UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁDEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

VICTOR RENAN BOLZON

PROJETO ÓTIMO DE UM MANIPULADOR PARALELO PLANAR DEDOIS GRAUS DE LIBERDADE

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

CORNÉLIO PROCÓPIO2018

VICTOR RENAN BOLZON

PROJETO ÓTIMO DE UM MANIPULADOR PARALELO PLANAR DEDOIS GRAUS DE LIBERDADE

Dissertação apresentada ao Programade Pós-Graduação em Engenharia Mecâ-nica da Universidade Tecnológica Fede-ral do Paraná – Câmpus Cornélio Procó-pio, como requisito para a obtenção dotítulo de Mestre em Engenharia Mecâ-nica.

Orientador: Prof. Dr. Fabian Andres LaraMolina

CORNÉLIO PROCÓPIO2018

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

B694 Bolzon, Victor Renan

Projeto ótimo de um manipulador paralelo planar de dois graus de liberdade / VictorRenan Bolzon. – 2018.

90 f. : il. color. ; 31 cm.

Orientador: Fabian Andres Lara Molina.Dissertação (Mestrado) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa

de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Cornélio Procópio, 2018.Bibliografia: p. 79-82.

1. Manipuladores (Mecanismo). 2. Projetos ótimos (Estatísticas). 3. Elastômeros. 4.Engenharia Mecânica – Dissertações. I. Molina, Fabian Andres Lara, orient. II.Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação emEngenharia Mecânica. III. Título.

CDD (22. ed.) 620.1

Biblioteca da UTFPR - Câmpus Cornélio ProcópioBibliotecários/Documentalistas responsáveis:

Simone Fidêncio de Oliveira Guerra – CRB-9/1276Romeu Righetti de Araujo – CRB-9/1676

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Câmpus Cornélio Procópio Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

Av. Alberto Carazzai, 1640 - 86.300-000- Cornélio Procópio – PR. Tel. +55 (43) 3520-3939 / e-mail: ppgem-cp@utfpr.edu.br / www.utfpr.edu.br/cornelioprocopio/ppgem

Título da Dissertação Nº 025:

“Projeto Ótimo de um Manipulador Paralelo de Dois Graus de Liberdade”.

por

Victor Renan Bolzon

Orientador: Prof. Dr. Fabian Andres Lara Molina

Esta dissertação foi apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA – Área de Concentração:

Ciências Mecânicas, linha de pesquisa: Dinâmica De Sistemas Mecânicos, pelo

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – PPGEM – da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR – Câmpus Cornélio Procópio, às 10h do

dia 05 de março de 2018. O trabalho foi aprovado pela Banca Examinadora, composta pelos professores:

__________________________________ Prof. Dr. Fabian Andres Lara Molina

(Orientador – UTFPR - CP)

__________________________________ Profa. Dra. Sandra Mara Domiciano

(UTFPR - CP)

_________________________________ Prof. Dr. Ricardo Breganon

(IFPR – Campus Jacarezinho)

Visto da coordenação:

__________________________________ Prof. Dr. Vagner Alexandre Rigo

Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

UTFPR Câmpus Cornélio Procópio

Persistence is the shortest path to success.(Charles Chaplin)

AGRADECIMENTOS

Agradeço, em primeiro lugar, a Deus que iluminou o meu caminho duranteesta caminhada.

Gostaria de agradecer o professor Dr. Fabian pela confiança, pela oportuni-dade de trabalhar neste tema e incentivo que tornaram possível a conclusão destetrabalho.

Aos professores do PPGEM, por todo o conhecimento, suporte e ensinamen-tos que foram o alicerce para o meu desenvolvimento acadêmico e realização destetrabalho.

Depois a minha família, em especial aos meus pais João Roberto e Lisete, eminha irmã Isabela, pelo apoio, dedicação, amor, carinho e compreensão, sem vocêsnada disso seria possível.

A minha namorada, Ana Carolina, por toda a força, companheirismo, apoio eprincipalmente com paciência para enfrentar os problemas.

Leandro Martins, Erik, Daniel, William e Felipe Bertola muito obrigado pelastrocas acadêmicas, por todos os cafés feitos no laboratório e por todas as conversas.

A CAPES pelo apoio financeiro, fundamental para a realização deste trabalho.

RESUMO

BOLZON, V. R. Projeto Ótimo de Um Manipulador Paralelo Planar de Dois Graus deLiberdade. Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica – Área: Sistemas Di-nâmicos – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2018.

Este trabalho visa propor um procedimento alternativo para o projeto ótimo de ummanipulador paralelo planar flexível de dois graus de liberdade, utilizando índices dedesempenho baseado em critérios cinemáticos e dinâmicos simultaneamente. A mo-delagem cinemática e dinâmica completa permite estabelecer o tamanho do espaçode trabalho e o desempenho elastodinâmico, respectivamente. Baseado nos critériosde desempenho será apresentada também uma metodologia para realizar o projeto domanipulador solucionando o problema de otimização multiobjetivo para obter os com-primentos dos elos. Inicialmente, os critérios de desempenho são otimizados separa-damente. E em seguida, será realizada uma otimização multiobjetivo para solucionaro projeto ótimo multiobjetivo. Os Algoritmos Genéticos foram utilizados como uma fer-ramenta para solução dos respectivos problemas de otimização. Os resultados dessaotimização permitiram encontrar o conjunto de soluções ótimas denominada fronteirade Pareto. Esses resultados foram analisados para determinar os parâmetros estrutu-rais do manipulador paralelo para encontrar a solução mais adequada para a aplica-ção desejada. A construção do protótipo do manipulador paralelo planar foi realizadaa partir dos parâmetros ótimos determinados.

Palavras-chaves: Projeto Ótimo, Manipulador Paralelo, Índice de Desempenho Elas-todinâmico, Espaço de Trabalho, Otimização Multiobjetivo.

ABSTRACT

BOLZON, V. R. Optimal Design of a Planar Parallel Manipulator of Two Degrees ofFreedom. MSc. Thesis, Federal Technological University of Paraná. Cornélio Procópio,2018.

This work aims at proposing an alternative procedure for the optimal design of a flexibleplanar parallel manipulator of two degrees of freedom by using performance indexesbased on kinematic and dynamic criteria simultaneously. The complete kinematic anddynamic models allow establishing the workspace size and the elastodynamic perfor-mance, respectively. The manipulator design methodology, based on the performancecriteria, is obtained by solving a multiobjective optimization problem. The optimal de-sign variables derived from the optimization process are the optimal links lengths. Inthe optimal design procedure, initially, the performance criteria will be optimized sep-arately. Then, a multiobjective optimization will be performed to obtain the optimalmultiobjective design. The Genetic Algorithms were used as a tool to solve the corre-sponding optimization problems. The results of these optimizations allowed to find theset of optimal solutions denominated the Pareto Front. These results were analyzedin order to determine the structural parameters of the parallel manipulator to find themost suitable configuration for the desired application. Once the optimal and suitableparameters were established, it was carried out the construction of the prototype of theparallel planar manipulator.

Key-words: Optimal Design, Parallel Manipulator, Elastodynamic Performance, Workspace,Multiobjective Optimization.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Componentes de um sistema robótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 2 – Componentes de um manipulador robótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 3 – Manipulador paralelo 3-PRC.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 4 – Modelo do manipulador de três graus de liberdade no Adams R○. . . . . 29Figura 5 – Protótipo do manipulador 5 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 6 – Protótipo do manipulador de dois graus de liberdade PKM. . . . . . . . . . . 30Figura 7 – Robô paralelo planar de dois graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 8 – Espaço de trabalho útil e 𝑀𝐼𝐶. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 9 – Cadeia cinemática com flexibilidade na junta ativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 10 – Estrutura do NSGA-II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 11 – Fronteira de Pareto para duas funções objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 12 – Espaço de projeto do mecanismo paralelo planar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 13 – Atlas do raio do MIC, 𝑟𝑀𝐼𝐶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 14 – Atlas de desempenho elastodinâmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Figura 15 – Análise dinâmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 16 – Comprimentos dos elos durante a otimização do espaço de tra-

balho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Figura 17 – Otimização do espaço de trabalho e desempenho elastodinâmico. 65Figura 18 – Comprimento dos elos durante a otimização do desempenho

elastodinâmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Figura 19 – Otimização do desempenho elastodinâmico e espaço de trabalho. 67Figura 20 – Fronteira de Pareto no espaço de critério. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Figura 21 – Fronteira de Pareto no espaço de projeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Figura 22 – Representação dos manipuladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 23 – Desempenho elastodinâmico dentro do espaço de trabalho. . . . . . . . 71Figura 24 – Modelo 3D CAD do robô paralelo de dois graus de liberdade. . . . . . . 72Figura 25 – Vista frontal e lateral do robô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Figura 26 – Posição, velocidade e aceleração durante a trajetória. . . . . . . . . . . . . . . 74Figura 27 – Torques dos atuadores durante a execução da trajetória. . . . . . . . . . . . 75Figura 28 – Primeira cadeia cinemática construída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 29 – Projeto e juntas fabricadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 30 – Montagem completa do manipulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Parâmetros do Algoritmo Genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Tabela 2 – Parâmetros utilizados no NSGA-II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Tabela 3 – Valores da função objetivo obtidos e as variáveis correspondentes. 69Tabela 4 – Comprimento adimensionais dos elos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Tabela 5 – Propriedades gerais dos elos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Tabela 6 – Premissas da escolha dos motores do projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Tabela 7 – Especificações do Motor DC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

3-PRC Robô com juntas prismáticas, angulares e cilíndricas3-RRR Robô com três juntas angularesGAS Algoritmos GenéticosGDL Graus de LiberdadeCAD Desenho assistido por computadorISO Organização Internacional para NormalizaçãoMIC Círculo Máximo InscritoMIW Espaço de trabalho Máximo InscritoNSGA-II Non-dominated Sorting Genetic Algorithm IIPRRRP Robô com duas juntas prismáticas e três angulares

LISTA DE SÍMBOLOS

𝑟𝑖 Comprimento dos elos

��𝑝 Posição do efetuador final no eixo x

𝑦𝑝 Posição do efetuador final no eixo y

𝜏 Torque das juntas

𝜏 𝑎 Torque das juntas ativas

𝜃𝑖 Vetor do torque nas juntas ativas e passivas

𝜃𝑚 Posição angular dos motores antes da flexibilidade das juntas ativas

𝜆𝑒 Critério de desempenho elastodinâmico

C𝑖 Matriz de Coriolis

D Matriz dinâmica

f𝑖 Vetor do atrito das juntas passivas e ativas

f𝑝 Atrito nas juntas passivas

f𝑘𝑎 Torque elástico nas juntas ativas

f𝑘𝑖 Torque elástico das juntas ativas

f𝑘𝑝 Torque elástico nas juntas passivas

f𝑘 Torque elástico nas juntas

J Matriz Jacobiana

KC Matriz de rigidez nas coordenadas cartesianas

K Matriz de rigidez

MC Matriz de massa nas coordenadas cartesianas

M Matriz de massa

M𝑖 Matriz de inércia

p Ponto de localização do efetuador final

𝜃𝑎𝑖 Ângulos das juntas ativas

𝐴𝑖 Localização das juntas ativas

𝐵𝑖 Localização das juntas passivas

𝐶𝑟 Critério de Convergência NSGA-II

𝑐𝑎𝑖 Cosseno de 𝜃𝑎𝑖

𝑑𝑗𝑖 Centro de massa dos elos

𝑓(𝑋) Função objetivo

𝐹 (𝑥𝑛) Função de aptidão

𝐹1 Soluções do melhor conjunto não dominado

𝑔𝑗 Restrições de inequalidade

𝑖 Contador 1

𝑖𝑚𝑎𝑥 Número máximo de gerações

𝐼𝑧𝑗𝑖 Momento de inércia dos elos

𝑗 Contador 3

𝑘𝑖 Mola de torção elástica

𝑘𝑖 Rigidez adimensional dos elos

𝑘𝑡 Rigidez das juntas

𝑙𝑗 Restrições de igualdade

𝑚 Tamanho da população

𝑚𝑡 Massa dos elos

𝑚𝑗𝑖 Massa adimensional dos elos

𝑁 Tamanho da população

𝑛 Dimensão da matriz ou vetor

𝑂 Ponto de referência fixo

𝑃0 População de pais

𝑝𝑐 Probabilidade de cruzamento

𝑝𝑚 Probabilidade de mutação

𝑄0 População filha

𝑅𝑡 População combinada

𝑟𝑀𝐼𝐶 Raio do Círculo Máximo Inscrito

𝑠𝑎𝑖 Seno de 𝜃𝑎𝑖

𝑠𝑓𝑚𝑎𝑥 Desvio Padrão máximo para o critério de convergência

𝑡 Contador 2

𝑊 Espaço de Trabalho Dimensional

𝑊𝑛 Espaço de Trabalho Adimensional

𝑋 Vetor de projeto

𝑥𝑛 Variáveis de projeto

𝑟𝑖 Comprimento adimensional dos elos

𝑥𝑝 Posição do efetuador final no eixo x adimensionalizadas

𝑦𝑝 Posição do efetuador final no eixo y adimensionalizadas

∆x Deslocamento incremental do corpo rígido

∆𝜃 Vetor da aceleração das juntas

∆𝜃 Vetor da velocidade das juntas

∆𝜏 Vetor perturbação no sistema

∆𝜃 Vetor do deslocamento das juntas

𝜆𝑖 Conjunto de Autovalores da Matriz dinâmica D

𝜑𝑖 Conjunto de Autovetores da Matriz dinâmica D

D Variável para adimensionalizar

SUMÁRIO

Lista de ilustrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Lista de tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 INTRODUÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1 PROBLEMA DA PESQUISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 JUSTIFICATIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 OBJETIVOS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 ORGANIZAÇÃO DESTE TRABALHO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ROBÓTICOS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.1 Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Efetuador Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4 Atuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.5 Elos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.6 Classificação de Robôs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 REVISÃO DE TRABALHOS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Modelagem de Manipuladores Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Projeto e Construção de Robôs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3 Projeto Ótimo de Manipuladores Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1 METODOLOGIA DE PROJETO DE ROBÔS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.1 Processos para o Desenvolvimento de um Manipulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2 Critérios de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 MODELAGEM DO ROBÔ PARALELO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.1 Modelo Cinemático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1.1 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.1.2 Espaço de Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Modelo Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2.1 Dinâmica das Cadeias Cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2.2 Modelo Dinâmico Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 OTIMIZAÇÃO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.1 Definições de um Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.1.1 Vetor de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1.2 Restrições de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1.3 Função Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.2 Algoritmos Genéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.2.1 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2.2 Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.3 NSGA-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.3.1 Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.4 Fronteira de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.1 Espaço de Projeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.2 Critério Baseado no Espaço de Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.3 Critério de Desempenho Elastodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DA OTIMIZAÇÃO.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 DIMENSIONALIZAÇÃO DOS PARÂMETROS ESTRUTURAIS . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 ANÁLISE DINÂMICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 RESULTADOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1 MAXIMIZAÇÃO DO ESPAÇO DE TRABALHO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2 MAXIMIZAÇÃO DA PERFORMANCE ELASTODINÂMICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 PROJETO ESTRUTURAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5 ESTUDO DINÂMICO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.6 CONSTRUÇÃO DO PROTÓTIPO.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.1 TRABALHOS FUTUROS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

ANEXOS 84ANEXO A – MODELAGEM DINÂMICA DETALHADA . . . . . . . . . . . . . . . 85ANEXO B – TRAJETÓRIA PARA ANÁLISE DINÂMICA . . . . . . . . . . . . 89ANEXO C – PROJETO E LISTA DE PEÇAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

16

1 INTRODUÇÃO

Os robôs estão presentes em muitos aspectos na vida humana. Eles podem

substituir seres humanos em ambientes perigosos, apresentam alta precisão e repeti-

tividade em suas tarefas, e além disso podem trabalhar por dias sem descanso.

Um robô paralelo é constituído por um efetuador final com n graus de liber-

dade e de uma base fixa, unidos entre si por ao menos duas cadeias cinemáticas

independentes. A atuação ou movimento das cadeias cinemáticas ocorre através de

n atuadores (MERLET, 2006).

