Quadrado Latino

1. Introducao

Estamos interessados em comparar 4 tipos de fertilizantes quantoa` producao obtida de um vegetal. Para isto dispomos de 16 can-teiros homogeneos.

Sejam Y : producao e A: fator (fertilizante) com 4 nveis, A1, . . . , A4.

Plano completamente casualizado: sortear canteiros para se-rem tratados com cada um dos tipos de fertilizante.

A1 A2 A3 A4- - - -- - - -- - - -- - - -

1

Suponhamos que os canteiros nao sejam todos homogeneos en-

tre si, mas que possam ser divididos em 4 regioes (blocos), de

tal forma que dentro de cada bloco as unidades experimentais

(canteiros) sejam homogeneas.

Plano em blocos completos casualizados: neste tipo de pla-

nejamento, a casualizacao ocorre dentro de cada bloco, isto e,

em cada bloco sorteamos um canteiro para ser tratado com um

tipo de fertilizante.

Dizemos que este tipo de experimento tem uma restricao na

casualizacao (controlamos a diferenca entre os blocos). Este

metodo e eficiente quando os blocos forem homogeneos inter-

namente.

2

Suponhamos que os blocos nao sejam homogeneos internamente,

isto e, que as condicoes experimentais impliquem na nao homo-

geneidade dos canteiros dentro de cada bloco. Por exemplo,

suponhamos que a quantidade de irrigacao nao seja a mesma

para cada canteiro de cada regiao. Temos mais um fator de

heterogeneidade: quantidade de irrigacao.

Para utilizarmos um plano em blocos, sendo cada bloco formado

por uma combinacao de regiao e quantidade de irrigacao, neces-

sitamos de 16 blocos, cada um com 4 canteiros homogeneos, ou

seja devemos ter disponveis 64 canteiros.

3

A1 A2 A3 A4R1 I1 - - - -

I2 - - - -I3 - - - -I4 - - - -

R2 I1 - - - -I2 - - - -I3 - - - -I4 - - - -

R3 I1 - - - -I2 - - - -I3 - - - -I4 - - - -

R4 I1 - - - -I2 - - - -I3 - - - -I4 - - - -

4

Podemos construir um quadro de ANOVA , supondo nulas asinteracoes com o fator bloco.

FV gl SQA 3

Regiao 3Irrigacao 3Resduo 54

Total 63

E possvel construir um experimento utilizando apenas 16 can-teiros, no qual podemos medir o efeito dos tres fatores do expe-rimento anterior.

Esse plano experimental e denominado Quadrado Latino: cadafertilizante e aplicado uma unica vez em cada regiao e em cadaquantidade de irrigacao.

5

2. Forma de representacao de um Quadrado Latino

Definicao. Um quadrado latino de tamanho p, ou p p, e umarranjo de p letras latinas, cada uma repetida p vezes em um

quadrado de tamanho p, de tal modo que cada letra apareca

exatamente uma vez em cada linha e em cada coluna.

Exemplos.

1. Objetivo: estudar os efeitos de 6 drogas (A, B, C, D, E, F).

Informacoes: a) as reacoes individuais podem ser diferentes; b)

a ordem de administracao das drogas afeta a resposta. Temos

entao dois fatores de controle (Indivduo e Ordem) e um de

interesse (Droga).

6

Um possvel Quadrado Latino 6 6 e dado por

O1 O2 O3 O4 O5 O6I1 A B C D E FI2 B C D E F AI3 C D E F A BI4 D E F A B CI5 E F A B C DI6 F A B C D E

2. Objetivo: estudar os efeitos de 3 tratamentos (A, B, C).

Blocos: a) Dias da semana (Segunda, Terca e Quarta); b)

Operador (1, 2 e 3). O operador 1 recebe o tratamento B na

segunda-feira, o tratamento A na terca-feira e o tratamento C

na quarta-feira. Cada operador recebe todos os tratamentos.

