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PROJETO DE REDE COM CUSTOS CONVEXOS E BALANCEAMENTO DEFLUXOS

Pollyanna G. Faria Dias∗[email protected]

Gilberto de Miranda Jr.†[email protected]

Rodney Rezende Saldanha∗

[email protected] Saraiva de Camargo†

[email protected]

∗Departamento de Engenharia ElétricaUFMG - Universidade Federal de Minas Gerais

Av. Antônio Carlos, 6627, Pampulha, CEP 31.270-901 - Belo Horizonte, MG, Brasil

†Departamento de Engenharia de ProduçãoUFMG - Universidade Federal de Minas Gerais

Av. Antônio Carlos, 6627, Pampulha, CEP 31.270-901 - Belo Horizonte, MG, Brasil

ABSTRACT

Convex Flow Balancing Network DesignIn this work, the single source tree network design problemunder convex costs is addressed. This is a referential problemwhen designing networks for materials, energy or data trans-portation. The modeling effort yields a large scale mixed-integer nonlinear program which is very hard to solve. Inorder to overcome the solution difficulties, two distinct so-lution methods are deployed: The first of them is the Gen-eralized Benders Decomposition method; the second tech-nique combines the Outer Approximation method with theideas of projection in Benders Decomposition in order to im-ply the technique Hybrid-OA. The Hybrid-OA method is veryeffective on solving instances up to 702 edges, under reason-able computational costs, and makes the further applicationof the proposed technique to even more sophisticated modelspromising.

KEYWORDS: Network Design Problems, Benders Decom-position, Outer Approximation

Artigo submetido em 03/02/2011 (Id.: 01261)Revisado em 26/04/2011, 20/06/2011Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Luís Fernando C. Al-

berto

RESUMO

O problema de projeto de redes arborescentes de fonte únicacom custos convexos é abordado neste trabalho. Trata-se deproblema referencial no projeto de redes de transporte de ma-téria, energia ou informação. Resulta do esforço de modela-gem um programa não-linear inteiro misto de grande escala ede difícil resolução. Para superar tais dificuldades, dois mé-todos distintos são aplicados ao problema: O primeiro delesé a técnica de Decomposição de Benders Generalizada; o se-gundo método combina a técnica de Aproximação Externacom as idéias de projeção subjacentes à Decomposição deBenders para derivar a técnica OA-Híbrido. O método OA-Híbrido se mostra muito eficiente na solução de instânciascom até 702 arcos, obtendo custos de computação bastanterazoáveis, tornando promissora a sua aplicação a problemasainda mais sofisticados.

PALAVRAS-CHAVE: Problemas de Projeto de Rede, De-composição de Benders, Aproximação Externa.

1 INTRODUÇÃO

O problema de projeto de rede faz parte das atividades deplanejamento estratégico de empresas que operam sistemas

Revista Controle & Automação/Vol.23 no.1/Janeiro e Fevereiro 2012 49

de transporte de passageiros, carga, energia ou informação.O objetivo é atender às demandas dos clientes, respeitandoos níveis de serviço pré-estabelecidos e assegurando o lucroe a eficiência da operação.

Portanto devem ser considerados tanto o aspecto da adequa-ção da infra-estrutura para manter o nível de serviço neces-sário quanto a necessidade de operação otimizada que raci-onalize o uso da capacidade instalada. Encontrar o melhorequilíbrio entre estas duas visões aparentemente conflitantes– investir mais em infra-estrutura e aumentar a capacidadeinstalada ou priorizar a otimização das práticas operacionais– é a raiz de uma estratégia de negócio bem sucedida.

Uma forma de buscar tal equilíbrio é estudar o problemade projeto de rede sob a perspectiva da Programação Ma-temática. Assim, o problema consiste basicamente em ligarum servidor aos seus diversos clientes dispersos geografica-mente, satisfazendo a demanda a um custo total mínimo. Oscustos envolvidos são os de transporte/transmissão, de insta-lação de infra-estrutura e de qualidade de serviço, ou conges-tionamento.

Do ponto de vista matemático, o problema pode ser vistocomo uma generalização do Problema da Árvore de Stei-ner em um grafo direcionado (Maculan, 1987). De fato,ao se desconsiderar custos de transmissão e os de serviçonas conexões, tem-se basicamente o problema de Steiner(Maculan, 1987; Hwang and Richards, 1992). Desprezando-se os custos fixos, tem-se um problema de transbordo defonte única (Dantzig, 1962).

Problemas de projeto de rede constituem uma classe impor-tante de problemas de otimização combinatória, com apli-cações diretas nas áreas de distribuição de energia elétricacomo em (Benchakroun et al., 1992) e (Ramirez-Rosadoand Dominguez-Navarro, 2006), de transporte de cargasfracionadas (Cordeau et al., 2006), de transporte público(Contreras et al., 2009; Contreras et al., 2010), de redesde acesso local de telefonia (Randazzo and Luna, 2001), ede redes de computadores (Klincewicz, 1998; Altiparmaket al., 2003).

No contexto brasileiro, um grande exemplo de problema deprojeto de rede é o programa Luz para Todos. O governobrasileiro lançou em 2003 o desafio de acabar com a exclusãoelétrica no país. O programa é coordenado pelo Ministério deMinas e Energia, operacionalizado pela Eletrobrás e execu-tado pelas concessionárias de energia elétrica e cooperativasde eletrificação rural. O objetivo do programa é garantir oacesso ao serviço público de energia elétrica a todos os do-micílios e estabelecimentos do meio rural. É considerado oprograma de inclusão elétrica mais ambicioso implementadono mundo.

