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PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO

COLÉGIO ANCHIETA-BA - MAIO DE 2011. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E

ADRIANO CARIBÉ. RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

Assinale as questões verdadeiras some os resultados obtidos e marque na Folha de Respostas: QUESTÃO 01 Sobre funções , equações e inequações, no universo real, é verdade que:

(01) Se a função afim m(x) = ax + b é crescente, então a > 0 .

(02) Se a função quadrática n(x) = ax2 + bx + c é par, então b = 0. (04) Se a figura representa um esboço do gráfico da função quadrática

r(x) = ax2 + bx + c, então b é um número real negativo.

(08) Se a equação mx2 – 6x + 3 = 0 admite duas soluções reais distintas, então m > 3 .

(16) Se 0. >+ hxk e 0≠k então k

hx

−> .

(32) O conjunto solução da inequação 3 1

5≤

−+

xx é vazio.

(64) Se a função quadrática f(x) = ax2 + 4x + c admite máximo 5 no ponto de abscissa 1, então 3a + 2c = 0 . RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

(02) VERDADEIRA. Na função par a variável em todos os seus termos está submetida a grau par e é o que acontece quando n(x) = ax2 + c. (04) VERDADEIRA. O gráfico da função r(x) = ax2 + bx + c nos leva a concluir que a > 0 e que as duas

raízes são positivas, e como a soma das raízes tem o sinal oposto ao de a

b , então b < 0.

2

(08) FALSA. Se a equação mx2 – 6x + 3 = 0 admite duas soluções reais distintas,

3m36m120m1236 <⇒<⇒>−=∆ então m > 3. (16) FALSA.

(32) FALSA.

01x

8x4x0

1x

3x35xx3

1x

5x

22

≤−

+−⇒≤

−

+−+−⇒≤

−+

As raízes do numerador 8x4x2+− são imaginárias porque

8x4x)x(N0163216 2+−=⇒<−=−=∆ sempre assumirá valores positivos, pois a > 0.

Logo para que 01x

8x4x2

≤−

+− , x – 1 < 0 ⇒ x < 1.

(64) VERDADEIRA. Se a função quadrática f(x) = ax2 + 4x + c admite máximo 5 no ponto de abscissa 1, então 3a + 2c = 0 .

⇒=⇒=++−=⇒++−=⇒−=⇒−=⇒=− 3c5c42)1(fcx4x2)x(f2a4a21a2

4 2

066c2a3 =+−=+ Questão 02. Seja R o raio de um círculo C. É verdade que: 01) A diagonal do quadrado circunscrito ao círculo C é d = 2R2 . 02) O lado do triângulo equilátero inscrito no círculo C é 2R=l .

04) A área do hexágono regular inscrito em C é 2

3R3S

2

= .

08) O raio do círculo inscrito no hexágono regular que está inscrito no círculo C é

2

3Rr = .

16) O lado do octógono regular inscrito no círculo C é 22R −=l . 32) A área do dodecágono regular inscrito no círculo C é 2R6S = .

RESOLUÇÃO:

01) VERDADEIRA. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ABC:

2R2dR8dR4R4d 2222=⇒=⇒+=

3

02) FALSA. Do triângulo retângulo ABC:

3R2

3

R

2/30cos

BC

AB=⇒=⇒°= l

l

04) VERDADEIRA. A área do hexágono regular inscrito em C é igual a

2

3R3

2

3RR

2

16S

2

=

×××=

08) VERDADEIRA. O raio do círculo inscrito no hexágono regular BDEFGH que está inscrito no círculo C é o apótema deste hexágono e que coincide com a altura do triângulo equilátero BCD:

2

3Rr

2

3

R

r30cos

BC

AC=⇒=⇒°=

16) VERDADEIRA. Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC:

⇒−=⇒°×××−+=2

2R2R245cosRR2RR

222222

ll

( )22R

2

22R2

2

2R2R4 22

222

−=⇒−

=⇒−

= lll

32) FALSA. A área do dodecágono regular inscrito no círculo C é

222 R32

1R630senR

2

112S =×=°×××= .

