Prov Ão 2000

2MATEMTICA PROVA 1

QUESTES OBJETIVAS

1Sendo este o grfico de f(x),

o grfico de f( x) ser:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

2Se z1 um nmero complexo do 1o quadrante e z2, um nmerocomplexo do 2o quadrante, ambos com partes reais e imaginriasno nulas, ento o quadrante em que fica o produto z1z2 o:(A) 1o ou 2o(B) 1o ou 3o(C) 1o ou 4o(D) 2o ou 3o(E) 3o ou 4o

3Multiplicando os nmeros 42 567 896 095 416 765 443 769 (de 23algarismos) e 1 568 973 210 875 453 666 875 (de 22 algarismos)obtemos um produto cuja quantidade de algarismos :(A) 43(B) 44(C) 45(D) 46(E) 47

4Dois pontos se movimentam em uma linha reta com equaeshorrias, s1(t) = sen (3t) e s2(t) = sen (t), com t 0. Quando oprimeiro retornar pela primeira vez sua posio inicial, onde estaro segundo?(A) /3(B) (C) 3(D) sen ( /3)(E) sen (3)

5Em certa regio, a rea ocupada por plantaes de soja temaumentado de 10% ao ano, e a ocupada por milharais tem crescido1km2 por ano. Considere os grficos a seguir.

Os grficos que melhor representam as reas ocupadas pelasplantaes de soja e de milho em funo do tempo so, respectiva-mente:(A) I e II.(B) I e III.(C) II e I.(D) II e III.(E) III e I.

6Se x2 1 (mod 5) ento:(A) x 1 (mod 5)(B) x 2 (mod 5)(C) x 4 (mod 5)(D) x 1 (mod 5) ou x 4 (mod 5)(E) x 2 (mod 5) ou x 4 (mod 5)

7Em um grupo multiplicativo, o elemento x satisfaz x4 = x. O nmerode elementos do conjunto {x,x2,x3,x4, ...}(A) igual a 1.(B) igual a 3.(C) igual a 4.(D) s pode ser 1 ou 3.(E) s pode ser 2 ou 4.

3MATEMTICAPROVA 1

8Um pai tem dois filhos, de 2 e 4 anos. Ele prometeu dividir suafazenda entre os filhos de modo diretamente proporcional s suasidades assim que se case o mais velho dos filhos. Quanto maistarde este filho se casar, a frao da fazenda que lhe caber ser

(A) maior e nunca ser menor do que 23

da fazenda.

(B) maior, mas nunca ser maior do que 23

da fazenda.

(C) menor, mas sempre ser maior do que a metade da fazenda.

(D) menor, podendo ser menor do que a metade da fazenda.

(E) igual a 23

da fazenda, independente da data do seu casamento.

9As retas reversas r e t so paralelas aos vetores u e v, respec-tivamente. A perpendicular comum a essas retas paralela(A) soma u + v.(B) diferena u v.(C) ao produto vetorial u v.(D) ao produto escalar .(E) ao espao gerado por u e v.

10Em certa cidade o tempo, bom ou chuvoso, igual ao do dia

anterior com probabilidade 23

.

Se hoje faz bom tempo, a probabilidade de que chova depois deamanh vale:

(A) 29

(B) 13

(C) 49

(D) 59

(E) 23

11

Se 22 for racional, temos um exemplo de um irracional que

elevado a um irracional d um racional. Se, por outro lado, 22

for irracional, como ( 22 ) = 22 = 2, teremos um exemplode um irracional que elevado a um irracional d um racional.O argumento acima prova que:

(A) 22 um racional.

(B) 22 um irracional.

(C) existem x e y irracionais tais que xy racional.

(D) existem x e y irracionais tais que xy irracional.

(E) se x e y so irracionais, xy irracional.

12Um programa de computador apresentou para um polinmiodo 4o grau com coeficientes reais o seguinte grfico, em que xvaria entre - 5,7 e 7,1:

Pode-se, ento, concluir que esse polinmio tem:(A) duas razes reais simples e uma raiz real dupla.(B) duas razes reais e duas razes complexas conjugadas.(C) trs razes reais e uma raiz complexa no real.(D) somente trs razes, todas reais.(E) alguma raiz real com mdulo maior que 5.

13No sistema de trs equaes lineares com trs incgnitas,

a1 x + b1 y + c1 z = d1a2 x + b2 y + c2 z = d2a3 x + b3 y + c3 z = d3

so nulos os determinantes

Tal sistema :(A) possvel e indeterminado.(B) possvel e determinado.(C) possvel.(D) impossvel.(E) impossvel ou indeterminado.

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

a1 b1 d1a2 b2 d2a3 b3 d3

a1 d1 c1a2 d2 c2a3 d3 c3

d1 b1 c1d2 b2 c2d3 b3 c3

, , .e

2

4MATEMTICA PROVA 1

14Em um cubo, CC uma aresta e ABCD e ABCD so facesopostas. O plano que contm o vrtice C e os pontos mdios dasarestas AB e AD determina no cubo uma seo que um(A) tringulo issceles.(B) tringulo retngulo.(C) quadriltero.(D) pentgono.(E) hexgono.

15Um programa de computador desenhou o grfico dasretas y = 2x + 15 e y = 45 x/2. O ngulo formado porelas no desenho aparentemente diferente de 90o, comomostra a figura abaixo.

