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CUADERNILLO PARA EL INGRESANTE

CURSO INTRODUCTORIO

09/03/2020

ESCUELA NORMAL SUPERIOR “OSVALDO MAGNASCO”

NIVEL SUPERIOR

PESMatemática

CUADERNILLO PARA EL INGRESANTE 2020

1

Rector: Héctor Gustavo Broin

EQUIPO DE TRABAJO

Coordinación General , Diseño y Edición.

García, María Soledad – Vice-Rectora

Zabala, Mónica María – Secretaria Académica.

Recopilación del material y/o elaboración.

Módulo 1

Añaia, Myrna

Barboza, Carolina

Firpo, Nancy

Flores, Mariano

Navoni, Sonia

Pérez Laurent, Sol

Docentes que acompañan las instancias presenciales: Andino, Verónica - Añaia, Iris - Barrios, Laura -

Bonzzi, Javier - Calderón, Nadia - Carballo, Casiano - Carlini López, Leonel - Castañeda, Carolina - Dotta,

Miguel - Enrique, Griselda - Ferretti, Mariana - Godoy, Mirta - Gomez, Ma. Noelia - González, Jorge - Gregorutti,

Natalia - Ifran, Silvia Cristina - Jorge, Irma - Maldonado, Juan José - Medina, Ramona - Navoni, Ma. Eugenia -

Nuñez, Luz. - Oberti, Javier - Ocampo, Raúl - Pérez, Ma. Luisa - Prada, Silvia - Rizzo, Ma. Sol - Rodríguez, Nadia

- Ruber, Jorgelina - Sanzberro, Fernanda - Scaglioni, Cintia - Schneider, Ramona - Sosa, Estefanía - Sosa, Griselda -

Vaquie, Emanuel - Vera, Carlos Ariel

Módulo 2

Cabana, Virginia

Cervera, Romina

Gastal, Pamela

Jorge, Fabián

Maggioni, Natalia

Docentes que acompañan las instancias presenciales: Alovero, Sandra - Bruno, Ma. de los Ángeles -

Elena, Verónica - Flores, Carina - Gómez, Darío - López Montenegro, Elizabet - Muñoz, Ma. Alba - Navoni,

Federico - Ocampo, Raúl - Pérez, Lorena - Rápela, Iván - Silva Ramos, Macarena

Módulo 3

Brassesco, Antonella

Zabala, Mónica

Docentes que acompañan la propuesta presencial: Algaraña, Alicia Sabrina - Azcarate, Federico -

Sanchez, Nancy Ines.


2

INDICE

Módulo 1:(09/03 al 13/03/20)

“Leer escuchar y producir textos como estudiantes del Nivel Superior”……..3

Módulo 2: (16/03 al 17/03/20)

“Ser estudiante de formación docente”……………………………….……………..16

Módulo 3: (18/03 al 20/03/20)

“Contenidos prioritarios de las disciplinas específicas de cada una de las

carreras” …………………………………………………………………………..………27


3

Módulo 1:(09/03 al 13/03/20)

“Leer escuchar y producir textos como estudiantes del

Nivel Superior”

Actividad 1

En el Anexo 1 de este material figura un fragmento de un programa de “Didáctica general”

que redactó una profesora para estudiantes de un Profesorado de Inglés de Nivel Primario.

Allí figuran los contenidos de algunas unidades y la bibliografía de una de ellas. A partir de

esa información, resuelvan los siguientes interrogantes:

1. ¿Cuántos capítulos del libro de Yves Chevallard figuran en la bibliografía?

2. ¿De qué otros libros se indican capítulos para leer?

3. ¿Qué libros no incluyen referencias sobre capítulos para leer, por lo que les

convendrá preguntar si falta información o si deben leerlos completos?

4. ¿A qué unidad del programa corresponderá la bibliografía consignada? ¿Cómo se

dieron cuenta?

5. Teniendo en cuenta el listado de contenidos de esa unidad y el título de cada libro,

intenten establecer relaciones: ¿qué contenidos de la unidad se profundizarán en

cada texto? ¿Cómo deberían continuar para comenzar a confirmar esas hipótesis?


4

Actividad 2

a - Respondan a las siguientes preguntas a partir del índice de contenidos de la obra de

Delval Aprender en la vida y en la escuela (ver Anexo 2).

1. ¿Cuántas concepciones sobre la adquisición del conocimiento identifica el autor?

¿Cuáles son?

2. Según Delval, ¿qué funciones cumple la escuela?

3. El aprendizaje cotidiano y el escolar, ¿son lo mismo?

b - Hagan una puesta en común del punto anterior a partir de las siguientes propuestas:

1. ¿Cómo hicieron para encontrar las respuestas en un texto tan breve como un

índice? Intercambien sus experiencias.

2. Hagan un punteo de todo lo que pueden saber sobre el libro de Delval con sólo mirar

el índice. Para cada punto, justifiquen cómo hicieron para saberlo y en qué parte o

partes del índice se encuentra.

3. El libro de Delval se llama Aprender en la vida y en la escuela. ¿En qué capítulos del

libro se tratan estos temas?

4. En el libro, según lo que les permite deducir el índice, ¿se le da más lugar al

aprendizaje escolar o al que sucede fuera de las instituciones educativas?

Fundamenten sus opiniones.

Actividad 3

Les proponemos realizar nuevas inferencias a partir de otro índice, correspondiente a la

obra Desarrollo cognitivo y educación (Anexo 3). Los inicios del conocimiento, compilado

por J. Castorina y M. Carretero.

1. ¿En cuántas partes y en cuántos capítulos se organiza esta obra? ¿Castorina y

Carretero son los autores de todos los capítulos?

2. ¿Cuál de las dos partes aborda teorías generales sobre cómo se desarrolla el

conocimiento?

3. El Capítulo 1 del libro presenta las características de la teoría desarrollada por J.

Piaget. ¿Qué partes del índice de este capítulo permiten inferir que se analizan

puntos fuertes y débiles de esa teoría?

4. La segunda parte del libro incluye seis capítulos que se refieren al desarrollo de

conocimientos específicos en los períodos iniciales de la vida de los seres humanos.

Señalen, al menos, tres tipos de conocimientos específicos analizados.

5. Revisen en particular el índice del Capítulo 11 e indiquen cuáles de las siguientes

preguntas consideran que responde este capítulo y, si es posible, en qué parte o

partes del capítulo encontrarán sus respuestas:

¿A qué edad aparecen los primeros actos comunicativos argumentativos?

¿Qué características tienen los textos argumentativos?

¿Qué actividades fomentan el desarrollo de hábitos intelectuales en los

alumnos, que colaboran con la producción y comprensión de discursos

argumentativos?


5

¿Qué es un texto argumentativo?

Actividad 4

Parte 1

Comenzaron a leer un texto que encargó el profesor de Filosofía de la Educación, lapicera

en mano. Llegaron a la mitad del capítulo, pero no están conforme. Hicieron algunas

anotaciones marginales en algunas partes del texto, pero en otras no escribieron ni

señalaron nada, aunque les parece que es importante. Cuando se detienen a pensar, se

dan cuenta de que no pueden armar un resumen mental de lo que ya leyeron.

¿Qué harán para resolver este problema? Escriban un texto breve para explicarlo (hasta

dos párrafos).

Para hacerlo, reconstruyan mentalmente la forma en que intentaban resolver este problema

durante la escuela secundaria o en otras instancias formativas.

Parte 2

Compartan sus textos en pequeños grupos e intercambien sus opiniones: ¿En qué

coinciden sus modos de resolver problemas durante la lectura, a medida que leen y

detectan que no logran conectar las ideas presentes en el texto? ¿En qué observan

diferencias?

Parte 3

A partir de lo conversado en los grupos, reflexionen entre todos y con el/la docente:

1. Listen las acciones que implementan cuando la comprensión de un texto se torna

dificultosa.

2. Prepárense para leer el texto que se reproduce a continuación, “Con el ojo en la

lupa: descubrir las relaciones”1, a fin de hipotetizar sobre su contenido y cómo se

vincula con lo que han estado compartiendo.

3. Proyección de un video: “La pasión en la lectura la ponen los jóvenes”2. Tomar

apuntes mientras se proyecta el video.

1 https://drive.google.com/drive/u/0/folders/1w9jmfC-LfsZ-HUI3y8tfWnw2JeYp9XG6

2 https://www.youtube.com/watch?v=5es_G9-xInc

https://drive.google.com/drive/u/0/folders/1w9jmfC-LfsZ-HUI3y8tfWnw2JeYp9XG6

https://www.youtube.com/watch?v=5es_G9-xInc


6

Actividad 5 (Grupal)

1. Con la toma de apuntes del video del día anterior, produzcan un texto. El mismo

debe ser un resumen. (Resumen es distinto a síntesis)


7

Anexos Modulo 1


8

Anexo 1

Extractos de un programa de “Didáctica general”.

Programa

Contenidos

Unidad 1: La Didáctica General: ¿Qué es y qué no es?

Didáctica y Pedagogía. La didáctica como objeto de conocimiento. Origen histórico de la Didáctica.

El siglo XVII y la "Didáctica Magna" de Comenius. Las fronteras de la didáctica general, los ámbitos

de las didácticas especiales. Los campos de aplicación. Corrientes didácticas.

Unidad 2:¿Cómo se define lo que se enseña en las escuelas? Del encuadre nacional al proyecto

institucional.

El Curriculum como marco de programación de la acción docente. Curriculum Oculto y Curriculum

nulo. Niveles de decisión curricular: Nacional, Jurisdiccional, Institucional y de aula. El diseño

curricular y los documentos curriculares de la Jurisdicción. El Proyecto Educativo Institucional (PEI),

el plan anual y la unidad didáctica. Otras normas que regulan el quehacer docente en el aula por fuera

de la prescripción curricular: leyes, resoluciones y disposiciones nacionales o jurisdiccionales.

La cultura escolar. La normativa, las prácticas y los actores. La perspectiva del docente y la

perspectiva del alumno. Propuestas curriculares, planes de estudios, programas de materias y

proyectos pedagógicos.

Unidad 3: ¿Qué y cómo enseñar en el aula? La escuela como escenario de operaciones didácticas.

Planificar la enseñanza: enfoques y modelos. Pensar la planificación con foco en los procesos de

aprendizaje. La planificación anual y la planificación de clases. La transposición didáctica: cómo se

transforma el saber científico en saber a enseñar.

Los contenidos y su selección, secuencia y tratamiento.

Métodos y estrategias de enseñanza. Metodologías directas e indirectas: estudios de casos, proyectos

didácticos, juego didáctico, exposición dialogada, simulaciones, estrategias para promover el

aprendizaje colaborativo. La gestión del tiempo, del grupo, de los recursos y de los intercambios en

las estrategias de enseñanza.

Las estrategias de enseñanza en entornos virtuales: tipos de entornos, características. El aula taller, el

seminario, el grupo de estudio.

Unidad 4: ¿Qué significa evaluar? La evaluación como oportunidad de aprendizaje.


