Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas … Problema CF1 (Resolvido) O campo...
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MEEC Ano Lectivo 2016/17, 2º Semestre Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas (PROE) Conceitos Fundamentais Enunciados de Problemas (com Soluções) Resoluções de Problemas Seleccionados Enunciados de Provas de Avaliação Anteriores Edição de Custódio Peixeiro Fevereiro 2017
Transcript of Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas … Problema CF1 (Resolvido) O campo...
MEEC
Ano Lectivo 2016/17, 2º Semestre
Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas
(PROE)
Conceitos Fundamentais
Enunciados de Problemas (com Soluções)
Resoluções de Problemas Seleccionados
Enunciados de Provas de Avaliação Anteriores
Edição de Custódio Peixeiro
Fevereiro 2017
2/37
Enunciados
de
Problemas (com Soluções)
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Problema CF1 (Resolvido)
O campo eléctrico de uma onda electromagnética que se propaga no ar, é dado por
yE ˆ)zkt(cosE)t,z( 0
a) Identifique o tipo de onda.
b) Diga qual o significado físico de E0, ω, k e .
c) Indique a direcção de propagação da onda e a orientação do campo eléctrico.
d) Determine, a partir das equações de Maxwell, a relação entre ω e k.
e) Calcule a velocidade de fase.
f) Escreva a expressão da amplitude complexa do campo eléctrico.
g) Determine, a partir das equações de Maxwell, a expressão do campo magnético
correspondente, em amplitude complexa e valor instantâneo.
h) Admitindo que ω=2πx108 rad.s-1, calcule o comprimento de onda (λ) e a constante
de propagação (k).
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Problema CF2
I. O serviço de radiodifusão em AM utiliza a banda de frequências 535 kHz – 1605
kHz.
a) Calcule a correspondente gama de comprimentos de onda.
II. O serviço de radiodifusão em FM utiliza a banda de frequências 88 MHz – 108
MHz.
b) Calcule a correspondente gama de comprimentos de onda.
III. Um sistema de teledifusão directa via-satélite utiliza uma portadora de frequência
12 GHz.
c) Calcule o correspondente comprimento de onda.
IV. Os sistemas modernos de comunicações for fibra óptica utilizam portadoras com
comprimentos de onda da ordem de 1,5 µm (infravermelho).
d) Calcule a correspondente frequência.
V. A luz visível tem comprimento de onda compreendido entre 380 nm e 780 nm. Em
particular às cores vermelho, laranja, amarelo, verde, azul e violeta estão associados
os comprimentos de onda nominais 700 nm, 610 nm, 590 nm, 530 nm, 470 nm e 420
nm, respectivamente.
e) Calcule a gama de frequências correspondente à luz visível.
f) Calcule a frequência associada a cada uma das cores indicadas.
Soluções
Radiodifusão AM Radiodifusão FM TV Via-Satélite Fibra Óptica Luz Visível
f1 535 kHz 88 MHz 12 GHz 200 THz
0,789 PHz
f2 1605 kHz 108 MHz 0,385 PHz
λ1 0,561 km 3,41 m 25 mm 1,5 µm
380 nm
λ2 0,187 km 2,78 m 780 nm
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Problema CF3
I. O campo eléctrico de uma onda electromagnética monocromática plana, que se
propaga no ar, é dado por xE ˆ)c
zt(10cosE)t,z( 8
0
a) Indique a direcção de propagação da onda, a sua frequência, polarização e
constante de propagação kz.
b) Determine o campo magnético da onda em amplitude complexa e valor
instantâneo.
c) Calcule a impedância característica da onda, e indique a desfasagem entre o
campo eléctrico e o campo magnético.
d) Calcule a velocidade de fase da onda.
II. Considere que a onda se propaga num meio com perdas em que
.mrad106,25β,mNp106,25 1313
e) Escreva a expressão do campo E(z,t).
f) Represente o andamento do campo para 0t e z0 .
g) Calcule a velocidade de fase da onda.
h) Calcule a impedância característica da onda e a desfasagem entre o campo
eléctrico e o campo magnético.
i) Compare as características de propagação das ondas no ar e no meio com
perdas.
Soluções
a) Onda a propagar-se segundo z e com polarização segundo x .
1z mrad
3
πkMHz,50f
b) yHyH ˆˆ θ)zktω(cosZ
Et)(z,e
Z
E(z) z
0
0θ)z(kj
0
0 z
c) 0θθΩ,π120Z HE0 d) 18f sm103v
e) xE ˆθ)zβt(ωcoseEt)(z, zα0 g) 14
f sm105,03v
h) 4
πθθ,mΩe44,7Z HE
4
πj
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Problema CF4 (Resolvido)
I. Considere uma onda plana monocromática polarizada linearmente segundo x ,
que se propaga segundo z num meio ilimitado e sem perdas, com 0
4 , 0
e
0 . Suponha que o campo eléctrico é alternado sinusoidal com frequência
100 MHzf e apresenta uma amplitude máxima em (t=0; z=0,125 m).
a) Escreva a expressão dos campos eléctrico e magnético da onda, em amplitude
complexa e em valor instantâneo.
b) Para o instante 0
10 nst , determine as coordenadas z em que o campo eléctrico
atinge a sua amplitude máxima.
II. Admita que o meio dieléctrico de propagação apresenta fracas perdas (0
4 ,
0 e tan d=/ωε=0,005).
c) Represente o campo eléctrico )t,z(E no instante 0 10 nst e compare com o
resultado obtido no meio sem perdas.
