PUC APOSTILA E NOTAS DE AULA DE FENÔMENOS DE...
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PUC
APOSTILA E NOTAS DE AULA
DE
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
PROF. DR. MARCELO TSUYOSHI HARAGUCHI
GOIÂNIA, AGOSTO DE 2019
2
1. Propriedades e Grandezas relativas aos fluidos
1.1. Definição de Fluido
Fluido é uma substância que sofre deformações sob a ação de esforços,
tensão de cisalhamento, por menor que seja a tensão. Todos os fluidos possuem
um certo grau de compressibilidade e oferecem pouca resistência a mudança de
forma
Substância – estado sólido e fluido
Classificação dos fluidos:
líquidos Gases
- Praticamente incompressíveis
- Ocupam volumes definidos e tem
superfícies livres
- são compressíveis
- uma massa de gás expande até
ocupar todas as partes de qualquer
recipiente e fechado
1.2. Sistema de unidades
Dimensão Unidade SI Unidade FPS
Comprimento [L] Metro (m) Pé (ft)
Massa [M] Quilograma (kg) Slug (-)
Tempo [t] Segundo (s) Segundo (sec)
Temperatura [T]
Grau absoluto Kelvin (K) Rankine (R)
Grau usual Celsius (ºC) Farenheit (ºF)
Grandezas derivadas
Força Newton (N = kg m/s2) Libra (lb = slug ft/sec2)
Pressão Pascal (Pa = N/m2) psf = lb/ft2)
Energia (trabalho e calor) Joule (J = N . m) ft . lb
Potência Watt (w = J/s) Cavalo-vapor (hp = 745,7 w)
3
1.3. Massa específica ()
A massa específica ()é definida como a massa por unidade de volume.
Onde:
m - é a massa (kg) SI;
v - é o volume (m3) SI;
água = 1,94 slugs/ft3 ; água = 1000 kg/m3 ;
1.4. Peso específico ()
Peso específico () é definido como o peso de uma unidade de volume de
uma substância. Para líquidos, pode ser considerado constante para mudanças
normais de pressão.
gx
Onde:
- é a massa específica (kg/m3) SI;
g - é a aceleração da gravidade (9,81m/s2) SI;
água = 62,4 lb/ft3 ; água = 9,79 KN/m3 ;
O peso específico de um gás pode ser calculado usando a equação de
estado geral dos gases:
)(aRT
vxp
Onde:
p - é a pressão absoluta;
)dim(3
enssionalanáliseL
M
v
m
4
v - é o volume por unidade de peso;
T - é a temperatura absoluta;
R - é a constante do gás específico;
Assim,
molarpeso
gasesdosuniversaltecons
gxM
RoR
tan
Considerando v
1 , a equação (a) pode ser escrita
TR
p
p
TRv
1.5. Densidade ou densidade relativa (d)
Densidade de um corpo é definida como a relação entre a massa
específica do corpo pela massa padrão. Para os sólidos e líquidos toma-se
como padrão a água a 68 ºF = 20 ºC. Para os gases a referência e o ar
livre, com dióxido de carbono ou hidrogênio (a 32 ºF = 0 ºC e 1 atm =
14,7 lb/in2 = 101,3 KPa de pressão).
águaágua
d
1.6. Viscosidade de um fluido
A viscosidade de um fluido é a propriedade que determina o grau de sua
resistência a uma força de cisalhamento. A viscosidade é decorrente
basicamente da interação entre as moléculas do fluido.
Consideramos duas placas largas e paralelas separadas por uma pequena
5
distância y, sendo o espaço entre as placas ocupadas por um fluido. Para fazer a
placa superior se mover a uma velocidade v, verificou-se que é necessário
execer sobre a mesma uma força F. O fluido em contato com a placa superior
adere a mesma e move-se com a velocidade v e o fluido em contato com a placa
fixa tem velocidade nula. Se a distância y e a velocidade v não são muito
grandes, o perfil de velocidade será uma linha reta.
