8/2/2019 Questo 19 Arnaldo Garca e Yves Lequain

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Questo 17 : Seja G =

(a; b) 2 R2= a 6= 0

: Dena a seguinte operaono grupo:

8 (a; b) ; (c; d) 2 G (a; b) : (c; d) = (ac;ad + b) :

a) Mostre que (G; :) um grupo no-abeliano. Quem o elementro neutrode G? Quem o elemento inverso de (a; b)? Quem o centro de G?

Soluo: Claramente podemos vercar que G um grupo no abeliano. Defato, calcular a associativida trivial. Para vericarmos o elementro neutro,basta supormos que um certo (x; y) o elemento neutro de G: Logo

(x; y) : (a; b) = (a; b) 8 (a; b) 2 G

assim,

(x; y) : (a; b) = (a; b)

(xa; xb + y) = (a; b)

xa = a e xb + y = b

x = 1 e y = 0

Logo o elemento neutro dado pelo par (1; 0) :Da mesma forma, podemos calcular o elemento inverso de (a; b) que ser da

forma1

a; ba

:

Para vericar que G no abeliano vericamos que dado os dois elementos

de G, (1; 2) e (4; 3) temos

(1; 2) : (4; 3) = (4; 5)

(4; 3) : (1; 2) = (4; 11)

o que implica que G no abeliano.Agora, calculando Z(G) : Temos que Z(G) = f(a; b) ; (a; b) : (x; y) = (x; y) : (a; b) 8 (x; y) 2 Gg :

Ja sabemos que o elementro neutro pertence ao centro. Ento, vamos supor queexista um outro elemento no centro e mostraremos que ele o prprio elementroneutro. De fato, se (a; b) 2 Z(G), ento temos que

(a; b) : (1; 1) = (1; 1) : (a; b)

(a; a + b) = (a; b + 1)

e da conclumos que a = 1: Por outro lado, temos tambm que

(a; b) : (2; 1) = (2; 1) (a; b)

(2a; a + b) = (2a; 2b + 1)

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o que implica que b = 0. E assim, vemos que (a; b) s pode ser o elementroneutro.

b) Seja K = f(1; b) ; b 2 Rg . Mostre que K subgrupo normal em G eque G

K' R:

Soluo:

K subgrupo de G pois dados dois elementos (1; x) e (1; y) em K temos que(1; x + y) tambm pertence a K , com elementro neutro (1;x) :

E mais, K normal em _G pois dado (a; b) 2 G e (1; x) 2 K temos

(a; b) (1; x) (a; b)1 = (a; b) (1; x)

1

a;b

a

= (a;ax + b)

1

a;b

a

= (1; ax) 2 K

Agora denaf : G ! R com f(a; b) = a

1 - boa denio:

(a; b) = (c; d) ) a = c ) f(a; b) = f(c; d)

2 - Homomorsmo

f((a; b) (c; d)) = f(ac; ad + b) = ac = f(a; b) f(c; d)

3 - Sobrejetora, pois dado a 2 R temos que o elemento (a; a) 2 G temimagem a ou seja, f(a; a) = a:

4- Calculando o ncleo

ker f = f(a; b) 2 G; f(a; b) = 1g

= f(a; b) 2 G; a = 1g

= f(1; b) 2 Gg = K

Logo pelo teorema do Isomorsmos temos que

GK ' R:

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