Provas de Introdu¸c˜ao `a Algebra´ - Autenticação .Provas de Introdu¸c˜ao `a Algebra´ Manuel

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  • Provas deIntroducao a Algebra

    Manuel RicouDepartamento de Matematica

    Instituto Superior Tecnico

    19 de Janeiro de 2008

  • Conteudo

    1 Enunciados de Testes 31.1 1o Teste: 12/4/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 2o Teste: 18/5/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 3o Teste: 15/6/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 1o Teste: 5/4/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 2o Teste: 10/5/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 3o Teste: 12/6/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 1o Teste: 10/4/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 2o Teste: 15/5/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 3o Teste: 7/6/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 1o Teste: 18/3/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.11 2o Teste: 29/4/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.12 3o Teste: 27/5/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.13 1o Teste: 30/3/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.14 2o Teste: 27/4/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.15 3o Teste: 25/5/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.16 1o Teste: 31/3/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.17 2o Teste: 28/4/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.18 3o Teste: 25/5/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.19 1o Teste: 27/3/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.20 2o Teste: 8/5/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.21 3o Teste: 5/6/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 Enunciados de Exames 172.1 1o Exame: 1/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 2o Exame: 24/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 1o Exame: 4/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 2o Exame: 21/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 1o Exame: 9/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 2o Exame: 24/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 1o Exame: 1/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 2o Exame: 18/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9 1o Exame: 7/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    i

  • ii CONTEUDO

    2.10 2o Exame: 21/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3 Testes Resolvidos 293.1 1o Teste: 10/4/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 2o Teste: 15/5/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 3o Teste: 7/6/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 1o Teste: 18/3/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 2o Teste: 29/4/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6 3o Teste: 27/5/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7 1o Teste: 30/3/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.8 2o Teste: 27/4/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.9 3o Teste: 25/5/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.10 1o Teste: 31/3/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.11 2o Teste: 28/4/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.12 3o Teste: 25/5/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.13 1o Teste: 27/3/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.14 2o Teste: 8/5/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.15 3o Teste: 5/6/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4 Exames Resolvidos 774.1 1o Exame: 1/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 2o Exame: 24/7/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3 1o Exame: 4/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4 2o Exame: 21/7/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5 1o Exame: 9/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.6 2o Exame: 24/7/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 1o Exame: 1/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.8 2o Exame: 18/7/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.9 1o Exame: 7/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.10 2o Exame: 21/7/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

  • Captulo 1

    Enunciados de Testes

    1.1 1o Teste: 12/4/2000

    1. Considere a permutacao(

    1 2 3 4 5 6 7 83 1 5 6 7 8 2 4

    )em S8. Quais

    sao as suas orbitas? Qual e a sua paridade?

    2. Sejam G e H grupos. Demonstre as seguintes afirmacoes:

    a) Se f : G H e um homomorfismo de grupos, e I e a identidadede G, entao f(I) e a identidade de H.

    b) Se A e B sao subgrupos do grupo G, A B e tambem subgrupode G.

    3. Seja A um anel com identidade I. Diga se as seguintes afirmacoes saoverdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas com uma demon-stracao ou um exemplo.

    a) Se B e subanel de A entao B tem identidade I.

    b) A equacao x2 = I tem no maximo as solucoes x = I e x = I.

    4. Sendo G = {1, i,1,i} o grupo formado pelas razes quartas daunidade, quais sao os homomorfismos f : G G? Quais sao osautomorfismos f : G G? Sugestao: Determine f(i).

    1.2 2o Teste: 18/5/2000

    1. Seja d o maximo divisor comum de 663 e 969.

    a) Determine uma solucao da equacao 969x + 663y = d.

    b) Determine todas as solucoes da equacao 969x + 663y = 0. (Ex-prima a solucao na forma (x, y) = k(a, b), k Z.)

    3

  • 4 CAPITULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES

    c) Determine todas as solucoes da equacao 969x + 663y = d.

    2. Os numeros 1.234.567 e 1.234.572 sao primos entre si? Porque?

    3. Seja n N. As seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas?

    a) Existe pelo menos um numero primo p > n.

    b) Existem n naturais consecutivos que nao sao primos.

    4. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivoem A.

    a) Prove que N(A) = {nI : n N}.b) Mostre que N(A) e finito e tem m elementos se e so se m N e a

    menor solucao da equacao nI = 0. Sugestao: Considere o nucleodo homomorfismo f : Z A dado por f(n) = nI.

