Provas Algebra Linear, Gabaritos

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  • 1. Dr. Ole Peter SmithInstituto de Matemtica e Estatstica Universidade Federal de [email protected] - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeterData:15/04/2009Semestre:Curso: Engenharia de ComputaoDisciplina:lgebra LinearProva: I1. 4 pts. Dado as matrizes: 0 1 011 201 [email protected] 011 [email protected] 020 A1 21003 (a) Encontrar: det A e det B. (b) Encontrar as matrizes adjuntas: A e B . (c) Encontrar os inversos: A1 e B 1 . (d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A1 ) e det (B 1 ). (e) Encontrar os produtos: A B e B A. (f) Mostre que em geral vale por matrizes do mesmo ordem: (A B)1 = B 1 A1 . (g) Encontrar o inverso do produto: (A B)1 . (h) Encontrar o inverso do produto: (B A)1 . Solution: (a) 1 2 0 1 2 0 det A = 0 1 1 = 0 1 1 =111=1 1 2 1 00 1 1 0 0 det B = 02 0 = (1) 2 3 = 6 00 3 (b) Para A: 11 0 1 0 1 D11 = 2 1 = 3 1 1 = 1D12 = 1 2 = 1D13 = 2 0 1 0 1 2 D21 = 2 1 = 2 D22 = 1 1 =1D23 = 1 2 = 0 2 0 1 0 1 2 D31 = = 2 D32 = =1D33 = =11 1 0 1 01 Assim:A11 = 3A12 = 1 A13 = 1 A21 = 2 A22 = 1 A23 = 0A31 = 2 A32 = 1 A33 = 1 Ou seja:0 1 32 2A = (Aji ) = @ 1 1 1 A101 Por B ser diagonal: Dij = Aij = 0, i = j 1 Quem entende srio somente por srio E brincadeira somente por brincadeiraDe fato desentendeu ambos... Piet Hein

2. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemtica e EstatsticaUniversidade Federal de Gois [email protected] - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter 2 0 1 0 10 D11 = A11= =6 D22 = A22= = 3 D33 = A33= = 2 0 3 03 0 2 Ou seja: 0 1 600B [email protected] 0 3 0 A 002 (c) Encontrar os inversos: A1 e B 1 .0 1 3221 1 A = A [email protected] 1 11 A det A10 1 E: 0 110 01 1 1B= B [email protected] 0 20 A det B10 0 3 (d)1 det (A1 ) = =1det A 11det (B 1 ) == det B6 (e) 010 1 01 1 2 0 100 140 AB [email protected] 01 1 [email protected] 20 [email protected] 02 3 A 1 2 1 0 03143 010 1 01 1 0 0 1201 20 [email protected] 020 [email protected] 11 [email protected] 02 2 A003 121 363 (f) Por o inverso ser nico e o produto de matrizes ser associativo:(B 1 A1 )(A B) = B 1 (A1 A)B = B 1 I B = B 1 B = I E:(A B) (B 1 A1 ) = A(B B 1 )A1 = A I A1 = A A1 = I QED (g)0 10 1 011 00 3 2 2 322111 1(A B)=BA [email protected] 020 [email protected] 11 1 A = @ 12 1 221 A1003 1 01 13 0 1 3 (h) Encontrar o inverso do produto: (B A)1 .2010 1 013 2 2 1 0 0 3 1 311 1 11 1 A(B A)[email protected] 11 1 A @ 020 A = @ 1 231 1 1 010 0 3 1 032. 4 pts. Dado a sistema linear:89< x1+ 2x2 + 3x3+4x4 +5x5 = 1 =() : 2x1 + 3x2 + 4x3+5x4 x5 = 23x1 + 4x2 + 5x3+6x4 3x5 = 3:;2Quem entende srio somente por srio E brincadeira somente por brincadeiraDe fato desentendeu ambos... Piet Hein 3. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemtica e EstatsticaUniversidade Federal de Gois [email protected] - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter (a) Encontrar a soluo completa do sistema homogneo do ().(b) Encontrar a soluo completa do sistema no homogneo. (c) Encontrar a soluo completa do sistema:8 9< x1 + 2x2 + 3x3+ 4x4 + 5x5 = 2 = () :2x1 + 3x2 + 4x3+ 5x4 x5 = 3 3x1 + 4x2 + 5x3+ 6x4 3x5 = 4: ; Solution: Resolvemos tudo de uma vez:0 11 23 45 | 1 [email protected] 2 34 5 1 | 2 3 A3 45 6 3 | 3 4 01 1 23 45| 1 2 @ 012 3 11 | 0 1 A 024 6 18 | 0 20 1 1 0 1 2 17 |1 0 @ 0 1 2 3 11|0 1 A 0 0 0 0 4 | 0 0 01 1 0 1 2 0 |1 0 @ 0 1 2 3 0 |0 1 A 0 0 0 0 1 |0 0 Pondo x3 = t e x4 = s obtemos a soluo completa do sistema homogneo:(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T = (t + 2s, 2t 3s, t, s, 0)T , (t, s) R2 