PROPORÇÃO: ATIVIDADES SIGNIFICATIVAS

PROFESSOR RONI CARLOS SILVEIRA DOS SANTOS

JARAGUÁ DO SUL2011

ESTAESTADO DE SANTA CATARINAPREFEITURA MUNICIPAL DE JARAGUÁ DO SULSECRETARIA MUNICIPAL DA EDUCAÇÃODIRETORIA PEDAGÓGICAEMEF MAX SCHUBERT

PROFESSOR RONI CARLOS SILVEIRA DOS SANTOS

FRANCIELI CARNEIRO – 9º ANO 01

JULIA LAZARIN DE OLIVEIRA – 9º ANO 01

PROPORÇÃO: ATIVIDADES SIGNIFICATIVAS

Relatório do Projeto de Ensino desenvolvido na Disciplina de Matemática sobre Proporcionalidade e Semelhança, envolvendo os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, apresentado a Coordenadora Municipal de Matemática da Secretaria Municipal de Educação - SEMED: Professora Iraci Muller, para participação na II Feira Municipal de Educação Matemática e XXVII Feira Catarinense de Matemática.

JARAGUÁ DO SUL2011

SUMÁRIO

RESUMO ............................................................................................................................. 3

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 4

2. OBJETIVOS ..................................................................................................................5 5

2.1 OBJETIVO GERAL ....................................................................................................... 5

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................ 5

3. METODOLOGIA ........................................................................................................... 6

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................................. 8

4.1 TRIÂNGULOS SEMELHANTES ................................................................................ 8

4.2 ATIVIDADES PARA EXPLORAÇÃO DA PROPORÇÃO ........................................ 9

4.2.1 HOMOTETIA ............................................................................................................. 10

5. CONSIDERAÇÕES ..................................................................................................... 11

6. REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 13

7. ANEXOS ......................................................................................................................... 14

RESUMO

Nosso trabalho surgiu da preocupação em desenvolver atividades que realmente contribuam para que a proporcionalidade seja compreendida e percebida, tanto na disciplina escolar quanto no cotidiano. A noção de proporcionalidade é fundamental para o desenvolvimento e utilização de mecanismos de raciocínio como análise e comparação. A proporção está presente no cotidiano “fora ou dentro” da escola, a utilizamos para a leitura de mapas, no planejamento arquitetônico, análises financeiras e planejamento da renda familiar, quando queremos aumentar o rendimento de uma receita culinária, está presente na tabuada, na regra de três e em inúmeras situações que justificam o seu aprendizado de forma significativa. Embora possamos utilizá-la de maneira não criteriosa no dia a dia, devemos na disciplina de matemática ter o cuidado e responsabilidade com seu ensino intencional, objetivando que o aluno perceba sua importância e a desenvolva plenamente. O objetivo do nosso trabalho é desenvolver atividades significativas que contribuam para o ensino e a aprendizagem da proporcionalidade. Para isso exploramos a ampliação ou redução de figuras e objetos, além de trabalhar com montagem de imagem digital. Partindo das concepções previas do que seja semelhança no cotidiano, para o aluno, discutimos a proporcionalidade como requisito principal para a semelhança matemática. Desenvolvemos, então, ampliações e reduções de polígonos utilizando malha quadriculada, desenho livre e por homotetia. Discutimos a importância da escala em nosso cotidiano para a leitura de mapas ou na arquitetura. Após estudarmos as formas semelhantes e teorema de Tales, os alunos ampliaram objetos simples como grampos de roupa, dado, lixa de unha, clip para prender papel, entre outros a sua escolha. Tais ampliações estavam na escala que melhor se aplicava dependendo do material a ser utilizado. Para a atividade com imagem digital primeiramente realizamos uma pesquisa com esse tema. Então os alunos utilizaram recortes de revista, calculando a distância entre a pessoa real e a máquina fotográfica proporcionalmente, tomando-se como parâmetros as dimensões da imagem no recorte de revista, a pessoa real e a distância entre o recorte e a máquina fotográfica. Organizamos uma mostra das imagens e objetos na escola, bem como um dicionário com os principais termos utilizados em imagens digitais e tipos de arquivo (trabalho este realizado com pesquisa na internet e confecção de cartazes). O desenvolvimento deste trabalho possibilitou a aprendizagem matemática com significado permitindo que o aluno estabelecesse a todo o momento relações entre teoria e prática. Nosso trabalho contribuiu de maneira muito positiva para o aprendizado, gosto pela apropriação do conteúdo e prazer no desenvolvimento de atividades matemáticas para além do caderno ou livro didático.

