PROJETO E IMPLEMENTAC˘AO DE CONTROLE PREDITIVO … · tanto na compensa˘cao dos efeitos do atrito...
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X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente 18 a 21 de setembro de 2011 São João del-Rei - MG - Brasil ISSN: 2175-8905 - Vol. X 809 PROJETO E IMPLEMENTA C ~ AO DE CONTROLE PREDITIVO COM COMPENSA C ~ AO DE ATRITO DE UM ROB ^ OM OVEL OMNIDIRECIONAL J ulio C. L. Barreto S. , Andr e G. S. Concei c~ ao , Carlos E. T. D orea y , Edson R. De Pieri z UFBA - Escola Polit ecnica - DEE Rua Aristides Novis, 2. 40210-630 Salvador, BA y UFRN - CT - DCA 59078-900 Natal, RN z UFSC - CTC - DAS 88040-900 Florianopolis, SC Emails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Abstract| In this work we present and discuss implementation results of a Model Predictive Control (MPC) scheme with friction compensation applied to trajectory following of an omnidirectional 3-wheeled robot. A cascade structure is used where the reference velocities which are sent to the predictive controller are generated from the knowledge of a pre-dened trajectory of the robot. Part of the control eort is used to compensate the eects of static friction, allowing the use of ecient algorithms for linear MPC with constraints. Experimental results show that the proposed strategy is ecient in compensating friction eects as well as in tracking pre- dened trajectories. Keywords| Mobile robots, Model Predictive Control, Trajectory Following, Friction Compensation Resumo| Neste trabalho s~ao apresentados e discutidos resultados de implementac~ao de um esquema de controle preditivo com compensac~ ao de atrito aplicado ao seguimento de trajet oria de um rob^o movel omnidire- cional de 3 rodas. Uma estrutura em cascata e usada onde as velocidades de refer^ encia enviadas para o controlador preditivo s~ ao geradas a partir do conhecimento de uma trajetoria pr e-denida para o controle preditivo. Parte do esfor co de controle e usado para compensar efeitos de atrito estatico, permitindo o uso de algoritmos ecientes de controle preditivo linear sob restric~ oes. Resultados experimentais mostram que a estrat egia proposta e eciente tanto na compensac~ao dos efeitos do atrito quanto no seguimento de trajetorias pr e-denidas. Keywords| Rob^ os m oveis, Controle Preditivo, Seguimento de Trajet oria,Compensac~ ao de Atrito 1 Introduc~ ao Recentemente, um grande interesse tem sido demonstrado em t ecnicas de controle aplicadas ao problema de seguimento de trajet orias para rob^ os m oveis. Um grande destaque t^ em sido dado aos rob^ os omnidirecionais j a que eles tem mobilidade no plano e podem se mover a cada instante em qualquer dire c~ ao sem reorientac~ ao, o que lhes con- fere uma maior capacidade de manobra em relac~ ao a rob^ os n~ ao-holon^ omicos (Li and Zell, 2007), como os na congurac~ ao Ackerman e diferencial. Aaplicac~ ao do Controle Preditivo requer um modelo preciso do sistema. No caso em es- tudo, o modelo e n~ ao-linear, principalmente por causa do atrito. Os par^ ametros dos modelos de atrito s~ ao muito dif ceis para estimar com precis~ ao (Ray, 2009). Mais do que isso, os modelos s~ ao bastante complexos, requerendo, como consequ^ en- cia, complexos m etodos de projeto de controle. Para contornar essa diculdade, foi obtido um modelo simplicado, a exemplo do que foi feito em (Concei c~ ao et al., 2009), onde foi obtido um modelo de um rob^ o omnidirecional de 4 rodas. Em (Concei c~ ao et al., 2007) resolveu-se o problema do seguimento para este mesmo rob^ o, atrav es do pro- jeto de um controlador NMPC (Nonlinear Model Predictive Control). A principal desvantagem de t ecnicas de controle preditivo n~ ao-linear e o fato de que e necess ario