipos de escoa-

mento apresentam diversas escalas de turbilhões. Percebeu que as mesmas são de natureza

extremamente instável, pois tendem a se desmembrar. Porém, percebe-se que este desmem-

bramento dava origem a estruturas turbilhonares menores. Estas estruturas menores seguiam

o mesmo padrão de quebra, de tal maneira que o escoamento como um todo tende a for-

mação de estruturas com escalas cada vez menores, onde estas tem como origem estruturas

maiores que foram decompostas. Porém, tal processo possui um limite inferior. Ou seja,

escalas mínimas cujas decomposições não geram novas estruturas.

Richardison então conjecturou que esta quebra de turbilhões em outros turbilhões me-

nores se dá por via transferência de energia das maiores estruturas para as menores. Esta

30

transferência energética dos maiores turbilhões para os menores é conhecida como cascata

de energia. Esta se mantem até o ponto em que, nas menores escalas possíveis, a dissipação

turbulenta ε=−ν⟨∇T v′ : ∇v′⟩ transforma a energia contida na pequena estrutura em energia

térmica.

A fig. 2.3 mostra o funcionamento do mecanismo da cascata de energia. Onde os grandes

vórtices são formados a partir de uma injeção inicial de energia e, com o tempo, a energia

desses grandes vórtices vai sendo redistribuída para a formação de menores vórtices até o

ponto em que a dissipação turbulenta consegue converter toda a energia das menores escalas

em energia térmica.

Injeção de energia

Cascata de energia

Dissipação de energia

Fig. 2.3: Cascata de energia.

2.4.2 As hipóteses de Kolmogorov

A partir das ideias de Richardson, Kolmogorov (1941) postulou importantes hipóteses

acerca dos escoamentos turbulentos de fluidos Newtonianos incompressíveis. Kolmogorov

baseou-se na ideia de que a menor escala turbilhonar, onde ocorre a dissipação viscosa que

transforma energia cinética em energia térmica, depende apenas da energia cinética turbu-

lenta (κ) e da dissipação (ε).

Sua primeira hipótese diz que na escala onde ocorre a dissipação, a turbulência é iso-

trópica. Pois a partir desta escala perde-se completamente a informação vinda das escalas

31

maiores. O tamanho da escala onde este fenômeno começa é lE I . A menor escala que o

escoamento atinge é aquela onde as forças viscosas se equiparam com as inerciais, ou seja,

número de Reynolds igual a um. Haja vista que, como já foi dito anteriormente, as menores

escalas são aquelas onde a dissipação turbulenta converte a energia cinética média em ener-

gia térmica. E este termo tem a ver com a viscosidade do escoamento, ε = −ν⟨∇T v′ : ∇v′⟩.Diante disto, definem-se os seguintes comprimento, tempo e velocidades característicos do

escoamento turbulento turbulento:

η≡(ν3

ε

) 14

(2.67a)

τη ≡(ν

ε

) 12

(2.67b)

uη ≡ (νε)14 (2.67c)

Perceba que, ao calcular o número de Reynolds usando as eqs. 2.67 encontra-se Reη = 1.

A sua segunda hipótese diz respeito a existência de uma escala lD I situada entre a menor

escala η, e a escala de isotropia lE I , η< lD I < lE I . Onde, entre η e lD I ter-se-ia a subcamada

viscosa, região onde as forças viscosas tornam-se significativas. E, entre lD I e lE I ter-se-ia

a subcamada inercial, região isotrópica onde as forças inerciais ainda são preponderantes

devido ao alto número de Reynolds do escoamento.

As simulações DNS precisam ter um refino de malha menor ou igual a menor escala

turbulenta, para que esta consiga capturar todas as estruturas. Para se definir o nível de

refino de malha e o passo de tempo desta classe de simulações de acordo com o número

de Reynolds que define um dado escoamento, faz-se a análise dimensional da dissipação

turbulenta a partir de uma velocidade e comprimentos característicos das grandes escalas,

32

obtendo-se:

ε∼ u30

l0. (2.68)

Lançando-se mão da análise dimensional de ε, calcula-se a razão entre os comprimentos

e tempos característicos entre as maiores e menores escalas turbilhonares.

η

l0∼

(ν3

ε

) 14 1

l0∼

(ν3l0

u30

) 14 1

l0∼

(ν

l0u0

) 34

∼ Re− 3

40 (2.69a)

τη

τ0∼

(ν

ε

) 12 u0

l0∼

(νl0

u30

) 12 u0

l0∼

(ν

l0u0

) 12

∼ Re− 1

20 (2.69b)

Os resultados anteriores mostram que o refino de malha e o passo temporal de simulação

diminuem a medida que o número de Reynolds associado ao escoamento aumenta. Ou seja,

o custo computacional aumenta consideravelmente com grandes valores de Re0. Isto justifica

a inviabilidade de simulação para geometrias complexas e/ou altos números de Reynolds.

2.5 Hipótese da ergodicidade

Para lidar com as equações que descrevem a evolução de um escoamento newtoniano e

incompressível, faz-se necessário, a priori, as funções de distribuição de probabilidades dos

campos de velocidade e pressão. Ambas, num caso geral, variam espacialmente e tempo-

ralmente como já fora dito na sessão anterior. A obtenção destas funções é inviável, uma

vez que estas descrevem infinitas possibilidades de configuração que estes campos podem

assumir. A obtenção destas estatísticas torna-se, então, um problema.

Lança-se mão da hipótese da ergodicidade para contorná-lo. Mas, para explicá-la, antes

é necessário o conhecimento de outros tipos de média. A mais famosa é a média amostral,

definida como

⟨U (x, t )⟩N ≡ 1

N

N∑n=1

U(n)(x, t ) (2.70)

33

onde N é o número total de experimentos realizados. Em cada um dos N experimentos

foram medidos valores diversos de U (x, t ), sendo este uma variável aleatória.

Uma outra média importante é a temporal, definida como

⟨U (x, t )⟩T ≡ 1

T

∫ t+T

tU(n)(x, t ′)d t ′ (2.71)

onde T é um intervalo de tempo de evolução do sistema até um instante de interesse. Pode-

se interpretar cada configuração, em cada instante de tempo, como um experimento. E a

integral como sendo o somatório desses valores obtidos em cada um desses experimentos

infinitesimalmente espaçados no tempo.

Perceba que ambas as médias, amostral e temporal, não são valores estocásticos. Pois,

uma variação de N ou T impacta em seus valores. Logo, ainda são variáveis aleatórias.

Porém, são acessíveis, ao contrário da média estocástica.

A hipótese da ergodicidade conecta a média estocástica, largamente utilizada nas deri-

vações das equações de transporte médias, às médias aleatórias. Como pode ser visto nas

equações 2.72.

⟨U (x, t )⟩ = limN→∞

1

N

N∑n=1

U(n)(x, t ) (2.72a)

⟨U (x, t )⟩ = limT→∞

1

T

∫ t+T

tU(n)(x, t ′)d t ′ (2.72b)

A hipótese da ergodicidade diz que, para espaços amostrais infinitamente grandes, ou para

tempos infinitamente longos, as médias amostral e temporal tenderão para a média estocás-

tica.

