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QUESTÕES DE MATEMÁTICA RESOLVIDAS PELA BANCA DA UERJ 2013 - Exame Discursivo - Questão 1 Disciplina: Matemática 2013 - Exame Discursivo - Questão 2 Disciplina: Matemática Ano 5, n. 12, ano 2012 Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V 0 corresponde ao seu valor atual. Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos. Objetivo: Calcular o valor numérico de uma função exponencial em determinado ponto. Item do programa: Funções logarítmicas e exponenciais Subitem do programa: Propriedades operatórias Comentário da questão: O valor de venda atual do imóvel é igual a 50 mil reais, logo V 0 = 50 000. Deseja-se saber seu valor daqui a três anos, logo t = 3. Pode-se obter esse valor por meio da fórmula indicada, que representa uma função exponencial. Assim: Ano 5, n. 12, ano 2012 A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados organizados em três linhas. Em cada linha, os números estão dispostos em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada cartão, está registrado um número exatamente igual à diferença positiva dos números registrados nos dois cartões que estão imediatamente abaixo dele. Por exemplo, os cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do cartão X. Determine os valores de X, Y e Z. Objetivo: Calcular os valores de três variáveis de um sistema linear.

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QUESTÕES DE MATEMÁTICA RESOLVIDAS PELA BANCA DA UERJ

2013 - Exame Discursivo - Questão 1Disciplina: Matemática

2013 - Exame Discursivo - Questão 2Disciplina: Matemática

Ano 5, n. 12, ano 2012

Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser

obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual.

Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda

daqui a três anos.

Objetivo: Calcular o valor numérico de uma função exponencial em determinado ponto.

Item do programa: Funções logarítmicas e exponenciais

Subitem do programa: Propriedades operatórias

Comentário da questão:

O valor de venda atual do imóvel é igual a 50 mil reais, logo V0 = 50 000. Deseja-se saber seu valor

daqui a três anos, logo t = 3. Pode-se obter esse valor por meio da fórmula indicada, que representa

uma função exponencial. Assim:

Ano 5, n. 12, ano 2012

A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados organizados em três linhas. Em cada linha, os

números estão dispostos em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada cartão, está

registrado um número exatamente igual à diferença positiva dos números registrados nos dois cartões

que estão imediatamente abaixo dele. Por exemplo, os cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do

cartão X.

Determine os valores de X, Y e Z.

Objetivo: Calcular os valores de três variáveis de um sistema linear.

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2013 - Exame Discursivo - Questão 3Disciplina: Matemática

Item do programa: Sistemas lineares de 2 ou de 3 incógnitas

Subitem do programa: Determinação do conjunto-solução

Comentário da questão:

O cartão 4 está imediatamente acima dos cartões X e Y. Como X < Y, já que os números dos cartões

estão dispostos em ordem crescente da esquerda para a direita, Y – X = 4.

Com base no mesmo procedimento, obtêm-se as igualdades Z – 1 = X e 15 – Z = Y

Essas três igualdades dão origem ao seguinte sistema linear:

Somem-se as duas últimas equações:

Obtém-se, assim, um novo sistema:

Resolvendo-o, encontram-se X = 5 e Y = 9.

Substituindo um desses valores no primeiro sistema, tem-se Z = 6.

Ano 5, n. 12, ano 2012

Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas

para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema:

As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20

m.

Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B.

Objetivo: Calcular o comprimento da base maior de um trapézio.

Item do programa: Semelhança de figuras

Subitem do programa: Proporcionalidades

Subitem do programa: Comprimentos

Subitem do programa: Áreas

Comentário da questão:

Os trapézios A e B estão unidos por uma base comum, formando um trapézio maior. Como as laterais

de A e B possuem mesmo comprimento, essa base comum corresponde à base média, de medida M, do

trapézio maior. Assim:

As áreas dos trapézios A e B são, respectivamente, iguais a:

sendo h a altura de cada um dos trapézios A e B. Observe a ilustração:

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2013 - Exame Discursivo - Questão 4Disciplina: Matemática

2013 - Exame Discursivo - Questão 5Disciplina: Matemática

SA e SB são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2. Logo:

Substituindo o valor de M na equação da base média, tem-se:

Ano 5, n. 12, ano 2012

Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos congruentes

empilhados, sendo sua base formada por dez cubos.

Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída com cubos

iguais e procedimento idêntico.

Objetivo: Calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética.

Item do programa: Progressões

Subitem do programa: Aritméticas

Comentário da questão:

Observando a torre de 4 andares, e lembrando que cada cubo se apoia exatamente em um cubo da

camada de baixo, conclui-se que sua base é formada por 1 + 2 + 3 + 4 = 10 cubos.

Analogamente, uma torre de 100 andares terá sua base composta por (1 + 2 + 3 + ...+ 100) cubos .

Trata-se, portanto, da soma de uma P. A. de 100 termos cujo primeiro termo é 1, e cuja razão é 1, já

que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é igual a 1. Calculando-se essa soma S:

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2013 - Exame Discursivo - Questão 6Disciplina: Matemática

Ano 5, n. 12, ano 2012

Considere uma folha de papel retangular que foi dobrada ao meio, resultando em duas partes, cada

uma com metade da área inicial da folha, conforme as ilustrações.

Esse procedimento de dobradura pode ser repetido n vezes, até resultar em partes com áreas

inferiores a 0,0001% da área inicial da folha. Calcule o menor valor de n. Se necessário, utilize em seus

cálculos os dados da tabela.

Objetivo: Calcular o número de iterações de um processo.

Item do programa: Funções logarítmicas e exponenciais

Subitem do programa: Inequações

Comentário da questão:

Com a aplicação do procedimento de dobradura descrito, obtêm-se duas partes com metade da área

inicial. Ao se repetir o procedimento, a área de cada parte resultante terá, portanto, metade da área

obtida na etapa anterior. Trata-se, portanto, de um processo que se repete, ou seja, iterativo.

Após n etapas sucessivas, a área de cada parte resultante será da área inicial.

Pretende-se obter partes com áreas inferiores a 0,0001% da área inicial (0,000001=10–6), logo:

2n > 106

De acordo com a tabela e aplicando-se a propriedade do produto de potências de mesma base:

219 = 210 × 29 = 103,01 × 102,70 = 105,71 < 106

220 = (210)2 = (103,01)2 = 106,02 > 106

Conclui-se que o menor valor de n que satisfaz a desigualdade 2n > 106 é 20.

