Propriedades das figuras planas

6
Apêndice A Propriedades das figuras planas Notação: A área distâncias ao centroide C I x , I y momentos de inércia em relação aos eixos x e y, respectivamente I xy produto de inércia em relação aos eixos x e y I P I x + I y momento de inércia polar em relação à origem dos eixos x e y I BB momento de inércia em relação ao eixo B-B 1 Retângulo (Origem dos eixos no centroide) 2 Retângulo (Origem dos eixos no canto) 3 Triângulo retângulo (Origem dos eixos no centroide) I xy bh 2 72 (b 2c) I P bh 36 (h 2 b 2 bc c 2 ) x , y I x bh 3 36 I y bh 36 (b 2 bc c 2 ) A bh 2 x b c 3 y h 3 I BB b 3 h 3 6(b 2 h 2 ) I x bh 3 3 I y hb 3 3 I xy b 2 h 2 4 I P bh 3 (h 2 b 2 ) I x bh 3 12 I y hb 3 12 I xy 0 I P bh 12 (h 2 b 2 ) A bh x b 2 y h 2 y x x h y b C y x h b O B B y c h b C x x y

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Page 1: Propriedades das figuras planas

Apêndice A

Propriedades das figuras planas

Notação: A � áreadistâncias ao centroide C

Ix, Iy � momentos de inércia em relação aos eixos x e y, respectivamente

Ixy � produto de inércia em relação aos eixos x e y

IP � Ix + Iy � momento de inércia polar em relação à origem dos eixos x e y

IBB � momento de inércia em relação ao eixo B-B

1 Retângulo (Origem dos eixos no centroide)

2 Retângulo (Origem dos eixos no canto)

3 Triângulo retângulo (Origem dos eixos no centroide)

Ixy �bh2

72(b � 2c) IP �

bh36

(h2 � b2 � bc � c2)

x, y �

Ix �bh3

36Iy �

bh36

(b2 � bc � c2)

A �bh2

x �b � c

3y �

h3

IBB �b3h3

6(b2 � h2)

Ix �bh3

3Iy �

hb3

3Ixy �

b2h2

4IP

bh3

(h2 � b2)

Ix �bh3

12Iy �

hb3

12Ixy � 0 IP �

bh12

(h2 � b2)

A � bh x �b2

y �h2

y

x

xhy

b

C

y

x

h

b

O

B

B

yc

h

b

C x

x

y

Page 2: Propriedades das figuras planas

2 Mecânica dos Materiais

4 Triângulo (Origem dos eixos no vértice)

5 Triângulo isósceles (Origem dos eixos no centroide)

(Note: For an equilateral triangle, .)

6 Triângulo retângulo (Origem dos eixos no centroide)

7 Triângulo retângulo (Origem dos eixos no vértice

8 Trapezoide (Origem dos eixos no centroide)

9 Círculo (Origem dos eixos no centro)

Ixy � 0 IP �πr4

2�

πd4

32IBB �

5πr4

4�

5πd4

64

A �bh2

x �b2

y �h3

Ixy �bh2

24(3b � 2c) IBB �

bh3

4

Ix �bh3

12Iy �

bh12

(3b2 � 3bc � c2)

A � πr2 �πd2

4Ix � Iy �

πr4

4�

πd4

64

Ix �h3(a2 � 4ab � b2)

36(a � b)IBB �

h3(3a � b)

12

A �h(a � b)

2y �

h(2a � b)

3(a � b)

IP �bh12

(h2 � b2) IBB �bh3

4

Ix �bh3

12Iy �

hb3

12Ixy �

b2h2

24

IP �bh36

(h2 � b2) IBB �bh3

12

Ix �bh3

36Iy �

hb3

36Ixy � �

b2h2

72

A �bh2

x �b3

y �h3

h � 13 b/2

IP �bh144

(4h2 � 3b2) IBB �bh3

12

Ix �bh3

36Iy �

hb3

48Ixy � 0

y c

h

bO

B B

x

B B

C

y

x

b

hy

x

y

y x

xh

b

BC

B

y

x

h

b

B B

O

y

yxh

b

a

B B

C

y

xr

d = 2r

C

B B

Page 3: Propriedades das figuras planas

Apêndice A 3

10 Semicírculo (Origem dos eixos no centroide)

11 Quarto de círculo (Origem dos eixos no centro do círculo)

12 Arco de quarto de círculo (Origem dos eixos no ponto de tangência)

13 Setor circular (Origem dos eixos no centro do círculo)

14 Segmento circular (Origem dos eixos no centro do círculo)

Iy �r4

12(3α � 3 sen α cos α � 2 sen3 α cos α)

Ix �r4

4(α � sen α cos α � 2 sen3 α cos α) Ixy � 0

A �πr2

2y �

4r3π

A � r2(α � sen α cos α) y �2r3a sen3 α

α � sen α cos αb

α � ângulos em radianos (α … π /2)

Ixy � 0 IP �αr4

2

Ix �r4

4(α � sen α cos α) Iy �

r4

4(α � sen α cos α)

A � αr2 x � r sen α y �2r sen α

α � ângulos em radianos (α … π /2)

Ix � a1 �5π16br4

L 0,01825r4 Iy � IBB � a13

�π16br4

L 0,1370r4

A � 11 �π42r2 x �

2r3(4 � π)