resolver um problema de otimiza- c~ ao n~ ao convexo, o que e uma tarefa complicada. O objetivo desse trabalho e apresentar resul- tados deimplementac~ ao de controle preditivo com compensac~ ao de atrito para seguimento de tra- jet oria de um rob^ o omnidirecional de 3 rodas. Parte do esfor co de controle e usada para com- pensar as n~ ao-linearidades associadas ao atrito es- t atico, o que permite o uso de algoritmos ecientes de controle preditivo sob restri c~ oes. O artigo est a organizado da seguinte forma: na Se c~ ao 2 o modelo n~ ao-linear do rob^ o m ovel omnidirecional de 3 rodas e apresentado, e os par^ ametros desse modelo s~ aovalidados. NaSec~ ao 3 mostra-se o desenvolvimento do Controlador Preditivo. Os resultados dos experimentos s~ ao dis- cutidos na Se c~ ao 4. Finalmente, as conclus~ oes s~ ao apresentadas na Sec~ ao 5. 2 Modelo do Rob^ o O modelo do rob^ o m ovel omnidirecional foi de- senvolvido com base na din^ amica e na cinem atica da base do rob^ o e na din^ amica dos motores CC
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X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente18 a 21 de setembro de 2011São João del-Rei - MG - Brasil
ISSN: 2175-8905 - Vol. X 809
PROJETO E IMPLEMENTACAO DE CONTROLE PREDITIVO COMCOMPENSACAO DE ATRITO DE UM ROBO MOVEL OMNIDIRECIONAL
Julio C. L. Barreto S.∗, Andre G. S. Conceicao∗, Carlos E. T. Dorea†, Edson R. DePieri‡
∗UFBA - Escola Politecnica - DEERua Aristides Novis, 2. 40210-630 Salvador, BA
†UFRN - CT - DCA59078-900 Natal, RN
‡UFSC - CTC - DAS88040-900 Florianopolis, SC
Emails: [email protected], [email protected], [email protected],
Abstract— In this work we present and discuss implementation results of a Model Predictive Control (MPC)scheme with friction compensation applied to trajectory following of an omnidirectional 3-wheeled robot. Acascade structure is used where the reference velocities which are sent to the predictive controller are generatedfrom the knowledge of a pre-defined trajectory of the robot. Part of the control effort is used to compensate theeffects of static friction, allowing the use of efficient algorithms for linear MPC with constraints. Experimentalresults show that the proposed strategy is efficient in compensating friction effects as well as in tracking pre-defined trajectories.
Keywords— Mobile robots, Model Predictive Control, Trajectory Following, Friction Compensation
Resumo— Neste trabalho sao apresentados e discutidos resultados de implementacao de um esquema decontrole preditivo com compensacao de atrito aplicado ao seguimento de trajetoria de um robo movel omnidire-cional de 3 rodas. Uma estrutura em cascata e usada onde as velocidades de referencia enviadas para o controladorpreditivo sao geradas a partir do conhecimento de uma trajetoria pre-definida para o controle preditivo. Parte doesforco de controle e usado para compensar efeitos de atrito estatico, permitindo o uso de algoritmos eficientes decontrole preditivo linear sob restricoes. Resultados experimentais mostram que a estrategia proposta e eficientetanto na compensacao dos efeitos do atrito quanto no seguimento de trajetorias pre-definidas.
Keywords— Robos moveis, Controle Preditivo, Seguimento de Trajetoria, Compensacao de Atrito
1 Introducao
Recentemente, um grande interesse tem sidodemonstrado em tecnicas de controle aplicadas aoproblema de seguimento de trajetorias para robosmoveis. Um grande destaque tem sido dado aosrobos omnidirecionais ja que eles tem mobilidadeno plano e podem se mover a cada instante emqualquer direcao sem reorientacao, o que lhes con-fere uma maior capacidade de manobra em relacaoa robos nao-holonomicos (Li and Zell, 2007), comoos na configuracao Ackerman e diferencial.
