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Projeto de sistemas de controle

Os controladores classicos encontrados na literatura podem ser classificadoscomo:

• Controladores de duas posicoes (ou on-off ).

• Controladores proporcionais.

• Controladores integrais.

• Controladores proporcional-integrais.

• Controladores proporcional-derivativos.

• Controladores proporcional-integral-derivativos.

Os controladores tambem podem ser classificados de acordo com a especie deenergia empregada na operacao: controladores pneumaticos, controladoreshidraulicos ou controladores eletricos.

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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

Controlador On-Off

• O elemento atuante possui apenas duas posicoes fixas.• Controle relativamente simples e barato.• u(t): sinal na saıda do controlador; e(t): sinal de erro atuante.

• u(t) permanece em um valor maximo ou em um valor mınimo, conformee(t) seja positivo ou negativo:

u(t) =

{

U1, para e(t) > 0U2, para e(t) < 0

onde U1 e U2 sao constantes. U2 e normalmente zero ou −U1.2 of 45


• Geralmente, os controladores on-off sao dispositivos eletricos.

• Costumam-se usar valvulas operadas por solenoides eletricos.

• Um intervalo diferencial faz com que u(t) mantenha seu valor atual ate quee(t) tenha variado ligeiramente acima de zero.

• Com isso, evita-se operacoes muito frequentes do controle on-off.

• Um exemplo do uso desse controlador e para controle de vazao.

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• Observando-se a curva tıpica do sistema, percebe-se que as oscilacoes dimi-nuem ao se reduzir o intervalo diferencial.

• No entanto, o numero de comutacoes por minuto aumenta, o que reduz avida util do componente.

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Controlador Proporcional

• A relacao entre a saıda do controlador u(t) e o sinal de erro atuante e dadapor:

u(t) = Kp e(t) ⇒ Gp(s) =U(s)

E (s)= Kp

onde Kp e denominado ganho proporcional.

• O controle proporcional tem a vantagem de ser de simples implementacao.

• O aumento do ganho proporcional acelera a resposta, pois, quanto maior oerro, maior sera o termo proporcional de compensacao.

• O aumento do ganho proporcional tende a diminuir os erros em regimepermanente.

• Valores altos de Kp ajudam a reduzir os efeitos dos disturbios e a sensibili-dade a variacao de parametros na planta.

• Porem, nao rejeita completamente disturbios e erros em estado estacionariogeralmente irao persistir.

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• O aumento excessivo do ganho pode levar o sistema em malha fechada ainstabilidade e amplificacao indesejada de ruıdos de medidas presentes nosistema.

• Esse controlador e essencialmente um amplificador com ganho ajustavel.

• A funcao de transferencia e dada por:

Gp(s) =V0(s)

Vi (s)=

R4

R3

R2

R1

.

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Controlador Integrativo

• Acao de controle u(t) e dada pela integral do erro:

u(t) = Ki

t∫

0

e(t) dt ⇒ Gi (s) =U(s)

E (s)=

Ki

s

• As suas vantagens incluem reducao ou eliminacao de erros em estado esta-cionario (aumenta o tipo do sistema).

• A funcao de transferencia e dada por:

Gi (s) =V0(s)

Vi (s)=

R4

R3

1

R1C2s

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Controlador Proporcional-Integrativo (PI)

• A acao de controle PI e dada por:

u(t) = Kp e(t) + Ki

t∫

0

e(t) dt

⇒ Gpi(s) =U(s)

E (s)= Kp +

Ki

s= Kp

(

1 +1

Tis

)

onde Ki = Kp/Ti .• Ti , tempo integrativo (ou reset time), e o tempo para que a saıda dointegrador atinja o valor Kp para uma entrada unitaria.

• A acao integral acelera o movimento do processo em direcao ao set-point,eliminando (ou diminuindo) o erro residual que ocorre com controlador pu-ramente proporcional.

• Como o termo integral isolado acumula erros do passado, valores elevadospara Ki provocam o efeito colateral de aumento no sobressinal. O sistemase torna menos estavel.

