Provas Algebra Linear

Dr. Ole Peter SmithInstituto de Matemática e Estatística

Universidade Federal de Goiá[email protected] - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter

Data: 15/04/2009Semestre:Curso: Engenharia de ComputaçãoDisciplina: Álgebra LinearProva: I

1. 4 pts. Dado as matrizes:

A =

0@ 1 −2 00 1 11 −2 1

1A B =

0@ −1 0 00 2 00 0 3

1A(a) Encontrar: detA e detB.

(b) Encontrar as matrizes adjuntas: A∗ e B∗.

(c) Encontrar os inversos: A−1 e B−1.

(d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A−1) e det (B−1).

(e) Encontrar os produtos: A B e B A.

(f) Mostre que em geral vale por matrizes do mesmo ordem: (A B)−1 = B−1A−1.

(g) Encontrar o inverso do produto: (A B)−1.

(h) Encontrar o inverso do produto: (B A)−1.

2. 4 pts. Dado a sistema linear:

(∗) :

8<:x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 12x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 − x5 = 23x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 − 3x5 = 3

9=;(a) Encontrar a solução completa do sistema homogêneo do (∗).

(b) Encontrar a solução completa do sistema não homogêneo.

(c) Encontrar a solução completa do sistema:

(∗∗) :


9=;3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matrizes:

A =

0BB@1 2 3 44 3 2 1a 2 3 44 3 2 b

1CCA , (a, b) ∈ R2

B =

0BB@0 a 0 0a 0 a 00 a 0 a0 0 a 0

1CCA , a ∈ R

(a) Encontrar para quaisquer valores de a e b o determinante do A.

(b) Encontrar para quaisquer valores de a e b o posto do A.

(c) Encontrar para qualquer valor de a o determinante do B.

(d) Para quais valores de a o matriz B tem inverso? Para estes valores, encontrar o inverso.

1 µατεµατικαMade in LATEX



Data: 05/05/2009Semestre:Curso: Engenharia CivilDisciplina: Álgebra LinearProva: I


A =

0@ 1 −2 00 1 11 −2 1

1A B =

0@ −1 0 00 2 00 0 3

1ASabendo que:

det (A−1) = detA−1 =1

detA

e:

(A B)−1 = B−1A−1

responde o seguinte:

(a) Encontrar: detA e detB.(b) Encontrar as matrizes adjuntas: A∗ e B∗.

(c) Encontrar os inversos: A−1 e B−1.

(d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A−1) e det (B−1).(e) Encontrar os produtos: A B e B A.

(f) Encontrar o inverso do produto: (A B)−1.

2. 4 pts. Dado a sistema linear:

(∗) :


9=;(a) Encontrar a solução completa do sistema homogêneo do (∗).(b) Encontrar a solução completa do sistema não homogêneo.(c) Encontrar a solução completa do sistema:

(∗∗) :


9=;3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matrizes:

A =

0BB@1 2 3 44 3 2 1a 2 3 44 3 2 b

1CCA , (a, b) ∈ R2

B =

0BB@0 a 0 0a 0 a 00 a 0 a0 0 a 0

1CCA , a ∈ R

(a) Encontrar para quaisquer valores de a e b o determinante do A.(b) Encontrar para quaisquer valores de a e b o posto do A.(c) Encontrar para qualquer valor de a o determinante do B.(d) Para quais valores de a o matriz B tem inverso? Para estes valores, encontrar o inverso.




Data: 27/05/2009Semestre:Curso: Engenharia de ComputaçãoDisciplina: Álgebra LinearProva: II

1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1, e2, e3, e4, e5), em R5:

v1 = (1, 1, 1, 1, 1)T v2 = (1,−1, 1,−1, 1)T v3 = (3,−1, 3,−1, 3)T v4 = (0, 1, 0, 1, 0)T

(a) Mostre que: V = ger(v1,v2) = ger(v3,v4). Qual a dimensão do V ?

(b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4.

(c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2.

2. 6 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1, e2, e3, e4), em R4:

v1 = (1, 1, 1, 1)T v2 = (1,−1, 1,−1)T v3 = (1, 1,−1,−1)T v4 = (1,−1,−1, 1)T

(a) Mostre que os vi’s são mutualmente ortogonais, isto é: vi · vj = 0 por i 6= j.

(b) Encontrar um base ortonormal de R4, (d1,d2,d3,d4), tal que: di = civi.

(c) Encontrar uma relação matricial entre os coordenados em relação aos ei’s (antigos), xA, e os coordenados emrelação aos di’s (novos), xN :

xA = D xN

(d) Encontrar uma relação matricial entre os coordenados novos, xN , e os coordenados antigos, xA:

xN = D′ xA

(e) Justificar que vale: D′ = D−1 = DT = D.

(f) Encontrar os coordenados dos vetores:

w1 = (−1, 1,−1, 1)T w2 = (1, 2, 3, 4)T

em relação ao base novo, (d1,d2,d3,d4).

3. 2 pts. (Cabeludo?) Ortogonalização de Graham-SchmidtDado os vetores em R3:

v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1,−1, 1)T v3 = (1, 1,−1)T

(a) Mostre que v1,v2,v3 não são mutualmente ortogonais.