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Problema CF5
Considere uma onda com frequência f=100 GHz, a propagar-se sucessivamente em
3 meios diferentes: (1) ar (ε=ε0, µ=µ0), (2) dieléctrico com fracas perdas (ε=2,25ε0,
µ=µ0, tanp=0,002) e (3) bom condutor (ε=ε0, µ=µ0, =5,8x107 S.m-1)
O campo magnético da onda é dado por
yH ˆ)zt(cos)z(expH)t,z( 0
a) Para cada um dos meios calcule a constante complexa de propagação (=+j), a
impedância característica de onda e a velocidade de fase.
b) Compare as características de propagação dos 3 meios. Comente o resultado.
c) Assinale no gráfico abaixo os pontos correspondentes a cada um dos meios.
Origem da Figura
J. D. Krauss e D. A. Fleisch,
Electromagnetics with Applications,
5ª edição, McGraw-Hill, 1999.
Soluções
a) b)
Meio r
[S.m-1] tan
[Np.m-1]
[rad.m-1]
Z
[]
Ar 1 0 0 0 2000/3 120
Dieléctrico com perdas fracas
2,25 0,025 0,002 1000 80(1+j0,001)
Bom condutor 1 5,8x107 1,044x107 4,785x106 8,25x10-2(1+j)
Meio r
[S.m-1]
vf [m.s-1]
Ar 1 0 3x108
Dieléctrico com perdas fracas
2,25 0,025 2x108
Bom condutor 1 5,8x107 1,31x105
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Problema CF6
Uma onda plana monocromática propaga-se num meio ilimitado caracterizado por ,
e , sendo o seu campo magnético dado por
yH ˆ)zt(cos)z(expH)t,z( 0
I. Considere a propagação no cobre (=0, =0, =5,8x107 S.m-1).
a) Determine as expressões da impedância característica Z , da constante de
propagação j e do campo eléctrico ( , )z tE desta onda.
b) Calcule os valores de Z e para as frequências 1
16 kHzf e 2
1.6 GHzf .
c) Com base nos resultados das alíneas anteriores, analise a variação das
características da propagação no cobre em função da frequência.
II. Considere agora a propagação na água do mar ( 080 , 0 e 1mS5 ).
d) Repita as alíneas a) e b).
e) Com base nos resultados anteriores, compare a propagação na água do mar e no
cobre.
Soluções
a) Caso dum bom condutor
2
ωμσβαβjαj)(1
2σ
ωμZ
(Z)argθH|Z|E)θzβtω(cos)αz(expEt)(z, E00E0 xE ˆ
b) 113513 rad.mNp.m101,914βαΩ,)j(1103,30Z106,525θtankHz,16f ,
11528 rad.mNp.m106,053βαΩ)j(1101,04Z106,525θtanGHz1,6f ,,,
c) Admitindo que (,,) não variam com a frequência, o cobre é bom condutor até
cerca de 10 PHz. As três características Z, e , variam com f .
d) 11
4
rad.mNp.m0,5620βαΩ,)j(10,112Z
condutorBom107,031θtankHz,16f
11 rad.m316,95β,Np.m99,96αΩ,11,50j36,35Z0,7031,θtanGHz,1,6f
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Problema CF7
Considere uma onda electromagnética de frequência 0 100 MHzf , a propagar-se
na grafite.
Dados: grafite (banda de RF): =12 0; =0; 1510 Sm .
a) Determine a profundidade de penetração δ da onda na grafite, à frequência 0f .
Explique o significado físico de δ.
b) Calcule a distância para a qual a intensidade do campo sofre uma atenuação de
30 dB . Comente o resultado.
c) Determine a desfasagem entre os campos eléctrico e magnético no interior da
grafite.
d) Mostre que a desfasagem entre E e H num bom condutor não depende da
frequência da onda.
Soluções
a) m2,159m2000
1
A profundidade de penetração corresponde à distância
para a qual o campo de atenua 1 Neper.
b) d = 549,7 m
c) 4
πθθ101,5
ωε
σθtan HE
6
d) Num bom condutor as partes real e imaginária da impedância característica são
iguais.
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Problema CF8
I. Considere uma onda monocromática de frequência f a propagar-se num meio
condutor ( , , ), sendo o respectivo campo dado por
xE ˆ)zt(cosz
e0
E)t,z(
a) Escreva a expressão da amplitude complexa do campo eléctrico.
b) Determine a amplitude complexa e o valor instantâneo do campo magnético.
c) Determine o valor instantâneo do vector de Poynting ( , )S z t .
d) A partir do valor de ( , )S z t , calcule o valor médio no tempo do vector de Poynting.
e) Calcule
2
HES
*
Re . Tendo em conta o resultado obtido na alínea anterior,
explique o significado físico da grandeza S .
f) Calcule a densidade em volume da potência dissipada pela onda no meio condutor.
II. Considere uma onda de frequência 1 MHzf a propagar-se na água do mar
(=800, =0, =4 S.m-1) e no cobre (=0, =0, =5,8x107 S.m-1).
g) Para cada um dos meios, determine a impedância característica e a densidade em volume da potência dissipada pela onda.
h) Comente os resultados obtidos na alínea anterior.