Todos os tratamentos sao aplicados todos os dias.

7

Um possvel Quadrado Latino 3 3 e dado por

O1 O2 O3Segunda B A C

Terca A C BQuarta C B A

Para cada p existe um numero finito de Quadrados Latinos, isto

e, qualquer que seja o numero p de nveis do fator de interesse,

existe um numero finito de Quadrados Latinos pp. Este numerodepende de p.

Um experimento em Quadrado Latino e casualizado. A casuali-

zacao ocorre na escolha do Quadrado Latino a ser utilizado.

8

3. Analise de um experimento em Quadrado Latino

Modelo : yijk = + i + j + k + eijk,

i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , p e k = 1, . . . , p, onde i: efeito da linha

Li, j: efeito da coluna Cj e k: efeito do tratamento Tk. Temos

p2 unidades experimentais/observacoes.

Suposicao e restricoes: eijk N(0, 2), independentes. Alemdisto, os efeitos de interacao sao assumidos todos nulos. No mo-

delo com todos os efeitos fixos temosi =

j =

k = 0. Se

os efeitos dos tratamentos sao aleatorios, por exemplo, fazemos

a suposicao de que os efeitos k sao independentes com distri-

buicao N(0, 2 ) e sao independentes de eijk. Suposicoes seme-

lhantes sao estabelecidas se os efeitos Li ou Cj sao aleatorios.

9

Particao da Soma de Quadrados

SQT = SQL+ SQC + SQTR+ SQR

SQL = ppi=1(yi.. y...)2

SQC = ppj=1(y.j. y...)2

SQTR = ppk=1(y..k y...)2

SQT =pi=1

pj=1 y

2ijk p2y2

SQR = SQT SQL SQC SQTR

Observacao: O ndice k e fictcio porque temos p2 unidadesexperimentais/observacoes e nao p3.

10

Exemplo para p = 4

C1 C2 C3 C4 yi..L1 A B C D y1..L2 D A B C y2..L3 C D A B y3..L4 B C D A y4..y.j. y.1. y.2. y.3. y.4. y...

Para calcular a SQTR e mais facil construirmos uma tabela daforma

A B C D- - - -- - - -- - - -- - - -y..1 y..2 y..3 y..4

11

Calculo do numero de graus de liberdade

FV glL p 1C p 1

Tratamento (TR) p 1Resduo p2 1 3p+ 3 = (p 1)(p 2) > 0

Total p2 1

Valores esperados dos quadrados medios - EQM

Se L e um fator fixo, EQML = 2 + p

2i

p 1.

Se L e aleatorio, EQML = 2 + p 2L.

12

Se C e um fator fixo, EQMC = 2 + p

2j

p 1.

Se C e aleatorio, EQMC = 2 + p 2C.

Se TR e um fator fixo, EQMTR = 2 + p

2k

p 1.

Se TR e aleatorio, EQMTR = 2 + p 2TR.

EQMR = 2.

Notar que, quaisquer que sejam os tipos dos fatores, os testes

sao realizados contra o resduo.

13

Hipoteses

Modelo com todos os efeitos fixosH01 : i = 0, i = 1, . . . , p.H02 : j = 0, j = 1, . . . , p.H03 : k = 0, k = 1, . . . , p.

Modelo com todos os efeitos aleatoriosH01 :

2L = 0

H02 : 2C = 0

H03 : 2TR = 0.

As hipoteses H01 e H02 servem em geral para testar o planeja-mento pois muitas vezes L e C sao fatores que definem blocos.

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Comparacoes multiplas

Se existe efeito de tratamento, podemos realizar comparacoes

multiplas quando os efeitos presentes no modelo sao fixos .

Seja

C =p

k=1

ak ..k,k

ak = 0,

onde ..k e a media populacional do k-esimo nvel do fator TR.

