1RUMO ao

MATEMTICACICLO 01 2008

16 de maro de 2008

Instrues para a prova1. Esta prova composta de 20 questes de mltipla escolha (numeradas de 01

a 20) e de 10 questes dissertativas (numeradas de 21 a 30). As 20 questesde mltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questesdissertativas aos 50% restantes.

2. Voc recebeu este CADERNO DE QUESTES, dois CADERNOS DE RESPOSTAS euma FOLHA DE LEITURA PTICA. Verifique se eles esto completos.

3. Voc dispe de QUATRO horas para o Simulado. A distribuio do tempo ficaa seu critrio.

4. Aguarde o comunicado para iniciar a prova. Ao termin-la, entregue-a naSECRETARIA.

Boa prova!QUESTES OBJETIVAS

01. Sejam a e b *R tal que a + b = 1. O que podemosafirmar de todos os valores possveis da expresso

4 4f(a; b) a b ? A. ( ) 1f(a; b) 10 B. ( )

1f(a; b) 6

C. ( ) 1f(a; b) 8 D. ( )1f(a; b) 4

E. ( ) f(a; b) 2

02. Em uma PA finita com 2n termos, a soma dos nprimeiros elementos A e a soma dos n ltimos B.Assim, indicando por na o termo de posio n, e por r arazo da PA, podemos dizer que:A. ( ) n 2nA nB A Ba r 2n

B. ( ) 22 2 2

2 2n 4

n A B 2n A B A Ba r 4n

C. ( ) 3 23 2 3 33 3

n 6n A B 3n A B A B A B 3ABa r 8n

D. ( ) 22 2 2 2 22n2 2 2n A B 2n A B A 2AB Bar 4A 8AB 4A

E. ( ) 2 2 2 2n 4n A B A B 2ABa r 2n

03. Considere duas retas concorrentes r e s da figura aseguir e um segmento de medida d. O lugar geomtricodos pontos do plano rs cuja soma das distncias a r e as constante, e vale d, (so):

A. ( ) uma circunferncia de centro O e raio d.B. ( ) uma circunferncia de centro O e raio d.2C. ( ) um retngulo cujas diagonais esto sobre r e s.D. ( ) duas circunferncias tangentes a r e s e de raiosd.2E. ( ) uma quadra de bissetrizes de r e s.04. Os pontos A, B e C so tais que B obtido de A porrotao de 90 em sentido horrio de centro P = (1, 2);C obtido de B por rotao de 90 em sentido horriode centro Q = (2; 4) e A obtido de C por rotao de90 em sentido horrio de centro R = (3; 2). Sabendoque o ponto A pertence ao eixo das abscissas e situa-se esquerda da origem, podemos afirmar que obaricentro do tringulo ABC o ponto:A. ( ) 3; 04

B. ( )4; 03

C. ( ) 40; 3

D. ( )30; 4

E. ( ) 4 3;3 4

05. Os inteiros a, b, c, d e A so tais que 2 2a A b e2 2c A d . Sobre o nmero 2(a + b)(c + d)(ac + bd A)

podemos afirmar que:A. ( ) um quadrado perfeito.

2B. ( ) um cubo perfeito.C. ( ) a quarta potncia de um natural.D. ( ) depende de A.E. ( ) depende de a, b, c e d.06. Considere as expresses ab ac bc e abc a b c , tal que a, b e c R+. Podemosafirmar que:A. ( ) a b c 0 B. ( ) C. ( ) D. ( ) a b c 0 ou 1 E. ( ) 2 2 0

07. Determine a soma de todos os mltiplos de 5 ou 8compreendidos entre 1 e 500.(Nota: A conjuno ou no expressa aqui valor deexcluso.)A. ( ) 37.254 B. ( ) 42.864C. ( ) 48.636 D. ( ) 50.286E. ( ) 51.788

08. Qual o valor de100 3K 50

K ?

A. ( ) 16.500.950 B. ( )19.800.150C. ( ) 21.100.640 D. ( )24.001.875E. ( ) 28.200.38509. Calculando o valor da expresso

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 11 1 11 2 2 3 2007 2008 K

obtemos:A. ( ) 20082007B. ( ) 20082007 2007

C. ( ) 12008 2008

D. ( )2008

x 1

12007 x

E. ( )2008

x 1

12007 x 1

10. Sendo P = (a, b) um ponto do segundo quadrante doplano cartesiano tal que a b . Considere os pontosA, B, C e D tais que:I. A e P so simtricos em relao bissetriz dos

quadrantes pares.II. A e B so simtricos em relao ao eixo das

abscissas.III.B e C so simtricos em relao bissetriz dos

quadrantes mpares.IV. P e D so simtricos em relao origem.Nessas condies, podemos afirmar que a distnciaentre os pontos C e D igual a:A. ( ) 2aB. ( ) 2a

C. ( ) 2bD. ( ) 2bE. ( ) 2a b

11. Sejam a, b e c nmeros reais distintos tais queverificam as igualdades:

3

3

3

a a 0b b 0c c 0

com e dois nmeros quaisquer.Podemos afirmar que a + b + c igual a:A. ( ) 1B. ( ) 2 2 C. ( ) zeroD. ( ) 3 3 E. ( ) 212. Considere todos os tringulos no obtusngulos debase AB e altura h. Determinando os de permetromnimo e mximo, obteremos, respectivamente:

r //AB

A. ( ) o 1ABC retngulo em A e o 2ABC issceles.B. ( ) o 1ABC retngulo em 1C e o 2ABC issceles.C. ( ) o 2ABC issceles e o 1ABC retngulo em B.D. ( ) o 2ABC equiltero e o 1ABC retngulo em A.E. ( ) o 1ABC retngulo em A e o 2ABC equiltero.