Outro exemplo é o Projeto Banda Larga nas Escolas Públi-cas Urbanas que tem por objetivo levar a Internet, em bandalarga, a mais de 64 mil escolas públicas urbanas do país. To-das as escolas públicas urbanas deverão ser conectadas à In-ternet e o serviço mantido, de forma gratuita, até 2025. Deacordo com estimativas do Ministério da Educação, mais de50 milhões de alunos - 86% dos estudantes brasileiros - serãobeneficiados pelo projeto.

Apesar de se acreditar que as técnicas aqui propostas são deescopo geral e que podem ser aplicadas a problemas reaistanto de projeto de redes de distribuição de energia quantode projeto de redes de dados, é fácil ver que o modelo cor-rente descreve melhor as redes de transporte de informação,estando distante dos modelos mais modernos utilizados noprojeto de redes de distribuição de energia. Entretanto, comas devidas adequações, na linha proposta por (Benchakrounet al., 1992), é possível abordar problemas de projeto de re-des de transmissão de energia que envolvam funções sofis-ticadas, desde que o esforço de convexificação garanta boaprecisão na descrição dos efeitos não-lineares.

Neste trabalho, redes arborescentes de fonte única são trata-das considerando-se custos de instalação de infra-estrutura,de transporte e de congestionamento, sendo estes últimos res-ponsáveis pela degradação dos níveis de serviço e das econo-mias de escala em cada arco da rede. Resulta desse esforçoum programa matemático inteiro misto não-linear de difí-cil resolução, uma vez que não-linearidades aumentam osgaps de integralidade em qualquer formulação. Uma abor-dagem capaz de resolver eficientemente a formulação é de-senvolvida através de técnicas de decomposição, mais espe-cificamente, usando o método de decomposição de Benders(Benders, 1962).

Este método se mostra muito eficiente em outros tipos de pro-blemas de projeto de rede (Costa, 2005). Entretanto, em fun-ção da complexidade do problema aqui abordado e da estru-tura especial da formulação, o método pode ser combinadocom outra técnica clássica de decomposição: AproximaçãoExterna (Fletcher and Leyfer, 1994). Esta combinação ino-vadora permitiu reduzir o tempo computacional de resoluçãoe aumentar o tamanho das redes usadas como teste.

O artigo está assim organizado: na Seção 2, as definiçõesusadas e a formulação proposta são apresentadas. A decom-posição de Benders é formalizada na Seção 3, enquanto aAproximação Externa e a combinação com o primeiro mé-todo são mostradas na Seção 4. Finalmente, os experimentoscomputacionais e os comentários finais são feitos nas Seções5 e 6, respectivamente.

50 Revista Controle & Automação/Vol.23 no.1/Janeiro e Fevereiro 2012

2 DEFINIÇÕES E FORMULAÇÃO

Uma rede genérica é representada por um grafo direcionadoΓ(V,E), onde V e E são os conjuntos de nodos e de arcosque representam as conexões possíveis entre os nodos, res-pectivamente. Um arco ou ligação entre os nodos i e j érepresentado por (i, j) ∈ E, onde i, j ∈ V . Seja ainda s onodo fonte, que deve enviar matéria energia ou informação aum conjunto K de nodos de demanda. Cada um deles pos-suindo uma demanda dk ≥ 0 distinta, onde k ∈ K e K ⊆ V .

O custo unitário de transporte/transmissão da demanda do nók ∈ K no arco (i, j) ∈ E é representando por cijk. Assume-se que cijk = θkδij , ∀k ∈ K, onde θk é o custo específicode transporte da demanda do nó k e δij é a distância entre osnodos i e j. Desta forma, o custo unitário de transporte ficadependente tanto do nó da destino e quanto do comprimentodo arco. Caso isto não seja necessário, faz-se θk = θ, ∀k ∈K. O custo de ativação do arco é dado por bij , onde bij =ζijδij , ∀(i, j) ∈ E e ζij é o custo da instalação da infra-estrutura por unidade de distância.

A formulação proposta utiliza ainda as seguintes variáveisde decisão: xij ∈ {0, 1}, ∀(i, j) ∈ E, que indica se o arco(i, j) é ativado (xij = 1) ou não (xij = 0); fijk ≥ 0, pararepresentar o fluxo com destino a k ∈ K passando pelo arco(i, j) ∈ E; e gij ≥ 0, representando o fluxo global do arco(i, j) ∈ E.

A função convexa não-linear de degradação do nível de ser-viço é representada pelo custo de congestionamento no arcos,sendo separável por arco e representada pela seguinte lei depotência

τij(gij) = e gpij ,∀(i, j) ∈ E (1)

Em que e > 0 e p ≥ 1 são escalares representando a par-ticipação dos custos de congestionamento na composição docusto total. Valores elevados para e e p implicam em um pesomaior dos efeitos de congestionamento no projeto de rede.