Palavras-chave: proporção, escala, homotetia, ampliação, redução, teorema de Tales, imagem digital.

1. INTRODUÇÃO

Nosso trabalho surgiu da preocupação de desenvolver atividades em sala de aula

que realmente contribuam para que este conteúdo matemático seja compreendido e

percebido, tanto na disciplina escolar quanto no cotidiano.

A noção de proporcionalidade é fundamental para o desenvolvimento e utilização de

mecanismos de raciocínio. Análise, comparação e composição são alguns exemplos que

necessitam da noção de proporcionalidade.

Presente no cotidiano “fora ou dentro” da escola, a utilizamos para a leitura de

mapas, no planejamento em plantas arquitetônicas, análises financeiras e planejamento da

renda familiar, quando queremos aumentar o rendimento de uma receita culinária, está

presente na tabuada, na regra de três e em inúmeras situações que justificam o seu

aprendizado de forma significativa.

Embora possamos utilizá-la de maneira não criteriosa no dia a dia, devemos na

disciplina de matemática ter o cuidado e responsabilidade com seu ensino intencional

objetivando que o aluno perceba sua importância e a desenvolva plenamente.

Por isso as atividades significativas para o ensino e aprendizado de proporção, para

além do livro didático, são importantes e constituem os objetivos do nosso projeto.

2. OBJETIVOS

2.1 OBJETIVO GERAL

Desenvolver atividades significativas que contribuam para o ensino e a

aprendizagem da proporcionalidade.

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Verificar se há proporcionalidade comparando objetos e figuras.

Compreender que a semelhança para a matemática utiliza critérios específicos por vezes

diferentes da semelhança para o cotidiano.

Diferenciar formas geométricas semelhantes, bem como calcular medidas ou construir

ampliações e reduções em escala.

Compreender a escala cartográfica para ler mapas.

Resolver por teorema de Tales situações em feixes de paralelas ou triângulos.

Ampliar ou reduzir objetos proporcionalmente obedecendo a uma escala.

Compor imagens utilizando recortes de revistas e pessoas reais dispostas na cena em

distâncias proporcionais.

Compreender e manipular arquivos digitais, bem como suas unidades de medida

específicas.

3. METODOLOGIA

Primeiramente será solicitado que os alunos tragam para a sala de aula objetos que

julgarem ser semelhantes. Partindo de suas concepções prévias do que seja semelhança

discutiremos a proporcionalidade como requisito principal para a matemática.

Os alunos trabalharão em equipes e deverão ampliar e reduzir desenhos simples

utilizando-se várias técnicas. Trabalharemos a homotetia e discutiremos a importância da

escala em nosso cotidiano para a leitura de mapas ou na arquitetura, por exemplo.

Após estudarmos as formas semelhantes e teorema de Tales, os alunos deverão

ampliar objetos simples como grampos de roupa, dado, lixa de unha, clipe para prender

papéis, entre outros a sua escolha. Tais ampliações devem estar na escala que melhor

convier, dependendo do material a ser utilizado.

Para melhor apropriação matemática durante as atividades envolvendo montagem

proporcional de fotografias, primeiramente realizaremos uma pesquisa sobre o tema. No

grande grupo organizaremos a pesquisa de forma coletiva, levantando nossas concepções

prévias. Listaremos nossas certezas e nossas dúvidas sobre o tema: Imagem Digital.

Dependendo do número de dúvidas levantadas, delimitaremos os grupos que se

encarregarão de buscar informações para respondê-las. Então cada grupo organizará em

formato de cartaz o resultado de sua pesquisa, para socializarmos este conhecimento.

A atividade com imagens será realizada em sala de aula. Os alunos deverão utilizar

recortes de revista, calculando a distância entre a pessoa real e a máquina fotográfica

proporcionalmente, tomando-se como parâmetros as dimensões da imagem no recorte de

revista, a pessoa real e a distância entre o recorte e a máquina fotográfica.