Ano 5, n. 12, ano 2012

Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em

código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes - vermelha, amarela e verde. Observe a

figura:

Considere as seguintes informações:

• cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez;

• qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas

verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas;

• duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é

diferente.

Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.

Objetivo: Calcular permutações com repetição.

Item do programa: Contagem

Subitem do programa: Permutações

Subitem do programa: Combinações

Comentário da questão:

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2013 - Exame Discursivo - Questão 7Disciplina: Matemática

2013 - Exame Discursivo - Questão 8Disciplina: Matemática

Cada mensagem do sistema luminoso é composta por uma sequência ordenada em que se apresentam

acesas três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos apagados.

Existem, portanto, permutações de oito elementos com repetição de 3, 2, 1, 2, ou seja:

Ano 5, n. 12, ano 2012

O gráfico abaixo representa a função polinomial P do 3º grau que intersecta o eixo das abscissas noponto (–1, 0).

Determine o resto da divisão de P(x) por x2 –1.

Objetivo: Calcular o resto em uma divisão de polinômios.

Item do programa: Polinômios e equações polinomiais

Subitem do programa: Operações

Comentário da questão:

Aplicando o algoritmo da divisão aos polinômios P(x) e (x2 – 1), obtém-se:

dividendo = divisor × quociente + resto

P(x) = (x2 – 1) × Q(x) + (ax + b)

Observe que o grau do resto é sempre menor que o do divisor.

De acordo com o gráfico de P:

P(–1) = 0

P(1) = 2

Então:

P(–1) = [(–1)2 –1] × Q(–1) + (a × (–1) + b) = 0

–a + b = 0

P(1) = (12 – 1) × Q(1) + (a × 1 + b) = 2

a + b = 2

Resolvendo o sistema resultante:

a = b = 1

Assim, o resto da divisão é x + 1.

Ano 5, n. 12, ano 2012

Um professor propõe a um aluno uma tarefa de matemática composta das etapas descritas a seguir.

1ª Escrever o número de quatro algarismos da data de seu aniversário, dois referentes ao dia e dois

referentes ao mês.

2ª Misturar os quatro algarismos desse número formando um número N, de modo que a ordem das

unidades de milhar não seja ocupada

por zero.

3ª Subtrair 1001 do número N, tantas vezes quantas forem necessárias, até obter o primeiro valor

menor do que 1001.

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2013 - Exame Discursivo - Questão 9Disciplina: Matemática

4ª Informar ao professor o valor obtido na 3ª etapa.

5ª Calcular o resto R da divisão do número N, obtido na 2ª etapa, por 11.

O professor consegue determinar o valor de R sem conhecer o valor de N.

Sabendo que o valor obtido na 3ª etapa foi 204, determine R.

Objetivo: Calcular o resto em uma divisão de números naturais.

Item do programa: Conjuntos numéricos

Subitem do programa: Naturais

Comentário da questão:

A 3ª etapa da tarefa consiste em dividir N por 1001, obtendo-se o resto dessa divisão que atenda a:

N = 1001q + R, com 0 R < 1001

sendo q o quociente e R o resto.

Observando que o valor obtido na 3ª etapa foi 204, tem-se:

N = 1001q +204

Efetuando a fatoração de 1001, observa-se que ele é divisível por 11:

1001 = 7 × 11 × 13

Dividindo-se 204 por 11, obtém-se:

204 = 18 × 11 + 6

Então:

N = 7 × 11 × 13q + 18 × 11 + 6

N = 11 (7 × 13q + 18) + 6

Observe que o resto de uma divisão tem de ser menor que o divisor. Desse modo:

N = 11 × q’ + 6, com 0 6 < 11

q’ = 7 × 13q + 18

Então, 6 é o resto da divisão de N por 11.

Ano 5, n. 12, ano 2012

Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira no sentido anti-horário em

torno de um ponto O. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja equação é x2 + y2 = 25.

Observe a figura:

Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P (4, 3). A partir desse

instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P.

Determine a equação dessa reta.

Objetivo: Calcular a equação de uma reta tangente a uma circunferência.

Item do programa: Geometria analítica no R2

Subitem do programa: Circunferência

Comentário da questão:

A equação x2 + y2 = 25 representa uma circunferência de centro na origem dos eixos coordenados e

raio medindo 5 unidades.

Com base nos conhecimentos de geometria, a reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de

tangência. Observe a ilustração:

Um vetor normal à reta tangente é dado por:

Desse modo, a equação da reta tangente tem a forma 4x + 3y + c = 0. Como P(4, 3) pertence a essa

reta,

4 × 4 + 3 × 3 + c = 0. Logo, c = – 25.

Portanto, a reta tangente tem equação 4x + 3y = 25.

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2013 - Exame Discursivo - Questão 10Disciplina: Matemática

2012 - Exame Discursivo - Questão 1Disciplina: Matemática

Ano 5, n. 12, ano 2012

Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um

sólido de 12 faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do

prisma, conforme representado na figura.

Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma.

Objetivo: Calcular a razão entre grandezas de uma mesma espécie.

Item do programa: Sólidos com arestas

Subitem do programa: Poliedros

Subitem do programa: Prismas

Subitem do programa: Volumes

Subitem do programa: Inscrição

Comentário da questão:

O poliedro é formado por duas pirâmides hexagonais regulares congruentes. Cada uma tem metade da

altura do prisma original. Sejam a a medida das arestas da base do prisma e a’ a medida das arestas

das bases das pirâmides que compõem o poliedro. Sejam ainda h e h’ as medidas da altura do prisma e

da altura das pirâmides, respectivamente.

Observe as ilustrações:

Valem as relações:

Então:

sendo B a área da base do prisma e B’ a área da base das pirâmides.

Desse modo, obtêm-se os volumes V do prisma e V’ do poliedro:

V = B × h

Portanto:

Ano 4, n. 11, ano 2011

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2012 - Exame Discursivo - Questão 2Disciplina: Matemática

2012 - Exame Discursivo - Questão 3Disciplina: Matemática

Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispõe da quantia X, em reais. O preço do

produto A corresponde a de X, e o do produto B corresponde à fração restante.

No momento de efetuar o pagamento, uma promoção reduziu em 10% o preço de A.

Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 na compra dos produtos A e B, calcule o valor,

em reais, que o cliente deixou de gastar.

Objetivo: Calcular a raiz de uma equação.

Item do programa: Aritmética e álgebra

Subitem do programa: Estudo dos conjuntos numéricos: números racionais (porcentagem)

Comentário da questão:

A soma dos valores pagos pelos produtos A e B é 350 reais. Como houve redução de 10% no preço do

produto A, pode-se escrever:

Desse modo, o cliente deixou de gastar 375,00 – 350,00 = R$ 25,00.

