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Prova do Nível 2 (resolvida)

1ª fase

05 de novembro de 2011 Instruções para realização da prova

1. Verifique se este caderno contém 30 questões e/ou qualquer tipo de defeito. Se houver algum problema, avise imediatamente o fiscal.

2. Para cada questão há apenas uma resposta correta.

3. Transcreva para a folha de respostas (gabarito) o resultado que julgar correto em cada questão, preenchendo o quadrado correspondente, à caneta com tinta azul ou preta.

4. Não haverá substituição de folha de resposta (gabarito) por erro de preenchimento provocado pelo participante.

5. Não serão permitidas consultas, empréstimos e comunicação entre os candidatos, bem como o uso de apontamentos e equipamentos eletrônicos ou não-eletrônicos, inclusive relógio. O não cumprimento dessas exigências implicará a exclusão do participante desse concurso.

6. Utilize como rascunho o próprio caderno de questões.

7. No tempo destinado a essa prova (3 horas), está incluída a identificação do participante e o preenchimento da folha de respostas (gabarito).

8. Ao término dessa prova, levante o braço e aguarde o atendimento do fiscal. Entregue ao fiscal somente a folha de respostas (gabarito).

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1. Calculando 3 3 3 33 .2 3 2 obtemos:

a) 0

b) 73

c) 181

d) 217

e) 730

Resolução

3 3 3 33 .2 3 2 27.8 27 8 216 27 8 181

2. O resultado do cálculo

22 1 2

.3 5 4

é:

a) 7

30

b) 17

30

c) 31

90

d) 1

45

e) 11

90

Resolução 2

2 1 2 4 1 1 20 9 1 11 1 11. . . .

3 5 4 9 5 2 45 2 45 2 90

3. Qual é o algarismo das unidades da potência 312?

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

Resolução

1

2

3

4

5

6

3 3

3 9

3 27

3 81

3 243

3 729

O algarismo das unidades de 312 é igual ao algarismo das unidades de 34, ou seja, 1.

3

4. Considere os números 548, 712 e 840. Quais desses números podem ser escritos como um produto de

quatro números naturais consecutivos?

a) apenas o número 840

b) apenas o número 548

c) apenas o número 712

d) os números 548 e 712

e) os números 548 e 840

Resolução

840 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 7 = 4 . 5 . 6 . 7

5. Dobrando-se a planificação abaixo, reconstruímos o cubo que a originou.

A letra que fica na face oposta a que tem o X é:

a) B

b) C

c) K

d) O

e) V

6. O terreno que Joaquim adquiriu, tempos atrás, tem a forma do polígono ABCD e as medidas estão em

metros. O terreno triangular ao lado pertence à prefeitura do município, o qual está destinado a ser uma

praça de lazer. Para evitar que esse terreno ao lado continuasse servindo de aterro de lixo, que era o que a

maior parte da vizinhança fazia, a Prefeitura cercou-o. Como o projeto da área de lazer acabou não se

concretizando, a Prefeitura fez uma proposta de venda desse terreno a Joaquim.

4

Sabendo que a área dos dois terrenos juntos é de 2 400 m2 e o valor por metro quadrado sairia R$ 85,00,

quanto Joaquim deve pagar pelo terreno da Prefeitura?

a) R$ 640,00

b) R$ 1.700,00

c) R$ 54.400,00

d) R$ 204.000,00

e) R$ 640.000,00

Resolução

2x . 3x = 6x2 = 2400

x2 = 400

x = 20

T

3x ( x 8) .2x 60 28 .40A 16.40 640

2 2

640 . 85 = 54.400,00

7. Dois cometas são vistos da Terra: um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos. Se em 1920 ambos

apareceram juntos, quantas novas coincidências irão ocorrer até o ano 2160?

a) 3 coincidências

b) 4 coincidências

c) 5 coincidências

d) 6 coincidências

e) 7 coincidências

Resolução

MMC(20, 30) = 60

1920 + 60 = 1980

1980 + 60 = 2040

2040 + 60 = 2100

2100 + 60 = 2160

8. Os Jogos Pan-Americanos são um evento multiesportivo, que tem como base os Jogos Olímpicos.

Funcionam como uma versão das Olimpíadas modernas, nos quais participam os países do continente

americano. Nesse ano, os Jogos aconteceram em Guadalajara no México e até 28/10/2011 o Brasil tinha se

mantido na 2ª posição graças ao número de medalhas de ouro, que é a condição de colocação nos Jogos. A

seguir, temos um “RAIO-X” de medalhas do Brasil até aquela data.