O modelo proposto resulta em:

min∑

(i,j)∈E

[bijxij + τij(gij) +∑

k∈K

cijkfijk] (2)

sujeito a:

∑

i

xij ≤ 1 ∀ j ∈ V (3)

∑

k∈K

fijk − gij = 0 ∀ (i, j) ∈ E (4)

∑

(s,j)∈E

fsjk = dk ∀ k ∈ K (5)

∑

(i,k)∈E

fikk = dk ∀ k ∈ K (6)

∑

(i,j)∈E

fijk =∑

(j,i)∈E

fjik ∀ j ∈ V \ {s},

k ∈ K : k 6= j (7)

fijk ≤ dkxij ∀ (i, j) ∈ E, k ∈ K (8)

fijk ≥ 0 ∀ (i, j) ∈ E, k ∈ K (9)

gij ≥ 0 ∀ (i, j) ∈ E (10)

xij ∈ {0, 1} ∀ (i, j) ∈ E (11)

A função objetivo (2) possui 3 termos: O primeiro termocontabiliza o custo total da instalação dos arcos; o segundocalcula os custos convexos de congestionamento; enquanto oterceiro totaliza o custo de transporte das diversas demandas.As restrições de configuração (3) obrigam a geração de ar-borescências ao impedir a incidência de mais de um arco emcada nodo. As restrições (4) calculam o fluxo global que atra-vessa o arco (i, j). As restrições (5)–(7) garantem o balançode fluxo para cada produto em cada nodo desde a origem saté cada nodo de destino k. As restrições de acoplamento (8)permitem que o fluxo passe através do arco (i, j) somente seo mesmo estiver instalado. Finalmente, (9) e (10) são as res-trições de não negatividade para os fluxos fijk e gij respecti-vamente, enquanto as restrições (11) obrigam a integralidadedas variáveis xij .

3 DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS

A técnica de Decomposição de Benders é uma abordagemclássica de solução de problemas de otimização combinató-ria, baseada nas idéias de particionamento e geração de res-trições. (Benders, 1962) propôs um método de particiona-mento para resolver problemas de programação inteira mistae não-linear. O método particiona o problema em dois níveis:no nível superior resolve-se um problema mestre inteiro e nonível inferior resolve-se um subproblema contínuo. O pri-meiro consiste em uma versão relaxada do problema originalao qual se adicionam em vôo novas restrições, enquanto o se-gundo consiste no problema original resolvido para um dadovalor fixado das variáveis inteiras.


3.1 Problema Mestre

O método de Decomposição de Benders trata problemas es-sencialmente via projeção, seguido por linearização externa,dualização e relaxação. Começa-se por uma projeção do pro-blema (2) - (11) no espaço das variáveis topológicas x, resul-tando em

minx∈X

∑

(i,j)∈E

bij(xij) + υ(x) (12)

onde X = {x | Existem fluxos viáveis que satisfazem (3) -(10)} e onde υ(x) é calculado resolvendo o seguinte pro-blema

υ(x) = min(f,g)∈G

∑

(i,j)∈E

[τij(gij) +∑

k∈K

cijkfijk] (13)

sujeito a condição (8) para x fixado onde G = {(f, g)|f ≥0 e g ≥ 0} satisfazendo (3) - (7).

Associando um vetor de variáveis duais α ≥ 0 às restriçõesde acoplamento (8), relembrando que a hipótese de conve-xidade para τij(gij) garante gap de otimalidade nulo paraqualquer x ∈ X , o valor ótimo do subproblema (13) é dadopor

υ(x) = maxα≥0[min(f,g)∈G

∑

(i,j)∈E

[τij(gij)

+∑

k∈K

cijkfijk +∑

k∈K

αijk(fijk − dkxij)]] (14)

ou

υ(x) = maxα≥0[∑

(i,j)∈E

∑

k∈K

−αijkdkxij

+min(f,g)∈G

∑

(i,j)∈E

[τijg(ij) +∑

k∈K

(cijk + αijk)fijk]] (15)

O problema completo (12) fica então equivalente a

minx∈X{∑

(i,j)∈E

bijxij +

maxα≥0[∑

(i,j)∈E

∑

k∈K

−αijkdkxij

+min(f,g)∈G

∑

(i,j)∈E

[τijg(ij) +

∑

k∈K

(cijk + αijk)fijk]]} (16)

Utilizando agora uma variável auxiliar t, o problema (2)-(11)é equivalente a

mint,x∈X

∑

(i,j)∈E

bijxij + t (17)

s.a:

t ≥∑

(i,j)∈E

∑

k∈K

−αijkdkxij + min(f,g)∈G

∑

(i,j)∈E

[τijg(ij) +∑

k∈K

(cijk + αijk)fijk],∀α ≥ 0 (18)

O problema reformulado (17) - (18) é de resolução extrema-mente difícil, uma vez que se trata de problema de otimiza-ção de dimensão infinita. Entretanto é possível superar tal di-ficuldade através de uma estratégia de relaxação, garantindoque o procedimento gere somente um número de restriçõesexponencial com o número de variáveis inteiras (da ordem de2n em programção 0 − 1, uma restrição por solução inteiraviável) no pior caso, possuindo portanto número finito depassos, uma vez estabelecidas algumas propriedades de (2)- (11). Segundo (Geoffrion, 1972), tais propriedades decor-rem da convexidade da função τij(gij) e da separabilidadelinear do problema entre f e x, garantindo a convergênciapara o ótimo global. Para maiores detalhes de natureza teó-rica e provas de convergência, ver a definição da PropriedadeP em (Geoffrion, 1972).