Ano 4, n. 11, ano 2011

Na tabela abaixo, estão indicados os preços do rodízio de pizzas de um restaurante.

Objetivo: Calcular uma média aritmética.

Item do programa: Análise combinatória e estatística

Subitem do programa: Média aritmética ponderada

Comentário da questão:

Durante uma semana, o preço unitário do rodízio é R$ 18,50 em 4 dias e R$ 22,00 em 3 dias.

Portanto, o valor médio V pago por um rodízio nesta semana é igual a:

Considere um cliente que foi a esse restaurante todos os dias de uma mesma semana, pagando um

rodízio em cada dia.

Determine o valor médio que esse cliente pagou, em reais, pelo rodízio nessa semana.

Ano 4, n. 11, ano 2011

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2012 - Exame Discursivo - Questão 4Disciplina: Matemática

´

Na tabela abaixo, estão indicados os preços do rodízio de pizzas de um restaurante.

Objetivo: Calcular uma probabilidade.

Item do programa: Análise combinatória e estatística

Subitem do programa: Probabilidades: definição

Comentário da questão:

Em 4 dias da semana, o custo de cada rodízio é R$ 18,50 e, nos outros 3 dias, R$ 22,00.

Para que o valor gasto seja mínimo, o cliente deverá ir ao restaurante 2 dias em que o valor do rodízio

seja R$ 18,50.

Como há 4 dias em que o rodízio tem esse valor, haverá o seguinte número de possibilidades de

escolha para se fazer o pagamento mínimo:

O número total de possibilidades de escolha de quaisquer 2 dias em uma semana para ir ao rodízio é

dado por:

Portanto, a probabilidade P de escolher 2 dias em uma semana e se gastar o mínimo possível

corresponde a:

Considere agora outro cliente que escolheu aleatoriamente dois dias de uma mesma semana para

comer pizzas nesse sistema de rodízio, pagando também um rodízio em cada dia.

Calcule a probabilidade de que o valor total gasto pelo cliente nesses dois dias seja o mínimo possível.

Ano 4, n. 11, ano 2011

Distância de frenagem é aquela percorrida por um carro do instante em que seu freio é acionado até o

momento em que ele para. Essa distância é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade que o

carro está desenvolvendo no instante em que o freio é acionado.

O gráfico abaixo indica a distância de frenagem d, em metros, percorrida por um carro, em função de sua

velocidade , em quilômetros por hora.

Objetivo: Calcular a imagem de uma função num ponto.

Item do programa: Funções e gráficos

Subitem do programa: Função quadrática

Admita que o freio desse carro seja acionado quando ele alcançar a velocidade de 100 km/h. Calcule

sua distância de frenagem, em metros.

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2012 - Exame Discursivo - Questão 5Disciplina: Matemática

Comentário da questão:

A distância de frenagem d é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade v que o carro está

desenvolvendo no instante em que o freio é acionado:

d = kv2

sendo k a constante de proporcionalidade.

Para v = 50 km/h, a distância d é igual a 32 m, logo:

Para v = 100 km/h, a distância de frenagem d corresponde a:

Ano 4, n. 11, ano 2011

Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas

varetas, linha e papel.

As varetas estão representadas pelos segmentos e . A linha utilizada liga as extremidades A, B,

C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa.

Os segmentos e são perpendiculares em E, e os ângulos e são retos.

Se os segmentos e medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, determine o comprimento total da

linha, representada por + + + .

Objetivo: Calcular o perímetro de um quadrilátero.

Item do programa: Geometria e trigonometria

Subitem do programa: Relações métricas no triângulo retângulo

Comentário da questão:

Os triângulos ABC e ADC são congruentes, portanto

Para calcular usam-se duas relações importantes entre segmentos de um triângulo

retângulo:

Têm-se os seguintes valores:

Logo:

e

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2012 - Exame Discursivo - Questão 6Disciplina: Matemática

Então,

Ano 4, n. 11, ano 2011

Para enviar mensagens sigilosas substituindo letras por números, foi utilizado um sistema no qual cada

letra do alfabeto está associada a um único número n, formando a sequência de 26 números ilustrada

na tabela:

Para utilizar o sistema, cada número n, correspondente a uma determinada letra, é transformado em

um número f (n), de acordo com a seguinte função:

As letras do nome ANA, por exemplo, estão associadas aos números [1 14 1]. Ao se utilizar o sistema,

obtém-se a nova matriz [f (1) f (14) f (1)], gerando a matriz código [5 36 5].

Considere a destinatária de uma mensagem cujo nome corresponde à seguinte matriz código: [7 13 5

30 32 21 24].

Identifique esse nome.

Objetivo: Transferir conhecimentos sobre função inversa para cálculo de elementos de um conjunto

imagem.

Item do programa: Funções e gráficos

Subitem do programa: Conceito de função inversa

Comentário da questão:

Com base na função

quando tem-se

e

quando tem-se .

Então, a matriz [7, 13, 5, 30, 32, 21, 24] é igual a:

O nome da destinatária é Beatriz.

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2012 - Exame Discursivo - Questão 7Disciplina: Matemática

2012 - Exame Discursivo - Questão 8Disciplina: Matemática

Ano 4, n. 11, ano 2011

Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma de

um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse

paralelepípedo é igual a 3 m.

Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba.

Objetivo: Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo.

Item do programa: Geometria e trigonometria

Subitem do programa: Estudo de sólidos: prismas

Comentário da questão:

Considere-se a a medida da aresta da base quadrada do paralelepípedo retângulo. Como a altura

desse paralelepípedo mede 1 m, sua capacidade máxima é determinada pelo seguinte volume:

ou seja,

A maior distância entre dois pontos em um paralelepípedo retângulo corresponde à medida de uma de

suas diagonais. Como a diagonal de um paralelepípedo retângulo é determinada por

sendo a, b e c as dimensões desse paralelepípedo, então:

Elevando ao quadrado os dois membros dessa equação, obtém-se:

Logo, a medida a de uma aresta da base é igual a 2 m. Consequentemente, o volume do prisma é igual

a:

Portanto, a capacidade máxima da caçamba é de 4 m3.

Ano 4, n. 11, ano 2011

Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação do terceiro grau:

Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias.

Determine as três raízes dessa equação.

Objetivo: Calcular as raízes de uma equação polinomial.

