Prova de Análise de Dados

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(D1) Pulsar Binário Através de buscas sistemáticas ao longo das últimas décadas, astrônomos encontraram um grande número de pulsares de milissegundo (período de rotação < 10 ms). A maioria destes pulsares formam sistemas binários, com órbitas aproximadamente circulares.

Para um pulsar em órbita binária, tanto o período de rotação do pulsar (P) quanto a aceleração radial (a) variam de modo sistemático devido ao movimento orbital. Para órbitas circulares, esta variação pode ser descrita matematicamente em função da fase orbital 𝜙 (0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋) como

𝑃 𝜙 = 𝑃! + 𝑃! 𝑐𝑜𝑠𝜙 onde 𝑃! =!!!!!!!!

𝑎 𝜙 = −𝑎!𝑠𝑖𝑛𝜙 onde 𝑎! =4𝜋!𝑟𝑃!!

onde PB é o período orbital do sistema binário, P0 é o período de rotação intrínseco do pulsar, e r é o raio da órbita.

A Tabela abaixo traz uma série de medidas de P e a em diferentes épocas heliocêntricas, com T expresso em Dia Juliano Modificado truncado (tMJD), ou seja, o número de dias desde MJD = 2440000.

No. T P a (tMJD) (µs) (m s-2)

1 5740.654 7587.8889 - 0.92 ± 0.08 2 5740.703 7587.8334 - 0.24 ± 0.08 3 5746.100 7588.4100 - 1.68 ± 0.04 4 5746.675 7588.5810 + 1.67 ± 0.06 5 5981.811 7587.8836 + 0.72 ± 0.06 6 5983.932 7587.8552 - 0.44 ± 0.08 7 6005.893 7589.1029 + 0.52 ± 0.08 8 6040.857 7589.1350 + 0.00 ± 0.04 9 6335.904 7589.1358 + 0.00 ± 0.02

Construindo um gráfico de 𝑎(𝜙) em função de 𝑃(𝜙), obtemos uma curva paramétrica. Como fica evidente através das relações dadas acima, a curva no plano período-aceleração é uma elipse.

Neste problema estimaremos o período de rotação intrínseco P0, o período orbital PB e o raio da órbita r, através da análise destes dados, assumindo uma órbita circular.

(D1.1) Construa um gráfico da aceleração em função do período para os dados acima, incluindo as

barras de erro. Chame este gráfico de “D1.1”.

(D1.2) Trace a elipse que melhor se ajusta a estes dados, na mesma folha do gráfico “D1.1”.

(D1.3) Com base neste gráfico, estime 𝑃!, 𝑃!, e 𝑎!, incluindo as margens de erro para estes valores.

(D1.4) Escreva as expressões para 𝑃! e 𝑟 em termos de 𝑃!, 𝑃!, e 𝑎!.

(D1.5) Calcule os valores aproximados de 𝑃B e 𝑟 com base nas estimativas feitas no item D1.3, incluindo as margens de erro.

(D1.6) Calcule a fase orbital 𝜙 correspondente às épocas destas cinco observações: No. 1, 4, 6, 8 e 9.

(D1.7) Refine a estimativa do período orbital 𝑃B utilizando os resultados do item D1.6 da seguinte maneira:

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(D1.7a) Primeiramente, determine a época inicial 𝑇! correspondente à época mais próxima da fase orbital zero (início do ciclo) anterior à primeira observação.

(D1.7b) O instante calculado 𝑇!"#! do ângulo de fase orbital estimado para cada observação é dado por

𝑇!"#c = 𝑇0 + 𝑛 + !!"#∘

𝑃!, onde n é o número de ciclos orbitais completos ocorridos entre 𝑇! e T (ou 𝑇!"#!). Estime n e 𝑇!"#! para cada uma das cinco observações do item D1.6. Calcule as diferenças 𝑇!!! entre 𝑇 (observado) e 𝑇!"#! (calculado). Escreva os resultados destes cálculos na Tabela presente na Folha de Respostas.

(D1.7c) Construa um gráfico de 𝑇O−C em função de 𝑛. Chame este gráfico de “D1.7”.

(D1.7d) Determine os valores refinados da época inicial 𝑇!,! e do período orbital 𝑃!,!.

(D2) Distância até a Lua As efemérides geocêntricas da Lua para setembro de 2015 estão apresentadas na Tabela abaixo. Todos os valores correspondem à 00:00 TU.