9

Historia y desarrollo del concepto de Evaluación. Las funciones de la evaluación en distintos niveles

de decisión: sistema, instituciones y aula. Tipos de evaluación, sus usos y sentidos. La evaluación en

el aula como oportunidad de aprendizaje. La definición de criterios, estrategias e instrumentos de

evaluación formativa. Las diferencias y relaciones entre evaluar, calificar y acreditar. El rol de la

retroalimentación en la evaluación. La meta evaluación: evaluar lo evaluado.

Bibliografía de la Unidad XX

● Anijovich, R. y Mora, S. (2009). Estrategias de enseñanza: otra mirada al quehacer en el aula.

Buenos Aires: Aique.

● Armendáriz, A. y Ruiz Montani, C. (2006). El aprendizaje de lenguas extranjeras y las

tecnologías de la información. Buenos Aires: Lugar.

● Gutiérrez Martínez, J. (2003). “Nuevas tecnologías y sociedad de la información” en Brunner,

J.J. y Tedesco, J.C. Las nuevas tecnologías y el futuro de la educación. Buenos Aires: IIPE –

UNESCO. Setiembre Grupo Editor. Santiago de Chile.

● Chevallard, Y. (1998). La transposición didáctica. Del Saber Sabio al Saber Enseñado.

Buenos Aires: Aique Grupo Editor. Capítulo1: “¿Qué es la transposición didáctica?” Capítulo

2: “¿Existe la transposición didáctica? O la vigilancia epistemológica.” Capítulo 3: ¿Es buena

o es mala la transposición didáctica?

● Davini, M. C. (2008). Métodos de enseñanza: didáctica general para maestros y profesores.

La ed. - Buenos Aires: Santillana.

● Fenstermacher, G. y Soltis, J. (1999). Enfoques de la enseñanza. Buenos Aires: Amorrortu.

● Litwin, E. (2008). El oficio de enseñar. Condiciones y contextos. Buenos Aires: Paidós.

Capítulo 5: “El oficio en acción: construir actividades, seleccionar casos, plantear problemas”.

● Maggio, M. (2012). Enriquecer la Enseñanza. Buenos Aires: Paidós.

● Sanjurjo, L. y Vera, T. (1994). Aprendizaje significativo y enseñanza en los niveles medio y

superior. Rosario: Homo Sapiens.


10

Anexo 2

Índice o tabla de contenidos de Delval, J. (2001). Aprender en la vida y en la escuela. Madrid: Morata.


11

Anexo 3.


12


13


14


15

11. El desarrollo de las habilidades argumentativas

Gustavo Faigenbaum………………………….……………….……... 291

El discurso argumentativo ……………………..…………………….293

Principales modelos teóricos en el estudio de la argumentación…..…296

La argumentación en los niños…….…………………………………. 302

La argumentación en el aula. ……………………………….…………308

Referencias bibliográficas …………………………………………….311


16

Módulo 2: (16/03 al 17/03/20)

“Ser estudiante de formación docente”

Ser Estudiante

Atendiendo a la particularidad de la carrera docente, se propone un espacio de trabajo para

reflexionar sobre lo que implica ser estudiante de formación docente, y propiciar el análisis

respecto de las representaciones sobre el rol docente que tienen los y las estudiantes

ingresantes, la reflexión sobre la elección profesional, y el conocimiento profundo de la

carrera y de la institución formadora.

La historia de nuestro Instituto formador comienza en 1971 con la creación del Profesorado

para la Enseñanza Primaria, que en su momento tenía una duración de dos años. Luego en

1975 se abrió el Profesorado para la Educación Preescolar, con la misma duración.

La Educación Superior sufrió, a partir de allí, lógicas transformaciones que devienen de los

cambios de políticas educativas y su normativa correspondiente.

Actualmente nuestro Instituto cuenta con doce carreras:

Cuatro de ellas son de planta permanente, es decir que se ofrecen a la comunidad cada

año. Éstas son:

- Profesorado de Educación Primaria (Resolución N° 4170/14 CGE).

- Profesorado de Educación Inicial (Resolución Nº 4165/14 CGE)

- Profesorado en Educación Secundaria en Lengua y Literatura (Resolución Nº

0759/14 CGE).

- Profesorado de Educación Secundaria en Historia (Resolución Nº 0765/14 CGE).

El resto de las ofertas se renuevan por cohortes dependiendo de las necesidades de la

provincia. Por ello quienes las eligen deben tener en cuenta que son profesorados a

término. Como son:

- Profesorado de Educación Secundaria en Matemática (Resolución Nº 0764/14

CGE).


17

- Profesorado Superior en Ciencias de la Educación (Resolución Nº 4796/15 CGE).

- Profesorado de Inglés (Resolución Nº 0760/14 CGE) .

- Profesorado de Educación Tecnológica (Resolución Nº 4798/15 CGE).

- Profesorados de Educación Especial en Discapacidad Intelectual (Resolución Nº

0976/17 CGE) *

- Profesorado de Educación Secundaria en Geografía (Resolución Nº 0766/14)*

- Profesorado de Educación Secundaria en Física (Resolución Nº 0758/14 CGE) *

- Profesorado de Educación Secundaria en Química (Resolución Nº 0762/14 CGE) *

* No abrieron en el presente ciclo lectivo.

Órganos de gobierno

Rector: Broin, Gustavo.

Vicerrectora: García, María Soledad.

Secretaria Académica: Zabala, Mónica María.

Secretario Administrativo: Bonzzi, José Ariel.

Consejo Directivo: cuerpo colegiado conformado por docentes y estudiantes de todas las

carreras elegidos/as por el conjunto de actores del Instituto.

Centro de Estudiantes: con representantes de todas las carreras elegidos/as por

estudiantes. Consta de una estructura organizacional, con derechos, responsabilidades y un

claro compromiso colectivo de trabajo. La Ley de Centros de Estudiantes Nº 10125 del año

2013 garantiza el derecho de participación legítima de los/as estudiantes dentro de la

Institución. Es de gran importancia poder participar, expresar ideas, ejercer derechos y

proponer actividades que propicien y fortalezcan la relación de la Institución con la

comunidad educativa y la sociedad. Es un desafío constante generar la participación de

los/as estudiantes en esta organización política y representativa con el fin de promover vías

democráticas dentro del Instituto.

❖ En la gestión académica pedagógica:

Coordinador de Práctica: Jorge, Fabián Amadeo.

❖ Además existen los cargos de responsabilidad en los procesos de apoyo:

Bibliotecaria: Gregorutti, Natalia.

Referente técnico: Elvio Bruera.

Preceptoras/es:

Profesorado de Educación Inicial: Della Mea, Gabriela.

Profesorado de Educación Primaria: Langbein, Cristina.

Profesorado de Educación Secundaria en Historia: Lizarsoain, Walter.

Profesorado de Educación Secundaria en Lengua y Literatura: Lizarsoain, Walter.

Profesorado de Educación Secundaria en Matemática: Della Mea, Gabriela.

Profesorado de Educación en Inglés: Cudini, Fabiana.

Profesorado de Educación Tecnológica: Della Mea, Gabriela.

Profesorado Superior en Ciencias de la Educación: Langbein, Cristina.

Aspectos organizativos y académicos

Existen varios aspectos de la vida académica que es necesario regular para que las

medidas que se implementen no recaigan sobre las decisiones individuales ni sean


18

arbitrarias. La provincia cuenta con un Reglamento Académico Marco (RAM) y un

Reglamento Orgánico Marco (ROM). Estas normativas establecen regulaciones generales y

obligatorias para todos los institutos. Nuestro Instituto cuenta con un Reglamento

Académico Institucional (RAI - Resol. Nº 01/15 CD), basándose en la normativa provincial

mencionada anteriormente. Además cuenta con un Marco Normativo Institucional de la

Práctica Profesional Docente con el fin de organizar y reglamentar el campo de la Práctica

Docente.

El ROM establecido por Resolución Nº 4789/15 CGE, es el encuadre común para la

organización y funcionamiento de los órganos e instancias de gobierno, participación y

vinculación en el ámbito de la Educación Superior.

El RAM es un elemento que contribuye a regular el sistema formador de la provincia ya que

se refiere al ingreso, la trayectoria formativa y la permanencia y egreso de los/as

estudiantes. Se trata de una herramienta que establece y organiza las responsabilidades en

una comunidad de jóvenes y adultos, al mismo tiempo que propicia la autonomía en ciertas

decisiones y recorridos propios de la formación superior.

En cuanto a derechos y obligaciones de los/as estudiantes es necesario tener en cuenta

algunos componentes del RAM que ayudan a organizar la vida académica dentro del

Instituto:

Sobre el ingreso: Refiere a las condiciones legales administrativas e institucionales para el

acceso a los estudios del nivel superior.

Sobre la trayectoria formativa: Refiere a las condiciones normativas que posibilitan la

construcción de recorridos propios por parte de los/as estudiantes en el marco de los

diseños curriculares y la organización institucional.

Sobre la permanencia y promoción: La permanencia refiere a las condiciones

académicas requeridas para la continuación de los estudios dentro del nivel. Deberá

definirse la condición de regularidad de los estudios en el marco de los diferentes trayectos

formativos de los/as estudiantes. Por su parte, la promoción refiere a la condición de

acreditación y evaluación de las unidades curriculares; el régimen de calificación,

equivalencias y correlatividades.

Las materias se organizan de la siguiente manera:

Asignatura: brinda conocimientos, modos de pensamiento y modelos explicativos de

carácter provisional, del conocimiento científico y sus transformaciones. Para la evaluación,

propone instancias parciales, finales y/o de promoción.

Seminario: formato definido por el estudio en profundidad de problemas relevantes para

formación, preferentemente desde la perspectiva interdisciplinaria. Incluye la reflexión crítica

de los supuestos, el análisis y la profundización a través de la lectura y el debate de

materiales bibliográficos y de investigación. Para este formato se proponen como

evaluación diferentes modalidades: producción escrita de informes, ensayos, monografías,

investigaciones y su defensa oral en coloquios.

Taller: tiene carácter flexible, su desarrollo depende de los objetivos y el tipo de

experiencias que propongan. Genera trabajo en equipo, tareas grupales. Todos los talleres

se aprueban en modalidad de promoción que puede o no tener instancia final integradora.

Seminario-Taller: requieren para ser regularizadas de la presentación y aprobación (al

finalizar el ciclo lectivo), de todos los trabajos indicados por la cátedra.

Asignatura-Taller: tiene como finalidad definir marcos teóricos disciplinares y ofrecer

oportunidades para resolver situaciones prácticas.


19

La carrera se compone de tres campos de la formación: el Campo de la Formación

General, el Campo de la Formación Específica y el Campo de la Formación en la

Práctica Profesional. El de la Formación General, se orienta a la formación humanística y

brinda herramientas teóricas conceptuales para que puedan comprender, interpretar y

analizar los distintos contextos socioeducativos y aspectos vinculados con la enseñanza; el

de la Formación Específica, se refiere al estudio de la disciplina o aspectos particulares de

la enseñanza del nivel para el que se están formando; y, por último, la Formación en la

Práctica Profesional se relaciona con el aprendizaje de las capacidades necesarias para

afrontar la tarea en el aula.

Que una materia sea CORRELATIVA con otra, implica que para aprobar una determinada

asignatura debemos primero tener aprobada la o las materias que en el plan de estudios

figuren como requisito para aprobar o cursar dicha materia.