Seja 2 = QMR. Temos

C =p

k=1

ak y..k e var(C) = QMRp

k=1

a2kp.

15

Um intervalo de confianca para C com coeficiente de confianca

1 e dado por[C S

var(C].

Se quisermos construir uma famlia de intervalos de confianca

com coeficiente de confianca global 1 , podemos utilizar ometodo de Tukey, Scheffe ou Bonferroni para obter S. Assim,

Tukey: S =12q(1 ; p; (p 1)(p 2)), sendo

q(1 ; p; (p 1)(p 2)) o quantil de ordem 1 obtido daTabela B.9 de Kutner et al. (2004).

Scheffe: S2 = (p1)F[1;p1;(p1)(p2)], sendo F[1;p1;(p1)(p2)]o quantil de ordem 1 obtido da distribuicao F Snedecor comp 1 e (p 1)(p 2) graus de liberdade.

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Bonferroni: S = t[1/(2g);(p1)(p2)], sendo g o numero deintervalos de confianca e t[1/(2g);(p1)(p2)] o quantil de ordem1 /(2g) obtido da distribuicao t Student com (p 1)(p 2)graus de liberdade.

Observacoes

Em geral, dois fatores de um Quadrado Latino sao fatores decontrole experimental (blocos, posicao, ordem). Em experi-

mentos no campo da Qumica, podemos ter os tres fatores

de interesse.

Para fatores fixos, podemos fazer comparacoes multiplas.

17

O menor Quadrado Latino e o 33. Para o Quadrado Latino2 2 nao sobram graus de liberdade para o resduo.

Vantagens e desvantagens de um plano em QuadradoLatino

Vantagens

O uso de duas variaveis como bloco frequentemente per-mite grandes reducoes no erro experimental.

Os efeitos dos tratamentos podem ser estudados utilizando-se um experimento com reduzido numero de unidades ex-perimentais. Este tipo de planejamento e particularmenteutil em estudos preliminares ou estudos piloto.

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Desvantagens

O numero de classes em cada bloco deve ser igual aonumero de tratamentos. Consequentemente, o numerode classes nos dois fatores de bloco deve ser o mesmo.Consequencia: o numero de graus de liberdade do resduoe muito pequeno quando o numero de tratamentos e pe-queno e maior do que o necessario se o numero de trata-mentos e muito grande.

As suposicoes do modelo sao bastante restritivas. Nao hanenhum efeito de interacao presente no modelo.

O tipo de aleatorizacao requerido e um pouco mais com-plexo do que para a maioria dos experimentos ja conside-rados.

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Observacoes faltantes em um plano em Quadrado Latino

Observacoes faltantes eliminam a simetria (ortogonalidade) de

um plano em Quadrado Latino, alem de tornarem os calculos da

ANOVA inapropriados. Nessa situacao, a solucao para a analise

dos dados e transformar o modelo de ANOVA em um modelo de

regressao. A estimacao dos efeitos fixos dos tratamentos e rea-

lizada em termos das estimativas dos coeficientes da regressao.

20

Exemplo

Queremos comparar 5 metodos de ensino. Para isto dispomos

de um conjunto de 25 estudantes sendo 5 de cada escola. Seja

Y : nota final em um teste apos a aplicacao de cada metodo.

Solucao 1. Blocos completos casualizados. Ja temos um fator

de bloco natural que e escola. Este plano sera bom se os alunos

de cada escola forem homogeneos entre si.

M1 M2 M3 M4 M5E1 - - - - -E2 - - - - -E3 - - - - -E4 - - - - -E5 - - - - -

21

Vamos supor que os alunos de uma mesma escola difiram quantoao QI. Entao temos que introduzir este fator no experimento.

Solucao 2. Ao introduzirmos o fator QI, passamos de um ex-perimento em blocos casualizados para um Quadrado Latino.