A aplicacao do Controle Preditivo requer ummodelo preciso do sistema. No caso em es-tudo, o modelo e nao-linear, principalmente porcausa do atrito. Os parametros dos modelos deatrito sao muito difıceis para estimar com precisao(Ray, 2009). Mais do que isso, os modelos saobastante complexos, requerendo, como consequen-cia, complexos metodos de projeto de controle.Para contornar essa dificuldade, foi obtido ummodelo simplificado, a exemplo do que foi feitoem (Conceicao et al., 2009), onde foi obtido ummodelo de um robo omnidirecional de 4 rodas. Em(Conceicao et al., 2007) resolveu-se o problema doseguimento para este mesmo robo, atraves do pro-jeto de um controlador NMPC (Nonlinear Model
Predictive Control). A principal desvantagem detecnicas de controle preditivo nao-linear e o fato deque e necessario resolver um problema de otimiza-cao nao convexo, o que e uma tarefa complicada.
O objetivo desse trabalho e apresentar resul-tados de implementacao de controle preditivo comcompensacao de atrito para seguimento de tra-jetoria de um robo omnidirecional de 3 rodas.Parte do esforco de controle e usada para com-pensar as nao-linearidades associadas ao atrito es-tatico, o que permite o uso de algoritmos eficientesde controle preditivo sob restricoes.
O artigo esta organizado da seguinte forma:na Secao 2 o modelo nao-linear do robo movelomnidirecional de 3 rodas e apresentado, e osparametros desse modelo sao validados. Na Secao3 mostra-se o desenvolvimento do ControladorPreditivo. Os resultados dos experimentos sao dis-cutidos na Secao 4. Finalmente, as conclusoes saoapresentadas na Secao 5.
2 Modelo do Robo
O modelo do robo movel omnidirecional foi de-senvolvido com base na dinamica e na cinematicada base do robo e na dinamica dos motores CC
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do robo. Este modelo e utilizado para prever asposicoes e orientacoes do robo nos instantes fu-turos e leva em conta elementos como saturacao,limites de corrente dos motores e atritos relaciona-dos as equacoes de movimento.
2.1 Cinematica do Robo
Figura 1: Sistemas de coordenadas e parametrosgeometricos.
A partir da geometria do robo e dos sis-temas de coordenadas mostrados na Figura 1, asequacoes cinematicas de movimento do robo po-dem ser facilmente obtidas:
� = RT (�)�r (1)
onde a matriz ortogonal de rotacao R(�) e definidapara mapear o sistema de coordenadas da terra nosistema de coordenadas do robo e vice-versa, e edada por:
R(�) =
⎡⎣ cos(�) sin(�) 0−sin(�) cos(�) 0
0 0 1
⎤⎦ (2)
O vetor � = [xr yr �]T descreve a localizacaodo robo no sistema de coordenadas da terra e adiferenca angular entre os sistemas de coorde-nadas. �r = [v vn w]T e o vetor de velocidades,onde v e vn sao as componentes ortogonais davelocidade e w e a velocidade angular do robo.nosistema de coordenada do robo e descreve a veloci-dade linear e angular do robo no ponto P , centrode massa do robo.
A relacao entre as velocidades angulares dasrodas do robo (wmi , para i = 1, 2, 3) e as veloci-dades do robo (v, vn, w) e dada por:[
vvnw
]=
[0 r2
√3
3−r3√3
32r13
r23
r33r1
3br23b
r33b
][wm1
wm2
wm3
], (3)
sendo b a distancia entre o centro de massa dorobo e as rodas, e ri o raio de cada roda i.