Las condiciones para cursado son las siguientes:

Como estudiante en condición REGULAR: es necesario estar inscripto en esta condición al

inicio del año académico y cursar o rendir al menos una unidad curricular en este periodo;

además de reunir las condiciones establecidas en el RAI como el porcentaje de asistencia,

aprobación de las producciones requeridas, instancias de parciales y finales integradores en

mesa evaluadora ordinaria.

Como estudiante en condición de LIBRE: es necesario haberse inscripto en esta condición

en aquellas unidades curriculares con formato asignatura del campo de la Formación

General (o haberse inscripto como regular y quedar en la condición de libre ante la no

aprobación de algunas de los requisitos); y la aprobación del 100% de los trabajos prácticos

que estipule la cátedra.

Instancias de Evaluación: cada espacio te permitirá conocer los requerimientos para su

aprobación.

Parcial: son instancias que acreditan parcialmente una materia a través de

exámenes/evaluaciones (orales o escritas). Cada una con sus correspondientes

recuperatorios y deben ser tomados en diferentes etapas del cursado según lo establezca el

proyecto de cátedra de cada materia, en concordancia con el RAM y el diseño curricular.

Trabajos prácticos: son actividades generalmente domiciliarias, pueden ser individuales o

grupales que requieren actividades extras de las realizadas en clase. Tienen la misma

importancia de aprobación que un parcial para la acreditación de las unidades curriculares.

Coloquio: es una instancia de evaluación oral, que define la aprobación de una cátedra, y

que se caracteriza por la defensa de un trabajo práctico o la exposición de un tema

específico. Este tipo de instancia se realiza una vez adquirida la posibilidad de acceder a la

promoción.

Examen Final: el examen final es la instancia de evaluación individual en la cual se define

la aprobación de la asignatura por el/la estudiante. El mismo está compuesto por una mesa

evaluadora presidida por el/la docente de la cátedra o designado para tal fin y acompañado

por dos docentes auxiliares encargados de garantizar el buen desarrollo de la instancia.

La aprobación o acreditación de una materia puede realizarse por dos caminos: por

promoción para el/la estudiante regular, que puede ser directa o con coloquio final

integrador; o por examen final en mesa examinadora, en cada una de ellas se deberá

cumplimentar determinados requisitos.


20

Actividad 1. Individual a. Te proponemos que respondas en forma escrita las siguientes preguntas:

● ¿Por qué elegiste la carrera docente?

● ¿Qué es para vos ser docente? En tu respuesta es importante que tengas en cuenta

cuál es la finalidad de la docencia, cuáles son las tareas que para vos forman parte

del ejercicio profesional docente, y qué desafíos actuales enfrenta el ser docente.

Más adelante recuperaremos esta producción, por lo que te pedimos que la

conserves.

b. Escribí un texto en el que describas a un/a docente que hayas tenido a lo largo de tu

trayectoria escolar, que haya dejado una marca o "huella" significativa en vos.

Ser Docente

Actividad 2 - Momento grupal

“Relatos de escuela”

Los y las invitamos a leer estos breves textos que dan cuenta de la mirada de algunas

personalidades sobre sus maestros o profesores.

Relato de Edith Litwin sobre un docente significativo en su trayectoria escolar

Aprendías a ver. Payró te prestaba los ojos. Aprendías a ver matices, símbolos,

representaciones. Vos no podías ver lo que él veía. Si mirabas solo, no veías lo mismo que

él cuando te contaba. Creías que eras vos el que miraba a través de los ojos de él. Te

deslumbraba la mirada. Era una clase descriptiva, pero profundamente interpretativa. Era

entender, desde la crítica de la obra el contexto, la historia, los conflictos del momento. Lo

que lograba transmitir era la genialidad, la inteligencia. Se podía mirar la mente de alguien a

partir de su producción. […] Y no preguntaba si uno entendía. Estaba seguro de que uno

entendía, no tenía dudas. ¿Qué es ahí la comprensión? Si él te estaba contando lo que

estaba sintiendo al descubrir algo que no existía, lo que te contaba era la emoción. Sentías

lo que él sentía o no sentía.

Fragmento de relato extraído de Maggio, M. (2012). Enriquecer la enseñanza. Los

ambientes con alta disposición tecnológica como oportunidad. Buenos Aires: Paidós.

Páginas 40 y 41.

Este libro forma parte de la Colección Ideas que enseñan, disponible en las bibliotecas de

los ISFD.


21

Relato de Martín Kohan sobre un docente significativo en su trayectoria escolar

[…] quedé en la primera clase, bajo un impacto del que creo que todavía no me recuperé

del todo. Viñas ponía en acción no solo una manera de dar clase sino una manera de

entender la literatura, una manera de hacer literatura, una manera de ser intelectual, una

manera de intervenir. Y todo eso ya estaba en las dos primeras horas de clase. […] Las

clases como las de Viñas son un estado de producción de conocimiento y no de impartir

conocimientos. Los alumnos no asisten a eso, forman parte de eso […] Viñas se convirtió en

la posibilidad de hacer todo. Con él aparecieron al mismo tiempo la figura del docente, la

figura del que escribía en los diarios, la figura del escritor. Todo lo que se podía ser que

después iba a aparecer en otras figuras posibles, pero en ese momento y en términos de

identificación representó todas las posibilidades en las que yo no había pensado. Viñas era

la plasmación de todas esas posibilidades.

Fragmento de relato extraído de Maggio, M. (2012). Enriquecer la enseñanza. Los

ambientes con alta disposición tecnológica como oportunidad. Buenos Aires: Paidós.

Relato de Philip Jackson sobre un docente significativo en su trayectoria escolar

La señora Theresa Henzi fue mi profesora de álgebra del primer año del colegio secundario

en Vineland, New Jersey, en 1942. Lo que recuerdo más vívidamente de sus clases es el

modo que tenía de revisar las tareas para el hogar que no había asignado. Hacía pasar a la

pizarra, situada al frente del aula, a tres o cuatro alumnos para que estos resolvieran los

problemas que nos había encargado el día anterior. Normalmente se trataba de ejercicios

de ecuaciones extraídos del libro de texto en los que se pedía simplificar las operaciones y

despejar el valor de x. La señora Henzi, de pie junto a la pared opuesta a las ventanas, con

sus anteojos resplandeciendo por el reflejo de la luz, leía el problema en voz alta para que

los estudiantes que estaban junto a la pizarra lo copiaran y resolvieran mientras el resto de

la clase observaba. A medida que cada alumno terminaba sus cálculos se volvía hacia la

clase y se corría un poco para permitir que los demás vieran su trabajo. La señora Henzi

revisaba cuidadosamente cada solución y prestaba atención no sólo al resultado, sino

también a cada paso dado para llegar a él. Si todo estaba bien, la profesora enviaba al

alumno de regreso a su banco con una palabra de elogio y asintiendo brevemente con la

cabeza. Si el alumno había cometido un error, lo instaba a revisar su trabajo para ver si él

mismo podía descubrirlo. “Allí hay algo que está mal, Robert”, decía. “Míralo de nuevo”. Si

después de unos pocos segundos de escrutinio, Robert no podía detectar su error, la

señora Henzi pedía un voluntario para que señalará donde se había equivocado su

desventurado compañero […]

Con ella teníamos que dedicarnos a los quehaceres formales. Tal vez una comprensión

más profunda me permita pensar que su enseñanza adicional tenía algo que ver con el

hecho de darse cuenta de que las cosas difíciles pueden llegar a ser fáciles si uno las va

dominando paso a paso. Porque ciertamente en la clase de la señora Henzi también

aprendíamos eso.


22

Nuestro dominio del álgebra avanzaba lenta y firmemente, como un tren que recorre una vía

gradualmente ascendente. Había pocos huff y puff y la pendiente apenas se advertía. Pero

si uno perdía un día o dos: Brum!! El camino hacia la recuperación se empinaba en un

ángulo que hacía acelerar los latidos del corazón. Por lo tanto, tratábamos de no perder sus

clases.

Soy portador de marcas del año que pasé con la señora Henzi. Todos en algún nivel,

estamos convencidos de que la enseñanza produce un cambio, a menudo un cambio

enorme, en la vida de los estudiantes, y lo hace por alguno de los caminos que he intentado

expresar.

Fragmento de relato extraído de Jackson, P. (1999). Enseñanzas implícitas. Buenos Aires:

Amorrortu.

a. En grupos de seis integrantes los/las invitamos a analizar los fragmentos, en función de

las siguientes preguntas:

● ¿Qué aspectos de los relatos les llamaron la atención?

● ¿Qué características de los/las docentes que aparecen en los relatos, destacan

los/las narradores/as? Las registramos en un afiche.

● ¿Qué tienen en común y en qué se diferencian estos fragmentos? Es importante

aquí que se detengan a analizar, por un lado, la forma en que están escritos y el tipo

de información que comparten sus autores, así como también qué aspectos

destacan de la docencia y de qué modo entienden y valoran la enseñanza.

● ¿Se sienten identificados/as con los/as autores en relación con los y las docentes

que ustedes reconocen que han dejado una huella o marca en su vida?

b. A continuación, los y las invitamos a compartir con sus compañeros/as algunos ejemplos

de docentes que han dejado una huella o marca en su vida. A medida que compartan los

relatos, les proponemos que uno/a de ustedes tome nota en su afiche de cuáles son las

características que han tenido estos/as docentes destacados por ustedes.

c. Una vez que hayan finalizado la actividad anterior, contarán con un listado de ciertas

características que ustedes consideran que debería tener un buen docente. Estas

características surgen del análisis de su biografía escolar y de los relatos, y este es el

momento para explicitarlas y compartirlas con otros/as compañeros/as, de modo tal de

comenzar a revisar estas representaciones. Les pedimos que evalúen ese listado

considerando:

● ¿Todas esas características tienen la misma importancia? ¿Coinciden con sus

compañeros/as en el valor que tienen estas características para cada uno/a?

● ¿Hay alguna otra característica de un “buen docente” que no haya aparecido en sus

relatos?

● De todas estas características ¿Cuáles serían las 3 más destacadas?

MARCO REFERENCIAL DE CAPACIDADES PROFESIONALES DE LA FORMACIÓN

DOCENTE INICIAL. Resolución CFE N° 337/18


23

¿Qué es el Marco Referencial de Capacidades Profesionales?

Es una nueva herramienta de política curricular de carácter normativo que complementa a

las anteriores –los Lineamientos Curriculares Nacionales y los Diseños Curriculares

Jurisdiccionales–. Es común a todos los profesorados de gestión estatal y privada del país

porque pone el énfasis en las capacidades profesionales que deben ser promovidas en

quienes se forman como docentes, más allá de las particularidades de cada Jurisdicción y

del profesorado de que se trate.

Se acordó definir a las capacidades profesionales docentes como construcciones complejas

de saberes y formas de acción que permiten intervenir en las situaciones educativas –

además de comprenderlas, interpretarlas o situarlas– para llevar adelante la tarea de

enseñar, promover aprendizajes de una manera adecuada y eficaz.