E por ():(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T = (1 + t + 2s, 2t 3s, t, s, 0)T , (t, s) R2 E por (): (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T = (t + 2s, 1 2t 3s, t, s, 0)T , (t, s) R2 Comentrio: Vericar: (i) Verique que a soluo da eq. homognea satisfaz as eqs. (ii) Verique que as solues particulares satisfaz () resp. ().3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matrizes:0 1 1 2 34 B 4 3 21 C A=BC , (a, b) R2 @ a 2 34 A 4 3 2b 010a 0 0B a0 a 0 [email protected] C, a R0a 0 a A00 a 0 (a) Encontrar para quaisquer valores de a e b o determinante do A.(b) Encontrar para quaisquer valores de a e b o posto do A. (c) Encontrar para qualquer valor de a o determinante do B. 3 Quem entende srio somente por srio E brincadeira somente por brincadeiraDe fato desentendeu ambos... Piet Hein 4. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemtica e EstatsticaUniversidade Federal de Gois [email protected] - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter (d) Para quais valores de a o matriz B tem inverso? Para estes valores, encontrar o inverso.Solution: (a) 1 2 3 4 1 2 34 4 3 2 1 4 3 21 det A = = a1 0 0 = a 2 3 4 0 4 3 2 b 0 0 0 b1 3+14+4 2 3 (1) (1) (a 1)(b 1) 3 = (a 1)(b 1)(4 9) = 5(a 1)(b 1)2 (b) Como no item anterior: 0 1 0 11 2 3 412 34B 4 3 2 1 C B 4 3 21 CB CB [email protected] a 2 3 4 A @ a1 0 00 A4 3 2 b00 0 b1 Donde segue: 8 > 4, >a=1b=1 3, a=1b=1 3, >a=1b=1 2,a=b=1 : (c) 0 a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 a 0 a 0 4 1 0 1 0 4 1 0 0 0 40 1 0 0 4 0 1 0 0 = a4 det B = =a=a =a=a 0 a 0 a 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (d) O inverso existe se e somente se o determinante no for zero:a4 = 0 a = 0. Por a = 0 obtemos:0 1 0 10 a 0 0 | 1 0 0 0 0 a 0 0 |1 0 00B a 0 a 0 | 0 1 0 0 C B a 0 0 0 |0 1 0 1 [email protected] 0 a 0 a | 0 0 1 0 [email protected] 0B C B C0 0 a | 1 0 10 A0 0 a 0 | 0 0 0 1 0 0 a 0 |0 0 01 1 101 0 1a0 0 0 | 01 0 1 10 0 0 |0 a 0 a 1B 0Ba 0 0 | 10 00 C B 0 CB1 0 0 |a 0 00 [email protected] 00 a 0 | 00 01 A @ 00 1 0 | 00 0a A 1 100 0 a |10 10 00 0 1 |a0 a0 Assim:1 10 1 0a0 a 10 00 CB 1 = B B aC 1 @ 00 0aA1 1a0 a 04Quem entende srio somente por srio E brincadeira somente por brincadeiraDe fato desentendeu ambos... Piet Hein 5. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemtica e EstatsticaUniversidade Federal de Gois [email protected] - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data:05/05/2009 Semestre: Curso: Engenharia Civil Disciplina:lgebra Linear Prova: I1. 4 pts. Dado as matrizes:01 0 1 1 2 01 0 0 [email protected] 01 1 [email protected] 02 0 A 1 2 100 3 Sabendo que:1det (A1 ) = det A1 =det A e: (A B)1 = B 1 A1 responde o seguinte:(a) Encontrar: det A e det B.(b) Encontrar as matrizes adjuntas: A e B .(c) Encontrar os inversos: A1 e B 1 .(d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A1 ) e det (B 1 ).(e) Encontrar os produtos: A B e B A.(f) Encontrar o inverso do produto: (A B)1 . Solution: 4 pts. Dado as matrizes:01 0 1 1 2 01 0 0 [email protected] 01 1 [email protected] 02 0 A 1 2 100 3 Sabendo que:1det (A1 ) = det A1 =det A e: (A B)1 = B 1 A1 responde o seguinte:(a) Encontrar: det A e det B. 1 2 0 1 2 0 det A = 0 1 1 = 0 1 1 =111=1 1 2 1 00 1 1 0 0 det B = 0 2 0 = (1) 2 3 = 6 00 3 5 I really do like Your Christ But I do dislike Your Christians Why cant Your Christians be more like Your Christ? - Mahatma Gandhi 6. