Projeto Eletromag Momentos 1

7/26/2019 Projeto Eletromag Momentos 1

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Aluno: Guilherme Praciano Karst Caminha

Disciplina: Eletromagnetismo 1

Professor: Odilon Maroja

Mtodo dos Momentos

1.

Introduo

Na arte de resolver problemas vindos da fsica, matemtica e engenharias, percebeu-se que

possvel substituir o problema de resolver uma equao diferencial por integrao, pelo problema

equivalente de se encontrar uma funo que d o valor mnimo de uma integral. Esta classe de

problemas chamada de Problemas Variacionais. Os mtodos que nos permitem reduzir o problemade integrar uma equao diferencial ao problema variacional equivalente so chamados de Mtodos

Variacionais. Os mtodos variacionais formam uma base para o Mtodo dos Momentos, que

utilizado neste projeto, e tambm para o Mtodo dos Elementos Finitos, que largamente utilizado

em diversas reas da engenharia.

Os mtodos variacionais podem ser divididos em duas categorias: mtodos diretos e

indiretos. O mtodo direto o mtodo clssico de Rayleight-Ritz, enquanto o mtodo indireto

geralmente como mtodo dos resduos ponderados, tendo como exemplo o mtodo de Garlekin ou

mtodos de mnimos quadrados.

2.

Resduos Ponderados

O mtodo dos resduos ponderados uma tcnica de obteno de solues aproximadas

bastante genrico, no sendo limitado a uma classe especfica de problemas variacionais como

acontece noutros mtodos, como o mtodo de Rayleight-Ritz.

Considere ento a equao-operador

1Onde L qualquer operador linear,

uma funo desconhecida e g um termo fonte.

No mtodo dos resduos ponderados, a soluo da equao 1 aproximada usando funes

de expanso un:

= 2Onde os termos an so chamados de coeficientes de expanso. Ns pretendemos ento

obter

3


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Substituindo a soluo aproximada no operador resulta em um resduo R:

4No mtodo dos resduos ponderados, funes de ponderao w m, que em geral no so as

mesmas que un, so escolhidas de forma que a integral de um resduo ponderado zero:

0 5A equao 5 tambm conhecida como a definio do produto interno entre as funes w m

e R:

, 0 6Se um conjunto de funes de ponderao {wm} escolhido, e o produto interno da equao

2 tirado pra cada wm, obtemos

, = , , 1,2, , 7O sistema de equaes lineares da equao 7 pode ser colocado em uma forma matricial do

tipo

8Onde Amn= , Bm= , Xn= an. Resolvendo para [X] e subistutindo na equao

2, obtemos uma soluo aproximada para a equao 1.

O grande desafio ento escolher as funes de ponderao wm. Cada mtodo de resduos

(Garlekin, mnimos quadrados...) possui uma tcnica diferente de escolher estas funes.

3. Equaes Integrais

Uma equao integral qualquer equao envolvendo uma funo desconhecida sob umsinal de integral. Alguns exemplos de equaes integrais so as transformadas de Fourier e Laplace.

As equaes integrais lineares que so mais frequentemente estudadas caem em duas

categorias, chamadas de Fredholm e Volterra. Por exemplo, as equaes de Fredholm de primeira e

segunda categoria so, respectivamente:

, 9 , 10


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Onde um parmetro escalar ou complexo. As funes K e f e os limites a e b soconhecidos, enquanto desconhecido. A funo K conhecida como o kernel da equao integral.O parmetro muitas vezes igual a um.

As equaes de Volterra so similares, apresentando porm um limite superior de

integrao varivel. Se f(x)=0, as equaes integrais mostradas tornam-se homogneas. importante salientar que estas equaes so homogneas pois entra na equao de forma linear.Uma equao no-linear se aparecer com potncia maior que um sob o sinal de integral.Se o limite a ou b, ou o kernel K tornar-se infinito, uma equao integral dita singular. E o

kernel K(x,t) dito simtrico quando K(x,t) = K(t,x).

Intuitivamente, equaes diferenciais e equaes integrais possuem a mesma natureza. De

fato, a maioria das equaes diferenciais ordinrias podem ser expressas na forma de equaes

integrais. Porm, o contrrio nem sempre possvel. Por exemplo, se considerarmos uma equao

diferencial ordinria de primeira ordem

, , 11A equao 11 pode ser trivialmente escrita como uma equao de Volterra de segunda

categoria, bastando integr-la uma vez:

, 12Qualquer soluo da equao 12 satisfaz a equao 11 e as condies de contorno.

Uma forma bastante sistemtica de se obter uma equao integral construindo uma

funo auxiliar chamada de Funo de Green. A funo de Green o kernel da equao integral

obtido de um problema de valor de contorno, e forma a ligao entre as formulaes diferenciais e

integrais. A funo de Green tambm permite que problemas no homogneos (i.e. com termo

fonte) sejam solucionados, reduzindo-os a um problema homogneo.