Las capacidades profesionales no se desarrollan de modo espontáneo, sino que requieren

de un largo proceso de construcción que comienza en la formación inicial y se consolida a

posteriori, en el puesto de trabajo, a partir de la socialización profesional, las experiencias

de formación continua y el acompañamiento de los directivos y los colegas más

experimentados.

¿Cuál es su objetivo y estructura?

El objetivo del Marco Referencial es explicitar con claridad un conjunto de capacidades

profesionales para que orienten a los Institutos –sus directivos y profesores– en la tarea de

enseñarlas, a través de un trabajo sostenido en períodos que involucran la trayectoria

formativa de distintas cohortes.

Se acordó organizarlas en dos niveles de generalidad: uno más comprehensivo, que

corresponde a seis dimensiones del quehacer docente; y otro de treinta capacidades

específicas que desagregan a las primeras.

CAPACIDADES PROFESIONALES DE LA FORMACIÓN DOCENTE INICIAL

GENERALES ESPECÍFICAS

I. Dominar los saberes a enseñar.

1. Producir versiones del conocimiento a enseñar adecuadas a los requerimientos del aprendizaje de los/as estudiantes. 2. Seleccionar, organizar, jerarquizar y secuenciar los contenidos, para favorecer el aprendizaje de los/as estudiantes.


24

Está centrada en las acciones orientadas a apropiarse de los conocimientos académicos para transformarlos en contenidos escolares. Apropiarse de los conocimientos a enseñar –definidos en el Diseño Curricular– implica alcanzar un nivel de profundidad sobre estos conocimientos y sus bases epistemológicas que exceda al propio de su enseñanza. Asimismo, implica desarrollar una mirada compleja e interdisciplinaria sobre las problemáticas y objetos de estudio a abordar entendiendo que el saber siempre constituye un recorte posible y provisorio de la cultura.

II. Actuar de acuerdo con las características y diversos modos de aprender de los/as estudiantes.

3. Identificar las características y los diversos modos de aprender de los/as estudiantes. 4.Tomar decisiones pedagógicas que reconozcan y respeten la diversidad a fin de propiciar el logro de aprendizajes comunes significativos.

Está centrada en las acciones dirigidas a identificar las características y modos de aprender de los/as sujetos de la educación, en función de diversos criterios: sus procesos evolutivos, las posibilidades que definen algunos tipos de discapacidad, las particularidades socioculturales de las comunidades a las que pertenecen, la especificidad de los niveles y modalidades del sistema educativo que los incluyen, su inmersión en la cultura digital y sus vínculos con los medios y tecnologías digitales, entre otros. También esta capacidad se centra en las acciones necesarias para que los/as estudiantes avancen en el aprendizaje y los factores que lo facilitan y lo obstaculizan.

III. Dirigir la enseñanza y gestionar la clase.

5. Planificar unidades de trabajo de distinta duración para una disciplina, área o un conjunto de ellas. 6. Establecer propósitos de enseñanza y objetivos de aprendizaje. 7. Utilizar, diseñar y producir una variedad de recursos, en diferentes formatos, integrando diversos contenidos y dispositivos digitales, así como espacios virtuales de aprendizaje. 8. Tomar decisiones sobre la administración de los tiempos, los espacios y los agrupamientos de los/as estudiantes. 9. Diseñar e implementar estrategias didácticas diversas para favorecer las diferentes formas de construir el conocimiento. 10. Diseñar e implementar estrategias didácticas para promover el aprendizaje individual, grupal y colaborativo. 11. Diseñar e implementar estrategias didácticas para promover las capacidades orientadas a fortalecer los procesos de aprendizaje de los/as estudiantes de los niveles destinatarios. 12. Diversificar las tareas a resolver por los/as estudiantes, en función de sus distintos ritmos y grados de avance. 13. Utilizar la evaluación con diversos propósitos: realizar diagnósticos, identificar errores sistemáticos, ofrecer retroalimentación a los/as estudiantes, ajustar la ayuda pedagógica y revisar las propias actividades de enseñanza. 14. Diseñar e implementar diferentes procedimientos de evaluación que permitan a los/as estudiantes mostrar, de múltiples maneras, sus aprendizajes. 15. Producir y comunicar información sobre la trayectoria educativa de los/as estudiantes para ellos/as mismos, sus familias y los equipos directivos y docentes.


25

Es la dimensión central de la profesión docente y la más fácilmente identificable en los marcos referenciales vigentes en diversos países. Corresponde a las acciones dirigidas a conducir las tareas de aprendizaje en los escenarios específicos –aulas, gimnasios, talleres, laboratorios, etc.– tomando decisiones sobre objetivos de trabajo, estrategias, recursos y tecnologías, tiempos, espacios y agrupamientos de los/as estudiantes. En este marco, es necesario incluir: la integración de la alfabetización digital y de la diversidad de lenguajes y recursos narrativos (tales como lo audiovisual, lo hipervincular, la interactividad, la simulación y las variables de lectura y escritura que consecuentemente ofrece el ciberespacio); la apropiación crítica y creativa de los recursos digitales; el desarrollo de prácticas participativas y colaborativas; los saberes emergentes y hábitos de esparcimiento de los/as estudiantes vinculados a la cultura digital que pueden transformarse en poderosos recursos para el aprendizaje. Por último, aunque la idea de enseñanza está más ligada a los aspectos interactivos de la relación educativa, en rigor, incluye también su preparación y evaluación –clásicamente las instancias de planificación, gestión de las clases y evaluación de las propuestas de enseñanza y de los logros de los estudiantes–.

IV. Intervenir en la dinámica grupal y organizar el trabajo escolar.

16.Identificar las características de constitución y funcionamiento de los grupos y tomar decisiones en función de estas. 17. Dominar y utilizar un repertorio de técnicas para favorecer la consolidación de los grupos de aprendizaje. 18. Planificar y desarrollar la enseñanza de las habilidades necesarias para vincularse responsablemente con los/as otros/as y para trabajar en forma colaborativa. 19. Generar un clima favorable a la convivencia y el aprendizaje, en la institución, en las aulas, y en espacios virtuales de aprendizaje. 20. Promover la formulación de preguntas, la expresión de ideas y el intercambio de puntos de vista. 21. Tratar conflictos o problemas grupales mediante estrategias variadas. 22. Establecer y mantener pautas para organizar el trabajo en clase y el desarrollo de las tareas.

Está centrada en las acciones orientadas a facilitar el funcionamiento del grupo escolar y la integración de los/as alumnos/as; y a establecer normas de convivencia para generar y sostener climas de respeto y contención a quienes aprenden y enseñan, resolver conflictos y organizar el trabajo escolar.

V. Intervenir en el escenario institucional y comunitario.

23. Identificar características y necesidades del contexto de la escuela, las familias y la comunidad. 24. Diseñar e implementar experiencias de aprendizaje que recuperen las características culturales y el conocimiento de las familias y la comunidad. 25. Desarrollar estrategias de comunicación variadas con las familias, con diferentes propósitos. 26. Utilizar educativamente los diversos recursos comunitarios y sociales. 27. Trabajar en equipo para acordar criterios sobre el diseño, implementación y evaluación de las propuestas de enseñanza, así como para elaborar proyectos interdisciplinarios. 28. Participar en la vida institucional.


26

Está centrada en las acciones orientadas a trabajar con otros/as, en el Instituto, las escuelas asociadas y el contexto comunitario en el cual están insertas dichas instituciones. Cada vez es mayor la demanda de que los/as docentes sean capaces de participar en equipos, de desarrollar modalidades de trabajo colaborativo. También se acrecentaron los requerimientos de relación con las familias y la comunidad para habilitar su participación en la actividad educativa de las escuelas y en el logro de sus fines. Por eso es necesario que se promueva el desarrollo de capacidades para intervenir como docentes en escenarios que exceden el ámbito del aula. Asimismo es necesario propiciar espacios de encuentro y colaboración entre los/as estudiantes, los/as docentes, la escuela y la comunidad mediados por prácticas emergentes de comunicación y cultura.

VI. Comprometerse con el propio proceso formativo.

29. Analizar las propuestas formativas del Instituto y las escuelas asociadas, para identificar fortalezas y debilidades. 30. Analizar el desarrollo de las propias capacidades profesionales y académicas para consolidarlas.

Está centrada en las acciones dirigidas a que los/as estudiantes participen sistemáticamente en procesos de evaluación de las experiencias formativas, en el Instituto y en las escuelas asociadas; así como en procesos de autoevaluación de su propio desempeño. Complementa y profundiza la capacidad general V porque pone el énfasis en el requerimiento de que los/as estudiantes –orientados por sus profesores– analicen sistemáticamente las propuestas formadoras como medio de instalar el interés por el compromiso con el propio proceso de aprendizaje que continuará a lo largo de toda la vida laboral de los futuros egresados/as, a través del proceso de desarrollo profesional..3

3 El documento completo se encuentra disponible en:

https://red.infd.edu.ar/articulos/marco-referencial-de-capacidades-profesionales-de-la-formacion-docente-inicial/




27

Módulo 3: (18/03 al 20/03/20)

“Contenidos prioritarios de las disciplinas específicas de

cada una de las carreras”


28


29

En este módulo comenzaremos a trabajar contenidos específicos de la carrera de formación

docente que han elegido.

Te deseamos un muy buen recorrido y que puedas aprovechar esta instancia para conocer

más acerca del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática.

Actividad 1

Nos presentamos en el foro de Presentación y respondemos, fundamentando, a los

siguientes interrogantes

¿Consideras que las matemáticas juegan un papel importante dentro de la

sociedad?

En general, ¿estás satisfecho con los conocimientos matemáticos que has adquirido

a lo largo de tus estudios?

¿Crees que las matemáticas requieren de cierta habilidad creativa?

¿Serías capaz de reconocer algún concepto matemático en alguna obra escultórica,

pictórica o arquitectónica?

¿En qué medida crees que intervienen las matemáticas en el diseño y ejecución de

una obra arquitectónica?

¿Qué películas o series de televisión conoces en las que las matemáticas están

presentes?

¿Reconoces alguna conexión entre las matemáticas y la literatura? En caso

afirmativo, ¿qué?

¿Qué aplicaciones reales de las matemáticas conoces?

En tu opinión, ¿cuáles son los usos de las matemáticas?

Actividad 2

a. ¿Qué significa este dibujo? En palabras de su autor, Sergio Hernández, es un dialogo entre un "marciano" y un astronauta usando las matemáticas como lenguaje universal.

¿Puedes traducir este diálogo?

¿Crees que, de verdad, las Matemáticas son un lenguaje universal?

Comentamos en el foro, recuperando lo que dicen los demás cursantes.


30

b. Miramos el video4 de la Prof. Norma Ramírez de UTEL (México), y tomamos apuntes para luego realizar un resumen del mismo (tener en cuenta lo trabajado en el módulo1)

c. En archivo se encuentran los libros “El diablo de los Números” de Hans Magnus Enzensberger y “17 ecuaciones que cambiaron el mundo” de Ian Steward. Debes leerlos en ese orden. Está habilitado un foro para cada uno de ellos, en el mismo podrás hacer consultas e intercambiar opiniones sobre la lectura. Estos foros son obligatorios.