Observa-se que:(A) houve algum erro porque o ngulo deveria ter 90o.(B) o ngulo formado pelos grficos no depende das escalas

dos eixos.(C) o programa usou escalas diferentes para cada um dos

grficos.(D) os grficos esto certos, mas 90o porque as escalas nos

eixos so diferentes.(E) as coordenadas do ponto de encontro das retas que depen-

dem das escalas dos eixos.

16Se a populao de certa cidade cresce 2% ao ano, os valores dapopulao a cada ano formam uma progresso:(A) geomtrica de razo 1,2.(B) geomtrica de razo 1,02.(C) geomtrica de razo 0,02.(D) aritmtica de razo 1,02.(E) aritmtica de razo 0,02.

17Os pontos (x,y,z) pertencentes s retas que contm o ponto(0,0,1) e que se apiam na curva y = x2 do plano z = 0 formamum conjunto dado pela equao:(A) x2 + yz y = 0(B) x2 + xz y = 0(C) x2 + 2xz y = 0(D) x2 + z y = 0(E) x2 z y = 0

18Se um corpo cai de grande altura, partindo do repouso e subme-tido apenas ao da gravidade e a uma fora de atrito (resis-tncia do ar) diretamente proporcional sua velocidade, o grficoque melhor representa esta velocidade em funo do tempo :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

19A seqncia {a

n } definida por a

n = (1)n +

1

3 sen n :

(A) montona.(B) divergente para .(C) convergente para um nmero racional.(D) convergente para um nmero irracional.(E) no convergente, mas admite subseqncia convergente.

20Solta-se uma pedra em queda livre na boca de um poo e ouve-se seu impacto na gua 2 segundos depois. Usando a lei querege a queda dos corpos, desprezando-se a resistncia do ar,s = (1/2) gt2, com g = 10 m/s2 e considerando a velocidade depropagao do som no ar igual a 340 m/s, conclui-se que adistncia, em metros, entre o ponto de onde a pedra foi solta ea superfcie da gua est compreendida entre:(A) 17 e 18.(B) 18 e 20.(C) 20 e 21.(D) 21 e 23.(E) 23 e 24.

5MATEMTICAPROVA 1

21Considere o retngulo no plano (x,y) cujo vrtice inferior esquer-do tem coordenadas cartesianas (0,0) e o vrtice superior direito (x0,y0). Deseja-se representar esse retngulo numa tela decomputador de resoluo 640 por 200.

Considere na tela as coordenadas ( ,c) como na figura:

Uma possvel correspondncia entre os pontos (x,y) do plano eos pontos ( ,c) da tela, tal que a imagem do retngulo seja a telainteira e a orientao seja preservada, dada por:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

= 199 0

y

y

c = 639 0

x

x

= 639 0

yy

c = 199 0

x

x

=

0

y

y

c = 0

x

x

22Considere o problema a seguir: Em um tringulo ABC, temosAC = 3m, BC = 4m e B = 600. Calcule sen A. Esse problema:

(A) no faz sentido, porque tal tringulo no existe.

(B) admite mais de uma soluo.

(C) admite uma nica soluo, 32

(D) admite uma nica soluo, 33

(E) admite uma nica soluo, 2 33

23Uma urna contm N bolas, numeradas de 1 a N, semrepeties. Para estimar o valor desconhecido de N, um esta-tstico retira, ao acaso, trs bolas dessa urna. As bolas retira-das foram as de nmeros 15, 43 e 17. Ele toma para estimativade N o valor para o qual a mdia dos nmeros das bolasretiradas igual mdia dos nmeros de todas as bolas daurna. A estimativa que ele obtm para N :(A) 43 (B) 49 (C) 51 (D) 53 (E) 55

24O Mtodo de Newton, aplicado ao clculo de 2 , consiste emtomar uma aproximao inicial x0 > 0 e obter aproximaes

sucessivas { }nx de modo que n + 1x seja igual a:(A) +n

n

x 1

2 x

(B)

n

n

x 1

2 x

(C) nn

x 2+

2 x

(D)

n

n

x 2

2 x

(E) n

n

2x

x

25A Lei de Boyle diz que, mantida constante a temperatura, o produtoda presso pelo volume de um gs perfeito constante. Um gsperfeito, inicialmente presso de 16.105 Pa, ocupa um cilindro devolume 100L. Um mbolo deslocado no cilindro de modo a reduziro volume do gs. Se a temperatura mantida constante e o volumediminui razo de 1L/s, com que velocidade, em Pa/s, estaumentando a presso no instante em que o volume for igual a 80L?(A) 25.103 (B) 25.104 (C) 25.105 (D) 16.106 (E) 16.107

= 199 199 0

y

y

c = 639 0

x

x

= 639 0

yy

c = 199 199 0

x

x

6MATEMTICA PROVA 1

QUESTES DISCURSIVAS

PARTE B

QUESTES ABERTAS COMUNS AOS FORMANDOS DE BACHARELADO E DE LICENCIATURA

1Identifique e corrija o(s) erro(s) da argumentao a seguir.

(i) "A funo f(x) = tg x tem derivada positiva em todo seu domnio, poisf(x) = sec2x.