Item do programa: Aritmética e álgebra

Subitem do programa: Polinômios: equações polinomiais

Comentário da questão:

Uma equação da forma a4 = b4 tem como duas de suas soluções a = b ou a = – b.

Então (x+ 2)4 = x4 tem como possíveis soluções x + 2 = x ou x + 2 = – x. Observando que a primeira

equação é impossível, deve-se ter x + 2 = – x x=–1 como uma de suas raízes.

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2012 - Exame Discursivo - Questão 9Disciplina: Matemática

2012 - Exame Discursivo - Questão 10Disciplina: Matemática

Desenvolvendo-se o primeiro termo, encontra-se:

(x + 2)4 = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16

Então, a equação original é equivalente a:

x4 + 8x3 + 24x2 +32x + 16 = x4

8x3 + 24x2 + 32x + 16 = 0 (*)

Como já se sabe que –1 é uma de suas raízes, pode-se aplicar Briot-Ruffini para obter as outras duas

raízes dessa equação.

Desse modo, a equação (*) se reduz a:

(x + 1) (8x3 + 16x + 16) = 0

Analisando o fator 8x2 + 16x + 16 = 0, pode-se escrever 8(x2 + 2x + 2) = 0. As demais raízes são

obtidas resolvendo-se x2 + 2x + 2 = 0.

Tem-se

Então,

Logo, as raízes são –1, –1 + i e –1– i.

Ano 4, n. 11, ano 2011

Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o

seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais.

Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas

para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critério.

Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país.

Objetivo: Calcular o número de elementos de um conjunto finito.

Item do programa: Análise combinatória e estatística

Subitem do programa: Análise combinatória: combinações

Comentário da questão:

Inicialmente havia n capitais ligadas duas a duas por um total de estradas pavimentadas.

Com a criação de duas novas capitais, o total de estradas pavimentadas passa a ser

Como foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas para atingir esse total, tem-se:.

Inicialmente, portanto, havia 10 capitais.

Ano 4, n. 11, ano 2011

A figura abaixo representa a superfície plana de uma mesa retangular BFGH na qual estão apoiados os

seguintes instrumentos para desenho geométrico, ambos de espessuras desprezíveis:

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- um transferidor com a forma de um semicírculo de centro O e diâmetro ;

- um esquadro CDE, com a forma de um triângulo retângulo isósceles.

Considere as informações abaixo:

está contido em ;

está contido em ;

= 10 cm;

= 13 cm.

Calcule a medida, em centímetros, do menor segmento que liga a borda do transferidor à borda do

esquadro.

Objetivo: Calcular distância mínima entre duas curvas planas.

Item do programa: Vetores e geometria analítica

Subitem do programa: Geometria analítica no : estudos de retas

Comentário da questão:

Como a borda do transferidor é a semicircunferência AB de centro O, e a borda do esquadro é o

segmento de reta , então o menor segmento que liga essa bordas encontra-se sobre a reta r que

contém o ponto O e é perpendicular ao segmento .

Portanto, um modo de calcular a medida do segmento é determinar a distância do ponto O à reta

e subtrair dessa medida o valor do raio da semicircunferência AB.

Admitindo um sistema cartesiano com origem em B e eixos coordenados nas posições habituais, têm-se:

O=(0,5)

A = (0,10)

D = (13,0)

C = (13,10)

E = (3,0)

Então, a reta tem coeficiente angular e equação y – 0 = 1(x – 3), ou seja, y = x – 3

x – y – 3 = 0.

Utilizando a fórmula da distância do ponto P(xo, yo) à reta ax + by + c = 0, dada por

tem-se

Como a distância d, do ponto O à reta , mede , a medida do segmento será

Veja, a seguir, outra solução possível para esse problema.

Traçando a reta perpendicular ao segmento que contém o ponto O, obtêm-se os pontos I em , J

em e K em AB. Pela perpendicularidade da reta traçada, os triângulos EIJ e OBI são ambos

retângulos isósceles. Desse modo, deduz-se que:

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2011 - Exame Discursivo - Questão 1Disciplina: Matemática

2011 - Exame Discursivo - Questão 2Disciplina: Matemática

Em relação aos segmentos contidos em , tem-se ainda:

Como pode-se concluir que:

Como EIJ é retângulo isósceles , então

Portanto, a distância entre as bordas dos instrumentos de desenho corresponde a:

Ano 3, n. 9, ano 2010

Um supermercado realiza uma promoção com o objetivo de diminuir o consumo de sacolas plásticas: o

cliente que não utilizar as sacolas disponíveis no mercado terá um desconto de R$0,03 a cada cinco

itens registrados no caixa.

Um participante dessa promoção comprou 215 itens e pagou R$155,00.

Determine o valor, em reais, que esse cliente pagaria se fizesse as mesmas compras e não participasse

da promoção.

Objetivo: Calcular o valor monetário com base em raciocínio aritmético simples.

Item do programa: Aritmética e álgebra

Subitem do programa: Aritmética dos números inteiros: números naturais e inteiros (operações

fundamentais); estudos dos conjuntos numéricos: números racionais

Comentário da questão:

Sabendo que o cliente comprou 215 itens e a cada 5 itens ele obteve um desconto de 3 centavos,

pode-se deduzir que, em 215 itens, foi obtido um desconto de R$ 1,29, isto é, 215 5 0,03. Desse

modo, se não tivesse participado da promoção, o cliente teria pago R$ 156,29, ou seja, 155,00 + 1,29.

Ano 3, n. 9, ano 2010

Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma

estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da

quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de

passageiros no vagão corresponde a 120.

Determine o valor de n.

Objetivo: Calcular o valor de uma variável em função de porcentagens apresentadas.

Item do programa: Aritmética e álgebra

Subitem do programa: Estudo dos conjuntos numéricos: porcentagem

Comentário da questão:

Inicialmente, havia no vagão n passageiros. Após o desembarque de 20% desses passageiros,

restaram no vagão 80% desses passageiros, ou seja, 0,8n. Em seguida, entraram no vagão 20% dessa

quantidade, totalizando uma porcentagem de 120% de 0,8n, isto é, 1,2 0,8 n =120. Logo:

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2011 - Exame Discursivo - Questão 3Disciplina: Matemática

2011 - Exame Discursivo - Questão 4Disciplina: Matemática

n= 125

Ano 3, n. 9, ano 2010

Considere a equação:

Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a solução dessa equação:

O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incompleto.

Resolva a equação e determine corretamente o seu conjunto-solução.

Objetivo: Indicar a resolução da equação e descrever seu conjunto solução.