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemtica e EstatsticaUniversidade Federal de Gois [email protected] - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter(b) Encontrar as matrizes adjuntas: A e B .Para A: 11 01 01 D11 = =3D12 = = 1 D13 = = 12 1 11 1 2 2 0 1 0 1 2 D21 = 2 1 = 2 D22 = =1 D23 = 1 2 = 0 1 1 2 0 1 0 1 2 D31 = = 2 D32 = =1 D33 = =1 11 0 1 01 Assim:A11 = 3A12 = 1 A13 = 1 A21 = 2 A22 = 1 A23 = 0A31 = 2 A32 = 1 A33 = 1Ou seja:0 1 3 2 2A = (Aji ) = @ 11 1 A1 01Por B ser diagonal: Dij = Aij = 0, i = j 20 1 0 1 0 D11 = A11 = =6 D22 = A22 = = 3 D33 = A33 = = 2 03 03 02 Ou seja: 0 1 6 00 B [email protected] 03 0 A 0 02(c) Encontrar os inversos: A1 e B 1 .01 3 22 11A= A [email protected] 111 A det A1 0 1E:011 0 0 1B 1 = B = @ 01 2 0 A det B 100 3(d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A1 ) e det (B 1 ). 1det (A1 ) = =1 det A11 det (B 1 ) ==det B6(e) Encontrar os produtos: A B e B A.0 101 0 11 20 1 00 14 0AB [email protected] 011 [email protected] [email protected] 023 A1 21 00314 30 101 0 11 00 1 201 2 [email protected] 02 0 [email protected] [email protected] 022 A 00 3 1 21 36 3 6 I really do like Your ChristBut I do dislike Your ChristiansWhy cant Your Christians be more like Your Christ? - Mahatma Gandhi 7. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemtica e EstatsticaUniversidade Federal de Gois [email protected] - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter (f) Encontrar o inverso do produto: (A B)1 . 010 1 0 110 0 3 2 2 3 22 1 111(A B) =B A [email protected] 0 20 [email protected] 11 1 A = @ 1212 21 A10 0 3 1 01 1301 32. 4 pts. Dado a sistema linear: 89 < x1+ 2x2 +3x3 + 4x4 + 5x5 = 1 = () : 2x1 + 3x2 +4x3 + 5x4 x5 = 2 3x1 + 4x2 +5x3 + 6x4 3x5 = 3 :; (a) Encontrar a soluo completa do sistema homogneo do (). (b) Encontrar a soluo completa do sistema no homogneo. (c) Encontrar a soluo completa do sistema:89< x1 + 2x2+ 3x3 + 4x4 + 5x5= 2 = () :2x1 + 3x2+ 4x3 + 5x4 x5= 3 3x1 + 4x2+ 5x3 + 6x4 3x5= 4:; Solution: 4 pts. Dado a sistema linear: 89 < x1+ 2x2 +3x3 + 4x4 + 5x5 = 1 = () : 2x1 + 3x2 +4x3 + 5x4 x5 = 2 3x1 + 4x2 +5x3 + 6x4 3x5 = 3 :; (a) Encontrar a soluo completa do sistema homogneo do (). (b) Encontrar a soluo completa do sistema no homogneo. (c) Encontrar a soluo completa do sistema:89< x1 + 2x2+ 3x3 + 4x4 + 5x5= 2 = () :2x1 + 3x2+ 4x3 + 5x4 x5= 3 3x1 + 4x2+ 5x3 + 6x4 3x5= 4:; Resolvemos tudo de uma vez: 0 10 1 1 234 5 1 212 345 1 2 @ 2 345 1 2 3A @ 0 1 2 3 11 0 1A 3 456 3 340 2 4 6 18 0 20 1 0 1 10 1 2 17 1 01 0 1 2 0 1 0 @ 012 3 11 0 1 [email protected] 0 1 2 30 0 1 A 000 04 0 00 00 01 0 07 I really do like Your Christ But I do dislike Your Christians Why cant Your Christians be more like Your Christ? - Mahatma Gandhi 8. Dr. Ole Peter SmithInstituto de Matemtica e Estatstica Universidade Federal de Gois [email protected] - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Pondo x3 = t e x4 = s obtemos a soluo completa do sistema homogneo: 010 10 1 01 x11 2t + 2s B x2 CB2 CB 3C B2t 3sC C , (t, s) R2 BCB CB C BC B B x3 C = tBCB 1 C + sB CB0C=BC Bt C @ x4 [email protected] 0 [email protected] @s A x50 0 0 E por ():010 10 101 01x11 12 1 + t + 2sB x2 C B0 CB 2CB 3 C B 2t 3s CC , (t, s) R2BC BCB CBC BCBB x3 C=B C B0 C + tBCB1C + sB CB0 C=B C Bt [email protected] x4 A @0 [email protected]@1 A @s Ax50 00 0 E por ():01 0 101 01 01x1 0 12t + 2sB x2 C B 1 CB 2 C B 3 C B 1 2t 3sC C , (t, s) R2BC B CBC BC BCB x3 C = B 0 C + tB 1 C + sB 0 C = BtBC B CBC BC [email protected] x4 A @ 0 [email protected] 0 [email protected] 1 A @sAx5 0 00 0 Comentrio: Controle: (i) Verique que a soluo da eqao homognea satisfaz as eqes. (ii) Verique que as solues particulares satisfaz () resp. ().3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matri