Universidade Federal de Goiás

Escola de Veterinária e Zootecnia

R-FácilAnálise de Variância

Apostila destinada a usuários do

R, com demonstrações de uso de funções

em exemplos da área de Ciências

Agrárias.

Goiânia

Março de 2014

Apresentação

Atualmente encontram-se grande número de apostilas e livros abordando o uso do software

R (R Core Team, 2014) para análises estatísticas. No entanto, são raros os materiais didáticos

aplicados à área de ciências agrárias. Visando estimular o aprendizado com linguagem mais simples

e aplicada, com exemplos práticos voltados, principalmente, as áreas de ciências agrárias e

biológicas, o presente material foi desenvolvido para auxiliar a utilização do R na realização de

análise de variância para tratamentos qualitativos. O público alvo são alunos de graduação,

pós-graduação, professores e pesquisadores. O objetivo desta apostila não é aprofundar em aspectos

teóricos, mas apenas apresentar um tutorial de análise de dados utilizando pacotes e funções de

forma bastante prática.

A apostila “R-fácil: Análise de Variância” faz parte de uma séria de quatro apostilas que

contemplam parte do conteúdo do site http://r-facil.webnode.com/. Deve-se destacar que este material

utiliza-se de funções de uso mais prático para a demonstração das análises e por isso o título R-fácil,

com intuito de descomplicar um pouco a utilização do software.

No texto as discussões estão na fonte Times 12 e as análises realizadas no R em fonte

Inconsolata em negrito, sendo a programação em azul e os resultados em preto. Boa leitura e não

deixe de conferir os demais materiais da séria R-fácil (download em http://r-facil.webnode.com/).

O autor

Índice

páginaDelineamento inteiramente ao acaso 1Delineamento de blocos ao acaso 4Delineamento em quadrado latino 7Esquema fatorial 13 Fatorial duplo em delineamento inteiramente ao acaso 13 Fatorial duplo em delineamento de blocos ao acaso 18Esquema de parcelas subdivididas (splitplot) 21 Parcelas subdivididas em delineamento inteiramente ao acaso 21 Parcelas subdivididas em delineamento de blocos ao acaso 25Análise de covariância 29Contrastes de médias 31Referências 36

Delineamento inteiramente ao acaso

A análise de variância em delineamento inteiramente ao acaso é realizada quando os

tratamentos são distribuídos de forma totalmente (inteiramente) casualizada as unidades

experimentais. Neste caso não é feito nenhum tipo de “controle” de uma fonte de variação

sistemática no experimento.

Para realizar análise de variância em delineamento inteiramente ao acaso vamos

requerer o pacote "easyanova", que deve ser previamente instalado.

require(easyanova)

No próprio pacote existem dados disponíveis para exemplo. Vamos carregar o

exemplo chamado “data1”, que são dados obtidos de Kaps e Lamberson (2009).

data(data1)

Para ver a forma de tabulação dos dados observamos no próprio exemplo fazemos:

data1

Diet Gain1 d1 2702 d1 3003 d1 2804 d1 2805 d1 2706 d2 2907 d2 2508 d2 2809 d2 29010 d2 28011 d3 29012 d3 34013 d3 33014 d3 30015 d3 300

1

No caso do delineamento inteiramente ao acaso a primeira coluna deve conter os

códigos de tratamentos e as demais as variáveis respostas (neste exemplo temos somente uma

variável resposta).

Vamos usar a função “ea1( )" do pacote “easyanova” e gravar o resultado em um

objeto chamado "resultado". Na função o argumento "design" define o delineamento (1 =

inteiramente ao acaso).

resultado=ea1(data1, design=1)

Para visualizar o resultado fazemos:

resultado

$`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>Ftreatments 2 3640 1820.0000 6.1348 0.0146Residuals 12 3560 296.6667 - -

$Means treatment mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 d3 312 7.7028 a a a a a2 d1 280 7.7028 b b b b b3 d2 278 7.7028 b b b b b

$`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t)1 d3 - d1 32 0.0310 0.0124 0.0124 0.01242 d3 - d2 34 0.0223 0.0223 0.0112 0.00883 d1 - d2 2 0.9816 0.8574 0.8574 0.8574

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.8937p.value Bartlett test 0.5662coefficient of variation (%) 5.9400first value most discrepant 7.0000second value most discrepant 12.0000third value most discrepant 11.0000

Ocorre diferença significativa entre tratamentos na análise de variância (p=0.0146).

Assim, pode-se avaliar a diferença entre tratamentos aos pares através dos testes de médias.

Pelos testes verifica-se que as dietas d1 e d2 são estatisticamente iguais e inferiores a d3.

2

Neste caso todos os testes auxiliam a conclusão de forma equivalente. Mas nem sempre este

fato ocorre, sendo que o teste de Tukey é mais rigoroso no sentido da não diferença (valores

de probabilidade maiores) e o teste t da diferença (valores de probabilidades menores). E esta

diferença entre os dois testes se acentua com o aumento do número de tratamentos.

Recomendo utilizar o teste de Tukey quando o número de tratamentos for inferior a cinco e o

teste de ScottKnott quando igual ou superior a cinco.

