PROVAS RESOLVIDAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma V1 Data 29/05/2009 1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais a) C é a curva é definida pela função b) C é a curva definida pela função 2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por . Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1) 3) Calcule , onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície , sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2). 4) Seja um campo vetorial continuo definido no ². Seja C uma curva simples diferenciável por partes contidas no ² definida por . Mostre que: 5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Ao mover uma partícula ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas e no sentido anti horário. 6) Enuncie e prove o teorema das equivalências. 7) Considere o campo vetorial continuo num subconjunto aberto D ² definido por: a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para . b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda

PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL

Professora Salete Souza de Oliveira

Aluna Thais Silva de Araujo

P1 –Turma V1 – Data 29/05/2009

1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais

a) C é a curva é definida pela função

b) C é a curva definida pela função

2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por .

Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo

campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1)

3) Calcule

, onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície

, sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2).

4) Seja um campo vetorial continuo definido no ℝ². Seja C uma

curva simples diferenciável por partes contidas no ℝ² definida por . Mostre

que:

5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Ao mover uma partícula

ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas e

no sentido anti horário.

6) Enuncie e prove o teorema das equivalências.

7) Considere o campo vetorial continuo num subconjunto aberto D ⊂ ℝ² definido por:

a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para .

b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência

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RESPOSTAS: P1 –TURMA V1 – 29/05/2009

1)

a)

c)

2)

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3

3) Para o ponto (1,1,2)

4)

5)

.1 . = 0

=

+ a ) . ( )dt =

= at = a²

d =

+ t ) ( ) dt = -

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4

d =

). dt = 0

W=

+

d = 2a²

6) Solução Caderno

7) a)

= y (1)

= x (2)

Integrando (1): f = (3)

Derivando (3) em relação a y:

= x +

(y) (4)

(4) = (2) temos:

C = a f = xy+a

c) x = cos t

y = sen t

0≤ t ≤

t 0 → cos 0 sen 0 1 0

t π → cos π sen π -1,0)

.d =

W=0

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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda P1 –Período Especial – Data 25/03/2002

1) (2,0 Pontos) Supondo que , com r = e que a seja um vetor constante.

Mostre que:

a) (0,5)

b) (0,5)

c) (0,5)

d) (0,5)

2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F continuo num subconjunto aberto D ⊂

definido por: . z, 2x.y.z, x

a) (1,0) Sabendo que F define uma força conservativa, encontre uma função potencial f

para F.

b) (1,0) Calcule o trabalho F ao longo da espiral parametrizada pelo caminho

c) Seja C uma curva simples fechada em . O que se pode dizer sobre o trabalho de F

ao longo de C? Justifique sua resposta.

3) (3,0 Pontos) Seja Um campo vetorial de classe C1, fechada e definido em

onde Ai são pontos do plano e que

Em D. Sejam C1, C2, C3

circunferências unitárias centradas em cada um destes pontos, percorrido no sentido

horário e tais que Ci contem apenas o ponto Ai. suponha que: Onde

a) (1,0) Calcule o valor de

, onde C é um curva fechada em D, percorrida no sentido

anti-horário e que envolve os pontos Ai.

b) (1,0) Quais os possíveis valores de

, onde C é qualquer curva fechada contida

em D.

c) (1,0) Caso

Em D. Qual seria o valor de

, onde C é uma

circunferência de equação que envolve os pontos Ai no sentido anti horário.

4) (2,5 Pontos) Seja

Um campo vetorial em |R2. Calcule a integral

de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti – horarario,

onde:

a) (1,0) C1 é a circunferência de equação

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b) (1,5) C2 é a fronteira do retângulo

RESOLUÇÃO PROVA V1 – 25/03/2002

QUESTÃO 1:

a)

temos que:

e r =

então:

=

;

e

desta forma:

b) Seja o vetor constante

a x r =

Portanto:

c)

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7

Portanto:

d)

Portanto:

QUESTÃO 2

a) Como o campo é conservativo ou seja:

Integrando (1), teremos

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8

Derivando (4) em relação à ’y’ e depois derivando (4) em relação à ‘z’, e igualando (2) e

(3), respectivamente, teremos que:

Como podemos tomar g(y,z) como sendo zero. Então:

b) Para um campo conservativo:

Aplicando (5)

c) Como o campo é conservativo, o trabalho realizado só dependerá do ponto inicial e final.