Data A.R. (α) Dec. (δ) Tamanho Angular (θ)''

Fase (ϕ) %

Elongação Lunar h m s ∘ ' ''

Set 01 0 36 46.02 3 6 16.8 1991.2 0.927 148.6∘ W Set 02 1 33 51.34 7 32 26.1 1974.0 0.852 134.7∘ W Set 03 2 30 45.03 11 25 31.1 1950.7 0.759 121.1∘ W Set 04 3 27 28.48 14 32 4.3 1923.9 0.655 107.9∘ W Set 05 4 23 52.28 16 43 18.2 1896.3 0.546 95.2∘ W Set 06 5 19 37.25 17 55 4.4 1869.8 0.438 82.8∘ W Set 07 6 14 19.23 18 7 26.6 1845.5 0.336 70.7∘ W Set 08 7 7 35.58 17 23 55.6 1824.3 0.243 59.0∘ W Set 09 7 59 11.04 15 50 33.0 1806.5 0.163 47.5∘ W Set 10 8 49 0.93 13 34 55.6 1792.0 0.097 36.2∘ W Set 11 9 37 11.42 10 45 27.7 1780.6 0.047 25.1∘ W Set 12 10 23 57.77 7 30 47.7 1772.2 0.015 14.1∘ W Set 13 11 9 41.86 3 59 28.8 1766.5 0.001 3.3∘ W Set 14 11 54 49.80 0 19 50.2 1763.7 0.005 7.8∘ E Set 15 12 39 50.01 -3 20 3.7 1763.8 0.026 18.6∘ E Set 16 13 25 11.64 -6 52 18.8 1767.0 0.065 29.5∘ E Set 17 14 11 23.13 -10 9 4.4 1773.8 0.120 40.4∘ E Set 18 14 58 50.47 -13 2 24.7 1784.6 0.189 51.4∘ E Set 19 15 47 54.94 -15 24 14.6 1799.6 0.270 62.5∘ E Set 20 16 38 50.31 -17 6 22.8 1819.1 0.363 73.9∘ E Set 21 17 31 40.04 -18 0 52.3 1843.0 0.463 85.6∘ E Set 22 18 26 15.63 -18 0 41.7 1870.6 0.567 97.6∘ E Set 23 19 22 17.51 -17 0 50.6 1900.9 0.672 110.0∘ E Set 24 20 19 19.45 -14 59 38.0 1931.9 0.772 122.8∘ E Set 25 21 16 55.43 -11 59 59.6 1961.1 0.861 136.2∘ E Set 26 22 14 46.33 -8 10 18.3 1985.5 0.933 150.0∘ E Set 27 23 12 43.63 -3 44 28.7 2002.0 0.981 164.0∘ E Set 28 0 10 48.32 0 58 58.2 2008.3 1.000 178.3∘ E Set 29 1 9 5.89 5 38 54.3 2003.6 0.988 167.4∘ W Set 30 2 7 39.02 9 54 16.1 1988.4 0.947 153.2∘ W

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A montagem abaixo1 mostra várias fotos da Lua tomadas em diferentes momentos durante um eclipse lunar total, que ocorreu nesse mesmo mês de set/2015. Para cada foto, o centro do quadro coincide com a linha central norte-sul da umbra. Neste problema, vamos considerar que o observador está no centro da Terra, e que o tamanho angular corresponde ao diâmetro angular do objeto ou da sombra.

(D2.1) Em setembro de 2015, o apogeu da órbita lunar ocorreu próximo à

Lua Nova (New Moon) / Quarto Crescente (First Quarter)/ Lua Cheia (Full Moon)/ Quarto Minguante (Third Quarter). Marque a resposta correspondente na Folha de Respostas. Não é necessário justificar sua resposta.

(D2.2) Em setembro de 2015, o nodo ascendente da órbita lunar com relação à eclíptica ocorreu mais próximo à Lua Nova (New Moon) / Quarto Crescente (First Quarter)/ Lua Cheia (Full Moon)/ Quarto Minguante (Third Quarter). Marque a resposta correspondente na Folha de Respostas. Não é necessário justificar sua resposta.

(D2.3) Estime a excentricidade da órbita lunar 𝑒 a partir dos dados da Tabela.

(D2.4) Estime o tamanho angular da umbra 𝜃!"#$% em termos do tamanho angular da Lua 𝜃!""#. Mostre como você chegou a este resultado na imagem impressa no verso da Folha de Respostas.

(D2.5) Sabe-se que o ângulo subentendido pelo Sol para um observador na Terra no dia do eclipse era de 𝜃!"# = 1915.0′′. Na Figura abaixo, 𝑆!𝑅! e 𝑆!𝑅! são raios provenientes de pontos diametralmente opostos na borda do disco solar (a Figura não está em escala).

Calcule o tamanho angular da penumbra, 𝜃!"#$%&'( em termos de 𝜃!""#. Considere que o observador está no centro da Terra.

(D2.6) Seja 𝜃!"#$% o tamanho angular da Terra como visto do centro da Lua. Calcule o tamanho angular da Lua 𝜃!""# como visto do centro da Terra no dia do eclipse, em termos de 𝜃!"#$%.