3.2 O Problema Mestre Relaxado

O método de Decomposição de Benders generalizado resolveo problema (17)-(18) baseado na estratégia de relaxação, ig-norando todas exceto um pequeno grupo de restrições(18).Esta estratégia requer um procedimento que adicione iterati-vamente tais restrições ao problema mestre quando necessá-rio.

Então,a cada iteração h, o valor ótimo de υ(xh) é encontradoa partir de (15) após resolver o subproblema para um dadoprojeto de rede xh e recuperar-se o vetor dos multiplicadoresduais Lagrangeanos αh. Portanto o valor ótimo de υ(xh) édado por

υ(xh) =∑

(i,j)∈E

∑

k∈K

−αhijkdkxh

ij +

min(f,g)∈G

∑

(i,j)∈E

[τijg(ij) +∑

k∈K

(cijk + αhijk)fijk] (19)

A partir de (18), tem-se a seguinte restrição associada comαh:

t ≥∑

(i,j)∈E

∑

k∈K

−αhijkdkxij +

min(f,g)∈G

∑

(i,j)∈E

[τijg(ij) +∑

k∈K

(cijk + αhijk)fijk] (20)


e isolando o valor do mínimo dado por (19), obtém-se o se-guinte corte baseado em xh e αh, conhecido como o corte deBenders.

t ≥ υ(xh) +∑

(i,j)∈E

∑

k∈K

αhijkdk(xh

ij − xij) (21)

Observa-se que a manipulação fez uso da separabilidade doproblema como apontado ao final da seção 3.1. Sem tal ca-racterística, que advém do acoplamento de natureza linearentre f e x, seria muito mais trabalhoso obter uma expressãofechada para o corte de Benders como a equação (21).

Além disso, utilizar apenas as restrições restantes escritas so-bre x, adicionando-se (21), não garante que a solução obtidapelo problema mestre a cada iteração h constitui uma árvoreconectando o nodo fonte a todos os nodos em K. Algumasvezes, a solução dada pelo problema mestre relaxado podeimplicar em ciclos na topologia proposta ou em sub-árvoresdesconexas.

A fim de tratar este problema, explora-se a estratégia de tra-balhar com ambos os conjuntos de variáveis de x e g no pro-blema mestre relaxado. A idéia aqui é garantir o fechamentodo balanço de fluxos no nível superior, evitando a geração detopologias inviáveis.

Através deste artifício, garante-se que todas as soluções obti-das pelo programa mestre serão arborescências. Esta aborda-gem explora também a informação de acoplamento das vari-áveis fijk e gij do modelo original (2) - (11). Logo, o novoproblema mestre relaxado, adicionadas as variáveis g é agoradado por

min∑

(i,j)∈E

bijxij + t (22)

sujeito a:

∑

i

xij ≤ 1 ∀ j ∈ V (23)

∑

(i,k)∈E

gik −∑

(k,j)∈E

gkj = dk ∀ k ∈ K (24)

∑

(i,j)∈E

gij −∑

(j,i)∈E

gji = 0 ∀ j ∈ V \ K ∪ {s} (25)

∑

(s,j)∈E

gsj =∑

k∈K

dk (26)

gij ≤∑

k∈K

dkxij ∀ (i, j) ∈ E (27)

t ≥ v(xh)

+∑

(i,j)∈E

∑

k∈K

αhijk dk (xh

ij − xij) ∀ h = 1, . . . , H (28)

gij ≥ 0 ∀ (i, j) ∈ E

xij ∈ {0, 1} ∀ (i, j) ∈ E

t ≥ 0

As restrições (24)-(27) são restrições de balanço de fluxo noespaço de variáveis g. Resolver o problema mestre com es-tas restrições e variáveis adicionais é computacionalmenteoneroso, mas evita o uso dos cortes de Benders do tipo II,isto é, cortes associados a raios extremos do poliedro origi-nal (2) - (11). Caso contrário, gastaria-se tempo para resol-ver programas inteiros apenas para descartar configuraçõesde rede inviáveis. Isto decorre da diferença entre o espaçointeiro-viável do problema mestre e o espaço inteiro-viáveldo problema original (2) - (11), sugerindo o uso de restriçõesde configuração adicionais para amenizar tais dificuldades.Para maiores detalhes técnicos sobre a geração de cortes deBenders associados a raios-extremos do poliedro de um pro-blema, veja o desenvolvimento envolvendo o Lema de Farkasem (Lasdon, 1970).

Na próxima seção, a solução do subproblema de Benderspara um dado xh é investigada.

3.3 Subproblema Não-linear

Desde que τij(gij) é uma função crescente e convexa, o sub-problema não-linear obtido fazendo x = xh tem solução glo-bal. Dualizando-se (4) com o auxílio das variáveis β ≥ 0obtém-se uma decomposição Lagrangeana em dois subpro-blemas envolvendo os conjuntos de variáveis f e g respectiv-vamente, como mostrado em (29) e (30).


r(βij) = ming≥0,f≥0

∑

(i,j)∈E

[τij(gij) +∑

k∈K

cijkfijk] +

∑

((i,j)∈E)

βij(∑

k∈K

fijk − gij) (29)

logo

r(βij) = minfk≥0

∑

k∈K

∑

(i,j)∈E

(cijk + βij)fijk +

mingij≥0

∑

(i,j)∈E

(τij(gij) − βijgij) (30)

Dada a hipótese de convexidade de τij(gij), o problema dualLagrangeano associado a β, que também responde o valorótimo do subproblema υ(xh) para um dado xh, é dado por

