Protocolo Aloha

Protocolo AlohaProtocolo Aloha

Protocolo AlohaProtocolo Aloha Arquitetura física:

Uma estação transmite quando precisa, sem se preocupar em escutar o canal.

Est. 1

N = Número de estações

Est. 2 Est. N

canal comum

Protocolo AlohaProtocolo Aloha

Técnica mais simples que utiliza a estratégia de acesso a um meio comum, que pode ser acessado por todos os usuários.

Existem dois tipos de protocolo Aloha: Aloha Puro Aloha Segmentado

Protocolo Aloha puroProtocolo Aloha puro

Duas ou mais estações podem transmitir ao mesmo tempo. Esta situação dá origem a colisões, que devem ser detectadas e logo resolvidas.

Est. 1

Est. 2

Est. 3Tempo

Modelo Aloha puroModelo Aloha puro

Est. 1

CANAL

+

Est. N +

Modelo do canal:

.

.

.

Modelo Aloha puroModelo Aloha puro

Hipóteses:Hipóteses: Comprimento fixo dos pacotes = T Canal livre de ruído (perda de pacotes somente por

colisões) Estações têm comportamento homogêneo Uma estação transmite pacotes com sucesso antes da

chegada do seguinte

Chegada de pacotes em cada estação obedece a um proceso de Poisson taxa de chegadas ao meio comum tem distribuição de Poisson

Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão

Est. 1

CANAL

+

Est. N +

= taxa média de transmissão de novos pacotes ao canal, em cada estação (pac/seg)

’ = taxa média de transmissão ao canal de pacotes novos mais os retransmitidos (devido a colisões), em cada estação (pac/seg)

.

.

.

Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissãoEst. 1

CANAL

G

+

Est. N +

S

= tamanho fixo de um pacote (seg)

S = N T = utilização proporcional do canal por pacotes efetivamente transmitidos (novos)

G = N ’ T = utilização proporcional do canal pelo total de pacotes transmitidos (novos mais colisões)

.

.

.


GS

P0 Logo, tem-se que: (1)

P0 = probabilidade de transmissão com sucesso de pacotes pelo canal (sem colisões)

Taxa total de transmissão de pacotes tem distribuição de Poisson com parâmetro N’:

P t

N t e

i!i

i N t

2


Canal

2T Tempo

Colisão entre duas mensagens:

Tempo de vulnerabilidade

A probabilidade de que não ocorram colisões nesse intervalo [0,2T] é a probabilidade de que não sejam transmitidos pacotes neste intervalo. Logo, de (2) obtem-se:

0

P P 2T P nenhuma transmissao em 0,2T

P e e

0 0

02N t 2G

3


Das equações (1) e (3) obtém-se a capacidade do canal (S) em função da taxa de transmissão total de pacotes (G):

S G P G e02G

Rendimento máximo ocorre para G=0.5, com S=0.184:

Max (S) = 18%

Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão Gráfico de S(G):

G

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,184

Observações:

Para cargas baixas de pacotes acontecem poucas colisões, portanto S = G

À medida em que G aumenta e, portanto, S aproxima-se de 0.18, o número de colisões aumenta.

S G e 2G


G

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,184

Observações:

Ao aumentar o número de colisões, aumenta o número de retransmissões e, por conseguinte, aumenta a probabilidade de que ocorra uma colisão.

Então, S decai e o sistema torna-se instável para altos valores de G.

S G e 2G

ProtocoloProtocolo Aloha segmentadoAloha segmentado A estação espera que comece um intervalo de

tempo para transmitir um pacote

O sistema passa de contínuo a discreto

Est. 1

Est. 2

Est. 3

Tempo

É necessário haver sincronismo geral.

Neste caso, ocorre colisão total ou não ocorre.