Para se obter o campo causado por uma fonte distribuda atravs da tcnica da funo de

Green, ns buscamos os efeitos de cada poro elementar da fonte e somamos. Se G(r, r) o

campo no ponto de observao rcausado por uma carga pontual em r, ento o campo em rpor

uma distribuio g(r) a integral de g(r)G(r, r) sobre o domnio de rocupado pela fonte.

Consideremos ento uma equao diferencial parcial de segunda ordem dada por

13Definimos ento a funo de Green correspondente ao operador diferencial L como a

soluo para a equao no homognea de fonte pontual

, , 14Onde (r, r) a funo delta de Dirac. Por definio, esta funo dever satisfazer


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, 15Nota-se da equao 14 que a funo de Green pode ser interpretada como a soluo para o

problema de contorno dado com o termo fonte g substitudo pela funo impulso unitrio. Portanto,

G representa fisicamente a resposta do sistema linear a um impulso unitrio aplicado no ponto r=r.

A construo de uma funo de Green no espao livre correspondente a uma EDP

usualmente feita sendo a funo de Green G a soma de alguma integral da equao no

homognea LG=g e a soluo da equao homognea associada LG=0. Ou seja,

, , , 16Onde F, conhecida como a funo de Green do espao livre, ou soluo fundamental,

satisfaz

, 17E U satisfaz

0 18De forma que a superposio G=F+U satisfaa a equao 14. Alm disso, para que G=f no

contorno, necessrio que

19

Dessa forma, para o problema tridimensional

20E portanto, da equao 14, a funo de Green G((x,y,z), (x, y, z)) satisfaz

(x,y,z, x,y,z) x xy yzz 21Portanto, da equao 17, F deve satisfazer

x xy yz z 22Para qualquer r r,

1 0 23Que, integrando-se duas vezes, gera


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24Uma das propriedades da funo de Green que a sua derivada direcional possui uma

descontinuidade em r, especificada pela equao

lim 1 25Onde n a normal direcionada para fora para a esfera de raio ao redor do ponto fonte r.

Temos que

| | 26Aplicando a equao 25 na equao 24, temos

1 lim lim 4 27Ou

14 28Escolhendo B = 0 nos leva a

14 29E

14 30Onde U deve ser escolhido de forma que G satisfaa as condies de contorno.

Podemos ento, com a funo de Green para o espao livre, reescrever a forma integral daequao de Poisson

31Como

(, ) 32Ou finalmente,


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4 334. Mtodo dos Momentos

Nosso interesse com o Mtodo dos Momentos o de resolver equaes com um operadorintegral. O mtodo dos momentos um procedimento genrico para a soluo da equao 1. Este

mtodo possui este nome pois baseia-se no processo de obter-se momentos ao se multiplicar por

uma funo de ponderao apropriada e integrar, como discutido anteriormente para o caso dos

resduos ponderados. Este mtodo essencialmente o mtodo dos resduos ponderados. Portanto,

aplicvel para a soluo de equaes diferenciais e integrais.

O procedimento para a aplicao do mtodo dos momentos para resolver a equao 1

usualmente envolve quatro passos:

1.

Derivao da equao integral apropriada,

2.

Converso (discretizao) da equao integral em uma equao matricial usandofunes de expanso e funes de ponderao,

3.

Clculo dos elementos da matriz, e

4.

Soluo da matriz para obter os parmetros de interesse.

Para o problema de um fio condutor fino de raio a e comprimento L, em espao livre, e com

L >> a, mantido a um potencial V0, colocado na origem e na direo do eixo z, temos que a

formulao integral que objetiva encontrar a distribuio de cargas da equao 33 pode ser reduzida

para

4

34

Para a densidade superficial, temos 2e portanto reduzimos nossa formulao para 2

35

sabido que uma integrao pode ser reescrita como uma soma infinita de termos

infinitesimais, ou seja

= 36Ou seja, o intervalo L dividido em N unidades de comprimento . Com o fio dividido em N

unidades de comprimento igual a /, a equao 35 torna-se2 11 22 37

Como a equao 37 se aplica a todos os pontos k do fio, definimos rncomo


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| | 38E portanto reescrevemos a equao 37 como

2 1| | 2| | | | 39

Os auto-termos sero dados pela expresso:

2

40

Ou seja,

2 2 2 41

Escrevendo as equaes 39 e 41 para cada um dos N pontos do fio, obtemos um sistema

linear:

2 2

2 2| | | |

2 1| | 2 2 | |2 1| | 2| | 2

2 42

Podemos ento reescrever a equao 41 em forma matricial

43Onde

[

22 ]

| | ,

44


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2 2

1

2

Neste trabalho, para que os valores z=0 e z=L sejam obtidos pela implementao, o valor N

incrementado em dois.