As estatísticas acerca de um escoamento turbulento podem, então, ser levantadas a par-

tir de uma simulação hiper precisa, como as realizadas pelo método DNS. A cada passo

de tempo de simulação, a média temporal dos campos instantâneos é atualizada. A simu-

lação cessa no momento em que estas estatísticas convergem. As estatísticas convergirem

34

com o tempo correspondem a um regime estatisticamente estacionário, pois estas param de

variar com o mesmo. Porém, regime estatisticamente estacionário não implica em regime

estacionário do escoamento instantâneo, pois estes ainda podem estar transientes.

O levantamento dessas estatísticas possui alto custo computacional, pois tais simulações

de alto desempenho que resolvem os campos instantâneos são demoradas. Também há a

limitação deste método apenas resolver geometrias simples para escoamentos com número

de Reynolds baixos. Impossibilitando assim o levantamento das estatísticas de escoamentos

mais complexos. Segundo Alves (2014) e Thompson et al. (2016), a convergência das es-

tatísticas advindas de muitos DNS presentes na literatura é questionável, pois constatou-se

que os resíduos estatísticos das simulações propagam-se mais do que o esperado. Fazendo

com que haja erros significativos nos campos de tensores de Reynolds. Isto foi constatado ao

se reconstruir os campos de velocidade média usando os tensores de Reynolds oriundos dos

DNS e, comparando esses campos de velocidade calculados com os fornecidos pela própria

simulação direta.

Os campos estatísticos calculados via DNS são importantes para o desenvolvimento de

modelos que resolvam as equações de trannsporte médias, pois servem como uma base de

dados nobre para a elaboração de tais modelos.

3 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS

No presente trabalho, serão pós-processados os campos estatísticos advindos dos três

DNS desenvolvidos por Kasagi et al. (1992). São disponibilizados o campo de velocidade

médio, a malha e todos os coeficientes dos tensores que compõe a equação de transporte do

tensor de Reynolds. Os DNS foram disponibilizados na base de dados da ercoftac (1992).

Tratam-se de três escamentos de Couette-Poiseuille turbulentos e completamente desenvol-

vidos. O escoamento se dá entre duas placas infinitas e paralelas, distantes de uma altura

2δ uma da outra. A placa superior move-se na direção x com uma velocidade prescrita Uw ,

enquanto a placa inferior se encontra parada. Este também está sob efeito de um gradiente

de pressão prescrito ∂p∂x . O desenho esquemático dos escoamentos analisados pode ser visto

na fig. 3.1.

Os escoamentos são estatisticamente permanentes e desenvolvidos na direção x e z, fa-

zendo com que as estatísticas dos DNS apenas variem na direção y . A origem, (y = 0),

encontra-se na placa inferior de velocidade nula.

z x

y

Uw

2δd pd x < 0

Fig. 3.1: Escoamento de Couette-Poiseuille.

Dois parâmetros adimensionais definem os DNS, o número de Reynolds Uwδν e o gradi-

ente de pressão adimensionalizado δρU 2

w

∂p∂x . Os valores referentes a cada uma das simulações

35

36

pode ser vista na tabela 3.1.

Tab. 3.1: Parâmetros dos DNS.

DN S1 DN S2 DN S3

Rew = Uwδν 1800 2645 3000

−∂p∂x

∣∣∣∣adm

=− δρU 2

w

∂p∂x 4.34e −03 1.86e −03 1.33e −03

3.0.1 Métodos numéricos

A equação de governo usada por Kasagi et al. (1992) é de quarta ordem para a velocidade,

esta foi derivada de Navier-Stokes incompressível e da equação da continuidade.

Para a discretização nas direções x e z foi usado o método espectral, e na direção y

utilizou-se polinômios de Chebyshev de ordem 96. Os termos não lineares são calculados

para malhas 1.5 vezes mais finas em cada direção. O espaçamento da malha é dado por

0,123δ e 0,491δ nas direções x e z, e de 0,00054δ e 0,03300δ na direção y .

O método de marcha no tempo usado foi Adam-Bashforth de segunda ordem para os

termos não lineares, e Crank-Nicolson para o termo viscoso.

Os critérios para o estado estacinário utilizados foram perfil linear de tensão total e com-

portamento estacionário para o campo de velocidades médio e variâncias das três compo-

nentes de velocidade.

O computador utilizado foi o HITAC-S820/80 o Centro de Computação da Universidade

de Tokio. O tempo computacional foi de aproximadamente 4,0tC PU /t .

3.0.2 Campos de velocidade média e tensões de Reynolds.

Os campos estatísticos estão adimensionalizados nas chamadas coordenadas de parede,

ou seja, usa-se como velocidade de referência a velocidade de fricção vτ definida como,

uτ ≡√τw

ρ. (3.1)

37

onde τw é a tensão de fricção da parede inferior, em y = 0, definido abaixo.

τw ≡µ∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

(3.2)

Lançando-se mão das definições supracitadas, definem-se, abaixo, as coordenadas de

parede y+

y+ ≡ uτν

y, (3.3)

e a velocidade de parede u+

u+ ≡ u

uτ. (3.4)

Caso não houvesse turbulência, o escoamento instantâneo seria igual ao escoamento mé-

dio, pois o campo de tensões de Reynolds seria nulo. Sendo assim, caso não houvesse

turbulência, a solução seria dada pela equação 3.5.

u+(y+) = 1

2

(Re2w )

(Reτ f )3(y+)2 +

(1

2

Rew

(Reτ f )2− (Rew )2

(Reτ f )2

∂p

∂x

∣∣∣∣adm

)y+ (3.5)

onde Reτ f é o número de Reynolds calculado para a velocidade de fricção da parede fixa,

como pode ser visto abaixo.

Reτ f ≡uτ f δ

ν(3.6)

Na fig. 3.2, visualizam-se os campos de velocidade referentes aos três DNS, onde os cam-

pos médios estão plotados em coordenadas de parede. Comparam-se os campos turbulentos

obtidos com as suas respectivas soluções analíticas do escoamento de Couette-Poiseuille,

caso não houvesse turbulência.

38

0 20 40 60

u+

0

100

200

300

y+

DNS1 Laminar - DNS1

(a) DN S1.

0 20 40 60

u+

0

100

200

300

y+

DNS2 Laminar - DNS2

(b) DN S2.

0 25 50

u+

0

100

200

300

y+

DNS3 Laminar - DNS3

(c) DN S3.

Fig. 3.2: Campos de velocidade laminar versus turbulento.

0 100 200 300

y+

0

2.5

5

7.5 〈u′2〉〈v′2〉〈w′2〉〈u′v′〉

(a) DN S1

0 100 200 300

y+

0

2.5

5

7.5 〈u′2〉〈v′2〉〈w′2〉〈u′v′〉

(b) DN S2

0 100 200 300

y+

0

2.5

5

7.5 〈u′2〉〈v′2〉〈w′2〉〈u′v′〉

(c) DN S3

Fig. 3.3: Componentes do tensor de Reynolds.

39

As curvas da fig. 3.2 revelam uma característica fundamental do efeito de um regime

turbulento sobre um dado escoamento. A turbulência presente nos escoamentos entre placas

paralelas provoca um achatamento no perfil parabólico de velocidades. Isto ocorre porque

uma das características fundamentais de regimes turbulentos é a maximização da difusão.

Esta maximização da difusão faz com que as velocidades médias associadas a tal escoamento

sejam diminuídas.