Todo parece indicarnos que las matemáticas son importantes en nuestra sociedad, planeta,

sistema solar, galaxia, …. Y así hasta el ∞ …¿y más allá?

Actividad 3 – Foro1 (Visualizar)

Hablamos de Arte y sabemos que a lo largo de la historia, los seres humanos han utilizado diferentes expresiones artísticas para representar sus sociedades.

Al observar las imágenes podemos inferir que el arte a evolucionado a lo largo del tiempo.

Estos cambios han sido acompañados por el desarrollo de herramientas y técnicas que han

permitido la creación de obras cada vez más bellas y apegadas a la realidad.

Durante el Renacimiento (siglos XV y XVI) se desarrollaron una serie de reglas geométricas

o técnicas que buscaban dar más realismo a las pinturas. Una de esas técnicas es la

perspectiva. En la actualidad, la perspectiva se considera "un sistema de representación

que intenta reproducir en una superficie bidimensional (plana) la profundidad del espacio y

la imagen tridimensional con que aparecen las formas a la vista"5. La perspectiva lineal per-

mite representar en un dibujo las tres dimensiones (largo, ancho y altura) tomando como

base líneas que parten de un punto común.

4 https://youtu.be/VYO3k-YxOCY

5 Definición de la RAE

La cueva de las Manos

(Sta.Cruz 7.350 años a.C)

Aquiles y Ayax jugando a los dados

(Siglos IX –VIII a C.)

Isla Maciel (Onofrio Pacenza,

1933)

https://youtu.be/VYO3k-YxOCY


31

Raffaello Sanzio Da Urbino6 fue uno de los primeros artistas en usar la técnica de

perspectiva en su obra La escuela de Atenas.

En la siguiente imagen podemos ver algunas de las líneas de perspectiva que utilizo para

crear su obra.

Como podrás observar la primer imagen esta fotografiada de más cerca o con mayor

“zoom”.

Realiza sobre ella una copia de las líneas de perspectiva que se muestran, y luego

responde:

a. ¿Identificaste alguna regularidad al trazar las líneas? ¿Cuáles?

b. Marca de un color diferente las líneas que dividen el techo y las que dividen el

piso.

c. ¿Quedan líneas sin colorear, ¿Por qué?

6 Raffaello Sanzio, también conocido como Rafael de Urbino o simplemente como Rafael, fue un pintor y arquitecto italiano

del Renacimiento


32

Cámara en mano podemos empezar a mirar y ver lo que encontramos a nuestro alrededor

en lenguaje matemático.

Todos conocemos las sendas7 peatonales que se encuentran pintadas en todas las

ciudades del mundo.

a. ¿Qué forma geométrica tienen estas sendas?

b. ¿Cuáles son sus características?

c. ¿Existe alguna medida oficial para las mismas?

4. Observa la foto de una senda peatonal de nuestra ciudad, y responde:

a. Que similitudes y/o diferencias tienen las sendas que están mas lejos en la foto,

con las que se ven más cerca.

b. Realiza un croquis de la foto, ¿Qué te conviene hacer para trazar las sendas?

¿Utilizas algún instrumento? ¿Cuáles? Explica en un párrafo tu construcción.

c. ¿Qué figuras geométricas aparecen el croquis?¿Podría haber una contradicción

a tu respuesta a la consigna a. del punto anterior?

d. Si en el croquis continuáramos dibujando sendas, hasta que desaparecieran en el

horizonte, ¿que figura quedaría determinada al unir con una línea los extremos de

todas ellas?

e. ¿Si ahora lo hacemos a partir de la segunda senda?, ¿de la tercera?....¿de la

décima?. Como son estas figuras entre sí? ¿Por qué?

Dibujamos cuando hacemos arte, cuando hacemos moldes, en los croquis, en los planos y

en todos ellos es importante mantener las proporciones. Un método sencillo que se utiliza

en las artes visuales para realizar obras con las proporciones correctas consiste en usar un

lápiz como regla.

7 La senda peatonal (conocida en algunos países también como paso de cebra por recordar a la combinación de rayas

blancas y negras que caracterizan a la cebra) son líneas blancas que están dibujadas sobre el pavimento de las calles y vías del mundo entero, y su fin es que los peatones tengan un espacio seguro al cruzar las calles. Los vehículos deben parar justo antes de las líneas.


33

Se selecciona el objeto que se desea dibujar y, con la punta del lápiz hacia arriba y el brazo

bien estirado, se alinea el lápiz con la parte superior del objeto y el dedo con la parte

inferior. La medida tomada con el lápiz indicará la correspondiente en el dibujo.

Veamos un ejemplo

En la imagen, la punta

del lápiz está a 60 cm

del ojo del artista y el

jarrón a 120 cm. Si el

jarrón tiene una

medida de 45 cm,

¿qué medida tendrá el

jarrón en el lienzo del

artista?

Tales de Mileto8 utilizó un método similar al anterior para determinar la altura de la pirámide

de Keops9 más de 2.000 años después de su construcción.

El utilizo su bastón y las sombras producidas por los rayos del sol, sabiendo que a cierta

hora del día las sombras de los objetos tienen la misma longitud que sus alturas. Su

razonamiento se muestra en el siguiente esquema.

8 Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego. Vivió y murió en Mileto, polis griega de la

costa jonia (hoy en Turquía). Fue el iniciador de la escuela de Mileto a la que pertenecieron también Anaximandro (su discípulo) y Anaxímenes (discípulo del anterior). 9 La pirámide de Keops. Representa el pináculo en el campo de la arquitectura monumental egipcia.Es parte de la lista de las

siete maravillas del mundo, y es la única de las siete que aún está en pie. Se construyó bajo la supervisión de Himinu, el arquitecto del rey. Herodoto, en sus escritos, estimó que 100,000 hombres habían sido requeridos para la construcción de la pirámide, y que esta habría durado 27 años en completarse. Estimando que se terminó de construir entre el año 2550-2570 a C.


34

a. ¿Cómo es el triángulo que se forma con la altura de la pirámide y su sombra

comparado con el triángulo que se forma con la altura del bastón y su respectiva

sombra?

b. ¿Qué relación puedes encontrar entre la estrategia usada por Tales y lo que ocurrió

con las sendas peatonales al dibujar la escena en perspectiva en las actividades

anteriores?

c. Suponiendo que el bastón de Mileto media 1,5 m (ten en cuenta que en la

antigüedad los bastones tenían casi el alto de la persona), y a cierta hora del día su

sombra media un metro y medio siendo a esa hora la sombra de la pirámide de

1ciento treinta y nueve metros, ¿cómo resolverías el enigma de la altura de la

pirámide? ¿Cuánto debería medir la pirámide aproximadamente?

d. ¿Por qué crees que le funcionó esta estrategia de medición a Tales de Mileto hace

casi 2.500 años?

Actividad 4 – Foro 2 (Predecir)

Tan importante como las expresiones artísticas es el cuidado de nuestro cuerpo, mantenerlo

en óptimas condiciones nos permite un disfrutar de cada una de las actividades que

emprendamos.

Las kilocalorías (kcal) son uno de los indicativos que nos permiten conocer el valor

energético de los alimentos, lo que nos permite tener una referencia al diseñar nuestra dieta

alimentaria.

Consultando al Instituto Nacional de Estadísticas y Censos vemos que la argentina tiene

una ingesta calórica diaria de algo más de 2.850 kcal y menos de 3.100 kcal por habitante.

En estos días que nos responsabilizamos y quedamos en nuestras casas con el objetivo de

cuidar la salud de todos, debemos prestar especial atención a las calorías que ingerimos; ya

que el cambio de actividades nos obliga a tener un día a día más pausado en cuanto a

actividades físicas.

Empecemos controlando nuestra alimentación durante un día. Para ello debes

completar una tabla, como la siguiente, con los alimentos que consumís durante el

día y la cantidad de kilocalorías ingeridas en cada franja horaria.

HORA

6 a

7

7 a

8

8 a

9

9 a

10

10 a

11

11 a

12

12 a

13

13 a

14

14 a

15

15 a

16

16 a

17

17 a

18

18 a

19

19 a

20

20 a

21

PRODUCTOS

CANTIDAD DE

CALORIAS

Recuerda que se aconseja no ingerir alimentos sólidos tres horas antes de ir a dormir


35

Para obtener la información sobre las kilocalorías consumidas, podes recurrir a la etiqueta

de cada producto, o bien, consultando en Internet. Si en una determinada franja horaria no

consumiste ningún alimento, coloca un cero en el espacio correspondiente.

Observa la tabla y responde:

a. ¿En qué momento del día consumiste la mayor cantidad de kilocalorías?, ¿en cuál la

menor cantidad de kilocalorías?

b. ¿En qué momento registraste el mayor aumento de kilocalorías al pasar de una franja

horaria a otra?, ¿en cuál el menor aumento de kilocalorías de una franja horaria a otra?

c. ¿Fue constante la ingesta de kilocalorías por hora a lo largo del día?

d. ¿Cuál consideras que es la diferencia entre las frases "mayor ingesta de kilocalorías" y

"mayor aumento de kilocalorías respecto de la franja horaria anterior"?

Solicitamos, por el foro, a un compañero que nos pase su tabla por correo interno.

Observamos en el foro a quien se le va solicitando la tabla, para que no quede nadie

sin compartirla.

Ahora que tenemos la tabla de un compañero, la comparamos con la nuestra.

a. ¿En qué momento/s tu consumo de kilocalorías fue mayor que el de tu compañero?

b. ¿Cuál fue la cantidad total de kilocalorías consumidas por ambos en cada franja horaria?

c. ¿Coinciden tu compañero y vos en la franja horaria en la cual consumieron la mayor

cantidad de kilocalorías?

d. ¿En qué momento tuvo tu compañero el mayor aumento de kilocalorías de una hora a

otra? ¿Cómo lo determinaste?

e. Sin realizar la suma total de kilocalorías, ¿quién crees que consumió más kilocalorías

durante el día de los dos? Explica la estrategia que usaste para responder esta pregunta.

Para llevar a cabo todas las actividades que realizamos durante el día como caminar, correr

o bailar, e incluso otras como dormir, leer o jugar, necesitamos quemar kilocalorías, es

decir, transformarlas en una fuente de energía para la realización de dichas actividades.

Sin embargo, no todas las personas quemamos kilocalorías del mismo modo ni al mismo

ritmo. Por este motivo, la ingesta calórica diaria recomendada está directamente

relacionada con las necesidades físicas de cada persona, que resultan de la combinación

entre las actividades que realiza y su metabolismo.

Más aun en estos momentos, seguramente ha cambiado la cantidad de kilocalorías que

“quemamos”.

Observa el siguiente gráfico que muestra el consumo de kilocalorías y las

kilocalorías quemadas por una persona en un lapso de 5 horas, y responde:

a. ¿Cuánto fue el aumento de las kilocalorías consumidas en cada lapso de hora?

b. ¿Cuánto fue el aumento de las kilocalorías quemadas en cada lapso de hora?

c. Analiza la siguiente frase: "la persona consumió más kilocalorías que las que

perdió en cada hora".

- ¿Es coherente con la información que brinda el gráfico?

