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Prova do Nível 3 (resolvida)

1ª fase

05 de novembro de 2011 Instruções para realização da prova

1. Verifique se este caderno contém 30 questões e/ou qualquer tipo de defeito. Se houver algum problema, avise imediatamente o fiscal.

2. Para cada questão há apenas uma resposta correta.

3. Transcreva para a folha de respostas (gabarito) o resultado que julgar correto em cada questão, preenchendo o quadrado correspondente, à caneta com tinta azul ou preta.

4. Não haverá substituição de folha de resposta (gabarito) por erro de preenchimento provocado pelo participante.

5. Não serão permitidas consultas, empréstimos e comunicação entre os candidatos, bem como o uso de apontamentos e equipamentos eletrônicos ou não-eletrônicos, inclusive relógio. O não cumprimento dessas exigências implicará a exclusão do participante desse concurso.

6. Utilize como rascunho o próprio caderno de questões.

7. No tempo destinado a essa prova (3 horas), está incluída a identificação do participante e o preenchimento da folha de respostas (gabarito).

8. Ao término dessa prova, levante o braço e aguarde o atendimento do fiscal. Entregue ao fiscal somente a folha de respostas (gabarito).

2

1. Calculando 3 3 3 33 .2 3 2 obtemos:

a) 0

b) 73

c) 181

d) 217

e) 730

Resolução

3 3 3 33 .2 3 2 27.8 27 8 216 27 8 181

2. Um retângulo ABCD possui perímetro P e área A. Se dobrarmos as medidas de todos os lados do retângulo

ABCD, obtemos um retângulo A1B1C1D1:

a) de perímetro 2P e área 4A

b) de perímetro 4P e área 2P

c) de perímetro 2P e área 2A

d) de perímetro 4P e área 4A

e) de perímetro 2P e área 16A

3. Sequências - Nível de dificuldade: 1 – Loreni

Cada figura da sequência abaixo foi construída obedecendo certo padrão.

Continuando com esse padrão, quantos quadradinhos haverá na figura 8?

a) 56

b) 72

c) 80

d) 92

e) 100

Resolução

9 x 8 = 72

3

4. (CANCELADA) Foi realizada uma pesquisa em um supermercado com 664 pessoas sobre a preferência por

cinco detergentes A, B, C, D e E. O resultado dessa pesquisa está apresentado no gráfico abaixo.

Sabendo-se que 96 pessoas responderam que preferem a marca D, quantas pessoas não preferem a marca

B?

a) 24

b) 72

c) 96

d) 352

e) 592

Resolução

C = 664 : 4 = 166

D = 8x = 96 x = 12

B = 6x = 6 . 12 = 72

E = 24x = 24 . 12 = 288

A = 664 – (166 + 96 + 72 + 288) = 42

A + C + D + E = 42 + 166 + 96 + 288 = 592

5. A fração equivalente a

12 0

2

1 1 9 100: 5 .0,2222222... :

2 5 3 2

é:

a) 1

5

b) 56

9

c) 1

18

d) 9

40

e) 1

4

4

Resolução

2 11 1 3 2 1

. :2 5 5 9 4

2 24 . : 4

5 9

18 2 4 1. : 4 : 4

5 9 5 5

6. Como diria o poeta:

Se a soma dos divisores de um número (excetuando ele próprio) for igual a outro número e vice-versa, diz-se que eles são números amigos. A soma dos divisores de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, e 110) é igual a 284. Os divisores de 284 (1, 2, 4, 71 e 142) quando somados, resultam 220.

Os pitagóricos descobriram números que eram amigos de si mesmo, como 6 (igual a soma de seus

divisores próprios 1, 2 e 3) e 28 (cujos divisores próprios são 1, 2, 4, 7 e 14). E Euclides descobriu que

os quatro primeiros números perfeitos são gerados pela fórmula: 2n−1(2n − 1), onde 2n – 1 é um número

primo. Assim, o 4º número perfeito obtido é:

a) 496

b) 8.128

c) 33.550.336

d) 8.589.869.056

e) 137.438.691.328

Resolução 7 1 7 62 (2 1) 2 .127 64.127 8128

7. Em 2010, um pai tinha 32 anos de idade e seu filho, 14 anos. Em que ano aconteceu ou acontecerá de a

idade do pai ser o triplo da idade do filho?