Devido as suas características, as aplicações de robôs paralelos são bem am-

plas, podem-se destacar: simuladores de voo (STEWART, 1965) simuladores veicular

(ZHANG; ZHANG, 2013), treliças ajustáveis articuladas (XU; FAN; LI, 2001), sensores

de força e torque (RANGANATH et al., 2004) e máquinas industriais (PIERROT et al.,

2009). Adicionalmente, em virtude de sua alta precisão são utilizados como robôs

cirúrgicos (WAPLER et al., 2003). Os robôs paralelos apresentam algumas vantagens

potenciais em relação aos robôs seriais, tais como baixa inércia, alta velocidade de

operação, alta rigidez e melhor precisão de posicionamento (TSAI, 1999). Em contra-

partida, estes têm um espaço de trabalho reduzido e singularidades cinemáticas no

interior do espaço de trabalho (GOGU, 2008).

Para que os robôs desempenhem sua tarefa da melhor forma possível, o pro-

jeto do manipulador robótico visando uma performance superior deve ser realizado

com base nos critérios de desempenho. Para realizar o projeto de um robô paralelo,

existem basicamente duas abordagens diferentes, tentativa e erro e o projeto ótimo.

A primeira consiste em modificar manualmente os parâmetros geométricos do meca-

nismo e depois avaliar o desempenho após cada modificação, até que seja obtido um

mecanismo que seja considerado satisfatório. Esta abordagem depende muito da in-

tuição e experiência. E o número de parâmetros necessários para definir a geometria

de um manipulador paralelo dificulta o uso dessa técnica.

Enquanto que o projeto ótimo é um procedimento numérico para determinar a

17

geometria do mecanismo, utilizando técnicas de otimização, como por exemplo Algo-

ritmos Genéticos (GAO et al., 2010), Enxame de Partículas (KUCUK, 2013), Evolução

Diferencial (WANG; HAO; CHENG, 2008), Algoritmos Genéticos Multiobjetivo (BOU-

NAB, 2016), NSGA-II (DANESHMAND et al., 2016), entre outros, de modo que um

ou vários critérios de desempenhos sejam otimizados. Para melhor compreender e

comparar o desempenho de robôs paralelos, são definidos critérios de desempenhos

propostos para caracterizar suas propriedades (KHALIL et al., 2007).

O projeto ótimo de robôs paralelos tem como objetivo determinar os parâ-

metros estruturais, como por exemplo, as dimensões dos elos a fim de alcançar um

desempenho ótimo com base em critérios de desempenho preestabelecidos. Muitos

trabalhos propostos previamente na literatura sobre projeto ótimo de robôs paralelos

consideraram diferentes metodologias e critérios de desempenho a serem otimiza-

dos. Os principais critérios de desempenho considerados consistem na otimização

da rigidez (GAO et al., 2010), maximização da destreza cinemática (HOSSEINI; DA-

NIALI; TAGHIRAD, 2011), minimização do consumo energético (KUCUK, 2013), oti-

mização do torque dos atuadores (SAAFI; LARIBI; ZEGHLOUL, 2017), otimização do

desempenho dinâmico (LARA-MOLINA; KOROISHI; DUMUR, 2016), maximização do

espaço de trabalho (YUN; LI, 2011), entre outros.

1.1 PROBLEMA DA PESQUISA

O projeto ótimo dos robôs paralelos é uma área de pesquisa amplamente es-

tudada na atualidade que visa determinar os parâmetros construtivos do robô para

otimizar seu desempenho. Consequentemente, muitos trabalhos têm sido desenvol-

vidos com o objetivo de otimizar critérios de desempenho específicos resultando em

um projeto ótimo de um robô, que considera um único objetivo (CHABLAT; WENGER,

2003) (KUCUK; BINGUL, 2005) (ALESSANDRO; ROSARIO, 2014). Alternativamente,

diversos autores têm desenvolvido o projeto multiobjetivo de manipuladores rígidos

(DANESHMAND et al., 2016) (ABDOLSHAH et al., 2017) e considerando unicamente

18

critérios de desempenho dinâmicos (GAO et al., 2010) (ALESSANDRO; ROSARIO,

2014).

No entanto, este trabalho propõe desenvolver uma nova abordagem para o

projeto ótimo de um manipulador paralelo planar com juntas ativas flexíveis. Para isto,

critérios de desempenho serão estabelecidos com base na cinemática e dinâmica do

robô paralelo. Através dos critérios estabelecidos, será definido um problema de oti-

mização multiobjetivo para obter os parâmetros geométricos do robô paralelo. Esses

parâmetros serão avaliados para a elaboração do projeto final do manipulador com o

objetivo da construção do protótipo.

1.2 JUSTIFICATIVAS

A utilização de robôs na indústria cresceu muito nos últimos anos com o

avanço tecnológico obtido através das pesquisas realizadas. Porém, para que um

robô seja utilizado industrialmente é preciso que apresente características como alta

precisão, velocidade e bom desempenho dinâmico. Apesar das vantagens oferecidas

por manipuladores paralelos, que serão abordadas no próximo capítulo, a extensa

pesquisa na área levou à conclusão de que apresentam um espaço de trabalho limi-

tado e com configurações singulares (TSAI, 1999).

Alguns robôs industriais são construídos maciços, para aumentar a rigidez e

assim, movem-se a velocidades inferiores à frequência natural fundamental do sis-

tema devido às limitações no torque do atuador. Entretanto, um manipulador robótico

mais leve pode ter vantagens, como maior velocidade, melhor eficiência energética e

maior relação peso e carga. No entanto, em altas velocidades de operação, as forças

inerciais aumentam, que podem levar a uma deformação considerável dos braços,

gerando fenômenos de vibração indesejados (WANG; GAO, 2003).

Muitos trabalhos foram desenvolvidos neste sentido para otimizar o desempe-

nho dos robôs paralelos. Carbone et al. (2008) utilizaram uma otimização multiobjetivo

com algoritmos genéticos para obter uma solução numérica eficiente no planejamento

19

da trajetória de um robô paralelo de três graus de liberdade, como critérios ótimos

foram definidas a energia gasta pelos atuadores e tempo de viagem da trajetória do

robô. Kucuk e Bingul (2005) elaboraram o projeto ótimo de um robô serial, encon-

trando as dimensões dos braços com a finalidade de otimizar o espaço de trabalho.

Alessandro e Rosario (2014) otimizaram a performance elastodinâmica de um robô

delta com o objetivo de diminuir a primeira frequência natural da estrutura do robô pa-

ralelo. Abdolshah et al. (2017) estudaram o projeto ótimo de um manipulador paralelo

com cabos flexíveis que otimiza simultaneamente dois critérios de desempenho: rigi-

dez e destreza. Daneshmand et al. (2016) realizaram o projeto ótimo de um manipu-

lador paralelo esférico, através da otimização multiobjetivo do critério de performance

cinestático e o espaço de trabalho.

A modelagem é fundamental para que se conheça não somente as caracterís-

ticas cinemáticas do manipulador, mas a dinâmica envolvendo o comportamento dos

atuadores e as forças que agem no manipulador.

Visando um melhor desempenho, faz-se necessário o uso de uma otimiza-

ção multiobjetivo com os critérios de desempenho preestabelecidos para que sejam

conhecidos e possíveis erros de projetos evitados computacionalmente, o que acaba

diminuindo os custos do desenvolvimento do projeto e de falha. Tornando o manipu-

lador robótico competitivo industrialmente.

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo Geral

O objetivo principal desse trabalho é definir um procedimento alternativo para

realizar o projeto ótimo do manipulador paralelo de dois graus de liberdade, visando

obter os parâmetros dimensionais para a construção de um protótipo.

20

1.3.2 Objetivos Específicos

∙ Desenvolver a modelagem cinemática e dinâmica do manipulador paralelo de

dois graus de liberdade;

∙ Utilizar o software Matlab R○ para realizar a implementação computacional da mo-

delagem cinemática e dinâmica do manipulador paralelo de dois graus de liber-

dade;

∙ Definir os critérios de desempenho que serão utilizados na otimização dos parâ-

metros estruturais do manipulador;

∙ Realizar o projeto ótimo mediante uma otimização multiobjetivo seguindo os cri-

térios de desempenho definidos;

∙ Analisar os resultados obtidos com as simulações realizadas, otimização mul-

tiobjetivo, o projeto do protótipo para a construção do manipulador paralelo de

dois graus de liberdade;

∙ Fazer uma análise dinâmica para o dimensionamento dos motores e definição

de componentes a serem utilizados;

∙ Desenvolver o projeto do manipulador e elaborar o modelo 3D CAD;

∙ Construir o protótipo experimental, com base no modelo CAD e nos resultados

da otimização multiobjetivo.

1.4 ORGANIZAÇÃO DESTE TRABALHO

Este trabalho está organizado em 6 capítulos. No segundo capítulo será apre-

sentada uma revisão bibliográfica e também serão abordados trabalhos relacionados

com o tema desta dissertação. No capítulo 3 é apresentada a modelagem do robô

utilizado nesta contribuição e a definição das técnicas de otimização utilizadas e seus

21

respectivos termos. O capítulo 4 definirá a metodologia que será utilizada para atingir

o escopo deste trabalho, serão apresentados os critérios de desempenho e a definição

do problema da otimização associado do projeto ótimo. No capítulo 5 serão apresenta-

dos os resultados. Finalmente, no último capítulo apresentará as considerações finais

e conclusões deste trabalho.

22

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Este capítulo realiza uma introdução sobre sistemas robóticos apresentando

conceitos fundamentais abordados no trabalho. Adicionalmente, uma revisão sobre

trabalhos relacionados ao tema desta contribuição será apresentada.

2.1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ROBÓTICOS

Com base na definição da Organização Internacional para Normalização (ISO

8373:2012), um robô é um "mecanismo atuado programável em dois ou mais eixos

com um grau de autonomia, movendo-se em seu ambiente, para realizar tarefas pre-

tendidas". Segundo a designação da Robotics Institute of America, um robô é um

manipulador multifuncional reprogramável projetado para mover materiais, partes, fer-

ramentas ou dispositivos específicos através de movimentos variáveis programados

para o desempenho de uma variedade de tarefas (JAZAR, 2010). Um robô pode ser

definido também, como um dispositivo mecânico controlado que muitas vezes substitui

ou pode substituir parcialmente um trabalhador no meio industrial. Em casos onde são

necessários alta velocidade e precisão dos movimentos ou em ambientes inadequa-

dos a presença humana. Embora a versatilidade dos robôs não seja igual a dos seres

humanos, são muito mais flexíveis e universais do que as máquinas automatizadas.

Um sistema robótico é representado, como pode ser observado na Figura 1, basi-

camente pelos seguintes componentes: o manipulador robótico, sistema de controle,

efetuador final, computador e sensores.

Na Figura 2, pode-se observar com mais detalhes os componentes de um

manipulador robótico e a seguir são descritas as funcionalidades de cada um dos

componentes.

23

Figura 1 – Componentes de um sistema robótico.Fonte – Autoria Própria.

2.1.1 Sensores

Os sensores são elementos utilizados para detectar e coletar informações so-

bre a condição dos manipuladores. Segundo Craig (2005), sensores podem ser agru-

pados em dois grupos: Sensores internos que medem variáveis dentro da estrutura

do robô. Estes podem incluir sensores de posição, velocidade e força. Sensores ex-

ternos que reúnem informações sobre o ambiente do robô. Fazem parte desse grupo

os sensores de visão e toque.

2.1.2 Controlador

O controlador contém todos os dispositivos necessários para direcionar, rota-

cionar e mover os elos do robô, a base e o efetuador final. Os robôs são ativados

por algum tipo de computador, desde microprocessadores até minicomputadores. Os

robôs avançados requerem processamento contínuo e cálculos. No entanto, isso re-

24

Figura 2 – Componentes de um manipulador robótico.Fonte – Autoria Própria.

quer computadores de alta velocidade. De acordo com Jazar (2010), os controladores

têm três funções:

1. Função de informar, que consiste em coletar e processar as informações obtidas

através dos sensores.

2. Função de decidir, que implica em planejar o movimento geométrico da estrutura

do robô.

3. Função de comunicação, que engloba a organização da informações do robô e

de seu meio.

2.1.3 Efetuador Final

Em um sistema robótico, o efetuador final é normalmente localizado no fim do

braço do robô. Ele é responsável por auxiliar o manipulador robótico a realizar tarefas

como transporte, manipulação ou usinagem. Os efetuadores finais mais comuns são

garras, pinças, ferramentas e captadores de vácuo.

25

2.1.4 Atuadores

De acordo com Craig (2005), antigamente os atuadores mais utilizados eram

os hidráulicos e pneumáticos. Eles desenvolviam força suficiente para acionar as

juntas sem um sistema de redução. Porém, atuadores hidráulicos requerem muitos

equipamentos como: bombas, acumuladores, mangueiras e válvulas. E com o avanço

de novas técnicas de controle, o atrito causado pelos seus selos, tornou os atuadores

hidráulicos inferiores.

Os atuadores pneumáticos, embora tenham algumas vantagens, eles são

muito difíceis de controlar com precisão, devido a compressibilidade do ar e o nível

elevado de atrito nos seus selos.

Portanto, os atuadores mais utilizados em robôs são os atuadores elétricos.

Apesar de não ter a mesma relação peso e potência que atuadores hidráulicos e

pneumáticos, a facilidade, sua controlabilidade e interface torna o seu uso interessante

para manipuladores robóticos.

2.1.5 Elos

Os elos são responsáveis por posicionar o efetuador final em relação à base,

ou seja, um robô consiste em vários elos ligados por juntas. Um elo robótico é um

membro que tem movimento relativo em relação aos outros elos. Do ponto de vista

cinemático, se dois ou mais membros estiverem conectados e não houver movimento

relativo entre eles, são considerados um único elo. Alguns autores se referem aos

elos como braços ou utilizam o termo em inglês links (OLIVEIRA et al., 2008) (LARA-

MOLINA, 2008).

26

2.1.6 Classificação de Robôs

Existem várias formas de classificar robôs, uma delas é utilizar sua estrutura

cinemática para a classificação. Existem três arquiteturas básicas para robôs mani-

puladores. Elas são caracterizadas pelo tipo de cadeias cinemáticas que conectam o

efetuador final do manipulador a base através dos elos. As três arquiteturas básicas

do robô são:

∙ Seriais;

∙ Paralelos;

∙ Híbridos.

A comparação das características dos manipuladores é importante para iden-

tificar a melhor aplicabilidade de cada um, levando em consideração as particularida-

des mecânicas e também os problemas de controle. Os manipuladores seriais, em

termos mecânicos, são compostos por atuadores nas suas partes móveis, que resul-

tam em momentos de inércia relativamente altos. Nos manipuladores paralelos, todos

os atuadores são montados próximos a base, possibilitando assim uma redução da

massa nas suas partes móveis. Isso implica, que os manipuladores paralelos apre-

sentam características dinâmicas superiores em relação aos manipuladores seriais

(LARA-MOLINA, 2008).

2.2 REVISÃO DE TRABALHOS

Nesta seção será apresentado uma revisão relacionada a trabalhos relaci-

onados à modelagem, projetos, construção e otimização de robôs paralelos. Com o

objetivo de apresentar uma perspectiva dos trabalhos relacionados e que foram desen-

volvidos recentemente, abordando principalmente os conceitos básicos, aplicações e

os métodos que são empregadas nestes problemas.

27

2.2.1 Modelagem de Manipuladores Paralelos

A modelagem cinemática descreve o movimento do mecanismo. No entanto,

o movimento é produzido por forças e torques, logo elas não podem ser ignoradas

na modelagem. O modelo dinâmico é responsável por descrever essas forças no sis-

tema, que sofrem mudanças ao longo de um determinado movimento. A modelagem

é um procedimento fundamental para o projeto de um robô, pois é utilizada para a

simulação computacional do movimento do robô, elaboração das leis de controle ade-

quadas e avaliação do desempenho dinâmico do projeto. Muitas contribuições têm

proposto novas formulações para realizar o modelo dinâmico, alguns trabalhos serão

apresentados a seguir.

Martins et al. (2003) realizaram a modelagem dinâmica de sistemas com es-

truturas mecânicas e atuadores diferentes. Foram consideradas as diferentes geome-

trias e propriedades dos materiais utilizados em cada um dos manipuladores para a

realização da modelagem. Então, foram validadas as modelagens através de simula-

ções, tal como algumas comparações de desempenho dos manipuladores diferentes.

Li e Xu (2006) desenvolveram o projeto de um novo manipulador paralelo

translacional de 3 graus de liberdade, chamado 3-PRC. Apresentaram então a mo-

delagem completa do manipulador, que através de análises do modelo cinemático,

permitiu um projeto de um manipulador em que fossem eliminadas todas as singulari-

dades e fosse isotrópico. O desenho do manipulador 3-PRC, pode ser observado na

Figura 3.