Os alunos participarão de exercícios durante todo o processo para utilização dos

conhecimentos estudados, bem como possíveis retomadas de discussões embasadas em

problematizações.

O objeto ampliado, o estudo da proporcionalidade entre o recorte de revista e a

pessoa para a fotografia, os cartazes sobre imagem digital e uma lista de exercícios, serão

os instrumentos que utilizaremos para quantificar a aprendizagem e o ensino da

proporcionalidade.

Organizaremos uma mostra das imagens e objetos na escola, bem como o estudo

sobre as unidades de medida envolvidas em imagens digitais e tipos de arquivo (trabalho

este realizado com pesquisa na internet e confecção de cartazes).

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

4.1 TRIÂNGULOS SEMELHANTES

O estudo e aplicação das propriedades dos triângulos semelhantes têm grande

importância para o raciocínio lógico matemático. Contribuindo para que possamos

solucionar problemas aplicando este conhecimento à figuras, sólidos ou quantidades, sejam

elas na linguagem aritméticas ou expressões algébricas.

O primeiro matemático que utilizou as propriedades dos triângulos semelhantes foi

Tales de Mileto. Abstraindo tal princípio teórico e aplicando para determinação de

distâncias e alturas inacessíveis.

Tales também passou longos períodos de tempo no Egito. Os egípcios tinham a capacidade de construir as pirâmides, mas não tinham o discernimento necessário para medir a sua altura. Tales buscou explicações teóricas para os fatos descobertos empiricamente pelos egípcios. Com tal compreensão, Tales foi capaz de deduzir técnicas geométricas, uma da outra, e de roubar a solução de um problema a partir de outro, pois tinha extraído o princípio abstrato da aplicação prática particular. Ele deixou os egípcios impressionados quando lhes mostrou como eles poderiam medir a altura da pirâmide empregando um conhecimento das propriedades de triângulos semelhantes. Mais tarde usou uma técnica similar para medir a distância de um navio no mar. Ele se tornou uma celebridade no Egito Antigo (MLODINOW, 2004, p. 25).

A relação entre as dimensões dos lados de dois triângulos de tamanhos diferentes,

mas que possuam mesmas medidas de seus ângulos, é importante para proporcionalidade

tanto de figuras bidimensionais quanto objetos tridimensionais. A maioria dos objetos ou

figuras pode ser dividida ou composta por uma rede triângulos. Este é o princípio da

computação gráfica.

É importante observar no teorema de Tales esta relação entre os ângulos das

transversais e as distâncias entre as paralelas. Em sala de aula deve-se assegurar que os

alunos constatem tais propriedades e vivenciem situações, exercícios ou problemas que

mobilizem tal conhecimento em situações envolvendo triângulos, outras figuras, sólidos e

atividades relacionadas a ampliações ou reduções, bem como situações cotidianas.

4.2 ATIVIDADES PARA EXPLORAÇÃO DA PROPORÇÃO

As situações que os livros didáticos apresentam com maior frequência requerem que

os alunos constatem se duas figuras são semelhantes, a determinação de alguma medida

sabendo que há semelhança entre as figuras e a aplicação do teorema de Tales em feixes de

paralelas cortadas por transversais.

Situações como determinar a altura de uma árvore, poste ou prédio da escola por

triângulos semelhantes utilizando a sombra ou reflexão em espelhos planos, além de

trabalhar instrumentos de medida como fita métrica ou trena possibilita uma

contextualização maior que a dada pelo livro didático, cujo enredo não desperta interesse

nos alunos.

Explorar as escalas cartográficas nos mapas dos livros de geografia ou história

possibilita que os alunos determinem distâncias reais a partir de medições constatando a

importância da matemática para além da disciplina de matemática. Também devemos

oportunizar que o aluno amplie ou reduza figuras para que manipule e constate a escala.

Técnicas de ampliação podem ser trabalhadas em parceria com a disciplina de

Artes. A técnica utilizando malha quadriculada é a mais utilizada por esta disciplina quando

pensamos em utilização de algum recurso. A ampliação por homotetia permite estabelecer

relações entre as propriedades das figuras semelhantes e a escala utilizada.

4.2.1 HOMOTETIA

A palavra homotetia foi idealizada por Michel Chasles1 em 1827. Derivada dos

termos gregos homo e tetia, que significam, nesta ordem, similar e posição.