MEDALHAS DE OURO

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MEDALHAS DE PRATA

MEDALHAS DE BRONZE

Fonte: http://pan.uol.com.br/2011/quadro-de-medalhas

A partir desses gráficos concluímos que:

a) o 1º colocado nos Jogos deve necessariamente ter conquistado mais de 112 medalhas no total.

b) o 1º colocado nos Jogos deve necessariamente ter conquistado mais de 39 medalhas de ouro.

c) o 3º colocado nos Jogos deve necessariamente ter conquistado 39 medalhas.

d) o 3º colocado nos Jogos deve necessariamente ter conquistado menos de 112 medalhas no total.

e) o Brasil conquistou 112 medalhas até o dia 27 de outubro.

9. Podemos escrever 33856

10000, como:

a) 1,84

b) 1,38

c) 1,56

d) 5,74

e) 2,74

Resolução

6 2 3

4 2

33856 2 .23 2 .23 1841,84

10000 10 10 100

10. Medidas de tempo - Nível de dificuldade: 2 - Renato

Qual é o tempo necessário para que o ponteiro das horas de um relógio faça um giro de 10°?

a) 10 minutos

b) 20 minutos

c) 30 minutos

6

d) 40 minutos

e) 50 minutos

Resolução

60 min ---- 30º

x min --- 10º

30x = 600

x = 20 min

11. Observe as seguintes afirmações:

I. 17

2,86

II. 25

2,5210

III. 2

20,9

6

Podemos afirmar corretamente que:

a) apenas a afirmação II é falsa.

b) a afirmação III é verdadeira.

c) duas afirmações são verdadeiras.

d) as afirmações I e II são falsas.

e) a afirmação I é falsa e a II é verdadeira.

12. A divisão entre dois números inteiros pode ser um número decimal exato ou um número decimal infinito,

nesse, o decimal infinito, há um algarismo ou um grupo de algarismos que se repete periódica e

indefinidamente na representação decimal. É possível também, representar um número decimal em

frações, indiferente se o número a ser representado em forma de fração for um número decimal exato, ou

se o número for uma dízima periódica. Sendo assim, qual alternativa abaixo, corresponde a representação

em forma de fração, da dizima periódica 0,5722222...?

a) 525

900

b) 515

999

c) 515

900

d) 525

999

e) 525

990

7

13. A expressão

2

3 2é equivalente à:

a) 2

3

b) 2

c) 6 2 2

7

d) 4

5

e) 2 2

Resolução

2 3 2 6 2 2 6 2 2.

9 2 73 2 3 2

14. Uma empresa que dispõe de carros-pipa de 8000 l de capacidade foi chamada para encher um reservatório

subterrâneo de água de um edifício. Esse reservatório, em forma de bloco retangular, tem dimensões 3 m,

5 m e 1 m. Para a realização dessa tarefa, podemos concluir que:

a) 2 carros-pipa ultrapassam em 1000 litros a capacidade do reservatório.

b) 1 carro-pipa de água tem capacidade maior do que a capacidade do reservatório.

c) 2 carros-pipa de água são insuficientes para encher totalmente o reservatório.

d) 1 carro-pipa e meio enchem totalmente o reservatório.

e) 1 carro-pipa de água é suficiente para encher totalmente o reservatório sem sobrar água.

Resolução

3 . 5 . 1 = 15 m3 = 15000 dm3 = 15000l

15. Karina fez o desenho representado na figura 1 em uma folha de cartolina. Em seguida, recortou-o, fez as

dobras adequadas e, usando fita-crepe, montou a caixa representada na figura 2 (nem todos os desenhos

das faces da caixa estão representados na figura).

8

O desenho de uma das faces quadradas da caixa não foi representado na figura 2. Marque a alternativa

que contém o desenho que complementa corretamente a face branca.

Resolução

Item c

16. Uma sala retangular é dividida em quatro outras por duas paredes retilíneas, paralelas aos lados. Três das

salas assim obtidas têm suas áreas, em metros quadrados, indicadas na figura a seguir.