A função também retorna uma resumida análise de resíduos. No teste de normalidade

(shapiro.test) e de homogeneidade de variâncias (bartlett.test) observa-se (p-value>0,05) que

os resíduos podem ser considerados aproximadamente normais e com variâncias homogêneas

(homocedasticidade). O coeficiente de variação foi de 5,94%.

E ainda, a função apresenta as três observações mais discrepantes do conjunto de

dados. No caso a 7, 12 e 11 na seqüência dos dados. Para julgar se os dados apontados como

mais discrepantes são realmente fora da normalidade a função gera um gráfico dos resíduos

padronizados versus a seqüência dos dados. Observe no gráfico gerado neste exemplo (Figura

1) que nenhum dado fica fora dos limites de +/-2,5 escores Z (+/-2,5 desvios padrões). Os

valores 7, 12 e 11 são os que mais se aproximam destes limites. Dados fora do limite de dois

desvios padrões já podem ser considerados suspeitos, principalmente em amostras pequenas.

Figura 1. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados.3

Delineamento em blocos ao acaso

A análise de variância em delineamento de blocos ao acaso é realizada quando os

tratamentos são distribuídos de forma totalmente (inteiramente) casualizada dentro de grupos

homogêneos quanto a uma variável que atua no experimento de forma sistemática. Nestes

casos os grupos são freqüentemente denominados de blocos. Um bloco deve ser homogêneo

para a variável cujo efeito deseja-se “controlar”, mas pode ocorrer heterogeneidade entre

blocos.

Para realizar análise de variância em blocos ao acaso vamos requerer o pacote

"easyanova", que deve ser previamente instalado.

require(easyanova)

No próprio pacote existem dados disponíveis para exemplo. Vamos carregar o

exemplo chamado “data2”, que são dados obtidos de Kaps e Lamberson (2009).

data(data2)

Para ver a forma de tabulação dos dados observamos no próprio exemplo fazendo:

data2

Treatments Blocks Gain1 t1 b1 8262 t1 b2 8653 t1 b3 7954 t1 b4 8505 t2 b1 8276 t2 b2 8727 t2 b3 7218 t2 b4 8609 t3 b1 75310 t3 b2 80411 t3 b3 73712 t3 b4 822

4

No caso do delineamento de blocos ao acaso a primeira coluna deve conter os códigos

de tratamentos, a segunda os códigos dos blocos e as demais as variáveis respostas (somente

uma variável resposta neste exemplo). Temos o ganho diário em grama de bovinos em

experimento para avaliar três tratamentos. Os grupos (blocos) foram compostos por grupos de

peso de bovinos, sendo cada grupo um bloco. Note que todos os tratamentos foram aplicados

em cada bloco.

Vamos usar a função “ea1( )" do pacote “easyanova” e gravar o resultado em um

objeto chamado "resultado". Na função o argumento "design" define o delineamento (2 =

blocos ao acaso).

resultado=ea1(data2, design=2)

Para visualizar o resultado fazemos:

resultado

$`Analysis of variance` df type III SS mean square F value p>Ftreatments 2 6536 3268 5.3399 0.0465blocks 3 18198 6066 9.9118 0.0097Residuals 6 3672 612 - -

$`Adjusted means` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 t1 834 12.3693 a a a a a2 t2 820 12.3693 ab ab ab ab a3 t3 779 12.3693 b b b b b

$`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t)1 t1 - t2 14 0.7165 0.4540 0.4540 0.45402 t1 - t3 55 0.0456 0.0456 0.0230 0.02003 t2 - t3 41 0.1246 0.0575 0.0575 0.0575

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.2759p.value Bartlett test 0.4075coefficient of variation (%) 3.0500first value most discrepant 7.0000second value most discrepant 3.0000third value most discrepant 11.0000

Ocorre diferença significativa entre tratamentos na análise de variância (p=0.0465).

Assim, pode-se avaliar a diferença entre tratamentos aos pares através dos testes de médias.

5

Observando o teste de ScottKnott pode-se concluir que os tratamentos t1 e t2 foram

estatisticamente iguais e, ambos estatisticamente diferentes do t3.

Observando o valor de probabilidade referente aos blocos (faixas de peso) pode-se

concluir que ocorre diferença significativa (p=0.0097). Certamente a decisão de “blocar” o

efeito de peso neste experimento foi muito importante para a qualidade do mesmo.

No teste de normalidade (shapiro.test) e de homogeneidade de variâncias

(bartlett.test) observa-se (p-value>0,05) que os resíduos podem ser considerados

aproximadamente normais e com variâncias homogêneas (homocedasticidade). O coeficiente

de variação foi de 3,05%.

Para julgar se os dados apontados como mais discrepantes são realmente fora da

normalidade a função gera um gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos

dados. Observe no gráfico gerado neste exemplo (Figura 2) que nenhuma observação fica fora

do limite de +/-2,5 escores Z (+/-2,5 desvios padrões), não sendo detectado problema com

outliers.

Figura 2. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados.

6

Caso alguma observação seja descartada, deve-se inserir NA no local do dado e a

análise refeita da mesma forma como anteriormente ilustrado. A função “ea1( )” faz os ajustes

recomendados no caso de um ou mais dados faltantes (desbalanceamento experimental).