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QUESTÃO 03

Sendo f(x) = ax2 + 8x + a uma função do 2o grau cuja imagem é o intervalo ]–∞; 6] e g(x) = –4x + b uma função do 1o grau que passa pelo ponto (0; 16), podemos afirmar: (01) a + b = 15. (02) O eixo de simetria do gráfico de f é a reta x = 4. (04) A função f é crescente no intervalo ]–∞; 1]. (08) Se 1 < x < 3, então f(x) > 0. (16) g : R → R é uma função bijetora. (32) O gráfico de g tangencia o gráfico de f. RESOLUÇÃO: Se o intervalo ]–∞; 6] é a imagem da função f(x) = ax2 + 8x + a, 6 é o valor máximo da função o que implica em a > 0:

( )satisfaz) (não 8 a e 2a016a6aa616aa2464a46

a4

a464

a4222

2

=−=⇒=−−⇒=−⇒=−⇒=−−

=∆−

Logo 2x8x2)x(f 2−+−= .

Se g(x) = –4x + b passa pelo ponto (0; 16): b = 16 e g(x) = –4x + 16. (01) FALSA. Pelos cálculos acima vê-se que a + b = − 2 + 16 = 14 (02) FALSA.

O eixo de simetria do gráfico de f é a reta x = 24

8=

−

− .

(04) VERDADEIRA. Conforme o gráfico ao lado. (08) VERDADEIRA. Se 1 < x < 3, então f(x) > 0 conforme o gráfico ao lado. (16) VERDADEIRA.

(32) VERDADEIRA. Fazendo f(x) = g(x):

⇒=−=∆⇒=+−⇒=+−⇒+−=−+− 0363609x6x018x12x216x42x8x2 222 que o gráfico de g tangencia o gráfico de f.

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Questão 04.

Representados acima estão um losango, um setor circular e um semicírculo. É verdade que: 01) A área do losango é menor que a área do semicírculo. 02) A área do setor é igual a um terço da área do semicírculo. 04) A área do losango é maior que a área do setor. 08) A área do losango é, aproximadamente, 93% a mais que a área do setor. 16) A soma da área do setor com a área do semicírculo equivale área de um círculo de

raio R3

6r = .

32) A área do losango equivale á área de um trapézio de base maior 2

R , base menor 4

R

e altura 3

R8 .

RESOLUÇÃO: 01) VERDADEIRA.

2LOSANGO R

2

RR2S =

×= . ⇒≈=

22

OSEMICÍRCUL R57,12

RS

πLOSANGOS < OSEMICÍRCULS

02) VERDADEIRA.

6

RS

2

SETORπ

= ⇒ 3

1

2

R:

6

R

S

S 22

OSEMICÍRCUL

SETOR ==ππ

04) VERDADEIRA.

2LOSANGO RS = e

6

RS

2

SETORπ

= ⇒ >LOSANGOS SETORS

08) FALSA.

1,9106

16

R:R

22

≈×=π

π⇒ ≈LOSANGOS 191% SETORS

16) VERDADEIRA.

SETORS =+ OSEMICÍRCULS 3

R2

6

R4

2

R

6

R 2222 ππππ==+ .

3

R2R

3

6S

22

r RAIO DE CÍRCULOπ

π =

=

6

32) VERDADEIRA.

LOSANGO2

2

TRAPÉZIO SR12

R24

2

1

23

R8

4

R

2

R

S ==×=

×

+

=

Questão 05 (UFBA2010) Uma empresa observou que a quantidade Q, em toneladas, de carne que ela exporta em uma semana é dada por Q(x) = ax²+ bx + c, sendo a, b e c constantes, e x o preço do produto, em reais, por quilograma, praticado na referida semana, sendo 3 ≤x ≤ 8. Sabe-se que para o preço de R$3,00, a quantidade é de 7,5 toneladas, que para R$4,00, a quantidade é máxima e que para R$8,00, a quantidade é zero. Com base nessas informações, pode-se afirmar: (01)A quantidade Q(x) diminui à medida que o preço x aumenta. (02) Para o preço de R$5,00, a quantidade é de 7,5 toneladas.

(04)A constante a

b é igual a −8.

