Projeto Projeto Multigrid - Multigrid - IAE/CTA –maio/2008IAE/CTA –maio/2008 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica -PG-Mec - UFPR

Doutorando: Cosmo D. Santiago – MSc.Doutorando: Cosmo D. Santiago – MSc.Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng.Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng.

Otimização do método Otimização do método multigridmultigrid geométrico para sistemas de geométrico para sistemas de

equações 2D em CFDequações 2D em CFD

Objetivos dessa apresentação

Apresentar um resumo de resultados já obtidos.

Atividades em andamento

Resultados esperados

Objetivos dessa etapa da pesquisa

Obter parâmetros ótimos do método Obter parâmetros ótimos do método multigridmultigrid geométrico para 2 sistemas de equações. geométrico para 2 sistemas de equações.

Os parâmetros estudados são: - Iterações internas (ITI); - Número de níveis (L); - Influência do número de variáveis (N). Verificar a influência do número de variáveis no Verificar a influência do número de variáveis no multigridmultigrid

Verificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas sãoVerificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas são os mesmos obtidos para uma equação. os mesmos obtidos para uma equação.

pCPU cNNt )(

Problemas testes

Equação de LaplaceEquação de Laplace Equações de NavierEquações de Navier Equações BurgersEquações Burgers

LaplaceLaplace

NavierNavier BurgersBurgers(não-linear)(linear)

(linear)(FAS)(CS/FAS)

Esquema de comparaçãoEsquema de comparação

Modelos Matemáticos – 2D

• Equação de LaplaceEquação de Laplace

,y

T

x

T0

2

2

2

2

A solução analítica é dada por A solução analítica é dada por

T(x,y) = xyT(x,y) = xy..

1,0 yx

yyTxxTyTxT ,1,1,,0,00,

Com as seguintes condições de contorno:Com as seguintes condições de contorno:

• Equações de Navier (Termoelasticidade)Equações de Navier (Termoelasticidade)

,Sy

TC

y

v

x

v

y

v

x

u

yC

,Sx

TC

y

u

x

u

y

v

x

u

xC

v

u

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

onde:onde: Cλ = (1+ λ)/(1- λ) ee λ é a razão de Poissoné a razão de Poisson

)sinh(

ysinhxsiny,xT

é o campo de temperaturas. é o campo de temperaturas.

αα é o coeficiente de expansão térmica é o coeficiente de expansão térmica

uu e e vv são deslocamentos são deslocamentos

1,0 yx

Modelos Matemáticos – 2D

Solução analítica propostaSolução analítica proposta

11

11sin,

2

2

ee

eexyxu

yx

.xyy,xv 2e

Com as seguintes condições de contorno:Com as seguintes condições de contorno:

.

Inferior:Inferior: 00, xu 00, xve

1

11

2

2

e

exsin,xu

x

xxv 1,Superior:Superior: e

Direito:Direito: 1

1sin,1

e

exyu

y

21 yy,v e

Esquerdo:Esquerdo: 00 y,u 00 y,ve

Modelos Matemáticos – 2D

By

v

x

v

y

p

y

v

x

uv

y

u

x

u

x

p

y

vu

x

u

2

2

2

22

2

2

2

22

)(

)(

Modelos Matemáticos – 2D

• Equações de BurgersEquações de Burgers

1,0 yx

onde : onde :

pp é a pressão dada por Shih et al. (1989) é a pressão dada por Shih et al. (1989)

uu e e vv representam as velocidades.representam as velocidades.

BB é o termo fonteé o termo fonte

Modelos Matemáticos – 2D

yyxxxyxu 2428, 3234 2423 2648, yyxxxyxv

Solução analítica para as velocidades (SHIH et al., 1989)Solução analítica para as velocidades (SHIH et al., 1989)

e

As condições de contorno são:As condições de contorno são:

Inferior:Inferior:

Superior:Superior: e

Direito:Direito:

Esquerdo:Esquerdo:

234 2161, xxxxu 01 ,xv

000 y,vy,u

000 ,xv,xu

0,1,1 yvyu

Modelo numéricoModelo numérico

- Discretização com o Método de Diferenças FinitasDiscretização com o Método de Diferenças Finitas

- Malha uniformes nas duas direções coordenadasMalha uniformes nas duas direções coordenadas

- Aproximações: UDS/CDS para os termos advectivos e difusivos, respectivamenteAproximações: UDS/CDS para os termos advectivos e difusivos, respectivamente

- Multigrid Geométrico com ciclo VMultigrid Geométrico com ciclo V

- Razão de engrossamento padrão (2)Razão de engrossamento padrão (2)

- Restrição: InjeçãoRestrição: Injeção

- Prolongação: Interpolação bilinearProlongação: Interpolação bilinear

- Solver padrão: MSI Solver padrão: MSI

- Condições de contorno de DirichletCondições de contorno de Dirichlet

Para os três problemas:Para os três problemas:

ImplementaçãoImplementação

Linguagem: Fortran/95Linguagem: Fortran/95

MultigridMultigrid Geométrico com Ciclo V Geométrico com Ciclo V

Algoritmos: Algoritmos:

CS e FAS : Equação de Laplace e equações de NavierCS e FAS : Equação de Laplace e equações de Navier

FAS : Equações de BurgersFAS : Equações de Burgers

TolerânciaTolerância 1210

Conclusão: ITIoptimum = 2 (para os dois problemas)

Fig. 1: Comparação do número de iterações internas com os esquemas CS e FAS

Resultados Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier

(a) Iterações internas com CS (b) Iterações internas com FAS

Conclusão: ITIoptimum = 2 para Navier ITIoptimum = 8 para Laplace

Iterações internas (ITI)Iterações internas (ITI)

ótimoCPUmáximoCPU LtLt

Número de malhas (L)Número de malhas (L)

Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:

Fig. 2: Comparação do número de níveis com os esquemas CS e FAS

(a) Número de níveis com CS (b) Número de níveis com FAS

Resultados Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier

Número de variáveis (N)Número de variáveis (N)

Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:

Fig. 3: Comparação do esforço computacional com CS e FAS

(a) Ajuste de curva com CS (b) Ajuste de curva para Navier com FAS

MG: o tempo computacional cresce linearmente com o aumento do número de variáveis.SG : o tempo computacional cresce muito rapidamente com o aumento do número de variáveis.

Resultados Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier

Fig. 4: Comparação do número de iterações internas com o FAS

Fig. 5: Comparação do número de níveis

Fig. 6: Ajuste de curva para os 3 solvers

Observe-se que: Na Fig. 4, ITIoptimum = 5. ótimoCPUmáximoCPU LtLt

Na Fig. 6: MG: o tempo de CPU cresce linearmente com o aumento do nº de variáveis. SG : o tempo de CPU cresce muito rapidamente com o aumento do nº de variáveis.

Na Fig. 5,

Resultados Resultados Equação de Burgers (somente FAS)

Algumas conclusões Algumas conclusões

Resumo

ProblemaProblemaCSCS FASFAS

ITIITI LL SG(p)SG(p) MG(p)MG(p) ITIITI LL SG(p)SG(p) MG(p)MG(p)

NavierNavier22

max ou max ou max – 4max – 4 2.012.01 1.051.05

22 max ou max ou max – 4max – 4

1.961.96 1.151.15

LaplaceLaplace22 max ou max ou

max – 4max – 42.062.06 1.061.06 6 ou 86 ou 8

max ou max ou max – 4max – 4 2.062.06 1.081.08

BurgersBurgers 55max ou max ou max – 3max – 3 1.921.92 1.061.06

Esquema CSEsquema CS ITIITIoptimumoptimum = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o tempo = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o tempo

de CPU.de CPU.

O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, LLoptimumoptimum ≈≈ L Lmaximummaximum. . O número de malhas pode afetar significativamente o O número de malhas pode afetar significativamente o

tempo de CPUtempo de CPU

O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do número de variáveis.número de variáveis.

O acoplamento de duas equações não degenera a perfomance do O acoplamento de duas equações não degenera a perfomance do multigridmultigrid quando comparado com o caso de uma equação.quando comparado com o caso de uma equação.

Verificou–se que:

Algumas conclusões Algumas conclusões

Equação de Laplace x Equações de Navier

Esquema FASEsquema FAS

ITIITIoptimumoptimum = 8, (Equação de Laplace) = 8, (Equação de Laplace) ITIITIoptimumoptimum = 2, (Equações de Navier) = 2, (Equações de Navier)

O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.

Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS).Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS).

Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS).Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS).

O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS)O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS)

Algumas conclusões Algumas conclusões

ITIITIoptimumoptimum = 5, em todas as malhas. = 5, em todas as malhas.

O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.

Nº de níveis (Idem aos casos anteriores).Nº de níveis (Idem aos casos anteriores).

Acoplamento (Idem aos casos anteriores).Acoplamento (Idem aos casos anteriores).

O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores).O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores).

Algumas conclusões Algumas conclusões

Equações de Burgers (apenas esquema FAS)

Próximas etapasPróximas etapas

Otimizar o método Otimizar o método multigridmultigrid geométrico ciclo V para geométrico ciclo V para as equações de Navier-Stokes nas formulações:as equações de Navier-Stokes nas formulações:

Função Corrente-Velocidade (mai/jun);Função Corrente-Velocidade (mai/jun);

Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set);Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set);

Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez);Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez);

Modelo numérico:Modelo numérico:

Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.

Próximas etapasPróximas etapas

Resultados esperados:Resultados esperados:

Otimizar o método Otimizar o método multigridmultigrid geométrico ciclo V para geométrico ciclo V para problemas com duas equações; problemas com duas equações;

Mostrar que o acoplamento das equações nãoMostrar que o acoplamento das equações não degenera a performance do método degenera a performance do método multigrid.multigrid.

Obter parâmetros ótimos do Obter parâmetros ótimos do multigrid multigrid para as equaçõespara as equações de Navier-Stokes em formulações alternativas. de Navier-Stokes em formulações alternativas.

AgradecimentosAgradecimentos

- A Agencia Espacial Brasileira – AEB pelo suporte financeiro- Laboratório de Experimentação Numérica (LENA) do Demec/UFPR;- Prof. Marchi- Meus amigos do LENA.