(b) Mostre que v1,v2,v3 são linearmente independentes.

(c) Escolhendo: d1 = v1 e d2 = v2 + αd1, mostre que por:

α = −d1 · v2

d1 · d1

obtemos um vetor, d2 ⊥ d1. Encontrar d2.

(d) Escolhendo: d3 = v3 + βd1 + γd2, mostre que por:

β = −d1 · v3

d1 · d1

γ = −d2 · v3

d2 · d2

obtemos um vetor, d3 ⊥ d1 e d3 ⊥ d2. Encontrar d3.




Data: 05/06/2009Semestre:Curso: Engenharia de ComputaçãoDisciplina: Álgebra LinearProva: II - 2a chamada


v1 = (1, 2, 2, 2, 1)T v2 = (1, 0, 0, 0, 1)T v3 = (2, 2, 2, 2, 2)T v4 = (0, 1, 1, 1, 0)T




2. 3 pts. Qual a dimensão dos conjuntos gerados de:

(a) f1(x) = x(1− x), f2(x) = x(1 + x), f3(x) = x(1− x2) e f4(x) = x(3− x2).

(b) v1 = (1,−1,−1,−1)T , v2 = (1, 1,−1,−1)T , v3 = (1, 1, 1,−1)T , v4 = (1, 1, 1, 1)T , v5 = (0, 0, 1, 1)T .

(c) A1

=

„1 32 2

«, A

2=

„−2 1

3 −4

«, A

3=

„5 31 2

«, A

4=

„1 11 0

«.

3. 3 pts. Dado os vetores em R3:

v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T

(a) Mostre que (v1,v2,v3) formam uma base em R3.

(b) Encontrar uma relação matricial expressando os coordenados em relação ao base (v1,v2,v3), em termos doscoordenados em relação ao base canônica, (i, j,k).

(c) Encontrar os coordenados em relação ao base (v1,v2,v3) dos vetores: w1 = (1, 2, 3)T e w2 = (3, 2, 1)T

4. 2 pts. Considere os vetores do exercísio anterior:

v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T

(a) Definindo: d1 = v1 e d2 = d1 × v2. Encontrar d1 e d2. Mostrar que d1 e d2 são ortogonais.

(b) Definindo: d3 = d1 × d2. Encontrar d3. Mostrar que d1 é ortogonal em d1e d2.

(c) Encontrar uma base ortonormal de R3, cuja os eixos são paralelos com os vetores d1, d2 e d3. Encontrar o matrizdeste substituição ortonormal, M. Demostrar que M−1 = MT e encontrar seu determinante.

(d) Encontrar neste base os coordenados dos vetores: w1 = (0, 1, 1)T e w2(0, 0, 1)T .




Data: 17/06/2009Semestre:Curso: Engenharia CivilDisciplina: Álgebra LinearProva: II


v1 = (1, 2, 2, 2, 1)T v2 = (1, 0, 0, 0, 1)T v3 = (2, 2, 2, 2, 2)T v4 = (0, 1, 1, 1, 0)T




2. 3 pts. Qual a dimensão dos conjuntos gerados de:

(a) f1(x) = x(1− x), f2(x) = x(1 + x), f3(x) = x(1− x2) e f4(x) = x(3− x2).

(b) v1 = (1,−1,−1,−1)T , v2 = (1, 1,−1,−1)T , v3 = (1, 1, 1,−1)T , v4 = (1, 1, 1, 1)T , v5 = (0, 0, 1, 1)T .

(c) A1

=

„1 32 2

«, A

2=

„−2 1

3 −4

«, A

3=

„5 31 2

«, A

4=

„1 11 0

«.

3. 3 pts. Dado os vetores em R3:

v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T

(a) Mostre que (v1,v2,v3) formam uma base em R3.

(b) Encontrar uma relação matricial expressando os coordenados em relação ao base (v1,v2,v3), em termos doscoordenados em relação ao base canônica, (i, j,k).

(c) Encontrar os coordenados em relação ao base (v1,v2,v3) dos vetores: w1 = (1, 2, 3)T e w2 = (3, 2, 1)T

4. 2 pts. Considere os vetores do exercísio anterior:

v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T

(a) Definindo: d1 = v1 e d2 = d1 × v2. Encontrar d1 e d2. Mostrar que d1 e d2 são ortogonais.

(b) Definindo: d3 = d1 × d2. Encontrar d3. Mostrar que d3 é ortogonal em d1e d2.

(c) Encontrar uma base ortonormal de R3, cuja os eixos são paralelos com os vetores d1, d2 e d3. Encontrar o matrizdeste substituição ortonormal, M. Demostrar que M−1 = MT e encontrar seu determinante.

(d) Encontrar neste base os coordenados dos vetores: w1 = (0, 1, 1)T e w2(0, 0, 1)T .




Data: 03/07/2009Semestre:Curso: Engenharia CivilDisciplina: Álgebra LinearProva: III - Chamada Extra

1. (465) 4 pts. Dado o matriz, A, de uma aplicação linear, f : R4 → R4:

A =

0BB@1 0 0 −32 3 0 3−2 −1 2 −3

0 0 0 4

1CCA(a) Mostre que o núcleo (kernel), kerf = {x ∈ R4|A x = 0}, tem dimensão 0.