Item do programa: Funções e gráficos

Subitem do programa: Equação logarítmica

Comentário da questão:

As duas primeiras linhas da resolução do aluno estão corretas e podem ser obtidas utilizando-se

propriedades operatórias dos logaritmos. Em seguida, deixando todas as variáveis no primeiro membro

da equação e fatorando-a, obtém-se:

Resolvendo a nova equação, encontra-se:

Ano 3, n. 9, ano 2010

Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras:

- antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima,

dizendo "cara" ou "coroa";

- quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez;

ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente;

- em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla.

Veja o quadro que ilustra o jogo:

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2011 - Exame Discursivo - Questão 5Disciplina: Matemática

O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual

a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro.

Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo.

Objetivo: Calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética.

Item do programa: Aritmética e álgebra

Subitem do programa: Estudo dos conjuntos numéricos: progressões aritméticas

Comentário da questão:

A cada erro são escritas 4 letras a mais que no erro anterior. Logo, está-se formando uma P.A. cujo

primeiro termo é 4 e a razão é 4:

(4; 8; 12; 16;...an)

Para determinar em que etapa o jogo termina, ou seja, quando o número total de letras escritas do

primeiro ao último erro é igual a dez vezes o número de letras consideradas apenas em razão do

enésimo erro, deve-se resolver a seguinte equação:

4 + 8 +12 + 16 +... an = 10an

Resolvendo-se essa equação obtém-se:

Ano 3, n. 9, ano 2010

Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor, às 16

horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura.

Observe o gráfico que representa as alturas de cada uma das velas em função do tempo a partir do

qual a vela A foi acesa.

Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas.

Objetivo: Calcular a medida de duas alturas.

Item do programa: Vetores e geometria analítica

Subitem do programa: Geometria analítica no R2 e R3: estudo de retas

Comentário da questão:

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2011 - Exame Discursivo - Questão 6Disciplina: Matemática

Solução por geometria analítica

Vamos chamar de k a altura inicial da vela A. Então, a altura inicial da vela B será k_2.

De acordo com o gráfico, a reta que representa a variação de alturas da vela A em função do tempo

contém os pontos (0,k) e (5,0). Então essa reta tem como equação:

Do mesmo modo, a reta que representa a variação de alturas da vela B em função do tempo contém os

pontos (6,0) e (1,k_2). Logo sua equação é:

Observando o gráfico, nota-se que as alturas são iguais quando x=2. A partir dessa informação, tem-se

a seguinte igualdade:

Resolvendo essa igualdade:

Portanto, as alturas das velas A e B são, respectivamente, 8 cm e 6 cm.

Solução por geometria plana

Semelhança dos triângulos:

ABC e EDC (1)

FGH e DEH (2)

Fazendo (1) _ (2), tem-se:

Ano 3, n. 9, ano 2010

Uma sala tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Para levar fios a uma tomada T, um cano foi

instalado tangente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do cano, , faz um ângulo de

45º com o chão e a segunda parte, , congruente com a primeira, forma um ângulo de 45º com a

parede inicial.

Observe a ilustração:

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Desprezando a espessura do cano, calcule o ângulo BÂT, formado por suas duas partes.

Objetivo: Calcular a medida de um ângulo.

Item do programa: Geometria e trigonometria

Subitem do programa: Relações métricas e angulares no triângulo retângulo: aplicações; teorema de

Pitágoras; lei dos cossenos

Comentário da questão:

Solução por geometria espacial

Chamando de a a medida do segmento de reta e do segmento de reta , conclui-se que a tomada

T se encontra a uma distância de unidades do chão devido aos ângulos de 45 graus formados.

Por esse mesmo motivo, o segmento mede a unidades. Aplicando o teorema de Pitágoras ao

triângulo BCT obtém-se:

Finalmente, aplicando a lei dos cossenos ao triângulo BAT tem-se:

Resolvendo a equação resultante:

Solução por vetores em R3

As coordenadas dos pontos B, A e T são:

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2011 - Exame Discursivo - Questão 7Disciplina: Matemática

2011 - Exame Discursivo - Questão 8Disciplina: Matemática

Os vetores e possuem as seguintes coordenadas: e

Ano 3, n. 9, ano 2010

Para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz principal, que apita o

jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido

aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa escolha,

um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal.

Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal.

Objetivo: Calcular a probabilidade do evento descrito.

Item do programa: Análise combinatória e estatística

Subitem do programa: Probabilidade condicional

Comentário da questão:

Dois eventos independentes devem ser considerados:

escolher 3 juízes de um grupo de 10 juízes, sendo X um deles;

escolher o juiz principal dentre os 3 juízes previamente escolhidos.

Como X já faz parte do grupo escolhido no evento 1, na verdade, há 9 juízes dentre os quais serão

escolhidos mais 2, ou seja:

O espaço amostral terá o seguinte número de elementos:

Então:

Feito isso, a probabilidade de escolher X entre os 3 juízes previamente escolhidos será:

Portanto, a probabilidade de que X seja o juiz principal é:

Ano 3, n. 9, ano 2010

Considere a matriz A3 × 3 abaixo:

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2011 - Exame Discursivo - Questão 9Disciplina: Matemática

Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte relação:

Nessa relação, os arcos θ1, θ2 e θ3 são positivos e menores que radianos.

Calcule o valor numérico do determinante da matriz A.

Objetivo: Calcular o valor numérico do determinante da matriz.

Item do programa: Vetores e geometria analítica

Subitem do programa: Matrizes: determinantes

Item do programa 2: Geometria e trigonometria

Subitem do programa: Equações trigonométricas

Comentário da questão:

Observando-se os elementos da diagonal principal da matriz, juntamente com a relação que os define,

conclui-se que:

a22 = a33 = 1 = 2 sen θ2 cos θ2 = 2 sen θ3 cos θ3

sen (2θ2) = sen (2 θ3) = 1

Ou seja:

θ2 = θ3 = 45o

Desse modo, a matriz apresenta duas colunas iguais e, consequentemente, seu determinante é 0.

Ano 3, n. 9, ano 2010

Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um

tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo:

Considere os seguintes dados:

∙ os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma;

∙ 1 m.

Determine o volume inicial da pedra.

Objetivo: Calcular o volume de um sólido.