(08) Existe um único preço x, 3 ≤ x ≤ 8, tal que Q(x) = 3,5. (16) Para cada preço x, 3 = x = 8, tem-se Q(x) = −x² + 8x. RESOLUÇÃO: Como para x = R$4,00 a quantidade de toneladas de carne exportada é máxima, tem-se:

⇒−=⇒−

== 8ab2a

b4x v que a função Q(x) = ax2 + bx + c tem a forma:

c8axaxQ(x) 2 +−= . Nesta última equação, substituindo as variáveis pelas coordenadas dos pares ordenados (3; 7,5) e (8; 0):

4x.0,5xQ(x) 2

0,5a

7,515a

0c

7,5c15a

0c64a64a

7,5c24a9a+−=⇒

−=

−=⇒

=

=+−⇒

=+−

=+−

(01) FALSA. Analisando o gráfico ao lado, verifica-se que a função Q(x) é crescente quando o valor de x cresce no intervalo [3,4] e é decrescente quando o valor de x cresce no intervalo ]4, 8].

(02) VERDADEIRA. A reta x = 4 é o eixo de simetria da parábola e as retas x = 3 e x = 5 são simétricas em relação a esse eixo, logo interceptam a parábola em pontos simétricos e de mesma

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ordenada. Assim como para o preço de R$3,00, a quantidade é de 7,5 toneladas, também o é para o preço de R$5,00. O que pode ser confirmado fazendo Q(5) = − 0,5×25 +4×0,5 = − 12,5 + 20 = 7,5. (04) VERDADEIRA.

8a

b8

2a

b24

2a

b−=⇒−=

−−⇒⇒

− .

(08) VERDADEIRA. Resolvendo a equação −0,5x2 + 4x = 3,5 ⇒ 5x² – 40x – 35 = 0 ⇒ x² – 8x – 7 = ⇒ x = 1 ( não pertencente ao domínio) e x = 7. Pela análise do gráfico, percebe-se que somente o valor de R$7,00 pertencente ao domínio da função.

(16) FALSA. Para cada preço x, 3 ≤ x ≤ 8, tem-se Q(x) = −0,5x2 + 4x. Questão 06. Na figura estão representados um triângulo isósceles ABC de base BC e um quadrado ACDE. É verdade que: 01) AC = cm33 .

02) A área do triângulo ABC é 2cm4

327S = .

04) A distância do vértice D à reta BC é igual a 3,5cm. 08) O quadrado da projeção do segmento CE sobre a reta BC é menor que 54cm². 16) A área do triângulo de vértices B, A e E é igual a 6,75cm². RESOLUÇÃO: 01) VERDADEIRA. No triângulo isósceles ABC aplicando-se a Lei dos Cossenos:

⇒××+=2

1)AC(2)AC(281 22 33AC81)AC(3 2

=⇒=

02) VERDADEIRA.

A área do triângulo ABC é: ( )4

327

2

333

2

1120senAC

2

1S

22=××=°××= .

8

04) FALSA. No triângulo retângulo DHC:

5,4d9d22

3

33

d=⇒=⇒=

08) VERDADEIRA. O segmento HC é a projeção ortogonal do segmento CE sobre a reta BC O segmento CE é diagonal do quadrado, logo sua medida é 63233 =× . No triângulo EAB:

( ) ( ) ⇒°××−×= 150cos332332BE222

32754BE2

35454BE 22

+=⇒×+=

Da análise dos triângulos EHB e EHC pode-se escrever:

⇒−=+−−⇒−=−−+⇒

−=

−= 2222

222

222

HC)HCHC1881(327HC54)HC9(32754HCECEH

BHBEEH

( )⇒

−=⇒−=⇒−=

4

339HC339HC232781HC18

22 54

2

32754

4

354108HC2

<−

=−

=

16) VERDADEIRA.

SBAE = 75,62

1

2

27150sen3333

2

1=×=°×××

Questão aberta: Efetue os cálculos necessários e marque as resultados na Folha de Resposta. QUESTÃO 07

O conjunto solução da inequação 1 x

1

3 x

2 x

+<

−

− possui exatamente quantos números

inteiros? RESOLUÇÃO:

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

01x3x

1x2x0

1x3x

3x2xx

1x3x

3x

1x3x

1x2x

1 x

1

3 x

2 x 22

<+−

+−⇒<

+−

+−−−⇒

+−

−<

+−

+−⇒

+<

−

−

Cálculo das raízes do numerador:

12

442x01x2x2

=−±

=⇒=+−

Cálculo das raízes do denominador: ( )( ) 1 ou x 3x01x3x −==⇒=+−

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Percebe-se que a inequação é satisfeita no intervalo ]-1, 3[. Os números inteiros que pertencem a este intervalo são 0 e 2. RESPOSTA: 02