(b) Encontrar autovalores e autovetores de f .

(c) Mostre que é possível escolher um base de autovetores de f .

(d) Encontre o matriz, B, de f ao respeito desde base. Qual a relação entre A e B?

2. (341, c) 4 pts. Dado a forma quadrática:

(∗) x2 + y2 − z2 + 2xy

(a) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que reduz (∗) em uma forma sem termos mistos: λ1x21 + λ2y

21 + λ3xz

21

- onde λ1 ≥ λ2 ≥ λ3.

(b) Classificar geométricalmente: x2 + y2 − z2 + 2xy − 2x− 4y − 1 = 0.

3. (471) 2 pts. (Projeção ortogonal.) Uma aplicação linear, f , é dado por:

f(x) = (x · e)e− x

onde e é um vetor de unidade dado (fixo).

(a) Fazer uma figura indicando os vetores e,x e f(x).

(b) Mostre que a imagem do f é perpendicular em e.

(c) Seja i e j dois vetores unitários e ortogonais. Pondo: e =√

22

i +√

22

j. Encontrar o matriz, A, de f em relação aobase (i, j).




Data: 08/07/2009Semestre:Curso: Engenharia Civil e ComputaçãoDisciplina: Álgebra LinearProva: III

1. (410) 4 pts. Em R4 são dado os vetores:

d1 = (1, 2, 2, 0)T d2 = (0, 1, 1, 1)T d3 = (0, 0, 1, 1)T d4 = (1, 1, 1, 1)T

(a) Mostre que d1,d2,d3,d4 formam uma base em R4.

(b) Uma aplicação linear, f : R4 → R3 é dado por:

f(d1) = (1, 1, 2)T f(d2) = (3,−1, 1)T f(d3) = (4, 0, 3)T f(d4) = (−5, 3, 0)T

Encontrar a matriz do f em respeito ao base di em R4 e a base canônica em R3.

(c) Encontrar a matriz do f em respeito ao base canônica em R4 e R3.

(d) Encontrar a dimensão do imagem do f .

(e) Dados os vetores: v1 = d1 + d2 − d3 e v2 = −d1 + 2d2 + d4.Mostre que: kerf =

˘x ∈ R4| f(x) = 0

¯= ger(v1,v2).

(f) Encontrar a solução completa da equação: f(x) = f(d1).

2. (403) 4 pts. Dado a superfície:

(∗) 3x2 − 3y2 + 12xz + 12yz + 4x− 4y − 2z = 0

(a) Encontrar a parte linear do (∗), F1(x, y, z).

(b) Encontrar a parte quadrática do (∗), F2(x, y, z), e escreve-a na forma matricial: rT A r.

(c) Encontrar autovalores e autovetores da matriz A.

(d) Encontrar uma base ortonormal, di, de autovetores da A.

(e) Encontrar uma substituição ortogonal, D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = DT A D.

(f) Transformar, usando o item anterior, F2 em uma forma quadrática sem termos mistos.

(g) Encontrar F1(x, y, z) em termos dos coordenados novos.

(h) Classificar (∗) geometricalmente.

3. (442) 2 pts. Seja a e b vetores fixos em R3 que satisfaz:

|a| = |b| =√

2 a · b = 1

A aplicação, f , é dado por:f(x) = a× x + (a · x)b

(a) Mostrar que f é uma aplicação linear.No resto deste exercísio, pomos: c = a× b

(b) Mostre a,b, c formam uma base em R3. Mostre que o matrix ao respeito desde base é dado por:

A =

0@ 0 0 12 1 −20 1 0

1AInformamos, que para o produto vetorial duplo, vale:

a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c

(c) Encontrar autovalores e autovetores do f .

(d) Encontrar a dimensão da imagem e uma base da mesma.




Data: 06/10/2009Semestre: 2009.2Curso: *Disciplina: Álgebra LinearProva: I

1. (390) 4 pts. Dado o matriz:

A =

0@ 2− λ −1 −1−1 2− λ −1−1 −1 2− λ

1A , λ ∈ R

(a) Encontrar detA para qualquer valor de λ.

(b) Para quais valores de λA é singular?

(c) Para λ = 1 encontrar o matriz adjunto de A.

(d) Para λ = 2 encontrar o matriz inversa de A.

(e) Para λ = 0 resolver o sistema homogêneo (1) : A x = 0. Encontrar a dimensão e uma base desde espaçosolucional.

(f) Para λ = 3 resolver o sistema homogêneo (2) : Ax = 0. Encontrar a dimensão e uma base desde espaçosolucional.

(g) Mostre que qualquer vetor do espaço solucional de (1) é ortogonal em qualquer vetor do espaço solucional de (2).

2. (387) 2 pts. Dado os vetores:

a1 = (0, 1, 2, 2, 0)T a2 = (1, 1, 4, 0, 0)T a3 = (1, 2, 6, 2, 1)T a4 = (−1, 2, 2, 6,−1)T

(a) Mostrar que a1,a2,a3 são linearmente independentes.