(ii) Uma funo cuja derivada positiva no seu domnio crescente nesse domnio.(iii) Logo, a funo tangente crescente em todo o seu domnio.(iv)Ento, como 3

4

> 4

, temos 3tg4

> tg4

Ou seja, 1 > 1." (valor: 20,0 pontos)

2a) Mostre que, se um nmero inteiro a no divisvel por 3, ento a2 deixa resto 1 na diviso por 3. (valor: 10,0 pontos)

b) A partir desse fato, prove que, se a e b so inteiros tais que 3 divide a2 + b2, ento a e b so divisveis por 3. (valor: 10,0 pontos)

3Um modo de cifrar uma mensagem associar um inteiro positivo a cada letra do alfabeto (A = 1, B = 2, ..., W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26)e usar uma chave f, de conhecimento apenas do emissor e do receptor. Assim, em vez de transmitir a letra associada ao nmero p, transmite-se aquela associada a f(p). O receptor, recebendo q = f(p), decifra a letra determinando p = f 1 (q).O imperador romano Jlio Csar, por exemplo, usava como chave f(p) = p + 3 (na aritmtica dos inteiros mdulo 26). Assim, a mensagemZERO seria transmitida CHUR e a mensagem recebida PAZ seria decifrada como MXW.

a) Mostre que a chave f(p) = 2p + 1 (na aritmtica dos inteiros mdulo 26) no invertvel. (valor: 10,0 pontos)

b) Determine f 1(q) para a chave f(p) = 3p + 1 (na aritmtica dos inteiros mdulo 26). (valor: 10,0 pontos)

4Em visita ao Museu da Academia, em Florena, Maria observa maravilhada a esttua de David feita por Michelngelo. A sala est lotadade turistas e, por isto, Maria foi empurrada para muito perto da esttua, cujo pedestal est acima do nvel dos seus olhos. Comoresultado, ela no pode ver quase nada!

a) Faa um esquema geomtrico e identifique as variveis relevantes para o estudo da situao. (valor: 10,0 pontos)

b) Calcule a distncia ideal de onde Maria veja a esttua sob o maior ngulo de viso possvel (supondo, claro, que a multido a deixemovimentar-se vontade pela sala!). (valor: 10,0 pontos)

5

Seja nn 1

A

=

uma srie convergente de nmeros reais.

a) sempre verdade que 2nn 1

A

=

tambm converge? (valor: 5,0 pontos)b) Fornea uma demonstrao se a sua resposta a a) for afirmativa ou um contra-exemplo, se negativa. (valor: 15,0 pontos)

7MATEMTICAPROVA 1

PARTE C

QUESTES ABERTAS ESPECFICAS PARA OS FORMANDOS DE BACHARELADO

6Seja um caminho no plano complexo, fechado, simples, suave (isto , continuamente derivvel) e que no passa por i nem por i.Quais so os possveis valores da integral

+ 2dz

1 z ? (valor: 20,0 pontos)

7Uma funo u : R2 R, com derivadas contnuas at a 2a ordem, dita harmnica em R2 se satisfaz a Equao de Laplace:

= + =

2 2

2 2u u

u 0x y

em R2.

Mostre que se u e u2 so harmnicas em R2, ento u uma funo constante. (valor: 20,0 pontos)

8Seja {A

n}, n

N, uma seqncia de nmeros reais positivos e considere a srie de funes de uma varivel real t dada por

=

tnn 0

(A ).

Suponha que tal srie converge se t = t0 R. Prove que ela converge uniformemente no intervalo [t0, [. (valor: 20,0 pontos)

9

Sejam A =

0 1 30 2 00 1 3

e n um inteiro positivo. Calcule An.

Sugesto: Use a Forma Cannica de Jordan ou o Teorema de Cayley-Hamilton. (valor: 20,0 pontos)

8MATEMTICA PROVA 1

10Como bem se sabe, a Amrica do Sul (17,9 milhes de km2) muito maior que a Europa (9,8 milhes de km2), embora ambas pareamaproximadamente do mesmo tamanho nos mapas comuns. Tais mapas utilizam a projeo criada na Alemanha em 1569 pelogegrafo e matemtico Gerhard Kremer Mercator (1512 1594). Uma alternativa projeo de Mercator a projeo criada pelohistoriador alemo Arno Peters, que preserva a razo entre as reas dos diversos pases. Esta projeo feita da seguinte maneira:considere um cilindro de altura 2R circunscrito a uma esfera de raio R, ambos com o mesmo baricentro. Dado um ponto P no cilindro,considere o segmento de reta que liga P ao eixo do cilindro e que perpendicular a esse eixo. Defina f(P) como sendo a intersecodesse segmento com a esfera.Mostre que f preserva a razo de reas entre regies no cilindro e as correspondentes imagens na esfera. (valor: 20,0 pontos)

Projeo cilndrica equivalente de Peters.

Projeo cilndrica equatorial ou de Mercator.

9MATEMTICAPROVA 1

PARTE C

QUESTES ABERTAS ESPECFICAS PARA OS FORMANDOS DE LICENCIATURA

11Numa prova, o professor apresenta a seguinte questo: Dois estados do pas, num certo ano, apresentam o modo como dividiramos impostos arrecadados. Os grficos de setores a seguir ilustram a relao entre a quantia gasta em cada rea e a arrecadao totaldaquele estado naquele ano.

i) Determine que percentual da arrecadao do estado II, daquele ano, foi gasto com Sade e Educao, juntas. Justifique.ii) Pode-se dizer que naquele ano o estado I gastou mais com Segurana do que o estado II? Por qu?