Qual a área, em metros quadrados, da sala A?

a) 10

b) 15

c) 18

d) 20

e) 21

Resolução

xy 6 x 2, y 3 x 1, y 6 ou

x 2,z 7 x 1, z 14xz 14

tz 35 t 5 t 2,5

A yt A 3.5 15 A 6.2,5 15

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17. Observe a seqüência de figuras:

Continuando com esse padrão, quantos quadradinhos haverá na figura 8?

a) 56

b) 72

c) 80

d) 92

e) 100

Resolução

9 x 8 = 72

18. Pedro ao entrar na garagem de sua casa não observou que o pneu traseiro de sua bicicleta estava todo

cheio de barro. Quando sua mãe lhe chamou atenção para parar, o pneu traseiro já tinha dado 4 voltas e

meia. Se o pneu tem 80 cm de diâmetro, aproximadamente quantos metros de rastro de barro ficaram

marcados no chão da garagem?

a) 2,50 m

b) 11,30 m

c) 5.60 m

d) 12,8 m

e) 22,6 m

Resolução

d = 80 cm r = 40 cm

c = 2.40 = 80 = 80.3,14 = 251,2

4,5 . 251,20 = 1130,4 cm = 11,30 m

19. Uma torneira está com defeito e, mesmo fechada, pinga. Durante meia hora a torneira perde cerca 1,5 dm3

de água. Se fosse possível colocar esses “pingos” em um galão de 20 litros, durante 30 dias, quantos galões

conseguiríamos encher?

a) 52 galões

b) 72 galões

c) 21 galões

d) 15 galões

e) 108 galões

Resolução

30 min 1,5 dm3 = 1,5l

24h 24 . 2 . 1,5l = 72l

30 . 72 = 2160l

2160 l : 20 = 108 galões

10

20. Em um salão há 100 pessoas, das quais 99% são homens. Quantos homens devem sair desse salão para que

a quantidade de homens passe a ser 98% do total de pessoas?

a) 2 homens

b) 10 homens

c) 12 homens

d) 25 homens

e) 50 homens

Resolução

99 x98%

(99 x) 1

99 x 98

100 x 100

9900 100x 9800 98x

2x 100

x 50

21. Um carro a uma velocidade média de 80 km/h viaja em trajetória retilínea passando ao longo do percurso

por uma placa A com inscrição KM 70 às 10 h. Supondo que esse carro mantenha a mesma velocidade

média ao longo do percurso, a que horas o carro passará pela placa B com inscrição KM 190?

a) 11h

b) 11h 30min

c) 12h

d) 12h 30min

e) 13h

Resolução 190km 70km 120km

120km1,5h 1h30min

80km/h

10h 1h30min 11h30min

22. No pé de uma torre de 18 metros de altura há um buraco de cobra e no cume da torre está empoleirada

uma águia. A águia vê a cobra que está a uma distância de seu buraco que é igual ao triplo da altura da

torre, quando a cobra começa a se rastejar para o seu buraco, a águia arremete-se sobre ela. A quantos

metros do buraco da cobra os dois, a águia e a cobra vão se encontrar, se ambos percorrem distâncias

iguais em seus deslocamentos?

a) 12 metros

b) 15 metros

c) 20 metros

d) 24 metros

e) 30 metros

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Resolução

2 2 2

2 2

x 18 (54 x)

x 324 2916 108x x

108x 3240

x 30

Assim, 54 x 54 30 24

23. Números amigos- Nível de dificuldade: 3 – Renato

Como diria o poeta:

Se a soma dos divisores de um número (excetuando ele próprio) for igual a outro número e vice-versa, diz-se que eles são números amigos. A soma dos divisores de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, e 110) é igual a 284. Os divisores de 284 (1, 2, 4, 71 e 142) quando somados, resultam 220.

Os pitagóricos também encontraram números que eram amigos de si mesmo, como 6 (igual a soma de

seus divisores próprios 1, 2 e 3) e 28 (cujos

divisores próprios são 1, 2, 4, 7 e 14). E Euclides descobriu que os quatro primeiros números perfeitos são

gerados pela fórmula: 2n−1(2n − 1), onde 2n – 1 é um número primo. Assim, o 4º número perfeito obtido é:

a) 496

b) 8.128

c) 33.550.336

d) 8.589.869.056

e) 137.438.691.328

Resolução 7 1 7 62 (2 1) 2 .127 64.127 8128

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24. No esquema a seguir cada bloco deve receber um número. Nas camadas acima da base, o número

colocado em cada bloco retangular é a soma dos números dos blocos nos quais ele se apoia e que estão

imediatamente abaixo dele.