Soluções
a) xE ˆeeE zjz0
b)
c) zS ˆ]cosz2t2cos[eZ2
Et,z z2
20
d) zSS ˆcoseEZ2
1dt)t,z(
T
1 z220
T
0
e) zHES ˆcoseEZ2
1Re
2
1 z220
*
f) 3d WmS2P
g) Água do Mar 320d mWE2P)j1(9935,0Z,900tan
Cobre 320
6d
412 mWE1029P)j1(10609,2Z,10044,1tan
jz
0zjz
0 eZZˆZ
ztcoseEt,zˆ
Z
eeEyHyH
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Problema CF9 (Resolvido)
Considere uma onda electromagnética com um campo eléctrico da forma
yxE ˆˆ )zkt(ωcosA)zkt(ωcosA yzyxzx
onde Ax, Ay, x e y são grandezas reais.
I. Represente a curva de polarização (forma e sentido de rotação) e identifique o tipo
de polarização nos seguintes casos:
a) Ay = 0 (Ax 0);
b) Ax = 0 (Ay 0);
c) Ay = Ax (Ax 0), y = x;
d) Ay = 2Ax (Ax 0), y = x;
e) Ay = 2Ax (Ax 0), y = x + /2;
f) Ay = Ax (Ax 0), y = x + /2;
g) Ay = Ax (Ax 0), y = x - /2;
h) Ay = 2Ax (Ax 0), y = x + /4
II. Prove que:
i) as polarizações das alíneas a) e b) podem ser obtidas por sobreposição das
polarizações das alíneas f) e g);
j) as polarizações circulares podem ser decompostas em duas polarizações
lineares.
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Problema CF10
I. Considere duas ondas planas monocromáticas a propagarem-se segundo z , com
campos eléctricos dados por
zzkj-
e)j(E0 yxE1ˆˆ e
zzkj-e)j(E0 yxE1
ˆˆ
a) Escreva a expressão dos campos 1
E e 2
E em valor instantâneo.
b) Indique a polarização de cada uma das ondas.
c) Numa ligação via satélite é emitido o sinal 1 2
E E E . Qual é a polarização do
campo eléctrico do sinal?
II. Admita que a frequência de operação é 1 GHzf e que as velocidades de fase
das duas ondas 1
E e 2
E na ionosfera, em 0z , são respectivamente,1
1.6f
v c e
2 11.1
f fv v .
d) Determine a polarização do sinal 21 EEE depois da onda ter percorrido
uma distância d=2,64 m, na ionosfera. Comente o resultado.
e) Sabendo que as características da ionosfera variam ao longo do dia, discuta as
vantagens da utilização de polarização circular num sistema de comunicações
via-satélite.
Soluções
a) yxE ˆ)2/zkt(cosEˆ)zkt(cosE)t,z( z0z01
yxE ˆ)2/zkt(cosEˆ)zkt(cosE)t,z( z0z02
b) PCD e PCE
c) PH
d) PV. A ionosfera alterou a polarização.
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Problema CF11
Considere duas ondas planas monocromáticas a propagarem-se na água doce, com
campos eléctricos dados por
11 0
ˆ ˆ( ) exp( )z E z j E x y 22 0
ˆ ˆ( ) exp( ) 3z E z E x y
Sendo j .
a) Indique a polarização de cada uma das ondas.
b) Para a frequência f1=1 kHz e 1200 mS103σ,μμ,ε80ε , calcule a
constante de atenuação, a constante de fase e a impedância característica.
c) Para a frequência f2=10 GHz e 100 mS15σ,μμ,ε80ε , calcule a constante
de atenuação, a constante de fase e a impedância característica.
Soluções
a) PCE e PL
b)
c)
Ωj)(10,36276Zrad.mNp.m101,088m91,895
6750εω
σθtankHz1f
112
βαδ
Ω6,65j40,49Zrad.m101,899Np.m311,8
0,3375εω
σθtanGHz10f
131
βα
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Problema CF12
I. Considere um sinal constituído pela sobreposição de duas ondas planas
monocromáticas, de frequências 0 e 03 , a propagar-se no vácuo segundo z ,
sendo o campo eléctrico dado por
xxE ˆ)zkt3(cosEˆ)zkt(cosE)t,z( 0000
a) Esboce o andamento de ( , )z tE em 0z e z d , em que d=2c0/0.
II. Considere, agora, que o sinal se propaga num meio dispersivo em que 0 1( )k k
e 0 2(3 )k k , sendo 0 0( ) 1.25 e 0 0(3 ) 9 1.25 .
b) Calcule as constantes de propagação e as velocidades de fase às frequências 0
e 03 .
c) Esboce o andamento de ( , )z d tE .
d) Compare a propagação do sinal no vácuo e no meio dispersivo.
Soluções
a) xE ˆ)]t3(cos)t([cosE)t,0( 000
)t,0(ˆ)]6t3(cos)2t(cos[Et,c2
0000
0 ExE
b) 1800f
0
001 sm10683,2
25,1
c)(v
c25,1)(kk
170
0
0
0
02 10944,825,13
)3(25,19)3( smc
vc
kk f
c) xE ˆ)]25,163(cos)25,12(cos[,2
000
0
0
ttEt
c
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Problema CF13
Considere o diagrama de dispersão representado na figura. Trata-se do diagrama de
dispersão do modo fundamental dum guia de ondas de paredes metálicas e secção
transversal rectangular.
a) Estime a velocidade de fase e a velocidade de grupo para f=6 GHz e f=20 GHz.
b) Admita que vai usar este guia para transmitir um sinal modulado em que a
portadora tem frequência 9 GHz e a largura de banda é 4 GHz. Estime a
velocidade de grupo nos limites da banda de frequências de utilizada.
c) Discuta os efeitos da dispersão na propagação da onda da alínea anterior.