Experiências demonstram que a força de cisalhamento F varia com a área
da placa A, com a velocidade v e inversamente com a distância y. Por
semelhança de triângulos:
dy
dv
y
v , assim temos
dy
dv
A
Fou
dy
dvA
y
UAF
Introduzindo a constante de proporcionalidade , chamada de viscosidade
absoluta ou dinâmica (o fluido é considerado newtoniano), tem-se:
tocisalhamenpordeformaçãodetaxa
tocisalhamendetensão
dydvou
dy
dv
/
Outro coeficiente de viscosidade, o coeficiente de viscosidade cinemática
() é definido por:
6
g
g
ou
específicamassa
dinâmicaidadevis
/
cos
unidades m2/s ou ft2/sec
As viscosidades dos fluidos decrescem com o aumento da temperatura,
mas não são afetadas sensivelmente pelas variações de pressão. A viscosidade
absoluta dos gases aumenta com o aumento de temperatura mas não é
sensivelmente alterada por variações de pressão. Uma vez que o peso específico
dos gases varia com a pressão (a temperatura constante), a viscosidade
cinemática varia inversamente com a pressão.
1.7. Tensão Superficial
A tensão superficial é uma grandeza física decorrente de forças de
atrações moleculares. Uma partícula líquida, em conseqüência de forças de
atração entre suas moléculas e sem o efeito de outras forças que não essa atração
molecular, toma uma forma esférica (gota d’água).
Considere-se uma partícula líquida que se encontre na superfície de
separação com outras fases gasosas ou líquidas. Tal partícula sofre, na direção
perpendicular à superfície efeitos de forças que tendem a atraí-la para o interior
do meio mais denso, o que resulta numa tendência de deformar a superfície para
uma geometria não plana, cuja área, portanto, cresce em relação à de superfície
plana.
Então, mais moléculas devem ser removidas do interior para a superfície,
para garantir a maior ocupação de área; para isto deve ser realizado trabalho, o
que envolve energia. Tal energia, que se entende como potencial por unidade de
área, se apresenta como força por unidade de comprimento, denominado tensão
superficial.
7
Uma outra definição pode ser relatada da seguinte forma. Uma molécula
no interior de um líquido é submetida a forças de atração em todas as direções e
a soma vetorial resultante destas forças é zero. Mas uma molécula na superfície
do líquido é atraída para o interior do mesmo por uma força resultante
perpendicular à superfície do líquido. Portanto, é necessário uma certa
quantidade de trabalho para deslocar moléculas para a superfície em oposição a
esta força; logo as moléculas superficiais tem mais energia que as do interior.
A tensão superficial (sigma) de um líquido representa o trabalho que
deve ser executado para trazer do interior do líquido uma quantidade de
moléculas para formar uma nova unidade de área daquela superfície (J/m2). De
modo equivalente, as moléculas superficiais energizadas atuam como se
formassem uma lâmina estirada.
L
F
Onde: F – força elástica transversal a qualquer elemento de comprimento L
na superfície. As unidades são N/m ou lb/ft.
O valor da tensão superficial da água em contato com o ar é 0,0756 N/m
a 0 ºC ou 0,00518 lb/ft a 32 ºF.
1.8. Capilaridade
A elevação ou descida de um líquido em um tubo capilar (ou em um
meio poroso) é causada pela tensão superficial e depende dos valores relativos
da coesão do líquido às paredes do recipiente que o contém. Os líquidos sobem
nos tubos que eles molham (coesão>adesão) e descem nos tubos que eles não
molham (coesão<adesão). A capilaridade é importante quando se usam tubos de
diâmetro menor que cerca de 3/8” (10 mm), para tubos de Ø maior que 1/2"
8
(12mm), pois os efeitos da capilaridade são desprezíveis.
A capilaridade em um tubo (subida e descida) é dada por:
r
h
cos2
Onde: h – altura da subida ou descida capilar (m)
- tensão superficial (N/m)
- ângulo da superfície do líquido com as paredes do tubo (de
molhamento)
- peso específico do líquido (N/m3)
r – raio do tubo (m)
Figura dos tubos
1.9. Módulo de Elasticidade Volumétrico (E)
O módulo de elasticidade volumétrico (E) expressa a compressibilidade
de um fluido. Ele é a relação entre a variação da pressão unitária e a variação
correspondente de volume por unidade de volume:
Vedv
dpE
/
9
Onde: dp – variação de pressão (positiva – aumento de pressão) (N/m2)
dv – variação de volume (negativa – compressão) (m3)
Ve – volume específico (Ve = 1/) (m3/kg)
O sinal negativo de –dv/Ve serve para tornar E positivo, uma vez que
para um dp positivo (aumento de pressão) o dv (variação de volume) é negativo
(compressão).