(b) Escrever a4 como uma combinação linear de a1,a2,a3

3. (371) 4 pts. Dado o matriz e o vetor::

A =

0BB@1 0 −a 00 1 0 2−1 0 1 00 1 + a 0 1

1CCA , a ∈ R

0BB@0b0b

1CCA , b ∈ R

Considerando o sistema linear:

(∗) A x = b

(a) Encontrar detA para qualquer a ∈ R.

(b) Encontrar o posto do matriz A para qualquer a ∈ R.

(c) Encontrar o posto do matriz total do sistema (∗) para qualquer a, b ∈ R e no cada caso a dimensão do espaçosolucional.

(d) Resolver o sistema (∗) para quaisquer a, b ∈ R.




Data: 13/10/2009Semestre: 2009.2Curso: EstatísticaDisciplina: Álgebra LinearProva: I - 2a Chamada

1. 4 pts. Dado o matriz, A, e o vetor, b:

A =

0BB@1 a− 1 2 a+ 21 2a 0 a0 −a− 1 2a+ 2 00 2a+ 2 4a− 4 a2 + a− 8

1CCA , b =

0BB@a+ b2a+ b

04a+ ab+ b

1CCAE o sistema linear:

(∗) : A x = b

(a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R.

(b) Encontrar o posto da matriz augmentada, T = (A|b), por quaisquer valores de a, b ∈ R.

(c) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) não tem solução.

(d) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) tem solução única.

(e) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) tem infinitas solução.

(f) Resolver o sistema (∗) para (a, b) = (−1, 1). Identificar nesta solução a solução completa do sistema homogênea(SCSH) e uma solução particular do sistema inhomogênea (SPSñH).

2. 3 pts. Dado os vetores:

a1 = (1,−1, 2, 1)T a2 = (0, 1, 1, 3)T a3 = (1,−2, 2,−1)T a4 = (0, 1,−1, 3)T a5 = (1,−2, 2,−3)T

(a) Mostre que a1,a2,a3,a4 formam uma base de R4.

(b) Encontrar os coordenados do vetor a5 neste base.

(c) Encontrar os coordenados dos vetores a1,a2,a3,a4 neste base.

(d) Encontrar os coordenados dos vetores a1,a2,a3,a4 no base canônica.

3. 3 pts. Dado os matrices:

A =

„0 2 2−2 0 2

«, B =

0@ 1 1 1−1 1 1−1 −1 1

1A(a) Mostre que B é regular.

(b) Encontrar B−1.

(c) Resolver a equação matricial: X B = A.




Data: 16/10/2009Semestre: 2009.2Curso: FísicaDisciplina: Álgebra LinearProva: I - 2a Chamada

1. 4 pts. Dado o matriz, A, e o vetor, b:

A =

0BB@1 1 2a a1 a 2a 11 1 a 2a1 a a 2a

1CCA , b =

0BB@111a

1CCAE o sistema linear:

(∗) : A x = b


(b) Encontrar o posto da matriz aumentada, T = (A|b), por qualquer valores de a ∈ R.

(c) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) não tem solução.

(d) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) tem solução única.

(e) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) tem infinitas soluções.

(f) Resolver o sistema (∗) para a = 1.

(g) Identificar na solução do item anterior a solução completa do sistema homogênea (SCSH) e uma solução particulardo sistema inhomogênea (SPSñH).


a1 = (1, 0,−1)T a2 = (1, 1, 1)T a3 = (1,−1, 1)T

(a) Mostre que a1,a2,a3 formam uma base de R3.

(b) Encontrar uma equação expressando coordenados em relação à base a1,a2,a3, em termos dos coordenados emrelação à base canônica em R3.

(c) Encontrar os coordenados dos vetores básicos da base canônica em R3, na base a1,a2,a3.

3. 3 pts. Dado a matriz:

A =

0@ 0 1 11 −1 01 0 1

1A(a) Mostre que A é singular.

(b) Resolver a sistema homogênea: A x = 0.

(c) Resolver a equação matricial: A X = A2.Hint: Pode ser conveniente usar, que X = A é uma solução particular da equação matricial.




Data: 19/10/2009Semestre: 2009.2Curso: Engenharia MecânicaDisciplina: Álgebra LinearProva: I - 2a Chamada

1. 4 pts. Dado as matrizes, A e B:

A =

0BB@1 1 −10 a 12 a+ 2 a− 21 a+ 1 a− 1

1CCA , b =

0BB@1 −1−2 2b b

b− 1 2b+ 1

1CCAE a equação:

(∗) : A X = B


(b) Encontrar o posto da matriz augmentada, T = (A|B), por quaisquer valores de (a, b) ∈ R2.

(c) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) não tem solução (incompatível).

(d) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) tem solução única (determinado).

(e) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) tem infinitas soluções (indeterminado).

(f) Resolver a equação (∗) para (a, b) = (2, 0).


A =

0@ 1 −2 00 1 11 −2 1

1A , B =

0@ −1 0 00 2 00 0 3

1A(a) Encontrar A−1.

(b) Encontrar B−1.