Em relação ao estudo dinâmico da plataforma de Stewart-Gough, Liu, Li e Li

(2000) implementaram no software Matlab R○, a formulação da dinâmica direta da Pla-

taforma de Stewart-Gough baseada na equação de Kane, onde são fornecidas forças

para cada atuador e condições iniciais de posição e velocidade inicial, encontrando

então a posição e a orientação do manipulador e para os atuadores são encontradas

as velocidades lineares e posições de cada um.

Lopes (2009) fez a modelagem da Plataforma de Stewart-Gough utilizando

28

Figura 3 – Manipulador paralelo 3-PRC.Fonte – (LI; XU, 2006)

uma aproximação chamada momento generalizado, que é usado para calcular a com-

ponente cinética da força generalizada agindo em cada parte rígida do manipulador.

2.2.2 Projeto e Construção de Robôs

No projeto de um robô são definidos os parâmetros geométricos, materiais e

as tarefas que o robô executará, com o objetivo de construir um protótipo. Assim, cri-

térios de desempenho devem ser considerados para avaliar o desempenho do projeto,

por exemplo, critérios baseados nas análises cinemáticas, vibracionais, dinâmicas e

assim por diante. Portanto, alguns trabalhos que desenvolveram o projeto ótimo de

robôs serão discutidos para destacar as metodologias que foram utilizadas.

Li et al. (2003) apresentaram a formulação dinâmica de um robô paralelo de

três graus de liberdade através da formulação de Newton-Euler, onde o robô apre-

senta dois graus de liberdade translacional e um rotacional. É analisado, em primeiro

lugar, a cinemática inversa de forma fechada. E de acordo com as restrições cine-

máticas das pernas e da plataforma é definido um algoritmo para solucionar as forças

do atuador. Para validar os resultados das simulações matemáticas são comparados

com os resultados do software Adams R○. O modelo implementado no Adams R○, pode

29

ser visto na Figura 4.

Figura 4 – Modelo do manipulador de três graus de liberdade no Adams R○.Fonte – Adaptado de (LI et al., 2003)

Campos et al. (2010) desenvolveram o projeto e a construção de um protótipo

de um robô paralelo 5 barras para executar a função pick and place, para o projeto

foi proposto que os elos do robô deveriam ter o mesmo tamanho. Neste trabalho os

autores mostram detalhes da construção do protótipo que podem ser visto na Figura

5.

Figura 5 – Protótipo do manipulador 5 barras.Fonte – (CAMPOS et al., 2010)

Zhang e Zhang (2013) apresentaram um novo manipulador paralelo de dois

graus de liberdade com três pernas que é utilizado como simulador veicular. Antes

da construção do protótipo, que pode ser observado na Figura 6, foram estudados a

30

cinemática e o espaço de trabalho do mecanismo e construído um modelo através do

software Catia R○.

Figura 6 – Protótipo do manipulador de dois graus de liberdade PKM.Fonte – (ZHANG; ZHANG, 2013)

2.2.3 Projeto Ótimo de Manipuladores Paralelos

Nesta seção, diversos trabalhos que utilizaram ou propuseram metodologias

de otimização dos critérios de desempenho para realizar o projeto ótimo de robôs

paralelos são apresentados. O projeto ótimo desses robôs implica basicamente no

ajuste adequado das variáveis de projeto para encontrar uma relação conveniente

entre os critérios de desempenho estabelecidos.

Para realizar o projeto cinemático ótimo de um robô paralelo PRRRP, Liu,

Wang e Pritschow (2006b) analisaram o desempenho do manipulador, que é atuado

verticalmente através de dois atuadores lineares. Para o projeto, foram utilizados gráfi-

cos de desempenho como é feito na maioria dos projetos industriais. Foram definidos

e investigados critérios de desempenho para avaliar o espaço de trabalho, precisão do

controle, velocidade, capacidade de carga e rigidez. Com base nos gráficos gerados,

foi possível identificar a região ótima, que é a intersecção dos resultados dos gráficos

de performances.

Oliveira et al. (2008) utilizaram o Método dos Objetivos Ponderados e o Mé-

todo do Critério Global para fazer o projeto ótimo de um manipulador paralelo 3R, que

31

possui três juntas rotacionais. A otimização visou maximizar o volume do espaço de

trabalho, rigidez do sistema de juntas e a destreza do manipulador. Na otimização do

Método dos Objetivos Ponderados cabe ao projetista definir a prioridade de cada uma

das funções objetivos. E no Método do Critério Global a solução ótima é um vetor de

variáveis de decisão que minimiza algum dos critérios globais.

Xu e Li (2006) desenvolveram um projeto de um nano robô para nano escala

de manipulação. Com o objetivo de alcançar um espaço de trabalho máximo sujeito ao

critério da destreza, foi realizada uma otimização cinemática dos parâmetros de pro-

jetos, para assim poder satisfazer os requisitos operacionais. Foi realizado também,

uma análise de elementos finitos para validar a modelagem analítica e a influência dos

parâmetros na estrutura do manipulador.

Para otimizar a arquitetura de um robô paralelo projetado para aplicações de

usinagem, Chablat e Wenger (2003) fundamentaram-se na otimização do espaço de

trabalho com a performance cinoestática estabelecida. Foram estabelecidos critérios

de projeto para serem seguidos no desenvolvimento do Orthoglide, um robô paralelo

com três juntas fixas paralelas, que são montadas ortogonalmente.

Weihmann, Martins e Coelho (2012) utilizaram uma técnica modificada de evo-

lução diferencial para a otimização de um manipulador paralelo 3-RRR, onde o obje-

tivo era maximizar uma força que o manipulador poderia aplicar em uma dada direção,

assegurando a semelhança com a cadeia cinemática. A abordagem proposta foi va-

lidada em um problema de otimização da força, onde a capacidade da força de um

manipulador paralelo planar 3-RRR são avaliadas considerando limites de atuação e

diferentes modos de montagem.

32

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo será apresentado a fundamentação teórica para atingir o es-

copo deste trabalho. Inicialmente, se apresentará os fundamentos teóricos da me-

todologia para o projeto de robôs e também os critérios de desempenho. Na seção

seguinte, o robô paralelo será apresentado e sua modelagem cinemática e dinâmica.

Por fim, serão mostradas as técnicas de otimização utilizadas, tais como as definições

dos termos, representações e algoritmos.

3.1 METODOLOGIA DE PROJETO DE ROBÔS

Esta seção visa apresentar uma metodologia para iniciar a etapa de projeto

com a definição de um plano geral do projeto. Assim, no projeto de um manipulador,

serão considerados os requisitos e as restrições de projeto, o robô paralelo deve ser

projetado para seguir e satisfazer os critérios e meios de avaliar o desempenho de

um manipulador robótico serão estabelecidos. Diferente de máquinas com apenas um

grau de liberdade, robôs não são desenvolvidos para realizar apenas uma atividade,

mas para desenvolver uma variada gama de tarefas. Portanto, é um desafio na fase de

projeto considerar as incertezas de todas as tarefas que o manipulador irá executar.

3.1.1 Processos para o Desenvolvimento de um Manipulador

A partir da definição das premissas funcionais e das especificações de pro-

jeto, Angeles e Park (2008) apresentam algumas etapas a serem seguidas durante o

projeto de um manipulador robótico:

1. Determinar a estrutura cinemática do manipulador, que deve se considerar pri-

meiramente o tipo do robô: paralelo, serial ou híbrido. Em seguida, os tipos das

juntas devem ser definidas com base nas cadeias cinemáticas;

33

2. Estabelecer as dimensões geométricas dos elos, para assim definir a estrutura

do robô;

3. Dimensionar todas as juntas e elos, para satisfazer os requisitos de carga es-

tática, onde estão incluídos as forças e os momentos das prováveis operações

que poderão ser realizadas;

4. Dimensionar as juntas e elos, para satisfazer os requisitos de carga dinâmica,

considerando as cargas como efeitos de inércia e dos objetos a serem manipu-

lados;

5. Determinar o dimensionamento elastodinâmico de toda a estrutura mecânica, in-

cluindo a dinâmica do atuador, para evitar um espectro específico de frequências

de excitação nos regimes de operações mais prováveis;

6. Selecionar os atuadores e as transmissões mecânicas para as condições de

operação adotadas afim de lidar com a incerteza das tarefas a serem realizadas.

3.1.2 Critérios de Desempenho

De acordo com Angeles e Park (2008), no projeto de um robô o espaço de

trabalho é uma consideração importante quando definirmos as características neces-

sárias do robô. Este é um problema fundamental no projeto clássico do mecanismo e

levanta a questão de como o projetista pode especificar essas características.

Junto ao problema da especificação do espaço de trabalho está o problema

da especificação de uma tarefa. No projeto de um mecanismo é comum, de acordo

com Angeles e Park (2008), especificar um conjunto de coordenadas no espaço e pro-

jetar um mecanismo que consegue atingir essas coordenadas. Ou também pode ser

definida, por exemplo, uma lista de coordenadas prioritárias que devem ser atingidas,

quando não for possível alcançar todas as coordenadas. Algumas considerações para

o dimensionamento de um manipulador, segundo Angeles e Park (2008), são:

34

1. Atingir exatamente algumas coordenadas pode não ser sempre possível ou de-

sejado, em alguns casos, é preferível utilizar uma abordagem ótima que permite

determinar as posições, que serão atingidas dentro de um erro mínimo;

2. A análise dos intervalos não permite somente um conjunto discreto das posições

desejadas, mas também um espaço de trabalho de seis dimensões a serem

atingidos, levando em consideração os erros de fabricação;

3. Um problema que ocorre em mecanismos de um grau de liberdade também pode

ocorrer no desenvolvimento de um robô: uma solução de projeto baseada em

pontos, pode atingir alguns pontos estabelecidos, mas nem todas podem ser

alcançadas com a mesma configuração;

4. Um robô pode ser projetado para alcançar, através do seu efetuador final, algu-

mas posições específicas estabelecidas, porém o propósito de um robô é exe-

cutar uma série de tarefas.

Existem muitos estudos, conforme Angeles e Park (2008), sobre a relação

entre a geometria cinemática do manipulador e seu espaço de trabalho. A maioria dos

estudos classificam o espaço de trabalho em dois componentes, o útil e hábil. Dado

um ponto de referência p anexado ao efetuador de um robô, o espaço de trabalho útil

é definido como o conjunto de pontos no espaço físico que podem ser alcançados por

p. O hábil, por outro lado, é o conjunto de pontos que podem ser alcançados por p

com orientações arbitrárias do efetuador final.

Segundo Angeles e Park (2008), é importante considerar que o volume de

espaço de trabalho de mecanismos espaciais não deve depender de uma referência

fixa, ou seja, não deve depender do ponto do braço onde o efetuador final é fixo.

Portanto, se o efetuador final for aumentado ou encolhido, então o robô apresentaria

o mesmo volume de espaço de trabalho. O volume de espaço de trabalho de um robô

depende, então, apenas dos eixos das juntas.

O desempenho elastodinâmico avalia em uma postura específica do robô os

modos e frequências naturais da estrutura do robô originados por elementos flexíveis

35

da estrutura. O modelo linearizado de um robô serial em uma posição dada por 𝜃0,

não considerando o amortecimento é:

MΔ𝜃 + KΔ𝜃 = Δ𝜏 (3.1)

Onde M representa a matriz de massa definida positiva (𝑛 x 𝑛). K é definido

como a matriz de rigidez (𝑛 x 𝑛) no espaço. ∆𝜃 representa o vetor do deslocamento

elástico das juntas. Esses deslocamentos são produzidos, quando as juntas estão

bloqueadas no valor 𝜃0 e tornando-se assim molas lineares ideais, o robô está sujeito a

uma perturbação ∆𝜏 que neste trabalho é o torque aplicado aos motores, a condições

iniciais não nulas, ou a uma combinação das duas.

Sob vibração livre, ou seja, sob um movimento do sistema causado por con-

dições iniciais diferentes de zero e uma excitação zero ∆𝜏 , a equação (3.1) pode ser

resolvida para ∆𝜃:

Δ𝜃 = −DΔ𝜃, D = M−1K (3.2)

em que a matriz D, é conhecida como a matriz dinâmica, que determina o compor-

tamento do sistema, como os autovalores {𝜆𝑖}𝑛1 , que representam as frequências na-

turais do sistema e os autovetores {𝜑𝑖}𝑛1 os vetores modais. Sob condições inicias

[∆𝜃(0),∆𝜃(0)]𝑇 , em que ∆𝜃(0) é proporcional ao enésimo autovetor de D e ∆𝜃(0) = 0,

onde o movimento resultante é da forma de ∆𝜃(𝑡) = ∆𝜃(0)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑖𝑡. Alterando as variá-

veis, a equação (3.1) é alterada:

MJ−1Δx + KJ−1Δx = JTΔw (3.3)

Após multiplicar ambos os lados da equação (3.3) por J−1, é obtido o modelo

elastodinâmico nas coordenadas cartesianas:

J−TMJ−1Δx + J−TKJ−1Δx = Δw (3.4)

36

em que o primeiro coeficiente da matriz é a matriz de massa MC nas coordenadas

cartesianas, e o segundo é identificado como KC.

MC = J−TMJ−1 (3.5)

Então, o modelo elastodinâmico em coordenadas cartesianas assume a se-

guinte forma:

MCΔx + KCΔx = Δw (3.6)

3.2 MODELAGEM DO ROBÔ PARALELO

Uma representação esquemática do mecanismo do robô paralelo de dois

graus de liberdade apresenta-se na Figura 7. O mecanismo possui duas cadeias

cinemáticas idênticas. A sua vez, cada cadeia cinemática possui uma junta ativa ou

articulada, que está localizada no ponto 𝐴𝑖, e uma junta passiva ou livre, localizada

no ponto 𝐵𝑖 para 𝑖 = 1, 2, além de dois elos rígidos solidários com as respectivas jun-

tas. A flexibilidade é considerada na junta ativa, esta flexibilidade é modelada como

uma mola de torção elástica (𝑘𝑖) que acopla os rotores do motor com os elos. Neste

trabalho o mecanismo é considerado como simétrico, então o tamanho dos elos é de-

finido como 𝑟1, 𝑟2, respectivamente. O efetuador final é localizado no ponto p, onde

sua posição é definida mediante as coordenadas cartesianas (��𝑝, 𝑦𝑝). Um sistema de

referência fixo 𝑂 é definido entre 𝐴1 e 𝐴2, em relação a este sistema de referência é

definida a posição do efetuador final. A aceleração gravitacional atua perpendicular-

mente ao plano 𝑥𝑦 que o mesmo plano no qual o manipulador se movimenta.

O comprimento dos elos, conforme observado na Figura 7, é definido por 𝑟1, 𝑟2

e 𝑟3, respectivamente. O comprimento dos elos pode ser definido entre zero e infinito.

No entanto, os comprimentos dos elos são adimensionalizados com a finalidade de

realizar a análise e otimização. Então, a variável auxiliar 𝐷 é definida da seguinte

forma 𝐷 = (𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3)/3. Consequentemente, os três parâmetros adimensionais, 𝑟𝑖,

37

Figura 7 – Robô paralelo planar de dois graus de liberdade.Fonte – (LARA-MOLINA; KOROISHI; DUMUR, 2016)

para 𝑖 = 1, 2, 3, são definidos a seguir:

𝑟1 = 𝑟1/𝐷 𝑟2 = 𝑟2/𝐷 𝑟3 = 𝑟3/𝐷 (3.7)

Com 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3 = 3.

Além disso, as coordenadas do efetuador final são também adimensionaliza-

das da seguinte forma: 𝑥𝑝 = 𝑥𝑝/𝐷 e 𝑦𝑝 = 𝑦𝑝/𝐷.

3.2.1 Modelo Cinemático

O modelo cinemático do robô é usado para resolver a relação de movimento

entre as entradas e saídas, como posição, velocidade e aceleração e também os

parâmetros da configuração geométrica dos atuadores ou juntas. Para o robô paralelo

de dois graus de liberdade, a modelagem cinemática será utilizada para encontrar a

relação entre os ângulos do atuador de entrada e a posição de saída do efetuador

final.