Observam-se, na fig. 3.3, as componentes das tensões de Reynolds. Segundo Pope

(2000), a medida que se afasta das placa estática inferior até o fim da região viscosa, y+ ≈ 50,

⟨u′2⟩ e ⟨w ′2⟩ aumentam a partir do valor zero na placa fixa. Enquanto que ⟨v ′2⟩ também

cresce, porém à uma taxa menor quando comparado com as outras tensões normais de Rey-

nolds. A tensão cisalhante ⟨u′v ′⟩ também aumenta de magnitude dentro da região viscosa,

porém, ao contrário das demais, esta é negativa. Ao passar desta região viscosa, todos os

componentes diminuem de magnitude até chegar na placa móvel, onde retornam ao valor

nulo.

3.0.3 Componentes dos tensores da equação de transporte do tensor de Reynolds

Passa-se a analisar os componentes dos demais tensores que compõe o transporte do ten-

sor de Reynolds, figs. 3.4 à 3.7. Segundo Pope (2000), o tensor produção turbulenta apenas

atua no ganho de tensão normal ⟨u′2⟩, fig 3.4. Além do fato de, comparado aos demais ter-

mos, ser a fonte de ganho mais proeminente. Em relação às demais tensões normais de Rey-

nolds, o tensor gradiente-velocidade-pressão assume o protagonismo de principal fonte, figs.

3.5 e 3.6. Porém, uma parcela deste tensor redistribuiu energia do componente ⟨u′2⟩ para as

demais tensões normais. Este comportamento pode ser melhor analisado ao decompô-lo da

seguinte maneira:

Π = − 1ρ

⟨v′∇p ′+∇p ′v′

⟩= − 1

ρ

⟨v′∇· (p ′I)+∇· (p ′I)v′

⟩

40

Π=⟨

p ′

ρ(∇T v′+∇v′)

⟩︸ ︷︷ ︸

R

−∇·⟨

p ′

ρ(Iv′+v′I)

⟩︸ ︷︷ ︸

T(p)

(3.7)

onde o termo R é conhecido como tensor pressão-taxa de deformação, e T(p) como tensor

transporte de pressão. Para entender o efeito que o tensor R exerce sobre as tensões normais

de Reynolds, calcula-se seu traço.

Tr (R) = Tr

(⟨p ′ρ

(∇T v′+∇v′)⟩)

=⟨

p ′ρ

(∂v ′

i∂xi

+ ∂v ′i

∂xi

)⟩=

⟨p ′ρ

(2 ∇·v′︸︷︷︸=0, eq. 2.34.

)

⟩

Tr (R) = 0 (3.8)

Sendo R deviatórico, então pode-se escrever

−R11 =R22 +R33. (3.9)

Logo, uma taxa de remoção de energia de ⟨u′2⟩ implica em uma taxa de adição de ⟨v ′2⟩ e

⟨w ′2⟩ por este tensor.

Na fig. 3.7 observa-se um balanço entre os componentes do tensor gradiente-velocidade-

pressão e o tensor produção turbulenta. Ao contrário do que é visto nas tensões normais de

Reynolds, a dissipação turbulenta não influencia tanto.

Fica evidente que Π possui grande importância na equação de transporte do tensor de

Reynolds, pois atua com destaque em todos os componentes analisados.

Spalart (1988) constatou comportamentos similares ao fazer um DNS similar a estes, mas

com formação de camada limite ao longo da direção x. Por mais que haja termo advectivo

médio, os componentes dos tensores analisados possuem comportamento similar.

41

0 100 200 300

y+

−0.25

0

0.25

0.5

(a) DN S1

0 100 200 300

y+

−0.25

0

0.25

0.5

(b) DN S2

0 100 200 300

y+

−0.25

0

0.25

0.5

Dissipacao turbulenta.

Producao turbulenta.

Adveccao turbulenta.

Gradiente-velocidade-pressao.Difusao.

(c) DN S3

Fig. 3.4: Componentes xx.

0 100 200 300

y+

−0.01

0

0.01

0.02

(a) DN S1

0 100 200 300

y+

−0.01

0

0.01

0.02

(b) DN S2

0 100 200 300

y+

−0.01

0

0.01

0.02

Dissipacao turbulenta.

Producao turbulenta.

Adveccao turbulenta.

Gradiente-velocidade-pressao.Difusao.

(c) DN S3

Fig. 3.5: Componentes y y .

42

0 100 200 300

y+

−0.1

−0.05

0

0.05

(a) DN S1

0 100 200 300

y+

−0.1

0

0.1

(b) DN S2

0 100 200 300

y+

−0.1

0

0.1Dissipacao turbulenta.

Producao turbulenta.

Adveccao turbulenta.

Gradiente-velocidade-pressao.Difusao.

(c) DN S3

Fig. 3.6: Componentes zz.

0 100 200 300

y+

−0.05

0

0.05

(a) DN S1

0 100 200 300

y+

−0.05

0

0.05

(b) DN S2

0 100 200 300

y+

−0.05

0

0.05 Dissipacao turbulenta.

Producao turbulenta.

Adveccao turbulenta.

Gradiente-velocidade-pressao.Difusao.

(c) DN S3

Fig. 3.7: Componentes x y .

43

3.0.4 Lei de parede e a Camada interna

Ao plotar os campos de velocidade pondo o eixo definido por y+ em escala logarítmica

revelam-se três regiões bem definidas do escoamento entre placas paralelas. Como pode ser

0.1 5 30 200 1000

y+

0

10

20

u+ −DNS1

u+ −DNS2

u+ −DNS3

u+ = y+

u+ = 1κ ln y+ + C+

Fig. 3.8: Camada interna.

visto na fig. 3.8, existe uma primeira região confinada entre y+ = 0 e y+ ≈ 5 onde os campos

de velocidade são aproximadamente iguais à y+. Esta subcamada chama-se subcamada

viscosa.

Outra região bem definida é a compreendida entre y+ ≈ 30 e y+ ≈ 200. Nesta, os campos

de velocidade obedecem a uma lei de parede que diz que u+ possui uma relação funcional

logarítmica com y+, eq. 3.10, por isso recebe o nome de subcamada logarítimica.

u+ ≡ 1

κln y++C+ (3.10)

onde κ é a constante de Von Kármán, κ ≈ 0.41. E C+ é uma constante com o valor de

C+ ≈ 5.0.

A região de transição entre as duas subcamadas bem definidas é conhecida como subca-

mada amortecida. É nela que o campo de velocidade muda de relação funcional em reação

à y+.

4 DECOMPOSIÇÃO TENSORIAL

O conjunto dos tensores de segunda ordem simétricos compõe um espaço vetorial mu-

nido de produto interno. Sendo assim, o produto interno entre um tensor de sefunda ordem

A = Ai j e j e j e o tensor de segunda ordem B = Blm el em é:

⟨A,B⟩ ≡ A : B ≡ Ai j Bi j (4.1)

Segundo Thompson (2008), define-se então um tensor ΦBA que possui a seguinte proprie-

dade

ΦBA : B = 0. (4.2)

Decompõe-se o tensor A da seguinte maneira:

A =ΦBA + ΦB

A. (4.3)

Logo, pela eq. 4.2, chega-se na seguinte igualdade:

A : B =ΦBA : B+ ΦB

A : B︸ ︷︷ ︸=0,4.2

.

A : B =ΦBA : B (4.4)

Pela equação 4.4, conclui-se que a parte em fase do tensor A com o tensor B, tensor ΦBA,

é uma parcela de A que conserva seu produto interno com B.

