PROPORÇÃO ÁUREA - chrisogg.files.wordpress.com · Espiral decrescente de Raiz de 2 Traça-se e...
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PROPORÇÃO ÁUREA
“O poder do segmento áureo de criar harmonia advém de sua capacidade singular de unir as diferentes partes de um todo, de tal forma que cada uma continua mantendo sua identidade, ao mesmo tempo que se integra ao padrão maior de um todo único.
Gyorgy Doczi, O poder dos limites: harmonia e proporções na natureza, arte e arquitetura, 1986
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...
Seqüência de Fibonacci
0+0=0
0+1=1
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21
13+21=34
21+34=55
Ao examinar o Triângulo Chinês (Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.
Sequência de Fibonacci e o número de ouroDe que forma ocorre esta conexão com a razão de ouro Phi? Na verdade a sequência de Fibonacci é dada por:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Se considerarmos a sequência de Fibonacci como um conjunto da forma {1,1,2,3,5,8,13,...) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, obteremos outra sequência:1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666..., 8/5=1.6, ...
É fácil perceber o que ocorre quando colocamos estas razões sucessivas (alturas) em um gráfico em que o eixo horizontal indica os elementos da sequência de Fibonacci:
As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro (Número Áureo), que é frequentemente representado pela letra grega Phi
Quando n tende a infinito, o limite é exatamente Phi, o número de ouro.
21.282 : 13.153 = 1,61803
Segmento Áureo
1 2 3
654
7 8 Temos então a proporção:
= 1.61803
Retângulo Áureo
1 2 3
654
Espiral logarítmica
Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendoo lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamosagora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) eteremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com ladosiguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passoanterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... queé a sequência de Fibonacci.
Usando um compasso, trace um quarto de círculo noquadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado.De acordo com o desenho ao lado, trace quartos de círculosnos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.
Espiral logarítmica
Proporções áureas
Este método pode resultar
em uma série de círculos e
quadrados que mantém
entre si a proporção áurea.
Retângulo áureo, método de
construção com triangulo
Proporções áureas em círculos e quadrados
O método de construção
de seção áurea por meio
do triangulo também
produz uma série de
círculos ou quadrados
áureos.
Triângulos e elipses áureos
Construção do triangulo áureo
a partir do pentágono
Construção do triangulo áureo
secundário a partir do pentágono
Construção do triangulo áureo
a partir do decágono
Proporções áureas do pentagramaA estrela de cinco pontas criada a
partir das diagonais de um pentágono
regular é um pentagrama, cuja parte
central é um outro pentágono.
Criação de espiral áurea a partir do triangulo áureoTraçando um novo ângulo de 36° a partir
de um ângulo da base. Para criar a espiral
usa-se o comprimento dos lados dos triângulos
das subdivisões como raio de um círculo.
Triângulos e elipses áureos
Retângulos áureos dinâmicos
Retângulo de Raiz de 2
Prolongue os dois lados opostos
do quadrado de modo que
tangenciem o círculo.
Espiral decrescente de Raiz de 2Traça-se e conecta-se as diagonais
nos retângulos recíprocos de raiz de 2
Relações proporcionais de raiz de 2A subdivisão contínua de
um retângulo raiz de 2
resulta em retângulos
similares proporcionalmente
menores.
Construção da Logomarca da Apple
Cadeira Barcelona, Mies van der Rohe, 1929
A cadeira se encaixa
perfeitamente num cubo.
As curvas principais tem o
mesmo raio do quadrado.
O outro circulo tem
metade do raio dos
maiores.
Cadeira Brno, Mies van der Rohe, 1929
Vista de cima a
cadeira encaixa-se
num quadrado.
Na vista frontal e lateral a
cadeira coincide com um
retângulo áureo.
O ângulo das pernas
dianteiras e o do encosto
da cadeira são simétricos,
e os raios das curvas
estão em proporção 1:3
Cadeira Plywood, Charles Eames, 1946
EncostoEnquadra-se perfeitamente
em um retângulo áureo
ProporçõesNa cadeira para sala
de jantar as proporções
são bem próximas da
seção áurea.Os raios dos
cantos do
encosto e
das pernas
tubulares são
proporcionais
entre si, nas
razões 1:4:6:8
A=1
B=4
C=6
D=8
Cadeira Tulipa, Eero Saarinen, 1957
Elipse áurea
Vista lateral e frontal encaixam-se
nas proporções áureas.
As curvas principais
do pedestal conformam-se
às proporções da elipse áurea.
O limite frontal
da cadeira fica
no ponto central
do retângulo.
Processador de alimentos Braun, 1987
O comprimento do eixo
longo do processador
é de 1/3 da altura total.
Os detalhes dos raios
do botão e das superfícies
se adéquam uns aos outros.
Há simetria geral e até
a posição da marca é
rigidamente definida
em função dos outros
elementos.
Cafeteira Aromaster Braun
A superfície da cafeteira
pode ser divida em uma
série de elementos
regulares.
A marca fica ligeiramente
acima do centro.
A trave diagonal da alça
está alinhada com a ponta
superior da cafeteira.
A simetria dos elementos
pode ser notada no botão
inferior, alinhado com as
marcas de medida e as
aberturas de ventilação.
Chaleira II Conico, Aldo Rossi, 1980-1983
A chaleira pode
ser analisada
com um grid de 3x3.
O terço superior
compõe-se da tampa
e da esfera no vértice,
a porção intermediária
abrange o bico e a alça
e o terço inferior, a base.
A forma dominante é o cone derivado
de um triangulo equilátero.
A alça é um triangulo reto invertido,
metade de um triangulo equilátero
A frente do carro é quase
um quadrado com a marca
no centro.
New Beatle, Volkswagem 1997A carroceria encaixa-se na parte superior da
elipse áurea.
Outra elipse áurea abrange as janelas laterais.
Uma elipse tangencia o contorno do paralama
dianteiro e da roda traseira. O eixo principal
da elipse tangencia
os contornos
dos paralamas
dianteiro e
traseiro.
Bibliografia
ELAM, Kimberly. Geometria do design: estudos
sobre proporção e composição. São Paulo:
Cosac Naify, 2010
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/
alegria/fibonacci/seqfib2.htm