a) 2000

b) 2005

c) 2015

d) 2020

e) 2025

5

Resolução

32 + x = 3(14 + x)

32 + x = 42 + 3x

2x = 10

x = 5

8. Um grupo de estudantes almoçou em um restaurante. A despesa total foi de R$ 181,50 já acrescida de 10%

da taxa de serviço. Qual o valor da despesa sem incluir a taxa de serviço?

a) R$ 163,35

b) R$ 165,00

c) R$ 167,35

d) R$ 168,75

e) R$ 179,68

Resolução

1,10x = 181,50

x = 181,50 : 1,10

x = 165

9. Uma loja de eletrodomésticos paga aos seus vendedores um salário fixo de R$ 500,00 mais uma comissão

de 2,5% sobre os valores das vendas do funcionário. Dessa forma, o salário de um vendedor dessa loja em

função do total em reais vendido no mês é:

a) 1

S x 500400

b) 1

S x 50040

c) 1

S x 50040

d) 1

S x 5004

e) 1

S x 500400

Resolução

S = 2,5% + 500

2,5

S x 500100

1

S x 50040

6

10. Augusto e Felipe estão disputando um jogo chamado “Trinta e Um”, cujo tabuleiro está representado

abaixo.

Nesse jogo, os jogadores alternadamente marcam um número ainda não marcado e, imediatamente,

falam, em voz audível ao adversário, o resultado da soma parcial de todos os números marcados ao

completar a jogada. Vence o jogador que obter total 31.

Veja abaixo uma partida iniciada por eles.

- Augusto (1ª jogada): 1

- Felipe (1ª jogada): 4

- Augusto: 9

- Felipe: 15

- Augusto: 21

Qual número deve ser marcado por Felipe na 3ª jogada para que ele ganhe a partida em sua 4ª jogada

independente do número que Augusto marcar em sua 4ª jogada?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

7

11. No esquema a seguir cada bloco deve receber um número. Nas camadas acima da base, o número

colocado em cada bloco retangular é a soma dos números dos blocos nos quais ele se apoia e que estão

imediatamente abaixo dele.

Os valores que devem aparecer nos blocos A, B e C são respectivamente:

a) 7, 11 e 39

b) 8, 26 e 39

c) 7, 11 e 46

d) 8, 11 e 26

e) 9, 11 e 39

Resolução

12. As extremidades de um fio de antena totalmente esticado estão presas no topo de um prédio e topo de

um poste, sabendo que o prédio é 12 metros mais alto que o poste e que a distância entre eles é 9 metros,

podemos afirmar que o comprimento do fio em metros é:

a) 15 m

b) 20 m

c) 25 m

d) 30 m

e) 35 m

Resolução

x

x

x

x

2 2 2

2

2

9 12

81 144

225

15

8

13. Dois sólidos geométricos são denominados equivalentes quando seus volumes são iguais. O bloco

retangular e o cubo a seguir são equivalentes, então a aresta do cubo mede:

a) 4,6 cm

b) 4 cm

c) entre 4 e 4,5 cm

d) 64

e) 3 14

Resolução

VB = 2.4.8 = 64 cm3

VC = x3 = 64

x = 4 cm

14. O máximo divisor de dois números é igual a 10 e o mínimo múltiplo comum deles é igual a 210. Se um

deles é igual a 70, qual é o outro?

a) 20

b) 25

c) 30

d) 35

e) 40

Resolução

70x = mmc(70, x) . mdc(70, x) = 10 . 210

70x = 2100

x = 30

9

15. A igualdade 2 2 2 2 2 2(a b ).(c d ) (ac bd) .(ad bc) indica que:

a) o produto de dois quadrados perfeitos por dois quadrados perfeitos é igual ao produto de dois

quadrados perfeitos.

b) o produto da soma de dois quadrados perfeitos pela soma de dois quadrados perfeitos é igual ao

produto de dois quadrados perfeitos.

c) a soma de dois quadrados perfeitos multiplicada pela soma de dois quadrados perfeitos é igual a soma

de dois produtos.

d) o produto de dois quadrados perfeitos multiplicado pela soma de dois quadrados perfeitos é igual a

soma de dois produtos.

e) o produto de dois quadrados perfeitos é igual ao produto de dois quadrados perfeitos.