Soluções
16/37
a)
0v
vGHz6f
g
f
18g
18f
sm109,2v
sm101,3vGHz20f
b) 18g sm105,1)GHz7f(v 18
g sm105,2)GHz11f(v
c) Distorção do sinal na recepção.
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Problema CF14
Considere um volume (V), delimitado por uma superfície fechada (S) preenchido
com um meio homogéneo, linear, isotrópico e invariável no tempo, caracterizado
macroscopicamente por (ε,μ,σ). A permitividade eléctrica (ε) e a permeabilidade
magnética (μ) são grandezas complexas. Existem fontes (Js), com variação
harmónica no tempo, que originam uma distribuição de campo electromagnético (E,
H) em V.
a) Obtenha a expressão da equação que impõe a conservação de potência no
volume V (Teorema de Poynting).
b) Indique o significado físico de cada um dos termos da equação obtida.
c) Mostre que, num meio passivo, as partes imaginárias de ε e de μ são negativas.
Soluções
a)
b)
c) εi e μi têm que ser negativos para os termos onde intervêm correspoderem a
potência perdida.
V
2
r
2
rV
2
i
2
i
V
2
SV
dVεμ2
ωjdV
2
ω
dV2
σ
2
1dV
2
1
EHHE
EdSHEJE**
s
emoS WWω2jPPP l
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Problema CF15
Considere uma onda electromagnética plana e uniforme, de frequência 2 GHz, que
se propaga num meio ilimitado, homogéneo, linear, isotrópico e invariável no tempo,
caracterizado macroscopicamente por (ε=4ε0, μ=μ0, σ=0,1 S.m-1).
O campo eléctrico (amplitude complexa) é dado por
a) Calcule a constante de atenuação (α), a constante de fase (β) e a impedância
característica da onda (Z).
b) Calcule o valor instantâneo do (vector) campo eléctrico.
c) Calcule a amplitude complexa e o valor instantâneo do (vector) campo
magnético.
d) Calcule o valor instantâneo do vector de Poynting.
e) Calcule o valor médio no tempo do vector de Poynting (<S>).
f) Verifique que *Re2
1HES
Soluções
a) 225,0
Ω20,560j185,044e186,183Zmrad84,298βmNp9,366α 0,111j11
b) xE ˆzβtωcoseEt)(z, 0
zα
0
c) yyH ˆee
Z
Eˆee
Z
Ez
0,111zβjzα0zβjzα0 0
yH ˆ0,111zβtωcoseZ
Etz, 0
zα0
d) zHES ˆ0,111cos0,111zβtω2coseZ2
Etz,tz,tz, 0
zα22
0
e) zS ˆ(0,111)coseZ2
Edttz,S
T
1z zα2
2
0
T
0
f) zˆ0,111coseZ2
ERe
2
1 zα22
0*SzHE
0j
00
zβjzα
0 eEEˆeeEz
xE
19/37
Problema CF16 (Resolvido)
I. Considere a situação representada na figura, onde uma onda electromagnética
plana e uniforme incide na superfície plana de separação de dois meios sem perdas.
a) Calcule as expressões dos factores de reflexão e transmissão para polarização
TE (horizontal) e TM (vertical).
b) Represente graficamente o andamento dos factores de reflexão (para as
polarizações TE e TM) em função do ângulo de incidência. Considere que o meio
1 é o ar (ε=ε0 e µ=µ0), o meio 2 um dieléctrico sem perdas (ε=4ε0 e µ=µ0) e f=1
GHz. Comente os resultados obtidos.
c) Repita a alínea anterior trocando os dois meios. Comente os resultados obtidos.
II. Admita agora que os dois meios têm perdas definidas pelas condutividades 1 e
2, respectivamente.
d) Generalize as expressões obtidas na alínea a).
e) Repita a alínea b) admitindo agora que o meio 2 tem perdas sendo a sua
condutividade dada sucessivamente por 0,001, 0,01 e 0,1 S.m-1. Comente os
resultados obtidos.
f) Repita a alínea b), agora considerando que o meio 1 é o ar (ε=ε0 e µ=µ0) e o meio
2 é o mar (ε=70ε0, µ=µ0, =5 S.m-1). Comente os resultados obtidos.
i r
t
Z
Y
Meio 1
Meio 2
20/37
y
z
água do mar
Ei
ar ki
Problema CF17
Pretende-se estabelecer a comunicação com um submarino submerso em alto mar
utilizando uma frequência f=10 kHz. A onda incidente no mar tem uma amplitude
complexa
xEi ˆ)zjexp(E z0
e incide na superfície de separação ar/mar segundo a normal. As características da
água do mar são mar 0
80 , mar 0
, 1
mar4 Sm .
a) Determine a direcção de propagação da onda transmitida e o valor da constante
de propagação complexa .
b) Calcule o valor da constante de atenuação no mar.
c) Determine o factor de transmissão ar/mar.
d) Compare a amplitude complexa do campo eléctrico à superfície e a 30 m de
profundidade.
e) Repita a alínea anterior para f=10 MHz. Comente o resultado.