υ(xh) = maxβ≥0 r(β) (31)

Observando que os valores de xh e gh são conhecidos parah a partir da solução do problema mestre relaxado, resta de-terminar o valor ótimo de β associado com a solução cor-rente. Aplicando-se diretamente a condições de Karush-Kuhn-Tucker ao problema (31), e focando o mínimo maisà direita, τij(gij)−βijgij , ∀(i, j) ∈ E, determina-se o valorótimo de cada componente βij associada com xh como

βhij = τ ′(gh

ij),∀(i, j) ∈ E (32)

Portanto, a partir de uma solução ótima xh do problema mes-tre relaxado, onde se tem como subproduto o cálculo dos va-lores de gh, é trivial obter βh através da equação (32) o quepossibilita a determinação das demais variáveis duais associ-adas com o subproblema Lagrangeano em f via programaçãolinear.

3.4 Subproblema Linear: Primal e Dual

Fixados os valores ótimos de βij , ∀(i, j) ∈ E na iteração h,o subproblema Lagrangeano em f , isto é, o o primeiro termoda equação (30), é escrito para cada destino k ∈ K como

min∑

(i,j)∈E

(cijk + βhij)f

hijk (33)

sujeito a:

∑

(s,j)∈E

fhsjk = dk (34)

∑

(i,k)∈E

fhikk = dk (35)

∑

(i,j)∈E

fhijk =

∑

(j,i)∈E

fhjik ∀ j ∈ V \ {s}, k 6= j (36)

− fhijk ≥ −dkxh

ij ∀ (i, j) ∈ E (37)

fhijk ≥ 0 ∀ (i, j) ∈ E

O subproblema primal (33)-(37) possui uma única e trivialsolução dada por (38)

fhijk =

{

dk se (i, j) ∈ Chks ⊆ Ah

0 caso contrário(38)

Em que Chks ⊆ Ah é o subconjunto de arcos da arborescên-

cia Ah que pertence ao caminho do produto k desde a origems. Com a solução do subproblema primal, pode-se calcularo valor de υ(xh) facilmente a cada iteração de Benders. In-felizmente, não se produz valores ótimos das variáveis duaisαh

ijk. Portanto é preferível trabalhar a versão dual de (33)-(37). Associando os variáveis duais ph

sk, phkk, ph

jk e αhijk

às restrições (34), (35), (36) e (37), respectivamente, e lem-brando que xh

ij está fixado pelo o problema mestre relaxado,escreve-se o problema dual de (33)-(37) para cada destinok ∈ K como

maxph,αh≥0dk(phkk − ph

sk −∑

(i,j)∈E

xhijα

hijk) (39)

s.a:

phjk − ph

ik − αhijk ≤ cijk + βh

ij ,∀(i, j) ∈ E (40)

Ressalta-se que enquanto o subproblem linear primal tem so-lução única, sua contraparte dual pode ter múltiplas soluçõesótimas tornando a escolha adequada de variáveis duais óti-mas um tópico à parte. No presente trabalho, optou-se pordescartar técnicas de geração de cortes Pareto-ótimos. Asvariáveis duais ótimas foram determinadas através da solu-ção de (39)-(40) via algoritmo padrão de programação linear.Doravante, nos referimos à técnica apresentada nesta seçãocomo Generalized Benders Decomposition ou mais simples-mente GBD.

4 APROXIMAÇÃO EXTERNA

A técnica conhecida como Aproximação Externa(OA) (doinglês Outer Approximation) foi desenvolvida em trabalhos


pioneiros de (Duran and Grossman, 1986), (Fletcher andLeyfer, 1994) e (Yuan et al., 1988). É um método sim-ples mas eficiente para resolução de problemas inteiros não-lineares, utilizando uma abordagem de planos cortantes. Atécnica de Aproximação Externa tem sido aplicada em oti-mização de síntese de processos (Grossmann and Kra-vanja, 1995), (Karuppiah et al., 2008), e em várias outrasaplicações de projeto em engenharia. Mais recentemente,o método tem sido aplicado a sistemas logísticos como em(Huang et al., 2005) e em problemas de otimização em geral(Grossmann and Kravanja, 1995).

O método também possui uma técnica de coordenação entreo problema mestre e o subproblema, trabalhando de formasimilar à técnica GBD, mas os problemas mestres de OA sãoescritos no espaço de todas as variáveis do problema, dis-pensando a projeção no espaço das variáveis inteiras. Esterecurso melhora o poder dos planos cortantes gerados e asse-gura a convergência em um número de iterações menor que oobtido ao se aplicar a técnica de GBD. Como desvantagem,a solução do problema mestre é mais cara, geralmente au-mentando o tempo de solução e o esforço computacional àmedida que a o tamanho da instância aumenta. Para entendero desenvolvimento da técnica de OA, uma revisão geral dométodo é necessária. Dado um problema não-linear inteiromisto em sua representação algébrica mais básica, onde f ex representam o conjunto das variáveis contínuas e discretas,respectivamente, φ : R

qxs 7→ R e γ : Rqxs 7→ R

m são duasfunções continuamente diferenciáveis, e F e X são conjun-tos poliedrais

min φ(x, f) (41)

s.a:

γj(x, f) ≤ 0 ∀j = 1, . . . ,m (42)

x ∈ X,X ∈ Zq (43)

f ∈ F (44)