Um aluno apresentou as seguintes respostas a estas questes:

i) 50%. Os gastos com Sade e Educao correspondem metade da circunferncia.ii) Sim. Setor circular de rea maior.

a) Analise a resposta desse aluno questo i). (valor: 10,0 pontos)

b) Faa o mesmo, em relao questo ii). (valor: 10,0 pontos)

12O aluno de Licenciatura nem sempre se d conta da relao entre o curso da Universidade e os temas que vai lecionar. A Integral deRiemann, por exemplo, esclarece a definio de rea. Tanto o clculo da integral pode servir para o clculo de reas quanto vice-versa.

a) Esboce o grfico de y = 21 x para 0 x 1. (valor: 10,0 pontos)

b) Calcule o valor da integral 1/2

2

01 x dx por meio de sua interpretao como rea no plano, recorrendo apenas Geometria e

Trigonometria estudadas usualmente nos cursos Fundamental e Mdio. (valor: 10,0 pontos)

13O conceito de logaritmo, introduzido na Matemtica no sculo XVII, teve grande importncia por facilitar clculos numricos. Atualmente,com o aperfeioamento dos computadores e a popularizao das calculadoras, esse emprego dos logaritmos perdeu o interesse.Apesar disso, o estudo dos logaritmos e de suas inversas, as exponenciais, permanece nos cursos mdio e superior.

a) De acordo com os princpios orientadores dos PCN (Parmetros Curriculares Nacionais), de contextualizar os assuntos tratados,justifique essa permanncia citando alguma aplicao da Matemtica a outra Cincia (Fsica, Qumica, Economia, Estatstica, ...) emque seja empregada a funo logaritmo ou sua inversa. (valor: 10,0 pontos)

b) Desenvolva os clculos que levam utilizao da funo logaritmo ou de sua inversa na aplicao citada em a). (valor: 10,0 pontos)

10MATEMTICA PROVA 1

14Ensinando Trigonometria, um professor construiu, para motivar seus alunos, um aparelho rudimentar, usado por alguns engenheirose guardas-florestais para medir, distncia, a altura de rvores. Este aparelho formado por uma placa retangular de madeira, quetem um canudo colado ao longo de um dos seus lados, e tem um fio de prumo preso a um dos vrtices, prximo a uma das extremidadesdo canudo (Figura A).

Observando o topo de uma rvore atravs do canudo, os profissionais verificam o ngulo indicado no transferidor pelo fio de prumo.Segundo esses profissionais, a medida do ngulo de "visada", isto , do ngulo formado com o plano horizontal pelo canudo, quandopor ele se observa o topo da rvore, a mesma determinada pelo fio de prumo sobre o transferidor.

a) Com o auxilio do esquema da Figura B, verifique, justificando, se de fato o ngulo de visada tem a mesma medida do ngulo indicadopelo fio de prumo sobre o transferidor. (valor: 10,0 pontos)

b) Suponha que voc deseja medir a altura, em relao ao plano horizontal dos seus olhos, do topo de uma rvore da qual voc noconsegue se aproximar por haver um rio entre ela e voc. Utilizando esse aparelho, mostre como faz-lo, indicando os clculosnecessrios para chegar ao resultado. (valor: 10,0 pontos)

15Seja T um tetraedro regular e considere um plano que passa pelos pontos mdios das trs arestas que formam um dos vrtices deT. Este plano divide T em dois poliedros, sendo um deles um tetraedro regular que chamaremos de t. Analogamente, considerandooutros trs planos relativamente a cada um dos outros vrtices do tetraedro, possvel decompor T em quatro tetraedros regularesiguais a t e mais um poliedro, que chamaremos de P.

Responda justificando:a) Qual a forma do poliedro P? (valor: 5,0 pontos)b) Qual a razo entre o volume de T e o volume de t? (valor: 5,0 pontos)c) Qual a razo entre o volume de P e o volume de t? (valor: 5,0 pontos)d) Descreva um material didtico na forma de um "quebra-cabeas para montar, constitudo por 8 (oito) peas com formas de poliedros,

o qual possa ser utilizado para auxiliar o aluno a perceber os fatos geomtricos envolvidos na situao descrita anteriormente. (valor: 5,0 pontos)

11MATEMTICAPROVA 1

IMPRESSES SOBRE A PROVAAs questes abaixo visam a levantar sua opinio sobre aqualidade e a adequao da prova que voc acabou de realizare tambm sobre o seu desempenho na prova.Assinale as alternativas correspondentes sua opinio e razo que explica o seu desempenho nos espaos prprios(parte inferior) do Carto-Resposta.Agradecemos sua colaborao.

26Qual o ano de concluso deste seu curso de graduao?(A) 2000.(B) 1999.(C) 1998.(D) 1997.(E) Outro.

27Qual o grau de dificuldade desta prova?(A) Muito fcil.(B) Fcil.(C) Mdio.(D) Difcil.(E) Muito difcil.

28Quanto extenso, como voc considera a prova?(A) Muito longa.(B) Longa.(C) Adequada.(D) Curta.(E) Muito curta.