Soluções
a) 0it 4ar 10094,2j0 3974,0j3974,0mar
b) 1mar mNeper3974,0)kHz10f(
c) 00 98,44j497,179j
TETE e105,7e9995,01R1T
d) 92,11t0
30t0 eEeE)m30z(E mar
e) 1mar mNeper497,12)MHz10f( 91,374
t030
t0 eEeE)m30z(E mar
21/37
Problema CF18
Considere uma onda plana monocromática cujo campo eléctrico incidente tem a
forma
z)]y3(π2tω[cos)2
3
2
1(
Eoi zyxEiˆˆˆ
2
Esta onda propaga-se no ar e incide sobre o mar (=810, =0, =5 S.m-1), como representado na figura.
a) Calcule a constante de propagação (vector), a frequência e o ângulo de incidência da onda.
b) Calcule a razão de polarização da onda incidente a indique qual o seu tipo polarização.
c) Calcule a razão de polarização da onda reflectida pela superfície do mar, represente a respectiva curva e diga qual é o seu tipo de polarização.
d) Calcule a razão de polarização da onda transmitida, represente a respectiva curva e diga qual é o seu tipo de polarização.
Soluções
a)
2
3π4
zyki
ˆˆ f=600 MHz i=60o
b) iTMiTEi EEE
xEiTEˆ
2z)]y3(π2tω[cos
Eoi
)2
3
2
1(z)]y3(π2tω[cos
Eoi zyEiTMˆˆ
2
1E
Ep
iTE
iTMi
Polarização linear a 45º.
Mar y
i
z
22/37
c) o
o
o
173,2j
177,7j
9,1j
i
TE
TMr e0,8221
e0,936
e0,769p
R
Rp
rTE
rTM
E
E
o
o
o
o
6,140
3,3
2,173
4,39
Polarização elíptica (quase linear)
d) o
o
o
o
2,97j -30,82j
,832j
3,95j
i
TE
TMt e1,8201
120
e28,874
e0,074
e1,763p
T
Tp
90
mar
tTE
tTM
Z
Z
E
E
o
o
61,2β
1,3α
0,3
60,2γo
o
Polarização elíptica (quase linear)
23/37
Resoluções
de
Problemas Seleccionados
24/37
Resolução do Problema CF1
a) Onda plana monocromática com polarização linear.
b) E0 é a amplitude máxima do campo eléctrico, a frequência angular, k a
constante de propagação e a fase na origem do espaço e do tempo.
c) A onda electromagnética propaga-se segundo z com polarização (campo
eléctrico) segundo y .
d)
0
0
μωj
εωj
B
D
HE
EH
EEEE 22)()(
EEHE εμω)εω(jμωj)(μωj)( 2
0εμω22 EE 0Eμε)ωk(0Eμεωz
Ey
22y
2
2
y2
μεωk
e) k
ω
td
zdv
k
Const)(θt
k
ωzConstθzktω f
f) yE ˆθ)z(kj0 eE(z)
g) H
zyx
0
y
ωμj
0E0z
00
ˆˆˆ
θ)(kzj
0
0y
0xx e
Z
E
z
E
jω
1(z)HH
xH ˆ
Ωπ120ε
μZ
0
00 θ)kz(ωcos
Z
Et)(z,H
0
0x t
h) 1
008
80
0 mrad3
π2
λ
π2kkm3
10
103
f
cλ
25/37
Resolução do Problema CF4
a) m1,5εμ
λ
k
π2λmrad
3
π4
c
ωksm101,5
2
c
εμ
cc
rr
01180
rr
0
O campo é máximo para rad6
π0,125
3
4πωtkzθ0θ)kz-t( max
xExE ˆˆ )6
πz
3
4πt10(2πcosEt)(z,eE(z) 8
0
)6
πz
3
4π(j
0
yHyHyEz
H ˆˆˆˆ
)6
πz
3
4πt10(2πcos
Z
Et)(z,e
Z
E(z)
Z
E
Z
80)
6
πz
3
4π(j
0x
b) Amplitude dos campos máxima para ....2,1,0,nnπθkzωt max
mn0,751,6252
λn
8
13zns10t
k
nπθωtz maxmax
c) ωε)(σ1θtan
112 mrad3
4π
c
ωβmNp101,047θtanπ
3
2
ε
μ
2
σα
xE ˆθ)βzt(coseEt)(z, αz0
)6
πz
3
4π(2πcoseθ)βzt(cose
E
)t(z,E z101,0470
αz
0
02
26/37
Resolução do Problema CF9
tanPeP j)]E(arg)E([argj
x
yxye
E
Ep
2sen
2tantan
2cos2cos2cos
cos2tan2tan
sen2sen2sen
a) b) c)
d) e) f)
g) h)
i) xyxyxEEE ˆˆˆˆˆ zkjzkjzkjPCDPCEPH
zzz e2A)j(eA)j(eA
yyxyxEEE ˆˆˆˆˆ )2/(
-zkjzkjzkjPCDPCEPV
zzz e2A)j(eA)j(eA
j) PVPHzkjzkjzkj
PCEzzz eAjeA)j(eA EEyxyxE j
ˆˆˆˆ
PVPHzkjzkjzkj
PCDzzz eAjeA)j(eA EEyxyxE j
ˆˆˆˆ
E Circular
Esquerda
x
Ey
Ex
Ey
Ex
Ey
Ex
Ey
Ex
Ey
Ex
Ey
=17,2o
=68,3o
=-45o
=45o =0o
=63,4o
=26,6o
=90o
=0
=90o
=0
=0 =0
=45o
Ex
Ey
Ex
Ey Linear Horizontal
Linear Vertical
Linear
Linear Elíptica Circular Esquerda
Circular Direita
Elíptica
27/37