(c) Encontrar (A B)−1.


d1 =1

2(1, 1, 1, 1)T d2 =

1

2(−1, 1,−1, 1)T d3 =

1

2(−1,−1, 1, 1)T d4 =

1

2(−1, 1, 1,−1)T d5 = (1, 2, 1, 2)T

(a) Mostre que (d1,d2,d3,d4) formam uma base ortonormal em R4.

(b) Encontrar os coordenados do vetor d5 em relação a base (d1,d2,d3,d4).

(c) Encontrar os coordenados dos vetores da base canônica, (e1, e2, e3, e4), em relação a base (d1,d2,d3,d4).




Data: 08/12/2009Semestre: 2009.2Curso: FísicaDisciplina: Álgebra LinearProva: II - 1a Chamada

1. 4 pts. Dado a forma quadrática:

F2(x, y, z) = 6y2 + 12xz

(a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x) = xT A x, onde x = (x, y, z).

(b) Encontrar os autovalores do A.

(c) Encontrar os autovetores do A.

(d) Encontrar uma base ortonormal de autovetores do A.

(e) Encontrar uma matriz ortogonal,D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = D−1A D.

(f) Com este substituição ortogonal, encontre uma relação entre os coordenados novos, x′, e os coordenados antigos,x, e vice-versa.

(g) Encontrar F ′2(x′) = F2(x).

(h) Classifique a superfície:6y2 + 12xz + 2x− 2y + 2z = 3


A =

0@ 2 −1 2−1 5 −1

2 −1 2

1AE a aplicação linear: f : R3 7→ R3 : f(x) = A x.

(a) Encontrar o núcleo de f e sua dimensão.

(b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem da f .

(c) Pondo, d = (1, 2, 1)T , encontrar a solução completa de: f(x) = f(d).


A =

„10 −2

√3

−2√

3 6

«

E uma função bilinear: g(x, y) = (x y)A

„xy

«.

(a) Encontrar os autovalores e autovetores do A.

(b) Mostre que g(x, y) define um produto interno em R2.

(c) Dado o vetor v1 = (1,−1)T , encontrar um vetor, v2 ortogonal ao v1 ao respeito de g.

(d) Encontrar uma base ortonormal ao respeito do produto interno g.




Data: 08/12/2009Semestre: 2009.2Curso: EstatísticaDisciplina: Álgebra LinearProva: II - 1a Chamada


F2(x, y, z) = 4z2 + 8xy

(a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x) = xT A x, onde x = (x, y, z).

(b) Encontrar os autovalores do A.

(c) Encontrar os autovetores do A.

(d) Encontrar uma base ortonormal de autovetores do A.

(e) Encontrar uma matriz ortogonal,D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = D−1A D.

(f) Com este substituição ortogonal, encontre uma relação entre os coordenados novos, x′, e os coordenados antigos,x, e vice-versa.

(g) Encontrar F ′2(x′) = F2(x).

(h) Classifique a superfície:4z2 + 8xy + 2x− 2y = 3


A =

0@ 1 0 −11 1 1−1 1 3


(a) Encontrar o núcleo de f e sua dimensão.

(b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem da f .

(c) Pondo, d = (1,−1, 0)T , encontrar a solução completa de: f(x) = f(d).


A =

„7 −

√3

−√

3 5

«

E uma função bilinear: g(x, y) = (x y)A

„xy

«.

(a) Encontrar os autovalores e autovetores do A.

(b) Mostre que g(x, y) define um produto interno em R2.

(c) Dado o vetor v1 = (1,−1)T , encontrar um vetor, v2 ortogonal ao v1 ao respeito de g.

(d) Encontrar uma base ortonormal ao respeito do produto interno g.




Data: 15/12/2009Semestre: 2009.2Curso: FísicaDisciplina: Álgebra LinearProva: II - 2a Chamada


v1 =

0@ 111

1A v2 =

0@ 101

1A v3 =

0@ 110

1AUma aplicação linear, f : R3 7→ R3 é dado por:

f(v1) = v2 − v3 f(v2) = v1 − v3 f(v3) = v2 − v1

(a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3.

(b) Encontrar o matriz de f na base vi.

(c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei.


A =

0@ 2 −2 1−2 5 −2

1 −2 2


(a) Encontrar autovalores e autovetores do A.

(b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base.


F (x, y) = 7x2 − 2√

3xy + 5y2

(a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y)A

„xy

«.

(b) Encontrar autovetores e autovalores da A.

(c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy.

(d) Classificar a curva: 7x2 − 2√

3xy + 5y2 + x = 4.






v1 =

0@ 1−1−1

1A v2 =

0@ 10−1

1A v3 =

0@ 1−10


f(v1) = v3 − v2 f(v2) = v3 − v1 f(v3) = v1 − v2





A =

0@ 5 −4 −4−4 5 −4−4 −4 5





F (x, y) = 7x2 + 2√

3xy − 5y2


„xy

«.



(d) Classificar a curva: 7x2 + 2√

3xy − 5y2 − y = 4.




Data: 23/03/2010Semestre: 2010.1Curso: MatemáticaDisciplina: Álgebra LinearProva: I


A =

„1 1 a−a −1 1

«, a ∈ R

(a) Encontrar o posto do A para todo a ∈ R.