A posição do efetuador final em relação ao ponto de referência fixo 𝑂 é defi-

nida pelo vetor cartesiano p =

[𝑥𝑝 𝑦𝑝

]𝑇. Da mesma maneira, a posição dos pontos

𝐵𝑖 (para 𝑖 = 1, 2) com relação a sistema de referência fixo 𝑂 é definido pelo vetor

b1 =

[𝑟1 cos(𝜃𝑎1) − 𝑟3 𝑟1 sin(𝜃𝑎1)

]𝑇e b2 =

[𝑟1 cos(𝜃𝑎2) + 𝑟3 𝑟1 sin(𝜃𝑎2)

]𝑇, respectiva-

mente. 𝜃𝑎1 e 𝜃𝑎2 são os ângulos das juntas ativas. Portanto, a cinemática inversa é

38

resolvida com base na restrição cinemática: |b𝑖p| = 𝑟2, portanto:

(𝑥𝑝 − 𝑟1 cos(𝜃𝑎1) + 𝑟3)2 + (𝑦𝑝 − 𝑟1 sin(𝜃𝑎1))

2 = 𝑟22 (3.8)

(𝑥𝑝 − 𝑟1 cos(𝜃𝑎2) − 𝑟3)2 + (𝑦𝑝 − 𝑟1 sin(𝜃𝑎2))

2 = 𝑟22 (3.9)

3.2.1.1 Matriz Jacobiana

Para derivar a matriz Jacobiana do mecanismo, as equações (3.8) e (3.9)

são derivadas em relação ao tempo e escritas na forma matricial:

A��𝑎 = Bp (3.10)

onde p =

[��𝑝 ��𝑝

]𝑇, ��𝑎 =

[𝜃𝑎1 𝜃𝑎2

]𝑇e as matrizes 2×2 A e B, são definidas por:

A =

⎡⎢⎣𝑦𝑝𝑐𝑎1 − (𝑥𝑝 + 𝑟3)𝑠𝑎1 0

0 𝑦𝑝𝑐𝑎2 + (𝑟3 − 𝑥𝑝)𝑠𝑎2

⎤⎥⎦ (3.11)

B =

⎡⎢⎣𝑥𝑝 + 𝑟3 − 𝑟1𝑐𝑎1 𝑦𝑝 − 𝑟1𝑠𝑎1

𝑥𝑝 − 𝑟3 − 𝑟1𝑐𝑎2 𝑦𝑝 − 𝑟1𝑠𝑎2

⎤⎥⎦ (3.12)

com cos(𝜃𝑎𝑖) = 𝑐𝑎𝑖 e sin(𝜃𝑎𝑖) = 𝑠𝑎𝑖 para 𝑖 = 1, 2. Então, a matriz Jacobiana é definida

como:

J = A−1B (3.13)

3.2.1.2 Espaço de Trabalho

O espaço de trabalho útil é definido como a área que o efetuador final pode

alcançar, livre de singularidades. Adicionalmente, o Círculo Máximo Inscrito (𝑀𝐼𝐶)

é um índice útil para avaliar o tamanho do espaço de trabalho. O 𝑀𝐼𝐶 é inscrito no

espaço de trabalho útil e tangente aos limites que definem as singularidades dentro

do espaço de trabalho útil (LIU; WANG; PRITSCHOW, 2006c). O espaço de trabalho

Máximo Inscrito (𝑀𝐼𝑊 ) é definido como o espaço de trabalho limitado pelo 𝑀𝐼𝐶. O

39

𝑀𝐼𝐶 é definido mediante as equações apresentadas a seguir:

𝑥2 + (𝑦 − 𝑦𝑀𝐼𝐶)2 = 𝑟2𝑀𝐼𝐶 (3.14)

onde 𝑟𝑀𝐼𝐶 é o raio e (0, 𝑦𝑀𝐼𝐶) é o centro do 𝑀𝐼𝐶. Para os casos que 𝑟1 + 𝑟3 < 𝑟2, o

𝑀𝐼𝐶 é definido por:

𝑟𝑀𝐼𝐶 = (𝑟1 + 𝑟2 − |𝑟1 − 𝑟2|)/2

𝑦𝑀𝐼𝐶 =√

(𝑟1 + 𝑟2 + |𝑟1 − 𝑟2|)2/4 − 𝑟23 (3.15)

Para os casos em que 𝑟1 + 𝑟3 > 𝑟2, o raio e o centro do 𝑀𝐼𝐶 são definidos por:

𝑟𝑀𝐼𝐶 = |𝑦𝑀𝐼𝐶 | − 𝑦𝑐𝑜𝑙

𝑦𝑀𝐼𝐶 =(𝑟1 + 𝑟2 + 𝑦𝑐𝑜𝑙)

2 − 𝑟232(𝑟1 + 𝑟2 + 𝑦𝑐𝑜𝑙)

(3.16)

com 𝑦𝑐𝑜𝑙 =√𝑟21 − (𝑟2 − 𝑟3)2.

Além disso, o espaço de trabalho útil e o 𝑀𝐼𝑊 são obtidos considerando três

comprimentos diferentes dos elos como especificado a seguir:

∙ Para o caso (a), onde 𝑟1 = 1, 2, 𝑟2 = 1, 0, 𝑟3 = 0, 8, observar (Fig. 8(a));

∙ Para o caso (b), onde 𝑟1 = 1, 7, 𝑟2 = 0, 5, 𝑟3 = 0, 8, observar (Fig. 8(b));

∙ Para o caso (c), onde 𝑟1 = 0, 5, 𝑟2 = 1, 5, 𝑟3 = 1, 5, observar (Fig. 8(c)).

3.2.2 Modelo Dinâmico

A modelagem dinâmica aborda a relação entre as forças, os torques e o mo-

vimento do robô. O objetivo da análise dinâmica é construir um modelo matemático

para avaliar o desempenho dinâmico do mecanismo. É a base da concepção do sis-

tema robótico. Os resultados da simulação podem ser usados para encontrar as forças

necessárias, torques do atuador e para otimizar o algoritmo de controle.

Inicialmente, os parâmetros dinâmicos devem ser adimensionalizados. Con-

siderando a massa dos elos e a rigidez das juntas, definem-se as variáveis auxiliares

40

(a) (b)

(c)Figura 8 – Espaço de trabalho útil e 𝑀𝐼𝐶.Fonte – Autoria Própria.

𝑚𝑡 e 𝑘𝑡 assim: 𝑚𝑡 = (𝑚1𝑖 + 𝑚2𝑖)/2 e 𝑘𝑡 = (𝑘1 + 𝑘2)/2. Consequentemente, as massas

adimensionais dos elos e a rigidez das juntas adimensionais são definidas como:

𝑚1𝑖 = 𝑚1𝑖/𝑚𝑡 𝑚2𝑖 = 𝑚2𝑖/𝑚𝑡 𝑚1𝑖 + 𝑚2𝑖 = 2

𝑘1 = 𝑘1𝑖/𝑘𝑡 𝑘2 = 𝑘2𝑖/𝑘𝑡 𝑘1 + 𝑘2 = 2

O momento de inércia e o centro das massas dos elos são definidos como uma função

das massas adimensionais e comprimento dos elos, portanto: 𝑑1𝑖 = 𝑟1/2, 𝑑2𝑖 = 𝑟2/2,

𝐼𝑧1𝑖 =1

12𝑚1𝑟

21, 𝐼𝑧2𝑖 =

1

12𝑚2𝑟

22.

3.2.2.1 Dinâmica das Cadeias Cinemáticas

Primeiramente é considerada a dinâmica de somente uma cadeia cinemática.

Na Figura 9 é apresentada a cadeia cinemática com as juntas ativas flexíveis.

41

Figura 9 – Cadeia cinemática com flexibilidade na junta ativa.Fonte – (LARA-MOLINA; KOROISHI; DUMUR, 2016)

A equação dinâmica de cada cadeia cinemática é obtida através da formu-

lação de Lagrange baseado em Khalil e Dombre (2004) e pode ser vista com mais

detalhes no anexo A. Portanto, a equação dinâmica de cada uma das cadeias cine-

máticas é modelada pela equação a seguir:

𝜏 𝑖 − f𝑖 = M𝑖(𝜃𝑖)𝜃𝑖 + C𝑖(𝜃𝑖, ��𝑖)𝜃𝑖 + f𝑘𝑖 (3.17)

onde:

∙ 𝜃𝑚 =

[𝜃𝑚1 𝜃𝑚2

]𝑇é a posição angular dos motores antes da flexibilidade das

juntas ativas.

∙ M𝑖(𝜃𝑖) e C𝑖

(𝜃𝑖, ��𝑖

)são as matrizes de inércia e Coriolis, respectivamente.

∙ f𝑘𝑖 =

[𝑘𝑖(𝜃𝑎𝑖 − 𝜃𝑚𝑖) 0

]𝑇é o torque elástico das juntas ativas.

∙ 𝜏 𝑖 = (𝜏𝑎𝑖, 𝜏𝑝𝑖)𝑇 é o vetor do torque nas juntas ativas e passivas.

∙ f𝑖 = (𝑓𝑎𝑖, 𝑓𝑝𝑖)𝑇 é o vetor do atrito das juntas ativas e passivas.

∙ 𝜃𝑖 = (𝜃𝑎𝑖, 𝜃𝑝𝑖)𝑇 é o vetor das juntas.

∙ ��𝑖 = (𝜃𝑎𝑖, 𝜃𝑝𝑖)𝑇 é a aceleração das juntas.

42

O modelo dinâmico para as duas cadeias cinemáticas é formulado simulta-

neamente considerando o modelo das duas cadeias cinemáticas da equação (3.17),

assim:

M(𝜃)�� + C(𝜃, ��

)�� + f + f𝑘 = 𝜏 (3.18)

com:

∙ 𝜃 = (𝜃𝑇𝑎 ,𝜃

𝑇𝑝 )𝑇 , �� = (��

𝑇

𝑎 , ��𝑇

𝑝 )𝑇 , f = (f𝑇𝑎 , f𝑇𝑝 )𝑇 e 𝜏 = (𝜏 𝑇

𝑎 , 𝜏𝑇𝑝 )𝑇 .

∙ f𝑘 = (f𝑇𝑘𝑎, f𝑇𝑘𝑝)

𝑇 é o torque elástico nas juntas ativas e passivas, respectivamente.

∙ f𝑘𝑎 = (𝑘1(𝜃𝑎1 − 𝜃𝑚1), 𝑘2(𝜃𝑎2 − 𝜃𝑚2))𝑇 é o torque elástico nas juntas ativas.

∙ Considerando as juntas passivas: f𝑘𝑝 = (0, 0)𝑇 como não é considerada a flexibi-

lidade e nenhum torque é aplicado nas juntas passivas, então 𝜏 𝑝 = (0, 0)𝑇 .

∙ f𝑝 = (0, 0)𝑇 é o atrito nas juntas passivas.

∙ M(𝜃) and C(𝜃, ��

)são as matrizes de inércia e Coriolis das duas cadeias cine-

máticas.

3.2.2.2 Modelo Dinâmico Completo

Finalmente, o modelo dinâmico completo é obtido considerando o acopla-

mento das cadeias cinemáticas nas juntas passivas do ponto p. As restrições ci-

nemáticas do acoplamento são derivadas da matriz Jacobiana. Utilizando o princípio

de D’Alembert e o princípio do trabalho virtual (LE; KANG; SUH, 2013). Assim, os

torques das juntas ativas 𝜏 𝑎 e o torque das juntas 𝜏 satisfazem a relação:

𝜏 𝑎 = Ψ𝑇𝜏 (3.19)

onde Ψ = 𝜕𝜃/𝜕𝜃𝑎, que representa a matriz Jacobiana de todos as juntas em relação

às juntas ativas.

Portanto, a equação dinâmica total é representada como:

M𝑡��𝑎 + C𝑡��𝑎 + f𝑎 + K(𝜃𝑎 − 𝜃𝑚) = 𝜏 𝑎 (3.20)

43

onde M𝑡 = Ψ𝑇M(𝜃)Ψ e C𝑡 = Ψ𝑇M(𝜃)Ψ + Ψ𝑇C(𝜃, ��

)Ψ.

Como complemento à equação dinâmica total e com a finalidade de realizar a

análise dinâmica para o projeto ótimo, considera-se o caso no qual o robô encontra-se

em uma posição fixa, sem atrito nas juntas e não é aplicado um torque nas juntas

ativas, portanto a equação dinâmica assume as condições enumeradas a seguir: 𝑖)

��𝑎 = (0, 0)𝑇 , 𝑖𝑖) f𝑎 = (0, 0)𝑇 e, 𝑖𝑖𝑖) 𝜏 𝑎 = (0, 0)𝑇 . Então, a equação dinâmica (3.20) sob

estas condições é dada por:

M𝑡��𝑎 + C𝑡��𝑎 + f𝑎 + K(𝜃𝑎 − 𝜃𝑚) = 0 (3.21)

A equação dinâmica simplificada (3.21), pode ser representada nas coordena-

das cartesianas como apresentado previamente por (ANGELES; PARK, 2008), assim:

J−𝑇M𝑡J−1��𝑎 + J−𝑇KJ−1(𝜃𝑎 − 𝜃𝑚) = 0 (3.22)

3.3 OTIMIZAÇÃO

Uma das definições de otimização é encontrar a melhor solução para um pro-

blema em determinadas circunstâncias. No projeto, construção e manutenção de um

mecanismo ou máquina, cabe ao engenheiro tomar decisões para a resolução dos

problemas com o menor custo, esforço e obtendo o maior benefício possível. Na

otimização, o problema em questão é formalizado na forma matemática e a melhor

solução para o problema é encontrada usando algoritmos matemáticos. Papalambros

e Wilde (2000) definiram a otimização de projetos da seguinte forma:

1. Selecionar um conjunto de variáveis para descrever as alternativas de projeto;

2. A seleção de um objetivo, expresso em termos das variáveis de projeto, no qual

o objetivo é minimizar ou maximizar;

3. A determinação de um conjunto de restrições, expressas em termos de variáveis

de projeto, que devem ser satisfeitas para um projeto adequado;

44

4. A determinação de um conjunto de valores para as variáveis de projeto, que

minimizam ou maximizam o objetivo, enquanto satisfazem todas as restrições.

Na otimização de projetos, existem muitos algoritmos de otimização diferen-

tes. E podem ser divididos em métodos com e sem gradiente. Os métodos com gradi-

entes foram estudados e na literatura é possível encontrar muitas referências sobre o

assunto (CHAPRA; CANALE, 2008). No entanto, os métodos baseados em gradien-

tes são adequados para problemas com variáveis contínuas e funções diferenciáveis,

pois operam com gradientes das funções do problema. Portanto, no desenvolvimento

deste trabalho foram escolhidas as técnicas dos Algoritmos Genéticos e NSGA-II, pois

eles não necessitam do conhecimento do gradiente, estão menos sujeitos a resultados

ótimos locais e fornecem uma resposta relativamente rápida e barata ao projetista.

No desenvolvimento de um projeto ótimo, as variáveis do projeto devem ser

determinadas de acordo com as funções objetivos e restrições. Serão apresentadas

a seguir algumas definições que serão utilizadas neste trabalho para realizar o projeto

ótimo de um robô paralelo de dois graus de liberdade. Em seguida, serão apresenta-

das as técnicas de otimização para maximizar as funções objetivo definidas.

3.3.1 Definições de um Problema de Otimização

De acordo com a definição de Rao (2009), um problema de otimização pode

ser formulado matematicamente como:

Encontrar o 𝑋 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑥1

𝑥2

...

𝑥𝑛

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦que minimiza ou maximiza 𝑓(𝑋).

Sujeito as seguintes restrições:

𝑔𝑗(𝑋) ≤ 0, 𝑗 = 1, 2, ...,𝑚

𝑙𝑗(𝑥) = 0, 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑝(3.23)

45

Em que 𝑋 representa um vetor de dimensão 𝑛, que é chamado de vetor de

projeto. 𝑓(𝑋) é a função objetivo. E 𝑔𝑗(𝑋) e 𝑙𝑗(𝑥) são as restrições de inequalidade

e igualdade, respectivamente. O problema apresentado é chamado problema de oti-

mização com restrições. Alguns problemas podem não ter ou considerar restrições e

são chamados problemas de otimização sem restrições.

3.3.1.1 Vetor de Projeto

Em Rao (2009), é definido um sistema ou componente de engenharia por

um conjunto de quantidades, em que algumas são vistas como variáveis durante o

projeto. Normalmente, certas quantidades são definidas no início do projeto e são

chamadas de parâmetros preestabelecidos. As outras quantidades são definidas

como variáveis no processo de projeto e são chamadas variáveis de decisão ou pro-

jeto, 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛. As variáveis são representadas juntas pelo vetor de projeto

𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛𝑇 .

3.3.1.2 Restrições de Projeto

Nos problemas reais de engenharia, as variáveis de projeto não são esco-

lhidas arbitrariamente. As restrições devem ser satisfeitas para produzir um projeto

aceitável, que são coletivamente chamadas restrições de projeto. As restrições repre-

sentam limitações sobre o comportamento ou o desempenho do sistema são deno-

minadas restrições de comportamentos ou funcionais. As restrições que representam

limitações físicas nas variáveis de projeto são conhecidas como restrições geométri-

cas.