É possível reduzir este problema a um problema não-linearao escolher um vetor fixo x = xh, f ∈ F, para cada iteraçãoh, produzindo o seguinte subproblema não-linear

min φ(xh, f) (45)

s.a:

γj(xh, f) ≤ 0 ∀j = 1, . . . ,m (46)

f ∈ F

Quando o problema acima é resolvido (45)-(46), este permitededuzir os gradientes das funções φ(x, f) e γj(x, f), ∀j em

(xh, fh). Então é possível reescrever o problema (41)-(44)como sendo equivalente ao problema linear inteiro misto

min ξ (47)

s.a:

ξ ≥ φ(xh, fh) + ∇φ(xh, fh)

(

x − xh

f − fh

)

∀h = 1, . . . , H (48)

0 ≥ γ(xh, fh) + ∇γ(xh, fh)

(

x − xh

f − fh

)

∀h = 1, . . . , H (49)

ξ ≥ 0 (50)

x ∈ X,X ∈ Zq

f ∈ F

onde H representa o número máximo de iterações e ξ repre-senta uma variável de estimativa para função objetivo.

O problema (47)-(50) é conhecido como problema mestreOA. As restrições (48)-(49) são responsáveis pela aproxima-ção externa da função objetivo e de sua região viável, res-pectivamente. Quando as funções γ(x, f) são convexas e asrestrição de qualificação são atendidas para cada solução de(45) - (46), então as restrições (49) são necessárias e sufi-cientes para o método OA aproximar externamente a regiãoviável. Ressalta-se que as restrições (49) tem dupla funçãono método OA: além de assegurar a viabilidade, são respon-sáveis por realizar a aproximação externa da região viável, seγ(x, f) for não-linear.

No caso da formulação (2)-(11), a função objetivo é se-parável em termos lineares e um único termo não-linear,(∑

(i,j)∈E τij(gij)). Logo, este é o único termo que precisasofrer a aproximação externa. Portanto pode-se substituir so-mente τk(gk) por ξk para cada k na função objetivo e adici-onar a restrição (48) no formato de (52).

min∑

(i,j)∈E

[bijxij + ξij +∑

k

cijkfijk] (51)

s.a: (5) - (11), (23) - (27) e

ξij ≥ τij(ghij) + βh

ij(gij − ghij)

∀(i, j) ∈ E, ∀h = 1, . . . , H (52)

ξij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ E (53)


A restrição (49) não está presente na formulação (51)-(53),porque as restrições de acoplamento são lineares (poliedrais),tornando desnecessária a inserção destes cortes. Além domais, como esperado, esta formulação é muito grande paraser resolvida eficientemente. A grande dimensão do conjuntode variáveis f representa grande sobrecarga durante a reso-lução do problema mestre OA. Uma maneira de lidar comesta desvantagem é projetar essas variáveis para fora da for-mulação, desde que algumas manipulações sejam realizadas.A idéia aqui é permitir a solução do problema mestre OA,por meio de algoritmo de decomposição de Benders. Cria-se então um método híbrido: lida-se com a não-linearidadevia OA e com a parte de grande escala via Decomposiçãode Benders. Isto implica que as famílias de planos cortantes(55) - (56) podem ser adicionadas ao problema mestre emqualquer ordem.

min∑

(i,j)∈E

[bijxij + ξij +∑

k

tk] (54)

s.a: (10) - (11), (23) - (27) e

ξij ≥ τ(ghij) + βh

ij(gij − ghij) ∀(i, j) ∈ E,

∀h = 1, . . . , H (55)

tk ≥ υk(xl) +∑

(i,j)

αlijkdk(xl

ij − xij) ∀k ∈ K,

∀l = 1, . . . , L (56)

ξij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ E

tk ≥ 0 ∀k ∈ K

Destaca-se que a estratégia de solução proposta tanto podeser vista como a solução do programa mestre OA via decom-posição de Benders, quanto como a solução do mestre (não-linear inteiro) de Benders via OA. Não há entrelaçamentoentre as duas famílias de cortes: dada uma solução do mestre(x, g), tanto cortes OA quanto cortes de Benders podem serdeduzidos sem ordem pré-imposta. De agora em diante, estaestratégia de solução recebe o nome de OA-Híbrido.

É importante ressaltar que, assim como a técnica GBD, ométodo de aproximação externa tem prova de convergênciaglobal. Tal prova depende da convexidade das funções não-lineares envolvidas e do espaço de soluções viáveis ser igual-mente convexo, desde que as Condições de Slater sejam ve-rificáveis para cada solução de (45)-(46). Para questões adi-cionais associadas a tais condições de convergência, verificar(Fletcher and Leyfer, 1994).

5 EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS

Para avaliar a performance dos algoritmos propostos, doisconjuntos de experimentos computacionais foram executa-

dos. Para estes dois conjuntos, foram utilizadas o con-junto de instâncias disponíveis na biblioteca online QA-PLIB, disponível em http://www.seas.upenn.edu/qaplib/inst.html. As instâncias de teste foram reti-radas entre aquelas propostas por Nugent et al., por seremconsideradas as de maior dificuldade, uma vez que todas cor-respondem a grafo completo, possuindo (n2 − n) arcos e to-dos os nodos com grau (n − 1). As instâncias selecionadastambém possuem matrizes de distâncias baseadas na Distân-cia Manhattan, o que eleva o número de níveis de simetriaentre soluções e em geral torna mais difícil obter prova deotimalidade.