- ¿Por qué se puede decir que únicamente en la última hora la persona no

"obtuvo una ganancia neta de kilocalorías"?


36

d. En el mismo gráfico, determina

la gráfica que indica la cantidad de

energía que queda en el cuerpo

(medida en kilocalorías) en función

del tiempo. ¿Cómo llegaste a esta

conclusión?

e. ¿Cuántas kilocalorías por hora

ingiere la persona? De seguir con

este mismo comportamiento, ¿cuál

de las siguientes expresiones te

permitiría calcular el número de

kilocalorías ingeridas tras 8 horas?

Justifica tu respuesta llamando h al

número de horas transcurridas.

Kilocalorías = 700 h + 100


Kilocalorías = -200 h + 200



Kilocalorías = -100 h + 500

f. De las expresiones anteriores,

¿alguna representa la cantidad de

kilocalorías quemadas o la cantidad

de kilocalorías netas obtenidas10 por

la persona para cada hora? ¿Cuál?

Justifica tu elección.

f. Predice tu situación, ¿crees que han aumentado tus kilocalorías netas desde que

comenzó el aislamiento? De ser así ¿cómo lo podrías solucionar? Argumenta tu

respuesta y de ser posible ensaya un modelo matemático para predecirlo.

Actividad 5 – Foro 3 (Equivaler)

También prioritaria es la hidratación y limpieza de nuestro cuerpo y hogares. Para ello nos

valemos de un insumo que nos brinda la naturaleza y muchas veces descuidamos.

El agua antes de salir de las canillas de los hogares, pasa por muchos procesos (Figura 1).

En algunas regiones de la Argentina, el agua captada de las fuentes (Río de la Plata o Río

Paraná de las Palmas) llega a las plantas tratadoras donde se eliminan sus componentes

físicos, químicos y biológicos indeseables. Luego de atravesar estos procesos, el agua llega

a los hogares a través de ríos subterráneos y estaciones elevadoras. Por otra parte, los

10

Kilocalorías netas obtenidas = kilocalorías consumidas – kilocalorías quemadas


37

residuos cloacales recolectados de los hogares son transportados a plantas depuradoras

donde reciben el tratamiento adecuado, antes de ser vertidos en cuerpos receptores (Río de

La Plata, Reconquista o Matanza)11.

En estos servicios de agua potable se establecen tarifas de cobro que dependen del bien

inmueble (residencial, no residencial o baldío) y del tipo de sistema de facturación (medido o

no medido). Por ejemplo:

• Para servicio no medido se considera la valuación del inmueble, como se muestra en el

cuadro12:

11

Podes consultar la página de Agua y Saneamiento Argentinos para obtener más información: https://www.aysa.com.ar/ 12

Puedes encontrar más detalles sobre las tarifas en la página de Aguas Bonaerenses:

https://www.aguasbonaerenses.com.ar/au-cyt-f-cuadro-tarifario.php.

https://www.aysa.com.ar/

https://www.aguasbonaerenses.com.ar/au-cyt-f-cuadro-tarifario.php


38

Para servicio medido se considera el consumo mensual de agua en metros cúbicos (m3):

Lee el último cuadro en el cual la empresa Aguas Bonaerenses informa sobre el

consumo de agua (servicio medido) en forma de cuadro tarifario.

a. Explica la información que nos muestra el cuadro y ¿cómo se la utiliza para

calcular el monto a pagar?

b. ¿Cuánto debe pagar una persona si en su casa se consumen 8 m3 de agua? ¿Y si

se consumen 15 m3? ¿Por qué?

c. ¿Qué pasa cuando el consumo de agua es mayor a 15 m3? ¿En ese caso importa

la cantidad de agua consumida? Fundamenta tu respuesta.


39

d. ¿Cuál es el costo mínimo de cobro en el rango de consumo 2 (considera un

consumo de 15,1 m3)? ¿Cuál es el costo máximo en el rango de consumo 2

(considera un consumo de 17,5 m3)?

e. ¿Cuántos deberíamos pagar con esta escala, si llenamos una vez al mes la pileta

del club 25 de Mayo de nuestra ciudad?

Seguramente hemos escuchado que la misma fue restaurada a nueva con una

inversión que supero los tres millones y medio de peso, pero mantuvo sus

medidas: veinticinco metros de largo por doce metros de ancho con una

profundidad de cuatro metros en la parte más profunda y de un metro veinte

centímetros en la menos profunda. Explica tu resolución.

Cuando podemos elegir entre un servicio u otro en importante que podamos analizar cual

nos conviene.

Vamos a analizar detenidamente diferentes situaciones para poder llegar a un modelo.

Veamos con detalle los precios que se pagarían si el consumo estuviera en el rango de

consumo 2.

Elige cinco valores de consumo en metros cúbicos que queden comprendidos dentro

de dicho rango y calcula el precio que se debe pagar para cada uno de ellos.

Completa la tabla que sigue en función de los valores de consumo que elegiste.

a. ¿Cuál es la cantidad que siempre aparece en los cálculos que realizaste?, ¿cuál

la que se modifica en cada uno de ellos?

b. ¿Cuánto aumenta el costo por cada metro cúbico que aumenta el consumo en

cada tarifa?

c. Una persona necesita calcular el abono que debe pagar por el servicio. Redacta

un párrafo de no más de media página (word - Arial 10) para explicarle cómo

puede hacer dicho cálculo, si conoce la cantidad de consumo de agua en metros

cúbicos, y sabe que este valor queda comprendido dentro del rango de consumo

d. Ahora llama n a la cantidad de metros cúbicos consumidos y encuentra un

modelo (expresión algebraica/formula) para calcular el costo de esa cantidad n

de consumo.

e. Considera que el precio registrado por consumo total de un hogar es de

$146,91. ¿Pertenece este consumo a la escala 2? ¿Cómo usarías la fórmula

propuesta en los puntos anteriores para responder? ¿Cuántos metros cúbicos

se consumieron? Explica detalladamente que hiciste para resolver.

f. ¿Cómo sería la fórmula para el cálculo del costo para un consumo n de metros

cúbicos que quede comprendido dentro del rango de consumo 3? Fundamenta

tu respuesta.

- El aumento del costo por cada metro cúbico de consumo en el rango de

consumo 3, ¿es igual o diferente al que obtuviste en el rango de consumo 2?

¿Cuál es la diferencia entre la ecuación que obtuviste en el rango de consumo 2

y la que obtuviste en el rango de consumo 3? ¿Cómo sería la expresión

algebraica en este caso?

La casa de tus padres se ubica en el rango de consumo 2 del servicio no medido (valuación

inmobiliaria entre 40.001 y 50.000), y abonan una factura mensual de $225,25.


40

a. ¿Crees que les conviene cambiarse a un servicio medido, sabiendo que su

consumo de agua en metros cúbicos corresponde a la escala 3 (entre 17,5

m3 y 20 m3).

b. Argumenta tu decisión teniendo en cuenta la cantidad de m3 que debería

gastar para pagar ese importe.

c. ¿Para qué valores de consumo de agua les conviene el servicio medido?

¿Para cuales, el servicio no medido? Justifica tu respuesta.

Actividad 6 – Foro 4 (Inferir)

Una población en crecimiento

En 1950, cinco años después de la

fundación de las Naciones Unidas,

se estimaba que la población

mundial era de 2.600 millones de

personas. Se alcanzaron los 5.000

millones en 1987 y, en 1999, los

6.000 millones. En octubre de 2011,

se estimaba que la población

mundial era de 7.000 millones de

personas. Para conmemorar este

acontecimiento histórico, se puso en

marcha un movimiento global

llamado "Un mundo de 7 mil

millones".

Se espera que la población mundial

aumente en 2.000 millones de

personas en los próximos 30 años, pasando de los 7.700 millones actuales a los 9.700

millones en 2050, pudiendo llegar a un pico de cerca de 11.000 millones para 2100.

Este crecimiento tan drástico se ha producido en gran medida por el aumento del número

de personas que sobreviven hasta llegar a la edad reproductiva y ha venido acompañado de

grandes cambios en las tasas de fecundidad, lo que ha aumentado los procesos de

urbanización y los movimientos migratorios.

Este crecimiento poblacional ha implicado también un gran crecimiento en la planta

automotriz de los países,

la población mundial

pasó de adquirir 12,8

vehículos por cada 1.000

habitantes en el 2016 a

13,1 en 2017, como

resultado de las

necesidades de

movilización global.

Más de 96,8 millones de


41

vehículos livianos y comerciales fueron matriculados en el planeta durante el 2017. Esta

cifra se traduce en un incremento del 3% frente a la cifra registrada en el 2016,

Con los resultados del 2017, la población mundial pasó de adquirir 12,8 vehículos por cada

1.000 habitantes en el 2016 a 13,1 como resultado de las necesidades de movilización

global, un mayor crecimiento económico mundial y la renovación de la flota vehicular que ya

ha cumplido su ciclo de vida, y estos valores se siguieron incrementando en los años

sucesivos.

Cada país ha diseñado modelos para poder matricular millones de automóviles. Sin

embargo, a medida que aumenta el número de patentes emitidas y entregadas, se hace ne-

cesario pensar en un nuevo modelo. España fue el primer país que introdujo en el año 1900

la matriculación obligatoria de automóviles utilizando un sistema de letras y números. Para

el año 1971, su sistema de numeración ya se estaba agotando en las ciudades de Madrid y

Barcelona: las matrículas B-918387 y M-960985 fueron las últimas de este sistema. En

nuestro país – Argentina - se identifican dos fases, una descentralizada y otra centralizada.

En la primera fase, que transcurrió entre 1916 y 1969, cada provincia emitía sus propias

patentes. En la segunda, que comenzó en 1964 (y sigue aún en vigencia), se promovió la

unificación, regularización y estandarización de las diferentes identificaciones de automoto-

res. En esta fase se han utilizado hasta el momento tres diseños distintos de las chapas

patentes que se muestran en la imagen:

El último cambio se encuentra aún en vigencia e implica la creación de un sistema único de

identificación para todos los países del MERCOSUR.

Observa cada una de las patentes anteriores y responde:

a. ¿Qué ha cambiado a lo largo de los años en las patentes de nuestro país?

b. Considera las siguientes patentes y analiza las preguntas propuestas:

- ¿Qué cambio se produjo entre estas patentes?

- ¿Por qué consideras que al agregar un nuevo carácter a la patente del 2.015, las

autoridades decidieron colocar una letra y no un número?

c. Estima ¿cuantas patentes permite construir el último diseño?

Para pensarlo, puedes ayudarte construyendo patentes de:

tres caracteres, una letra seguida de dos números.

continúa con cuatro caracteres, dos letras, seguidas de dos números. En

este caso, ¿cuántas patentes pueden construirse, si se utilizan todas las

letras del abecedario (excepto la ñ) y todos los dígitos (del 0 al 9)?

Diseño de 1.964. Diseño de 1.994. Diseño de 2.015.


42

Puedes continuar de esta manera, incorporando ahora cinco caracteres

dos letra y tres números….y seguir así.

d. ¿Explica la estrategia que encontraste para determinar la cantidad total de

patentes?