Os valores que devem aparecer nos blocos A, B e C são respectivamente:

a) 7, 11 e 39

b) 8, 26 e 39

c) 7, 11 e 46

d) 8, 11 e 26

e) 9, 11 e 39

Resolução

25. Criminosos raptaram um cachorrinho de uma senhora rica e exigiram pagamento de resgate de R$

9.450,00, que deveria ser pago unicamente com cédulas de R$ 100,00 e R$ 50,00, num total de 120 notas.

As quantidades de cédulas pedidas visavam permitir que os criminosos dividissem igualmente cada tipo de

cédula em quantidades iguais. Sabendo disso, quantos criminosos no máximo havia?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Resolução

100x 50y 9450

x y 120

100x 50y 9450

100x 100y 12000

50y 2250

y 51 x 69

mdc(51,69) 3

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26. Augusto só fala a verdade aos sábados, domingos, segundas e terças. Em outros dias, mente. Vanessa só

mente aos domingos, segundas e terças. Em outros dias, fala verdade. Em certo dia da semana ambos

disseram: “Amanhã vou mentir”. Esse dia, certamente foi:

a) terça-feira

b) quarta-feira

c) sexta-feira

d) sábado

e) domingo

Resolução

Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado

Augusto V V V M M M V

Vanessa M M M V V V V

27. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia abriram um canal de 238 metros de comprimento em 17 dias,

quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal, em 25 dias de 7 horas de

trabalho?

a) 70

b) 75

c) 80

d) 85

e) 90

Resolução

25 7 238 25. .

x 10 686 1725 41650

x 116620

x 70

28. Quantos são os valores inteiros k de tal forma que 2x 12x k 0 tenha somente raízes inteiras?

(Cancelada)

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

Resolução

O discriminante da equação dada é = 144 – 4k, logo 2 36 k . Os números

naturais k que fazem inteiro são k = 11, 20, 27, 32, 35 e 36, com os quais se tem

respectivamente 10, 8, 4, 2 e 0. As raízes correspondentes a essas escolhas são

-1 e -11, -2 e -10, -3 e -9, -4 e -8, -5 e -7 e -6.

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29. Augusto e Felipe estão disputando um jogo chamado “Trinta e Um”, cujo tabuleiro está representado

abaixo.

Nesse jogo, os jogadores alternadamente marcam um número ainda não marcado e, imediatamente,

falam, em voz audível ao adversário, o resultado da soma parcial de todos os números marcados ao

completar a jogada. Vence o jogador que obter total 31.

Veja abaixo uma partida iniciada por eles.

- Augusto (1ª jogada): 1

- Felipe (1ª jogada): 4

- Augusto: 9

- Felipe: 15

- Augusto: 21

Qual o número que deve ser marcado por Felipe na 3ª jogada para que ele ganhe a partida em sua 4ª

jogada independente do número que Augusto marcar em sua 4ª jogada?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

30. Em livros de história da Matemática há problemas interessantes que foram criados em milênios passados.

Em um deles, o papiro de Ahmes (1650 a.C) existe o seguinte problema.

“Quando ia a Santo Ives,

encontrei um homem com sete mulheres,

cada mulher tinha sete sacos,

cada saco tinha sete gatos,

cada gato tinha sete gatinhos,

Gatinhos, gatos, sacos e mulheres,

quantos iam a Santo Ives?”

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A resposta correta ao problema apresentado é:

a) 4 3 27 7 7 7 1

b) 3 27 7 7 1

c) 4 3 27 7 7 .7

d) 4 3 27 7 7 7 .7

e) 4 3 27 7 7 7

Resolução

1 homem + 7 mulheres = 8 pessoas

Cada mulher com 7 sacos (7x7 = 49 sacos)

Cada saco com 7 gatos (49x7 = 343 gatos)

Cada gato com 7 gatinhos (343x7 = 2401 gatinhos)

Então 8 + 49 + 343 + 2401 = 2801 = 4 3 27 7 7 7 1