Delineamento em quadrado latino

A análise de variância em delineamento de quadrado latino é realizada quando os

tratamentos são distribuídos de forma a ser controlada duas fontes de variação sistemática em

um experimento. O número de tratamentos deve ser igual ao número de categorias de cada

fonte de variação controlada no experimento. Por exemplo, em um experimento onde se

deseja testar o efeito de quatro tratamentos. Podem-se avaliar estes quatro tratamentos em

quatro animais (o efeito de animal é uma das fontes de variação sistemática) em quatro

períodos (o efeito de período é uma segunda fonte de variação sistemática a ser controlada no

experimento).

Para realizar análise de variância em quadrado latino vamos requerer o pacote

"easyanova", que deve ser previamente instalado.

require(easyanova)

No próprio pacote existem dados disponíveis para exemplo. Vamos carregar o

exemplo chamado “data3”, que são dados obtidos de Kaps e Lamberson (2009).

data(data3)

Para ver a forma de tabulação dos dados observamos no próprio exemplo fazendo:

data3

treatment period steer response1 B p1 a1 10.02 D p1 a2 9.03 C p1 a3 11.14 A p1 a4 10.85 C p2 a1 10.2

7

6 A p2 a2 11.37 D p2 a3 9.58 B p2 a4 11.49 D p3 a1 8.510 B p3 a2 11.211 A p3 a3 12.812 C p3 a4 11.013 A p4 a1 11.114 C p4 a2 11.415 B p4 a3 11.716 D p4 a4 9.9

No caso do delineamento em quadrado latino a primeira coluna deve conter os códigos

de tratamentos, a segunda e a terceira o código das duas variáveis controladas no experimento

(linhas e colunas) sem importar a ordem destas. E as demais colunas as variáveis respostas

(somente uma variável resposta neste caso). No exemplo temos o desempenho de bovinos em

experimento para avaliar quatro tratamentos. Foi controlado o efeito de período e de animal

(quatro períodos e quatro animais). Note que todos os tratamentos foram aplicados em cada

período e em cada animal.

Vamos usar a função “ea1( )" do pacote “easyanova” e gravar o resultado em um

objeto chamado "resultado". Na função o argumento "design" define o delineamento (3 =

quadrado latino).

resultado=ea1(data3, design=3)

Para visualizar o resultado fazemos:

resultado

$`Analysis of variance` df type III SS mean square F value p>Ftreatments 3 12.0219 4.0073 27.6763 <0.001rows 3 1.4819 0.4940 3.4115 0.0938columns 3 3.5919 1.1973 8.2691 0.0149Residuals 6 0.8688 0.1448 - -

$`Adjusted means` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 A 11.500 0.1903 a a a a a2 B 11.075 0.1903 a a a a a3 C 10.925 0.1903 a a a a a4 D 9.225 0.1903 b b b b b

8

$`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t)1 A - B 0.425 0.4538 0.1654 0.1654 0.16542 A - C 0.575 0.2429 0.1623 0.0847 0.07653 A - D 2.275 0.0006 0.0006 0.0002 0.00014 B - C 0.150 0.9411 0.5974 0.5974 0.59745 B - D 1.850 0.0019 0.0011 0.0006 0.00056 C - D 1.700 0.0030 0.0007 0.0007 0.0007

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.6961p.value Bartlett test 0.8254coefficient of variation (%) 3.5600first value most discrepant 11.0000second value most discrepant 4.0000third value most discrepant 8.0000

Ocorre diferença muito significativa entre tratamentos (p<0,001) com posterior

avaliação da comparação aos pares de tratamentos pelos testes de médias. Também se

observa aproximação da normalidade (p>0,05 no teste de Shapiro-Wilk) e homogeneidade de

variâncias (p>0,05 no teste de Bartlett). Nenhum dado deve ser a priori considerado outlier,

pois estão dentro da faixa de +/- 2.5 escores z (Figura 3).

Figura 3. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados.

9

Em quadrados latinos pequenos, com quatro ou menos tratamentos, recomenda-se uma

duplicação ou triplicação do quadrado, para atingir uma amostra mais confiável para análise.

Este é o caso do exemplo a seguir, também obtido de Kaps e Lamberson (2009).

data(data4)

data4

diet square steer period response1 B 1 1 1 10.02 D 1 2 1 9.03 C 1 3 1 11.14 A 1 4 1 10.85 C 1 1 2 10.26 A 1 2 2 11.37 D 1 3 2 9.58 B 1 4 2 11.49 D 1 1 3 8.510 B 1 2 3 11.211 A 1 3 3 12.812 C 1 4 3 11.013 A 1 1 4 11.114 C 1 2 4 11.415 B 1 3 4 11.716 D 1 4 4 9.917 C 2 5 5 11.118 A 2 6 5 11.419 D 2 7 5 9.620 B 2 8 5 11.421 B 2 5 6 10.722 D 2 6 6 9.823 C 2 7 6 11.624 A 2 8 6 11.325 A 2 5 7 11.326 C 2 6 7 11.627 B 2 7 7 11.928 D 2 8 7 10.029 D 2 5 8 9.030 B 2 6 8 13.131 A 2 7 8 11.632 C 2 8 8 11.4