    1.3 3o Teste: 15/6/2000

    1. Considere o anel Z55.

    a) Quais sao os divisores de zero neste anel?

    b) Resolva a equacao x2 = 4 em Z55.c) Suponha que h : Z5 Z55 e um homomorfismo de aneis. Quais

    sao os valores possveis para h(1)?

    2. Suponha que o anel A e um anel com caracterstica 0. Prove que:

    a) A tem um subanel isomorfo ao anel dos inteiros.

    b) Se A e um corpo, entao A tem um subcorpo isomorfo ao corpodos racionais.

    3. Esta questao refere-se a polinomios com coeficientes em Z3.

    a) Determine todos os polinomios irredutveis da forma x2 + x + a.

    b) Qual e o maximo divisor comum de x4+1 e x4+2x3+2x2+x+1?

    c) Quantos elementos tem o quociente A = Z3[x]/ < x4 + 1 >?d) O elemento x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 e invertvel no anel A?

    1.4 1o Teste: 5/4/2001

    1. Considere as permutacoes = (3, 5, 9)(2, 4, 6)(1, 8, 7) e = (2, 9)(1, 8)do grupo S9.

    a) Diga se cada uma destas particoes e par ou mpar.

  • 1.5. 2o TESTE: 10/5/2001 5

    b) Quais sao as orbitas de ?

    2. Sendo (G, ) um grupo, demonstre as seguintes afirmacoes:

    a) Se N e H sao subgrupos de G entao NH e um subgrupo de G.

    b) Se G e abeliano, qualquer subgrupo de G e normal.

    c) O elemento neutro de qualquer subgrupo de G e o elemento neutrode G.

    3. Seja A um anel unitario, com identidade I 6= 0.

    a) Mostre que o produto de dois elementos invertveis de A e umelemento invertvel de A.

    b) Um subanel de A pode ter uma identidade distinta da identidadede A? Porque?

    c) Se A tem 3 elementos, podemos concluir que A e isomorfo a(Z3,+,)? Porque?

    1.5 2o Teste: 10/5/2001

    1. Seja d o maximo divisor comum de 2093 e 483.

    a) Determine uma solucao da equacao 2093x + 483y = d.

    b) Determine todas as solucoes da equacao 2093x + 483y = 0. (Ex-prima a solucao na forma (x, y) = k(a, b), k Z.)

    c) Determine todas as solucoes da equacao 2093x + 483y = d.

    2. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivoem A. Prove que N(A) = {nI : n N}.

    3. Determine todos os naturais x que satisfazem simultaneamente as duascongruencias x 2 (mod 17) e x 5 (mod 13).

    4. Os numeros da forma Fn = 22n

    + 1, com n 0, dizem-se os numerosde Fermat.

    a) Demonstre que se Gn e o produto dos numeros de Fermat Fk,0 k n, ou seja, se Gn = F0 F1 Fn, entao Fn+1 =Gn + 2, para qualquer n 0.

    b) Prove que se n 6= m entao Fn e Fm sao primos entre si.

  • 6 CAPITULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES

    1.6 3o Teste: 12/6/2001

    1. Considere neste exerccio o anel Z216.

    a) Quantos subaneis tem o anel Z216? Quantos geradores tem esteanel?

    b) Sendo f : Z216 Z8 Z27 um isomorfismo de aneis, determinex Z216 tal que f(x) = (7, 21).

    2. Seja h : Zn Zm um homomorfismo. Demonstre as seguintes afirma-coes:

    a) Se h e injectivo entao n e um factor de m.

    b) Se h e sobrejectivo entao n e multiplo de m.

    3. Considere o anel quociente A/I, onde A = Z2[x], e I =< x3 +x+1 >.

    a) Determine o inverso de x2 + 1 em A/I.

    b) Existem elementos nao-invertveis no anel A/I?

    c) Os elementos do anel A/I podem ser representados na formaa + bi + cj, onde a, b, c Z2, i = x, e j = x2. Mostre que I2 = j,j2 = i + j, e ij = 1 + i.

    d) Na notacao da alnea anterior, quais sao os factores irredutveisdo polinomio x3 + x + 1 no anel dos polinomios com coeficientesem A/I?

    1.7 1o Teste: 10/4/2002

    1. Mostre que o grupo (Z4,+) nao e isomorfo ao grupo (Z2 Z2,+).

    2. Seja H = {A Mn(R) : det(A) = 1}.

    a) Mostre que H com o produto usual de matrizes e um grupo.

    b) Sendo G o grupo formado por todas as matrizes invertveis, coma mesma operacao, m