Item do programa: Geometria e trigonometria

Subitem do programa: Estudo de sólidos: prismas e pirâmides

Comentário da questão:

De acordo com a figura, as faces VBC e ABC do tetraedro regular encontram-se inscritas nas faces

laterais BCFD e BCGE, respectivamente. Então, o ângulo DBE é congruente ao ângulo da seção

meridiana VMA que contém o ponto M, médio de BC. Aplicando a lei dos cossenos a esse triângulo,

obtém-se:

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2011 - Exame Discursivo - Questão 10Disciplina: Matemática

Substituindo os valores numéricos e resolvendo a equação resultante tem-se:

Como os ângulos VMA e EBD são congruentes, conclui-se que:

Calculando o volume do prisma:

Ano 3, n. 9, ano 2010

O gráfico acima representa uma função polinomial P de variável real, que possui duas raízes inteiras e é

definida por:

Determine o valor da constante representada por m e as quatro raízes desse polinômio.

Objetivo: Calcular o valor do termo independente e das raízes do polinômio.

Item do programa: Aritmética e álgebra

Subitem do programa: Equações polinomiais: pesquisa de raízes racionais e raízes imaginárias

Comentário da questão:

Como 1 é uma raiz do polinômio, P(1)=0, ou seja:

Observando o gráfico da função polinomial, nota-se que -2 também é uma raiz de P. Para determinar as

outras duas raízes, deve-se dividir P por (x-1)(x+2), obtendo o polinômio quadrático x2-4x+8.

Resolvendo a equação:

Logo as quatro raízes desse polinômio são -2; 1; 2+2i e 2-2i.

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2010 - Exame Discursivo - Questão 1Disciplina: Matemática

2010 - Exame Discursivo - Questão 2Disciplina: Matemática

Ano 2, n. 5, ano 2009

Duas empresas, A e B, farão doações mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, em

reais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010.

A diferença entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes será mantida

constante ao longo de um determinado período.

Determine o mês e o ano desse período em que o valor mensal do depósito da empresa A será igual ao

da empresa B.

Objetivo: Calcular o número de termos presentes nas progressões aritméticas apresentadas, utilizando

procedimentos pessoais ou convencionais.

Item do programa: Aritmética e álgebra

Subitem do programa: Progressões aritméticas

Comentário da questão:

Progressão aritmética formada pelos valores das doações da empresa A:

(12.000, 11.400, 10.800,..., an, ...), sendo a1 = 12.000 e ra = - 600

Progressão aritmética formada pelos valores das doações da empresa B:

(300, 600, 900,..., bn, ...), sendo b1 = 300 e rb = 300

O valor mensal do depósito da empresa A será igual ao da empresa B quando an = bn. Assim:

a1 + (n - 1) ra = b1 + (n - 1) rb

12.000 + (n - 1) (- 600) = 300 + (n - 1) (300)

12.000 - 300 = (n - 1) (600 + 300)

11.700 = (n - 1) 900

13 = n - 1

n = 14 meses

Como a primeira doação foi feita em janeiro de 2010, os valores dos depósitos coincidirão em fevereiro

de 2011.

Ano 2, n. 5, ano 2009

Observe a figura abaixo, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos

médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo.

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2010 - Exame Discursivo - Questão 3Disciplina: Matemática

O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja maior que a altura. O

retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo.

Calcule a razão .

Objetivo: Calcular as medidas dos lados de triângulos utilizando procedimentos convencionais.

Item do programa: Geometria e trigonometria

Subitem do programa: Relações métricas no triângulo retângulo: aplicações; teorema de Pitágoras

Comentário da questão:

Observe o quadrado e o retângulo abaixo:

O retângulo é formado com as mesmas peças do quadrado, logo:

A seguinte relação é válida para o triângulo retângulo ADM:

Como pode-se obter a razão:

Ano 2, n. 5, ano 2009

Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio da digitação,

em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante.

Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre.

Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente.

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2010 - Exame Discursivo - Questão 4Disciplina: Matemática

Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m

conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre.

Calcule o valor de

Objetivo: Calcular o número de elementos de um conjunto com base em técnicas de contagem,

utilizando procedimentos pessoais ou convencionais.

Item do programa: Análise combinatória e estatística

Subitem do programa: Análise combinatória: princípio fundamental da contagem (aditivo e

multiplicativo); combinações (agrupamentos não ordenados)

Comentário da questão:

Para um conjunto formado com as seis teclas habilitadas pelo fabricante, o número n de subconjuntos

distintos formados com três teclas distintas será:

Para um conjunto formado com as cinco teclas habilitadas pelo fabricante, o número m de subconjuntos

distintos formados com três teclas distintas será:

Logo:

Ano 2, n. 5, ano 2009

Uma criança guarda moedas de R$ 1,00 e de R$ 0,50 em duas caixas, uma verde e outra amarela. Na

caixa amarela, há, exatamente, 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50.

Admita que, após a transferência de n moedas de R$ 1,00 da caixa verde para a amarela, a

probabilidade de se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da caixa amarela seja igual a 50%.

Calcule o valor de n.

Objetivo: Calcular o número de elementos de um conjunto com base na definição de probabilidade de

um evento, utilizando procedimentos pessoais ou convencionais.

Item do programa: Análise combinatória e estatística

Subitem do programa: Probabilidades: definição, espaço amostral e eventos

Comentário da questão:

Na caixa amarela, havia exatamente 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50. Após a

transferência de n moedas de R$ 1,00, a caixa amarela terá:

(12 + n) moedas de R$ 1,00

(12 + n + 15) moedas de R$ 1,00 e R$ 0,50

A probabilidade igual a 50% de se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da caixa amarela é dada por:

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2010 - Exame Discursivo - Questão 5Disciplina: Matemática

Ano 2, n. 5, ano 2009

Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes por um plano que contém duas diagonais de faces opostas

da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto,

conforme ilustrado abaixo.

Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na divisória, calcule a razão

entre o volume do cilindro e o da caixa.

Objetivo: Transferir conhecimentos referentes às relações métricas no triângulo para cálculo de volume

de sólidos.

Item do programa: Geometria e trigonometria

Subitem do programa: Estudo de sólidos: prismas, cilindros (elementos e volumes); inscrição e

circunscrição de sólidos

Comentário da questão:

Observe a figura abaixo, que representa parte da face superior do sólido:

A hipotenusa do triângulo retângulo isósceles da figura mede . Portanto:

Os volumes dos sólidos são dados por:

Logo:

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2010 - Exame Discursivo - Questão 6Disciplina: Matemática

2010 - Exame Discursivo - Questão 7Disciplina: Matemática

Ano 2, n. 5, ano 2009

Sejam e dois números reais positivos e A, G e H, respectivamente, as médias aritmética, geométrica

e harmônica desses dois números. Admita que > e que a sequência (A, G, H) seja uma progressão

geométrica de razão .