2.2 Dinamica do robo
Segundo as coordenadas definidas na Figura 1 epelas leis de Newton derivam-se as equacoes detranslacao e rotacao do robo movel,
Fv(t) −Bvv(t) − Cvsgn(v(t)) = Mdv(t)
dt, (4)
Fvn (t) −Bvnvn(t) − Cvnsgn(vn(t)) = Mdvn(t)
dt,(5)
Γ(t) −Bww(t) − Cwsgn(w(t)) = Indw(t)
dt, (6)
sgn(�) =
⎧⎨⎩ 1, � > 0,0, � = 0,−1, � < 0.
, onde Fv e Fvn representam as componentes or-togonais da forca de tracao no sistema de coor-denadas do robo, e (Γ) representa o momento aoredor do centro de gravidade do robo (ponto P ).M e a massa do robo e In o momento de iner-cia do robo. Os coeficientes de atrito viscoso saorepresentados por Bvv(t), Bvnvn(t) e Bww(t) e oscoeficientes de atrito de coulomb por Cvsgn(v(t)),Cvnsgn(vn(t)) e Cwsgn(w(t)). As relacoes entreas forcas de tracao do robo e as forcas de tracaodas rodas sao,
Fv(t) = cos(�)(f2(t)− f3(t)) (7)
Fvn(t) = −f1(t) + sen(�)f2(t) + sen(�)f3(t) (8)
Γ(t) = (f1(t) + f2(t) + f3(t))b. (9)
, onde � e o angulo entre a componente vn e o eixoy do sistema de coordenadas da terra. A forca detracao em cada roda i (para i = 1, 2, 3) e dada por
fi(t) =Ti(t)
ri, (10)
sendo Ti o torque de rotacao da roda, fi a forcade tracao em cada roda e ri o raio de cada roda.A dinamica de cada motor CC i (para i = 1, 2, 3)pode ser descrita pelas equacoes:
ui(t) = Lai
diai (t)
dt+Rai iai (t) +Kviwmi (t), (11)
Ti(t) = liKti iai (t), (12)
onde ui sao as tensoes de armadura, que devemser tais que −6 ≤ u(t) ≤ 6; Lai sao as indutan-cias da armadura, Rai as resistencias, li as re-ducoes de cada motor, wmi as velocidades angu-lares dos rotores e iai as correntes de armadura.Os parametros dos motores, parametros geometri-cos e os parametros estimados sao apresentados naTabela 1. Os metodos de estimacao para obter oscoeficientes de atrito e o momento de inercia po-dem ser encontrados em (Conceicao et al., 2009).
2.3 Representacao em Espaco de Estados
Escrevendo as equacoes do modelo na forma deespaco de estados tem-se:
x(t) = Ax(t) +Bu(t) +Ksgn(x(t)) (13)
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Tabela 1: Parametros do modelo.Sımbolo Descricao Valor
Bv(N/m/s) atrito viscoso para v 2Bvn (N/m/s) atrito viscoso para vn 1,5B!(N/rad/s) atrito viscoso para ! 0,024
Cv(N) atrito de coulomb para v 1,2Cvn (N) atrito de coulomb para vn 0,8C!(N.m) atrito de coulomb para ! 0,0035b(m) raio do robo 0,1M(kg) massa do robo 1,5
J(kg.m2) momento de inercia do robo 0,025� angulo 30o
r1, r2, r3(m) raio das rodas 0,035l1, l2, l3 reducao 19:1La1...3
(H) indutancia de armadura 0,00011
Ra1...3(Ω) resistencia de armadura 1,66
Kv1...3(V olts/rad/s) constantes emf 0,0059
Kt1...3(N.m/A) constantes de torque 0,0059
y(t) = Cx(t) (14)
sendo x o vetor de velocidades e u o vetor de ten-soes de entrada, com
A = −GDKtlr−1GT −
⎡⎢⎣BvM 0 0
0BvnM 0
0 0 B!J
⎤⎥⎦,
B = GD, C = I, K =
⎡⎢⎣ −CvM 0 0
0 −CvnM 0
0 0 −C!J
⎤⎥⎦,
G =
⎡⎣ 0 cos(�) −cos(�)−1 sen(�) sen(�)b b b
⎤⎦,
D =
⎡⎢⎢⎣l1Kt1MRa1r1
0 0
0l2Kt2MRa2r2
0
0 0l3Kt3JRa3r3
⎤⎥⎥⎦.
