PropostaTI 10ano 2015 RES

Novo Espao Matemtica A 10. ano Proposta de Teste Intermdio [janeiro 2015]

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Proposta de Resoluo

GRUPO I

1. AB BC = 4 3 2+ . Como 2BC = , tem-se:

2 4 3 2AB = + 4 3 22

AB += 4 2 6

2AB += 2 2 3AB = +

Sabe-se que 22 2 3AB = + , isto 8 3AB = + .

Resposta: (B)

2. As retas r e s so estritamente paralelas, logo no se intersetam. A reta t uma reta paralela ao eixo Oy, intersetando r no 2. quadrante. Resposta: (C)

3. Sabe-se que ' 1,728V

V= . Ento 3

' 12 61,728 1,210 5

r

r= = = = .

Resposta: (A)

4. ( ) ( )2 2 21 2 ,x y r r + + + = . O centro das circunferncias ( )1, 2C .

Para intersetar todos os quadrantes, o raio deve ser maior que a distncia de C origem.

Pelo Teorema de Pitgoras 2 21 2r = + , isto , 5r = . Conclui-se que 5r > . Resposta: (D)

5. O centro da superfcie esfrica (0, 1, 2) e tem que pertencer ao plano mediador de [AB]. Verifica-se que este ponto apenas verifica a equao da opo A. Resposta: (A)

6. A opo A no se verifica pois os declives das retas tm sinais contrrios.

A opo B pode no se verificar. A opo C no se verifica A opo D necessariamente verdadeira.

Resposta: (D)


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GRUPO II

1.

1.1. ( ),B x y em que 2 3y x= ( ), 2 3B x x ( ) ( ), 2 3 3, 1= = AB B A x x = ( )3, 2 4 x x Como AB

colinear com ( )1, 2 , existe um valor k para o qual ( ) ( )3,2 4 1,2x x k = .

32 4 2x k

x k =

=

3

6 2 4 2x k

k k=

=

312

x k

k

=

=

. Ento 5

, 22

B

.

1.2. r: 2 3y x= s: 2y x b= +

1 2 2 b= + 5b = s: 2 5y x= +

Representao geomtrica

0 0 2 3 2 5x y y x y x +

2.1. 2 24 5x x y+ + = 2 24 4 4 5x x y+ + + = ( )2 22 9x y+ + = Centro ( )2, 0 ; raio: 3 2.2. Pontos do tipo ( )1 , , k k k ( ) ( )2 21 4 1 5k k k + + = 2 21 2 4 4 5k k k k + + + =

22 6 0k k = ( )2 3 0k k = ( )2 3 0k k = 0 3k k= = Se 0k = tem-se ( ) ( )1 0, 0 1, 0 = . Se 3k = tem-se ( ) ( )1 3, 3 2, 3 = .


3

3.1. ( )2,3,5AV V A= = ( )2,0,0CB B C= =

( ) ( ) ( )2 2, 3, 5 2 2, 0, 0 6, 3, 5= = = u AV CB

3.2. 3y =

3.3. ( )2,3,5V A projeo de V sobre xOz o ponto ( )' 0,3,0V ; Raio da esfera: ' 3VV = Centro da esfera: V

( ) ( ) ( )2 2 22 3 5 9x y z + +

3.4.1. Seja ( ), ,P x y z . PA PV=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 0 0 2 3 5x y z x y z + + = + + 2 2 2 2 2 28 16 4 4 6 9 10 25x x y z x x y y z z + + + = + + + + +

4 6 10 22 0x y z + + = 2 3 5 11 0x y z + =

O plano definido por 2 3 5 11 0x y z + = .

3.4.2. Um ponto da aresta [BV] do tipo ( )2,3, z ; 0 5z . Substituindo na equao do plano tem-se:

2 2 3 3 5 11 0z + = 5 6z = 65

z =

Verifica-se que [ ]6 0,55 .

O ponto de interseo de com [BV] 62, 3,5


4

3.5. b13

= V A h

rea do polgono (trapzio) [OABC]:

b4 2 3 9

2 2+ +

= = =OA BCA OC

Altura da pirmide: 5h BV= =

b1 1 9 5 153 3

= = =V A h

O volume 15.

4. Toda a reta tangente a uma circunferncia num ponto perpendicular ao raio nesse

ponto. Assim, o tringulo [AOB] retngulo em B.

Pelo Teorema de Pitgoras tem-se:

2 2 2

AB OB OA+ = 2

25 169AB + = 2

144AB = . Ento, 12AB = .

Equao da circunferncia de centro ( )13, 0A e raio 12AB = : ( )2 213 144x y+ + = Interseo das duas circunferncias:

( )2 2

2 2

25

13 144

x y

x y

+ =

+ + =

2 2

2 2

2526 169 144

x y

x x y

+ =

+ + + =

2 2 2525 26 169 144x y

x

+ =

+ + =

2 2 255026

x y

x

+ =

=

22 2525

132513

y

x

=

=

2 36001692513

y

x

=

=

60 6013 13

25 2513 13

y y

x x

= =

= =

25 60

,

13 13B

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