(b) Resolver a equação: A x =

„00

«para todo a ∈ R.

(c) Resolver a equação: AT x =

0@ 0b0

1A para todo b ∈ R.

(d) Identifique a solução completa do sistema homogênea (SCSH) e uma solução particular do sistema não homogênea(SPSñH) no item anteriror.

2. 2 pts. Com o matriz no item anterior pomos:

B1

= AT A B2

= A AT

(a) Calcular B1

e B2.

(b) Calcular os determiantes detB1

e detB2.

(c) Calcular as adjuntas B∗1

e B∗2.

(d) Justifique que o produto de uma matriz com sua transposta é uma matriz simétrica.

3. 3 pts.

(a) Mostre que o determinante de ordem n > 1:

An =

˛̨̨̨˛̨̨̨˛̨̨̨˛̨̨̨˛̨̨

b a 0 0 . . . 0 0 0 0a b a 0 . . . 0 0 0 00 a b a . . . 0 0 0 00 0 a b . . . 0 0 0 0

.... . .

...0 0 0 0 . . . b a 0 00 0 0 0 . . . a b a 00 0 0 0 . . . 0 a b a0 0 0 0 . . . 0 0 a b

˛̨̨̨˛̨̨̨˛̨̨̨˛̨̨̨˛̨̨

satisfaz a fórmula de recursão: An = bAn−1 − a2An−2, n ≥ 3.

(b) Pondo A1 = b, encontrar A3.

(c) Encontrar a determinante:

A =

˛̨̨̨˛̨̨̨ 2− λ −1 0 0−1 2− λ −1 00 −1 2− λ −10 0 −1 2− λ

˛̨̨̨˛̨̨̨





A =

0BB@α α 0 12α 2α α 12α 3α 0 11 1 0 0

1CCA , α ∈ R

(a) Encontrar o posto do A por todo α ∈ R.

(b) Por quais valores α ∈ R A é regular? Por estes valores, encontrar a inversa.

(c) Resolver a sistema:

A x =

0BB@1ab0

1CCApara todos α, a, b ∈ R.




Data: 30/03/2010Semestre: 2010.1Curso: MatemáticaDisciplina: Álgebra LinearProva: I, 2a Chamada


A =

0BB@0 −a 0 aa 0 a 00 −a 0 −a−a 0 a 0

1CCA , a ∈ R

(a) Por quais valores A é regular? Para estas valores, encontrar a inversa: A−1.

(b) Por quais valores A é ortogonal, isto é: A−1 = AT ?

(c) Encontrar a matriz adjunta: A∗.

(d) Resolver a equação matricial: A X = 0, onde 0 ∈M4,4.

2. 4 pts. Dado os planos em R3:

(α) : x + y − 2z = 0(β) : 2x − y + (3a− 4)z = 3(γ) : ay − z = 1

(a) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ tem uma reta em comum?

(b) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ tem um ponto em comum?

(c) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ nenhum ponto em comum?

(d) Para a = 1 encontrar a intersecção: α ∩ β.

(e) Para a = 1 encontrar a intersecção: β ∩ γ.

(f) Para a = 1 encontrar a intersecção: γ ∩ α.


A =

0BB@1 0 0 a2 − aa a 1 a3 − 2a2 + a−1 3a 0 2a2 − 2aa 2a 1 a3 − a

1CCA , a ∈ R

(a) Encontrar o posto ρA para todo a ∈ R.

(b) Por todo a ∈ R resolver a equação matricial: A X = A.




Data: 06/04/2010Semestre: 2010.1Curso: Engenharia de AlimentosDisciplina: Álgebra LinearProva: I

1. 2 pts. Calcular os determinantes:

(a) ˛̨̨̨˛̨̨̨ 1 2 3 4

2 1 2 10 0 1 13 4 1 2

˛̨̨̨˛̨̨̨

(b) ˛̨̨̨˛̨̨̨ 0 3 1 1

1 2 3 22 4 5 71 0 0 3

˛̨̨̨˛̨̨̨

2. 3 pts. Dado a matriz e os vetores:

A =

0BBBB@1 1 −1 0 00 1 1 −1 00 0 1 1 −10 −1 1 1 00 0 −1 1 1

1CCCCA b1 =

0BBBB@11111

1CCCCA b2 =

0BBBB@10000

1CCCCA(a) Mostre que a matriz A é regular.

(b) Resolver o sistema A x = b1.

(c) Resolver o sistema A x = b2.

3. 2 pts. Considerando a matriz:

A =

0BB@0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0

1CCA(a) Encontrar detA.

(b) Encontrar a matriz inversa: A−1.

(c) Encontrar a matriz adjunta: A∗.


A =

0BB@1 1 0 −11 1 1 −1−1 −1 0 2

1 1 2 2

1CCA B =

0BB@−2 5−2 −4

3 01 2

1CCA(a) Encontrar o posto da A.

(b) Resolver o sistema matricial: A X = B.

(c) Indicar no item anterior a solução completa do sistema homogênea e uma solução particular do sistema não-homogênea.