16. Operações - Nível de dificuldade: 2 – Sérgio

Seis pessoas fizeram uma roda e cada uma, em voz baixa, falou seu número favorito para seus dois

vizinhos. Em seguida, cada criança disse em voz alta a soma dos dois números que ouviu; a figura mostra o

que Afonso, Camila e Eduardo disseram em voz alta.

O número favorito de Fátima é:

a) 2

b) 3

c) 5

d) 6

e) 7

Resolução

F B 16 (1)

B D 12 (2)

F D 8 (3)

(1) (3) (1) 2F B D (B D) 16 8 12

2F 12 F 6

10

17. Duas equipes A e B estão trabalhando no desenvolvimento de um projeto para uma empresa. A equipe A

possui x pessoas que trabalham em média 8 horas por dia. A equipe B tem y pessoas que trabalham em

média 12 horas por dia. Em certa etapa do projeto as duas equipes se uniram e passaram a trabalhar em

média 11 horas por dia mantendo a mesma produção diária. Sabendo que a equipe A possui 6 pessoas a

menos do que a equipe B, o número total de pessoas que trabalham juntas após a união das equipes é:

a) 9

b) 6

c) 15

d) 12

e) 18

Resolução

Equipe Pessoas Horas por dia

A x = y – 6 8

B y 12

8(y – 6) + 12y = 11.[(y – 6) + y]

8y – 48 + 12y = 22y – 66

2y = 18

y = 9 x = 3

x + y = 12

18. Ricardo construiu 60 cubos cujas dimensões estão indicadas na figura abaixo.

Em seguida, construiu uma pilha em forma de bloco retangular e pintou de cinza as faces laterais e superior

dessa pilha (menos a face que toca a superfície da mesa).

Por último, desmontou a pilha e calculou a área da superfície pintada de cinza e dividiu pela área da

superfície não pintada e obteve um valor equivalente a:

11

a) 1

2

b) 1

4

c) 1

6

d) 47

300

e) 41

139

Resolução

Total de faces: 3.4.5.6 = 36082 41

Faces pintadas de cinza: 2.3.5 + 2.4.5 + 3.4 = 82278 139

Faces não pintadas: 360 - 82 = 278

19. Em um salão há 100 pessoas, das quais 99% são homens. Quantos homens devem sair desse salão para que

a quantidade de homens seja 98% do total de pessoas?

a) 2 homens

b) 10 homens

c) 12 homens

d) 25 homens

e) 50 homens

Resolução

99 x98%

(99 x) 1

99 x 98

100 x 100

9900 100x 9800 98x

2x 100

x 50

20. Na figura a seguir, vemos uma piscina de 100 dm de comprimento por 600 cm de largura. Existe uma parte

rasa, com 120 cm de profundidade, uma descida e uma parte funda, com 2 m de profundidade.

Qual o volume total da piscina?

a) 93,6 l

b) 936 l

c) 93 600 l

12

d) 936 000 l

e) 9 360 l

Resolução

V = 40dm.12dm.60dm + 60dm.20dm.60dm – 30dm.8dm.60dm:2

V = 28.800l + 72.000l – 7.200l

V = 93.600l

21. O par ordenado (0; k2 + k 2), com k pertencente aos reais, representa a origem do sistema cartesiano se,

e somente se:

a) K = 0

b) K = 2 e k = 1

c) K = 2 ou k = 1

d) K = 1

e) K = 2

Resolução

k2 + k 2 = 0

k1 = 2 ou k2 = 1

22. Os números naturais da sequência x1, x2, x3, x4, ..., xn seguem uma ordem lógica crescente. Sabendo que a

soma e o produto dos três primeiros termos dessa sequência valem, respectivamente, 12 e 42, e que a

soma e o produto dos segundo, terceiro e quarto termos valem 18 e 168, respectivamente, o terceiro

termo dessa sequência é igual a:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

Resolução

1 2 3

1 2 3

2 3 4

2 3 4

x x x 12 (1)

x .x .x 42 (2)

(3)x x x 18

(4)x .x .x 168

1

2

3 2

4 12 21 2 3

424 2 3

1 2 2

2

x 10 xx x 6 x (10 x ) 21(3) (1) x 2 x x 10

xx 34 x 8(4):(2) x .x 21

x x 10x 21 0x 7

Como a sequência é crescente, então, x1, x2, x3, x4 = 2, 3, 7, 8.