Resolução do Problema CF16
a) Polarização TE
xxxE rnrki
ii ˆˆˆ ˆ z)ky(kj0i
)(kj0i
j0i
ziyi1 eEeEeE
zyniˆˆˆ
ii θcosθsen zyzynk iiˆˆˆˆˆk1 i1i1ziyi θcoskθsenkk-k 111 εμωk
)θsenθ(coseZ
E
Zii
z)ky(kj
1
oi
1
ziyi zyEn
H iii
ˆˆˆ
De forma semelhante
xxxE rnrkr ˆˆˆ r
r
z)ky(kj0r
)(kj0r
j0r
zryr1 eEeEeE
zynrˆˆˆ
rr θcosθsen zyzynk rrˆˆˆˆˆk1 r1r1zryr θcoskθsenkkk
)θsenθ(coseZ
E
Zrr
z)ky(kj
1
or
1
zryr zyEn
H rrr
ˆˆˆ
xxxE rnrk t ˆˆˆ t
t
z)ky(kj0t
)(kj0t
j0t
ztyt1 eEeEeE
zyn tˆˆˆ
tt θcosθsen zyzynk ttˆˆˆˆˆk2 t2t2ztyt θcoskθsenkkk 222 εμωk
)θsenθ(coseZ
E
Ztt
z)ky(kj
2
ot
2
ztyt zyEn
H ttt
ˆˆˆ
As condições na fronteira (z=0) impõem a continuidade das componentes
tangenciais do campo eléctrico e do campo magnético.
Impondo a continuidade da componente tangencial do campo eléctrico (z=0), resulta
ykjot
ykjor
ykjoi
ytyryi eEeEeE
A verificação desta igualdade para qualquer y obriga a
28/37
0t0roi
ytyryi
EEE
kkk
A primeira igualdade conduz às leis de Snell
t2i1
ir
t2i1
ri
θsennθsenn
θθ
θsenkθsenk
θsenθsen
Definido RTE=Eor/Eoi e TTE=Eot/Eoi , a segunda igualdade conduz a
TETE R1T
Impondo a continuidade da componente tangencial do campo magnético (z=0),
resulta
ykjt
2
otykjr
1
orykji
1
oi ytyryi eθcosZ
Eeθcos
Z
Eeθcos
Z
E
Após manipulação obtém-se
2
t
1
i
2
t
1
i
TE
Z
θcos
Z
θcos
Z
θcos
Z
θcos
R
2
t
1
i
1
i
TE
Z
θcos
Z
θcos
Z
θcos2
T
Definindo r1r1
r2r2
11
22
1
2
1
221
εμ
εμ
εμ
εμ
k
k
n
nn
e dado que 221
i2
t2
tn
θsen1θsen1θcos , obtém-se finalmente
i22
212
1i
i22
212
1i
TE
θsennμ
μθcos
θsennμ
μθcos
R
i22
212
1i
iTE
θsennμ
μθcos
θcos2T
TER1
Polarização TM
29/37
xxxH rnrki
ii ˆˆˆ ˆ z)ky(kj0i
)(kj0i
j0i
ziyi1 eHeHeH
zyniˆˆˆ
ii θcosθsen zyzynk iiˆˆˆˆˆk1 i1i1ziyi θcoskθsenkk-k 111 εμωk
)θsenθ(coseH iiz)ky(kj
0iziyi zyHnE iii
ˆˆZ)ˆ(Z 11
De forma semelhante
xxxH rnrkr ˆˆˆ r
r
z)ky(kj0r
)(kj0r
j0r
zryr1 eHeHeH
zynrˆˆˆ
rr θcosθsen zyzynk rrˆˆˆˆˆk1 r1r1zryr θcoskθsenkkk
)θsenθcos(-eH rrz)ky(kj
0rzryr zyHnE rrr
ˆˆZ)ˆ(Z 11
xxxH rnrk t ˆˆˆ t
t
z)ky(kj0t
)(kj0t
j0t
ztyt1 eHeHeH
zyn tˆˆˆ
tt θcosθsen zyzynk ttˆˆˆˆˆk2 t2t2ztyt θcoskθsenkkk 222 εμωk
)θsenθ(coseH ttz)ky(kj
0tztyt zyHnE ttt
ˆˆZ)ˆ(Z 22
Impondo a continuidade da componente tangencial do campo magnético (z=0),
resulta
ykjot
ykjor
ykjoi
ytyryi eHeHeH
A verificação desta igualdade para qualquer y obriga a
0t0roi
ytyryi
HHH
kkk
A primeira igualdade conduz às leis de Snell
t2i1
ir
t2i1
ri
θsennθsenn
θθ
θsenkθsenk
θsenθsen
Definido RTM=Hor/Hoi e TTM=Hot/Hoi , a segunda igualdade conduz a
TMTM R1T
Impondo a continuidade da componente tangencial do campo eléctrico (z=0), resulta
ykjtot
ykjror
ykjioi
ytyryi eθcosHeθcosHeθcosH
211 ZZZ
Após manipulação obtém-se
30/37
t2i1
t2i1TM
θcosZθcosZ
θcosZθcosZR
t2i1
i1TM
θcosZθcosZ
θcosZ2T
Ou ainda
i22
21i221
2
1
i22
21i221
2
1
TM
θsennθcosn
θsennθcosn
R
i22
21i221
2
1
i221
2
1
TM
θsennθcosn
θcosn
T
2
R1 TM
b) 22r r1r1
r2r2
1
221
εμ
εμ
n
nn
Apesar de |RTE| e |RTM| serem iguais para incidência perpendicular (i=0) e
incidência rasante (i=/2), têm comportamentos diferentes. Quando i aumenta,
|RTE| aumenta sempre. No entanto, com o aumento de i, |RTM| diminui até ao ângulo
de Brewster
o
r2
r21
221
211iB 63,43
1ε
εsen
1n
nsenθ
(onde se anula) e cresce depois disso. Ambas as polarizações têm |R|=1 para
incidência rasante (i=/2).