Trata-se de uma técnica de ampliação ou redução a partir de um ponto fixo, pelo

qual traçamos segmentos retilíneos que passam por todos os vértices ou pontos de apoio da

figura a ser redimensionada.

As distâncias do ponto fixo aos pontos de apoio são, então, aumentadas ou

diminuídas conforme a escala desejada. Na figura 1, abaixo, temos um exemplo da técnica

de homotetia utilizando a escala 2 : 1.

Figura 1: Homotetia com escala 2 : 1

1 Michel Chasles: comerciante e matemático francês. Nascido em Epernon em 15 de Novembro de 1793 e falecido em Paris em 18 de Dezembro de 1880. Descobriu os princípios gerais de geometria: dualidade e homografia. Ampliando-os, escreveu em 1837 sua Apreciação histórica sobre a origem e o desenvolvimento dos métodos em geometria.

5. CONSIDERAÇÕES

Com nosso trabalho constatamos que desenvolvendo atividades nas quais a

proporcionalidade possa ser discutida e estudada de maneira não tradicional, apenas

seguindo o livro didático ou resolvendo exercícios em sala de aula, agregamos significado e

permitimos o estabelecimento de relações entre o cotidiano e a matemática teórica.

Elaborar uma sequência didática que privilegie inicialmente a discussão e o

levantamento das concepções prévias para, a partir do que o aluno já sabe, desenvolver o

estudo de proporção, possibilitou situá-lo e convidá-lo (o aluno) para estabelecer o contrato

de parceria neste trabalho.

As atividades envolvendo imagem digital se constituíram em forte modelo

matemático para o desenvolvimento das aulas e constatação, na prática, das propriedades

das figuras semelhantes. Tanto escala como paralelismo foram compreendidas pela grande

maioria dos alunos. Já constatamos em trabalhos envolvendo maquetes, realizados para a

disciplina de Ciências após a aplicação do nosso projeto, um cuidado com a escala e

proporção entre os elementos utilizados na maquete.

Com a pesquisa sobre imagem digital pudemos constatar qual o melhor formato

para arquivar, visualizar na tela ou publicar, bem como imprimir uma fotografia digital.

Também aprendemos sobre pixel, resolução de imagem e diferença entre o zoom óptico e o

zoom digital. Estudamos também as unidades de medida relacionadas com imagem digital

e descobrimos as diferenças entre os prefixos de base 10 (quilo, mega, giga, tera, ...) e os de

base 2 (quibi, mibi, gibi, tebi, ...).

Durante o desenvolvimento de nosso projeto percebemos na animação digital um

recurso muito interessante e com potencial a ser explorado matematicamente. Inclusive

utilizamos tal recurso na socialização de nosso trabalho ao explicarmos a homotetia e o

procedimento com as fotografias utilizando a montagem com o recorte de revista.

6. REFERÊNCIAS

CENTURIÓN, Marília. Matemática na medida certa: 8ª série, 9º ano do Ensino

Fundamental / Centurion, Jakubovic, Lellis – Ed. Reform. – São Paulo: Scipione, 2007.

IMENES, Luiz Márcio. Matemática: Imenes & Lellis / Luiz Márcio Imenes, Marcelo

Lellis. – 1. ed. – São Paulo: Moderna, 2009.

MACHADO, Nilson José. A geometria na sua vida. São Paulo: Ática, 2003.

MLODINOW, Leonard. A janela de Euclides: a história da geometria, daslinhas

paralelas ao hiperespaço. São Paulo: Geração editorial, 2004.

RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática 9º ano. São Paulo: Scipione,

2009.

7. ANEXOS

ANEXO 1: PREFIXOS – SISTEMA INTERNACIONAL

NOME SÍMBOLO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO DA UNIDADE POR EXTENSO

yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 X SEPTILHÃO

zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 X SEXTILHÃOexa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 X QUINTILHÃOpeta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 X QUATRILHÃOtera T 1012 = 1 000 000 000 000 X TRILHÃOgiga G 109 = 1 000 000 000 X BILHÃOmega M 106 = 1 000 000 X MILHÃOquilo k 10³ = 1 000 X MILhecto h 10² = 100 X CEMdeca da 10 X DEZ