Tempo de vulnerabilidade cai à metade:

G0 eG=PGS

T

Após a mesma análise que foi feita com Aloha puro, obtém-se o seguinte resultado para Aloha segmentado:



G

0

0,1

0,2

0,3

0,4

S G e G 0,368

Rendimento máximo ocorre para G=1, com S=0.368:

Max (S) = 37%

Est. 1

Aloha segmentado

Aloha puro

ComparaçãoComparação

Est. 2

Est. 3

Est. 1

Est. 2

Est. 3

Tempo

Tempo

Resumo de resultados:

ComparaçãoComparação

Puro

Segmentado

Taxa efetiva S(G)

Máximo rend. S

S G e 2G

S G e G

18% (G = 0,5)

37% (G = 1)

ComparaçãoComparação Comparação de gráficos:

G

00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

Aloha Puro Aloha Segmentado

Distribuições contínuasDistribuições contínuas

Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas

Variáveis aleatórias contínuas: a v.a. assume valores em um contínuo de valores possíveis, seu domínio não é um conjunto enumerável.

X é uma variável aleatória contínua se existe uma função f: (-,) tal que B

P{XB} =

f(.) é a função de densidade de probabilidade da v.a. X

B

dxxf )(


P{X(-,+)} =

P{X[a,b]} =

P{X = a} =

Probabilidade de uma v.a. contínua assumir determinado valor é nula

1)( dxxf

b

a

dxxf )(

a

a

dxxf 0)(


Função de distribuição acumulada:

F(a) = P{X a} =

a

dxxf )(

)()( afaFdad


Seja X uma v.a. contínua. Então, seu valor esperado é dado por:

dxxfxXE )(.][

Distribuição uniformeDistribuição uniforme

Uniforme u(0,1)

1,0X

contráriocaso

xxf 0

101)(

Uniforme u(,)

,X

contráriocaso

x

xf0

1

)(

Distribuição uniforme


a

aa

a

aF

1

0

)(

Função de distribuição:

Valor esperado:

E[X] =

=

Portanto, E[X] =

dxx

2 2

2

( )

2


Distribuição uniformeDistribuição uniformeParâmetrosParâmetros

E[X]

Var[X]

(b+a)/2

(b-a)2/12

Distribuição uniformeDistribuição uniforme Discos de um dispositivo de memória rodam uma vez a cada

25 ms. Quando a cabeça de leitura/escrita está posicionada sobre uma trilha para ler algum registro em particular dessa trilha, este pode estar em qualquer lugar. Então, o retardo rotacional T até que o registro fique na posição para ser lido é uniformemente distribuído no intervalo 0 a 25 ms.

(a) E[T] = ?

(b) Var[T] = ?

(c) probabilidade do retardo rotacional ficar entre 5 e 15 ms?


(a)

(b)

(c)

E T ms

0 25

2125.

0833.52

12

025][

2

TVar

P T5 1510

250 4 .

Distribuição exponencialDistribuição exponencial X Exp ()

X

F xe x

x

x

1 0

0 0

,

,

f xe x

x

x

,

,

0

0 0

x-e xf

Distribuição exponencial

0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

123

45

x

6789 = 8

0.125 E[x]

2x = 0.25

Distribuição exponencialDistribuição exponencial

0

1

2

3

4

x

5

6f (x)

0.5 1.5 2.01.0

= 6

= 2

= 4

x-e xf

e1 x xF

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

= 8

x

Distribuição exponencial

0.125 E[x]

2x = 0.25


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30x

F(x

)

Valor esperado:

E[X]=

Para integrar por partes, define-se:

u = x ; du = dx

v = ; dv =

Logo:

E[X] = =

Portanto, E[X]=

dxex x

0

dxexe xx

00

00

e x

1


xe dxe x

Distruibuição exponencialDistruibuição exponencial

E [X]

X

Var [X]

X ()

E [Xn]

1

1

2

1

n

n!

Exemplo 1Exemplo 1

X: v.a. tamanho de um pacote X ~ Exp (1/L) L: Valor médio do tamanho do pacote L: bits/pacote

X

Exemplo 2Exemplo 2

X: tamanho do pacote Y: v.a. tempo de transmissão de cada pacote Y ~ Exp (C/X) X/C: valor médio do tempo de transmissão de

um pacote (seg/pacote)

X

Canal de transmissão : C (bps)

Exemplo 3Exemplo 3Tempo entre chegadasTempo entre chegadas

i = t i -t i-1: tempo entre chegadas

i ~ Exp () i são independentes 1/: valor médio do tempo entre pacotes (seg/pacote)

t

t0 t1 t2 tn

Nó

chegada depacotes

Falta de memóriaFalta de memória

ut unidades de tempo

0 s t s+t

x [ut]

f (x)