1.10. Condições Isotérmicas
Temperatura constante
tecons
P
PouVPVP KK tan
2
1
2
1
2211
Onde: E = P
1.11. Condições Adiabáticas ou Isentrópicas
Se não há troca de calor entre gás e o recipiente, então:
KKK
P
P
T
Toutecons
P
PouVPVP
/1
1
2
1
2
2
1
2
12211 tan
Onde: E = KP
K – relação entre o calor específico a uma pressão constante e o calor
específico a um volume constante.
10
1.12. Pressão de Vapor (compressão de gases)
Os líquidos evaporam por causa de moléculas que escapam pela
superfície livre. As moléculas de vapor exercem uma pressão parcial no espaço,
conhecida como pressão de vapor. Se o espaço acima do líquido for confinado
depois de um certo tempo o número de moléculas de vapor atingindo a
superfície do líquido e condensado é exatamente igual ao número de moléculas
que escapam em qualquer intervalo de tempo, e existe o equilíbrio.
Como este fenômeno depende da atividade molecular a qual é função da
temperatura, a pressão de vapor de um líquido depende da temperatura e
aumenta com a mesma.
Quando a pressão acima da superfície de um líquido iguala a pressão de
vapor do mesmo, ocorre a ebulição. A ebulição da água, por exemplo, pode
ocorrer a temperatura ambiente se a pressão for suficientemente reduzida.
A 68 ºF (20 ºC) – pressão de vapor da água {0,339 psi ou 0,0238 kgf/cm2)
- pressão de vapor do mercúrio (0,000025 psi ou 0,0000025 kgf/cm2).
Em muitas situações, nos escoamentos de líquidos é possível que
pressões bastante baixas apareçam em certas regiões do sistema. Em tais
circunstâncias, as pressões podem ser iguais ou menores que a pressão de vapor.
Quando isto ocorre, o líquido se evapora muito rapidamente.
Uma bolsa de vapor ou “cavidade”, que se expande rapidamente, é
formada e normalmente se desloca de seu ponto de origem e atinge regiões do
escoamento onde a pressão é maior que a pressão de vapor, ocorrendo o colapso
ou implosão da bolsa. Isto é o fenômeno da cavitação. Esta formação e extinção
de bolhas de vapor afeta o desempenho das bombas e turbinas hidráulicas e pode
erodir partes metálicas na região de cavitação.
11
1.13. Compressão dos Gases
A compressão de gases pode ocorrer de acordo com as leis da
Termodinâmica. Para uma mesma massa de gás sujeita a duas diferentes
condições:
22
2
11
1
2
22
1
11
T
P
T
PouRW
T
VP
T
VP
Onde: P – pressão absoluta em lb/ft2 (N/m2)
V – volume em ft3 (m3)
W – peso em lb (N)
- peso específico em lb/ft3 (N/m3)
R – constante do gás em ft/ºR (m/K)
T – temperatura absoluta em ºR (460+ºF); (K)
1.14. Pressão do Fluido
A pressão do fluido é transmitida com igual intensidade em todas as
direções e atua normalmente sobre qualquer plano (Teorema de Pascal). No
plano horizontal as intensidades da pressão em um líquido são iguais. Pressões
manométricas representam valores acima ou abaixo da pressão atmosférica
dA
dFP
Onde: dF – variação da força
dA – variação da área
Unidades: lb/ft2 (psf), lb/in2 (psi) ou N/m2 (Pa)
12
Força F uniformemente distribuída sobre uma área, então:
A
FP
1.15. Diferença de Pressão do Fluido
1212 hhPP
Onde: - peso específico
h2 – h1 .-. diferença de elevação
Se o ponto 1 está na superfície livre e h é positivo para baixo
)( omanométrichP
Assim a altura de carga h fica:
Ph
h – altura de carga ou altura da coluna de fluido homogêneo
1.16. Variação de Pressão em um Fluido Compressível
As variações de pressão em um fluido compressível são normalmente
muito pequenos, por causa dos pequenos pesos unitários e das pequenas
diferenças em elevação que são consideradas nos cálculos hidráulicos. Onde tais
diferenças devam ser reconhecidas para pequenas variações de elevação dh, a lei
da variação da pressão fica:
13
dhdp
Sinal negativo indica que a pressão diminui quando a altitude aumenta,
sendo h positivo para cima.