En 1993, nuestro gobierno, a través de la Dirección Nacional del Registro de la Propiedad

del Automotor (DNRPA), decretó que todos los automóviles nuevos vendidos a partir del 1°

de enero de 1995 serían incorporados a un nuevo sistema de patentamiento. El formato

propuesto para las nuevas patentes consistió en tres letras y tres dígitos numéricos.

A su vez, la DNRPA determinó que a los vehículos de inscripción inicial (0 Km), se les

otorgarían los dominios consecutivos desde la patente AAA 000, mientras que a los re-

inscriptos se les otorgarían los consecutivos desde el dominio RAA 000 en adelante.

Considerando la información emitida por la DNRPA,

a. ¿cuántos automóviles de inscripción inicial (0Km) podrían entrar al proceso de

patentamiento? ¿Por qué?

b. ¿Cuál es la última patente posible de emitir para automóviles de inscripción inicial

(considera que se emiten en orden cambiando de derecha a izquierda)? ¿En qué

te basaste?

El último diseño de patente utilizado en Argentina (2015) va avanzando de derecha a

izquierda: las dos primeras posiciones son letras, las tres siguientes son números y

las dos restantes son de nuevo letras. Es decir, la primera patente es : AA 000 AA;

la segunda: AA 000 AB; tercera: AA 000 AC y así sucesivamente.

a. ¿Cuántos automóviles para patentamiento se requieren para cambiar la letra de la

segunda posición desde la derecha?

b. ¿Cada cuántos patentamientos cambia la letra de la segunda posición desde la

izquierda, es decir, pasa de AA a AB, luego a AC y así sucesivamente? ¿Por qué?

c. ¿Cuántos patentamientos de automóviles se requieren para que comience a

circular la patente con las iniciales AD?

d. ¿Cuántos automóviles tienen que patentarse para que se cambie la letra inicial A

de este modelo de patente?

En 2013 ya circulaban por las calles de Argentina automóviles con patente cuyas

letras eran NKA.

a. ¿Cuáles son las letras iniciales que quedaron en el 2013 para generar patentes

para vehículos de inscripción inicial?

b. Si la última patente fue NKA 999, ¿cuántas patentes quedaban por generarse en

su momento?, esto ¿implicaba pensar en un cambio de diseño de la patente?

¿Por qué?

c. En el diseño de un modelo de patente, ¿por qué sería mejor recurrir al uso de

mayor cantidad de letras que de números?

En el año 2.015 las patentes comenzaron a formar parte del Mercosur como

podemos ver en las siguientes imágenes:


43

a. ¿Los diseños de las patentes son iguales o diferentes? ¿Por qué?

b. ¿Cada país genera el mismo número total de patentes? ¿Por qué?

c. ¿Argentina, Venezuela y Brasil generan las mismas patentes? ¿Por qué?

d. Las patentes que se pueden generar en la Argentina son las mismas que las que se

pueden generar en el Paraguay, ya que en ambos casos se permite el uso de los

mismos caracteres: tres números y cuatro letras.

Actividad 7 – Foro 5

El fuerte crecimiento poblacional, del que hablamos en la actividad 6, genera un impacto en

el tamaño, la estructura y la distribución poblacionales que tendrá profundas repercusiones

en los esfuerzos por promover la agenda a nivel global para el 2.030.

La Comisión Mundial del Medio Ambiente y del Desarrollo (1988) ha señalado las

consecuencias: “En muchas partes del mundo, la población crece según tasas que los

recursos ambientales disponibles no pueden sostener, tasas que están sobrepasando todas

las expectativas razonables de mejora en materia de vivienda, atención médica, seguridad

alimentaria o suministro de energía”.

Alrededor de un 40% de la producción fotosintética primaria de los ecosistemas terrestres

es usado por la especie humana cada año para, fundamentalmente, comer, obtener madera

y leña, etc. Es decir, la especie humana está próxima a consumir tanto como el conjunto de

las otras especies.

Como explicaron los expertos en sostenibilidad, la actual población precisaría de los

recursos de tres “Tierras” para alcanzar un nivel de vida semejante al de los países

desarrollados. Puede decirse, que hemos superado ya la capacidad de carga del planeta,

es decir, la máxima cantidad de seres humanos que el planeta puede mantener de forma

permanente. De hecho se ha estimado en 1,7 hectáreas la bio-capacidad13 del planeta por

cada habitante mientras que en la actualidad la huella ecológica media por habitante es de

2,8 hectáreas.

“Incluso si consumieran, en promedio, mucho menos que hoy, los nueve mil millones de

hombres y mujeres que poblarán la Tierra hacia el año 2050 la someterán, inevitablemente,

a un enorme estrés” (Delibes y Delibes, 2005).

Preocupaciones semejantes ante el crecimiento explosivo de la población llevaron a Ehrlich

y Ehrlich (1994), hace ya más de una década, a afirmar con rotundidad: "No cabe duda que

13

Terreno productivo disponible para satisfacer las necesidades de cada uno de los más de 6000 millones de habitantes del

planeta


44

la explosión demográfica terminará muy pronto. Lo que no sabemos es si el fin se producirá

de forma benévola, por medio de un descenso de las tasas de natalidad, o trágicamente, a

través de un aumento de las tasas de mortalidad". El reto definitorio del siglo XXI será

afrontar la realidad de que la humanidad comparte un destino común en un planeta

superpoblado (Sachs, 2008, p. 17). VILCHES, A., GIL PÉREZ, D., TOSCANO, J.C. y MACÍAS, O. (2020). «Crecimiento demográfico y Sostenibilidad

Al leer este último párrafo y encontrarnos con noticias como la siguiente14:

No, nos queda más que preguntarnos “¿no será que el planeta está entrando en caos?”

Seguramente ustedes han escuchado del “efecto mariposa”, el origen de la expresión está

en un antiquísimo proverbio, que establece que “el leve aleteo de las alas de una mariposa

se puede sentir al otro lado del mundo”. Esta idea, que se encuentra detrás de complejas

teorías matemáticas como las que rigen los sistemas caóticos, se ha constatado en la

14

https://www.clarin.com/internacional/coronavirus-vivo-mapa-actualizado-casos-tiempo-real-adscoronavirus_0_F1_x-40l.html



45

pandemia del covic-19. En este caso un virus que “salto” de un aleteo en alguna plaza de

mercado en China a un humano, ha causado un huracán global sembrado la alarma en

todo el mundo, ha hecho caer los mercados y ha modificado la vida de millones de

habitantes del planeta.

El virus ha infectado a más de 303.000 personas en 168 países y ha sido catalogado como

una pandemia por la Organización Mundial de la Salud. Cerca de 13.000 personas han

muerto y los sistemas de salud de los países en donde el virus se expandió, sin que se

tomaran medidas de contención, como Italia, han colapsado.

Los países, uno tras otro, han ido implementado una cascada de medidas para evitar que

haya picos de contagio que colapsen sus sistemas sanitarios. Las cuarentenas,

restricciones a la movilidad, cancelaciones y prohibición de concentraciones están a la

orden del día en cada rincón planetario. El miedo, la incertidumbre y las restricciones han

tumbado la actividad económica.

Pero que es la Teoría del Caos?

La Teoría del Caos15 trata ciertos tipos de sistemas dinámicos, es decir aquellos sistemas

cuyo estado evoluciona con el tiempo, con la particularidad de ser muy sensibles a las

variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones

iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro,

haciendo complicada la predicción a largo plazo.

También conocida como teoría de las estructuras disipativas, tiene como principal

representante al químico belga Ilya Prigogine, y plantea que el mundo no sigue

estrictamente el modelo del reloj, previsible y determinado, sino que tiene aspectos

caóticos. El observador no es quien crea la inestabilidad o la imprevisibilidad con su

ignorancia: ellas existen de por sí, y un ejemplo típico es el clima. Los procesos de la

realidad dependen de un enorme conjunto de circunstancias inciertas, que determinan por

ejemplo que cualquier pequeña variación en un punto del planeta, genere en los próximos

días o semanas un efecto considerable en el otro extremo de la tierra.

El caos y los sistemas caóticos no implican necesariamente desorden en el sentido literal y

popular de la palabra; los sistemas no lineales son sistemas irregulares, altamente

impredecibles, que se manifiestan en muchos ámbitos de la vida y la naturaleza, pero que

no se puede decir que tengan comportamientos sin ley, dado que existen reglas que

determinan su comportamiento, aunque éstas sean difíciles de conocer en muchas

ocasiones. Ejemplo de este tipo de sistemas pueden ser:

La evolución de las temperaturas

El comportamiento de los fluidos

La dinámica de poblaciones

La estructura de los sistemas sociales

Las fluctuaciones de la “Bolsa”.

El comportamiento del corazón humano.

La distribución eléctrica.

Las epidemias

Movimiento de bancos de peces, aves e insectos

migratorios

15

Rama de la Matemática, desarrollada en la segunda mitad del Siglo XX, que estudia lo complicado, lo impredecible, lo que

no es lineal. A veces se la llama "Matemática de lo no lineal".

https://www.who.int/dg/speeches/detail/who-director-general-s-opening-remarks-at-the-mission-briefing-on-covid-19---12-march-2020

https://twitter.com/TheEconomist/status/1238487620759552000?s=20


46

El comportamiento del cerebro

Etc.

A diferencia de lo que ocurre en el lenguaje coloquial en el que el término caos es sinónimo

de desorden o falta de estructura, cuando se habla en ciencia de caos nos referimos a caos

determinista. Es decir una conducta compleja e impredecible pero que se deriva de

ecuaciones o algoritmos bien definidos matemáticamente; que incluso no necesitan ser muy

complicados. Una de las definiciones operacionales quizás más sencilla y fácil de entender

de caos es la de extrema sensibilidad a las condiciones iniciales. Es decir, existe caos

cuando en un sistema dos sucesos que empiezan en condiciones iniciales muy próximas

evolucionan diferente, de manera que se separan exponencialmente en el espacio de las

fases16. Así, se puede decir que se pierde la memoria de las condiciones iniciales de que se

partía. Esto tiene una consecuencia muy importante y es que en el régimen caótico es

imposible realizar predicciones a largo plazo, ya que nunca se van a poder conocer las

condiciones iniciales del sistema con infinita precisión.

Para entender el origen de esta separación exponencial en el régimen caótico,

consideremos dos corchos que se dejan muy juntos en la corriente de un río.

Mientras la corriente transcurra de forma suave en régimen laminar no caótico, las

trayectorias seguidas por los dos corchos estarán muy próximas y estas a lo sumo

se separarán de forma lineal. En cambio en las zonas del río en las que el flujo sea

turbulento y las aguas formen remolinos los corchos se separarán rápidamente, con

evoluciones totalmente diferentes.

- O también podríamos pensar el comportamiento de la pandemia en dos países,

podrías ejemplificarlo con Italia y Corea del Sur, con Italia y nuestro país.

Los gráficos del anexo 4, te pueden ayudar.

Otra de las ramas importantes de la matemática actual, la topología, nació con un acertijo

parecido al siguiente:

La provincia de Entre Ríos, en Argentina, se encuentra rodeada por los ríos Paraná (al

oeste y sur), Uruguay (al este) y Guayquiraró y Mocoreta (al norte). Hay cinco puentes

(Rosario-Victoria, Zárate - Brazo Largo, Puente Internacional Libertador San Martin, Puente

Internacional José G. Artigas y Puente Internacional Represa Salto Grande) Anexo 5, que

cruzan los ríos Paraná y Uruguay.