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• A funcao de transferencia do controlador PI abaixo e dada por:

Gpi (s) =V0(s)

Vi (s)=

R4

R3

R2

R1

R2C2s + 1

R2C2s

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• Para ajustar Kp e Ki separadamente, pode-se usar a configuracao abaixo.

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Controlador Proporcional-Derivativo (PD)

• A acao de controle PD e dada por:

u(t) = Kpe(t) + Kd

de(t)

dt

⇒ Gpd(s) =U(s)

E (s)= Kp + Kds = Kp (1 + Tds)

onde Kd = KpTd , sendo Td chamado de tempo derivativo.• Note que este tipo de funcao de transferencia implica em um ganho quecresce com o aumento da frequencia. O sistema fica extremamente sensıvela ruıdos de alta frequencia.

• A acao derivativa da-se, geralmente, com a introducao de um polo em altafrequencia, o que limita o ganho em alta frequencia, tal que

Gpd(s) = Kp

(

1 +Td s

1 + γTds

)

onde γ e uma contante positiva com valor tıpico de γ = 0, 1. O diferenciadore entao aproximado por um integrador no ramo de realimentacao.

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• A acao derivativa depende da taxa de variacao do erro.

• O controle PD melhora o amortecimento, reduz o maximo sobressinal ediminui o tempo de assentamento.

• O controle PD pode amplificar o ruıdo de alta frequencia.

• Geralmente, necessita de um valor de capacitor relativamente alto.

• A acao derivativa tambem e conhecida como acao antecipatoria ou acaopreditiva, pois a derivada de uma funcao esta relacionada com a tendenciade variacao desta funcao.

• Dessa forma, a aplicacao de um sinal proporcional a derivada do sinal deerro consiste em agir de acordo com a tendencia de evolucao desse sinal.

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• Opondo-se a todas as variacoes, a acao derivativa tem um grande efeitoestabilizante no controle, mas ela nao melhora o erro em regime.

• O tempo derivativo Td e o intervalo de tempo que a acao de controlederivativa antecede a acao de controle proporcional.

• O termo derivativo nao atua quando nao existe variacao do erro, logo elenao pode ser usado isoladamente.

• Se o erro em regime estacionario for constante, o termo derivativo naointerfere nesse erro.

• A funcao de transferencia do controlador PD abaixo e dada por:

Gpd (s) =R4

R3

R2

R1

(R1C1s + 1)

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• Para ajustar Kp e Kd separadamente, pode-se usar a configuracao abaixo.

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Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo (PID)

• Soma de tres termos: um termo proporcional ao erro, um termo proporcionala integral do erro e um termo proporcional a derivada do erro.

• Um projeto PID completo envolve um compromisso entre os tres parametrosa serem sintonizados.

• A acao de controle PID e dada por:

u(t) = Kpe(t) + Ki

t∫

0

e(t) dt + Kd

de(t)

dt

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⇒U(s)

E (s)= Kp +

Ki

s+ Kds = Kp

(

1 +1

Tis+ Tds

)

= Kp

(

1 + Tis + TiTds2

Tis

)

• A funcao de transferencia do controlador PID abaixo e dada por:

Gpid (s) =R4

R3

R2

R1

(R1C1s + 1) (R2C2s + 1)

R2C2s

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• Para se ajustar Kp, Ki e Kd separadamente, pode-se usar a configuracaoabaixo.

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A figura a seguir ilustra as acoes P, PD e PID de controle sobre uma sistemacuja funcao de transferencia e dada por G(s) = 1/(5s2 + 6s + 1).

Pode-se observar que o termo derivativo causa uma reducao nas oscilacoese que o termo integrativo reduz o erro a zero, mas causa um aumento nasoscilacoes.

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Implementacao PID

• Note que o PID e uma estrategia, uma metodologia, que pode ser

implementada usando diversos equipamentos ou tecnologias

distintas. Portanto PID nao e exclusivo de um unico equipamento outecnologia.

