Q uão difícil é comunicar?

Quão difícil é comunicar?

Andreia Teixeira

27 de Maio

Complexidade de Comunicação

x y

f(x,y)=?

Um Protocolo Simples

x

f(x,y) = z

Quantos bits são necessários para esta comunicação?


f: X Y → {0,1}

Um protocolo P de domínio X Y e contra-domínio {0,1} é uma

árvore binária, onde cada nó é etiquetado por uma funçãoav : X → {0,1} ou por uma função bv : Y → {0,1} e cada folha é

etiquetada com um elemento z {0,1}.

Exemplo:

X = {x, x’, x’’, x’’’}Y = {y, y’, y’’, y’’’}

O Protocolo

a1(x)=0a1(x’)=0a1(x’’)=1a1(x’’’)=1

b2(y)=0b2(y’)=0b2(y’’)=0b2(y’’’)=1

b3(y)=1b3(y’)=0b3(y’’)=0b3(y’’’)=0

1

O

O

a4(x)=0a4(x’)=0a4(x’’)=0a4(x’’’)=1

O

1 O

0

0 0

0

1

1 1

1

f(x,y) y y' y'' y'''

x 0 0 0 1

x' 0 0 0 1

x'' 0 1 1 1

x''' 0 0 0 0

O Protocolo

a1(x)=0a1(x’)=0a1(x’’)=1a1(x’’’)=1

b2(y)=0b2(y’)=0b2(y’’)=0b2(y’’’)=1

b3(y)=1b3(y’)=0b3(y’’)=0b3(y’’’)=0

1

O

O

a4(x)=0a4(x’)=0a4(x’’)=0a4(x’’’)=1

O

1 O

0

0 0

0

1

1 1

1

f(x,y) y y' y'' y'''

x 0 0 0 1

x' 0 0 0 1

x'' 0 1 1 1

x''' 0 0 0 0

O custo do Protocolo para o input (x’’,y) é o tamanho do caminho percorrido: 2.


O custo de um protocolo P , DP f, corresponde à altura da árvore

binária associada ao protocolo.

Para uma função f: X Y {0,1}, a complexidade de comunicação, D(f),(determinística) de f é o min {DP f : P é um protocolo para f}.

Para toda a função f: X Y {0,1}, D(f) ≤ log |X| + 1.

Rectângulos Combinatórios

Um rectângulo combinatório A B é denominado z-monocromático se tem o mesmo valor z (0 ou 1) para todo o a A e b B.

Rectângulos Combinatórios

Qualquer protocolo P para uma função f induz uma partição de X Y em rectângulos z-monocromáticos (z {0,1}). O número

destes rectângulos é igual ao número de folhas de P.

O Protocolo

a1(x)=0a1(x’)=0a1(x’’)=1a1(x’’’)=1

b2(y)=0b2(y’)=0b2(y’’)=0b2(y’’’)=1

b3(y)=1b3(y’)=0b3(y’’)=0b3(y’’’)=0

1

O

O

a4(x)=0a4(x’)=0a4(x’’)=0a4(x’’’)=1

O

1 O

0

0 0

0

1

1 1

1

f(x,y) y y' y'' y'''

x 0 0 0 1

x' 0 0 0 1

x'' 0 1 1 1

x''' 0 0 0 0

O Protocolo

a1(x)=0a1(x’)=0a1(x’’)=1a1(x’’’)=1

b2(y)=0b2(y’)=0b2(y’’)=0b2(y’’’)=1

b3(y)=1b3(y’)=0b3(y’’)=0b3(y’’’)=0

1 O

a4(x)=0a4(x’)=0a4(x’’)=0a4(x’’’)=1

O

1 O

0

0 0

0

1

1 1

1

f(x,y) y y' y'' y'''

x 0 0 0 1

x' 0 0 0 1

x'' 0 1 1 1

x''' 0 0 0 0

Exemplo

a1(x)=0a1(x’)=0a1(x’’)=0a1(x’’’)=1

b2(y)=0b2(y’)=1b2(y’’)=0b2(y’’’)=0

b3(y)=1b3(y’)=0b3(y’’)=1b3(y’’’)=0

1

a4(x)=0a4(x’)=0a4(x’’)=1a4(x’’’)=1

O1

O

0

0 0

0

1

1 1

1

f(x,y) y y' y'' y'''

x 0 1 0 0

x' 0 1 0 0

x'' 1 1 1 1

x''' 1 0 1 0

1

Propriedades

Seja P um protocolo e v um nó da árvore associada ao protocolo. Rv é o conjunto

dos inputs (x,y) que alcançam o nó v.

Se L é o conjunto das folhas de um protocolo P, então {Rl}lЄL é uma partição de X Y.

R ⊆ X Y é um rectângulo se e só se

(x1,y1) R e (x2,y2) R ⇒ (x1,y2) R

Minorante da D(f)

Se qualquer partição de X Y em rectângulos monocromáticosnecessita de pelo menos t rectângulos então D(f) ≥ ⌈log t⌉.

Técnicas

• Conjuntos Enganadores

• Tamanho dos Rectângulos

• Característica da Matriz

Conjuntos Enganadores

Seja f: X Y → {0,1}. Um conjunto S ⊂ X Y é denominado de conjunto enganador

(para f) se existe um valor z {0,1} tal que • Para todo (x,y) S, f(x,y) = z.