10

No caso de duplicação do delineamento em quadrado latino a primeira coluna deve

conter os códigos de tratamentos, a segunda os códigos das repetições do quadrado e a

terceira e quarta os códigos das duas variáveis controladas no experimento (linhas e colunas)

sem importar a ordem destas. E as demais colunas as variáveis respostas (temos somente uma

variável resposta neste caso). No exemplo temos o desempenho de bovinos em experimento

para avaliar quatro tratamentos. Foi controlado o efeito de período e de animal (quatro

períodos e quatro animais). O quadrado foi repetido (foram realizados dois quadrados

utilizando 8 animais e 8 períodos).

Vamos usar a função “ea1( )" do pacote “easyanova” e gravar o resultado em um

objeto chamado "resultado". Na função o argumento "design" define o delineamento (3 =

quadrado latino).

resultado=ea1(data4, design=4)

Para visualizar o resultado fazemos:

resultado

$`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>Ftreatments 3 22.8934 7.6311 38.7737 <0.001squares 1 1.0878 1.0878 5.5272 0.0328rows 6 5.4819 0.9136 4.6422 0.0074columns 6 2.0569 0.3428 1.7418 0.1793Residuals 15 2.9522 0.1968 - -

$`Adjusted means` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 A 11.4500 0.1568 a a a a a2 B 11.4250 0.1568 a a a a a3 C 11.1750 0.1568 a a a a a4 D 9.4125 0.1568 b b b b b

$`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t)1 A - B 0.0250 0.9995 0.9117 0.9117 0.91172 A - C 0.2750 0.6123 0.4489 0.2577 0.23403 A - D 2.0375 0.0000 0.0000 0.0000 0.00004 B - C 0.2500 0.6790 0.2773 0.2773 0.27735 B - D 2.0125 0.0000 0.0000 0.0000 0.00006 C - D 1.7625 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.0946p.value Bartlett test 0.2910coefficient of variation (%) 4.0800

11

first value most discrepant 30.0000second value most discrepant 11.0000third value most discrepant 18.0000

Os resultados foram semelhantes ao primeiro exemplo de quadrado latino. Porém,

nota-se uma menor aproximação da normalidade (p=0.0946 no teste de Shapiro-Wilk) quando

comparado ao exemplo anterior (p=0.6961). Este resultado é devido a dois possíveis outliers,

referentes aos dados das posições 30 e 11 (Figura 4). Assim, pode-se avaliar a retirada de um

ou ambos os dados. Caso alguma observação seja descartada, deve-se inserir NA no local do

dado e a análise refeita da mesma forma como anteriormente ilustrado. A função “ea1( )” faz

os ajustes recomendados no caso de um ou mais dados faltantes (desbalanceamento

experimental).

Figura 4. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados.

12

Esquema fatorial

Fatorial não é um delineamento, é um esquema experimental onde são combinados os

níveis de dois ou mais fatores. Assim, um experimento em esquema fatorial pode ser

delineado de forma inteiramente ao acaso, em blocos ao acaso, quadrados latinos e outros

delineamentos. A seguir serão apresentados exemplos de esquemas fatoriais no delineamento

inteiramente ao acaso e de blocos ao acaso.

Fatorial duplo em delineamento inteiramente ao acaso

Para realizarmos a análise de variância de um esquema fatorial no R, de forma

bastante prática, utilizaremos a função “ea2( )” do pacote “easyanova”. Primeiro vamos

carregar o pacote que deve estar previamente instalado.

require(easyanova)

Também utilizaremos exemplo disponível no pacote “easyanova”. Para carregar o

exemplo faremos:

data(data5)

O nome do conjunto de dados é “data5”. Os dados se referem a a inclusão ou não de

duas vitaminas na alimentação de suínos, visando aumentar o ganho de peso dos mesmos

(dados de Kaps e Lamberson, 2009). Abaixo podemos verificar os dados.

data5

Vitamin_1 Vitamin_2 Gains1 0 0 0.5852 0 0 0.5363 0 0 0.4584 0 0 0.4865 0 0 0.5366 0 5 0.5677 0 5 0.5458 0 5 0.5899 0 5 0.536

13

10 0 5 0.54911 4 0 0.47312 4 0 0.45013 4 0 0.86914 4 0 0.47315 4 0 0.46416 4 5 0.68417 4 5 0.70218 4 5 0.90019 4 5 0.69820 4 5 0.693

Reparem nos dados que as duas primeiras colunas devem ser referentes aos códigos

dos fatores e as demais referentes aos valores numéricos das variáveis respostas.