(a) PID Novus (b) PID ABB(c) PID Matlab comDAQ

Figura: Imagens de distintas implementacoes PID19 of 45


Integrador Antiwindup

• Pode ocorrer na pratica que a faixa dinamica de um atuador seja limitada.• E preciso limitar os sinais de controle aplicados ao processo dentro umafaixa de operacao especificada.

• O sinal de entrada do processo deve ser limitado dentro desta faixa deoperacao, quando apresenta-se saturacao.

• Quando um integrador e utilizado, um fenomeno denominado windup podeocorrer. O integrador mantem-se integrando muito embora sua saıdatenha atingido o seu sinal maximo (ou seja a saida esta saturada).

Figura: Sistema realimentado, com saturacao.

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• Suponha que um elevado sinal de referencia faca com que uc(t) sature emumax. O integrador continuara integrando o erro e(t), fazendo com queuc(t) continue crescendo.

• Nesse caso, o aumento em uc(t) nao influencia em nada pois ja estamosoperando no limite umax. A saıda do integrador pode ficar muito elevada,se a saturacao demorar um perıodo longo. Como a integral do erro vai de0 a t, o erro acumulado pode gerar um grande sobresinal na resposta dosistema.

• Idealmente, o integrador deveria ser desligado assim que a saıda doatuador saturar.

• Uma solucao possıvel de controle PI neste caso chama-se PI com

antiwindup.

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Figura: Modificacao do Integrador: usando antiwindup.

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Sintonia de Controladores PID

• Objetivo: Determinar Kp, Ki e Kd de modo a satisfazer

especificacoes de projeto.

Os efeitos independentes dos ganhos Kp, Ki e Kd na resposta de malha fechadado sistema sao resumidos na Tabela seguinte:

tr MO ts ess Estabilidade

↑ Kp Decresce Aumenta Aumenta pouco Decresce Degrada↑ Ki Decr. Pouco Aumenta Aumenta Decr. Muito Degrada↑ Kd Decr. Pouco Decresce Decresce Influi Pouco Melhora

Figura: Controle PID de uma planta.

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Sintonia de Controladores PID

• Por que PID? Pois PID apresenta muitas vantagens. Alem disso, a maiorparte dos controladores industriais empregam esquemas de controlebaseados em PID.

• Usualmente, os controladores PID na industria sao ajustadosempiricamente (tentativa-erro).

• Metodos de sintonia automatica vem sendo desenvolvidas e algumasimplementacoes industriais de controlador PID tem a capacidade deefetuar a sintonia automatica on-line.

• Regras empıricas sao propostas na literatura e permitem ajustar osparametros do PID sem conhecimento do modelo matematico da planta.

• Tais regras fornecem estimativas dos valores dos parametros docontrolador e proporcionam um ponto de partida para uma sintonia maisfina, caso necessaria.

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Metodos Baseados na Curva de Reacao

• Baseados na resposta experimental da planta (em malha aberta) ao sinalde excitacao em degrau.

Figura: Resposta ao degrau unitario de uma planta.

• Caso a planta nao possua integradores nem polos complexos, a resposta aodegrau pode ter o aspecto de um“S”(curva de reacao). Os metodosbaseados na curva de reacao se aplicam somente em plantas com respostaao degrau que tenham esse aspecto.

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A curva em“S”pode ser caracterizada pelo ganho estatico K , pelo atraso L ea constante de tempo T . A funcao de transferencia pode ser aproximada porum sistema de primeira ordem com atraso de transporte. A funcao detransferencia e−Ls corresponde a um atraso no tempo. Daı o nome atraso detransporte (ou tempo morto).

Y (s)

R(s)=

K e−Ls

Ts + 1

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A seguir sao apresentadas tres formas distintas de se obter K , L e T . Naprimeira forma, desenha-se uma linha tangente ao ponto de inflexao edetermina-se a interseccao desta linha com c(t) = 0 e c(t) = K . T e dadopela distancia AC , enquanto que L representa a interseccao da linha tracadacom o eixo t. A inclinacao da reta e P = K

T, como mostrado na Figura.

