Projeto Pré-Vestibular

EE Francisco D´amico Taboão da Serra 2010

MATEMÁTICA

Professores:

Julio Cesar, Luis, Marlua, Minoru, Morgana,

Raquel,Rodrigo

TEORIA DOS CONJUNTOS Um pouco de História Símbolos lógicos Pertinência Representação Igualdade e Desigualdade Inclusão Reunião e Intersecção Diferença Exercícios resolvidos Exercícios de Vestibulares

Aula 01

Um Pouco de História

Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845–1918), e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva.Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos.

Nascimento3 de Março de 1845São Petersburgo

Falecimento6 de Janeiro de 1918 (72 anos)

Nacionalidade

Russo

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Símbolos Lógicos

Pertinência

Igualdade e DesigualdadeIgualdade e Desigualdade

RepresentaçãoRepresentação

InclusãoInclusão

Diferença e ComplementarDiferença e Complementar

União e IntersecçãoUnião e Intersecção

Exemplo 1Exemplo 1

Resolução

3000 pessoas

EN

DN

FM

100

200

250

400

450 400

650

1000 liam o DN1100 liam o EN1400 liam a FM

300 liam o DN e o EN

500 liam a FM e o EN

350 liam a FM e o DN

100 liam os três jornais

Informações

550Nenhum dos Jornais

Resolução

1000 pessoas

400 pessoas

Temos: 400 + 650 = 1050 pessoas

550 pessoas

Temos: 450 + 400 + 350 = 1500 pessoas

Temos: 100 + 400 + 200 + 250 = 950 pessoas

ResoluçãoResolução

Exemplo 2

Resolvendo:

Informações:A B

128 40

Temos Portanto:

Número de elementos de B é: 12 + 40 = 52 elementos

Alternativa e

Exemplo 2

Exercícios

01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é:a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a.

02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim:a) 150 operários trabalham em 2 períodos;b) há 500 operários na indústria;c) 300 operários não trabalham à tarde;d) há 30 operários que trabalham só de manhã;e) N.d.a.

03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado está resumido na tabela abaixo.

150 180 100 30 40 25 20 245

O número total de alunos da escola é:a) 790 b) 600 c) 675 d) 570 e) 335

04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X é:a) 22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20

05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:b) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%

06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:210 compram o produto A.210 compram o produto B.250 compram o produto C.20 compram os três produtos.100 não compram nenhum dos três produtos.60 compram os produtos A e B.70 compram os produtos A e C.50 compram os produtos B e C.Quantas pessoas foram entrevistadas?

07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês?

Exercícios

08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes?

09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 18

10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam somente Física?

a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. d) 5 e 2. e) 3 e 4.

Exercícios

Gabarito

Resolução dos Exercícios

01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é:a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a.

Resolvendo:Informações:

Total (Universo) = 360Estudam Português P = 180Estudam matemática M= 240Estudam Português e

MatemáticaP∩M = ?

360 Alunos

P M

Temos que:240 + 180 = 420Se temos 360 alunos logo:

420 – 360 = 60 alunos

Temos no diagrama:P ∩ M = 60P = 180 M = 240

60120 180

Resolução dos Exercícios

02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim:a) 150 operários trabalham em 2 períodos;b) há 500 operários na indústria;c) 300 operários não trabalham à tarde;d) há 30 operários que trabalham só de manhã;e) N.d.a.

Informações:M = 120T = 130N = 80MT = 60MN = 50TN = 40MTN = 20

M

N

T

2020

30

40

10

5030

Respondendo Temos:Há 30 operários que trabalham só de manhã

Resolução dos Exercícios

03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado está resumido na tabela abaixo.

150 180 100 30 40 25 20 245O número total de alunos da escola é:a) 790 b) 600 c) 675 d) 570 e) 335

Informações:A = 150B = 180C = 100A ∩ B = 30A ∩ C = 40C ∩ B = 25A ∩ B ∩ C = 20Nenhum = 245

A

C

B

245

20520

10

55

145

100

Temos Portanto:

Total de Alunos = 100+20+20+10+145+5+55+245 = 600 alunos

Resolução dos Exercícios

04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X é:a) 22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20

Informações:

M4 = 12

M6 = 7

M12 = 5

M4 ∩ M6 ∩ M12 = 5

I= 8

Resolvendo:Importante observar que os múltiplos de 12 também são múltiplos de 4 e 6. Portanto temos:12- 5 = 77-5 = 2 Então 5 é a intersecção entre M4 M6 e M12. Vejamos no Diagrama:

M4

M12

M6

I5

7

0

2

8Temos então: 7+5+2+8 = 22 elementos

Resolução dos Exercícios

05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:a) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%

Informações:Jornal A = 80%Jornal B = 60%A ∩ B = ?

Resolvendo:

Temos 80 + 60 = 140 Façamos agora : 140-100 = 40% No diagrama temos:

A B

4040 20Temos portanto o percentual de alunosQue lêem ambos é 40%

Resolução dos Exercícios

06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:210 compram o produto A.210 compram o produto B.250 compram o produto C.20 compram os três produtos.100 não compram nenhum dos três produtos.60 compram os produtos A e B.70 compram os produtos A e C.50 compram os produtos B e C.Quantas pessoas foram entrevistadas?

Informações:A = 210B = 210C = 250AB = 60AC = 70BC = 50ABC = 20Nenhum = 100

Resolvendo:

A

C

Nenhum

B

100

20

3050

40

150

120

100

Temos no Total:100+40+20+50+120+30+150+

100 =

610 Pessoas

Resolução dos Exercícios

07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês?

Informações:Total: 45I e F = 13F = 22I = ?

Temos No Diagrama:

I F

13

9 Se temos um total de 45 alunosFazemos 45-22 = 23 alunos

Portanto temos:23 +13 =

36 alunos que estudam Inglês

23

Resolução dos Exercícios

08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes?

Informações:AUB = 2200A = 1600A∩B = 600B = ?

No diagrama Temos:

A B

6001000Se temos 2200 pessoas

fazemos:2200-1600 =600 pessoas.Portanto são: 600 + 600=1200 sócios do clube B

600

Resolução dos Exercícios

09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 18

Informações:Total = 94F = 56L = 41F ∩ L = 21Nenhum =

Temos No diagrama:

F L

Nenhum

21 2035

Temos portanto:94 – 76 = 18 pessoas

18

18

Resolução dos Exercícios

10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam somente Física?

a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. d) 5 e 2. e) 3 e 4.

Informações:M = 10F = 9Q = 7MF = 4MQ = 0QF = ?Somente F =

Temos no diagrama:

M

Q

F4

0

6

Temos: Se somarmos 6 + 4 + 9 + 7 = 22Portanto temos 2 professores que é exatamente a Intersecção entre Química e Física.Logo temos: 9 – 2 = 77 – 2 = 5 Professores de Física e Química são 2 e somente Física são 3

2

5

3

EE Francisco D´amicoTaboão da Serra SP

Professores: Julio Cesar

Ensino Médio

Luis GonzagaEnsino Fundamental

MarluaReforço Ensino Fundamental

MinoruEnsino Médio

MorganaEnsino Fundamental

RodrigoEnsino Fundamental

Direção e CoordenaçãoMônica Arezes

Diretora

Patricia PereiraCoordenadora

Carina MaganinCoordenadora