Para analisar os dados e gravar o resultado em um objeto chamado “resultado”

fazemos:

resultado=ea2(data5, design=1)

O argumento “design=1” define que será realizado análise em esquema fatorial duplo

inteiramente ao acaso. Para observar o resultado fazemos:

resultado

$`Analysis of variance` df type III SS mean square F value p>Ffactor_1 1 0.0519 0.0519 4.7069 0.0454factor_2 1 0.0642 0.0642 5.819 0.0282factor_1:factor_2 1 0.0291 0.0291 2.639 0.1238Residuals 16 0.1765 0.0110 - -

$`Adjusted means (factor 1)` factor_1 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 4 0.6406 0.0332 a a a a a2 0 0.5387 0.0332 b b b b b

$`Adjusted means (factor 2)` factor_2 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 5 0.6463 0.0332 a a a a a2 0 0.5330 0.0332 b b b b b

$`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in 0` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott2 4.0 0.5458 0.047 a a a a a1 0.0 0.5202 0.047 a a a a a

14

$`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in 5` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott4 4.5 0.7354 0.047 a a a a a3 0.5 0.5572 0.047 b b b b b

$`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in 0` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott3 0.5 0.5572 0.047 a a a a a1 0.0 0.5202 0.047 a a a a a

$`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in 4` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott4 4.5 0.7354 0.047 a a a a a2 4.0 0.5458 0.047 b b b b b

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.0002p.value Bartlett test (factor_1) 0.0005p.value Bartlett test (factor_2) 0.0540p.value Bartlett test (treatments) 0.0028coefficient of variation (%) 17.8100first value most discrepant 13.0000second value most discrepant 18.0000third value most discrepant 12.0000

Na análise de variância a fonte de variação referente ao fator 1 se refere a primeira

coluna de dados e a do fator 2 a segunda coluna dos dados. Ambas as vitaminas tiveram seus

efeitos significativos (p<0,05). Porém a interação foi não significativa na análise de variância

(p>0,05). Observando a análise de resíduos, nota-se ausência de normalidade (p<0,05 no teste

de Shapiro-Wilk) e de homogeneidade de variâncias (p<0,05 no teste de Bartlett) para o fator

1 e para os tratamentos (interação). No gráfico de resíduos (Figura 5) percebe-se que a

observação 13 é um provável outlier. A observação 18, apesar de não estar fora dos limites de

2.5 desvios padrões também é suspeita, pois destoa bastante dos demais resíduos.

15

Figura 5. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados.

Também podemos observar os resíduos em outros tipos de gráficos fazendo:

ea2(data5, design=1, plot=1)

ea2(data5, design=1, plot=3)

No primeiro caso o argumento “plot=1” define um gráfico tipo caixa (Figura 6) onde

são identificados dois possíveis outliers, provavelmente as observações 13 e 18. E no gráfico

com o argumento “plot=3” observamos um gráfico dos resíduos padronizados versus os

resíduos teóricos considerando distribuição normal (Figura 7). Neste último observamos as

observações 13 e 18 muito fora do esperado considerando normalidade. Assim, pode-se

considerar a possibilidade de retirada destes valores e, com esta operação, é provável que os

dados se aproximem da normalidade, ocorra diminuição do coeficiente de variação e alteração

de outros resultados. Neste caso a análise pela função “ea2( )” faz os ajustes necessários

devido ao desbalanceamento do experimento. Caso a retirada dos dados não seja considerada

adequada, os dados poderão ser submetidos a alguma forma de transformação. Ou então,

pode-se optar por utilizar um teste não paramétrico.

16

Figura 6. Gráfico de caixa (Box plot) dos resíduos padronizados

Figura 7. Gráfico dos resíduos padronizados versus os resíduos teóricos considerando

distribuição normal

17

Fatorial duplo em delineamento de blocos ao acaso

Semelhante ao procedimento do delineamento inteiramente ao acaso, utilizaremos a

função “ea2( )” do pacote “easyanova”. Primeiro vamos carregar o pacote e o exemplo que

esta disponível no pacote.

require(easyanova)

data(data6)

Para observar os dados:

data6

factor1 factor2 block yield1 0 0 1 18.02 0 0 2 8.63 0 0 3 9.44 0 0 4 11.45 1 0 1 20.66 1 0 2 21.07 1 0 3 18.68 1 0 4 20.69 0 1 1 19.610 0 1 2 15.011 0 1 3 14.612 0 1 4 15.813 1 1 1 19.214 1 1 2 19.615 1 1 3 18.416 1 1 4 20.2

Este exemplo foi obtido de Pimentel Gomes e Garcia (2002) e se refere a um fatorial

duplo (2 x 2) para avaliar a presença e ausência de dois tipos de adubos na produção de uma

cultivar. Neste experimento foi “blocado” o efeito de solo. Para a digitação dos dados para

utilizar a função “ea2( )” a primeira e segunda coluna devem ser reservadas aos códigos dos

18

fatores, a terceira coluna para os códigos de blocos e as demais para as variáveis respostas

(valores numéricos das variáveis respostas).