• Para dois quaisquer pares distintos (x1,y1) e (x2,y2) em S,

f(x1,y2) ≠ z ou f(x2,y1) ≠ z.

Se f tem um conjunto enganador S de tamanho t, então D(f) ≥ log t.

Conjuntos EnganadoresExemplo: x, y {0,1}n

EQ(x,y) = 1 se x = y0 caso contrário

Um conjunto enganador de tamanho 2n é

S1={(α, α) : α {0,1}n }

D(EQ) ≥ n. Considerando os 0-rectângulos monocromáticos,

concluímos que D(EQ) ≥ n+1.

Como D(EQ) ≤ n+1, temos que D(EQ) = n+1.

Tamanho dos Rectângulos

Seja μ uma distribuição de probabilidade de X Y. Se qualquer rectângulo R z-monocromático (z {0,1}) tem medida μ(R) ≤ δ, então D(f) ≥ log 1/δ.

Exemplo: x, y {0,1}n


f(x,y) x x' x'' x''' …x 1 0 0 0x' 0 1 0 0x'' 0 0 1 0x''' 0 0 0 1…

Tamanho dos Rectângulos

Seja μ uma distribuição de probabilidade de X Y. Se qualquer rectângulo R z-monocromático (z {0,1}) tem medida μ(R) ≤ δ, então D(f) ≥ log 1/δ.



f(x,y) x x' x'' x''' …x 1 0 0 0x' 0 1 0 0x'' 0 0 1 0x''' 0 0 0 1…

Como cada rectângulo R 1-monocromático tem dimensões 1 x 1, temos que μ(R) ≤ 1/2n . Como existe, pelo menos um rectângulo 0-monocromático, D(EQ) ≥ log 2n +1 = n + 1.

Como D(EQ) ≤ n+1, temos que D(EQ) = n+1.

CaracterísticaPara qualquer função f:X Y → {0,1}, D(f) ≥ log car(Mf) , onde Mf é a matriz

associada à função f.



1 0 0 0 …0 1 0 00 0 1 00 0 0 1…

M(EQ)=

Como M(EQ) = 2n , temos que D(EQ) ≥ n.

CaracterísticaPara qualquer função f: X Y → {0,1}, D(f) ≥ log car(f) , onde car(f) é a

característicada matriz associada à função f.



1 0 0 0 …0 1 0 00 0 1 00 0 0 1…

M(EQ)=

Como M(EQ) = 2n , temos que D(EQ) ≥ n.

Obrigada!


O custo de um protocolo P , DP f, corresponde à altura da árvore

binária associada ao protocolo.

Para uma função f: X Y {0,1}, a complexidade de comunicação, D(f),(determinística) de f é o min {DP f : P é um protocolo para f}.

Para toda a função f: X Y {0,1}, D(f) ≤ log |x| + log |z|.

PropriedadesProva: (⇒) Considere-se um rectângulo R, isto é, R= A B, para A ⊆ X e B ⊆ Y. Pretende-se mostrar que se (x1,y1) e (x2,y2) pertencem a R então (x1,y2) também pertence a R. Se (x1,y1) Є R, então x1 A e y1 B. Do mesmo modo, se (x2,y2) R, então x2 A e y2 B. Portanto, os pares (x1,y2) e (x2,y1). pertencem a A B = R.

(⇐ ) Considerem-se os seguintes conjuntos: A = { x: existe y tal que (x,y) R} e B = { y: existe x tal que (x,y) R}.

Por definição de A e B é, evidente, que R ⊆ A B, pois se (x,y) R, então x Ae y B e, portanto (x,y) A B. Para se mostrar que A B ⊆ R, considere-se(x,y) A B. Como x A, então existe y' B tal que (x,y') R. Analogamente,como y B, então existe x' A tal que (x',y) R. Logo (x,y') R e (x',y) R.

Assim, por hipótese resulta que (x,y) R. Portanto A B ⊆ R.

Conjuntos EnganadoresProva: Qualquer rectângulo R que contenha dois pontos distintos (x1,y1) e (x2,y2),

ambos pertencentes a S, também contém os pontos (x1,y2) e (x2,y1). No entanto,

S é um conjunto enganador, logo o valor de f em (x1,y1) e (x2,y2) é z e, pelo

menos, um dos pontos (x1,y2) ou (x2,y1) tem valor por f diferente de z. Logo R não

é monocromático. Assim, nenhum rectângulo monocromático contém mais do que um elemento de S. Logo, são necessários, pelo menos, t rectângulos parafazer uma partição de S. Logo vem que D(f) ≥ ⌈log t⌉.

CaracterísticaProva: Seja P um protocolo para a função f e seja L o conjunto de folhas para

as quais f(x,y)=1. Define-se uma matriz Ml para cada uma das folhas, de tal

maneira que Ml(x,y)=1 se (x,y) Rl e Ml(x,y)=0 se (x,y) Rl, onde os rectângulos

Rl correspondem aos pares (x,y) que ``terminam'' na folha l. A matriz da função

é a soma de todas as matrizes definidas para cada uma das folhas l L, isto é,

Mf = ∑ Ml. Usando as propriedades da característica de uma matriz, vem que

car(Mf) ≤ ∑ car(Ml). Como car(Ml) = 1 vem que car(Mf) ≤ |L|. Qualquer protocolo

P tem de ter, pelo menos, car(Mf) folhas, logo D(f) ≥ ⌈log(car(Mf))⌉.

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