29Para voc, como foi o tempo destinado resoluo da prova?(A) Excessivo.(B) Pouco mais que suficiente.(C) Suficiente.(D) Quase suficiente.(E) Insuficiente.

30As questes da prova apresentam enunciados claros e objetivos?(A) Sim, todas apresentam.(B) Sim, a maioria apresenta.(C) Sim, mas apenas cerca de metade apresenta.(D) No, poucas apresentam.(E) No, nenhuma apresenta.

31Como voc considera as informaes fornecidas em cadaquesto para a sua resoluo?(A) Sempre excessivas.(B) Sempre suficientes.(C) Suficientes na maioria das vezes.(D) Suficientes somente em alguns casos.(E) Sempre insuficientes.

32Como voc avalia a adequao da prova aos contedos defini-dos para o Provo/2000 desse curso?(A) Totalmente adequada.(B) Medianamente adequada.(C) Pouco adequada.(D) Totalmente inadequada.(E) Desconheo os contedos definidos para o Provo/2000.

33Como voc avalia a adequao da prova para verificar as habi-lidades que deveriam ter sido desenvolvidas durante o curso,conforme definido para o Provo/2000?(A) Plenamente adequada.(B) Medianamente adequada.(C) Pouco adequada.(D) Totalmente inadequada.(E) Desconheo as habilidades definidas para o Provo/2000.

34Com que tipo de problema voc se deparou mais freqentementeao responder a esta prova?(A) Desconhecimento do contedo.(B) Forma de abordagem do contedo diferente daquela a que

estou habituado.(C) Falta de motivao para fazer a prova.(D) Espao insuficiente para responder s questes.(E) No tive qualquer tipo de dificuldade para responder prova.

35Como voc explicaria o seu desempenho nas questes objeti-vas da prova?(A) No estudei durante o curso a maioria desses contedos.(B) Estudei somente alguns desses contedos durante o curso,

mas no os aprendi bem.(C) Estudei a maioria desses contedos h muito tempo e j os

esqueci.(D) Estudei muitos desses contedos durante o curso, mas nem

todos aprendi bem.(E) Estudei e conheo bem todos esses contedos.

Como voc explicaria o seu desempenho em cada questo aberta da parte comum da prova?Nmeros referentes ao CARTO-RESPOSTA.

Nmeros das questes da prova. O contedo ...(A) no foi ensinado; nunca o estudei.(B) no foi ensinado; mas o estudei por conta prpria.(C) foi ensinado de forma inadequada ou superficial.(D) foi ensinado h muito tempo e no me lembro mais.(E) foi ensinado com profundidade adequada e suficiente.

36 37 38 39 40Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

1MATEMTICA

Questo n 1

Padro de Resposta Esperado:

A afirmao (i) "A funo f(x) = tg x ... f' (x) = sec2x" est correta.

A afirmao (ii) est errada. A afirmao correta seria "Uma funo cuja derivada positiva em um intervalo crescente nesse intervalo."

A afirmao (iii) est errada. A afirmao correta seria "Logo, a funo tangente crescente em qualquer intervalo do seu domnio."

A concluso (iv) est evidentemente errada (1 no maior que 1) e, apesar de 3 >4 4

, no se pode concluir que 3tg > tg4 4

porque , 3

4 4no subconjunto do domnio da funo tangente (

2, que est compreendido entre 3e

4 4, no pertence ao

domnio da funo tangente). (valor: 20,0 pontos)

Observao: Na argumentao acima, tem-se que (i) e (ii) implicam (iii) e (iv) (que so falsos). A falha do argumento se concentraem (ii).

2MATEMTICA

Questo n 2


a) Se a no divisvel por 3, ento a 1 ou a 2 (mod 3). Da, a2 1 ou a2 4 (mod 3), ou seja, em ambos os casos, a2 1 (mod 3). (valor: 10,0 pontos)

b) Suponhamos que (a2 + b2),1 caso: 3 a e b . Tem-se, ento, b2 0 (mod 3) e, pela parte a), a2 1 (mod 3); donde a2 + b2 1(mod 3), o que incompatvel

com a hiptese.

2 caso: Por simetria, no se pode ter a e 3 b.

3 caso: Falta examinar o caso em que 3 a e 3 b. Neste caso, tem-se, pela parte a), a2 + b2 1 + 1 (mod 3), ou sejaa2 + b2 2 (mod 3), o que tambm incompatvel com a hiptese.

Logo, a e b.

Alternativa: no usar congruncias e escrever a = 3 k + r, onde r pode ser 0,1 ou 2, e prosseguir a argumentao. (valor: 10,0 pontos)

3MATEMTICA

Questo n 3


a) f no injetora pois, por exemplo, f(1) = 3 e f(14) = 29 = 3, em Z26; logo no pode ser invertvel. Pode-se tambm provar que f no sobrejetora, pois 2, por exemplo, no pertence imagem de f. (valor: 10,0 pontos)

b) 1a alternativa: q = 3p + 1 3p = q 1 p = 31. (q 1) p = 9(q 1) p = 9q 9, isto , f1(q) = 9q + 17.