Para analisar os dados e gravar o resultado em um objeto chamado “resultado”

fazemos:

resultado=ea2(data6, design=2)

O argumento “design=2” define que será realizado análise em esquema fatorial duplo

em blocos ao acaso. Para observar o resultado fazemos:

resultado

$`Analysis of variance` df type III SS mean square F value p>Ffactor_1 1 131.1025 131.1025 31.2956 <0.001factor_2 1 12.6025 12.6025 3.0084 0.1169blocks 3 37.8275 12.6092 3.0099 0.0871factor_1:factor_2 1 27.5625 27.5625 6.5795 0.0304Residuals 9 37.7025 4.1892 - -

$`Adjusted means (factor 1)` factor_1 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 1 19.775 0.7236 a a a a a2 0 14.050 0.7236 b b b b b

$`Adjusted means (factor 2)` factor_2 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 1 17.800 0.7236 a a a a a2 0 16.025 0.7236 a a a a a

$`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in 0` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott2 1.0 20.20 1.0234 a a a a a1 0.0 11.85 1.0234 b b b b b

$`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in 1` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott4 1.1 19.35 1.0234 a a a a a3 0.1 16.25 1.0234 a a a a a

$`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in 0` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott3 0.1 16.25 1.0234 a a a a a1 0.0 11.85 1.0234 b b b b b

$`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in 1` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott2 1.0 20.20 1.0234 a a a a a4 1.1 19.35 1.0234 a a a a a

19

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.5583p.value Bartlett test (factor_1) 0.7014p.value Bartlett test (factor_2) 0.2195p.value Bartlett test (treatments) 0.2472coefficient of variation (%) 12.1000first value most discrepant 1.0000second value most discrepant 13.0000third value most discrepant 2.0000

Neste experimento ocorre interação significativa, ou seja, o efeito de um dos adubos é

alterado significativamente dependendo do efeito do outro adubo. Este fato pode ser

observado no desdobramento da interação.

Na análise de resíduos verificam-se resíduos com aproximação da normalidade

(p>0,05 do teste de Shapiro-Wilk) e homogeneidade de variâncias (p>0,05 nos testes de

Bartlett). No entanto, a observação 1 é um possível outlier, como pode ser verificado na

Figura 8.

Figura 8. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados.

20

Esquema de parcelas subdivididas (splitplot)

O esquema de parcelas subdivididas é um esquema experimental e não um

delineamento. Podemos fazer um experimento em esquema de parcelas subdivididas em

vários delineamentos, sendo mais comuns os delineamentos inteiramente ao acaso, blocos ao

acaso e quadrado latino.

O esquema de parcelas subdivididas é obtido quando um experimento possui um fator

A, onde seus níveis compõem o que chamamos de parcelas. E um fator B, com seus níveis

casualizados dentro de cada parcela, criando o que chamamos de subparcelas. Quando uma

parcela ou unidade experimental é avaliada repetida vezes no tempo, também teremos um

esquema de parcelas subdivididas, chamada comumente de parcelas subdivididas no tempo.

Neste caso o efeito de um fator A é denominado parcela e o efeito do tempo será o fator B

denominado subparcela.

A análise de um esquema de parcelas subdivididas, em termos práticos, traz os

mesmos desdobramentos (informações) que uma análise de um fatorial duplo. Mas aqui, neste

material, não iremos fazer desenvolvimento teórico quanto aos métodos matemáticos e

particularidades teóricas dos procedimentos estatísticos. A seguir será demonstrado como

utilizar funções do R para obter uma análise bastante completa em esquema de parcelas

subdivididas em delineamento inteiramente ao acaso e em blocos ao acaso.

Esquema de parcelas subdivididas em delineamento inteiramente ao acaso

Aqui também utilizaremos o pacote “easyanova” com a função “ea2( )” que em caso

de dados faltantes (desbalanceamento) faz os ajustes necessários. Abaixo carregaremos o

pacote e exemplo denominado “data7” contido no pacote.

require(easyanova)

data(data7)

21

Para visualizar os dados:

data7

treatment rep week gain1 t1 1 w9 1.22 t1 1 w10 1.03 t1 1 w11 1.14 t1 1 w12 1.35 t1 2 w9 1.26 t1 2 w10 1.17 t1 2 w11 1.48 t1 2 w12 1.59 t1 3 w9 1.310 t1 3 w10 1.411 t1 3 w11 1.412 t1 3 w12 1.613 t1 4 w9 1.114 t1 4 w10 1.115 t1 4 w11 1.216 t1 4 w12 1.317 t1 5 w9 1.218 t1 5 w10 1.319 t1 5 w11 1.220 t1 5 w12 1.321 t1 6 w9 1.122 t1 6 w10 1.123 t1 6 w11 1.124 t1 6 w12 1.225 t1 7 w9 1.126 t1 7 w10 1.227 t1 7 w11 1.328 t1 7 w12 1.529 t1 8 w9 1.330 t1 8 w10 1.331 t1 8 w11 1.332 t1 8 w12 1.433 t2 1 w9 1.234 t2 1 w10 1.535 t2 1 w11 1.936 t2 1 w12 2.137 t2 2 w9 1.338 t2 2 w10 1.239 t2 2 w11 1.440 t2 2 w12 1.741 t2 3 w9 1.542 t2 3 w10 1.743 t2 3 w11 1.644 t2 3 w12 1.745 t2 4 w9 1.446 t2 4 w10 1.547 t2 4 w11 1.748 t2 4 w12 1.849 t2 5 w9 1.250 t2 5 w10 1.251 t2 5 w11 1.452 t2 5 w12 1.653 t2 6 w9 1.054 t2 6 w10 1.155 t2 6 w11 1.4