= 8

P X s

P X s t X t

P X s t X t P X s

s t

, 0

Falta de memóriaFalta de memória

X : ~ Exp (): probabilidade de falha de uma rede P{X > s}: probabilidade de que a rede não falhe

durante s unidades de tempo P{X > s + t | X > t}: probabilidade de que a rede não

falhe durante s+t unidades de tempo, dado que funcionou durante t unidades de tempo

Como o sistema não tem memória:

P{X > s + t | X > t}= P{X > s}

Ordem entre eventos exponenciaisOrdem entre eventos exponenciais

X1 ~ Exp (1)

X2 ~ Exp (2)

Problema: ?

Solução:

P X X1 2

12 P X X1 2

1

GeneralizaçãoGeneralização

1

1i

i

n

P X1 X2 Xn X3

P X1 X2 Xn X3

Problema: ?

Xi ~ Exp(i), i=1,…,n

Solução:

Sistema de servidor de impressão formado por duas partes principais: servidor e impressora

Sejam:

Xs ~ Exp(s): vida útil servidor

Xi ~ Exp(i): vida útil impressora

E[Xs]: 10.000 hrs

E[Xi]: 3.000 hrs

Problema: Qual é a probabilidade do sistema falhar devido a uma falha no servidor?

ExemploExemplo

Problema :

Qual é a probabilidade do sistema falhar devido a uma falha no servidor?

Solução:

P Xs Xi

ss i

1

100001

10000

1

30003

13

ExemploExemplo

Distribuição de ErlangDistribuição de Erlang

X Erl (k,) X Função de densidade de probabilidade

Função de distribuição:

(1)

(2)

1,2,...=,00, -

e

1

,)!1(

)(kx

xk

kx

xf

1,2,...=,00, -

e1

0,

!) (

1 kxx

nk

n nx

xF

Distribuição de ErlangDistribuição de Erlang

E[x]=1 x

k = 2 = 2

0 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

2 2 x

0 -

e

1

,)!1(

)(

x

xk

kx

xf

Distribuição de Erlang

k = 2 = 2

x0 2 3 4 5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

E[x]=1

2 2x

0 -

e1

0,

!) (

1

x

xnk

n nx

xF

Distribuição de Erlang (Distribuição de Erlang (kk,,)) ParâmetrosParâmetros

E [ X ]1

X

1

k

V a r ( X )1

2 k

X ( )

k

k

k

E [ X n ]

k k k n

kn

1 1. . .

Relação entre Exponencial e ErlangRelação entre Exponencial e Erlang

Servidor com somente uma entrada e uma saída

Todos os pacotes devem ser atendidos

Servidor atende somente um pacote de cada vez

Existe retardo somente no servidor

X: v.a. tempo de serviço

X ~ Exp(): f(x) = ·e-x, x 0

E[x] = 1/ x2 = 1/2

servidor


Servidor com duas etapas em série Cada pacote deve passar por ambas etapas Servidor atende um pacote de cada vez (ambas etapas

não podem estar ativas simultaneamente) não há retardo entre etapas Xi: v.a. tempo de serviço da etapa i

Xi ~ Exp(2): f(xi ) = 2·e -2, x 0

E[Xi] = 1/(2xi2 = 1/(22

Etapa 2Etapa 1

Problema: qual é a distribuição do tempo total de serviço (retardo total)?

Solução: soma de duas variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas com distribuição exponencial

X: v.a. tempo de serviço total

Seja £[f(x)] a transformada de Laplace de f(x) Então: £[f(x)] = £[f(x1)] · £[f(x2)]

f(x) = xe-x, x E[X] = E[X1] + E[X2] = 1/

x2 = x1

2 +x22 = 1/(22)


Servidor de k etapas em série Cada pacote deve passar pelas k etapas Um novo pacote pode entrar na etapa i apenas quando

o pacote em serviço acabar a etapa k não há retardo entre etapas Xi: v.a. tempo de serviço da etapa i

Xi ~ Exp(k): f(xi ) = k e -kx, x 0

E[xi] = 1/(k xi2 = 1/(k2

k k k kEtapa 1 Etapa 2 Etapa i Etapa k


Problema: qual é a distribuição do tempo total de serviço (retardo total)?