L 0,7766r y �(10 � 3π)r

3(4 � π)L 0,2234r

Ix � Iy �πr4

16Ixy �

r4

8IBB �

(9π2 � 64)r4

144πL 0,05488r4

A �πr2

4x � y �

4r3π

Ix �(9π2 � 64)r4

72πL 0,1098r4 Iy �

πr4

8Ixy � 0 IBB �

πr4

8

y

y xr C

B B

y

yx

r

B BC

O

x

y

x

r

x

OC

B B

y

a a

C

O

y

r

x

x

y

x

a a

C

O

y

y

x

r

Page 4: Propriedades das figuras planas

15 Círculo com o núcleo removido (Origem dos eixos no centro do círculo)

16 Elipse (Origem dos eixos no centroide)

17 Semissegmento parabólico (Origem dos eixos no canto)

18 Arco parabólico (Origem dos eixos no vértice)

α � arccosar

b � 2r2 � a2 A � 2r2aα �abr2 b

α � ângulos em radianos (α … π /2)

Ix �bh3

21Iy �

hb3

5Ixy �

b2h2

12

A �bh3

x �3b4

y �3h10

y � f(x) �hx2

b2

Ix �16bh3

105Iy �

2hb3

15Ixy �

b2h2

12

A �2bh3

x �3b8

y �2h5

y � f(x) � ha1 �x2

b2 b

L 4,17b2/a � 4a (0 … b … a/3)

Circunferência L π [1,5(a � b) � 1ab ] (a/3 … b … a)

Ixy � 0 IP �πab

4(b2 � a2)

A � πab Ix �πab3

4Iy �

πba3

4

Ix �r4

6a3α �

3ab

r2 �2ab3

r4 b Iy �r4

2aα �

ab

r2 �2ab3

r4 b Ixy � 0

4 Mecânica dos Materiais

a

a

y

x

a

2a

br

b

C

y

x

b

a a

bC

y = f (x)

y

x

y

x

C

O b

h

Vertex

y

y

h

bx

x

CO

Vertex

y = f (x)

Page 5: Propriedades das figuras planas

19 Semissegmento de grau n-ésimo (Origem dos eixos no canto)

20 Arco de grau n-ésimo (Origem dos eixos no ponto de tangência)

21 Onda senoidal (Origem dos eixos no centroide)

22 Anel circular fino (Origem dos eixos no centro). Fórmulas aproximadas para ocaso em que t é pequeno

Ix �2bh3n3

(n � 1)(2n � 1)(3n � 1)Iy �

hb3n3(n � 3)

A � bh1 nn � 1

2 x �b(n � 1)

2(n � 2)y �

hn2n � 1

y � f(x) � ha1 �xn

bn b (n 7 0)

y � f(x) �hxn

bn (n 7 0)

Ixy �b2h2n2

4(n � 1)(n � 2)

Ixy � 0 IP � 2πr3t �πd3t

4

A � 2πrt � πdt Ix � Iy � πr3t �πd3t

8

Ixy � 0 IBB �8bh3

Ix � a 89π

�π16bbh3

L 0,08659bh3 Iy � a 4π �

32π 3 bhb3

L 0,2412hb3

A �4bhπ y �

πh8

Ix �bh3

3(3n � 1)Iy �

hb3

n � 3Ixy �

b2h2

4(n � 1)

A �bh

n � 1x �

b(n � 1)

n � 2y �

h(n � 1)

2(2n � 1)

Apêndice A 5

C

O

yy = f (x)

y

x

x

b

h

y

x

x h

bO

C y

y = f (x)

y

yh

b b

xB B

C

y

x

t

Cr

d = 2r

Page 6: Propriedades das figuras planas

23 Arco circular fino (Origem dos eixos no centro do círculo). Fórmulas aproxima-das para o caso em que t é pequeno

24 Retângulo fino (Origem dos eixos no centroide). Fórmulas aproximadas para ocaso em que t é pequeno

25 Polígono regular com n lados (Origem dos eixos no centroide)

C � centroide (no centro do polígono)

n � número de lados (n � 3) b � comprimento de um lado

β � ângulo central para um lado α � ângulo interior (ou ângulo do vértice)

R1 � raio do círculo circunscrito (linha CA)

R2 � raio do círculo inscrito (linha CB)

momento de inércia ao redor de qualquer eixo através de C (o centroide C éum ponto principal e cada eixo através de C é um eixo principal)

Ixy � 0 IBB � r3ta2β � sen 2β2

�1 � cos 2β

β b

Ix � r3t(β � sen β cos β) Iy � r3t(β � sen β cos β)

A � 2βrt y �r sen β

β

β � ângulo em radianos (Observação: Para arco semicircular, β � π /2.)

Ix �tb3

12sen2 β Iy �

tb3

12cos2 β IBB �

tb3

3sen2 β

A � bt

β �360°

nα � an � 2

nb180° α � β � 180°

Ic �nb4

192acotg

β2b a3 cotg2 β

2� 1b IP � 2Ic

Ic �

R1 �b2

cossecβ2

R2 �b2

cotgβ2

A �nb2

4cotg

β2

6 Mecânica dos Materiais

y

y

x

B BC

b b

t

r

O

y

x

B B

C

b

t

b

b

b

a

C

BA

R1R2