22

56 t2 6 w12 1.557 t2 7 w9 1.458 t2 7 w10 1.859 t2 7 w11 2.160 t2 7 w12 2.161 t2 8 w9 1.162 t2 8 w10 1.363 t2 8 w11 1.464 t2 8 w12 1.865 t2 9 w9 1.266 t2 9 w10 1.567 t2 9 w11 1.768 t2 9 w12 1.9

Neste exemplo, obtido de Kaps e Lamberson (2009) a primeira coluna refere-se aos

códigos do fator designado como parcela. A segunda coluna aos códigos de repetição de cada

parcela. A terceira coluna refere-se ao fator designado como subparcela (no caso as semanas

de avaliação). As demais colunas referem-se às variáveis respostas (numéricas). No exemplo

existe apenas uma variável resposta. Assim, temos um esquema de parcelas subdivididas no

tempo, pois os animais são avaliados em quatro semanas, sendo portanto as semanas

consideradas como subparcelas.

Para analisar os dados e gravar o resultado em um objeto chamado “resultado”

fazemos:

resultado=ea2(data7, design=4)

O argumento “design=4” define que será realizada análise em esquema de parcelas

subdivididas em delineamento inteiramente ao acaso. Para observar o resultado fazemos:

resultado

$`Marginal anova (Type III Sum of Squares)` numDF denDF F-value p-valueplot 1 15 13.25397 0.0024split.plot 3 45 40.09483 <.0001plot:split.plot 3 45 9.20168 0.0001

$`Adjusted means (plot)` plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t1 t2 1.5250 0.0512 a a a a2 t1 1.2531 0.0543 b b b b

$`Adjusted means (split.plot)` split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t1 w12 1.5937 0.0435 a a a a2 w11 1.4361 0.0435 ab b b b

23

3 w10 1.3049 0.0435 bc c c c4 w9 1.2215 0.0435 c c c c

$`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in w10` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t2 t2.w10 1.4222 0.0596 a a a a1 t1.w10 1.1875 0.0632 b b b b

$`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in w11` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t4 t2.w11 1.6222 0.0596 a a a a3 t1.w11 1.2500 0.0632 b b b b

$`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in w12` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t6 t2.w12 1.8000 0.0596 a a a a5 t1.w12 1.3875 0.0632 b b b b

$`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in w9` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t8 t2.w9 1.2556 0.0596 a a a a7 t1.w9 1.1875 0.0632 a a a a

$`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in t1` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t5 t1.w12 1.3875 0.0632 a a a a3 t1.w11 1.2500 0.0632 a a ab ab1 t1.w10 1.1875 0.0632 a a b b7 t1.w9 1.1875 0.0632 a a b b

$`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in t2` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t6 t2.w12 1.8000 0.0596 a a a a4 t2.w11 1.6222 0.0596 ab b b b2 t2.w10 1.4222 0.0596 bc c c c8 t2.w9 1.2556 0.0596 c c c c

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.6596p.value Bartlett test (plot) 0.0056p.value Bartlett test (split.plot) 0.9215p.value Bartlett test (plot*split.plot) 0.2922AIC -17.1973BIC 5.8405first value most discrepant 59.0000second value most discrepant 42.0000third value most discrepant 44.0000

Neste experimento ocorre interação significativa, ou seja, o efeito dos tratamentos

(fator da parcela) é alterado significativamente dependendo da semana de avaliação

(subparcela). Este fato pode ser observado no desdobramento da interação, onde o tratamento

dois é superior nas três primeiras semanas e equivalente ao tratamento um na quarta semana.

Na análise de resíduos verificam-se resíduos com aproximação da normalidade

(p>0,05 no teste de Shapiro-Wilk) e homogeneidade de variâncias para a subparcela

24

(split-plot) e a interação (plot*split-plot) (p>0,05 nos testes de Bartlett). O efeito principal de

parcela (plot) não teve homogeneidade de variâncias no teste de Bartlett. No entanto, este

efeito (parcela) não deve ser considerado importante na análise e sim, o efeito da interação

que foi significativo. Também não deve ocorrer outliers neste conjunto de dados, pois

nenhum resíduo fica fora dos limites de 2,5 desvios padrões (Figura 9).

Figura 9. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados.

Esquema de parcelas subdivididas em delineamento de blocos ao acaso

Aqui também utilizaremos o pacote “easyanova” com a função “ea2( )” que em caso

de dados faltantes (desbalanceamento) faz os ajustes necessários. Abaixo carregaremos o

pacote e exemplo denominado “data8” contido no pacote.

require(easyanova)

data(data8)

25

Para visualizar os dados:

data8

pasture block mineral milk1 p4 1 m2 302 p4 1 m1 293 p1 1 m2 274 p1 1 m1 255 p2 1 m1 266 p2 1 m2 287 p3 1 m2 268 p3 1 m1 249 p2 2 m1 3210 p2 2 m2 3711 p1 2 m2 3012 p1 2 m1 3113 p4 2 m1 3414 p4 2 m2 3715 p3 2 m1 3316 p3 2 m2 3217 p1 3 m2 3418 p1 3 m1 3119 p2 3 m1 3020 p2 3 m2 3121 p4 3 m2 3622 p4 3 m1 3823 p3 3 m1 3324 p3 3 m2 32

No exemplo, obtido de Kaps e Lamberson (2009), o efeito de parcela (primeira

coluna) foi composto por quatro tipos de pastagem. O efeito de bloco composto por faixas de

solo homogêneas para o plantio das pastagens (segunda coluna). A subparcela foi composta

por efeito de suplementação mineral (terceira coluna). A quarta coluna refere-se a produção

de leite (variável resposta numérica).