44

45

Para analisar quem é ΦBA, passa-se a analisar o produto interno entre A e B com ambos

escritos na base de B . Ou seja, A = ABi j eB

j eBj e B =

3∑l=1

λBl eB

l eBl , onde λB

l são os auto-valores

de B e eBl seus auto-vetores.

A : B = ABi j eB

i eBj :

3∑l=1

λBl eB

l eBl =

3∑l=1

ABl lλ

Bl

A : B =3∑

l=1AB

llλBl (4.5)

Percebe-se que apenas os elementos da diagonal principal do tensor A, escrito na base de B,

influem no cálculo do produto interno (ABll ). Sendo assim, define-se ΦB

A em cima disto. Para

extrair apenas esta parte do tensor A, define-se a seguinte transformação:

3∑l=1

eBl eB

l eBl eB

l : A =3∑

l=1eB

l eBl eB

l eBl : AB

i j eBi eB

j =3∑

l=1AB

ll eBl eB

l

Sendo3∑

l=1eB

l eBl eB

l eBl um tensor de quarta ordem R, definido pelos auto-vetores de B. Ao

efetuar o produto interno entre R : A e B,

(R : A) : B =3∑

l=1AB

ll eBl eB

l :3∑

l=1λB

l eBl eB

l =3∑

l=1AB

llλBl︸ ︷︷ ︸

Eq. 4.5

= A : B

(R : A) : B = A : B (4.6)

Pela equação 4.6, nota-se que o tensor R : A conserva o produto interno de A com B. Logo,

pela eq. 4.4, conclui-se que:

ΦBA =R : A (4.7)

A primeira propriedade de ΦBA =

3∑l=1

ABll eB

l eBl é a coaxialidade com o tensor B, uma vez que

46

possuem os mesmos auto-vetores. A segunda propriedade é a ortogonalidade com a parte de

A fora de fase com B, como é demonstrado abaixo.

ΦBA : ΦB

A︸︷︷︸Eq. 4.3.

=ΦBA : A−ΦB

A :ΦBA =

3∑l=1

ABl l eB

l eBl : AB

i j eBi eB

j −3∑

l=1AB

l l eBl eB

l :3∑

l=1AB

ll eBl eB

l =3∑

l=1AB

l l ABll−

3∑l=1

ABll AB

l l = 0

ΦBA : ΦB

A = 0 (4.8)

Em suma, a decomposição A =ΦBA + ΦB

A gera duas parcelas ortogonais entre si, onde ΦBA

é coaxial ao tensor B, e ΦBA é ortogonal ao tensor B.

Porém, ΦBA ainda pode ser decomposto em uma parte ortogonal a B e em outra não orto-

gonal. Para tal, observa-se a seguinte decomposição:

A ≡ ξB+A⊥B (4.9)

sendo

A⊥B : B ≡ 0 (4.10)

A eq. 4.9 revela uma segunda possibilidade de decomposição em parcelas ortogonais, pois,

por definição, A⊥B é ortogonal à ξB uma vez que o mesmo é ortogonal à b. Calcula-se o

valor de ξ que satisfaz esta condiçao.

A : B = ξB : B+ A⊥B : B︸ ︷︷ ︸=0, eq. 4.10.

ξ= A : B

B : B(4.11)

47

Como ξB é coaxial à B, então pode-se reescrever ΦBA como

ΦBA = ξB+ΠB

A (4.12)

ComoΠBA é uma combinação linear de tensores coaxiais à B, logo este também é. Calculando-

se o produto interno entre ΠBA e B

ΠBA : B =ΦB

A : B︸ ︷︷ ︸Eq. 4.4.

− ξ︸︷︷︸Eq.4.11.

B : B = A : B− A : B

B : BB : B = A : B−A : B = 0

ΠBA : B = 0 (4.13)

Chegando-se a conclusão de que ΠBA é tanto coaxial à B quanto ortogonal ao mesmo. Perceba

que isto não é possível para espaços vetoriais de tensores de primeira ordem.

A decomposição do tensor A em relação ao tensor B em sua forma mais geral é:

A = ξB+ΠBA + ΦB

A (4.14)

Onde as três parcelas são ortogonais entre si.

5 TENSOR PERSISTÊNCIA À DEFORMAÇÃO (P)

Segundo Thompson and Mendes (2005), ao se derivar temporalmente o tensor taxa de

deformação na base de seus auto-vetores, D =3∑

l=1λD

l eDl eD

l , obtém-se:

D =3∑

l=1λD

l eDl eD

l +3∑

l=1λD

l˙eD

l eDl +

3∑l=1

λDl eD

l˙eD

l (5.1)

Como3∑

l=1λD

l eDl eD

l é coaxial à D (possuem os mesmos auto-vetores), então

ΦDD =

3∑l=1

λDl eD

l eDl (5.2)

Admitindo que os auto-vetores evoluem segundo a seguinte regra

˙eDl ≡ΩD

l m eDm (5.3)

sendo ΩD um tensor antissimétrico chamado taxa de rotação dos auto-vetores de D.

Aplicando esta definição as eqs. 5.2 e 5.3 na eq. 5.1

D = ΦDD+

3∑l=1

λDl Ω

Dj m eD

m eDl +

3∑l=1

λDl eD

l ΩDj m eD

m︸ ︷︷ ︸ΩD é antisimétrico.

D−ΦDD

=3∑

l=1λD

l ΩDj m eD

m eDl −

3∑l=1

λDl eD

l eDmΩ

Dm j

ΦDD

= −(D ·ΩD −ΩD ·D)

48

49

soma-se em ambos os lados da equação (D ·W−W ·D)

ΦDD+ (D ·W−W ·D) = (D ·W−W ·D)− (D ·ΩD −ΩD ·D)

ΦDD+ (D ·W−W ·D) = (D ·W−W ·D)

sendo W a vorticidade relativa, ou seja, a vorticidade do fluido descontada da rotação dos

auto-vetores de D.

O tensor D·W−W·D é chamado de tensor persistência à deformação P. Ele é simétrico

e pode ser escrito definido de duas maneiras:

P ≡ D ·W−W ·D (5.4a)

P ≡ ΦDD + (D ·W−W ·D) (5.4b)

Escrevendo a eq. 5.4a na sua forma matricial e na base dos auto-vetores de D, obtém-se

P =

0 (λ2 −λ1)w3 (λ1 −λ3)w2

(λ2 −λ1)w3 0 (λ3 −λ2)w1

(λ1 −λ3)w2 (λ3 −λ2)w1 0

. (5.5)

O tensor P é uma medida local de permanência à deformação de um filamento mate-

rial de fluido num dado instante. Se o tensor for nulo, quer dizer que, não importa qual a

configuração do filamento no ponto, pois todas as direções são de máxima taxa de defor-

mação. O que faz sentido pois, observando a eq. 5.5, o tensor só se anula em dois casos:

tendo todos os auto-vetores iguais, indicando que qualquer direção do filamento é direção de

máximo esticamento. Ou se a vorticidade relativa é nula, o que quer dizer que o filamento

50

gira junto com os auto-vetores de D, fazendo com que este sempre se mantenha em máximo

esticamento. A medida que P se afasta de zero, o filamento material associado deixa de estar

sendo severamente solicitado, alcançando uma configuração de menor solicitação.

