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Questões resolvidas no final Função Logarítmica Exercícios: ................................................................................................................ 1 Gráfico da função logarítmica ....................................................................................... 2 Construção de Gráficos da função logarítmica .............................................................. 2 Inequações Logarítmicas............................................................................................... 4 Questões de Vestibular ................................................................................................. 5 Respostas:................................................................................................................... 11 Seja a um número positivo e diferente de 1. Chama-se função logarítmica de base a, a função f de R em R * , definida por: f(x)=log a x. Observação: O domínio da função logaritmo é * R e o contradomínio é R . Exercícios: 1. Determine o domínio da função f(x)=log 7 (2x-26). Resolução: ( ( [ , 13 ] } 13 ; { 13 0 26 2 26 2 log 7 = > = > > - - = Df ou x R x Df x x x x f 2. Determine o domínio da função f(x)=log (4-3x) 123. 3. Determine o domínio da função f(x)=log (x-2) (5x-x 2 ). 4. Determine o domínio das seguintes funções: a) f(x)=log(3x-1) b) f(x)=log 3 x 2 c) f(x)=log 1/2 (x+2)+log 1/2 (3+x) d) f(x)=log 1/2 [(x+2).(3+x)] e) ( x x x f - = 3 log ) 2 ( log ) ( 5 3 f) f(x)=log(5-25 x ) 5. Determine o domínio das seguintes funções: a) f(x)=log (2x+5) 5 b) f(x)=log (x 2 -1) x c) ( 9 log ) ( 2 ) 4 3 ( - = - x x f x d) f(x)=log (12-x 2 ) (2x-6) e) f(x)=log (x 2 -2) (3-x 2 )

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Questões resolvidas no final Função Logarítmica

Exercícios: ................................................................................................................ 1 Gráfico da função logarítmica....................................................................................... 2 Construção de Gráficos da função logarítmica .............................................................. 2 Inequações Logarítmicas............................................................................................... 4 Questões de Vestibular ................................................................................................. 5 Respostas:................................................................................................................... 11

Seja a um número positivo e diferente de 1. Chama-se função logarítmica de base a, a

função f de RemR*+ , definida por: f(x)=logax.

Observação: O domínio da função logaritmo é *+R e o contradomínio é R .

Exercícios: 1. Determine o domínio da função f(x)=log7(2x-26).

Resolução:

( ) ( )[,13]}13;{

130262262log 7

∞+=>∈=>→>−→−=

DfouxRxDfxxxxf

2. Determine o domínio da função f(x)=log(4-3x)123.

3. Determine o domínio da função f(x)=log(x-2)(5x-x2).

4. Determine o domínio das seguintes funções:

a) f(x)=log(3x-1)

b) f(x)=log3x2

c) f(x)=log1/2(x+2)+log1/2(3+x)

d) f(x)=log1/2[(x+2).(3+x)]

e) ( )xxxf

−+

=3log

)2(log)(

5

3

f) f(x)=log(5-25x)

5. Determine o domínio das seguintes funções:

a) f(x)=log(2x+5) 5

b) f(x)=log(x2

-1) x

c) ( )9log)( 2)43( −= − xxf x

d) f(x)=log(12-x2

)(2x-6)

e) f(x)=log(x2

-2)(3-x2)

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Gráfico da função logarítmica Examinemos dois exemplos: Exemplo 1: Fazer o gráfico da função f(x)=log2x.

X ¼ ½ 1 2 4 Y -2 -1 0 1 2

Exemplo 2: Fazer o gráfico da função f(x)=log1/2x.

X ¼ ½ 1 2 4 Y

Observação: Gráfico I a>1 a função é crescente e o gráfico II a função é decrescente.

Construção de Gráficos da função logarítmica Seja G o gráfico da função definida por y=f(x) e seja 0≠k .

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Exercícios 6. Esboce o gráfico das funções: a) f(x)=1+log3x b) f(x)= -1 + log1/3x

7. Esboce o gráfico da função ( ) ( )1log2 += xxf .

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8. Esboce o gráfico da função ( ) .||log3 xxf = 9. Esboce o gráfico da função ( ) .||log

21 xxf =

10. Esboce o gráfico da função ( ) .|log|21 xxf =

11. Esboce o gráfico da função ( ) .|||log| 2 xxf = 12. Esboce o gráfico da função ( ) .1|)1(log|

21 +−= xxf

13. Esboce o gráfico da função ( ) .|log| 2 xxf −=

Inequações Logarítmicas Para aprendermos as regras de resoluções que envolvem logaritmos, lembremos inicialmente a definição: ax=y equivale a dizer que logay=x. Do estudo da função exponencial, temos as equivalências:

21

21

21

21

10

1xx

xx

aaxxaSeaaxxaSe

>⇔<→<<

<⇔<→>.