Data: 14/05/2010Semestre: 2010.1Curso: Engenharia de AlimentosDisciplina: Álgebra LinearProva: II

1. 4 pts. Dados os vetores em R4:

d1 =

0BB@1100

1CCA d2 =

0BB@0110

1CCA d3 =

0BB@0011

1CCA d4 =

0BB@1002

1CCA d5 =

0BB@1111

1CCA(a) Mostre que os vetores d1,d2,d3,d4 formam uma base em R4.

(b) Encontre uma relação entre as coordenadas em relação a base canônica e a base (d1,d2,d3,d4).

(c) Encontre as coordenadas do vetor d5 na base (d1,d2,d3,d4).

(d) Encontre as coordenadas antigas dos vetores básicos novos.

(e) Encontre as coordenadas novas dos vetores básicos antigos.

2. 2 pts. Uma aplicação linear, f : R3 7→ R3 é dado pela sua matriz:

A =

0@ 0 1 11 −1 01 0 1

1A(a) Encontrar o núcleo e a sua dimensão.

(b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem, f(R3).

(c) Encontrar o conjunto: {x ∈ R3 | f(x) = (0, 1, 1)}.(d) f tem inversa?

3. 4 pts. Dados os vetores em R4:

v1 =

0BB@124−2

1CCA v2 =

0BB@103−2

1CCA v3 =

0BB@−1

1−3

5

1CCA v4 =

0BB@−1

0−3

1

1CCAe uma aplicação linear, f : R4 7→ R4:

f(v1) = v1 + v2, f(v2) = −v1 + v2, f(v3) = v3 + v4, f(v4) = −v3 + v4

(a) Mostrar que os vetores v1,v2,v3,v4 formam uma base em R4.

(b) Encontrar a matriz, A, em relação a base canônica (no domínio e na imagem).

(c) Encontrar a matriz, B, em relação da base (v1,v2,v3,v4) (no domínio e na imagem).

(d) Sendo U = ger(v1,v2), mostre que f(U) = U .

(e) Sendo V a matriz contendo os vetores v1,v2,v3,v4 em colunas, mostre: B = V−1A V.




Data: 19/05/2010Semestre: 2010.1Curso: MatemáticaDisciplina: Álgebra LinearProva: II

1. 5 pts. Uma aplicação linear, f : R4 7→ R4 é dado por sua matriz::

A =

0BB@2 −1 0 −1−1 2 −1 0

0 −1 2 −1−1 0 −1 2

1CCAConsiderando os vetores:

v1 =1

2

0BB@1111

1CCA v2 =1

2

0BB@11−1−1

1CCA v3 =1

2

0BB@1−1

1−1

1CCA v4 =1

2

0BB@1−1−1

1

1CCA(a) Mostre que os vetores v1,v2,v3,v4 formam uma base em R4.

(b) Mostre que vale: f(vi) = λivi, i = 1, 2, 3, 4. Encontre os λi’s.

(c) Uma base, vi, é chamado ortonormal, se:

vi · vj = δij =

0, i 6= j1, i = j

Mostre que os vi’s formam uma base ortonormal em R4.

(d) Organizando os vetores vi como colunas numa matriz, V, mostre: V−1 = VT .

(e) Encontre uma relação entre coordenadas em relação a base canônica e coordenadas em relação a base vi.

(f) Mostre que B = V−1A V é diagonal. Quais os valores na sua diagonal?


A =

0@ 1 0 20 −1 22 2 0

1A(a) Encontrar o núcleo, ker f , e a sua dimensão. Mostrar que d1 = 1

3(−2, 2, 1)T ∈ ker f .

(b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem, Imf .

(c) Mostrar que os vetores d2 = 13(2, 1, 2) e d3 = 1

3(1, 2,−2) formam uma base ortonormal da imagem.

(d) Mostrar que: ker f ⊥ Imf .

3. 2 pts. Consideramos a aplicação e os vetores introduzidos no questão 2.

(a) Mostre que os vetores d1,d2,d3 formam uma base ortonormal em R3.

(b) Encontrar as imagens: f(di) em relação a base canônica.

(c) Encontrar as imagens: f(di) em relação a base di.

(d) Encontrar a matriz do f usando a base di no domínio e na imagem.




Data: 01/06/2010Semestre: 2010.1Curso: MatemáticaDisciplina: Álgebra LinearProva: II, 2a chamada

1. 6 pts.Dado os vetores:

v1 =

0BB@1220

1CCA v2 =

0BB@0111

1CCA v3 =

0BB@0011

1CCA v4 =

0BB@1111

1CCA(a) Mostre que os vetores (vi) formam uma base de R4.

(b) Encontrar uma relação expressando as coordenadas em relação a base canônica, em termo das coordenadas emrelação a base (vi).

(c) Uma aplicação linear, f : R4 7→ R3, é dado por:

f(v1) =

0@ 122

1A f(v2) =

0@ 3−1

1

1A f(v3) =

0@ 403

1A f(v4) =

0@ −530

1AEncontrar o matriz, A′, da f usando base canônica em R3 e base (vi) em R4.

(d) Encontrar o matriz, A, da f usando base canônica em R4 e R3.

(e) Encontrar a dimensão da imagem, f(R4).