Determine .

Objetivo: Calcular a razão entre dois números com base na definição de progressões geométricas e de

médias.

Item do programa: Aritmética e álgebra

Subitem do programa: Progressões geométricas

Item do programa 2: Análise combinatória e estatística

Subitem do programa: Médias: aritmética simples, geométrica e harmônica

Comentário da questão:

Considerando as definições de médias, A, G e H são dadas por:

A sequência (A,G,H) é uma P.G. de razão

e são números reais positivos, com > , logo:

Ano 2, n. 5, ano 2009

Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos e em três

partes, como mostra a figura.

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2010 - Exame Discursivo - Questão 8Disciplina: Matemática

Admita que os segmentos de reta e estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do

terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S.

Determine o maior valor, em m2, que S pode assumir.

Objetivo: Transferir conhecimentos acerca de função polinomial de 2º grau para cálculo de área.

Item do programa: Funções e gráficos

Subitem do programa: Função quadrática: estudo de máximo

Item do programa 2: Geometria e trigonometria

Subitem do programa: Áreas de polígonos e suas partes

Comentário da questão:

Considere as seguintes equivalências:

Assim:

Logo:

Ano 2, n. 5, ano 2009

Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14 ou 15

gols cada um. O número total de gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas,

apenas cinco marcaram mais de 13 gols.

Calcule o número de atletas que fizeram 15 gols.

Objetivo: Descrever as soluções inteiras de um sistema linear.

Item do programa: Vetores e Geometria Analítica

Subitem do programa: Sistemas lineares de equações com três incógnitas

Comentário da questão:

Em relação aos jogadores premiados, considere:

x = número de atletas que marcaram 13 gols

y = número de atletas que marcaram 14 gols

z = número de atletas que marcaram 15 gols

Logo:

13x + 14y + 15z = 125

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2010 - Exame Discursivo - Questão 9Disciplina: Matemática

y + z = 5

z = 5 - y, sendo 0 y 5

Assim:

13x + 14y + 15(5 - y) = 125

13x + 14y + 75 - 15y = 125

13x - y = 50

y = 13x - 50

Como:

0 y 5

0 13x - 50 5

50 13x 55

x = 4

Portanto:

y = 13x - 50 = 13 4 - 50 = 2

z = 5 - y = 5 - 2 = 3

O número de atletas que fizeram 15 gols é igual a 3.

Ano 2, n. 5, ano 2009

Suponha que e são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes,

conforme as igualdades a seguir:

Calcule a razão .

Objetivo: Calcular a razão entre dois números com base na definição de logaritmo.

Item do programa: Funções e gráficos

Subitem do programa: Funções logarítmica e exponencial: equações

Comentário da questão:

Considere as seguintes igualdades:

log9 x= log6 y = log4 (x + y) = k

Assim, têm-se:

log 9x = k

9k = x

log 6y = k

6k = y

log 4 (x + y) = k

4k = (x + y )

Logo:

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2010 - Exame Discursivo - Questão 10Disciplina: Matemática

4k = 9k + 6k

4k - 6k - 9k = 0

(2k)2 - 3k (2k) - 32k = 0

Considerando z = 2k :

z2 - 3kz - 32k = 0

Como z é positivo:

Portanto:

Ano 2, n. 5, ano 2009

As seis soluções da equação z6 + z3 + 1 = 0 são números complexos que possuem módulos iguais e

argumentos distintos.

O argumento θ, em radianos, de uma dessas soluções pertence ao intervalo .

Determine a medida de θ.

Objetivo: Descrever as raízes imaginárias de uma equação polinomial e calcular a medida de um ângulo.

Item do programa: Aritmética e álgebra

Subitem do programa: Polinômios: equações polinomiais (relações entre coeficientes e raízes, teorema

fundamental da álgebra, pesquisa de raízes racionais, raízes imaginárias)

Comentário da questão:

Na equação z6 + z3+1 = 0, substitui-se z3 por y:

Para determinar as raízes cúbicas de um número complexo w = r (cosθ + isenθ), usa-se a seguinte

relação:

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2009 - Exame Discursivo - Questão 1Disciplina: Matemática

Portanto, as raízes cúbicas do número complexo

são determinadas por:

Analogamente, as raízes cúbicas do número complexo

são determinadas por:

Como

Ano 2, n. 3, ano 2009

Admita dois números inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divisões de a e b por 8

são, respectivamente, 7 e 5.

Determine o resto da divisão do produto a.b por 8.

Objetivo: Calcular o resto de uma divisão, utilizando procedimentos convencionais.

Item do programa: Aritmética e Álgebra

Subitem do programa: Aritmética dos números inteiros: a) números naturais e inteiros: operações

fundamentais;

Comentário da questão:

a e b são números inteiros positivos. Na divisão de a e b por 8, obtêm-se, respectivamente, restos 7 e 5.

Dessa forma, é possível escrever:

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2009 - Exame Discursivo - Questão 2Disciplina: Matemática

2009 - Exame Discursivo - Questão 3Disciplina: Matemática

Conclui-se que o resto da divisão do produto a.b por 8 é igual a 3.

Ano 2, n. 3, ano 2009

Objetivo: Reconhecer uma progressão aritmética e calcular o número de termos nela presentes,

utilizando procedimentos convencionais.

Item do programa: Aritmética e Álgebra

Subitem do programa: Progressões aritméticas e geométricas, suas aplicações em matemática

financeira: juros simples e compostos, valor futuro e valor atual.

Comentário da questão:

A progressão aritmética formada pelos comprimentos em centímetros de cada salto válido corresponde

a: (704, 707, 710, ..., 722). Assim, o número de termos dessa P.A., de razão r = 3, é determinado por:

Como, entre cada dois saltos válidos consecutivos, temos um salto inválido, conclui-se que foram

realizados 7 saltos válidos e 6 saltos inválidos, perfazendo um total de 13 saltos.

Calcule o valor de n.

Ano 2, n. 3, ano 2009

Considere a situação abaixo:

Essa solução está errada. Apresente a solução correta.

Objetivo: Calcular o número de elementos de um determinado conjunto, utilizando procedimentos

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2009 - Exame Discursivo - Questão 4Disciplina: Matemática

pessoais ou convencionais.

Item do programa: Análise Combinatória e Estatística

Subitem do programa: Análise Combinatória: princípio fundamental da contagem (aditivo e

multiplicativo); princípio da inclusão e exclusão; arranjos (agrupamentos ordenados) e combinações

(agrupamentos não ordenados)

Comentário da questão:

Nesta situação, há seis possibilidades de se escolher uma mulher e, para cada uma dessas escolhas,

existem seis possibilidades de se escolher um homem.