46

3.3.1.3 Função Objetivo

Os procedimentos de um projeto ótimo convencional visa encontrar um re-

sultado aceitável ou adequado que satisfaça os requisitos do problema. Em geral,

haverá mais de um resultado aceitável, e o objetivo da otimização é escolher o melhor

dos muitos projetos aceitáveis disponíveis. Assim, um critério deve ser escolhido para

comparar os diferentes projetos aceitáveis alternativos e assim, selecionar o melhor. O

critério em relação ao qual o projeto é otimizado, quando expresso como uma função

das variáveis de projeto, é conhecido como função objetivo (RAO, 2009).

Um exemplo de função objetivo para minimização é o peso, em projetos estru-

turais aeronáuticos. Nos projetos estruturais de engenharia civil, o objetivo pode ser

adotado como a minimização do custo. Em sistemas mecânicos, a maximização da

eficiência mecânica pode ser utilizado como um objetivo no projeto. Podem haver ca-

sos em que a otimização em relação a um critério particular encontre resultados que

podem não ser satisfatórios em relação a outro critério. A seleção da função objetivo

pode ser uma das decisões mais importantes no projeto ótimo.

Em alguns casos, pode ser necessário satisfazer mais de um critério simulta-

neamente. Por exemplo, um par de engrenagens pode ter que ser projetado para um

peso mínimo e uma eficiência máxima ao transmitir uma potência especificada. Um

problema de otimização envolvendo múltiplas funções objetivas é conhecido como um

problema multiobjetivo. Com múltiplos objetivos, surge uma possibilidade de conflito,

e uma maneira simples de lidar com o problema é construir uma função objetiva global

como uma combinação linear das funções de múltiplos objetivos conflitantes.

3.3.2 Algoritmos Genéticos

Muitos problemas de projeto ótimos práticos são caracterizados por variáveis

discretas e contínuas e espaços de projeto descontínuos e não convexos. Se as téc-

nicas de programação não-linear padrão fossem usadas para este tipo de problema,

47

elas seriam ineficientes, computacionalmente caras e, na maioria dos casos, encon-

trariam um ótimo relativo o mais próximo do ponto de partida. Os algoritmos genéticos

(GAs) são bem adequados para resolver esses problemas e, na maioria dos casos,

eles podem encontrar a solução global otimizada com alta probabilidade. Os GAs fo-

ram propostos incialmente por Holland (1992) e é um algoritmo de busca heurística

baseado no mecanismo da seleção natural e na genética natural. GAs são utilizados

amplamente no campo da engenharia para a resolução de problemas ótimos, como

em (IGHOSE et al., 2017) e (AHMADI; AHMADI; FEIDT, 2016), por ser um método

robusto e com um bom desempenho.

Em geral, GAs apresentam algumas características essenciais, que o diferen-

ciam dos métodos tradicionais de otimização, conforme Rao (2009):

∙ Uma população de pontos (vetores de projeto experimentais) é usada para ini-

ciar o procedimento em vez de um único ponto. Se o número de variáveis de

projeto for 𝑛, geralmente o tamanho da população é tomado de 2𝑛 a 4𝑛. Uma

vez que vários pontos são usados como possíveis soluções, os GAs são menos

propensos a ficar presos em um ótimo local;

∙ Os GAs usam apenas os valores da função objetivo. As derivadas não são

usadas no procedimento de busca;

∙ Nos GAs as variáveis de projeto são representadas como vetores de variáveis

binárias, que correspondem aos cromossomos na genética natural. Assim, o

método de busca é naturalmente aplicável para resolver problemas de progra-

mação discretos e inteiros;

∙ Em todas as novas gerações, um novo conjunto de vetores são produzidos

usando a seleção de pais aleatórios e cruzamento da geração anterior do vetor

antigo. Embora aleatórios, os GAs não são técnicas simples de busca aleatória.

Eles exploram de forma eficiente as novas combinações com os conhecimentos

disponíveis para encontrar uma nova geração com melhor capacidade física ou

objetivo.

48

3.3.2.1 Operações

A solução de um problema de otimização por GAs começa com uma popula-

ção de cadeias aleatórias, que denotam a população de vários vetores de projeto. O

tamanho da população em GAs 𝑛 geralmente é definido pelo usuário. Cada vetor de

projeto é avaliado para encontrar seu valor de aptidão. A população é operada por três

processos, chamados de reprodução, cruzamento e mutação, para produzir uma nova

população. A nova população é ainda avaliada para encontrar os valores de aptidão e

testar a convergência do processo.

Um ciclo de reprodução, cruzamento e mutação e a avaliação dos valores de

aptidão é conhecida como uma geração do GAs. Se o critério de convergência não

for satisfeito, a população é operada iterativamente pelos três operadores e a nova

população resultante é avaliada quanto aos valores físicos. O procedimento é conti-

nuado através de várias gerações até que o critério de convergência seja satisfeito ou

o número máximo de gerações definidos pelo usuário seja alcançado e o processo

encerrado.

A reprodução é a primeira operação aplicada à população para selecionar

bons indivíduos da população para formar um grupo de acasalamento. O operador

de reprodução, também é chamado de operador de seleção, porque seleciona bons

indivíduos da população. O operador de reprodução é usado para escolher os indiví-

duos acima da média da população atual e inserir suas múltiplas cópias no acasala-

mento com base em um procedimento probabilístico. Em um operador de reprodução

comumente usados, um indivíduo é selecionado a partir do acasalamento com uma

probabilidade proporcional à sua aptidão física.

Após a reprodução, o operador de cruzamento é implementado. O objetivo

do cruzamento é criar novos indivíduos trocando informações entre os indivíduos do

acasalamento ou pais. Muitos operadores de cruzamento foram usados na literatura

de GAs. A maioria dos operadores de cruzamento, dois vetores de indivíduos são

selecionados aleatoriamente do acasalamento gerado pelo operador de reprodução e

49

alguns indivíduos são trocados entre os vetores. No processo comumente utilizado,

conhecido como operador de cruzamento de ponto único, um local de cruzamento é

selecionado aleatoriamente ao longo do comprimento do vetor, e os dígitos binários

situados no lado direito do cruzamento são trocados entre os dois vetores. Os dois ve-

tores selecionados para participação nos operadores de cruzamento são conhecidos

como pais e os vetores gerados pela operação de cruzamento são conhecidos como

filhos.

O cruzamento é o operador principal pelo qual novos vetores com melhores

valores de aptidão são criados para as novas gerações. O operador de mutação é

aplicado nos novos vetores com uma pequena probabilidade de mutação específica.

Existe também o operador de elitismo, que preserva as soluções encontradas

anteriormente. Isso significa que a melhor solução não irá desaparecer nas gerações

seguintes. Uma forma de implementar elitismo é copiar diretamente 𝑛% das soluções

da população atual à população seguinte. O restante das (100 − 𝑛)% soluções é ge-

rada usando os operadores genéticos usuais sobre a população atual. Desta forma,

as melhores soluções passam diretamente para população seguinte, além de parti-

cipar da criação do resto de soluções da população seguinte. Pesquisas mostram

que o elitismo pode acelerar significativamente o desempenho da GAs, o que também

pode ajudar a prevenir a perda de boas soluções, uma vez que elas são preservadas

(ZITZLER; DEB; THIELE, 2000).

3.3.2.2 Algoritmo

O procedimento computacional envolvido na maximização da função de apti-

dão 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ..., 𝑥𝑛) no algoritmo genético pode ser descrito pelos seguintes pas-

sos:

1. Escolher um comprimento do vetor adequado para representar as 𝑛 variáveis

de projeto do vetor de projeto 𝑋. Definir valores adequados para os seguintes

parâmetros: tamanho da população 𝑚, probabilidade de cruzamento 𝑝𝑐, proba-

50

bilidade de mutação 𝑝𝑚, valor permitido do desvio padrão dos valores físicos da

população 𝑠𝑓𝑚𝑎𝑥, para usar como critério de convergência e número máximo de

gerações 𝑖𝑚𝑎𝑥 para ser usado um segundo critério de convergência.

2. Gerar uma população aleatória de tamanho 𝑚, cada consistindo de uma sequên-

cia de comprimento 𝑙 = 𝑛𝑞. Avaliar os valores de aptidão 𝐹𝑖, 𝑖 = 1, 2, ...,𝑚, dos

vetores 𝑚.

3. Executar o processo de reprodução.

4. Executar a operação de cruzamento usando a probabilidade de cruzamento 𝑝𝑐.

5. Executar a operação de mutação usando a probabilidade de mutação 𝑝𝑚 para

encontrar a nova geração de cordas 𝑚.

6. Avaliar os valores de aptidão 𝐹𝑖, 𝑖 = 1, 2, ...𝑚, das 𝑚 cordas da nova população.

Encontrar o desvio padrão dos valores 𝑚 fitness.

7. Testar a convergência do algoritmo. Se 𝑠𝑓 ≥ 𝑠𝑓𝑚𝑎𝑥, o critério de convergência

é satisfeito e, portanto, o processo pode ser interrompido. Caso contrário, ir ao

para o passo 8.

8. Verificar o número máximo de gerações. Se 𝑖 ≤ 𝑖𝑚𝑎𝑥, os cálculos foram realiza-

dos para o número máximo permitido de gerações e, portanto, o processo deve

ser interrompido. Caso contrário, aumentar o contador como 𝑖 = 𝑖 + 1 e retornar

ao passo 3.

3.3.3 NSGA-II

O NSGA-II é um algoritmo para a otimização multiobjetivo com rápida con-

vergência que realiza um ordenamento elitista por não dominância, proposto por Deb

et al. (2002), para o qual, a solução consiste em um conjunto de soluções ótimas

denominadas fronteira de Pareto (DEB, 1999).

51

Inicialmente, é criada uma população aleatória de pais 𝑃0 que é ordenada por

não dominância. Cada solução recebe uma condição de classificação igual ao seu

nível de não dominância, em que 1 é o melhor nível, 2 é o próximo nível melhor, e

assim por diante. Em seguida, através das operações usuais de seleção, cruzamento

e mutação são usados para criar uma população filha 𝑄0 de tamanho 𝑁 . No conjunto

𝑅0 são acumuladas as duas populações.

Uma vez que o elitismo é introduzido, será comparada a população atual com

as melhores soluções não definidas encontradas previamente, o procedimento é dife-

rente após a geração inicial. Primeiramente, é combinado uma população 𝑅𝑡 = 𝑃𝑡∪𝑄𝑡.

Então a população 𝑅𝑡, de tamanho 2𝑁 , é ordenada por não dominância. Como todos

os membros da população anterior e atuais estão incluídos em 𝑅𝑡, o elitismo é ga-

rantido. Então, as soluções pertencentes ao melhor conjunto não dominado 𝐹1 são

as melhores soluções na população combinada e devem ser destacadas das outras

soluções. Se o tamanho de 𝐹1 for menor que 𝑁 , então, deve se escolher os mem-

bros do conjunto para 𝐹1 a nova população 𝑃𝑡+1. Os membros da população 𝑃𝑡+1

são escolhidos a partir da fronteiras não dominadas pela ordem de sua classificação.

Assim, as soluções do conjunto 𝐹2 são escolhidas na sequência, seguidas de solu-

ções do conjunto 𝐹3, e assim por diante. Esse procedimento é continuado até que

nenhum conjunto mais possa ser acomodado. Se o conjunto 𝐹𝑙 é o último conjunto

não dominado, nenhum outro conjunto pode ser acomodado.

Geralmente, a contagem de soluções em todos os conjuntos de 𝐹1 para 𝐹𝑙

seria maior que o tamanho da população. Para escolher exatamente os 𝑁 membros

da população, são classificadas as soluções da última fronteira utilizando um operador

de comparação e escolhidas as melhores soluções necessárias para preencher todos

os espaços da população. Finalmente, na população 𝑃𝑡+1 de tamanho 𝑁 é realizada a

seleção, cruzamento, e mutação para criar uma nova população 𝑄𝑡+1 de tamanho 𝑁 .

O processo do NSGA-II é mostrado na Figura 10.

Uma das principais vantagens do NSGA-II refere se ao modo de como são

mantidas a diversidade entre as soluções não dominadas. A complexidade computa-

52

Figura 10 – Estrutura do NSGA-II.Fonte – (LOBATO, 2008)

cional é obtida com a soma de três cenários, de acordo com Deb et al. (2002):

1. Na ordenação não-dominada é preciso comparar as 2𝑁 soluções com a 2𝑁 − 1

para cada um dos 𝑀 objetivos, 𝑂(𝑀(2𝑁)2);

2. A distância da multidão da pior situação, quando as soluções de 𝑅 estão em 𝐹1,

logo se faz necessário a ordenação para cada um dos objetivos, 𝑂(𝑀(2𝑁)𝑙𝑜𝑔(2𝑁));

3. Para transferir as soluções de 𝐹1 para 𝑃𝑡+1, são ordenados de acordo com o

operador, 𝑂(2𝑁𝑙𝑜𝑔(2𝑁)).

Logo a complexidade total do algoritmo NSGA-II é de ordem 𝑂(𝑀𝑁2).

3.3.3.1 Algoritmo

O funcionamento do algoritmo NSGA-II, segundo Konak, Coit e Smith (2006),

consiste em uma população pai 𝑃 , que gera uma população filha 𝑄, análogo aos

algoritmos genéticos, a seguir é apresentado o algoritmo:

1. Definir o contador das gerações 𝑡 = 0;

53

2. Gerar uma população aleatória 𝑃0 de tamanho 𝑁 ;

3. Para produzir uma população descendente 𝑄0, de tamanho 𝑁 , é aplicado a se-

leção, cruzamento e mutação no 𝑃0;

4. Se o critério de convergência 𝐶𝑟 é satisfeito, o algoritmo deve parar e exibir 𝑃𝑡;

5. Combinar populações dos pais 𝑃𝑡 e dos descendentes 𝑄𝑡, 𝑅𝑡 = 𝑃𝑡 ∪𝑄𝑡;

6. Realizar a ordenação não-dominada em 𝑅𝑡 e identificar as diferentes fronteiras:

𝐹1, 𝐹2, ..., 𝐹𝑘;

7. Enquanto 𝑖 = 1, ..., 𝑘, deve-se:

a) Calcular a distância da multidão das soluções de 𝐹𝑖;

b) Caso |𝑃𝑡+1|+ |𝐹𝑖| ≤ 𝑁 , a população deve receber as soluções das fronteiras

𝑃𝑡+1 = 𝑃𝑡+1 ∪ 𝐹𝑖, ou se |𝑃𝑡+1 + 𝐹𝑖| > 𝑁 , deve se incluir as soluções menos

dispersas da multidão (𝑁 − |𝑃𝑡+1) de 𝐹𝑖 em 𝑃𝑡+1;

8. Executar a seleção, cruzamento e mutação para gerar a nova população em 𝑃𝑡+1

para obter uma população descendente 𝑄𝑡+1 de tamanho 𝑁 ;

9. Incrementar o contador 𝑡 = 𝑡+ 1 e retornar ao passo 4, caso 𝑡 ≥ 𝑡𝑚𝑎𝑥 o algoritmo

deve ser encerrado.

3.3.4 Fronteira de Pareto

Na otimização multiobjetivo quando comparada com a otimização de um único

objetivo, não se obtém um único resultado, mas um conjunto de soluções ótimas. Este

conjunto de soluções ótimas denomina-se conjunto de soluções não-dominadas ou

fronteira de Pareto. A principal característica dos elementos da fronteira de Pareto é

que a melhora de um objetivo implica em uma degradação de outro no mínimo. Para

ilustrar o conceito do fronteira de Pareto, a representação adequada da otimização

multiobjetivo é:

54

min{𝑧1 = 𝑓1(𝑥), 𝑧2 = 𝑓2(𝑥), ..., 𝑧𝑞 = 𝑓𝑞(𝑥)}

sujeito a

𝑔𝑗(𝑥) ≤ 0 𝑗 = 1, 2, ...,𝑚 (3.24)

onde 𝑧 ∈ 𝑅𝑛 é um vetor com 𝑛 variáveis de decisão, 𝑓(𝑥) é a função objetivo e 𝑋

é o vetor das variáveis de projeto, 𝑔𝑗(𝑥) representa as restrições de inequalidade nas

variáveis de projeto. 𝑆 representa a área possível no espaço de decisão. 𝑍 caracteriza

a região possível no espaço do critério. Assim:

𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅𝑛 | 𝑔𝑗 ≤ 0, 𝑗 = 1, 2, ...,𝑚, 𝑥 ≥ 0} (3.25)

𝑍 = {𝑍 ∈ 𝑅𝑞 | 𝑧1 = 𝑓1(𝑥), 𝑧2 = 𝑓2(𝑥), ..., (3.26)

𝑧𝑞 = 𝑓𝑞(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑆}

Dado 𝑧0 ∈ 𝑍, é uma solução de Pareto exclusiva se não houver outro ponto 𝑧 ∈ 𝑍 tal

que:

𝑧𝑘𝑧0𝑘 para 𝑘 ∈ {1, 2, ..., 𝑞} (3.27)

𝑧𝑙 ≥ 𝑧0𝑙 para todos 𝑙 = 𝑘

Uma representação típica dos conjuntos alcançáveis, para um problema com

duas funções objetivo é mostrada na Figura 11.