Seja ‘p’ um ponto da cur a C parametr ada por σ t com ‘t’ e tal que σ a σ b

= p

Então pelo teorema fundamental do calculo:

Logo, o trabalho da força conservativa f ao longo de uma curva fechada é zero.

QUESTÃO 3

a) Para um campo conservativo

o teorema de Green é dado por:

ou seja:

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Como os sentidos de C1, C2 e C3 são horários e C é anti-horário, devemos colocá-las no mesmo

sentido. Então,

b) Para C no sentido anti- horário:

Para A2:

Para A3:

Para A1 e A2:

Para A1 e A3:

Para A2 e A3:

Para D:

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Para A1 , A2 e A3:

Para C no sentido horário os valores acima são validos com sinal trocado.

OBS: se C for da forma

Temos mais valores.

c) Como

Pelo teorema de Green:

A integral dupla do segundo membro deve ser expressa por:

o tem ‘a’ temos:

QUESTÃO 4

a) Pelo teorema de Green:

A1 A2

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Cons derando γ como ² + ² 1

Temos:

Temos que:

E:

Portanto:

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b) Pelo teorema de Green

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda P1- Turma V1 – Data 02/10/2009

1) Calcule o comprimento e o centroide do arco de círculo dado por:

C={(x,y) R²/ x² + y² = a², x y

A posição do centroide é dada por [ , ]: =

;

.

2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por = 2xex²

seny + ex²

cosy . Encontre

onde C é o arco da parábola y =

x² que vai do ponto (0,0) ao ponto (1,

).

3) Seja F(x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) um campo vetorial continuo definido no R³.

Seja C uma curva simples, diferencial por partes, contida no R³ definida por

. Mostre que

.

4) Mostre que qualquer campo vetorial da forma é

incompressível.

5) Seja e . Verifique as identidades:

a)

b) =

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RESOLUÇÃO P1 TURMA V1 – 02/10/2009

1)

x =

y =

- Cálculo do Comprimento:

- Cálculo da Posição do Centróide:

Cálculo de

Cálculo de

Cálculo de C = :

=

=

;

C =

2)

Integrando (2) :

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Cálculo de

:

(4) = (1)

(5) em (3)

3)

4)

5)

a)

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16

b)

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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Terceira Avaliação

1) Calcule

onde e , com

, sendo a normal apontando para cima.

2) Calcule o fluxo do campo através da superfície fechada da

figura abaixo, sabendo-se que ,com e constantes e vetor

normal exterior.

3) Encontre o fluxo de para cima através da porção do plano

no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.

4) Calcule

se e C é a borda da porção do plano

no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.

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Resolução Terceira Avaliação

1)

2)

Teorema de Gauss:

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3)

Plano

σ

4)

Plano

σ=

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Primeira Avaliação – Turma V1

1) Se f e g são funções de classe C² de ℜ⟶ℜ³, e são campos vetoriais de classe C¹ num

aberto de ℜ³, então mostre que:

a)

b)

2) Se é um caminho em ℜ³, tal que σ’’(t)= para todo t, prove que a trajetória é uma reta , ou

um ponto.

3) Calcule

onde γ é a interseção do paraboloide com o plano

. O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t) no plano

caminhe no sentido anti-horário.

4) Dado um campo vetorial tridimensional onde as

derivadas parciais

são contínuas num conjunto aberto . Se é o gradiente de

alguma função potencial ϕ prove que:

Em cada ponto de

5) Resolva as seguintes questões:

a) Se um objeto move-se em um campo de forças de tal modo que, em cada ponto

, seu vetor velocidade seja ortogonal à , mostre que o trabalho realizado por

sobre o objeto é 0.

b) Ache o trabalho realizado por uma força elástica dirigida para origem, de módulo proporcional à

distância do ponto de aplicação da força à (0,0). Se o ponto de aplicação da força traça um quarto

da elipse

pertencente ao primeiro quadrante.

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Resolução Primeira Avaliação – Turma V1

1)

a) Seja:

Assim:

b)

2)

Assim:

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A trajetória pode ser uma reta ou um ponto.