Portanto, o número de maneiras distintas de se formar um casal é dado por:

Ano 2, n. 3, ano 2009

A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola

perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma.

Admitindo determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em

relação ao volume da caixa.

Objetivo: Transferir conhecimentos referentes a relações métricas no triângulo para cálculo de volume

de sólidos.

Item do programa: Geometria e Trigonometria

Subitem do programa: Esfera e suas partes: áreas e volumes.

Comentário da questão:

O volume VB da bola e o volume VC interno da caixa correspondem a:

Sendo:

AB - área da base do prisma

h - altura do prisma

L - lado do triângulo obtido da seção reta do prisma

r - raio da esfera

Observe as ilustrações:

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2009 - Exame Discursivo - Questão 5Disciplina: Matemática

Considerando o triângulo BCH na segunda ilustração, tem-se:

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Ano 2, n. 3, ano 2009

Observe a parábola de vértice V, gráfico da função quadrática definida por y = ax2 + bx + c, que corta o

eixo das abscissas nos pontos A e B.

Calcule o valor numérico de sabendo que o triângulo ABV é equilátero.

Objetivo: Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, utilizando procedimentos

convencionais.

Item do programa: Funções e gráficos

Subitem do programa: Função quadrática: gráficos; máximo ou mínimo; variação de sinal; inequações

produto e quociente.

Comentário da questão:

As raízes da função quadrática são dadas por:

Sendo:

O lado L do triângulo é dado pelo comprimento do segmento . Assim:

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2009 - Exame Discursivo - Questão 6Disciplina: Matemática

A altura do triângulo relativa ao vértice V é:

Comparando as expressões para h, tem-se:

Ano 2, n. 3, ano 2009

Em uma folha de fórmica retangular ABCD, com 15 dm de comprimento por 10 dm de largura

um marceneiro traça dois segmentos de reta, . No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar

um prego, ocorre a interseção desses segmentos.

A figura abaixo representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos

coordenados.

Considerando a medida do segmento igual a 5 dm, determine as coordenadas do ponto F.

Objetivo: Discriminar as coordenadas de um ponto no plano.

Item do programa: Vetores e Geometria Analítica

Subitem do programa: Geometria analítica no R²: reta e cônicas (circunferência, elipse, hipérbole e

parábola).

Comentário da questão:

y = ax + b é a equação reduzida de uma reta.

A reta passa pelos pontos A = (0, 0) e E = (10, 10), logo sua equação é dada por:

Substituindo:

y = x

A reta passa pelos pontos D = (0, 10) e B = (15, 0), logo sua equação é dada por:

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2009 - Exame Discursivo - Questão 7Disciplina: Matemática

Substituindo:

O ponto de interseção dessas retas é a solução do sistema:

Assim:

F = (6, 6)

Ano 2, n. 3, ano 2009

Uma seqüência de três números não nulos (a, b, c) está em progressão harmônica se seus inversos

, nesta ordem,

formam uma progressão aritmética.

As raízes da equação a seguir, de incógnita x, estão em progressão harmônica.

Considerando o conjunto dos números complexos, apresente todas as raízes dessa equação.

Objetivo: Descrever as raízes de uma equação polinomial do 3°grau.

Item do programa: Aritmética e Álgebra

Subitem do programa: Polinômios: c) equações polinomiais: relações entre coeficientes e raízes,

teorema fundamental da Álgebra, pesquisa de raízes racionais, raízes imaginárias.

Comentário da questão:

Se a, b e c são as raízes e formam uma progressão aritmética, então:

Na equação , encontram-se as seguintes relações entre coeficientes e raízes:

Como , a equação possui raízes a e c. Resolvendo essa equação,

tem-se:

Assim, as raízes são {5; 1 + 2i ; 1 - 2i}.

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2009 - Exame Discursivo - Questão 8Disciplina: Matemática

Ano 2, n. 3, ano 2009

Objetivo: Calcular o comprimento de uma curva no plano.

Item do programa: Geometria e Trigonometria

Subitem do programa: Relações métricas e angulares em quadriláteros, polígonos regulares e círculos.

Comentário da questão:

O triângulo ABD é retângulo isósceles. Observe:

Os arcos AE e BF possuem mesmo raio e mesmo comprimento igual a

O arco EF tem 90º e seu raio é

Então:

comprimento (EF) =

comprimento (AEFB) =

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2009 - Exame Discursivo - Questão 9Disciplina: Matemática

2009 - Exame Discursivo - Questão 10Disciplina: Matemática

Ano 2, n. 3, ano 2009

Os baralhos comuns são compostos de 52 cartas divididas em quatro naipes, denominados copas,

espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de cada um deles.

Observe a figura que mostra um desses baralhos, no qual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e

K são denominadas, respectivamente, ás, valete, dama e rei.

Uma criança rasgou algumas cartas desse baralho, e as n cartas restantes, não rasgadas, foram

guardadas em uma caixa.

A tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar-se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas:

Calcule o valor de n.

Objetivo: Calcular a probabilidade de um evento utilizando procedimentos convencionais.

Item do programa: Análise Combinatória e Estatística

Subitem do programa: Probabilidades: definição, espaço amostral e eventos; probabilidades da união e

interseção de eventos; probabilidade condicional; eventos independentes e distribuição binomial

Comentário da questão:

O número de cartas não rasgadas, guardadas na caixa, é denotado por n.

As probabilidades indicadas de retirada de algumas cartas podem ser descritas da seguinte forma:

- um rei

- uma carta de copas

- uma carta de copas ou um rei

A probabilidade de retirada do rei de copas é dada por .

Assim:

Como a probabilidade de é diferente de zero, pode-se concluir que existe um rei de copas na

caixa.

Então:

n = 40

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Ano 2, n. 3, ano 2009

Calcule tg(a _ b + c).

Objetivo: Calcular uma função trigonométrica.

Item do programa: Geometria e Trigonometria

Subitem do programa: Fórmulas trigonométricas de adição, subtração e duplicação de arcos.

Comentário da questão:

Considerando , aplica-se o teorema:

Dado que tg(b) = 2 e fazendo , segue que:

Aplicando novamente o teorema, considerando agora :

CONSIDERE O TEOREMA E OS DADOS A SEGUIR PARA A SOLUÇÃO DESTA QUESTÃO.

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