13

23. Uma urna contém 2 bolas brancas, 1 bola preta e 3 bolas cinzas, acrescenta-se 1 bola que pode ser branca

preta ou cinza. Em seguida retira-se dessa urna, sem reposição, um total de 5 bolas. Sabe-se que apenas 2

bolas retiradas eram brancas e que não restaram bolas pretas na urna após a retirada. Em relação as bolas

que restaram na urna, é correto afirmar que:

a) ao menos uma é branca

b) necessariamente uma é branca

c) ao menos uma é cinza

d) exatamente uma é cinza

e) todas são cinzas

Resolução

Na urna há B e B, P, C, C e C e X

Após a retirada de três C, C, C e X. Como serão retiradas mais duas bolas, elas podem ser C e X ou C e C.

Asso, é certeza que sobra uma bola cinza na urna.

24. A figura abaixo mostra um retângulo, um pentágono, um triângulo e um círculo, com áreas

respectivamente 144, 121, 81 e 36 centímetros quadrados. A diferença entre a área preta e a área cinza,

em centímetros quadrados, é:

a) 0 cm2

b) 22 cm2

c) 68 cm2

d) 148 cm2

e) 382 cm2

Resolução

Sendo x, y e z as áreas das partes brancas, a área pedida é:

(144 – x) + (81– y – z) – (121– x – y) – (36– z) = 144 + 81 – 121 – 36= 68 cm2

14

25. Se n 0, então a expressão n3n 2 3n 4

20

2 2 é equivalente à:

a) 1

2

b) 1

8

c) 2

d) 4

e) m2

Resolução

n nnn n n n.( )

3 2 3 4 3 2 4 3

20 20 1 1

2 2 2 2 2 2 8

26. O arco AQB tem centro em O e o arco ARB tem centro em P.

Podemos afirmar que a área da região sombreada é de:

a) 21 cm

b) 22 cm

c) 22 cm

d) 21,5 cm

e) 22 cm

Resolução

2

2H

2.2 1 2 2 1A 2

2 2 2 4

H

H

A 2

A 2

15

27. (CANCELADA) Um ciclista fez uma viagem de 630 km em x dias. Se tivesse viajado 10 km a mais por dia

teria levado x – 4 dias em toda a viagem. Quantos quilômetros o ciclista percorreu por dia?

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

28. Um homem está preso em uma sala na qual há duas portas: uma conduz à liberdade, a outra, à

condenação. Há também, dois guardas gêmeos nessa sala, sendo que um deles só fala a verdade, enquanto

que o outro só fala mentira. O homem preso não sabe qual fala a verdade e qual é o mentiroso e poderá

fazer uma única pergunta, a um dos guardas, para tentar sair pela porta certa. Que pergunta ele deverá

fazer?

a) Que porta deverei escolher?

b) O senhor fala a verdade?

c) Se eu perguntar ao outro guarda sobre que porta deverei escolher, qual ele me indicará?

d) O senhor é mentiroso?

e) Essa porta me leva à liberdade?

Resolução

Se ele fizer a pergunta ao mentiroso, esse indicará a porta errada, daí a certa será a outra.

Se ele fizer a pergunta ao que fala a verdade, esse dirá que o mentiroso indicará a porta errada, daí a certa

será a outra.

29. (CANCELADA) Quantos são os valores inteiros k de tal forma que 2x 12x k 0 tenha somente raízes

inteiras?

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

16

30. Cada uma das circunferências de centros A, B, C, D, E e F possuiu raio R e são tangentes à outras duas. O

triângulo GHI tem lados tangentes às circunferências de centro A, C e E. Se necessário use o 3tg 30

3 .

A expressão que representa a razão entre a área do triângulo ACE e GHI é:

a) 1

2

b) 1

3

c) 28 16 3

d) 3

e) 16 3

Resolução

2 22

ACE

4R 3 16R 3A 4 3R

4 4

o R 3 Rtg30 x 3R

x 3 x

GHI 4R 2 3R R 4 2 3

22

GHI

R 4 2 3 . 3A

4

2ACE

2 22

GHI

A 4 3R 16 16 16 428 16 3

A 16 16 3 12 28 16 3 7 4 3R 4 2 3 . 3 4 2 3

4