1.17. Pressão Atmosférica, Vácuo, Pressão Manométrica e Pressão
Absoluta
Pressão atmosférica (Patm)– ao nível do mar = 14,7 psi; 101,3 KPa, 29,9
in (760 mmHg)
Vácuo – pressão menor que a pressão atmosférica. Quanto a pressão é
menor que a pressão atmosférica.
Pressão manométrica (Pman) – pressão acima da pressão atmosférica.
Quanto a pressão é maior que a pressão atmosférica.
Pressão absoluta (Pa) – é a pressão manométrica adicionado a pressão
atmosférica
PatmPmanPa
1.18. Piezômetros e Manômetros
Para líquidos, pode-se ligar um tubo á parede do reservatório (ou duto)
onde está contido o líquido de modo que este possa subir no tubo.
Determinando-se a altura de subida do líquido, a pressão do líquido no
reservatório (ou duto) pode ser determinada. Este aparelho é denominado de
piezômetro. Geralmente utilizado para determinação de baixa pressão. A outra
extremidade do tubo é livre e portanto está sob a ação da pressão atmosférica.
Para evitar os efeitos de capilaridade o diâmetro do tubo do piezômetro deve ser
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de 1/2" (13 mm).
Outro aparelho para medir pressão de fluido consiste de um tubo (ou
tubos) curvos que contém um ou mais líquidos de diferentes densidades,
portanto imiscíveis (não se misturam), conhecido como manômetros.
Geralmente utilizado para determinação de alta pressão. Aplica-se uma pressão
conhecida (atmosférica) numa extremidade do do tubo do manômetro e a
pressão desconhecida a ser determinada é aplicada na outra extremidade.
2. Equilíbrio dos Fluidos
2.1. Equação Fundamental da Hidrostática
Imaginando-se no interior de um fluido (líquido) em repouso, um prisma
ideal e considerando-se todas as forças que atuam nesse prisma, segundo a
vertical, deve-se;
caHidrostátidalFundamentaEquaçãohPP
AhPPA
AhAPAP
APAhAP
absolutorepousoequilíbrioFy
12
12
12
21
)(
0
),(0
2.2. Equilíbrio Relativo dos Fluidos
Na estática dos fluidos pode-se determinar a variação de pressão por
causa da ausência de tensões de cisalhamento.
Se o movimento do fluido for tal que não haja deslocamento relativo entre
as camadas adjacentes, as tensões de cisalhamento também serão nulas.
Um fluido em translação com velocidade constante também obedece as
15
leis de variação de pressão estática. Quando um fluido é acelerado ou retardado
de forma a não haver movimento relativo entre camadas adjacentes, isto é,
quando se move como se fosse um sólido, um corpo rígido, não existirão tensões
de cisalhamento e a variação de pressão pode ser determinada com a aplicação
da equação fundamental da hidrostática.
O equilíbrio relativo do fluido acontece para os movimentos
uniformemente acelerado ou retardado e uma rotação com velocidade angular
constante em torno de um eixo vertical.
2.3. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado ou Retardado
Considere um líquido num recipiente aberto, dotado de aceleração linear
constante a. Após um certo tempo o líquido adapta-se à aceleração de forma a
mover-se como um sólido, isto é, a distância entre duas partículas fluidas
quaisquer permanece inalterada, não existindo, portanto, tensões de
cisalhamento.
Figura
Vamos escolher um sistema de coordenadas cartesianas com y dirigido
verticalmente para cima e x tal que o vetor da aceleração a pertença ao plano xy.