Para o estudo das inequações logarítmicas, temos:

2121

2121

loglog10loglog1

xxxxaSexxxxaSe

aa

aa

>⇔<→<<<⇔<→>

Exercícios 14. Resolva a inequação: log5(2x-3)<log57. 15. Resolva a inequação: ( ) 328log

31 ≥− x .

16. Resolva a inequação: log12(x-1)+log12(x-2) 1≤ . 17. Resolva a inequação: log(x+4)3 > log(x+4)7.

18. Resolva a inequação: 21log78log

21 xx −≥ .

19. Resolva a inequação, sendo a>1 e 1≠a : ( ) ( ).1log62log +<− xx aa

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20. Determine o domínio da função ( )xxf 221 loglog)( = .

21. Resolva a inequação ( )

313

85Log 2

21

>+− xx

.

Questões de Vestibular 22. (FUVEST-SP) O número x>1 tal que xx 4log2log = , é:

2

2

4)

22)

2)

2)42)

e

d

c

b

a

23. (Uneb-BA) O número real x, tal que 21

49log =x , é:

23)

21)

1681)

23)

1681) edcba −−

24. UF-ES) O valor da expressão ( )21

2

2

6.

641log

3125,0

+=m , e’:

52)55)1)

21)

251) edcba

25. (F.Porto Alegre-RS) Se log8=k, então log5 vale:

31)

31)

32)

15)) 3

ke

kd

kc

kbka

+

26. A curva da figura representa o gráfico da função y=logax (a>1) . Dos pontos B(2,0)

e C=(4,0) saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em D e E, respectivamente. Se a área do trapézio retângulo BCED vale3, prove que a área do triângulo ABD, onde A=(1,0), vale 1/2.

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27. (UF-MG) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função

( )

+=

baxxf 1log 2 . Qual é o valor de f(1)?

28. Determine m de modo que a equação de segundo grau (na variável x) x2-

4.x+log2m=0 apresente duas raízes reais e distintas.

29. (UF-CE) Resolva a equação

=−+ 4

9log3logloglog.2xbbx , onde log representa

o logaritmo decimal. 30. (VUNESP) Considere a função f, definida por f(x)=logax. Se f(a)=b e

f(a+2)=b+1, os respectivos valores de a e b são: a) 2 e 1 b) 2 e 2 c) 3 e 1 d) 3 e 2 e) 4 e 1

31. (FUVESP-SP) A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é:

a) ¼

b) 2

c) 3

d) 4

e) 10

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32. (ufscar 2004) Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n)

4)23)

3)22)

2)

ed

cb

a

33. (ITA-73) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece a função

( ) tkeCtX ..= , onde X(t) é o número de bactérias no tempo 0≥t ; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias X(0), duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas?

a) 3 vezes o número inicial b) 2,5 vezes o número inicial c) 22 vezes o número inicial d) 3 22 vezes o número inicial e) nenhuma das respostas anteriores

34. (CESGRANRIO-76) Uma substância radioativa esta em processo de desintegração, de modo que no instante t, a quantidade não desintegrada é A(t) - A(0).e-3t , onde A(0) indica a quantidade de substância no instante t=0. O tempo necessário para que a metade da quantidade inicial se desintegre é:

( )

2log.31)

0mindet)

.31)

.2)31)

3

ee

Adevaloroconhecidoforsesomenteávelerd

ec

eb

a

35. //MACKENZIE 2005

36.

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37. (MACKENZIE-2005)

38. \\(MACKENZIE-2005)

39. \\

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40.

41. // MAKC 2005

42.