Os nomes das instâncias foram codificadas como n, onde né o numero de nodos da rede. As instâncias tem tamanho de12, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 27 respectivamente.Para cada instância, os valores do fator de congestionamentoaplicados foram 0, 001, 0, 01 e 0, 1. O número de variáveisinteiras e contínuas, e os tamanhos dos conjuntos E e K sãomostrados na Tabela 1.

Tabela 1: Espaço das Variáveis das 12 instâncias

Instância |E| |K| Num Var Int Num Var Cont12 132 5 132 72914 182 3 182 72815 225 3 225 90016 256 5 256 153617 289 5 289 173418 306 6 306 213420 380 5 380 228021 420 5 420 252022 462 5 462 277224 552 4 552 276025 600 4 600 300027 702 5 702 4212

Os dois conjuntos de testes demonstram como a infraestru-tura da rede se altera quando o fator de congestionamento éincrementado. Os testes computacionais foram escritos nalinguagem AMPL CPLEX utilizando um sistema operacio-nal Linux 64 bits. Os experimentos foram testados em umaestação de trabalho com um processador Intel Core 2 Quad2.4 GHz e 8Gb de RAM, com tempo limite de 86.400 se-gundos (24 horas). Em todos os testes conduzidos a lei depotência que modela os custos de congestionamento (1) foiescrita com p = 2.

A Figura (1) ilustra um exemplo do impacto do congestiona-mento em uma instância de 18 nodos. A Figura 1-(a) apre-senta os nodos e as conexões possíveis, na qual os vértices


em negrito e em branco são os nodos de demanda unitáriae os de transbordo, respectivamente; e os valores ao ladodas arestas representam o comprimento das mesmas. O sor-vedouro é representado pelo círculo 1. Na Figura 1-(b), aconfiguração ótima sem considerar os impactos de conges-tionamento é mostrada, enquanto na Figura 1-(c) tem-se aestrutura ótima ao se incluir os efeitos de degradação de ní-vel de serviço (e = 0, 1). Nestas duas últimas figuras, osvalores ao lado das arestas são o fluxo total passando pelasmesmas. Pode-se ver nas Figuras 1-(b) e 1-(c), que as arestas(2, 7), (7, 6), (14, 13) e (13, 18) deixam de ser ativadas ao seconsiderar os efeitos de congestionamento.

Figura 1: Exemplo de um caso com 18 nodos.

A comparação entre os algoritmos de GBD e OA-Híbridopara cada instância são apresentadas na Tabela 2. Para cadaconjunto de testes, foram analisados o valor do custo decongestionamento (e), o número de iterações(It), os limitesinferior (LB) e superior (UB), o gap de otimalidade, ondegap = (UB − LB)/UB, e o tempo computacional gasto,medido em segundos (T[s]).

A Tabela 2 demonstra que o método OA-Híbrido apresentaos melhores desempenhos para níveis maiores de congesti-onamento. Em média, o método é 406, 2 vezes mais rápidoque o GBD. Para níveis médios (e = 0, 01), o método OA-Híbrido é apenas 37, 3 vezes melhor. Observando o númerode iterações, o método OA-Híbrido requer em média 158, 2menos iterações do que o GBD.

Isso pode ser melhor entendido ao ser observar a redução doefeito tail-off na convergência dos métodos. A Figura 2 apre-senta a convergência dos dois métodos ao resolver a instância17. Nesta figura os limites LB e UB são plotados em funçãodo número de iterações. Como se pode ver, o método GBDrequer um número elevado de iterações até a convergênciados dois limites. Esse comportamento de convergência é co-nhecido como tail-off : é relativamente baixo o custo compu-tacional para calcular limites próximos do ótimo, mas muitooneroso zerar efetivamente o gap de otimalidade. No caso doOA-Híbrido, os limites superior e inferior convergem muitorapidamente para o ótimo.

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

20 40 60 80 100 120 140 160

Val

ores

dos

lim

ites:

UB

e L

B

Iteração

GBD LBGBD UB

OA−Híbrido LBOA−Híbrido UB

Figura 2: Efeito tail-off da instância 17 com custo de conges-tionamento igual a 0,1

Além disso, o tempo computacional em função do número denodos é apresentado na Figura 3. O aumento do número denodos e consequentemente o aumento do número de arcosnão influencia tanto o desempenho do método OA-Híbridoquanto o desempenho do método GBD. Este último possuium desempenho que piora sensivelmente ao se aumentar otamanho da rede.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

12 14 16 18 20 22 24 26

Tem

po c

ompu

taci

onal

(s)

Tamanho das Instâncias

GBDOA−Híbrido

Figura 3: Comparação de Tempo Computacional para todasas instâncias com custo de congestionamento igual a 0,1

Finalmente, ainda na Tabela 2, há algumas instâncias de me-nor número de nodos com tempos de computação ligeira-mente superiores aos de outras instâncias maiores, como porexemplo ao se comparar os tempos de solução das instâncias20 e 21 com 25 e 27. Esse resultado não é inesperado, umavez que a dificuldade de resolução de um problema de pro-


Tabela 2: Tabela comparativa entre os métodos GDB e OA-Híbrido.GBD OA-Híbrido

Inst e It LB UB gap T[s] e It LB UB gap T[s]0,001 8 22,0350 22,0350 0,000 1 0,001 6 22,0350 22,0350 0,000 1