55

Figura 11 – Fronteira de Pareto para duas funções objetivo.Fonte – Autoria Própria.

Para exemplificar o uso da fronteira de Pareto, consideramos um projeto de

um eixo, em que duas funções objetivos consideradas são a minimização do peso e a

maximização da rigidez. Esses objetivos podem são inversamente proporcionais, pois

o peso diminuirá a rigidez e vice-versa. Portanto, em uma otimização multiobjetivo,

um ponto no espaço de projeto é um ponto ótimo de Pareto se não houver um ponto

viável que reduza um critério sem aumentar o valor de um ou mais dos outros critérios

(PAPALAMBROS; WILDE, 2000).

56

4 METODOLOGIA

Neste capítulo, a partir da modelagem cinemática e dinâmica apresentados

no capítulo anterior serão estabelecidos os critérios de desempenho do manipulador.

Para isto, o espaço de projeto que permite avaliar todas as combinações das variáveis

de projeto dentro das restrições estabelecidas será definido. Serão apresentados os

critérios de desempenho baseados no modelo cinemático e dinâmico. A seguir, o pro-

blema de otimização associado à metodologia de projeto será estabelecido para obter

os comprimentos dos elos. E por fim, o procedimento para determinar os parâmetros

estruturais e a análise dinâmica do manipulador será definido.

4.1 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO

Nesta secção, os critérios de desempenho que serão considerados neste tra-

balho serão definidos. Para isto, os atlas de desempenho serão definidos graficamente

dentro do espaço de projeto para avaliar a relação do comprimento adimensional dos

elos em relação aos critérios de desempenho especificados. Os atlas de desempenho

são uma ferramenta importante durante o projeto ótimo de um robô, pois pode-se ana-

lisar visualmente a performance do robô para os critérios de desempenho, ajudando

consideravelmente na descoberta de um ponto ótimo global ou região ótima para um

critério e possíveis regiões de singularidades.

4.1.1 Espaço de Projeto

A definição do espaço de projeto é fundamental para avaliar os critérios de

desempenho. Assim, o espaço de projeto estabelece todas as combinações possíveis

dos comprimentos adimensionais dos elos.

O espaço de projeto é definido com base nos conceitos previamente apresen-

57

tadas por Liu, Wang e Pritschow (2006a). O comprimento adimensional dos elos é

descrito pela equação (3.7). Os comprimentos adimensionais dos elos devem ser

limitados para garantir a conformidade geométrica do robô, assim:

0 < 𝑟1, 𝑟2 < 3 e 0 ≤ 𝑟3 ≤ 1.5 (4.1)

O espaço de projeto é apresentado na Figura 12a considerando os limites

da equação (4.1) e sabendo que 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3 = 3. Além disso, uma configuração

planar do espaço de trabalho é apresentada na Figura 12b, para isto as coordenadas

ortogonais 𝑠 e 𝑡, são definidas como:

𝑠 = 2𝑟1/√

3 + 𝑟3/√

3 e 𝑡 = 𝑟3 (4.2)

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

r1 = r2 + r3

r2 = r3 + r1

r1 = 0r2 = 0r2 = r1

r3 = r1 + r2

t

s

(b)Figura 12 – Espaço de projeto do mecanismo paralelo planar.Fonte – Autoria Própria.

Como apresentado na Figura 12b, o espaço de projeto pode ser dividido em

várias sub-regiões e essas sub-regiões são delimitada por linhas, onde 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3

devem assumir certos comprimentos. Observa-se que no limite esquerdo do espaço

de projeto 𝑟2 = 0, a direita 𝑟1 = 0 e adicionalmente 𝑟3 = 0 no limite inferior. As linhas

pontilhadas no interior do espaço de projeto demonstram a associação de valores

específicos que assumem os comprimentos dos elos.

58

4.1.2 Critério Baseado no Espaço de Trabalho

O atlas do raio do 𝑀𝐼𝐶, 𝑟𝑀𝐼𝐶 , é obtido com base nas formulações do espaço

de trabalho apresentadas previamente na seção 3.2.1.2. O atlas do 𝑀𝐼𝑊 indica como

o 𝑟𝑀𝐼𝐶 varia sobre o espaço de projeto. A Figura 13 mostra o atlas do 𝑟𝑀𝐼𝐶 .

Figura 13 – Atlas do raio do MIC, 𝑟𝑀𝐼𝐶 .Fonte – Autoria Própria.

O atlas indica que o 𝑟𝑀𝐼𝐶 apresenta uma descontinuidade na linha 𝑟2 = 𝑟1 +𝑟3

que divide o espaço de projeto em duas regiões, esta descontinuidade deve-se às

equações (3.15) e (3.16) utilizadas para determinar o raio e o centro do 𝑀𝐼𝐶. Além

disso, o 𝑟𝑀𝐼𝐶 atinge seu valor máximo para 𝑟3 = 0 e especificamente nas regiões

próximas 𝑟1 = 𝑟2, ou seja, para este conjunto de comprimentos dos elos, o tamanho

do espaço de trabalho útil do robô é maximizado. Também, é possível observar que o

tamanho do espaço de trabalho é pequeno nos limites do espaço de projeto, ou seja,

quando os elos assumem valores próximos de 𝑟1 = 0, 𝑟2 = 0.

4.1.3 Critério de Desempenho Elastodinâmico

O desempenho elastodinâmico consiste em avaliar os modos e as frequências

naturais da estrutura do robô que são originados pelos elementos flexíveis (LUCA;

BOOK, 2016). Para este trabalho em específico, as juntas ativas são consideradas

59

como flexíveis. Então, o desempenho elastodinâmico é baseado na equação (3.22),

assim:

M𝐶 ��𝑎 + K𝐶(𝜃𝑎 − 𝜃𝑚) = 0 (4.3)

Onde M𝐶 = J−𝑇M𝑡J−1 and K𝐶 = J−𝑇KJ−1.

O desempenho elastodinâmico depende da posição das juntas, porque as

matrizes de inércia total e Jacobiana são função das posições das juntas ativas, 𝜃𝑎,

como mostrado anteriormente na formulação do modelo. Os modos e as frequências

naturais são obtidos pela solução do problema do autovalores e autovetores associado

à equação de movimento apresentada na equação (4.3); portanto, (K𝐶 −𝜆2𝑇M𝐶)𝜃𝑎 =

0, permite calcular o conjunto de autovalores (𝜆𝑇 =

[𝜆1 . . . 𝜆𝑛

]) e o autovetores

(𝜑𝑇 =

[𝜑1 . . . 𝜑𝑛

]), respectivamente.

Na operação do robô é desejável que o mecanismo funcione abaixo da menor

frequência natural para evitar vibrações indesejáveis durante o movimento produzidas

pela ressonância. Baseado nesta condição, o desempenho elastodinâmico é avaliado

determinando o menor autovalor contido no 𝑀𝐼𝑊 , desse modo:

𝜆𝑒 = min𝑀𝐼𝑊

(𝜆𝑇 (𝑟1, 𝑟2, 𝑟3)) (4.4)

Então, um melhor desempenho elastodinâmico é obtido ao se maximizar o menor

autovalor 𝜆𝑒.

A Figura 14 apresenta o atlas do desempenho elastodinâmico, que foi ava-

liado utilizando a equação (4.4) como função do comprimento dos elos. No atlas é

possível observar que o desempenho elastodinâmico depende principalmente de 𝑠.

Pode-se notar também que o atlas do desempenho elastodinâmico apresenta uma

pequena dependência da variável 𝑡 = 𝑟3. Portanto, o desempenho elastodinâmico é

avaliado principalmente considerando o comprimento dos elos 𝑟1 e 𝑟2, porque estes

são diretamente proporcionais à matriz de inércia total M𝐶 (na equação (4.3)). Assim,

os elos com comprimento que obedecem a relação 𝑟1 ≤ 𝑟2 maximizam o desempenho

elastodinâmico. Esta região do atlas é localizada na fronteira esquerda do espaço de

projeto mostrado na Figura 14.

60

t

s

!e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20 25 30

Figura 14 – Atlas de desempenho elastodinâmico.Fonte – Autoria Própria.

4.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DA OTIMIZAÇÃO

Inicialmente, as funções objetivo são definidas como o tamanho do espaço de

trabalho e o critério elastodinâmico, apresentados anteriormente. Por outro lado, as

variáveis de projeto podem ser definidas com o vetor dos comprimentos adimensionais

dos elos 𝑥 =

[𝑟1 𝑟2 𝑟3

]𝑇. O problema de otimização associado ao procedimento de

projeto é apresentado nas equações (4.5) (4.6) e (4.7). Primeiramente, são otimizados

os critérios de desempenho separadamente através de uma otimização de um único

objetivo. Em seguida, os dois objetivos serão otimizados juntos, em uma otimização

multiobjetivo. A equação (4.5) consiste em determinar o comprimento dos elos para

maximizar o desempenho elastodinâmico:

max𝑥

{𝜆𝑒(𝑥)}

Sujeito a:3∑

𝑖=1

𝑥𝑖 = 3

0 < 𝑥1, 𝑥2 < 3

0 ≤ 𝑥3 ≤ 1.5 (4.5)

Logo, a equação (4.6) tem como objetivo otimizar o espaço de trabalho:

61

max𝑥

{𝑟𝑀𝐼𝑊 (𝑥)}

Sujeito a:3∑

𝑖=1

𝑥𝑖 = 3

0 < 𝑥1, 𝑥2 < 3

0 ≤ 𝑥3 ≤ 1.5 (4.6)

E por fim, é formulada a otimização dos dois critérios simultaneamente, afim

de se obter uma otimização multiobjetivo:

max𝑥

{𝜆𝑒(𝑥), 𝑟𝑀𝐼𝑊 (𝑥)}

Sujeito a:3∑

𝑖=1

𝑥𝑖 = 3

0 < 𝑥1, 𝑥2 < 3

0 ≤ 𝑥3 ≤ 1.5 (4.7)

As restrições nas variáveis de projeto derivam-se das restrições impostas nos

comprimentos dos elos, que foram apresentadas previamente na definição geométrica

do robô e no espaço de projeto. Este problema de otimização será solucionado medi-

ante a utilização dos Algoritmos Genéticos e dos Algoritmos Genéticos Multiobjetivo,

especificamente utilizando o algoritmo NSGA-II, ambos anteriormente apresentados.

4.3 DIMENSIONALIZAÇÃO DOS PARÂMETROS ESTRUTURAIS

Um dos objetivos principais do projeto ótimo é determinar os parâmetros es-

truturais do manipulador. Baseado nos resultados que serão obtidos através da otimi-

zação multiobjetivo serão determinados os comprimentos dos elos. Na última seção,

62

foram definidos o problema da otimização e também o espaço de projeto, entretanto

o comprimento dos elos para esses casos foram adimensionalizados. Com base nos

comprimentos adimensionais ótimos dos elos 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3, deve ser definido um fator

dimensional 𝐷, que será utilizado para encontrar os comprimentos dos elos, conforme

apresentado na equação (3.7). Assim:

𝑟1 = 𝐷𝑟1 𝑟2 = 𝐷𝑟2 𝑟3 = 𝐷𝑟3 (4.8)

Para qualquer combinação possível de comprimentos adimensionais existe

correspondentes dimensionais dentro do espaço de projeto (LIU; WANG; PRITSCHOW,

2006a). A relação entre o espaço de trabalho real 𝑊 e o espaço de trabalho adimen-

sional 𝑊𝑛 pode ser encontrada através da equação abaixo:

𝑊 = 𝐷2𝑊𝑛 (4.9)

Então, a partir do espaço de trabalho adimensional obtido do resultado da otimização

do comprimento dos elos e o espaço de trabalho real definido pelo projetista, é obtido

a o fator 𝐷. Com esse fator, são encontrados os comprimentos dimensionais dos elos

que serão utilizados no projeto do mecanismo por meio da equação (4.8).

Para exemplificar a dimensionalização dos comprimentos dos elos, é conside-

rado a configuração apresentada na Figura 8(b) em que os comprimentos adimensi-

onais correspondem a 𝑟1 = 1, 7, 𝑟2 = 0, 5 e 𝑟3 = 0, 8 e a um espaço de trabalho útil

adimensional de 0, 5696. A definição do espaço de trabalho real é estabelecida funda-

mentada pelas características do projeto, para esse caso foi definida arbitrariamente

como 𝑊 = 100𝑚𝑚2, resulta-se em um fator dimensional 𝐷 = 13, 25 e consequen-

temente por meio da equação (4.9) são obtidos os comprimentos 𝑟1 = 22, 52𝑚𝑚,

𝑟2 = 6, 62𝑚𝑚 e 𝑟3 = 10, 59𝑚𝑚.

4.4 ANÁLISE DINÂMICA

A análise dinâmica tem como objetivo avaliar o torque necessário nos motores

associados às juntas ativas para realizar uma determinada trajetória. Esta análise

63

servirá como ferramenta complementar para o projeto dos motores juntamente com

os comprimentos dos elos ótimos obtidos na metodologia de projeto apresentada.

Para este propósito, o conceito da dinâmica inversa é utilizado (CRAIG, 2005).

A dinâmica inversa permite calcular o torque nos motores para uma determinada tra-

jetória utilizando equação dinâmica do manipulador previamente apresentada na se-

ção 3.2. A Figura 15 apresenta o diagrama da simulação dinâmica baseada no modelo

dinâmico inverso.

Figura 15 – Análise dinâmica.Fonte – Autoria Própria.

A trajetória (𝜃(𝑡), 𝜃(𝑡), e 𝜃(𝑡),) utilizada na análise dinâmica define-se com mais

detalhes no anexo B.

64

5 RESULTADOS

As simulações foram realizadas através do software Matlab R○. Os resulta-

dos compõem-se de duas partes principais, as otimizações de um único objetivo e

multiobjetivo. Os parâmetros dinâmicos foram definidos de acordo com a formulação

apresentada na seção 3.2.2. Consequentemente, 𝑚1𝑖 = 1, 6 e 𝑚2𝑖 = 0, 4, isto implica

que a massa do primeiro elo será quatro vezes maior que a massa do segundo elo

da 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 cadeia cinemática, com 𝑖 = 1, 2. A rigidez das juntas ativas foram con-

sideradas como 𝑘1 = 1 e, 𝑘2 = 1, isto implica que a rigidez será a mesma para cada

junta.

Inicialmente, o procedimento de projeto ótimo foi solucionado separadamente

para maximizar o tamanho do espaço de trabalho e o desempenho elastodinâmico,

com a finalidade de verificar o comportamento de cada critério de desempenho na

otimização separadamente.

Em seguida, foi realizada a otimização multiobjetivo considerando a maximiza-

ção dos dois critérios de desempenho simultaneamente. Na otimização multiobjetivo

é obtido a fronteira de pareto, da qual, quatro soluções ótimas são selecionadas para

avaliar o desempenho robô paralelo.

5.1 MAXIMIZAÇÃO DO ESPAÇO DE TRABALHO

Nesta otimização, os comprimentos dos elos, 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3, são otimizados para

obter o maior espaço de trabalho como apresentado na equação (4.6). Os parâmetros

utilizados no GAs são apresentados na tabela 1.

O comportamento das variáveis de projeto (𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3) ao longo das gerações

do GAs é mostrado na Figura 16. Observa-se que após 169 gerações os elos alcan-

çam seu valor ótimo. Adicionalmente, ao otimizar simultaneamente os três compri-

mentos dos elos, obtêm-se os resultados para o valor máximo do espaço de trabalho.

O GAs foi interrompido após 169 gerações.

65

Tabela 1 – Parâmetros do Algoritmo Genético

Parâmetros ValoresVariáveis de Projeto (𝑥𝑖) 3

Tamanho da População (N) 50Número Máximo de Gerações (𝑡𝑚𝑎𝑥) 300

Critério de Convergência (𝐶𝑟) 10−6

Tipo de Mutação Gaussiana

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Gerações

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Valo

res d

as V

ariáveis

rMIW

r1

r2

r3

Figura 16 – Comprimentos dos elos durante a otimização do espaço de trabalho.Fonte – Autoria Própria.