O eixo z será normal a a, não havendo componente da aceleração nesta direção.
ajPjf (1)
O gradiente de pressão P é o vetor resultante da soma de -a e –j.
16
Como P tem a direção da máxima variação de P (o gradiente), não há variação
de P numa direção normal a P. As superfície livre, devem, pois ser normais a
P. Para obter uma expressão algébrica da variação de P com x, y, z, P = (x, y,
z), escrevemos a eq. 1 na forma de componentes:
0;1;
2
z
P
g
a
y
P
gx
P
jaiag
jz
Pk
y
Pj
x
PiP
Y
YX
Como P é função das coordenadas (x, y, z), podemos escrever sua
diferencial total da seguinte forma.
3dzz
Pdy
y
Pdx
x
PdP
Substituindo as derivadas parciais:
41 dyg
adx
g
adP YX
Podendo ser integrada para um fluido incompressível
51 cyg
ax
g
aP YX
Para determinar a constante de integração c, façamos x = 0 e y = 0
Se P = Po c = Po
610 yg
ax
g
aPP YX
Quando um fluido incompressível acelerado apresentar superfície livre,
sua equação é obtida fazendo-se P = 0 na eq. 6.
Resolvendo em relação a y.
17
g
a
PPx
ga
ay
g
a
xg
aPP
yyY
x
Y
x
11
0
0
As linhas de pressão constante, p = constante, tem uma inclinação:
ga
a
Y
x
e são paralelas a superfície livre
A superfície livre intercepta o eixo y em:
g
a
P
y1
0
2.4. Rotação com Velocidade Angular Constante em Torno de um Eixo
Vertical
A rotação de um fluido, movendo-se como um sólido, em torno de um
eixo é chamado movimento em vórtice forçado. Neste caso, todas as partículas
do fluido tem a mesma velocidade angular. Um líquido num recipiente, quando
gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante, comporta-
se como um sólido após um certo tempo.
Não existirão tensões de cisalhamento no líquido e a única aceleração
existente é a radial dirigida para o eixo da rotação. Escolhendo um sistema de
referência, com o versor j dirigido verticalmente para cima, sendo y o eixo de
rotação, a eq. 1 pode ser aplicada para determinar a variação de pressão no
fluido.
1ajP
18
Figura: Rotação de um fluido em torno de um eixo vertical.
Com velocidade angular w constante, qualquer partícula P do fluido tem
uma aceleração w2r dirigida radialmente para o eixo, ou seja, a = iw2r. A soma
de -j e -a fornece P, o gradiente de pressão.
A pressão não varia segundo a normal a essa direção nesse ponto. Em
consequência, se P pertencer à superfície livre, esta será normal a P.
Desenvolvendo a eq. (1)
30;;
:.tan
2
2
2
z
P
y
Prw
gx
P
Entãogencialdireçãoouzeixodolongoaoversoroék
rwiyjz
Pk
y
Pj
x
Pi
Como P é função somente de y e r, o diferencial total dP será:
4drr
Pdy
y
PdP
Substituindo as derivadas parciais:
52 drrwg
dydP
Podendo ser integrada para um fluido incompressível ( = constante),
teremos:
19
62
22 cy
rw
gP
Onde c é a constante de integração. Se o valor da pressão na origem (r =
0, y = 0) for Po, então c = Po. Portanto:
72
22
yg
rwPoP
Quando escolhemos a origem no plano horizontal particular (y = 0), onde
Po = 0 e dividimos a eq. 7 por , então:
82
22
g
rwPh
A eq. 8 mostra que a carga de profundidade vertical, varia com o
quadrado do raio; logo as superfícies de pressão constante são parabolóides de
revolução.
Quando um líquido que apresenta uma superfície livre estiver confinado
num recipiente em rotação, o volume abaixo do parabolóide depende apenas da
velocidade angular w.
Para o caso de um cilindro circular, que gira em torno do seu próprio eixo,
o desnível do líquido, desde o vértice até a parede do cilindro, será w2ro2/2g.