O tensor P é ortogonal à taxa de deformação, e objetivo.

6 CRÍTICA À HIPÓTESE DE BOUSSINESQ

Segundo Alves (2016), a hipótese de Boussinesq possui uma deficiência significativa.

Primeiramente não se pode afirmar que a parte deviatórica do tensor de Reynolds possui as

mesmas direções principais do tensor taxa de deformação médio. Em outras palavras, não

se pode afirmar que não há parte fora de fase de ⟨v′v′⟩dev com ⟨D⟩. Sendo assim, passa-se

a plotar as normas de Φ⟨D⟩⟨v′v′⟩dev

, na fig. 6.1, referentes aos DNS usados no presente trabalho.

Como pode ser visto a cima, de fato, ⟨v′v′⟩dev não é coaxial à ⟨v′v′⟩dev , uma vez que existe

0 100 200 300

y+

0

0.5

1

1.5

DNS1 DNS2 DNS3

Fig. 6.1: Norma de Φ⟨D⟩⟨v′v′⟩dev

.

uma parte fora de fase à ⟨v′v′⟩dev . Logo, a hipótese de Boussinesq é deficiente na captura de

⟨v′v′⟩dev .

Porém, mesmo que se use uma base de tensores cinemáticos mais abrangente, o modelo

ainda apresentará um problema de ordem física. É possível que haja um escoamento onde

todas as médias sejam nulas e que exista apenas flutuações. Ou seja, é fisicamente possível

que o tensor de Reynolds seja não nulo ao mesmo tempo que a cinemática média seja nula.

Este fato põe em cheque a expansão de ⟨v′v′⟩dev numa base explícita cinemática. Neste

sentido, modelos para as equações de transporte de ⟨v′v′⟩ são fisicamente mais apropriados.

51

7 HIPÓTESES PARA A MODELAGEM

Tendo em vista a teoria desenvolvida no capítulo anterior, serão propostos oito hipóteses

de modelos para o tensor Λ, sendo este a soma de todos os tensores que necessitam de

modelagem da equação de transporte do tensor de Reynolds.

∂⟨v′v′⟩∂t

+∇· (⟨v⟩⟨v′v′⟩) = ν∇2(⟨v′v′⟩)+P−∇· (⟨v′v′v′⟩)+Π−ε︸ ︷︷ ︸Λ

∂⟨v′v′⟩∂t

+⟨v⟩ ·∇⟨v′v′⟩ = ν∇2(⟨v′v′⟩)+P+Λ (7.1)

7.1 Modelo 1

Λ=α0⟨D⟩ (7.2)

O modelo 1 descreve Λ como sendo apenas proporcional a taxa de deformação média do

escoamento. Logo, o erro associado ao mesmo é a soma da parte de Λ fora de fase com ⟨D⟩com a parte coaxial e ortogonal à taxa de deformação média. Este erro é ortogonal à base

proposta.

7.2 Modelo 2

Λ=α0I+α1⟨D⟩+α2⟨D⟩2 (7.3)

52

53

O modelo 2 é mais abrangente do que o modelo 1, pois além de considerar a parte propor-

cional de Λ em relação a taxa de deformação média, este também engloba a parte coaxial e

ortogonal. Ou seja, modela toda a parte de Λ em fase com ⟨D⟩. Para tal, expande-se Φ⟨D⟩Λ em

uma série de potências de ⟨D⟩. Porém, a série só vai até a segunda potência pois o teorema de

Cayley-Hamilton garante que potências mais elevadas podem ser reescritas em função das

primeiras três. Sendo assim, o modelo 2 é capaz de capturar completamente a parte de Λ em

fase com ⟨D⟩.

7.3 Modelo 3

Λ=α0I+α1⟨D⟩+α2⟨D⟩2 +β1⟨P⟩ (7.4)

O modelo 3 possui as características descritas no modelo 2, porém é adicionado uma potência

de ⟨P⟩. Uma vez que o tensor persistência à deformação é ortogonal à taxa de deformação,

então este pode capturar a parte de Φ⟨D⟩Λ proporcional a ⟨P⟩.

7.4 Modelo 4

Λ=α1⟨D⟩+β1⟨P⟩ (7.5)

O modelo 4 possui as características descritas no modelo 1, porém é adicionado uma potência

de ⟨P⟩. Assim como foi feito no modelo 3 em relação ao modelo 2.

7.5 Modelo 5

Λ=α0⟨v′v′⟩ (7.6)

54

Do modelo 5 em diante, expandem-se bases não mais cinemáticas, como os anteriores. Estes

agora serão escritos em função do próprio tensor de Reynolds.

O modelo 5 propõe que tensor Λ seja coaxial e proporcional ao ⟨v′v′⟩.

7.6 Modelo 6

Λ=α0I+α1⟨v′v′⟩+α2⟨v′v′⟩2 (7.7)

O modelo 6 é mais abrangente que o modelo anterior, uma vez que descreve toda a parte de

Λ em fase com ⟨v′v′⟩. Ou seja, além de capturar a parte proporcional ao tensor de Reynolds,

esta base também captura a parte coaxial e ortogonal ao mesmo. Porém, ainda pressupõe

que o tensor a ser modelado possui as mesmas direções principais de ⟨v′v′⟩.

7.7 Modelo 7

Λ=α0I+α1⟨v′v′⟩+α2⟨v′v′⟩2 +β1⟨P⟨v′v′⟩⟩ (7.8)

Os modelos 7 e 8 possuem em suas bases um tensor similar ao P definido em capítulos

anteriores. Este tensor P⟨v′v′⟩ é definido da seguinte maneira:

P⟨v′v′⟩ ≡ ⟨v′v′⟩ ·W ⟨v′v′⟩−W ⟨v′v′⟩ · ⟨v′v′⟩, (7.9)

onde W ⟨v′v′⟩ é a vorticidade descontada da rotação dos auto-vetores do tensor de Reynolds.

Este tensor carrega consigo propriedades similares ao tensor persistência à deformação, ou

seja, é simétrico e ortogonal à ⟨v′v′⟩.O modelo 7 captura toda a parte deΛ em fase com ⟨v′v′⟩ expandindo o mesmo numa base

de potências do próprio tensor de Reynolds. E a parte fora de fase seria apenas proporcional

à ⟨P⟨v′v′⟩⟩.

55

7.8 Modelo 8

Λ=α0⟨v′v′⟩+β1⟨P⟨v′v′⟩⟩ (7.10)

O modelo 8 considera que a parte de Λ em fase com ⟨v′v′⟩ é proporcional ao próprio tensor

de Reynolds, e a parte fora de fase é proporcional à ⟨P⟨v′v′⟩⟩.

7.9 Índice de desempenho η

Para uma dada modelagem A = Amodelo + Erro⊥, onde o erro é sempre ortogonal ao

modelo, pode-se afirmar que:

||Erro⊥||||A|| = ||A−Amodelo ||

||A|| 6= 1− ||Amodelo ||||A|| (7.11)

ou seja,

||Erro⊥||||A|| + ||Amodelo ||

||A|| 6= 1. (7.12)

Em outras palavras, a análise via erro relativo não oferece complementariedade. Afim de se

conseguir acesso tanto às razões da norma do erro sobre o tensor original, quanto à razão das

normas do modelo em relação ao tensor origianal, Thompson (2008) desenvolve um índice

de desempenho a partir da igualdade abaixo.

cos−1( ||Erro⊥||

||A||)+cos−1

( ||Amodelo ||||A||

)= π

2(7.13)

A partir da eq. 7.13, desenvolve-se o índice de desempenho η

η≡ 1− 2

πcos−1

( ||Amodelo ||||A||

)(7.14)

56

O qual é capaz de medir, entre zero e um, o quão bom um modelo descreve um dado tensor.