Complementarmente, o comportamento do desempenho elastodinâmico foi

analisado durante a otimização do espaço de trabalho como apresenta a Figura 17.

Após 169 gerações o 𝑟𝑀𝐼𝑊 convergiu para o valor máximo de 1,500, e o critério elas-

todinâmico 𝜆𝑒 alcançou o valor de 0,452. Observa-se que a medida que o tamanho do

espaço de trabalho é maximizado, o critério de elastodinâmico é reduzido.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Gerações

1.4

1.42

1.44

1.46

1.48

1.5

1.52

r MIW

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.5

0.51

0.52

0.53

0.54

λe

Evolução do λe na otimização do r

MIW

Figura 17 – Otimização do espaço de trabalho e desempenho elastodinâmico.Fonte – Autoria Própria.

66

5.2 MAXIMIZAÇÃO DA PERFORMANCE ELASTODINÂMICA

O desempenho elastodinâmico foi maximizado conforme é mostrado na equa-

ção (4.5). Este problema de otimização foi solucionado através do GAs, cujos parâ-

metros mostram-se na tabela 1.

A evolução dos comprimento dos elos durante a otimização do desempenho

elastodinâmico pode ser observada na Figura 18. Observa-se que após 300 gerações

os comprimentos dos elos alcançam seus valores ótimos, que maximizam o desem-

penho elastodinâmico.

0 50 100 150 200 250 300

Gerações

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Va

lore

s d

as V

ariá

ve

is

λe

r1

r2

r3

Figura 18 – Comprimento dos elos durante a otimização do desempenhoelastodinâmico.

Fonte – Autoria Própria.

Adicionalmente, a Figura 19 demonstra a evolução do espaço de trabalho,

enquanto o desempenho elastodinâmico é otimizado. Os resultados mostram que a

otimização finaliza após 300 gerações, assim 𝜆𝑒 atingiu o valor máximo de 34,720 e

o 𝑟𝑀𝐼𝑊 convergiu a 0,019. Observa-se que a medida que o desempenho elastodi-

nâmico é maximizado, o tamanho de espaço de trabalho é minimizado. Este mesmo

comportamento também foi observado na otimização do espaço de trabalho. Portanto,

podemos concluir que ao maximizar um critério de desempenho o outro é reduzido.

67

0 50 100 150 200 250 300

Gerações

10

15

20

25

30

35

λe

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

r MIW

Evolução do rMIW

na otimização do λe

Figura 19 – Otimização do desempenho elastodinâmico e espaço de trabalho.Fonte – Autoria Própria.

Tabela 2 – Parâmetros utilizados no NSGA-II.

Parâmetros ValoresVariáveis de Projeto (𝑥𝑖) 3

Tamanho da População (𝑁 ) 100Número Máximo de Gerações (𝑡𝑚𝑎𝑥) 600

Critério de Convergência (𝐶𝑟) 10−4

Taxa de Cruzamento 0.8Fator de Redução 0.35Tipo de Mutação Adaptativa

5.3 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO

Após a realização das otimizações de cada função objetivo separadamente,

é utilizado o algoritmo NSGA-II para realizar a otimização multiobjetivo e obter a fron-

teira de Pareto. Os parâmetros utilizados no algoritmo são apresentados na tabela 2

conforme a descrição do algoritmo na seção 3.3.3. A Figura 20 apresenta a fronteira

de Pareto no espaço de critério considerando o critério de desempenho elastodinâ-

mico, 𝜆𝑒, e o tamanho do espaço de trabalho que é proporcional a 𝑟𝑀𝐼𝑊 . Para avaliar

o conjunto de soluções ótimas da fronteira de Pareto foram selecionadas quatro solu-

ções representadas por 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 e 𝑓4. Os resultados confirmam o que foi obtido com

a otimização de cada um dos objetivos separadamente, que enquanto o tamanho do

espaço de trabalho é maximizado o critério de desempenho elastodinâmico é minimi-

zado e vice versa. Isto indica que há um compromisso entre o critério de desempenho

68

elastodinâmico e o espaço de trabalho, e pode-se dizer que a otimização dos critérios

de desempenho é inversamente proporcional entre eles.

0 0.5 1 1.5

rMIW

0

5

10

15

20

25

30

35

λe

Fronteira de Pareto

f1

f2

f3 f

4

Figura 20 – Fronteira de Pareto no espaço de critério.Fonte – Autoria Própria.

Em seguida, avaliou-se o fronteira de Pareto no espaço de projeto. A Figura

21 mostra as soluções ótimas dentro do espaço de projeto, assim cada ponto cor-

responde a uma definição dos comprimentos dos elos que otimiza o desempenho

elastodinâmico e o tamanho do espaço de trabalho. Na Figura 21, pode-se observar

que os pontos estão localizados principalmente no lado esquerdo do gráfico, conforme

a Figura 12b , assim, os comprimentos dos elos estão localizados sobre a linha na

qual 𝑟2 = 𝑟1 + 𝑟3. Isto indica que nas soluções ótimas obedecem a seguinte relação

𝑟2 > 𝑟1 e 𝑟2 > 𝑟3.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

s

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t

Espaço de Projeto

x4

x3

x2

x1

Figura 21 – Fronteira de Pareto no espaço de projeto.Fonte – Autoria Própria.

69

A tabela 3 mostra o conjunto das soluções ótimas, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, e 𝑥4 da fronteira

de Pareto e os correspondentes comprimentos dos elos 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3, adicionalmente

apresenta-se os valores correspondentes de 𝜆𝑒 e 𝑟𝑀𝐼𝑊 no espaço de projeto. Estas

soluções ótimas correspondem às soluções 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, e 𝑓4 definidas previamente na

Figura 20. Considerando os atlas do tamanho do espaço de trabalho e do critério

elastodinâmico das Figuras 13 e 14, observa-se que a fronteira de Pareto está locali-

zada entre o valor máximo do desempenho elastodinâmico 𝜆𝑒 à esquerda do espaço

de projeto e o valor máximo do espaço de trabalho 𝑟𝑀𝐼𝑊 que está localizado na parte

central e inferior do espaço de projeto.

Tabela 3 – Valores da função objetivo obtidos e as variáveis correspondentes.𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝜆𝑒 𝑟𝑀𝐼𝑊

𝑓1 0.020 1.787 1.192 34.700 0.020𝑓2 0.397 1.499 1.102 1.944 0.627𝑓3 0.752 1.500 0.748 1.003 1.000𝑓4 1.483 1.516 0.000 0.532 1.483

A Figura 25 apresenta o mecanismo com o efetuador final posicionado as

coordenadas p = (0, 1.5)𝑇 , assim, é possível estabelecer uma comparação entre os

diferentes comprimentos dos elos ótimos correspondentes a 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑥4 nas Figuras

22a, 22b, 22c e 22d, respectivamente. Considerando 𝑥1 na Figura 22a, 𝑟1 é próximo

de zero e um valor de 𝑟3 em torno de 1. A medida que os resultados convergem para

o espaço de trabalho máximo e reduzem o desempenho elastodinâmico, o valor de 𝑟1

tende a aumentar e 𝑟3 diminuir como pode ser observado na Figura 22d.

A Figura 23 apresenta o desempenho elastodinâmico dentro do espaço de

trabalho considerando as soluções ótimas da fronteira de Pareto 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑥4. Con-

sequentemente, a solução 𝑥1 corresponde à solução ótima na qual 𝜆𝑒 é maximizado,

isto implica que está solução derivará em um alto desempenho elastodinâmico, no

entanto, o espaço de trabalho será pequeno devido ao baixo valor de 𝑟𝑀𝐼𝑊 obtido,

conforme visto na Figura 23a. Na Figura 23d é mostrado o resultado da solução

ótima 𝑥4, obtém-se um pobre desempenho elastodinâmico, no entanto, o espaço de

trabalho é maximizado. As soluções 𝑥2 e 𝑥3, observadas nas Figuras 23b e 23c, apre-

sentam um desempenho intermediário nos quais o tamanho do espaço de trabalho é

70

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

0.5

1

1.5

(a)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

0.5

1

1.5

(b)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

0.5

1

1.5

(c)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

0.5

1

1.5

(d)Figura 22 – Representação dos manipuladores.Fonte – Autoria Própria.

aceitável e o desempenho elastodinâmico é relativamente baixo.

Na Figura 23a, a solução 𝑥1 apresenta um espaço de trabalho reduzido. Isto

indica que seria necessário a construção de elos extensos para que fosse viável a

aplicação do robô em um espaço de trabalho aceitável. A Figura 23d apresenta um

espaço de trabalho máximo, mas o desempenho elastodinâmico é insuficiente. Mesmo

assim, cabe ao projetista definir qual a prioridade na hora da elaboração do projeto.

A tabela 4 mostra as soluções adimensionais ótimas escolhidas a partir do

conjunto de soluções ótimas obtidas através da otimização multiobjetivo.

Tabela 4 – Comprimento adimensionais dos elos

Parâmetros Valores𝑟1 0.75𝑟2 1.5𝑟3 0.75

71

-2 0 2x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3y

33.5

34

34.5

35

35.5

36

36.5

6

(a) (b)

(c) (d)Figura 23 – Desempenho elastodinâmico dentro do espaço de trabalho.Fonte – Autoria Própria.

5.4 PROJETO ESTRUTURAL

A partir da seleção dos comprimentos dos elos adimensionais obtidos através

da equação (4.5) apresentados na tabela 4, os resultados serão dimensionalizados

através da equação (4.8). Assim como foi exemplificado na seção 4.3, primeira-

mente calcula-se o espaço de trabalho útil adimensional, para esse caso 2, 8736, e

para ter um espaço útil de trabalho dimensional de 𝑊 = 40000𝑚𝑚2, o fator dimensi-

onal 𝐷 = 117, 98𝑚𝑚 encontrado através da equação 4.9, para evitar casas decimais,

será utilizado 𝐷 = 120𝑚𝑚 . Por meio da equação (4.8) o comprimentos dimensionais

dos elos 𝑟1 = 90𝑚𝑚, 𝑟2 = 180𝑚𝑚 e 𝑟3 = 90𝑚𝑚 são definidos.

E assim foi utilizado o software Autodesk Inventor R○ para a realização do mo-

delo 3D CAD (do inglês: Computer Aided Design), como pode ser visto na Figura 24.

72

Para evitar a colisão entre os elos, eles foram projetados para que mesmo que

estiverem apontando um para o outro no eixo 𝑥 não houvesse contato entre eles. Não

tornando necessária a construção das plataformas, onde os motores são presos em

níveis diferentes, como pode ser observado na Figura 24.

As juntas foram projetadas para que houvesse o menor atrito possível de

forma a não comprometer o movimento do efetuador final para realizar uma deter-

minado movimento.

Figura 24 – Modelo 3D CAD do robô paralelo de dois graus de liberdade.Fonte – Autoria Própria.

A Figura 25a apresenta uma vista lateral do protótipo onde é possível ver como

os motores estão acoplatos na plataforma através de parafusos, com as colunas do

suporte do motor parafusada na base inferior. Na Figura 25b pode-se observar a vista

frontal do projeto. A lista de peças, tal como a vista explodida do projeto com mais

detalhes encontra-se no Anexo C.

Com o auxílio do software Autodesk Inventor R○ foram obtidos os valores das

propriedades dos elos mostrados na tabela 5.

73

(a) (b)

Figura 25 – Vista frontal e lateral do robô.Fonte – Autoria Própria.

Tabela 5 – Propriedades gerais dos elos.

Elos Comprimento Massa Centro de Massa Momento de Inércia𝑟1 0,09 𝑚 0.019 𝐾𝑔 0.045 𝑚 1.236 × 10−5𝐾𝑔.𝑚2

𝑟2 0.018 𝑚 0.038 𝐾𝑔 0.090 𝑚 1.001 × 10−4𝐾𝑔.𝑚2

5.5 ESTUDO DINÂMICO

Utilizando os parâmetros dinâmicos apresentados na tabela 5, foi realizado

uma simulação para uma trajetória definida a fim de obter os resultados para obter o

torque necessário dos motores para o dimensionamento dos mesmos.

A trajetória é definida através de um polinômio de 5aordem, que foi definida

no Anexo B. A posição inicial na qual se encontram os atuadores é definida por 𝜃0, ou

seja, sem velocidade e aceleração (𝜃0 = 𝜃0 = 0), e depois da realização do movimento

o manipulador retorna a condição de repouso (𝜃𝑓 = 𝜃𝑓 = 0), com ∆ = 𝜃𝑓 − 𝜃0 = 3 𝑜

para o atuador 1 e ∆ = - 3𝑜 para o atuador 2 . O tempo definido para a realização

deste movimento foi de 1 segundo, na Figura 26 pode se observar o comportamento

dos atuadores na realização da trajetória proposta.

Na Figura 27, é mostrado o torque necessário dos atuadores na execução da

trajetória estabelecida durante 1 segundo .

Com base nos resultados obtidos através da análise dinâmica, foi possível

74

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tempo (s)

1.52

1.53

1.54

1.55

1.56

1.57

1.58

1.59

1.6

1.61

1.62

θPosição

(a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tempo (s)

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

θ /

s

Velocidade

(b)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tempo (s)

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

θ/s

2

Aceleração

(c)Figura 26 – Posição, velocidade e aceleração durante a trajetória.Fonte – Autoria Própria.

determinar os motores que serão utilizados no protótipo do manipulador paralelo. Na

tabela 6, pode-se observar a necessidade do projeto.

Tabela 6 – Premissas da escolha dos motores do projeto

Parâmetros ValoresTorque 0.1 N.m

Velocidade 0.1 rad/s

A partir das premissas encontradas através das simulações, foi possível definir

os motores, em que as principais características técnicas podem ser observada na

tabela 7. Estes motores permitiram ainda realizar movimentos ainda com velocidades

75

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tempo (s)

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

To

rqu

e (

N.m

)

Torque dos Atuadores

Atuador Cadeia 1

Atuador Cadeia 2

Figura 27 – Torques dos atuadores durante a execução da trajetória.Fonte – Autoria Própria.

e acelerações maiores.

Tabela 7 – Especificações do Motor DC.

Parâmetros ValoresTorque 0.77 N.m

Velocidade de Rotação (sem carga) 350 rpmCorrente (sem carga) 300 mATensão de Operação 12 V

Redutor 30:1Peso 260 g

Diâmetro do eixo 6mm

5.6 CONSTRUÇÃO DO PROTÓTIPO

Com base nos resultados apresentados na metodologia de projeto foi possível

a construção do protótipo do manipulador paralelo de dois graus de liberdade. Com

base no projeto e na lista de peças definidas no Anexo C. Primeiramente, uma cadeia

cinemática para a validação do projeto foi construída, verificação da fabricabilidade e

ajustes a ser considerados no projeto conforme pode ser visto na Figura 28. Para a

base inferior, o suporte e as colunas de apoio, foi utilizado alumínio 6351.

Na Figura 29a, pode ser observado o modelo 3D CAD das juntas passivas. A

76

Figura 28 – Primeira cadeia cinemática construída.Fonte – Autoria Própria.

Figura 29b apresenta as juntas fabricadas em aço 1045.

(a) (b)Figura 29 – Projeto e juntas fabricadas.Fonte – Autoria Própria.

Por fim, as duas cadeias cinemáticas foram fabricadas e montadas juntamente

com as juntas, os elos, motores e todas as peças do manipulador, conforme pode ser

visto na Figura 30.

77

(a) (b)Figura 30 – Montagem completa do manipulador.Fonte – Autoria Própria.

78

6 CONCLUSÕES

Este trabalho definiu um procedimento alternativo para a elaboração do pro-

jeto ótimo de um manipulador paralelo de dois graus de liberdade. Para isto, uma

metodologia para a otimização de critérios de desempenho estabelecidos foi apre-

sentada. A metodologia do projeto ótimo permite realizar o projeto de um paralelo

com juntas flexíveis baseado em critérios elastodinâmicos e tamanho do espaço de

trabalho.

As técnicas de otimização utilizadas, baseadas em algoritmos genéticos mul-

tiobjetivos, demonstraram ser apropriadas para resolver o problema de otimização as-

sociado ao projeto do manipulador. Os resultados permitiram avaliar os comprimentos

dos elos adimensionais com base em uma análise comparativa do conjunto de solu-

ções e o seu respectivo desempenho ótimo. Baseado nesses resultados foi possível

estabelecer o projeto 3D CAD completo e assim realizar análise dinâmica para defini-

ção dos torques necessários para executar trajetórias estabelecidas e com isso definir

os motores que foram utilizados na construção deste manipulador. Por fim, a constru-

ção do protótipo do robô foi realizada, sustentado por todos resultados obtidos através

deste trabalho.