onde Kt e a matriz diagonal das constantes detorque dos 3 motores, l e a matriz que contem asreducoes dos 3 motores e r e a matriz dos raios.Analisando a equacao (13), pode-se observar quea nao-linearidade reside no termo Ksgn(x(t)). Omodelo obtido foi validado experimentalmente pormeio de testes de resposta ao degrau, como podeser visto na Figura 2.
3 Controlador Preditivo
O esquema de controle proposto neste tra-balho baseia-se em uma estrutura em cascata,como mostrado na Figura 3. Este esquema esemelhante ao usado em (Liu et al., 2008), onde amalha de controle interna e destinada ao controleda dinamica do robo, e as referencias de velocidadesao fornecidas pelo controlador da malha externa.Este ultimo e, na verdade, um bloco que inverteas equacoes cinematicas, ou seja gera as referen-cias de velocidade a partir da medicao da posicaodo robo. O controlador interno deve, entao, serprojetado como um controlador de velocidade dosistema, como expresso pelas equacoes (13) e (14).
Neste trabalho propoe-se o uso de ControlePreditivo na malha interna, trata-se de um con-trolador que e facilmente projetado a partir demodelos de tempo discreto(Maciejowski, 2002). Adiscretizacao de (13) pelo metodo do segurador deordem zero leva ao seguinte modelo:
x(k + 1) = Adx(k) +Bdu(k) +Kdsgn(x(k)). (15)
Foi utilizado um perıodo de amostragem de 50ms.
(a) Comparacao da velocidade v do modelo e dorobo real, com u1 = 0, u2 = 3V e u3 = −3V .
(b) Comparacao da velocidade ! do modelo edo robo real com u1 = 1V , u2 = 1V e u3 = 1V .
Figura 2: Validacao dos parametros estimados.
Considerando o controle de velocidade, robosomnidirecionais de 3 rodas possuem 3 entradas decontrole e apenas 3 variaveis de estado. Portanto,parte dos graus de liberdade no controle podeser usada para compensar as nao-linearidades.Considere-se, entao, a seguinte acao de controle:
u(k) = uf (k) + uc(k),
sendo uf (k) uma realimentacao linearizante, talque:
Bduf (k) = −Kdsgn(x(k)). (16)
Como Bd ∈ ℝ3×3 e posto(Bd) = 3, a equacaoacima possui solucao unica qualquer que seja x(k).A partir desta escolha, a dinamica do sistematorna-se linear em relacao a uc(k):
x(k + 1) = Adx(k) +Bduc(k). (17)
O problema de otimizacao associado ao Con-trole Preditivo, a ser resolvido a cada perıodo deamostragem k, pode agora ser formulado conforme(18). Hp e o horizonte de predicao, Hu e o hori-zonte de controle, Q e R sao as matrizes de pon-deracao simetricas, definidas positivas, com di-mensoes apropriadas, x e o vetor de referenciasde velocidades, fornecido pelo bloco que inverteas equacoes cinematicas e x(k) e o vetor de veloci-dades medidas no instante k.
Logo, o Controle Preditivo Linear pode, emprincıpio, ser aplicado ao sistema linear (17). No
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(a) Estrutura do controlador. (b) Robo Movel.
Figura 3: Esquema de controle.
entanto, a entrada de controle u(k) e sujeita asseguintes restricoes:
∣ul(k)∣ ≤ 6, para l = 1, 2, 3.
