PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Matemática

Dorta

O determinante de uma matriz quadrada é nulo se:

Observação: válido para as três primeiras propriedades que serão citadas nesta aula.

0 Bdet

61 log74

490 cos53

30sen 32

1041

B

0 A det

962

000

531

A

P1) A matriz apresenta uma fila de zeros (fila nula).

P2) A matriz possui filas paralelas proporcionais:

0 Bdet

9066

5255

8133

5822

B

0 A det

642

341-

321

A

)LL(L 0 Bdet

4633

0312

9521-

4321

B

)(C 0 A det

21-3

312

431

A

431

321

CC

P3) Uma fila é a combinação linear de outras filas paralelas:

P4) O determinante de uma matriz é igual

ao determinante de sua transposta.

731053

12B det

731051

32Adet

(A.B)det Bdet A.det queobeservar Podemos

824-32 (A.B)det 86

44A.B

40-4 Bdet 21

02B

22-4 Adet 41

21A

P5) Teorema de Binet det (A.B) = det A . detB

P6) Troca de filas paralelas

Dada uma matriz Anxn, se trocarmos as posições de duas filas de A, teremos uma nova matriz Bnxn, cujo determinante é igual ao determinante de A mudando-se apenas o sinal (+ ou -).

Exemplo da P6

710332

51 B det

731051

32Adet

P7) k. (fila)

Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número real k não-nulo, o seu determinante ficará multiplicado por k.

Exemplo da P7

Adet 3. Bdet Assim,

21 7 3. B det

2193051

96B det

B) matriz (da L A) matriz (da 3.L

731051

32Adet

11

P8) Conseqüência da propriedade anterior

Se multiplicarmos uma matriz Amxn por um número real k não-nulo, obtemos uma matriz Bmxn= k. Amxn

tal que det B = kn.det A.

Exemplo da P8

Adet .3 Bdet Assim,

63 7 .3 3.7 3. B det

632790153

96B det

A 3. B

731051

32Adet

2

2

P9) Válida para matrizes triangulares

Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal principal de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplos da P9

-241.(-2).3.4 Bdet

4793

0368

002-5

0001

B

6 1.2.3 Adet

300

620

451

A

P10) Válida para matrizes similares as triangulares

Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal secundária de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicados por (-1) [n.(n-1)]/2; em que n é a ordem da matriz.

Exemplos da P10

241.2.3.4 (-1) Bdet

4794

0330

0200

1000

B

6- .1.2.3(-1) Adet

003

025

164

2

4.3

2

3.2

A

P11) Soma de determinantes

São dadas três matrizes, A, B e C, de ordem n, com n-1 filas correspondentes iguais. Se os elementos da outra fila de C forem iguais à soma dos elementos correspondentes das outras filas de A e B, então det C = det A + det B.

Exemplo da P11

Bdet A det Cdet Assim,

6

102

154

112

det

78

202

554

412

det

84

302

654

312

det

C

B

A

P12) Teorema de Jacobi

Multiplicando-se uma fila de uma matriz A por um número real não-nulo e adicionando-se o resultado à outra fila, o seu determinante fica inalterado.

Exemplo da P12

BA

B

CC

A

detdet

1

011

201

101

det

.2

1

031

221

121

det

21

P13) Determinante de Vandermonde

Um determinante de ordem n maior ou igual a 2 é chamado determinante de Vandermonde se na primeira linha os elementos forem todos iguais a 1; na segunda, números reais quaisquer; na terceira, seus quadrados; na quarta seus cubos, e assim sucessivamente.

Cálculo do determinante de Vandermonde

Os elementos da segunda linha no determinante de Vandermonde são chamados de elementos característicos.

Um determinante de Vandermonde é calculado por meio do produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo de cada um dos elementos característicos os elementos que os precedem.

Exemplo da P13

121.2.3.1.2.1det

34.24.14.23.13.12

642781

16941

4321

1111

det

A

A