3)

Curva γ:

5)

a)

Sendo σ(t)=posição e σ’ t eloc dade

Se então , então W=0

b)

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Primeira Avaliação – Turma V2

1) Considere o campo de forças onde ℜ ⟶ ℜ é uma função derivável e

. Prove que é irrotacional.

2) A base de uma cerca é uma C no plano definida por:

A altura em cada ponto ( ) é dada por

(x e y em metros). Se para pintar

cada m² um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca?

3) Calcule

onde e c é a interseção das superfícies

sendo o sentido do percurso de ponto (1,0,0) para

o ponto (-1,0,0)

4) Considere o campo vetorial contínuo num subconjunto aberto ℜ definida por

Se define uma força conservativa, encontre uma função f para e calcule

onde γ é dada por

5) Seja A a área de uma região R limitada por uma curva simples, fechada, diferenciável por

partes. Prove que:

6) Seja c uma curva simétrica em relação ao eixo y, que vai do ponto (2,0) a (-2,0), percorrida

no sentido anti-horário. Sabendo-se que a área da região delimitada por c e pelo eixo x vale

6π, calcule

, onde

7) Seja D uma região fechada e limitada do plano cuja área é 10, sua fronteira ∂D está

orientada positivamente e é parametrizada por uma função C¹ por partes, de modo que ∂D

seja percorrida uma única vez. Se é um campo vetorial de classe

C¹ num subconjunto aberto que contém D e , então calcule

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Resolução Primeira Avalição –Turma V2

1)

=

=

2)

I)

II)

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Resposta: 900p Reais

3)

(x,y,z)= 2yi + zj + xk c: interseção x2 + xy² = 1 ; x² + y² = 1 : y 0 z 0

4)

Integrando (1)

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5)

pelo teorema de green

Se Q=x e P=0

Se P=-y e Q= 0

Se P = -y/2 e Q = x/2 então

6)

Calculo de

7)

Pelo teorema da divergência no plano

DivF = 20 ∴

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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Primeira Avaliação – Turma V1

1) As equações de Maxwell relacionam campo elétrico e o campo magnético quando eles

variam com o tempo numa região que não contenha nem carga e nem corrente, como

segue:

Onde c é a velocidade da luz.

Use essas equações para mostrar que:

2) Calcule

onde γ é a interseção do paraboloide com o plano

O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t)

no plano xy caminhe no sentido anti horário.

3) Calcule

onde , c é a interseção das superfícies e

, x≥0, y≥0, z≥0 sendo o sentido do percurso do ponto (1,0,0) para o ponto (0,0,2)

4) Um campo de forças F em duas dimensões é descrito pela equação

Mostre que o trabalho realizado por esta força movendo uma partícula ao longo da

curva Depende somente de f(a), f(b), g(a), g(b). encontre o

trabalho realizado quando f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3 e g(b) = 4.

5) Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região delimitada pelos gráficos

E

6) Calcule

, onde c é o arco de circunferência no

segundo quadrante, orientado no sentido anti horário.

7) Seja

4) seja c dada por

Seja a área do conjunto limitado pela curva c que é fechada. Calcule

Onde n é

normal a c e aponta para fora do conjunto mencionado

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Resolução Primeira Avalição –Turma V1

1)

2)

3)

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4)

Calculo da Função Potencial:

Integrando (1):

Derivando (3) em relação a y:

Fazendo (4)=(2):

Assim:

Então:

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5)

dx

6)

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7)

-

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Segunda avaliação

1) Parametrize o cilindro e mostre q o elemento de área

correspondente é dado por

2) Calcule a área da superfície

3) Considere uma casca esférica homogênea de massa M e raio a. o potencial gravitacional

gerado em um ponto a uma distancia c da origem é dado pela integral

onde G é a constante gravitacional e

é a densidade.

Mostre que :

4) Considere o campo vetorial Calcule a circulação

ao longo da

elipse C descrita por orientada no sentido anti

horário quando vista de cima.

5) Sejam e . Seja σ uma superfície esférica, com normal exterior n.

calcule

supondo que o ponto (0,0,0) não pertence a figura.

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1)

2)

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3)

Equações paramétricas:

Chamando

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4)

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5)

Seja σ a fronteira da esfera k, com normal exterior . Suponhamos que a origem não pertença a K