Sendo η= 1 a total descrição do modelo.

Com η, pode-se obter com facilidade os valores de erro relativo, eq. 7.15

||Erro⊥||||A|| = cos

(π

2η

). (7.15)

8 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Na fig. 8.1, plotam-se os componentes do tensor Λ a ser modelado. Observa-se que a

medida que se afasta da parede fixa, y+ = 0, os componentes tendem a zerar. Não é observado

uma variação significativa destes componentes para cada DNS analisado.

0 100 200 300

y+

−0.3

−0.2

−0.1

0

Λ11

DNS1 DNS2 DNS3

(a) Componente Λ11.

0 100 200 300

y+

−0.0025

0Λ22

DNS1 DNS2 DNS3

(b) Componente Λ22.

0 100 200 300

y+

−0.1

−0.05

0

Λ33

DNS1 DNS2 DNS3

(c) Componente Λ33.

0 100 200 300

y+

0

0.025

0.05

0.075

Λ12

DNS1 DNS2 DNS3

(d) Componente Λ12.

Fig. 8.1: Componentes do tensor Λ.

A seguir, são calculados os coeficientes de desempenho η em todo o domínio dos três es-

coamentos para cada modelo proposto no capítulo anterior, e seus erros relativos associados.

Nos gráficos abaixo, figs. 8.2, observa-se nitidamente que o terceiro modelo, ao contrário

dos demais, descreve Λ completamente para todos os DNS. O modelo 7 possui desempenho

similar ao modelo 3, porém, apresenta erro apenas nas paredes. Isto se dá ao fato de, nesses

pontos, Λ não nulo ser expandido em uma base de tensores de nulos (⟨v′v′⟩ e ⟨P⟨v′v′⟩⟩ são

57

58

nulos nas paredes). Os desempenhos dos modelos 1 e 2, quando comparados com o mo-

0 100 200 300

y+

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η-D

NS1

10203040506070

80

9095

99

ErroRelativo(%)

Modelo 1Modelo 2

Modelo 3Modelo 4

(a) Valores de η para o DN S1.

0 100 200 300

y+

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η-D

NS1

10203040506070

80

9095

99

ErroRelativo(%)

Modelo 5Modelo 6

Modelo 7Modelo 8

(b) Valores de η para o DN S2.

0 100 200 300

y+

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η-D

NS2

10203040506070

80

9095

99

ErroRelativo(%

)

Modelo 1Modelo 2

Modelo 3Modelo 4

(c) Valores de η para o DN S2.

0 100 200 300

y+

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η-D

NS2

10203040506070

80

9095

99

ErroRelativo(%

)

Modelo 5Modelo 6

Modelo 7Modelo 8

(d) Valores de η para o DN S2.

0 100 200 300

y+

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η-D

NS3

10203040506070

80

9095

99

ErroRelativo(%

)

Modelo 1Modelo 2

Modelo 3Modelo 4

(e) Valores de η para o DN S3.

0 100 200 300

y+

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

η-D

NS3

10203040506070

80

9095

99ErroRelativo(%

)

Modelo 5Modelo 6

Modelo 7Modelo 8

(f) Valores de η para o DN S3.

Fig. 8.2: Valores de η para cada DN S.

delo 3, levam a conclusão de que não é razoável supor que Λ é apenas coaxial à ⟨D⟩, ou seja,

em fase com o mesmo. Os resultados mostram que há uma parte fora de fase com a taxa de

deformação média que é proporcional ao tensor ⟨P⟩ que, por definição, é ortogonal à ⟨D⟩. A

mesma observação pode ser feita ao comparar os modelos 5 e 6 com o modelo 7, ou seja, há

uma parte de fora de fase com o tensor de Reynolds que precisa ser descrita.

Os modelos 4 e 8 evidenciam a necessidade de se descrever a parte coaxial e ortogonal

59

aos tensores taxa de deformação média e tensor de Reynolds respectivamente. Pois, nestes

modelos, apenas se descreveu a parte parte coaxial proporcional a estes tensores.

Abaixo, são plotados os erros associados ao terceiro e sétimo modelos. Observa-se que

estes são nulos em praticamente todo o domínio para os três DNS analisados, com exceção

do sétimo modelo nas paredes.

0 100 200 300

y+

1e-15

1e-05

1e-02

100

ErrosRelativos(%

)-Modelo3

DNS1 DNS2 DNS3

(a) Norma do erro do modelo 3.

0 100 200 300

y+

1e-15

1e-05

1e-02

100

ErrosRelativos(%

)-Modelo7

DNS1 DNS2 DNS3

(b) Norma do erro do modelo 7.

Fig. 8.3: Módulo do tensor erro para cada DNS.

Passa-se a analisar os coeficientes dos modelos que melhor capturaram o tensor Λ, os

modelos 3 e 7.

Para o modelo 3, com exceção de α0 na parede fixa, fig. 8.4(a), os demais coeficientes

zeram na parede fixa (y+ = 0). Descontinuidades são observadas nos coeficientes α0, α1

e β1 nas regões onde ⟨D⟩ e ⟨P⟩ são nulos. Porém, para o DN S3, isto não é observado, o

que sugere que o aumento do número de Reynolds e/ou diminuição do gradiente de pressão

resolve este problema.

Não foi observado uma variação significativa do coeficiente α0 entre os três DNS. Po-

rém, de maneira geral, os demais coeficientes aumentaram de magnitude a medida que o

número de Reynolds aumentou e o gradiente de pressão diminuiu. Os coeficientes α2 e β1

posssuem comportamentos similares e são predominantemente não-positivos. Enquanto que

o coeficiente α1 é não-negativo e α0 é negativo perto da parede fixa e cresce a medida que se

afasta, até alcançar um valor máximo positivo em y+ ≈ 5 e depois decai até ficar estacionário

no entorno de zero.

60

0 100 200 300

y+

−0.1

−0.05

0

α0

DNS1 DNS2 DNS3

(a) α0.

0 100 200 300

y+

0

0.5

1

1.5

α1

DNS1 DNS2 DNS3

(b) α1.

0 100 200 300

y+

−500

−250

0

α2

DNS1 DNS2 DNS3

(c) α2.

0 100 200 300

y+

−100

0

100

β1

DNS1 DNS2 DNS3

(d) β1.

Fig. 8.4: Coeficientes do Modelo 3.

No modelo 7, fig. 8.5, todos os coeficientes possuem assíntotas verticais nas paredes. Pois

como já fora dito, trata-se de uma base de tensores que zeram nas paredes, fazendo com que

os coeficientes tendam ao infinito, uma vez que o tensor a ser modelado não é nulo nessas

regiões.

Só é observado mudanças significativas nas curvas dos componentes na região entre

y+ ≈ 200 e y+ ≈ 300. Os coeficientes do modelo 7 não parecem ser tão sensíveis à vari-

ação do número de Reynolds e gradiente de pressão quando comparados com os coefici-

entes do modelo 3. Porém, ainda neste intervalo, com o aumento do numero de Reynolds

e diminuição do gradiente de pressão as curvas passam a oscilar menos, tornando-as mais

comportadas.