c) 2
11
1r
r1r1
r2r2
1
221
εμ
εμ
n
nn
31/37
Neste caso (r1>r2) existe um ângulo de incidência limite iL
o
r1
121
1iL 30
ε
1sen)(nsenθ
a partir do qual há reflexão total.
d) A forma de obter as expressões de RTE e RTM é a mesma. No entanto, dado que
os meios têm perdas, têm que se utilizar as expressões dos campos nos meios
com perdas. Surgem as constantes de propagação complexas (1 e 2), e as
impedâncias características dos meios (Z1 e Z2) também são complexas. As
expressões são as mesmas mas agora n21 vale
)j(
)j(n
111
222
1
221
e) Tem-se sucessivamente
0045,0tan001,0
045,0tan01,0 45,0tan1,0
32/37
Só para =0,1 (tan = 0,45) se nota diferença face ao caso sem perdas. Verifica-se
uma (pequena) diminuição do módulo do factor de reflexão (TE e TM) e deixa de
haver transmissão total (só TM).
f) Neste caso 29,1tan
33/37
A descontinuidade dieléctrica entre o ar e o mar é muito grande originando
(módulos dos) factores de reflexão muito grandes. A excepção verifica-se para a
polarização vertical (TM) próximo da incidência rasante.
34/37
Enunciados
de
Provas de Avaliação Anteriores
35/37
Teste de 01 de Novembro de 2013
O campo eléctrico de uma onda electromagnética plana e monocromática que se
propaga num meio ilimitado, caracterizado macroscopicamente por (=2,250, =0,
=0) é dado por
)ˆˆ3(42
z)3y(kt102cos
2
E 8o zyE
a) Calcule a constante de propagação (vector), o comprimento de onda e a direcção de propagação da onda.
b) Calcule as amplitudes complexas do campo eléctrico e do campo magnético (vectores).
c) Sabendo que E0=1 V.m-1, calcule o valor médio no tempo do vector de Poynting.
d) Calcule a razão de polarização da onda e esboce a respectiva curva de polarização.
Teste de 09 de Novembro de 2012
Considere uma onda electromagnética que se propaga num meio ilimitado (homogéneo, linear e isotrópico) caracterizado macroscopicamente por ε=4ε0, µ=µ0 e
=0. O campo eléctrico da onda tem a forma
xE ˆz)]y3(π2tω[cosE0
onde E0=10 V.m-1.
a) Calcule (o vector) constante de propagação, a frequência e a velocidade de fase da onda.
b) Calcule a amplitude complexa do (vector) campo magnético.
c) Calcule a densidade de potência (vector).
Teste de 31 de Janeiro de 2011
Uma onda com frequência f = 100 MHz a propagar-se num meio caracterizado por 1
00 mS18e,5,3 , apresenta um campo magnético dado por
yH ˆej1eHzjz
o
a) Caracterize o meio em termos da relação σ/. Explique o significado físico de
σ.
b) Calcule as constantes de atenuação e de propagação . Comente o resultado.
c) Caracterize a polarização da onda.
d) Determine a impedância da onda e a amplitude complexa do seu campo eléctrico
E . e) Calcule o valor médio no tempo da “densidade de potência transportada pela
onda”.
36/37
Teste de 08 de Novembro de 2010
I. Uma onda plana e uniforme propaga-se num meio dieléctrico ilimitado ( ,, 0 )
com o campo magnético,
1z0 mAˆ)zt(coseH)t,z( yH
(Dados: 120 mA10H ; MHzf 100 , 1mrad3/4 ; 001,0/ )
a) Escreva as expressões das amplitudes complexas dos campos E e H da onda.
b) Calcule a constante de atenuação e a atenuação sofrida pela onda numa
distância 20d . Comente o resultado.
c) Escreva a expressão do vector complexo de Poynting e indique o significado
físico das suas partes real e imaginária.
II. Considere agora que o meio dieléctrico não tem perdas ( 0 ).
d) Determine a constante dieléctrica do meio e o respectivo índice de refracção.
e) Calcule a “densidade de potência” média (no tempo) transportada pela onda.