2a alternativa: O estudante, se no souber inverter a funo algebricamente, poder demonstrar iniciativa construindo a tabela paraa funo f e da montar a tabela para a inversa, tendo em vista que o domnio de cada uma destas funes tem 26 elementos e os clculosno so to complicados. (valor: 10,0 pontos)

Obs.: Sero tambm aceitas respostas com: alguma pesquisa sobre valores de f e de f 1; a apresentao da inversa mesmo sem prova.

4MATEMTICA

Questo n 4


1 alternativa:

a)

Contados a partir do nvel dos olhos de Maria, sejam: a a altura total da esttua, incluindo o pedestal; b a altura do pedestal, x a distncia dosolhos de Maria esttua, medida na perpendicular esttua. O ngulo ser o ngulo sob o qual Maria v a esttua. preciso determinarx de modo que seja mximo. claro que d = a b, altura da esttua excluindo o pedestal, pode ser introduzido no problema em substituio a a ou a b.

(valor: 10,0 pontos)

b) Tem-se: tg = tg ( ) = 1 . 2tg tg (a b) x

= f(x)+ tg tg x + ab

=

, com x, a, b e a b > 0 e 2

2 2(a b) (ab x )f (x) = (x + ab)

que se anula para

x > 0 somente quando x = ab , passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor de x, a funo f(x) passapor um mximo. Sendo a funo arctg uma funo crescente, para esse valor de x, tem-se que o valor de tambm ser mximo. Logo o

valor de x procurado x = ab (valor: 10,0 pontos)

2 alternativa:

a)


b) tg = ax

e tg = bx

. Como = arctg ax

arctg bx

tem-se que ' = 2

2 2 2 22 2 2 2a b (a b)(ab x )

+ (x + a )(x +b )x + a x + b

=

que se anula para x > 0 somente quando x = ab , passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor

de x, passa por um mximo. Logo o valor de x procurado x = ab (valor: 10,0 pontos)

a

b

x

a

b

x

5MATEMTICA

Questo n 5


a) No. (valor: 5,0 pontos)

b) Um exemplo de srie convergente o da srie n

n = 1

1( 1)n

(converge porque uma srie alternada em que os valores absolutos dos

termos formam uma seqncia decrescente tendendo a 0). Tomada, entretanto, a srie s dos termos pares, tem-se:2 n

n = 1 n = 1 n = 1

1 1 1 1( 1)2n 2n 2 n

= = e esta ltima divergente para , pois a srie harmnica. (valor: 15,0 pontos)

6MATEMTICA

PARTE C (BACHARELADO)

Questo n 6


1a alternativa: Consideremos orientada positivamente. O valor da integral I igual a 2z int z12 i x Res 1+z

. Calculando os resduos da

funo em seus plos, i e i, temos:

= = =2 2z i z ii

1 z i 1 1lim limResz + i 2i1+ z 1+ z

De modo anlogo, calcula-se o resduo em z = i, que d

12i

.

Da, tm-se os 4 casos:1. no contm nem i nem i em seu interior, ento: I = 0;

2. contm i no interior, mas no i, ento: I = 12 i x2i

=

3. contm i no interior, mas no i, ento: I = 12 i x = ;2i

4. contm i e i, no interior, ento: I = 1 12 i = 02i 2i

+

Se estiver orientada negativamente, os valores da integral sero os simtricos dos valores encontrados acima.

2a alternativa: Consideremos orientada positivamente. Decompondo f em fraes simples, chega-se a:

21 i 1 1f(z) = =

2 z + i z i1+ z.

Tm-se novamente os 4 casos:

1. no contm nem i nem i em seu interior; ento a funo analtica no interior de e I = 0;

2. contm i no interior, mas no i; ento a parcela i 1x2 z i+

analtica no interior de , e o valor da integral se reduz integral da

outra parcela que, pela Frmula de Cauchy !0 01 f (z)f(z ) = dz

2 i z z , : I = i2 i x ( 1) = ;2

3. contm i no interior, mas no i; ento a parcela

i 1x

2 z ique analtica no interior de , e o valor da integral ser o valor da

integral da outra parcela, que tambm pode ser calculada pela Frmula de Cauchy dando:

I = ( ) i2 i x 1 = ;2

4. contm i e i, no interior, ento o valor da integral a soma dos valores de I nos casos 2 e 3, isto : I = = 0.

Se estiver orientada negativamente, os valores da integral sero os simtricos dos valores encontrados acima. (valor: 20,0 pontos)

7MATEMTICA

Questo n 7


Se u2 harmnica, tem-se que: u2 = 0, mas

= +

= + + =

22 2 2 2

2 2

22 2 2 2

2 2

222

uu u u u= 2u = 2 + 2u e, analogamente :

x x x xx

uu u2 2u , donde :y yy

u uu 2 2u u 0

x y

Se u harmnica, tem-se ento que

22

u u+ = 0

x y, mas este 1 membro o quadrado do mdulo do gradiente de u. Sendo grad u = 0

no plano, que conexo, tem-se u = constante.