U N I D A D Edeci d 10-1 = 0,1 DEZcenti c 10-2 = 0,01 CEMmili m 10-3 = 0,001 MIL

micro µ 10-6 = 0,000 001 MILHÃOnano n 10-9 = 0,000 000 001 BILHÃOpico p 10-12 = 0,000 000 000 001 TRILHÃO

femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 QUATRILHÃOatto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 QUINTILHÃO

zepto z 10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001 SEXTILHÃOyocto y 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 SEPTILHÃO

ANEXO 2: Principais Termos Relacionados com Imagem Digital

BMP: Windows Bitmap. Normalmente usado pelos programas do Microsoft Windows. Não utiliza nenhum algoritmo de compressão, daí esse formato apresentar as fotos com maior tamanho.

dpi: (dots per inch: pontos por polegada) é uma medida de densidade relacionada à composição de imagens, indica a quantidade de pontos existentes em cada linha de uma polegada que forma a imagem. É uma medida de resolução de impressoras, embora também seja muito usada (de forma inadequada) para monitores, scanners e câmeras digitais (para estes o correto é o ppi).

Formato: forma usada por determinada aplicação computacional para gerar ou reconhecer um arquivo. Os mais comuns em imagem digital são GIF, JPG (JPEG), BMP, PNG, TIFF e RAW.

GIF: Graphics Interchange Format. Criado para ser usado extensivamente na Internet. Suporta imagens animadas e 256 cores por frame. Foi substituído pelo PNG.

JPEG: Joint Photographic Experts Group. A extensão em DOS é "JPG". É o formato mais utilizado e conhecido atualmente. Quase todas as câmaras dão esta opção para guardar as imagens. Arquivo muito utilizado na Internet e em multimidia, por ter uma compactação excelente, algo fundamental ao meio, e por suportar até 16.777.216 cores distintas.

Megapixel: um milhão de pixels.

Pixel: aglutinação de Picture e Element ( elemento de imagem, sendo Pix a abreviatura em inglês para Picture) é o menor elemento num dispositivo de exibição (como por exemplo um monitor), ao qual é possível atribuir uma cor. De uma forma mais simples, um pixel é o menor ponto que forma uma imagem digital.

PNG: Portable Network Graphics. É um formato livre de dados utilizado para imagens, que surgiu em 1996 como substituto para o formato GIF, devido ao fato de este último incluir algoritmos patenteados. Suporta canal alfa, não tem limitação da profundidade de cores, alta compressão (regulável). Permite comprimir as imagens sem perda de qualidade, ao contrário de outros formatos, como o JPG.

ppi: (pixels per inch" ou pixels por polegada). É uma medida de densidade relacionada à densidade de imagens, indica a quantidade de pixels por polegada linear da imagem digital.

RAW: Refere-se à família de formatos de imagem RAW que são originados pela maioria das câmeras digitais profissionais. O formato RAW não é padronizado nem documentado, e difere de fabricante para fabricante.

Resolução: descreve o nível de detalhe que uma imagem comporta. O termo se aplica igualmente a imagens digitais, imagens em filme ou outros tipos de imagem.

SVG: Scalable Vector Graphics. É um formato vetorial, criado e desenvolvido pelo World Wide Web Consortium.

TIFF: Tagged Image File Format. Arquivo padrão para impressão industrial (offset, rotogravura, flexogravura); também muito usado como opção nas câmaras fotográficas. É um formato de arquivos que praticamente todos os programas de imagem aceitam.

VGA: (Video Graphics Array) em imagem digital é a resolução de 640 x 480 pixels, o que equivale a aproximadamente 0,3 megapixel. Outras resoluções: SVGA (0.5 Megapixels) 800×600 pixelsXGA (0.8 Megapixels) 1024×768 pixelsSXGA (1.3 Megapixels) 1280×1024 pixelsUXGA (1.9 Megapixels) 1600×1200 pixelsQXGA (3.1 Megapixels) 2048×1536 pixelsQSXGA (5.2 Megapixels) 2560×2048 pixelsWQSXGA (6.6 Megapixels) 3200×2048 pixelsQUXGA (7.7 Megapixels) 3200×2400 pixelsWQUXGA (9.2 Megapixels) 3840×2400 pixels

ANEXO 3: Fotos da Participação na II Feira Municipal de Educação

Matemática – 19 de setembro de 2011