O coeficiente β1, fig. 8.5(d), apresenta uma descontinuidade na região de gradiente de

velocidade nulo, uma vez que o ⟨P⟨v′v′⟩⟩ zera nesta região devido ao fato da vorticidade ser

nula também. Assim como foi observado nos coeficientes do modelo 3, estas variações das

condições impostas ao escoamento resolveram o problema da descontinuidade de β1.

61

0 100 200 300

y+

−0.05

−0.025

0

0.025

α0

DNS1 DNS2 DNS3

(a) α0.

0 100 200 300

y+

−0.5

−0.25

0

α1

DNS1 DNS2 DNS3

(b) α1.

0 100 200 300

y+

−1

−0.5

0

α2

DNS1 DNS2 DNS3

(c) α2.

0 100 200 300

y+

−2.5

0

2.5

5

β1

DNS1 DNS2 DNS3

(d) β1.

Fig. 8.5: Coeficientes do Modelo 7.

Uma tentativa de contornar o problema das descontinuidades observadas nas fig. 8.4 e

8.5(d) é a normalização das bases que compõe o modelo 3 e 7. Ou seja,

Λ=α0I+ (α1||⟨D⟩||) ⟨D⟩

||⟨D⟩|| +(α2||⟨D⟩2||) ⟨D⟩2

||⟨D⟩2|| +(β1||⟨P⟩||) ⟨P⟩

||⟨P⟩|| ,

Λ=α0I+ (α1||⟨v′v′⟩||) ⟨v′v′⟩

||⟨v′v′⟩|| +(α2||⟨v′v′⟩2||) ⟨v′v′⟩2

||⟨v′v′⟩2|| +(β1||⟨P⟨v′v′⟩⟩||

) ⟨P⟨v′v′⟩⟩||⟨P⟨v′v′⟩⟩||

,

Λ= α0I+ α1⟨D⟩

||⟨D⟩|| + α2⟨D⟩2

||⟨D⟩2|| + β1⟨P⟩

||⟨P⟩|| (8.1a)

e

Λ= α0I+ α1⟨v′v′⟩

||⟨v′v′⟩|| + α2⟨v′v′⟩2

||⟨v′v′⟩2|| + β1⟨P⟨v′v′⟩⟩

||⟨P⟨v′v′⟩⟩||. (8.1b)

62

Plotando os novos coeficientes normalizados do modelo 3, figs. 8.6, observa-se que não há

mais descontinuidades, e a diferença entre os coeficientes dos três DNS analisados diminui,

fazendo as curvas coincidirem mais. Em compensação, os coeficientes normalizados α2 e

β1 oscilam nas proximidades da parede fixa em y+ = 0. Estes novos coeficientes privilegiam

a região perto da parede fixa, pois decaem a medida que se afastam dela.

0 100 200 300

y+

−0.1

−0.05

0

α0

DNS1 DNS2 DNS3

(a) α0.

0 100 200 300

y+

0

0.05

0.1

α1

DNS1 DNS2 DNS3

(b) α1.

0 100 200 300

y+

−0.2

−0.1

0

α2

DNS1 DNS2 DNS3

(c) α2.

0 100 200 300

y+

−0.2

−0.1

0

β1

DNS1 DNS2 DNS3

(d) β1.

Fig. 8.6: Coeficientes do Modelo 3 normalizado.

A normalização dos coeficientes do modelo 7, fig. 8.7, solucionou o problema das as-

sintotas verticais nas paredes, e a descontinuidade do interior do canal do quarto coeficiente.

Porém, tal como anteriormente, os coeficientes normalizados do modelo 7 são mais sensíveis

às mudanças de Re e gradiente de pressão do que os do terceiro modelo. E o aumento do

número de Reynolds e diminuição do gradiente de pressão parecem, novamente, estabilizar

a oscilação das curvas.

No geral, as maiores magnitudes dos quatro coeficientes estão locaizadas em uma região

próxima à parede fixa, possuindo máximos (coeficientes α0 e α1) e mínimos (coeficientes

α2 e β1) globais bem definidos.

63

0 100 200 300

y+

−0.05

−0.025

0

0.025

α0

DNS1 DNS2 DNS3

(a) α0.

0 100 200 300

y+

−0.25

0

α1

DNS1 DNS2 DNS3

(b) α1.

0 100 200 300

y+

−0.4

−0.2

0

α2

DNS1 DNS2 DNS3

(c) α2.

0 100 200 300

y+

−0.075

−0.05

−0.025

0

β1

DNS1 DNS2 DNS3

(d) β1.

Fig. 8.7: Coeficientes do Modelo 7 normalizado.

Para uma melhor análise do que ocorre na região próxima à parede fixa, plota-se as

mesmas curvas na escala logarítmica em y+, como pode ser visto nas figs. 8.8 e 8.9. Tal como

ocorre com os campos de velocidade, fig. 3.8, os coeficientes mudam de comportamento

dependendo da subcamada em que se encontram.

O coeficiente α0 do modelo 3, fig. 8.8(a), cresce da origem até um valor máximo no fim

da subcamada viscosa, em y+ ≈ 5. A partir desta, não há mudança entre a subcamada amorte-

cida e a subcamada logarítmica. O segundo coeficiente α1, fig. 8.8(b), parte de zero e cresce

até um valor máximo situado dentro da subcamada amortecida, o qual decresce ao longo

da subcamada logarítmica. O terceiro coeficiente, fig. 8.8(c), decresce da origem até um

mínimo local ainda dentro da subcamada viscosa, tornado a crescer até atingir a subcamada

amortecida. Dentro da subcamada amortecida, o coeficiente decresce até um mínimo global

e torna a crescer até chegar na subcamada logarítmica, onde continua crescendo numa taxa

inferior. O último coeficiente, β1, possui comportamento análogo ao observado no coefici-

ente α2. Exceto na subcamada viscosa, onde não se observa a formação de um mínimo local,

64

e sim um crescimento até um máximo local localizado na interface entre esta subcamada e a

subcamada amortecida.

0.1 5 30 200 1000

y+

−0.075

−0.05

−0.025

0

α0

DNS1 DNS2 DNS3

(a) α0.

0.1 5 30 200 1000

y+

0

0.05

0.1

α1

DNS1 DNS2 DNS3

(b) α1.

0.1 5 30 200 1000

y+

−0.2

−0.1

0

α2

DNS1 DNS2 DNS3

(c) α2.

0.1 5 30 200 1000

y+

−0.2

−0.1

0

β1

DNS1 DNS2 DNS3

(d) β1.

Fig. 8.8: Coeficientes do Modelo 3 normalizado e a camada interna.

Observa-se na fig. 8.9, que os coeficientes normalizados são sensíveis às variações im-

postas a cada um dos DNS apenas na subcamada logarítmica em diante. Nas demais, a

variação não é expressiva, principalmente em α0 e β1 (figs. 8.9(a) e 8.9(d)).