Este trabalho contribui não somente para o projeto do manipulador paralelo

em particular, mas, permitiu definir um procedimento para o projeto de robôs com ele-

mentos flexíveis em geral. Para isto, devem ser adaptados os critérios de desempenho

conforme a particularidade da dinâmica e espaço de trabalho de cada manipulador.

6.1 TRABALHOS FUTUROS

Dentre as perspectivas futuras deste trabalho podemos considerar o aperfei-

çoamento do projeto 3D CAD, com o desenvolvimento das juntas passivas do mani-

pulador, para garantir maior precisão dos movimentos. E também o desenvolvimento

de um novo efetuador final para realização de uma tarefa.

79

Adicionalmente, o projeto e otimização do sistema de controle de posição para

que o manipulador possa realizar uma tarefa estabelecida, como uma operação pick

and place para manipulação de objetos.

80

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Anexos

85

ANEXO A – MODELAGEM DINÂMICA DETALHADA

Como apresentado na seção 3.2 o robô paralelo, como também pode ser ob-

servado na figura 7, atua sobre o plano horizontal 𝑥− 𝑦.

Onde, 𝜃𝑎 = (𝜃𝑎1, 𝜃𝑎2)𝑇 e 𝜃𝑝 = (𝜃𝑝1, 𝜃𝑝2)

𝑇 são os vetores dos ângulos das jun-

tas ativas e passivas, respectivamente;𝐸(𝑥, 𝑦) é o efetuador; 𝑙11,𝑙12,𝑙21,𝑙22 e 𝑙0, são os

comprimentos dos elos. Esse mecanismo também é conhecido como mecanismo de

5 barras, devido aos número de elos que o compõem.

A realimentação do mecanismo é fechada e considerando que esta realimen-

tação é virtualmente seccionada formando uma cadeia cinemática aberta, com duas

cadeias seriais independentes, como a cadeia cinemática serial mostrada na figura

9. Assim, é assumido que nesta cadeia aberta todos as juntas passivas são atua-

das por atuadores virtuais. Então os movimentos de sua cadeia cinemática equivalem

aos mesmos movimentos da cadeia fechada original. O modelo dinâmico da cada

seccionada serial pode ser obtida através da equação de Lagrange.

𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿𝑖

𝜕𝜃𝑖

)− 𝜕𝐿𝑖

𝜕𝜃𝑖= 𝜏𝑖 − 𝐹𝑖

𝑖 = 1, 2 (A.1)

Onde, 𝐿𝑖 é a função Lagrangeana;𝜃𝑖 = (𝜃𝑎𝑖, 𝜃𝑝𝑖)𝑇 é o vetor de juntas; 𝜏𝑖 = (𝜏𝑎𝑖, 𝜏𝑝𝑖)

𝑇 é o

vetor de torque das juntas; 𝐹𝑖 = (𝑓𝑎𝑖, 𝑓𝑝𝑖)𝑇 é o vetor de torque de atrito das juntas ativa

e passiva; e 𝑖-éssima a cadeia serial.

Como este mecanismo paralelo opera no plano horizontal, as funções Lagran-

geana contém apenas a energia cinética do mecanismo.

𝐿𝑖 =1

2𝑚𝑖1(��

2𝑖1 + ��2𝑖1) +

1

2𝐼𝑧𝑖1𝜃

2𝑎𝑖 +

1

2𝑚𝑖2(��

2𝑖2 + ��2𝑖2) +

1

2𝐼𝑧𝑖2𝜃

2𝑝𝑖 (A.2)

Onde, 𝑚𝑖1 e 𝑚𝑖2 são as massas dos elos da cadeia serial 𝑖; 𝐼𝑧𝑖1 e 𝐼𝑧𝑖2 são

tensores de inércia de elos de cadeia serial 𝑖 (𝑖 = 1, 2). Considerando que 𝑟𝑖1 e 𝑟𝑖2 são

as distâncias das juntas até o centro de massa de cada elo, temos que:

86

��𝑖1 = −𝑟𝑖1𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎𝑖𝜃𝑎𝑖

��𝑖1 = 𝑟𝑖1𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝑖𝜃𝑎𝑖

��𝑖2 = −𝑙𝑖1𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎𝑖𝜃𝑎𝑖 − 𝑟𝑖2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑝𝑖𝜃𝑝𝑖

��𝑖2 = −𝑙𝑖2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝑖𝜃𝑎𝑖 − 𝑟𝑖2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑝𝑖𝜃𝑝𝑖

Por substituição na equação (A.2), a função Lagrangeana fica:

𝐿𝑖 =1

2[𝛼𝑖𝜃

2𝑎𝑖 + 2𝛽𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑎𝑖 − 𝜃𝑝𝑖)𝜃𝑎𝑖𝜃𝑝𝑖 + 𝛿𝑖𝜃

2𝑝𝑖] (A.3)

Em que 𝛼𝑖 = 𝑚𝑖1𝑟2𝑖1 +𝐼𝑧𝑖1 +𝑚𝑖2𝑙

2𝑖1, 𝛽𝑖 = 𝑚𝑖2𝑙𝑖1𝑟𝑖2 e 𝛿𝑖 = 𝑚𝑖2𝑟

2𝑖2 +𝐼𝑧𝑖2 corresponde

aos parâmetros dinâmicos, com 𝑖 = (1, 2).

Substituindo a função de Lagrange dentro da equação de Lagrange, temos a

equação dinâmica de cada cadeia serial da estrutura árvore como:

𝑀𝑖(𝜃𝑖)𝜃𝑖 + 𝐶𝑖(𝜃𝑖, 𝜃𝑖)𝜃𝑖 + 𝐹𝑖 = 𝜏𝑖 (A.4)

Com 𝑖 = 1, 2. Onde 𝑀𝑖 ∈ ℜ2𝑥2 é a matriz de inércia e 𝐶𝑖 ∈ ℜ2𝑥2 é a matriz de força

Centrífuga e Coriolis, que são definidos como:

𝑀𝑖(𝜃𝑖) =

[𝛼𝑖 𝛽𝑖𝑐𝑎𝑝𝑖

𝛽𝑖𝑐𝑎𝑝𝑖 𝛿𝑖

]

𝐶𝑖(𝜃𝑖, 𝜃𝑖) =

[0 𝛽𝑖𝑠𝑎𝑝𝑖𝜃𝑖

−𝛽𝑖𝑠𝑎𝑝𝑖𝜃𝑖 0

]

Onde os símbolos 𝑐𝑎𝑝𝑖 e 𝑠𝑎𝑝𝑖 são, respectivamente, definidos como: 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑎𝑖 −

𝜃𝑝𝑖) e 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑎𝑖 − 𝜃𝑝𝑖), com 𝑖 = 1, 2.

Combinando os modelos dinâmicos de duas cadeias serial aberta, o modelo

dinâmico equivalente da estrutura do mecanismo é obtido como:

𝜏𝑡 = 𝑀𝑡𝜃 + 𝐶𝑡𝜃 + 𝐹𝑡 (A.5)

87

Em que, 𝜃 = (𝜃𝑎, 𝜃𝑝)𝑇 ∈ ℜ4 é o vetor dos ângulos das juntas; 𝜏 = (𝜏𝑎, 𝜏𝑝)

𝑇 ∈ ℜ4

é o vetor de juntas; 𝐹𝑡 = (𝐹𝑎, 𝐹𝑝)𝑇 ∈ ℜ4 é o vetor de torque de atrito equivalente do

sistema de cadeia aberto da estrutura árvore. 𝜏𝑎 = (𝜏𝑎1, 𝜏𝑎2)𝑇 e 𝜏𝑝 = (𝜏𝑝1,𝜏𝑝2)𝑇 = (0, 0)𝑇

são os vetores de entrada de torque das juntas ativas e juntas passiva respectiva-

mente. 𝜏𝑡 = 𝐹𝑎 = (𝑓𝑎1, 𝑓𝑎2)𝑇 e 𝐹𝑝 = (𝑓𝑝1, 𝑓𝑝2)𝑇 = (0, 0)𝑇 são vetores de força de atrito

das juntas ativas e passivas respectivamente. Assim, assumimos que os efeitos da

força de atrito sobre as juntas passivas são muito menores que sobre as juntas ativas.

Dessa forma para simplificar o modelo dinâmico, apenas os distúrbios nas juntas ati-

vas são considerados. A matriz de inércia 𝑀𝑡 ∈ ℜ4𝑥4 e a matriz de força Centrífuga e

Coriolis 𝐶𝑡 ∈ ℜ4𝑥4 da equação (A.5) são definidos por:

𝑀𝑡 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝛼1 0 𝛽𝑐𝑎𝑝1 0

0 𝛼2 0 𝛽2𝑐𝑎𝑝2

𝛽𝑐𝑎𝑝1 0 𝛿1 0

0 𝛽2𝑐𝑎𝑝2 0 𝛿2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(A.6)

𝐶𝑡 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 𝛽1𝑠𝑎𝑝1𝜃𝑝1 0

0 0 0 𝛽2𝑠𝑎𝑝2𝜃𝑝2

−𝛽1𝑠𝑎𝑝1𝜃𝑎1 0 0 0

0 −𝛽2𝑠𝑎𝑝2𝜃𝑎2 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(A.7)

Em seguida, as restrições de realimentação são levadas em conta utilizando a

matriz Jacobiana. A partir do princípio de D’Alembert e o princípio do trabalho virtual,

os torques de juntas ativas 𝜏𝑎 e os torques generalizados 𝜏𝑡 satisfazem a equação que

segue:

𝜏𝑎 = Ψ𝑇 𝜏𝑡 (A.8)

Onde Ψ = 𝜕𝜃/𝜕𝜃𝑎 ∈ ℜ4𝑥2 é a matriz Jacobiana de todas as juntas com respeito

com as juntas ativas. Temos que Ψ = [𝐼, 𝐽 ]𝑇 onde 𝐼 ∈ ℜ2𝑥2 é a matriz identidade e

𝐽 = 𝜕𝜃𝑝/𝜕𝜃𝑎 ∈ ℜ2𝑥2 é calculada através das equações de restrições realimentada (LE;

88

KANG; SUH, 2013).

𝐽 =𝜕𝜃𝑝𝜕𝜃𝑎

= −[𝜕ℎ

𝜕𝜃𝑝

]−1 [𝜕ℎ

𝜕𝜃𝑎

](A.9)

ℎ =

⎡⎢⎣ℎ𝑥

ℎ𝑦

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣𝑙11𝑐𝑎1 + 𝑙12𝑐𝑝1 − 𝑙0 − 𝑙21𝑐𝑎2 − 𝑙22𝑐𝑝2

𝑙11𝑠𝑎1 + 𝑙12𝑠𝑝1 − 𝑙21𝑠𝑎2 − 𝑙22𝑠𝑝2

⎤⎥⎦ (A.10)

Tomando as restrições da equação (A.8) dentro da estrutura árvore e multipli-

cando ambos os lados da equação (A.5) por Ψ𝑇 , nós obtemos:

Ψ𝑇 𝜏𝑡 = Ψ𝑇𝑀𝑡𝜃 + Ψ𝑇𝐶𝑡𝜃 + Ψ𝐹𝑡 (A.11)

Além disso temos a seguintes relações:

𝜃 =𝜕𝜃

𝜕𝜃𝑎𝜃𝑎 (A.12)

𝜃 = Ψ𝜃𝑎 + Ψ𝜃𝑎 (A.13)

Substituindo (A.5), (A.12) e (A.13) na equação (A.11), obtemos o modelo di-

nâmico do mecanismo paralelo planar de 2-gdl no espaço de juntas ativas:

𝜏𝑎 = ��𝑎𝜃𝑎 + 𝐶𝑎𝜃𝑎 + 𝐹𝑎 (A.14)

Onde ��𝑎 = Ψ𝑇𝑀𝑡Ψ ∈ ℜ2𝑥2 é a matriz de inércia e 𝐶𝑎 = Ψ𝑇𝑀𝑡Ψ + Ψ𝑇𝐶𝑡Ψ ∈

ℜ2𝑥2 é a matriz Centrífuga e Coriolis.

89

ANEXO B – TRAJETÓRIA PARA ANÁLISE DINÂMICA

A trajetória para este objetivo é especificada mediante interpolação polinomial.

A trajetória é definida para o espaço das juntas, é dizer para as juntas ativas. Para isto,

deve-se considerar uma posição inicial, 𝜃0, e final, 𝜃𝑓 , de cada uma das juntas ativas

e um tempo de percurso 𝑡𝑓 . É necessário definir uma função onde para o instante de

tempo 𝑡 = 0 corresponda a posição inicial e no instante de tempo 𝑡𝑓 a posição final.

Assim são obtidas duas restrições no valor da função procedente da determinação da

posição inicial e final.

𝜃(0) = 𝜃0

𝜃(𝑡𝑓 ) = 𝜃𝑓 (B.1)

São definidas duas restrições seguintes de modo que as velocidades inicial e final

sejam zero:

𝜃(0) = 𝜃0

𝜃(𝑡𝑓 ) = 𝜃𝑓 (B.2)

Um polinômio de no mínimo terceiro grau poderia satisfazer essas quatro restrições,

pois um polinômio cúbico apresenta quatro coeficientes. Entretanto como é importante

definir um conjunto de restrições para a aceleração, será utilizado um polinômio de

quinta ordem (CRAIG, 2005):

𝜃(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1𝑡 + 𝑎2𝑡2 + 𝑎3𝑡

3 + 𝑎4𝑡4𝑎5𝑡

5 (B.3)

90

sendo as restrições definidas como:

𝜃0 = 𝑎0

𝜃𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1𝑡𝑓 + 𝑎2𝑡2𝑓 + 𝑎3𝑡

3𝑓 + 𝑎4𝑡

4𝑓 + 𝑎5𝑡

5𝑓

𝜃0 = 𝑎1

𝜃𝑓 = 𝑎1 + 2𝑎2𝑡𝑓 + 3𝑎3𝑡2𝑓 + 4𝑎4𝑡

3𝑓 + 5𝑎5𝑡

4𝑓

𝜃0 = 2𝑎2

𝜃𝑓 = 2𝑎2 + 6𝑎3𝑡𝑓 + 12𝑎4𝑡2𝑓 + 20𝑎5𝑡

3𝑓

(B.4)

essas restrições representam um conjunto linear de equações com 6 incógnitas e com

as seguintes soluções:

𝑎0 = 𝜃0

𝑎1 = 𝜃0

𝑎2 =𝜃

2

𝑎3 =20𝜃𝑓 − 20𝜃0 − (8𝜃𝑓 + 12𝜃0)𝑡𝑓 − (3𝜃0 − 𝜃𝑓 )𝑡2𝑓

2𝑡3𝑓

𝑎4 =30𝜃0 − 30𝜃𝑓 + (14𝜃𝑓 + 16𝜃0)𝑡𝑓 + (3𝜃0 − 2𝜃𝑓 )𝑡2𝑓

2𝑡4𝑓

𝑎5 =12𝜃𝑓 − 12𝜃0 − (6𝜃𝑓 + 6𝜃0)𝑡𝑓 − (𝜃0 − 𝜃𝑓 )𝑡2𝑓

2𝑡5𝑓(B.5)

91

ANEXO C – PROJETO E LISTA DE PEÇAS

LISTA DE PEÇAS

DESCRIÇÃONÚMERO DA PEÇA

QTDEITEM

Alumínio 6351Base Inferior 11

Alumínio 6351Colunas suporte82

Alumínio 6351Base Superior23

STEP AP203Motor24

Alumínio 6351Eixo25

Marca ZENRolamentos36

Aço InoxElo R127

Aço InoxElo R228

Aço 1045 Junta Inferior39

Aço 1045 Junta Superior310

Parafusos Allen de cabeça

métricos ISO

AS 1420 - 1973 - M4 x 8811

Parafusos Allen de cabeça

métricos ISO

AS 1420 - 1973 - M3 x 64012

Porcas sextavadas métricas

ISO, incluindo porcas finas,

porcas castelo

AS 1112 - M3 Tipo 51313

Porcas sextavadas métricas

ISO, incluindo porcas finas,

porcas castelo

AS 1112 - M3 Tipo 51414

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

A A

B B

C C

D D

SHEET 1 OF 1

PROJETISTA

Victor Renan Bolzon

Página 89

TÍTULO

Manipulador Paralelo Planar de Dois Graus

de Liberdade

SIZE

D

SCALE

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

REV

1