Teste de 28 de Abril de 2010
Uma onda plana com frequência f a propagar-se na água do mar (=800, =0, =4 S.m-1) tem um campo magnético dado por
)ˆjˆ(eeHHou]ˆ)zt(senˆ)zt(cos[eH zjz0
z0 yxyxH
a) Escreva a expressão do campo eléctrico em amplitude complexa.
b) Indique qual a polarização da onda. Justifique.
c) Considere a propagação nas frequências f1=9 MHz e f2=9 GHz e calcule, para
cada uma delas, a constante de propagação =+j, a impedância característica Z e a velocidade de fase vf.
d) Tendo em conta os valores obtidos na alínea anterior, caracterize o comportamento da água do mar às duas frequências indicadas. Comente o resultado.
e) Calcule a relação entre o valor médio do vector de Poynting <S> em z=0 e z = 50 cm , para as frequências f1 e f2. Comente o resultado, indicando qual a frequência mais indicada para comunicação no oceano.
37/37
Teste de 14 de Novembro de 2008
A amplitude complexa do campo eléctrico de uma onda com f = 100 MHz que se
propaga num meio caracterizado por 100 mS18e,5,3 é dada por
10
z0 mV2,0Ecomˆe)j1(E xE
a) Caracterize o meio e calcule os valores das constantes de propagação e de atenuação da onda.
b) Caracterize a polarização da onda.
c) Determine a amplitude complexa de H, e calcule o valor médio no tempo da “densidade de potência” transportada pela onda.
Teste de 19 de Abril de 2008
Uma onda plana, de frequência 5 kHzf e campo eléctrico 0
ˆzE e E x , propaga-
se num meio ilimitado e bom condutor.
Dados: Profundidade de penetração 1 mm ; 7 1
0 4 10 Hm .
a) Indique qual é a polarização da onda e calcule os valores de:
constante de propagação j ;
velocidade de fase vf;
impedância característica Z .
b) Determine a amplitude complexa do campo magnético e seu valor instantâneo.
Indique qual é a desfasagem entre o campo eléctrico e o campo magnético.
c) Calcule a variação do valor médio do vector de Poynting S entre 0z e 2z .
Comente o resultado.
38/37
Exame de 16 de Janeiro de 2008 Uma onda electromagnética monocromática, plana e uniforme com f=300 MHz, a
propagar-se no ar, incide segundo a normal na superfície plana de um meio bom
condutor )mS10x8,5,,( 1720202
. O campo eléctrico da onda incidente
apresenta polarização transversal eléctrica (TE) e tem uma amplitude máxima E0i =
754 μV.m-1.
a) Determine a amplitude complexa e o valor instantâneo do campo magnético incidente.
b) Determine os valores das constantes de atenuação e fase da onda no metal, o comprimento de onda e a velocidade de fase.
c) Calcule a razão entre o campo eléctrico transmitido em z= -25 cm e em z=0 e analise as características de propagação da onda no metal, com base nos resultados obtidos nesta alínea e nas anteriores.
Exame de 7 de Julho de 2006
Considere duas ondas planas monocromáticas e uniformes, com campos eléctricos
1E e 2E , tais que
1 0
ˆˆ ˆ( ) exp( )E E x y n r 2 0
ˆˆ exp( )E E x n r ,
em que j e 1
0 10 VmE . As duas ondas, de frequências 1 600 kHzf e
2 600 THzf (espectro do visível), respectivamente, propagam-se na água do mar
( 080 , 0 e 14 Sm ).
a) Caracterize o meio de propagação (água do mar) para as duas frequências indicadas.
b) Indique qual a polarização das duas ondas. Justifique.
c) Para onda de frequência 2f , determine a constante de fase , a constante de
atenuação , o comprimento de onda e a velocidade de fase fv .
d) Escreva a expressão do campo 2H associado a essa onda, em amplitude
complexa e em valor instantâneo.
y x
iE
ik
z
Meio1 (ar)
Meio 2
39/37
Exame de 17 de Janeiro de 2005
Considere uma onda monocromática, plana e uniforme com polarização vertical
(TM), que se propaga num meio ilimitado de parâmetros característicos 1=0, 1,
1=0, com um vector de onda )ˆ83,0ˆ12,1(k0 zyk i , e incide sobre um segundo meio
semi-ilimitado r2=1, r2=16 2=0. A amplitude complexa na origem do campo
eléctrico incidente é .m/mV15Eoi
a) Determine o ângulo de incidência e o valor de 1.
b) Escreva a expressão da amplitude complexa do campo magnético no ponto (x=0, y=1 m, z=0).
c) Determine as componentes do campo eléctrico associado à onda incidente.
d) Calcule a potência transmitida ao solo, por m2.
e) Determine o ângulo de incidência que permite maximizar a transmissão de potência para o solo.
Exame de Janeiro de 1997
Considere uma onda plana monocromática a propagar-se no ar que incide numa superfície plana de separação de meios ar/cobre com polarização TM. A frequência de trabalho é de 10 MHz e, sobre a superfície fronteira, a amplitude complexa do
campo magnético incidente vale .mAe30H 10joi
a) Mostre que a onda transmitida se propaga (muito aproximadamente) segundo a normal, qualquer que seja o ângulo de incidência.
b) Determine os campos eléctrico e magnético transmitidos sobre a fronteira e à profundidade 0,1 mm, em amplitudes complexas e valores instantâneos.
c) O cobre destina-se a efectuar uma blindagem electromagnética. Obtenha a
profundidade de penetração, , e a espessura do cobre, d, que assegura 60 dB de atenuação.