Solução: é a soma de k variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas.X: v.a. tempo de serviço total

E[X] = E[Xi] = k (1/(k)) = 1/

X2 = Xi

2 = k (1/(k))2 = 1/(k2)

£[f(x)] = £[f(xi)]


)(k,Erl~X :)!1(

1)()( xk

ek

kxkkxf

Relação entre Exponencial e ErlangRelação entre Exponencial e Erlang x: atraso total (em unidades de tempo) de um

pacote ao atravessar k etapas, cada uma das quais introduz um retardo y

Y~ Exp() X ~ Erl(k,), /k E[X] = k E[Y] x2k·y2

x·y k

29.00 1.86E-03 9.67E-0630.00 1.29E-03 5.50E-06 8.42E-11 1.75E-2631.00 8.92E-04 3.11E-06 3.31E-11 2.37E-2732.00 6.15E-04 1.76E-06 1.30E-11 3.21E-28

-5.00E-01

0.00E+00

5.00E-01

1.00E+00

1.50E+00

2.00E+00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00

f(x)

= 1/2 , k = 4

= 2/3 , k = 3

= 1 , k = 2

= 2 , k = 1

Função de densidade para . k = 2 = x ~ Erl (k , ) y ~ Exp ()


Função de densidade para Função de densidade para = 1= 1

x

k = 1k = 2

k = 10

k =

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Fazendo : df(x)/dx = 0

obtém-se: xk

kf max

1 1

ExemploExemplo Problema: obter o tempo médio E[T] que demora um nó para transmitir n pacotes

de um buffer, se o tempo de transmissão de um pacote é Exp() com média 1/.

Nó

Canal de transmissãoBuffer

ExemploExemplo Solução:

S ~ Exp(): v.a. tempo de serviço por elemento

T: v.a. tempo de serviço de n elementos

Como o tempo de serviço por elemento distribui-se exponencialmente, então o tempo de transmissão de n elementos tem distribuição de Erlang.

Logo:

T ~ Erl(n,n)

E[T] = n/F t e

k

n k

kt t( ) ( )

!,

10

1

0 t

n=1024 pacotes

=100 pacotes/seg

n = 1024 pacotes = 100 pacotes/seg

T(segs)000.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

E[T]=10.24 segs10 155 20

24.10]T[ n

E

ExemploExemplo

23.02

n

Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias conjuntas e probabilidade conjuntas e probabilidade

condicionalcondicional

Variáveis aleatórias conjuntasVariáveis aleatórias conjuntas

Cálculos de probabilidades envolvendo duas ou mais variáveis simultaneamente

Função de distribuição de probabilidade acumulada de X e Y:

F(a,b) = P{X a,Y b} - < a,b < FX(a) = P{X a} = P{X a,Y } = F(a,)


X e Y variáveis aleatórias discretas:

Função de massa de probabilidade conjunta

p(x,y) = P{X = x, Y = y}

pX(x) = 0),(:

),(yxpy

yxp


X e Y são variáveis aleatórias contínuas conjuntas se existe uma função real f (x,y) definida para qualquer reais x e y tal que para quaisquer conjuntos A,B

P{XA, YB} =

f(x,y) é a função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y

B A

dydxyxf ),(


P{XA, YB} = P{XA, Y(-,)} =

=

onde

dydxyxfA

),(

dyyxfxf X ),()(

Variáveis aleatórias independentesVariáveis aleatórias independentes

X e Y são variáveis aleatórias independentes se para qualquer a e b tem-se:

P{X a,Y b} = P{X a}.P{Y b}

F(a,b) = FX(a).FY(b)

X discreta: p(x,y) = pX(x).pY(y)

X contínua: f(x,y) = fX(x).fY(y)

Funções geradoras de momentosFunções geradoras de momentos

X variável aleatória discreta:

X variável aleatória contínua:

x

txtX xpeet )(][E)(

dxxfeet txtX )(][E)(

Funções geradoras de momentosFunções geradoras de momentos

][E][E][E)(' tXtXtX Xeedtd

edtd

t

][E)0(' X

][E)()( 2''' tXeXtdtd

t

][E)0( 2'' X][E)0()( nn X

Probabilidade condicionalProbabilidade condicional

Cálculo de probabilidades quando há informações parciais


P[E|F] =

Caso discreto: função de massa de probabilidade condicional

pX|Y(x|y) = P{X=x|Y=y} = =

Se X é independente de Y, então:

px|y(x|y) = px(x)