(D2.7) Estime o raio da Lua 𝑅!""# em km a partir dos resultados acima.

(D2.8) Estime a menor distância 𝑟!"#$%"", e a maior distância 𝑟!"#$%%, da Terra à Lua.

(D2.9) Use os dados apropriados de 10 de Setembro para estimar a distância 𝑑!"# do Sol à Terra.

1 Crédito: NASA’s Scientific Visualization Studio

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(D3) Supernovas Tipo IA Supernovas de tipo Ia são muito importantes para medidas de distâncias extragalácticas. O aumento e diminuição de brilho observados nessas explosões apresentam uma curva de luz característica, que ajuda a identificar essas supernovas como sendo de tipo Ia.As curvas de luz de todas as supernovas de tipo Ia podem ser ajustadas a um modelo único de curva de luz, quando aplicado um fator de escala. Para fazer isso, precisamos primeiro construir a curva de luz no referencial da galáxia onde a supernova ocorreu, levando em conta a expansão cosmológica do universo nos intervalos de tempo observados Δ𝑡!"#, utilizando o fator (1 + 𝑧). O intervalo de tempo no referencial de repouso da galáxia hospedeira é denominado Δ𝑡!"#.

Considere o intervalo de tempo Δ𝑡!, medido no referencial da galáxia, no qual a curva de luz da supernova diminui de duas magnitudes com relação ao seu brilho máximo. Seja s o fator de escala aplicado aos intervalos de tempo (Δ𝑡! = 𝑠Δ𝑡!"#), de tal maneira que os valores de Δ𝑡! sejam os mesmos para todas as supernovas quando esse fator de escala for aplicado. Desta maneira, todas as curvas de luz das supernovas tipo Ia terão a mesma forma. Outra consequência disso é que 𝑠 apresenta uma relação linear com a magnitude absoluta de pico da supernova (𝑀!"#$). Portanto, podemos escrever

𝑠 = 𝑎 + 𝑏𝑀!"#$ ,

onde 𝑎 e 𝑏 são constantes. Se conhecermos o fator de escala s, podemos então determinar as magnitudes absolutas das supernovas para as quais não sabemos as distâncias, utilizando a equação linear acima.

A Tabela abaixo apresenta dados para três supernovas, incluindo o módulo de distância 𝜇 para as duas primeiras supernovas, as velocidades de afastamento 𝑐𝑧, e suas magnitudes aparentes 𝑚!"#, em diferentes épocas. O intervalo de tempo Δ𝑡!"# ≡ 𝑡 − 𝑡!"#$ é o número de dias relativo à data da maior luminosidade da supernova (magnitude de pico). As magnitudes observadas já foram corrigidas para extinção interestelar e atmosférica.

Nome SN2006TD SN2006IS SN2005LZ µ (mag) 34.27 35.64

cz (km s-1) 4515 9426 12060 Δtobs (dias) mobs (mag) mobs (mag) mobs (mag)

-15.00 19.41 18.35 20.18 -10.00 17.48 17.26 18.79 -5.00 16.12 16.42 17.85

0.00 15.74 16.17 17.58 5.00 16.06 16.41 17.72 10.00 16.72 16.82 18.24 15.00 17.53 17.37 18.98 20.00 18.08 17.91 19.62 25.00 18.43 18.39 20.16 30.00 18.64 18.73 20.48

(D3.1) Calcule Δ𝑡!"# para todas as três supernovas, e preencha os espaços em branco nas Tabelas de

dados no VERSO da Folha de Respostas. Na folha de gráfico, marque os pontos observados e trace as três curvas de luz para o referencial de repouso. Chame este gráfico de “D3.1”.

(D3.2) Considere o fator de escala s2 para a supernova SN2006IS como sendo 1.00. Calcule os fatores de escala s1 e s3 para as outras duas supernovas SN2006TD e SN2005LZ, respectivamente, calculando Δ𝑡! para elas.

(D3.3) Calcule as diferenças de tempo ajustadas Δ𝑡! para as três supernovas. Escreva os valores para Δ𝑡! nas mesmas Tabelas na Folha de Respostas. Numa outra folha de gráfico, marque os pontos e trace as três curvas de luz. Verifique se elas agora têm perfis idênticos. Chame este gráfico de “D3.3”.

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(D3.4) Calcule as magnitudes absolutas do pico do brilho 𝑀!"#$,! para SN2006TD e 𝑀!"#$,!, para SN2006IS. Utilize estes valores para calcular as constantes a e b.

(D3.5) Calcule a magnitude absoluta do pico de brilho 𝑀!"#$,! e o módulo da distância 𝜇!, para SN2005LZ.

(D3.6) Use o modulo da distância 𝜇! para estimar o valor da constante de Hubble H0. Depois, estime a idade caraterística do Universo TH (tempo de Hubble).

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