QUESTÃO 1 · 2020. 2. 29. · RACIOCÍNIO LÓGICO EXERCITANDO. Questão 1 Considere que o BB tenha...

QUESTÃO 1

1

INTRODUÇÃO CONCEITOS E ALGORITMOS.

Id: todas as vezes que tivermos que contar,

quantificar, arranjar... Temos um problema de

análise combinatória ou princípio fundamental

da contagem. P.F.C.

Que: fórmulas e diferença entre; permutação,

arranjo e combinação

Técnica de resolução: veremos a seguir...

2

RACIOCÍNIO LÓGICO

Análise combinatória ou principio fundamental da contagem.

Toda vez que houver a necessidade de se contar, quantificar,

combinar... Usamos as técnicas de análise combinatória que

consiste em utilizar uma das três técnicas. PERMUTAÇÃO,

ARRANJO ou COMBINAÇÃO.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Fatorial.

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4).... Ate que a subtração por n

seja igual á 1.

4! = 4x3x2x1= 24

5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120

8! \ 4! = ?

9! \ 6! x 2! = ?

12! \ 8! X 4! = ?

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RACIOCÍNIO LÓGICO

PEMUTAÇÃO.

Só usamos a permutação quando podemos repetir

elementos do problema.

Usamos o seguinte esquema.

Pos x pos x pos x pos........

Ex; quantas senhas diferentes com quatro dígitos

podem ser formadas ?

Temos; 10 x 10 x 10 x 10 = 10000

5

RACIOCÍNIO LÓGICO ARRANJO.

se em um problema não podemos repetir elementos vemos se a

ordem desses elementos é importante para a solução, se for

temos um problema de ARRANJO.

formula. A n,p = n! \ (n-p)!

Ex; deseja-se formar uma comissão composta por 3 pessoas sendo

um presidente, um secretário e um vice-presidente. Escolhe-se ao

acaso essas pessoas de um grupo de 6 pessoas quantas

possibilidades diferentes temos para montar essas comissões?

Temos n= 6 p = 3 A 6,3 = 6! \ ( 6 – 3 )! 6x5x4x3!\3! = 6x5x4=120

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RACIOCÍNIO LÓGICO Combinação

ao testar em um problema se o mesmo é uma permutação ou um

arranjo, e ao notar que não é podemos ver que a ordem dos

elementos se torna importante e temos um problema de

combinação.

Fórmula. C n,p = n! \ p! ( n-p )!

Ex; quantas saladas de frutas podem ser feitas utilizando 4 frutas

escolhidas de uma sexta com 7 frutas?

n= 7 p = 4 temos; C 7,4 = 7! \ 4! ( 7- 4 )! 7! \ 4! x 3!

7x6x5x4 \ 3x2x1 = 35

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RACIOCÍNIO LÓGICO

EXERCITANDO.

Questão 1

Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas

para serem usados em uma propaganda na televisão, em

expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha,

também, que a quantidade total de nomes escolhidos para

aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da

propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes

distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares

diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 2

Há exatamente 495 maneiras diferentes de se

distribuírem 12 funcionários de um banco em

3 agências, de modo que cada agência receba

4 funcionários.

9

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

Se 6 candidatos são aprovados em um

concurso público e há 4 setores distintos onde

eles podem ser lotados, então há, no máximo,

24 maneiras de se realizarem tais lotações.

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RACIOCÍNIO LÓGICO QUESTÃO 7

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 8

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 9

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 10

O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de seis dezenas de

um conjunto de sessenta possíveis (01, 02, 03, ..., 59, 60). A

aposta mínima é feita escolhendo-se seis dessas dezenas.

José pensou em oito dezenas diferentes, e resolveu fazer o

maior número de apostas mínimas, combinando-as oito

dezenas escolhidas de todas as maneiras possíveis. Quantas

apostas fez José?

(A) 28

(B) 48

(C) 56

(D) 98

(E) 102

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 11

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

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RACIOCÍNIO LÓGICO probabilidade

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Id: fica explicito que temos um problema de

probabilidade

Que: devemos saber 4 fórmulas e seus

conceitos.


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RACIOCÍNIO LÓGICO

Probabilidade.

Em resumo podemos definir probabilidade como sendo ;

Número de casos possíveis

casos prováveis.

ou

evento .

Espaço amostral.