Alternativas: o graduando pode trabalhar com a diferencial, ou mesmo com as derivadas parciais de u em vez do gradiente. (valor: 20,0 pontos)

8MATEMTICA

Questo n 8


Esse resultado verdadeiro no caso em que t0 > 0 (dado no informado). Com efeito, se

t0n=0

(A )n converge, ento ( ) t0

nnlim A = 0

. Logo,

sendo c um nmero fixado entre 0 e 1, existe n0 tal que para n n0 tem-se que 0 < t0nA < c < 1. Mas, ento, como a

exponencial de base menor que 1 decrescente, tem-se que, para todo n n0 e t 0t > 0 : 0 < ( )t t / tt 0 0

n nA A=

n

t0A porque

0

tt 1.

Isto , a srie

tn=0

(A )n admite uma srie majorante convergente e essa majorao a mesma para todo t. Ento, (pelo critrio M de

Weierstrass) a srie

tn=0

(A )n uniformemente convergente.

Alternativa:

Se t0 < 0, a tese no pode ser verdadeira, pois, neste caso, 0 [ t0 , [ e esta srie no converge quando t = 0. (valor: 20,0 pontos)

9MATEMTICA

Questo n 9


1 alternativa:

Os autovalores dessa matriz so as razes de

1 30 2 00 1 3

= 0

.

So, portanto, = 0, 2 e 3 e os respectivos autovetores so: (x, 0, 0), (y, y, y) e (z, 0, z). Da tem-se, tomando a Forma Cannicade Jordan para A, que:A = P J P1. onde

10 0 0 1 1 1 1 0 1

J = 0 2 0 , P = 0 1 0 e P = 0 1 00 0 3 0 1 1 0 1 1

Logo, An = P Jn P 1, mas:

. .

= =

n

n n n n n

1 1n n n n

n n n n n n

0 0 0 0 2 3 0 2 3 3J 0 2 0 e PJ P = 0 2 0 P 0 2 0

0 0 3 0 2 3 0 2 3 3

2 alternativa:

O polinmio caracterstico P() = (2 ) (3 ).

Dividindo n por P() teremos n = P() . Q () + a 2 + b + c.

Para calcular a, b, e c, fazemos sucessivamente = 0, = 2 e = 3, obtendo 0 = c, 2n = 4a + 2b e 3n = 9a + 3b.Da, a = 3n 1 2 n 1 , b = 3 . 2 n 1 2 . 3 n 1, c = 0.Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, P (A) = 0.

Da,

An = a A2 + bA. Como ,

2 n

n n n

n

n n n

0 5 9 0 1 3 0 2 3 3A = 0 4 0 e A = 0 2 0 A = 0 2 0

0 5 9 0 1 3 0 2 3 3

.

3 alternativa:Calcular A2, A3, sugerir uma expresso para An e provar por induo. (valor: 20,0 pontos)

10

MATEMTICA

Questo n 10


1 alternativa:

Considerando as parametrizaes em (, ), S (, ) = (R sen cos , R sen sen , R cos ) para a esfera e

C (, ) = (R cos , R sen , R cos ) para o cilindro, por um clculo anlogo tm-se:

S = ( R sen sen , R sen cos , 0) e S = (R cos cos , R cos sen , R sen ) na esfera e

C = (R sen , R cos , 0) e C = (0, 0, R sen ) no cilindro.

Da, S Su v = C Cu v = R2 sen em ambas as superfcies.

2 alternativa:

Considerando as parametrizaes em (, ), S (, ) = (R sen cos , R sen sen , R cos ) para a esfera e

C (, ) = (R cos , R sen , R cos ) para o cilindro, por um clculo anlogo tm-se:

S = ( R sen sen , R sen cos , 0) e S = (R cos cos , R cos sen , R sen ) na esfera e

C = (R sen , R cos , 0) e C = (0, 0, R sen ) no cilindro.

Da,EG F2 = R4 sen2 , em ambas as superfcies.

3 alternativa:

Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:2 2 2 2S(u,v) = ( R v cos u, R v sen u, v) .

Relativamente a estas parametrizaes, a projeo f corresponde identidade em (u, v), isto , os pontos correspondentes por f em cadauma das superfcies so imagens do mesmo par (u, v).

Assim, basta ver o que acontece com a rea da imagem de uma regio no domnio das parametrizaes em cada uma destassuperfcies. Ora, a rea de uma tal imagem pode ser calculada, em cada uma das superfcies, pela integral dupla da expresso

2EG F estendida ao mesmo domnio, onde E = ; G = e F = na esfera e expresses anlogas para o cilindro.

Como 2 2 2 2 2 2 2 2u vS = ( R v sen u, R v cos u, 0) , S = ( v cos u / R v , v sen u / R v , 1)

u vC = ( Rsen u, R cos u, 0) e C = (0, 0, 1).

tem-se que na esfera:EG F2 = (R2 v2) (sen2 u + cos2 u) [1 + v2 (cos2 u + sen2 u) / (R2 v2)] [v sen u cos u v cos u sen u]2 = R2 e no cilindro:EG F2 = R2 (sen2 u + cos2 u) x 1 0 = R2.

Logo, reas de regies correspondentes so iguais.

11

MATEMTICA

4 alternativa:

Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:2 2 2 2S(u,v) = ( R v cos u, R v sen u, v) .

Relativamente a estas parametrizaes, a projeo f corresponde identidade em (u, v), isto , os pontos correspondentes por f em cadauma das superfcies so imagens do mesmo par (u, v).