)(P)(P

FFE

}{P},{P

yYyYxX

)(),(

ypyxp

Y


Função de distribuição de probabilidade condicional de X dado que Y = y:

Valor esperado condicional de X dado que Y=y

xa

YXYX yapyYxXPyxF )|(}|{)|( ||

x x

YX yxpxyYxXPxyYX )|(.}|{.]|[E |


X e Y v.a.s independentes:

}{

},{}|{)|(| yYP

yYxXPyYxXPyxp YX

}{}{

}}{{xXP

yYPyYxXP

][E]|[E XyYX

X e Y v.a.s independentes com distribuição de

Poisson de parâmetros 1 e 2 respectivamente.

Calcular:

P{X=k |X + Y = n} = ?

E[X |X + Y = n] = ?

P{X = k | X + Y = n} =

= =

Exemplo 1Exemplo 1

}{},{

nYXPnYXkXP

P X k Y n k

P X Y n

{ , }

{ }

P X k P Y n k

P X Y n

{ } { }

{ }

Como X+Y tem distribuição de Poisson de parâmetro 1+2

P{X = k | X + Y = n} =

=

!)(

)!(!

21)(

21

21

21

ne

kne

ke

n

knk

n

k n k

k n k

n

!

!( )! ( )

1 2

1 2

Exemplo 1Exemplo 1

n

k

k n k

1

1 2

2

1 2

Interpretação:

P{X= k | X +Y = n} é uma v.a. Bi(n, ),

logo:

E[X | X +Y = n]= n

1

1 2

Exemplo 1Exemplo 1

1

1 2

Sejam n + m experimentos independentes,

cada um sendo do tipo Be(p). Avaliar o número esperado de sucessos nos n primeiros experimentos, dado que nocorreram k sucessos no total.

Sejam as seguintes v.a.’s:

se houve sucesso no i-ésimo exp.

caso contrário

Y = número de sucessos nos (n+m) experimentos.

0

1iX

Exemplo 2Exemplo 2

Problema:

pois

Exemplo 2Exemplo 2

?]|[E1

n

ii kYX

mnk

nkYXkYXn

ii

n

ii

11

]|[E]|[E

mnk

kYXPkYX ii }|1{]|[E


Caso contínuo: se X e Y têm uma função de densidade de probabilidade conjunta f(x,y), então a função de densidade de probabilidade condicional de X dado que Y = y é dada por

Valor esperado condicional de X dado que Y=y

)(),(

)|(| yfyxf

yxfY

YX

dxyxfxyYX YX )|(.]|[E |

Sejam X e Y v.a.s tais que:

Problema:

20,0,.21

)|(| yxeyyxf xyYX

?]1|[E 2/ YeX

x

x

x

YYX e

dxe

e

fxf

xf

0

|

2121

)1()1,(

)1|(

2)1|(]1|[E0

2/0 |

2/2/ dxeedxxfeYe xx

YXxX

ExemploExemplo


Caso discreto:

E[X] = E[X | Y = y] P{Y = y}

Caso contínuo:

E[X] = E[X | Y = y] fY(y)dy Em geral:

E[X] = E[E[X|Y]]

y

Prova do caso discreto


x x y

yYxXPxxXPxX },{.}{.][E

y x

yYxXPx }|{.

}{}{

}|{yYP

yYPyYxXP

y x

y x

yYPyYxXPx }{}|{.

]]|[E[E}{]|[ YXyYPyYXEy

Sejam N uma v.a. Ge(p) e Y a seguinte v.a.:

, primeiro é cara (probabilidade p)

, primeiro é coroa (probabilidade 1-p) E[N] = número médio de experimentos realizados

até obter-se a primeira cara = ?

Solução condicionando no resultado do primeiro

experimento:

E[N]=E[N|Y=1].P{Y=1} + E[N|Y=0].P{Y=0}

= p.E[N|Y=1]. + (1-p).E[N|Y=0]

E[N] = p.1 + (1-p).(1+ E[N])

E[N] = 1/p

Y

1

0

1

p

ExemploExemplo

Protocolo Aloha

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