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RACIOCÍNIO LÓGICO Exemplo:

Qual a probabilidade de jogarmos um dado ao acaso e

termos como resultado o número 4.

Qual a probabilidade de em um baralho com 52 cartas

tirarmos uma ao acaso e a mesma ser do nipe de

copas.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

: A probabilidade do evento impossível é nula.

Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto

vazio (Ø), teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas,

a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento

impossível, neste caso) é nula.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna só existem bolas

vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola

vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

A soma das probabilidades de um evento e do seu evento

complementar é igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A'

= U.

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois

facilita a solução de muitos problemas aparentemente

complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a

probabilidade do evento complementar e, pela propriedade

acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

ex; de probabilidade complementar.

Ao lançarmos 5 moedas ao acaso qual a probabilidade de que

pelo menos uma moeda tenha na sua face voltada para cima a

cara.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 1

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 4

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 5

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 7

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Questão 8

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Questão 9

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 10

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 11

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 12

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 13

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 14

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 15

Lança-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. A

probabilidade de obtermos cara e um número par é

a) 1 / 12.

b) 2 / 12.

c) 3 / 12.

d) 4 / 12.

e) 6 / 12.

37

Logaritmos.

38


Id: fica explicito que temos um problema de

logaritmo

Que: devemos saber as propriedades dos

logaritmos


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CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Logaritmo.

Log a = x equivale b x = a

b

Ex. log 81 = ?

3

Ex. log x = 5

2

40


Exercitando.

Log 0,01 =?

10

Log 2√2 = ?

4

Log 0,25 = ?

2

41


Propriedades logarítmicas.

Condições de existência de um logaritmo.

Seja log a = x

b

Temos

a > o

b > 0 e b ≠ 1

42


Propriedades logarítmicas.

loga (x * y) = loga x + loga y

logax/y = logax – logay

logaxm = m*logax

43


Exemplos.

log2(32 * 16)

log5(625/125)

Log3812

44


Ex.seja log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5

Calcule log 12=?

4 45

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS. Questões de concursos.

(ceperj) Assinale a propriedade válida sempre:

a) log (a . b) = log a . log b

b) log (a + b) = log a + log b

c) log m . a = m . log a

d) log am = log m . a

e) log am = m . log a

(Supor válidas as condições de existências dos

logaritmos)

46


Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) =

log 36 são:

a) 9 e -4

b) 9 e 4

c) -4

d) 9

e) 5 e -4 47


log3 (x + 5) = 2. podemos afirmar que x vale:

2

3

4

5

6

48


49


Calcule o valor do log

a) 3

b) 2.

c) 3/4

d) 3/2.

e) 6/12.

51


Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale

o valor correspondente a log 144.

a) 2,22.

b) 2,19.

c) 2,06.

d) 2,14.

e) 2,27.

52

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS. CESGRANRIO – As indicações R1 e R2, na escala Ritcher, de dois terremotos

estão relacionadas pela fórmula

R1 – R2 = log(M1/M2), onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos

terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre.

Houve dois terremotos: um correspondente a R1 = 8 e outro

correspondente a R2 = 6.

Então, a razão (M1/M2) vale:

a) 100

b) 2

c) 4/3

d) 10

e) 1 53


Solução:

Decorre imediatamente do enunciado que:

8 – 6 = log (M1/M2) = 2.

Logo, (M1/M2) = 102 = 100.

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a equação seguinte:

log2(x2 + 2x – 7) – log2(x – 1) = 2

Daí podemos concluir que x vale:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

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CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS. Solução:

Aplicando a propriedade de logaritmo de quociente, ou seja:

logbA – logbB = logb(A/B), vem:

log2[(x2 + 2x – 7)/(x – 1)] = 2

Lembrando que se logbN = c então bc = N, vem:

22 = [(x2 + 2x – 7)/(x – 1)

4(x – 1) = x2 + 2x – 7

4x – 4 - x2 - 2x + 7 = 0

2x – x2 + 3 = 0

x2 - 2x - 3 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau, vem imediatamente:

x = 3 ou x = -1

Observe que a raiz x = -1 não serve ao problema, pois na equação dada,

log2(x2 + 2x – 7) – log2(x – 1) = 2, substituindo x por –1, as expressões entre parêntesis seriam

negativas e, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo. Assim, a única solução da

equação proposta é x = 3.

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