Assim, basta ver o que acontece com a rea da imagem de uma regio D no domnio das parametrizaes em cada uma destassuperfcies. Ora, a rea de uma tal imagem na esfera pode ser calculada, pela integral dupla S S du dvu v

D e no cilindro por

C C du dvu vD

, onde ,

Como S Su v = 2 2 2 2( R v cos u, R v sen u,v) R = e C Cu v = (R cos u, R sen u,0) R= , tem-se que reas de regiescorrespondentes so iguais. (valor: 20,0 pontos)

2 2 2 2 2 2 2 2u vS = ( R v sen u, R v cos u, 0) , S = ( v cos u / R v , v sen u / R v , 1)

u vC = ( Rsen u, R cos u, 0) e C = (0, 0,1).

12

MATEMTICA

PARTE C (LICENCIATURA)

Questo n 11


a) A resposta est certa.Melhor seria se o estudante respondesse aproximadamente 50%, de vez que ele s dispe do desenho e no tem os dados

numricos. (valor: 10,0 pontos)

b) A resposta do aluno est errada.A resposta certa seria afirmar que no se pode saber quem gastou mais em termos absolutos. A informao que se pode tirar

do grfico que o estado I gastou com segurana uma porcentagem de sua arrecadao maior do que o estado II, em relao prpriaarrecadao, mas, sem o dado sobre os respectivos totais de arrecadao, no se podem comparar as quantias gastas por um epor outro. (valor: 10,0 pontos)

13

MATEMTICA

Questo n 12


a) Como y = 1 ,,2 2 2x 0 x 1 x y 1, 0 x 1e 0 y 1 + = tem-se que o grfico solicitado o arco da circunferncia de raio 1 ecentro (0, 0), que fica no 1 quadrante.


b) A figura em questo pode ser decomposta em um tringulo de base 12

e altura 3

2 , e um setor circular de ngulo central .2 3 6 =

Ento sua rea pode ser calculada como a soma de 1 1 3 3x x2 2 2 8

= com 21

x 1 x2 6

=

12

.

Ou seja, a rea : 38 12

+

. (valor: 10,0 pontos)

14

MATEMTICA

Questo n 13


a) Qualquer grandeza cuja variao seja, em cada instante, proporcional ao seu valor nesse instante pode ser modelada por uma funoexponencial que a inversa do logaritmo.

Alguns exemplos so: em Qumica, a quantidade de uma substncia radioativa; em Economia, um capital empregado a juros; emBiologia, certas populaes (de bactrias, por exemplo), etc. (valor: 10,0 pontos)

b) Sendo x(t) a medida dessa grandeza no instante t, tem-se: x= kx e da, se x (t0) 0, tem-se:In |x (t)/ x (t0)| = k (t t0) ou x (t) = x (t0) exp [k (t t0)] (e esta vale mesmo para x(t0) = 0) (valor: 10,0 pontos)

15

MATEMTICA

Questo n 14


a) Como a linha horizontal e o fio de prumo fazem um ngulo reto, o mesmo se dando com a borda do aparelho e o canudo, o nguloformado pelo fio de prumo e o canudo ter por medida p + 90 = 90 + v , logo, p = v . (valor: 10,0 pontos)

b) Seja W o topo da rvore, X o ponto em que esto os olhos do observador, Z o ponto de encontro entre a vertical traada do topo darvore e a linha que parte de X no plano horizontal e que encontra essa vertical. O tringulo XZW retngulo em Z e o observador pode mediro ngulo

16

MATEMTICA

Questo n 15


a)

1a alternativa:

P um octaedro regular inscrito no tetraedro, pois possui quatro pares de faces paralelas. Esses pares so formados por uma face do octaedroobtida pelo corte do plano que passa pelos trs pontos mdios de cada um dos vrtices e por uma face triangular inscrita numa face dotetraedro.

2a alternativa:

O aluno tambm poder, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura do octaedroinscrito no tetraedro. (valor: 5,0 pontos)

b) Como as arestas de T foram divididas ao meio para se obterem as arestas de t, e como T e t so tetraedros regulares figurassemelhantes, portanto, e com razo de semelhana igual a o volume de T oito vezes o volume de t. (valor: 5,0 pontos)

c) Como V(T) = 4 V(t) + V(P) e V(T) = 8 V(t), tem-se:

V(P) = 8 V(t) 4 V(t) = 4 V(t) . (valor: 5,0 pontos)

d)

1a alternativa:

O jogo poder ser formado por 4 tetraedros regulares iguais a t (com arestas do tamanho da metade das de T) e quatro tetraedrosno regulares, obtidos por cortes de P, de tal forma que cada dois desses tetraedros no regulares formem uma das pirmides debase quadrada que compem P.

2a alternativa:

O aluno tambm poder, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura anterior,onde aparece a diagonal do quadrado da base das duas pirmides que formam o octaedro P. (valor: 5,0 pontos)

Questo Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 01 E C A D 02 D B D B 03 B D D B 04 D A B E 05 A B E D 06 D D B E 07 D B E A 08 C E A D 09 C A D E 10 C D C B 11 C E D C 12 E D C A 13 E C B A 14 D B B D 15 D A E C 16 B C D C 17 A E C B 18 C E A D 19 E A E C 20 B D D B 21 C D B E 22 A E A E 23 B B D D 24 A C E B 25 A E C A

Prov Ão 2000

Documents

Transcript of Prov Ão 2000