7/23/2019 Prova Anlise Real

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Elementos de Analise - Verao 2001

Prova 1

1. Mostre, por inducao, que

(a) 1 + 2 + +n=n(n+ 1)

2 .

(b) 13 + 23 + +n3 = (1 + 2 + +n)2

2. Mostre que lim n1/n = 1.

Sugestao: escreva n1/n = 1 +un e use que (1 +x)n 1 +

n(n 1)

2 x2 se x 0.

3. Diga, justificando, quais das seguintes afirmacoes sao verdadeiras e quais saofalsas:

(a) Se lim b0= + e lim an = 0 entao lim(anbn) nao existe.

(b) Se (an) e (bn) sao sequencias de numeros reais positivos tais que lim an= 0e lim bn= 0 entao lim(an/bn) = 1.

(c) Se lim an existe e lim bn nao existe entao lim(an+bn) nao existe.

(d) Se lim |an|= 1 entao lim an= 1 ou lim an=1.

4. (a) Defina funcao contnua e subconjunto aberto de R.

(b) Mostre, diretamente a partir das definicoes que, dada qualquer funcao contnuaf : R R, o conjunto {x R :f(x)< a} e aberto para qualquer a R.

5. Seja f : R R a funcao definida por f(x) =x8 + 2x3 5x.

(a) Mostre que limx

f(x) = limx+

f(x) = +.

(b) Conclua que a funcao f tem algum mnimo, ou seja, existe algum pontoc R tal que f(c) f(x) para todo x R.

Pontuacoes: 1 (a) = 1 (b) = 1,0 2 = 2,0 3 (a) = 3 (b) = 3 (c) = 3 (d) = 0,54 (a) = 0,5 4 (b) = 1,5 5 (a) = 5 (b) = 1,0

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