(f) Dado os vetores: d1 = v1 + v2 − v3 e d2 = −v1 + 2v2 − v4. Mostre que d1 e d2 gera o núcleo da f .

(g) Encontrar, em termos de v1,v2,v3,v4, todas as vetores que satisfaz: f(x) = f(v1).

2. 2 pts. Sendo v1,v2 uma base em C2, uma aplicação linear, f , é dado por:

f(v1) = v1 + 2v2 f(v2) = iv1 + v2

(a) Encontrar a matriz, A, da f em relação a base v1,v2.

(b) Mostre que os vetores: w1 = v1 + v2 e w2 = v1 − v2 formam uma base de C2.

(c) Encontrar a matriz, B, da f em relação a base w1,w2.

3. 2 pts.Dado a matriz:

A =

0@ 5 1 −1−4 1 2

4 0 −1

1A(a) Encontrar as imagens dos vetores: v1 = (1,−1, 1)T e v2 = (1,−2, 2)T .

(b) Encontrar um vetor, v3, tal que: f(v3) = v2 + v3.

(c) Encontrar a matriz da f em relação a base v1,v2,v3.




Data: 24/06/2010Semestre: 2010.1Curso: Engenharia de AlimentosDisciplina: Álgebra LinearProva: III


A =

„1 aa 1

«Onde a 6= 0.

(a) Encontrar os autovalores da A.

(b) Encontrar os autovetores da A.

(c) A matriz A é similar com uma matriz diagonal? Caso sim, qual?

(d) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!


A =

0@ 6 −4 −4−4 6 −4−4 −4 6

1A(a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.

(b) Encontrar o núcleo da matriz A.

(c) Mostre que A é diagonalizável.

(d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1A D.


F (x, y, z) = 6x2 + 6y2 + 6z2 − 8xy − 8xz − 8yz

(a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x.

(b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x′, y′, z′),e as coordenadas antigas, (x, y, z).

(c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F ′(x′, y′, z′) = F (x, y, z).

(d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 4, fornecendo tipo, centro e semi-eixo(s).

Superfícies quadráticas em R3:I: Elipsóide, centro C(x0, y0, z0), semi-eixos a, b, c:

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2= 1

II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0, y0, z0), semi-eixos a, b, c:

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 1

Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0)T , t ∈ R.

III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0, y0, z0), semi-eixos a, b, c:

(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 1





IV: Cone quadrático, centro (x0, y0, z0), semi-eixos a, b, c:

(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 0

V: Parabolóide eliptica, centro (x0, y0, z0), semi-eixos a, b:

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= z − z0

VI: Parabolóide hiperbólica (sela), centro (x0, y0, z0), semi-eixos a, b:

(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2= z − z0




Data: 24/06/2010Semestre: 2010.1Curso: MatemáticaDisciplina: Álgebra LinearProva: III


A =

„1 aa 1

«Onde a ∈ R.

(a) Encontrar os autovalores da A para todo a ∈ R.

(b) Encontrar os autovetores da A para todo a ∈ R.

(c) A matriz A é similar com uma matriz diagonal? Caso sim, qual?

(d) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!


A =

0@ 3 −4 −4−4 3 −4−4 −4 3






F (x, y, z) = 3x2 + 3y2 + 3z2 − 8xy − 8xz − 8yz




(d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 4, fornecendo tipo, centro e semi-eixo(s).


(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2= 1


(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 1



(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 1






(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 0


(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= z − z0


(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2= z − z0




Data: 29/06/2010Semestre: 2010.1Curso: Engenharia de AlimentosDisciplina: Álgebra LinearProva: IV (Substituitiva)


A =

„1 20 a

«(a) Encontrar os autovalores e os autovetores da A por qualquer valor do constante a ∈ R.

(b) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!

(c) Por quais valores do a ∈ R A é diagonaliável? Por estes valores, encontrar uma matriz regular, D, e uma matrizdiagonal, B, tal que B = D−1A D.


A =

0@ −1 1 11 −1 11 1 −1






F (x, y, z) = −x2 − y2 − z2 + 2xy + 2xz + 2yz




(d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 2, encontrando tipo, centro e semi-eixo(s) na base canônica.


(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2= 1


(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 1



(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 1






(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 0


(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= z − z0


(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2= z − z0




Data: 29/06/2010Semestre: 2010.1Curso: MatemáticaDisciplina: Álgebra LinearProva: IV (Substituitiva)


A =

„a 30 2

«(a) Encontrar os autovalores e os autovetores da A por qualquer valor do constante a ∈ R.

(b) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!

(c) Por quais valores do a ∈ R A é diagonaliável? Por estes valores, encontrar uma matriz regular, D, e uma matrizdiagonal, B, tal que B = D−1A D.


A =

0@ −2 1 11 −2 11 1 −2






F (x, y, z) = −2x2 − 2y2 − 2z2 + 2xy + 2xz + 2yz




(d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = −3, encontrando tipo, centro (se tiver) e semi-eixo(s) na basecanônica.


(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2= 1


(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 1



(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 1






(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2− (z − z0)2

c2= 0


(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= z − z0


(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2= z − z0




OBS! Respondendo a prova à lapis, perde-se o direito de revisão da prova. OBS!


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