Para o caso em que a = 1mm, L = 10cm, 1e N = 20, temos a seguinte aproximaopara a distribuio superficial de carga no fio:

Z RHO (1e-8)

0 0.2452

0.0048 0.1968

0.0095 0.1845

0.0143 0.1779

0.0190 0.1736

0.0238 0.1708

0.0286 0.1687

0.0333 0.1673

0.0381 0.1663

0.0429 0.1657

0.0476 0.16540.0524 0.1654

0.0571 0.1657

0.0619 0.1663

0.0667 0.1673

0.0714 0.1687

0.0762 0.1708

0.0810 0.1736

0.0857 0.1779

0.0905 0.1845

0.0952 0.1968

0.1000 0.2452

Lembrando que com o detalhe explicado anteriormente, temos ento 22 valores calculados.

Importante salientar que este apenas um detalhe de implementao, e no interfere nos

resultados.

interessante ento observar o resultado para diferentes valores de N. A imagem 1 mostra

alguns resultados.


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Figura 1Plot da soluo para diversos N

A partir da densidade superficial possvel obter a densidade linear atravs da expresso 2. Desta forma, como

=

45

Na figura 2, mostra-se o resultado da convergncia da carga total no fio em funo das N

iteraes, e na figura 3 o mesmo resultado mostrado para a capacitncia em relao ao infinito.

Figura 2Convergncia da carga total


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Figura 3Convergncia da capacitncia

5.

Anlise dos Resultados

O mtodo dos momentos demonstrou-se ser uma ferramenta poderosa para calcular

aproximaes para equaes integrais. Porm, alguns problemas ficaram muito aparentes com a

formulao e as condies de simulao adotadas, onde por exemplo, no foi tomado o devido

cuidado adicional para no se ter problemas com aproximao ponto flutuante. Devido a estes, no

possvel calcular a aproximao para valores de N muito grandes, pois isto gera grandes oscilaes

no resultado, como mostrado na figura 4.

Figura 4Oscilaes no resultado aparecem aps N=60

Como o mtodo dos momentos baseado em uma forma extremamente primitiva de

integrao numrica (basicamente uma quadratura retangular centrada no n), tentou-se utilizar

uma forma levemente melhor, que seria a quadratura trapezoidal, dada por

2 46


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Desta forma, temos, ao invs do resultado obtido na equao 36:

2

2 2 47

Com este mtodo, foi possvel obter mais estabilidade e preciso nas simulaes. A figura 5

mostra um exemplo desta estabilidade. necessrio porm salientar que este um mtodo que

requer a montagem de um sistema um pouco mais complexo, e que este mtodo provavelmente

no pode mais ser chamado de mtodo dos momentos.

Figura 5Comparao dos dois mtodos para N = 90

6. Trabalhos Futuros

Uma possibilidade alm destas, seria a de se implementar um algoritmo de quadratura maisavanado, como a regra de Sampson. Esta regra diz que

6 4 2 48Com esta regra, e dado que

49

Podemos obter a expresso


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2 6 1 42 3 3 44 5

1 4 1

+

50

Lembrando que

| | 51Desta forma, obtemos

2 6 1 42 3| | 3 44 5| |

1 4 1| +| 52

E, simplificando e agrupando termos, chegamos em uma forma geral.

12 1| | 42| | 23 1| | 1| | 44| | 25 1| | 1| | 22 1

| | 1

| |

41| | | |53

Este mtodo no foi implementado neste projeto, portanto no possvel demonstrar sua

viabilidade.

7. Apndice A Cdigo MATLAB

a = 0.001;

e0 = 8.8541e-12;v0 = 1.0;L = 0.1;

N = 50;d = L/(N+2);

A = ones(N+2, N+2);

I=0:(N+1);

Z = d*I;

% Regra de quadratura. Retangular ou trapezoidal?rect = true;


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Ann = log((d+sqrt(d*d + a*a))/(-d+sqrt(d*d + a*a)));

% Regra trapezoidalif(rect == false)

fori=1:(N+2)

forj=1:(N+2)if(i ~= j)

A(i,j) = A(i,j)*(d/(abs(Z(i)-Z(j))));else

A(i,j) = A(i,j)*Ann;

if(j > 1)A(i,j-1) = A(i,j-1)/2;

endif(j < (N+2))

A(i,j+1) = A(i,j+1)/2;endend

end

end% Quadratura retangularelse

fori=1:(N+2)forj=1:(N+2)

if(i ~= j)A(i,j) = A(i,j)*(d/abs(Z(i)-Z(j)));

else

A(i,j) = A(i,j)*Ann;endend

endend

B = (2*v0*e0/a)*ones((N+2),1);

RHO = A\B;

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