QIF1 F2 F3 F4 F5

E1 M1 M2 M3 M4 M5E2 M5 M1 M2 M3 M4

Escola E3 M4 M5 M1 M2 M3E4 M3 M4 M5 M1 M2E5 M2 M3 M4 M5 M1

Escola e faixas de QI sao fatores de controle experimental. To-dos os efeitos de interacao sao supostos nulos e os tres fatorestem o mesmo numero de nveis.

22

Aplicacao

Um fabricante conduziu um estudo piloto sobre o efeito do preco

de um de seus produtos nas vendas desse produto em lojas de

hardware. Como seria confuso para os consumidores se os precos

fossem alterados repetidas vezes em uma mesma loja, somente

um preco foi fixado em cada loja pelo perodo de 6 meses de

duracao do estudo. 16 lojas foram usadas no estudo. As lojas

foram controladas em relacao ao volume de vendas e a` locali-

zacao geografica. Quatro precos (em dolares) foram fixados (A:

1,79; B: 1,69; C: 1,59 e D: 1,49). Os precos foram alocados a`s

lojas de acordo com o Quadrado Latino mostrado a seguir. Da-

dos sobre as vendas (Y) (em milhares de dolares) foram anotados

no perodo dos 6 meses do estudo.

23

L.GeograficaVolume de vendas Norte Sul Leste Oeste

1 (menor) 1,2 (B) 1,5 (C) 1,0 (A) 1,7 (D)2 1,4 (A) 1,9 (D) 1,6 (B) 1,5 (C)3 2,8 (C) 2,1 (B) 2,7 (D) 2,0 (A)

4 (maior) 3,4 (D) 2,5 (A) 2,9 (C) 2,7 (B)

a) Ajuste um modelo para o plano em Quadrado Latino (espe-

cifique o modelo, com suposicoes e restricoes);

b) Faca um diagnostico do modelo ajustado;

c) Construa um grafico de efeitos principais com as medias amos-

trais de Y sob os tratamentos (precos). O que este grafico su-

gere com respeito ao efeito dos 4 precos sobre o volume medio

de vendas?

24

d) Teste se o valor do preco afeta ou nao o volume medio de

vendas. Use = 0,05. Encontre o valor P do teste e conclua

com base nesse valor.

e) Se o preco afetar o volume medio de vendas do produto, faca

comparacoes multiplas entre as medias dos tratamentos usando

o metodo de Tukey. Use um coeficiente de confianca global igual

a 0,90.

f) Parece haver uma relacao linear entre preco e volume de ven-

das. Como voce testaria essa linearidade? Explique.

25

3,53,02,52,01,51,0

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

-0,05

-0,10

-0,15

Valores ajustados

Re s

du

o s

Grafico 1. Dispersao dos resduos versus valores ajustados

26

0,30,20,10,0-0,1-0,2-0,3

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

Resduos

Pe r

c en

tMean 4,163336E-17StDev 0,08898N 16AD 0,246P-Value 0,714

Normal - 95% CIProbability Plot Resduos

Grafico 2. Grafico de probabilidade normal dos resduos

27

4321

2,5

2,4

2,3

2,2

2,1

2,0

1,9

1,8

1,7

Preo

M d

i as

d e Y

Grafico 3. Grafico de efeitos principais do preco sobre a media de Y

28

MediasVolume Regiao Preco Geral

y1.. = 1,350 y.1. = 2,200 y..1 = 1,725 y... = 2,056y2.. = 1,600 y.2. = 2,000 y..2 = 1,900y3.. = 2,400 y.3. = 2,050 y..3 = 2,175y4.. = 2,875 y.4. = 1,975 y..4 = 2,425

Tabela de ANOVA

FV gl SQ QM F PVolume 3 5,98188 1,99396 100,75 0,000Regiao 3 0,12187 0,04062 2,05 0,208Preco 3 1,13688 0,37896 19,15 0,002

Resduo 6 0,11875 0,01979Total 15 7,35938

29

Intervalos de confianca simultaneos para diferencas entre duas

medias de volumes de vendas sob os 4 precos. Metodo de Tukey.