Devido ao termo linearizante, as acoes de controlefuturas devem satisfazer as restricoes nao-linearesem (16), ao longo do horizonte de controle Hu.Pode-se contornar esta dificuldade impondo-se arestricao de controle apenas para j = 0, visto quex(k) e o vetor, conhecido, de velocidades medi-das no instante k. O vetor de referencias de ve-locidades e fornecido por um bloco que inverte asequacoes cinematicas, no sentido de obter a novareferencia a partir da posicao atual do robo.
Em (Barreto et al., 2010) podem ser encon-trados detalhes sobre a geracao das referenciasde velocidade, bem como resultados de simu-lacao do esquema de controle proposto aplicado aomodelo de um robo de 4 rodas. O problema deotimizacao em (18) e um problema de progra-macao quadratica, para o qual metodos numeri-cos eficientes de solucao sao disponıveis. O ındicede desempenho e escolhido de modo a forcar umaconvergencia rapida para x da trajetoria do es-tado.
4 Resultados Experimentais
O robo movel, Figura 3(b), e composto basica-mente por dois modulos principais: um sistemamicroprocessado(PIC32MX420F512 ) embarcadoresponsavel pela implementacao da instrumen-tacao do sistema alem da geracao da base detempo (50ms) para a concepcao do relogio detempo real e outro desenvolvido em PC para a im-plementacao dos controladores de alto nıvel e dosistema supervisorio. Tais modulos se comunicamatraves de protocolo proprietario sob o padraoRS-232. Os motores CC sao do tipo A-max 22R179, da Maxon Motors, acionados atraves de cir-cuitos em ponte H modelo S17-3A-LV-HBRIDGEda Acroname Robotics. O sistema supervisorio foiimplementado com o software Lazarus IDE no sis-tema operacional Linux/Ubuntu.
4.1 Controle de Velocidades
Para a referencia de v = 0, 6m/s, vn = −0, 6m/s ew = 0rad/s, a curva de velocidade e o grafico dasacoes de controle podem ser observados na Figura4. Do grafico das velocidades v e vn, percebe-seque passado o regime transitorio, os valores oscila-ram em torno do valor desejado com uma ampli-tude relativamente pequena, o que quer dizer queo controlador MPC buscou a referencia. Nota-seum tempo de acomodacao de 0, 7s. As tensoes u1,u2 e u3 tambem oscilam com uma amplitude pe-quena em torno do valor de regime, indicando queo desempenho foi bem proximo do ideal.
(a) Curva de velocidade.
(b) Tensoes nos 3 motores CC.
Figura 4: Experimento com a referencia de v =0, 6m/s e vn = −0, 6m/s.
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minuf (k),uc(k+j)∑Hpi=0((x(k + i)− x)TQ(x(k + i)− x)) +
∑Huj=0((u(k + j)− u)TR(u(k + j)− u))
s.a: x(k + i+ 1) = Adx(k + i) +Bduc(k + i)u(k + j) = uf (k + j) + uc(k + j)
Bduf (k) = Kdsgn(x(k))∣u(k)∣ ≤ 6
(18)
4.2 Compensacao de atrito
Aplicar o controle preditivo linear ao modelo dorobo diretamente nao permitiria obter um bomresultado, como foi observado em simulacoes, e aaplicacao do controle preditivo nao-linear requera resolucao de um problema de otimizacao nao-convexo, de implementacao muito complexa. Foientao implementado o metodo de compensacaode atrito descrito na secao anterior. Nesta sub-secao serao analisados os testes da compensacaode atrito.
Os graficos das Figuras 5(a) e 5(b),correspondem respectivamente, ao comporta-mento da velocidade v e das tensoes correspon-dentes, que podem ser utilizados para comparar odesempenho do robo em malha aberta e em malhafechada. Pode-se observar que para o caso emmalha fechada a zona morta e muito menor doque para a resposta em malha aberta, gracas aoefeito da compensacao do atrito estatico (Figura5(a)). Da comparacao com a reta, percebe-se queboa parte da zona morta foi compensada. Dografico das acoes de controle (5(b)) percebe-se acompensacao, ja que enquanto para o caso emmalha aberta as tensoes variam linearmente como tempo, para o caso em malha fechada os valoresdas tensoes variam bruscamente quando elas estaoproximas de zero.