O primeiro coeficiente, fig. 8.9(a), se mantem constante ao longo da subcamada viscosa,

e começa a crescer na intrface entre esta subcamada e a subcamada amortecida. Atingindo

um máximo global na transição para a subcamada logarítmica. Na subcamada logarítmica,

α0 decai retornando à zero. O segundo coeficiente cresce a partir de um valor positivo na

parede fixa e cresce até atingir um máximo global na transição entre as subcamadas viscosa

e amortecida. Dentro da amortecida, o coeficiente decai até um mínimo local situado na

interface entre as subcamadas amortecida e logarítmica. Ao longo da subcamada logarítmica,

o coeficiente volta a crescer até um máximo local e depois, ainda na mesma subcamada,

torna a decair. Observa-se este máximo local e a oscilação da curva diminui a medida que o

65

número de Reynolds aumenta e o gradiente de pressão diminui. O terceiro coeficiente, fig.

8.9(c), possui um comportamento similar ao observado no terceiro coeficiente do modelo 3

(fig. 8.8(c)). Apenas com a diferença de que a subcamada logarítmica deste ser mais sensível

aos diferentes DNS. O último coeficiente, fig. 8.9(d), decresce lentamente ao longo de toda

a subcamada viscosa e parte da subcamada amortecida até um mínimo global situada no

interior da mesma, a partir da qual cresce ao longo do restante da subcamada amortecida e

por toda a logarítmica.

0.1 5 30 200 1000

y+

0

0.01

0.02

α0

DNS1 DNS2 DNS3

(a) α0.

0.1 5 30 200 1000

y+

−0.2

−0.1

0

0.1

α1

DNS1 DNS2 DNS3

(b) α1.

0.1 5 30 200 1000

y+

−0.4

−0.2

0

α2

DNS1 DNS2 DNS3

(c) α2.

0.1 5 30 200 1000

y+

−0.075

−0.05

−0.025

0

β1

DNS1 DNS2 DNS3

(d) β1.

Fig. 8.9: Coeficientes do Modelo 7 normalizado e a camada interna.

9 CONCLUSÕES

Dos quatro modelos propostos, os que possuíram maiores desempenhos de desempenho

na descrição do tensor Λ foram os modelos 3 e 7. Estes, ao contrário dos demais, abrangem

as partes de Λ coaxiais ortogonais e fora de fase com ⟨D⟩ e ⟨v′v′⟩ respectivamente, supondo

que as partes fora de fase são proporcionais aos tensores ⟨P⟩ e ⟨P⟨v′v′⟩⟩.Os coeficientes do modelo 3 apresentaram descontinuidades nas regiões onde os tenso-

res ⟨D⟩ e ⟨P⟩ são nulos. Isto ocorre porque, nestas regiões, tenta-se explicar uma entidade

que não é nula com uma base de entidades físicas nulas, fazendo com que os coeficientes

divirjam. Tal comportamento parece ser amenizado na medida em que se aumenta o número

de Reynolds e diminui-se o gradiente de pressão, uma vez que este comportamento não é

presente no DN S3.

Os coeficientes do modelo 7 divergem nas paredes, onde ⟨v′v′⟩ e ⟨P⟨v′v′⟩⟩ são nulos, pela

mesma razão supracitada. O quarto coeficiente, β1, apresenta uma descontinuidade no meio

do domínio na região onde a vorticidade é nula. Novamente percebe-se que o aumento do

número de Reynolds e diminuição do gradiente de pressão implicaram no fim da desconti-

nuidade.

Os problemas das descontinuidades dos coeficientes e assíntotas verticais nas paredes

são resolvidos com a normalização das bases usadas nos modelos 3 e 7.

Os coeficientes normalizados do modelo 3 não são tão sensíveis às variações das condi-

ções de escoamento de cada DNS. Os coeficientes do modelo 7 parecem ser mais sensíveis

aos mesmos. O aumento do número de Reynolds e diminuição do gradiente de pressão pa-

rece tornar as curvas deste modelo mais comportadas.

66

67

Os novos coeficientes mudam de comportamento dependendo de qual subcamada, na região

próxima à parede fixa, estes se encontram.

No geral, observa-se máximos globais para os coeficientes α0 e α1 , e mínimos globais

para os coeficientes α2 e β1 dentro da subcamada viscosa.

10 TRABALHOS FUTUROS

O próximo passo é estabelecer uma relação funcional entre o campo dos coeficientes

obtidos e invariantes de grandezas cinemáticas e/ou estatísticas do escoamento estudado.

Por exemplo, os invariantes do tensor taxa de deformação médio, persistência à deformação

média ou do próprio tensor de Reynolds.

Uma vez tendo as descrições dos coeficientes, o passo seguinte é a implementação destes

novos modelos. Comparando então os resultados obtidos com os fornecidos pelo próprio

DNS e outros calculados por outros modelos RANS. O objetivo é a obtenção de modelos

estatísticos mais acurados do que os atuais.

68

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

F. A. V. B. Alves. O uso de base de dados dns para a construção de modelos rans utilizando

decomposições e coeficientes de bases normalizadas. Master’s thesis, Universidade Federal

Fluminense, 2014.

Fernando Soares Alves. Uma metodologia de utilização de dados les para obtenção de coe-

ficientes para modelos rans baseados na derivada convectada de gordon-schowalte. Master’s

thesis, Universidade Federal Fluminense, 2016.

Raphael Aquilino Bacchi. O que se deseja de uma definição de vórtices? Master’s thesis,

Universidade Federal Fluminense, 2009.

MultiMedia ercoftac. MS Windows NT kernel description, 1992. URL http://www.

ercoftac.org/.

J.Boussinesq. Essai sur la theorie des eaux curantes. Mem. Pres. Acad. Sci., (XXIII):46,

1877.

N. Kasagi, K. Horiuti, Y. Miyake, T. Miyauchi, and Y. Nagano, editors. Establishment of

the Direct Numerical Simulation Data Bases of Turbulent Transport Phenomena, 1992.

A. N. Kolmogorov. The local structure of turbulence in incompressible viscous fluids at

very large reynolds number. Dolk. Akad Nauk. SSSR, 1941.

B. E. Launder and W. P. Jones. The prediction of laminarization with a 2-d equation model

of turbulence. International Journal of Heat and Mass Transfer, 15:301 – 304, 1972.

Stephen B. Pope. Turbulent Flows. Cambridge University Press, 2000.

69

70

Osbourne Reynolds. An experimental investigation of circumstances whitch determine

wether the motion of water shall be direct or sinous, and the law of resistence in parallel

channels. Philosophical Transactions os the Royal Society, (174), 1883.

Richardson. Weather prediction by numerical process. Cambridge:Cambridge University

Press, 1922.

J. C. Rotta. Statistische theorie nichthomogener turbulenz. Z. Phys., 129:547 – 572, 1951.

P. R. Spalart. Direct simulation of a turbulent boundary layer up to re=1410. Journal Fluid

Mechanics, (187):61–98, 1988.

Roney L. Thompson, Luiz Eduardo B. Sampaio, Felipe A. Bragança, Laurent Thais, and

Gilmar Mompean. A methodology to evaluate statistical errors in dns data of plane channel

flows. Elsevier, 2016.

Roney Leon Thompson. Some perspectives on the dynamic history of a material element.

International Journal of Engineering Science, (46):224–249, Outubro 2008.

Roney Leon Thompson and Paulo R. Souza Mendes. Persistence os straining and flow

classification. International Jornal of Engeneering Sciense, (43):79–75, 2005.

D. C. Wilcox. Re-assessment of the scale determing equation for advanced turbulence

models. AIAA journal, pages 1510 – 1520, 1988.