Figura: Curva de resposta em forma de“S”.

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• A segunda forma consiste em determinar T tal que a resposta seja 0.63K ,que e representado pelo segmento AB da Figura. Se o processo e dado porK e−Ls

Ts+1, as duas formas resultam em resultados identicos. A forma dois

costuma gerar melhores resultados.• A terceira forma e denominada metodo de identificacao de Broıda. Broıdatracou a resposta do sistema de primeira ordem sobre a curva de ordemsuperior obtida experimentalmente. Verificou que havia um intervalocomum entre elas: um ponto A situado a 28% de ∆y e um ponto B

situado a 40% de ∆Y , como ilutrado na Figura.

Figura: Curva de reacao de sistema de primeira ordem sobre a de ordem superior.

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Metodo Broida

• Os valores de T e L sao obtidos da seguinte forma:

⋆ Calculo de T : T = 5.5 · (t2 − t1).

⋆ Calculo de Lu: L = 2.8 · t1 − 1.8 · t2.

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Metodo 1 de Ziegler e Nichols:

• Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguintetabela:

Controlador Kp Ti Td

PT

KL∞ 0

PI0.9T

KL

L

0.30

PID1.2T

KL2L 0.5L

• O metodo Ziegler-Nichols considerou a forma de identificacao curva“S”.Os valores nesta tabela foram determinados de forma empırica. Ocontrolador PID sintonizado por esse metodo fornece

Gc(s) = Kp

(

1 +1

Tis+ Tds

)

=0.6

P

(

s + 1

L

)2

s, (1)

Controlador Z-N possui um polo na origem e zeros duplos em s = −1/L.30 of 45


Metodo de Cohen-Coon:


PT

KL

(

1 +0, 35τ

1− τ

)

∞ 0

PI0.9T

KL

(

1 +0.92τ

1− τ

)

3.3− 3τ

1 + 1.2τ0

PID1.35T

KL

(

1 +0.18τ

1 − τ

)

2.5− 2τ

1− 0.39τL

0.37− 0.37τ

1− 0.81τL

τ = L/(L+ T ) .

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Metodo de Chien-Hrones-Reswick (CHR):

Chien, Hrones and Reswick (CHR) propuseram dois criterios de sintonia:resposta mais rapida com 0% de ultrapassagem e resposta mais rapida com20% de ultrapassagem.

Sobresinal 0% 20%

Controlador Kp Ti Td Kp Ti Td

P 0.3TKL

0.7TKL

PI 0.35TKL

1.2T 0.6TKL

T

PID 0.6TKL

T 0.5L 0.95TKL

1.4T 0.47L

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ExemploConsidere um processo a ser controlado com a seguinte funcao detransferencia

G(s) =1

(s + 0.5)(s + 1)(s + 1)(s + 2)

O sistema de controle engloba um controlador PID em serie com a planta(compensacao em serie) e realimentacao unitaria.Utilize o metodo de sintonia de Ziegler-Nichols em malha aberta para obteruma estimativa dos parametros de controlador PID.

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Figura: A resposta ao degrau de G(s).

Solucao: Verifica-se que L = 1.3; T = 5.45; K = 1. Logo, segundo o metodode Ziegler e Nichols da curva de reacao, tem-se que Kp = 5.03; Ti = 2.6;Td = 0.65.A funcao de transferencia do controlador PID e dada por

Gc(s) = 3.27(s + 0.7692)

2

s(2)

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Figura: Reposta ao degrau do sistema em malha fechada.

Os valores Kp = 5.03; Ti = 2.6; Td = 0.65 geram resposta bastanteoscilatoria. Note todavia que a regra permite se ter um ponto de partidapara, logo apos, realizar-se uma sintonia fina.