Como o parabolóide de revolução tem um volume igual a metade daquele
do cilindro circunscrito, o volume do líquido acima do plano horizontal passante
pelo vértice será:
922
1*
2
022
0g
rwrV
Quando em repouso, este líquido estará também acima do plano que passa
pelo vértice até uma altura uniforme de:
20
1022
12
02
g
rwh
Desta forma, o líquido sobe na parede tanto quanto desce no centro. Este
fato permite localizar o vértice sempre que forem dados w, ro e o nível antes da
rotação.
Figura: Rotação de um cilindro de seção circular em torno de seu eixo.
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2.5. Esforços sobre superfícies planas imersas. Centro de empuxo
A força F exercida por um líquido sobre um superfície plana A é igual ao
produto do peso específico do líquido, pela profundidade do centro de
gravidade hcg e pela área da superfície.
F = .hcg.A (1) unidades: lb = lb/ft3 . ft . ft2 ou N = N/m3 . m . m2
O produto do peso específico pela profundidade do centro de gravidade
da superfície fornece a intensidade de pressão no centro de gravidade da
superfície (centro de empuxo).
A linha de ação ou direção da força passa pelo centro de pressão, que
pode ser localizado aplicando-se a fórmula:
2.
CG
CG
CG
CP yAy
Iy
Onde: ICG – momento de inércia da área em relação ao eixo que passa
pelo centro de gravidade da superfície.
As distâncias y são medidas ao longo do plano a partir de um eixo
situado na intersecção do plano com a superfície líquida, ambos prolongados se
necessário
22
2.6. Esforços sobre superfícies curvas imersas. Resultante de esforços
Considera-se as componentes horizontais e verticais das forças. Por
exemplo, o caso da barragem. Geralmente, a equação da curva do paramento
interno é desconhecido, adotando-se um perfil prático e conhecido
23
2.7. Esforços sobre corpos imersos. Princípio de Arquimedes. Estudo da
Estabilidade dos Corpos imersos ou flutuantes
Princípio de Arquimedes
Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo
para cima de uma força igual ao peso do volume do fluido deslocado, conhecido
como força de flutuação (empuxo). O ponto de aplicação da força de flutuação
denomina-se centro de flutuação ou empuxo e está localizado no centro de
gravidade do fluido deslocado.
Aplicando-se o princípio de Arquimedes, pode-se obter o volume de
sólido irregulares pela determinação da perda aparente de peso, quando ele está
totalmente mergulhado num líquido de densidade conhecida. As densidades dos
líquidos podem ser determinados.
Estabilidade dos corpos submersos e flutuantes
Para que haja estabilidade de um corpo submerso, o centro de gravidade
do corpo deve estar diretamente abaixo do centro de empuxo (gravidade) do
líquido deslocado. Se os dois pontos coincidirem, o corpo estará em equilíbrio
neutro para todas as posições.
A estabilidade do cilindro ou esfera, o CG deve estar abaixo do CE
(centro de empuxo ou centro de carena)
A estabilidade de outros objetos flutuantes dependerá da criação de um
momento restaurador ou tombamento quando o CG e o CE saírem do
alinhamento vertical devido ao deslocamento do centro de empuxo. O CE muda
de posição se o objeto se inclinar, pois muda a forma do líquido deslocado,
deslocando o seu CG.
24
1) Corpo flutuante em equilíbrio
CG diretamente acima de CE
2) CG a direita da linha de ação da força de
flutuação (empuxo), o corpo gira no sentido anti-
horário. Corpo flutuante estável
3) CG a esquerda da linha do empuxo, o corpo
flutuante será instável
4) Referindo-se ao ponto de intersecção do eixo
vertical (A-A) e a linha de ação da força de
flutuação (B-B). Este ponto é conhecido como
metacentro (mc)
Da figura 2 e 3, um corpo flutuante é instável se o seu CG estiver abaixo
ao mc e instável se estiver acima.
Portanto:
Vd
IMB
Onde:
MB – distância do CE ao mc
I – momento de inércia da seção horizontal do corpo tomada na superfície
do fluido quando o corpo flutuante está em equilíbrio
Vd – volume do fluido deslocado
mc acima do CG – permanente ou estável
mc abaixo do CG - instável