Da Figura 6(a) verifica-se que a zona mortae bem menor para o caso com a compensacao deatrito. No grafico das tensoes (Figura 6(b)) nota-se que a variacao nas acoes de controle tambemocorreu. Pela comparacao da curva de ! com areta em vermelho, pode-se perceber que a com-pensacao de atrito foi mais eficiente para esse caso.Verifica-se que restou uma pequena parte da zonamorta, isso se deve as variacoes do coeficiente deatrito do solo e a zona morta dos motores, quenao sao consideradas no modelo de simulacao uti-lizado. Apesar disso os resultados podem ser con-siderados satisfatorios, ja que a resposta em malhafechada se aproximou de uma reta.
4.3 Controle de Trajetoria
Nesse trabalho, a trajetoria de referencia edefinida de forma parametrizada, no sentido deque as sequencias de x, y e � de referencia saodefinidas independentemente pelo usuario. Parauma trajetoria em degrau, com uma velocidade do
(a) Velocidade v.
(b) Tensoes nos 3 motores CC.
Figura 5: Compensacao de zona morta para v.“ma” = malha aberta.
centro de massa do robo de vnav = 0, 3m/s, foramobtidos os graficos da Figura 7. Neste experi-mento, a posicao inicial do robo coincide com o inı-cio da trajetoria. Observa-se na figura do rastrea-mento da trajetoria (Figura 7(a)) que o desem-penho do seguimento foi satisfatorio ja que o errofoi pequeno ate nas transicoes. Observou-se que atrajetoria foi seguida com um tempo de navegacaode 12, 3s. Da Figura 7(b), nota-se que os valoresde tensao dos motores alcancaram no maximo val-ores na faixa de 3, 5V em modulo, portanto naoocorreu saturacao dos motores. Percebe-se tam-bem que o controle foi mais agressivo nas tran-sicoes, o que quer dizer que a predicao foi bemsucedida.
5 Conclusoes
Nesse trabalho, foi proposto um algoritmo de Con-trole Preditivo com compensacao de atrito com o
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(a) Velocidade angular !.
(b) Tensoes nos 3 motores CC.
Figura 6: Compensacao de zona morta para !.“ma” = malha aberta.
objetivo de resolver um problema de seguimentode trajetorias para um robo movel omnidirecionalde 3 rodas. No sistema de controle em cascata, obloco que inverte as equacoes cinematicas foi uti-lizado para obter as referencias de velocidades quesao passadas para o controlador preditivo a cadaiteracao a partir da posicao atual do robo. Umaparte do esforco de controle e usada para tornaro modelo linear, permitindo o uso de algoritmoseficientes de Controle Preditivo. Os resultados ex-perimentais mostraram que o esquema proposto ecapaz de compensar satisfatoriamente os efeitos doatrito estatico, bem como de fazer o robo seguiruma trajetoria pre-estabelecida.
6 Agradecimentos
Julio Cesar Lins Barreto Sobrinho e bolsista daCAPES, Programa Pro-Engenharia. Os autoresgostariam de agradecer a Profa Luciana Mar-tinez do DEE-UFBA e aos alunos Tiago TrindadeRibeiro e Jovelino Torres dos Santos do Labo-ratorio de Robotica da UFBA pela valiosa ajudana implementacao do sistema de controle.
Referencias
Barreto, J. C., Conceicao, A. S. and Dorea, C.E. T. (2010). Predictive control of an omni-directional mobile robot with friction com-
(a) Seguimento da trajetoria.
(b) Tensoes nos motores.
Figura 7: Seguimento da trajetoria em degrau,vnav = 0, 3m/s.
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