Coeficiente de confianca global de 95%.

Preco Inferior Superior2 - 1 -0,1697 0,51973 - 1 0,1053 0,79474 - 1 0,3553 1,0447

Preco Inferior Superior3 - 2 -0,06967 0,61974 - 2 0,18033 0,8697

Preco Inferior Superior4 - 3 -0,09467 0,5947

30

4. Replicas adicionais em um plano em Quadrado Latino

Replicas dentro das caselasMais do que uma unidade experimental e alocada para cadacasela formada pelo nvel i do fator Linha e pelo nvel j dofator Coluna.

Exemplo: Consideremos um experimento em que QI (baixo,normal e alto) e Idade (jovem, meia-idade e idoso) sao vari-aveis que formam blocos. Nesse caso, e possvel obter maisde um indivduo para cada casela, e cada indivduo da caselarecebera o tratamento designado a` casela pelo QuadradoLatino sorteado. Tres metodos de ensino sao consideradose a varavel resposta Y e a nota em um teste de avaliacaode aprendizado.

31

Dados

QI (i) Idade (j)

Jovem Meia-Idade Idoso

(B) (A) (C)Alto 19 20 25

16 24 21

(C) (B) (A)Normal 24 14 14

22 15 14

(A) (C) (B)Baixo 10 12 7

14 13 4

32

Seja n o numero disponvel de unidades experimentais para cada

casela, e seja Yijkm o valor da variavel resposta Y para a m-esima

unidade experimental (m = 1, . . . , n) da casela (i, j) que recebeu

o tratamento k. O modelo aditivo de efeitos fixos e dado por:

yijkm = + i + j + k + eijkm,

i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , p, k = 1, . . . , p e m = 1, . . . , n, onde e

uma constante, i, j e k sao constantes sujeitas a`s restricoesi =

j =

k = 0 e eijk N(0, 2), independentes.

33

ANOVA

FV gl SQLinha p 1 SQL = nppi=1(yi... y....)2

Coluna p 1 SQC = npj=1(y.j.. y....)2Tratamento p 1 SQTR = nppk=1(y..k. y....)2

Resduo np2 3p+ 2 SQR = SQT SQL SQC SQTRTotal np2 1 SQT = pi=1pj=1nm=1 y2ijkm np2y2

A estatstica de teste para H0 : k = 0, para todo k, e dada por

F = QMTRQMR

=SQTR/(p 1)

SQR/(np2 3p+ 2).

34

Analise dos dados do exemplo

ANOVA

FV gl SQ QM F PQI 2 364,3 182,2

Idade 2 34,3 17,2Metodo 2 147,0 73,5 15,44 0,001Resduo 11 52,4 4,76

Total 17 598,0

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Quadrados Latinos adicionaisQuando nao e possvel replicar as observacoes dentro dascaselas, e muito frequente adicionar um ou mais QuadradosLatinos a uma das variaveis que formam blocos (Linha ouColuna). O segundo Quadrado Latino, e os demais quandonecessarios, e selecionado independentemente do primeiro.

Os Quadrados Latinos adicionais sao em geral consideradoscomo nveis de uma terceira variavel de bloco. Efeitos deinteracao podem ser estudados.

Exemplo: Consideremos um experimento em que Semana(1 a 5) e Dia da semana (Segunda a Sexta) sao variaveisque formam blocos. Cinco tipos de musica sao consideradoscomo tratamentos e a varavel resposta Y e um escore quetraduz a produtividade de um grupo de indivduos.

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Dados

DiaQuadrado Semana S T Q Q S

1 D C A B E2 C B E A D

1 3 A D B E C4 E A C D B5 B E D C A

6 E D C A B7 B A E D C

2 8 D C A B E9 A E B C D

10 C B D E A

37