13. Considere uma diviso harmnica AMBN de razo K> 1, sendo O o ponto mdio de MN. Calcule o valor deOAOB e determine a posio de O.

A. ( ) 2 K e O BN para K 2 B. ( ) K e O BN para K > 1C. ( ) K e O MB para K ]1; 2[ D. ( ) K e O NB para K > 1E. ( )

22K

K 1 e O MB para K > 1

14. Qual o valor mximo da funo 8 8 6 6 41 1 1 1f(x) sen x cos x sen x cos x sen x ?8 3 6 4

A. ( ) 32B. ( ) 2 69C. ( ) 18D. ( ) 124

3E. ( ) 51215. Calculando o valor da expresso

4 434

2 1 3 2 2 3 12 3 6 3 83 2 1 3 2 2

obtemos:A. ( ) 2B. ( ) 2C. ( ) 33D. ( ) 1E. ( ) 1216. Considere dois ngulos adjacentes AOB e BOC, demedidas e respectivamente, tal que > . OXuuur e OYuuurso suas respectivas bissetrizes e OZuur a bissetriz deXOY. A medida do ngulo BOZ :

A. ( ) 2 3

B. ( ) 4

C. ( ) 2

D. ( ) 2

E. ( ) 3 22

17. Seja a progresso aritmtica com termos inteiros1 2 4 5(a , a , 25, a , a ). Sabendo que nessa PA h um par de

termos consecutivos cuja diferena de seus quadrados 399, ento podemos afirmar que o maior termo destaseqncia :A. ( ) um nmero primo.B. ( ) um nmero divisvel por 23.C. ( ) um mltiplo de 13.D. ( ) um quadrado perfeito.E. ( ) um cubo perfeito.18. Considere xy = p, x + y = s, 2004 2004x y t e

2005 2005x y u. O valor de 2008 2008x y dado por:A. ( ) 3 2s u 2psu p t B. ( ) 3 2 2s u s pt 2psu p t C. ( ) 3 2 2 2s u s pt 2psu p t D. ( ) 3 2 2s u s pt p t E. ( ) 2 2 2su sp t 2psu pt

19. Seja123 34 4 2

4x y xy 1 xy y yf(x; y) 1 2 .x xy x xy

Calculando o valor de f(9; 0,04), obtemos:A. ( ) 0,6B. ( ) 1C. ( ) 2D. ( ) 0,64

E. ( ) 0,06

20. Sabendo que2

2 2tg a tg b tg a tg b,sen x tg x podemos

concluir que:A. ( ) tg x tg a tg b = 1 B. ( ) sen x cos x = sen a cos b C. ( ) 2 2 2sen x = tg a + tg bD. ( ) cos x cotg a tg b E. ( ) 2 2tg x sec a cossec b

QUESTES DISSERTATIVAS

21. Resolva o sistema de equaes nas incgnitas (x; y;z) 3R , com a R, tal que:

2 2 2 2

2 2 2 4

x y z 2ax y y z z x 14aax yz ay zx az xy 27a

22. Simplifique a expresso:

n n na b c

a b a c b a b c c a c b para todo n N e a, b e c R distintos dois a dois.23. Considere:x p cos a cos b q sen a cos b r sen b y p cos a sen b q sen a sen b r cos b z p sen a q cos a Calcule o valor de 2 2 2x y z .

24. Considere a seqncia 1 2 3(x , x , x ,...) definida

recursivamente por n n+1n 1n 2n+1

1x , se x 0xx0, se x =0

para todo n N*, com 1x 21 e 2x 99.Obtenha o menor valor de n para que nx 0.

25. Demonstre que, num quadriltero convexo, a somadas diagonais maior que o semi-permetro e menorque o permetro do quadriltero.26. Prove que as bissetrizes dos ngulos que se obtmprolongando-se os lados opostos de um quadrilteroconvexo se cortam sob um ngulo igual semi-soma dedois ngulos opostos do quadriltero.27. Sendo x e y nmeros reais tais que 0 y 1 ex y 1 , considere os pontos 1P (x, y), 2 22P (x , y ) e

3 33P (x , y ). Seja nD o valor da distncia do ponto nP

origem do plano cartesiano, com n { 1, 2, 3} . Prove que1 2 3D D D .

428. Fatore o polinmio 6 5 4 3 2x 2x 2x 10x 2x 2x 1 num produto com 3 polinmios com coeficientes reais.29. De quantos modos o nmero 81 pode serrepresentado como a soma de dois ou mais inteirosconsecutivos? Escreva todas as representaespossveis.30. Determine o nmero de triplos ordenados (x; y; z)

3Z que satisfaam a equao4 4 4 2 2 2 2 2 2x y z 2y z 2z x 2x y 120 .