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Projeto e Análise de
Algoritmos
Prof. Ruy Luiz Milidiú
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Método do Guloso
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Resumo
Objetivo Apresentar e analisar algoritmos para o
problema dos códigos de redundância mínima
Sumário O problema
Algoritmo de Huffman
Aprimoramentos
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Compressão de dados
Símbolo Freq
A 60B 3C 5D 5E 20F 3G 1H 3
total 100
Qual a codificação mais curta para uma mensagem com estes 100 símbolos? 3 BITS = 8 símbolos 3 x 100 = 300 BITS
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Árvore de codificação
5D
3B
1G
4
9
3F
3H
6 5C
11
20 20E
40 60A
100 código
A 1 B 00010 C 0011 D 0000 E 01 F 00100 G 00011 H 00101
0 1
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Código de redundância Mínima
Entrada
a1, a2, … , an símbolos
f1, f2, … , fn freqüências
Saída
T árvore binária de codificação
c(T) = min { c(X) | X é AB de codificação }
c(X) = ifolhas(X) fi.li
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… guloso por MENOR FREQUENCIA
Símbolo Freq
A 60 B 3 C 5 D 5 E 20 F 3 G 1 H 3
total 100
3 1 3 3
4 6 5 5
9 11
20
40
100
60
20
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… guloso por MENOR
FREQUENCIA
Simbolo Frequencia Comprimento Custo
A 60 1 60
B 3 5 15
C 5 4 20
D 5 4 20
E 20 2 40
F 3 5 15
G 1 5 5
H 3 5 15
TOTAL 100 190
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Algoritmo de Huffman
L nós em ordem crescente de valor;
while |L| > 1
sejam x e y os dois nós de menor valor em L;
remova x e y de L;
crie um novo nó p, pai de x e y;
atribua a p a soma dos valores de x e y;
insira p em L;
return(raiz);
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Eficiência
Operação ordenar inserir
Esforço O(n.lg(n) ) linear
Ordenação O(n.lg(n))
Inserção de nó O(k) k=n-1,…,1
(n-1) + (n-2) + … + 1 = (n-1).n/2
O(n.lg(n)) + O(n2)
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Melhoria I
Nós internos são criados
em ordem crescente de valor.
Dem.: exercício
Aplicação
PILHA para folhas ordenadas
FILA para nós internos
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Eficiência
Operação ordenar inserir
Esforço O(n.lg(n) ) O(1)
Ordenação O(n.lg(n))
Inserção de nó O(n)
O(n.lg(n)) + O(n)
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Corretude: caso base
Existe uma árvore ótima onde…
pelo menos dois nós externos tem a altura da
árvore
os dois símbolos de menor freqüência tem a
altura da árvore maior comprimento
os dois símbolos de menor freqüência tem o
mesmo nó pai diferem no último bit
DEM.: por balanceamento algébrico !
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Corretude: passo indutivo
min 60.l1+20.l2+5.l3+5.l4+3.l5+3.l6+3.l7+1.l8
l7 = l8
min 60.l1+20.l2+5.l3+5.l4+3.l5+3.l6+(3+1).l7
l7 = 1+ lPAI(7,8)
min 60.l1+20.l2+5.l3+5.l4+3.l5+3.l6+4.lPAI(7,8)+4
equivale a
min 60.l1+20.l2+5.l3+5.l4+3.l5+3.l6+4.lPAI(7,8)
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Melhoria II
Permutar subárvores do mesmo nível
não altera a altura das folhas.
Dem.: exercício
Árvores Canônicas
Nós internos a esquerda das folhas.
Representação
quantidade de nós internos (ou externos) por nível
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De internos para externos...
Nível Internos Total Externos
0 1
1 2
2 1
3 0
1 0
2.1
2.2
2.1
0
3
2
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De externos para internos...
Nível Externos Total Internos
0 0
1 0
2 3
3 2
1 2/2
2
4
2
4/2
2/2
0
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Árvore canônica
Nível Internos
0 1
1 2
2 1
3 0 000 001
00 01
0
10 11
1
o 1
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Construção
5 5 7 8 11 5 5 7 8 11 10 7 8 11 10 7 8 11 10 15 11 10 15 11 III 15 21 III 15 21 III IV IV 36 III IV IV 0 III IV IV 0 III IV 1 0 III 1 1 0 III 1 1 0 2 1 1 0
I II III IV V
III IV 1 0
36
15 21
10 7 8
5 5
11
I
III II
IV
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Padrões de intercalação
5D
3B
1G
4
9
3F
3H
6 5C
11
20 20E
40 60A
100
Arquivo Tamanho
A 60B 3C 5D 5E 20F 3G 1H 3
total 100
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Padrões de intercalação
Entrada
n arquivos ordenados
ri número de registros no arquivo i, i=1,…,n
Saída
AB de intercalação que MINIMIZA o esforço total de intercalação dos n arquivos dados
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Custo Total de Intercalação
Custo de uma intercalação
soma dos tamanhos dos dois arquivos
Custo Total
ou somar os custos de cada intercalação
soma dos valores dos nós internos
ou somar { tamanho_do_arquivo x número_de_intercalações_em_que_o_arquivo_participa }
soma ponderada das alturas das folhas
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Solução
AB de intercalação mínima
AB de codificação ótima
Solução Gulosa
Algoritmo de Huffman