12 0,01 10 22,3500 22,3500 0,000 1 0,01 6 22,3500 22,3500 0,000 10,1 89 24,9000 24,9000 0,000 100 0,1 15 24,9000 24,9000 0,000 30,001 13 21,0150 21,0150 0,000 1 0,001 7 21,0150 21,0150 0,000 0

14 0,01 14 21,1500 21,1500 0,000 2 0,01 7 21,1500 21,1500 0,000 00,1 32 22,5000 22,5000 0,000 20 0,1 8 22,5000 22,5000 0,000 10,001 10 22,0300 22,0300 0,000 3 0,001 5 22,0300 22,0300 0,000 1

15 0,01 7 22,3000 22,3000 0,000 2 0,01 5 22,3000 22,3000 0,000 00,1 50 24,5000 24,5000 0,000 104 0,1 10 24,5000 24,5000 0,000 20,001 9 26,0560 26,0560 0,000 1 0,001 6 26,0560 26,0560 0,000 0

16 0,01 10 26,5600 26,5600 0,000 3 0,01 6 26,5600 26,5600 0,000 10,1 301 30,0000 30,0000 0,000 31.965 0,1 13 30,0000 30,0000 0,000 100,001 20 28,0350 28,0350 0,000 7 0,001 8 28,0350 28,0350 0,000 5

17 0,01 18 28,3500 28,3500 0,000 9 0,01 8 28,3500 28,3500 0,000 40,1 170 30,9000 30,9000 0,000 2.297 0,1 13 30,9000 30,9000 0,000 100,001 11 25,0310 25,0310 0,000 4 0,001 10 34,0550 34,0550 0,000 7

18 0,01 32 25,3100 25,3100 0,000 4 0,001 10 34,0550 34,0550 0,000 70,1 126 27,6000 27,6000 0,000 1.775 0,1 14 37,8000 37,8000 0,000 370,001 54 25,0140 25,0140 0,000 45 0,001 10 32,0350 32,0350 0,000 120

20 0,01 37 25,1400 25,1400 0,000 10 0,01 12 32,3500 32,3500 0,000 780,1 156 26,4000 26,4000 0,000 10.665 0,1 21 34,9000 34,9000 0,000 5810,001 38 28,0140 28,0140 0,000 19 0,001 8 43,0570 43,0570 0,000 2

21 0,01 42 28,1400 28,1400 0,000 136 0,01 10 43,5700 43,5700 0,000 90,1 92 29,6000 29,6000 0,000 1.129 0,1 22 48,4000 48,4000 0,000 5710,001 120 32,0050 32,0050 0,000 80 0,001 12 33,0050 32,0050 0,000 1

22 0,01 117 32,0500 32,0500 0,000 67 0,01 12 32,0500 32,0500 0,000 20,1 145 32,0500 32,0500 0,000 841 0,1 10 32,0500 32,0500 0,000 10,001 79 29,0140 29,0140 0,000 67 0,001 9 33,0310 33,0310 0,000 105

24 0,01 207 23,0500 23,0500 0,000 268 0,01 12 33,3100 33,3100 0,000 670,1 249 23,5000 23,5000 0,000 3.548 0,1 12 36,1000 36,1000 0,000 1570,001 186 22,0050 22,0050 0,000 263 0,001 7 29,0300 29,0300 0,000 3

25 0,01 169 22,0500 22,0500 0,000 383 0,01 10 29,3000 29,3000 0,000 40,1 211 22,5000 22,5000 0,000 3.908 0,1 12 32,0000 32,0000 0,000 400,001 333 29,0050 29,0050 0,000 2.603 0,001 8 44,0310 44,0310 0,000 4

27 0,01 351 29,0500 29,0500 0,000 2.017 0,01 12 44,3100 44,3100 0,000 80,1 438 29,5000 29,5000 0,000 21.304 0,1 11 47,1000 47,1000 0,000 68

gramação não-linear inteira mista não é dada exclusivamentepelo seu tamanho. Tal esforço de computação é resultado dainterferência de diversos fatores, tipicamente dos trade-offs edas heterogeneidades que a estrutura de custos da instânciapropicia, e até mesmo de questões relativas a instabilidadesde natureza numérica.

6 CONCLUSÕES

Este trabalho apresentou duas técnicas diferentes para a re-solução de problemas de projeto de rede de grande escalasob congestionamento: A técnica GBD e o método de OA-Híbrido. Ambas foram capazes de resolver instâncias de até27 nodos (702 arcos) utilizando a linguagem AMPL. Os re-sultados foram obtidos em tempo razoável, chegando a umtempo computacional de 68 segundos para o método OA-Híbrido com 27 nodos (702 arcos) contra 21304 segundospara o método GBD.

De modo geral a abordagem proposta para a solução de pro-gramas não-lineares inteiros mistos como o modelo de pro-jeto de rede com custos não-lineares se comporta bem, e oesquema de decomposição de Benders generalizado associ-

ado a técnica de Aproximação Externa é bem sucedido aotratar um problema de tais características. Isso acontece de-vido à grande redução do efeito tail-off e também à grandeutilidade dos cortes de Benders para melhorar a relaxação deprogramação linear do problema mestre.

Pesquisas futuras devem agregar cortes Pareto-ótimos imple-mentados via Branch-and-Cut e a medição do trade-off entreo uso de restrições lineares de configuração e de cortes deviabilidade.

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