43. MAKC 2005

44. (ExPCex, out/2005, q08) A curva da figura representa o gráfico da função ( ) .log 2 xxf = Dados

08,112log30,02log 1010 == e . Com base nesses dados, a soma das áreas dos dois retângulos hachurados é, aproximadamente,

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( )( )( )( )( ) 60,3

*60,210,208,260,1

45. (Vunesp-SP, bb48, page 54) Se a e b são raízes da equação a seguir:

03210loglog082

222 =xx

xx

, com x>0, então a+b é igual a: ® c)

54)

34)

23)

43)

32)

e

d

c

b

a

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Respostas: 1) [,13]}13;{ ∞+=>∈= DfouxRxDf

2) }1{[34;( −−∞=Df

3) Df=]2; 5[ - {3} 4) a) x>1/3; b) R*; c) x> -2; d) x<-3 ou x> -2; e) -2<x<3 e 2≠x ; f) x<1/2 5) a) x> -5/2 e 2−≠x ; b) x>1 e 2≠x ; c) x>3; d) 11323 ≠<< xex ; e) 6) / .

b) a)

7)

8)

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9)

10)

11) //

12)

13) /

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14) 5

23

<< x

15) 454215

<≤ x

16) 52 ≤< x 17) Como 3>7, imponha: 0<x+4<1. 18) Faça uma mudança de variável yx =

21log , obtenha a inequação

0782

≥+−

yyy e resolva. Solução: 1

21

12810 <≤≤< xoux

19) 3<x<7, com 0<a<1; a>1, x>7

Encontre o domínio: x>3; e divida em dois casos: I. a>1, resolva a inequação; II. 0<a<1 e resolva a inequação. Resposta: I. 3<x<7; II. x>7

20) 21 ≤< x

Condições de existência:

>

>

0log

0

2 xex

, domínio da função: 21 ≤< x

21) 2<x<3 22) 22

( )

( )

( )2

222

222

4

222

222

4

244

4

44

2

122422log

22422log

21loglog

log2log

log2log

====→−=

===→+=

=→=→=

−−−xx

xx

xxx

xx

Como no enunciado x>1, segue que a resposta: 22

23) 1681

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1681

23

23

49

21

49log

42/1

22/1 =

=→=

→=→= xxxx

24) d)

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) [ ]

55

51

51536.

36536.

665

36.6

623

36.2log

31

21

36.64log

31

41

6.

641log

3125,0

2/12/12

121

21

21

162

21

12

21

2

2

=

=

==

−−

=

−−

=

−−

+

=

−+

=

−+

=

+=

+−

−−−

m

25) e

k

kkk

.3112log10log

210log5log?5log

312log2log.38log

−=−==→=

=→=→=

26) A área do trapézio BCED= 32

2).2log4(log=

+ aa à loga2=1. A área do

triângulo ABD=21

21.1

22log.1

==a .

27) - 2

( )

( ) ( )

( ) 24log11.3

1log1

3155

1615215

1415.

1log545

12101log0.1log0

122

42

022

−==

+=

=→=

=+→=+

→−=

+=→−=

=→=→==

+=

f

aa

aaa

ff

bbbba

f

28) 160 << m

( )

1610:Re

0612loglog4log

0log40log.4160log.44

0log.4

4222

2222

22

<<

><→<→−>−→

>−→>−→>−−=∆

=+−

msp

memmm

mmm

mxx

29) 3

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332793

.

9log3

.log9log3logloglog.2

264

2

42

4

=→=→=→=

=→

=−+

xxxxbbx

xbbx

xbbx

30) a)

( )( ) ( ) 22422112log2

1log2

2 =−=→=+→+=+=+

===

aaaaf

baaf a

31) d) 4

( )

44112log2log

41log25,0 122

=

=→−==== −−−

b

bf bbb

32) 3

33)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

====

===

=→==

=→=

22.2.2.2.6

2...

2ln.2.4

0.

32/34/6

4/2ln2ln.

4/1.4

.

4/4/1

CCCCX

CeCeCtX

kCeCX

CXeCtX

tt

k

tk

t ® 22

34) e) 35) /

36) //

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37)

38) //

39) //

Page 17: Questões resolvidas no final - GEOCITIES.ws

40)

41) //

42) //

Page 18: Questões resolvidas no final - GEOCITIES.ws

43) \

??? 3223 <<−<<− xoux

Referências bibliográficas Bb48. Scipione di Pierro Neto, Sérgio Orsi Filho — Quanta, Matemática em

Fascículos para o Ensino Médio — Fascículo 5, 1ª. Edição, Editora Saraiva, 2000