Un habitante de esta provincia le prometió a su familia que cuando se terminen las

medidas, tomadas por el Gobierno, en prevención al covic-19 los va a llevar a

conocer los cinco puentes. La cuestión consiste en determinar si pueden salir de la

Provincia y volver ingresar a ella de tal modo que crucen cada uno de los puentes

una sola vez.

Para resolver la situación puedes dibujar, hacer gráficas, cálculos, lo que quieras

pero lo más importante es que escribas un cuento con el contenido de la situación y

su resolución (Extensión no más de una hoja A4).

Lee el artículo de Anexo 6, y responde:

a. ¿Cuál es el modelo?

b. ¿Cuál es el Teorema?

c. ¿Cuál la Teoría?

16

Espacio formado por todos los parámetros necesarios para caracterizar el estado del sistema


47

d. Vamos a aplicar el Dilema del Prisionero a una situación donde dos personas, A

y B están contagiadas pero no presentan síntomas, ¿en cuál de las opciones

ganamos todos? ¿Por qué?

Completa las casillas en blanco con: “ganamos todos” o “perdemos todos”


48

Anexos Modulo 3


49

ANEXO 4

Infografía de Coronavirus en el mundo y en Latinoamerica.17

17




50


51

ANEXO 5

Puentes de Entre Ríos.


52

ANEXO 6

Un modelo, un teorema y teoría de juegos contra el coronavirus

La guerra contra el COVID-19 se lucha en muchos frentes. Entre las armas que aportan las matemáticas

destacan tres: el modelo SIR, que realiza predicciones como el previsible pico de contagios en España a

principios de abril; el teorema de Bayes, que ayuda a actualizar la probabilidad de que se extienda COVID-19

con nuevos datos; y la teoría de juegos, que nos habla de sacrificar el beneficio individual por el bien común

para vencer a este enemigo invisible.

Enrique Sacristán

20/3/2020 10:35 CEST

Los modelos matemáticos ayudan a predecir

la propagación de pandemias como COVID-

19.

Desde que el nuevo coronavirus SARS-Cov-

2 salió de China y la enfermedad COVID-

19 se ha extendido por el mundo, los países a

los que ha llegado la pandemia han tomado

medidas drásticas para aplanar sus curvas de

infectados diarios, es decir, bajar y retrasar su

pico lo máximo posible para que no colapsen

los sistemas sanitarios.

Detrás de esas gráficas hay modelos

matemáticos que recogen las características

de los brotes epidémicos y permiten realizar predicciones. Sin duda uno de los más utilizados es el modelo SIR,

cuyas siglas hacen referencia a las tres curvas o grupos de población implicados en una epidemia: los

susceptibles (S) de contraer la enfermedad, los infectados (I) y los recuperados (R).

« SIR es un modelo muy flexible que permite ver

cómo varía el número de personas susceptibles de

contagio, las infectadas y las recuperadas,

confirmando la importancia de aplanar la curva

de los infectados»

En algunas versiones los fallecidos se incluyen en R (aunque resulte irónico) para facilitar los cálculos, pero en

la mayoría salen del sistema, ya que las personas pueden morir (también nacer y se puede considerar) estando en

cualquiera de los tres grupos.

“La suma del número de susceptibles, recuperados, infectados y fallecidos es constante en cualquier instante de

tiempo y es igual a la población inicial”, explica la matemática Anabel Forte de la Universidad de Valencia,

quien destaca la flexibilidad de este modelo de ecuaciones diferenciales para entender cómo varía el número de

personas en cada categoría, así como el esfuerzo actual para aplanar una de las curvas: la de infectados.

https://www.agenciasinc.es/Autor/Enrique-Sacristan

https://www.agenciasinc.es/articulos-del-dia/20-03-20

https://www.agenciasinc.es/Noticias/Las-dos-graficas-que-explican-como-podemos-frenar-la-epidemia-de-COVID-19

https://www.agenciasinc.es/Noticias/Las-dos-graficas-que-explican-como-podemos-frenar-la-epidemia-de-COVID-19


53

Otro matemático, Manuel de León, del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) recuerda que SIR "es el

modelo compartimental de Kermack-McKendrick18

, inspirado a su vez en el de Ronald Ross19

. La idea del

modelo compartimental es dividir la población en compartimentos y ver como se pasa de uno a otro, en este

caso de S a I y luego a R".

Ejemplo de las curvas de un modelo SIR (sin mortalidad). / Anabel Forte

“Una cuestión relevante es el valor de los parámetros que incluimos en las ecuaciones diferenciales, porque en

una epidemia nueva como esta no los conocemos a priori y los vamos a ir estimando”, apunta De León, quien

subraya la importancia de uno de los parámetros: R0, que indica el promedio de infecciones que causa un

individuo contagiado.

“R0 se calcula a partir de los parámetros del modelo y puede cambiarse si modificamos nuestro

comportamiento”, añade Forte, “y este número de personas a las que alguien infectado va a contagiar tiene que

ver con la virulencia de la enfermedad y con el número de contactos que mantenemos”. De ahí la importancia de

seguir las recomendaciones higiénico-sanitarias y el aislamiento que piden las autoridades.

Dependiendo del R0, se puede aplanar la curva de infectados: “Lo ideal es que esté por debajo de 1 porque así,

la epidemia irá desapareciendo por si sola –dice la matemática–. El R0 del coronavirus en circunstancias

normales anda entre 1,5 y 2,5, que no es demasiado alto comparado con el del sarampión, por ejemplo, que está

entre 14 y 15. Pero eso no significa que no sea peligroso. Solo hay que acordarse de que el de la gripe española

fue de 2,1. Lo importante es reducirlo”.

Predicciones para Galicia y España

Una de las extensiones del modelo SIR es SEIR, un sistema de ecuaciones donde se incorpora diferenciada la

población expuesta (E), aquellas personas que incuban el virus sin mostrar síntomas. Un grupo de investigadores

de universidades gallegas y de Portugal lo han utilizado para modelizar la evolución de la pandemia y ayudar en

la toma de decisiones.

18

La teoría de Kermack-McKendrick es una hipótesis que predice el número y la distribución de casos de una enfermedad

infecciosa a medida que se transmite a través de una población a lo largo del tiempo. La característica importante es que era un modelo en el que la edad de la infección afectaba las tasas de transmisión y eliminación. 19

Médico británico que recibió el Premio Nobel de Fisiología o Medicina en 1902 por su trabajo en la transmisión de

la malaria

https://en.wikipedia.org/wiki/Medical_doctor

https://en.wikipedia.org/wiki/Nobel_Prize_for_Physiology_or_Medicine

https://en.wikipedia.org/wiki/Malaria


54

«Según un modelo desarrollado en universidades

gallegas, el pico de la epidemia se alcanzará en

España previsiblemente a principios de abril»

“Adaptándonos a las características propias de COVID-19, añadimos tres subpoblaciones (P de super-

propagadores, A de infectados pero asintomáticos, H de hospitalizados) al modelo, con parámetros ajustados en

función de los datos propios de este coronavirus desde que empezó en China”, explica uno de los autores, Juan

José Nieto, de la Universidad de Santiago de Compostela.

“Mientras trabajábamos con el modelo, al hacerse público el 4 de marzo el primer positivo en Galicia,

reparamos que el pico de la epidemia se produciría en torno a la primera semana de abril, hecho que pusimos en

conocimiento de nuestras autoridades”, señala Nieto, y la predicción se puede extender a toda España: “Dado

que ese máximo se puede alcanzar a los 20-35 días del primer caso, el pico se alcanzará previsiblemente a

principios de abril”

Otras herramientas matemáticas

Además de los modelos epidemiológicos, otras herramientas como las teorías y los teoremas matemáticos

también tienen su aplicación en las predicciones y circunstancias que rodean a esta pandemia.

Un ejemplo es el teorema de Bayes, que describe la probabilidad de un suceso basándose en el conocimiento

previo de las condiciones relacionadas con ese suceso. De León lo resume así: “La información acerca de un

determinado fenómeno tras el análisis de los datos (distribución a posteriori), se obtiene actualizando los

conocimientos previos (distribución a priori) con los nuevos datos (información que vamos obteniendo de las

muestras)”.

«El teorema de Bayes ayuda a actualizar nuestro

conocimiento sobre la probabilidad de que se

extiendan enfermedades como COVID-19 a medida

que se van teniendo nuevos datos»

El matemático ofrece un ejemplo teórico de lo que la estadística bayesiana puede aportar: "En determinados

casos podemos deducir que vacunar a los niños es mejor solución que vacunar a toda la población, o a un

segmento de la población por encima de una cierta edad, porque sean los mayores transmisores de esa

enfermedad. De esta forma podemos ser más eficaces en combatir una epidemia".

“El teorema de Bayes es una herramienta estadística que nos puede ayudar a actualizar nuestro conocimiento

sobre la probabilidad de que se extiendan enfermedades como COVID-19 a medida que se van teniendo nuevos

datos”, apunta Forte.

La investigadora también destaca la importancia de las matemáticas para fomentar actitudes positivas de la

gente frente a esta crisis sanitaria, como las enseñanzas de la teoría de juegos, muy utilizada en economía,

informática y otros campos para estudiar cómo conseguir el mayor beneficio en situaciones de competitividad.

«La teoría de juegos nos enseña que si me

comporto bien, tendré menos opciones de

contagiarme, y nos habla de la

solidaridad: reducir el beneficio

individual en pos del bien común»


55

Uno de los problemas clásicos de esta teoría es el dilema del prisionero20

, que en principio muestra que dos

individuos podrían no cooperar, aunque parezca que lo mejor para ambos sea hacerlo. Pero el dilema se puede

plantear de diversas formas y en distintos escenarios, con ganancias mayores o menores para los participantes.

La teoría de juegos se ha ido incorporando a los modelos para tener en cuenta el comportamiento social de los

individuos, apunta De León, quien plantea preguntas relacionadas con COVID-19: “¿Somos obedientes a las

instrucciones que nos dan a fin de reducir los contactos y las transmisiones?, ¿nos lavamos las manos como nos

aconsejan?, ¿cómo influye la comunicación desde las autoridades y los medios de comunicación en nuestro

comportamiento? Pasa como en teoría de juegos: si me comporto bien, tendré menos opciones de contagiarme”.

Por su parte, Forte concluye: “Yo creo que la teoría de juegos aquí nos habla de la solidaridad en varios

sentidos. Aunque a ti personalmente te fastidie, si todos nos quedamos en casa ayudamos a reducir el R0 y, por

tanto, al bien común. Pero también tiene que ver con las compras en los supermercados. Si todos vamos como

locos a llenar las despensas, habrá gente que lo pase mal y no tenga que comer. Se trata de reducir el beneficio

individual en pos del bien común”.

Fuente: SINC

20

El dilema del prisionero es un problema fundamental de la teoría de juegos que muestra que dos personas pueden no

cooperar incluso si ello va en contra del interés de ambas.

https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos


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