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Metodos Baseados na Sensibilidade Limite

• Baseado na resposta em malha fechada do sistema de controle,considerando, inicialmente, somente a acao proporcional Kp para levar osistema a condicao de oscilacao sustentada.

• Inicialmente, assuma Ti = ∞ e Td = 0.

• Utilizando apenas a acao proporcional, aumente Kp de 0 a Kcr , no qual asaıda atinja uma oscilacao sustentada, ou seja, o sistema equivalentetorne-se marginalmente estavel.

• Se a saıda nao apresentar uma oscilacao sustentada, entao esse metodonao se aplica, ou seja, o sistema deve ser capaz de instabilizar com oaumento do ganho para que o metodo seja aplicado.

Figura: Sistema em malha fechada com controlador proporcional.

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Metodos Baseados na Sensibilidade Limite

Figura: Oscilacao sustentada com perıodo Pcr .

• Se a saıda apresentar uma oscilacao sustentada, entao marque o valor Pcr .

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Metodo 2 de Ziegler e Nichols

Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguintetabela:


P 0.5Kcr ∞ 0

PI 0.45KcrPcr

1.20

PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

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Metodo 2 de Tyreus e Luyben

Tyreus e Luyblen propuseram uma tabale para o ajusta dos parametros doscontroladores PI e PID, baseados na sensibilidade limite.


PI Kcr/3.2 2.2Pcr 0

PID Kcr/2.2 2.2Pcr Pcr/6.3

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Exercıcio

Considere o sistema de controle acima. Considere

G(s) =1

s(s + 1)(s + 5)

Aplique o 2o. metodo de Ziegler-Nichols para obter um controlador PID.

Solucao: A funcao de transferencia de malha fechada do sistema considerandoTi = ∞ e Td = 0 e dado por

Y (s)

R(s)=

GC (s)G(s)

1 + GC (s)G(s)=

Kp

s(s + 1)(s + 5) + Kp

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O valor de Kp que leva o sistema a uma oscilacao sustentada (Kcr ) pode serobtido pelo criterio de Routh-Hurwitz.

s3 1 5s2 6 Kp

s130− Kp

6s0 Kp

Como isso, Kcr = 30. A frequencia de oscilacao sustentada e encontradasubstituindo-se s = jω na equacao caracterıstica, ou seja,

(jω)3 + 6(jω)2 + 5(jω) + 30 = 0⇒ 6

(

5− ω2)

+ jω(

5− ω2)

= 0.

Logo, ω2 = 5 ⇒ ω =√5. Portanto,

Pcr =2π

ω=

2π√5= 2, 8099.

Encontramos:

Kp = 0.6Kcr = 18Ti = 0.5Pcr = 1.405Td = 0.125Pcr = 0.35124

.

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A funcao de transferencia do controlador PID e dada por

GC (s) = Kp

(

1 +1

Tis+ Tds

)

= 18

(

1 +1

1.405s+ 0.35124s

)

=6.3223 (s + 1.4235)2

s

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Sintonia Automatica de Controladores

• A sintonia automatica de controladores PID foi inicialmente proposta porAstrom e Hagglund. Hoje em dia, ha varios controladores comerciais comeste recurso.

• A estrutura de um controlador com sintonia automatica baseado em rele eapresentado na figura.

Figura: Esquema de sintonia automatica a rele.

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Sintonia Automatica de Controladores

No metodo de oscilacao a rele, uma oscilacao com frequencia adequada egerada pela nao linearidade do dispositivo. Assumindo que o rele possuiamplitude h e que a oscilacao na saıda do processo possui amplitude a, aoscilacao sustentada na saıda possui frequencia crıtica igual a ωcr e ganhocrıtico dado por

Kcr =4h

πa(3)

Portanto, com Kcr e Pcr = 2π/ωcr e possıvel fazer o ajuste dos parametros docontrolador atraves do segundo metodo de Ziegler e Nichols ou de qualqueroutro metodo baseado na sensibilidade limite.

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Dica de atividades

Dica

1. Fazer os Exercıcios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia deControle Moderno”.

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