Para analisar os dados e gravar o resultado em um objeto chamado “resultado”

fazemos:

resultado=ea2(data8, design=5)

O argumento “design=5” define que será realizada análise em esquema de parcelas

subdivididas em delineamento de blocos ao acaso. Para observar o resultado fazemos:

26

resultado

$`Marginal anova (Type III Sum of Squares)` numDF denDF F-value p-valueplot 3 6 5.456869 0.0377split.plot 1 8 3.629630 0.0932block 2 6 24.450479 0.0013plot:split.plot 3 8 0.864198 0.4981

$`Adjusted means (plot)` plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t1 p4 34.0000 0.8512 a a a a2 p2 30.6667 0.8512 ab b b b3 p3 30.0000 0.8512 ab b b b4 p1 29.6667 0.8512 b b b b

$`Adjusted means (split.plot)` split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t1 m2 31.6667 0.5243 a a a a2 m1 30.5000 0.5243 a a a a

$`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in m1` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t4 p4.m1 33.6667 1.0486 a a a a3 p3.m1 30.0000 1.0486 a b b b2 p2.m1 29.3333 1.0486 a ab b b1 p1.m1 29.0000 1.0486 a ab b b

$`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in m2` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t8 p4.m2 34.3333 1.0486 a a a a6 p2.m2 32.0000 1.0486 a a ab ab5 p1.m2 30.3333 1.0486 a a b b7 p3.m2 30.0000 1.0486 a a b b

$`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in p1` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t5 p1.m2 30.3333 1.0486 a a a a1 p1.m1 29.0000 1.0486 a a a a

$`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in p2` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t6 p2.m2 32.0000 1.0486 a a a a2 p2.m1 29.3333 1.0486 a a a a

$`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in p3` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t3 p3.m1 30 1.0486 a a a a7 p3.m2 30 1.0486 a a a a

$`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in p4` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t8 p4.m2 34.3333 1.0486 a a a a4 p4.m1 33.6667 1.0486 a a a a

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.5153p.value Bartlett test (plot) 0.8121p.value Bartlett test (split.plot) 0.4609

27

p.value Bartlett test (plot*split.plot) 0.4044AIC 106.1717BIC 114.4794first value most discrepant 10.0000second value most discrepant 20.0000third value most discrepant 11.0000

Neste experimento não ocorre interação significativa. Observando o efeito dos fatores

isolados tem-se efeito significativo (p<0,05) somente para parcela (tipo de pastagem).

Na análise de resíduos verificam-se resíduos com aproximação da normalidade

(p>0,05 no teste de Shapiro-Wilk) e homogeneidade de variâncias ( (p>0,05 nos testes de

Bartlett). Também não deve ocorrer outliers neste conjunto de dados, pois nenhum resíduo

fica fora dos limites de 2,5 desvios padrões (Figura 10).

Figura 10. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados.

28

Análise de covariância

Uma análise de covariância é uma análise onde o efeito de uma variável quantitativa

que atua no experimento vai ser estimado, testado e utilizado para ajustar os dados do

experimento. A seguir faremos um exemplo utilizando a função “ea1( )” do pacote

“easyanova”. Segue programação para carregar o pacote e os dados para exemplo.

require(easyanova)

data(data10)

Para visualizar os dados:

data10

Diets Initial_weight Repetitions Gain1 A 350 1 9702 A 400 2 10003 A 360 3 9804 A 350 4 9805 A 340 5 9706 B 390 1 9907 B 340 2 9508 B 410 3 9809 B 430 4 99010 B 390 5 98011 C 400 1 99012 C 320 2 94013 C 330 3 93014 C 390 4 100015 C 420 5 1000

Estes dado, obtidos de Kaps e Lamberson (2009), representam o efeito de três dietas

no ganho de peso diário de bezerros. O experimento foi instalado no delineamento

inteiramente ao acaso. Ocorre que animais inicialmente mais pesados têm a tendência de

ganhar mais peso. Se ocorrer diferença entre os grupos de cada tratamento, um ajuste através

da análise de covariância é adequado.

29

A ordem das colunas no conjunto de dados para análise com a função “ea1( )” deve

ser: 1) tratamento; 2) covariável (no caso o peso inicial); 3) ganho de peso (variável resposta).

A coluna referente às repetições (terceira coluna) deve ser retirada antes de proceder à análise,

como programado a seguir.

datacov=data10[,-3] resultado=ea1(datacov, design=5)

Para visualizar o resultado.

resultado

$`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>Fcovariate 1 4441.253 4441.2526 46.9153 <0.001treatments 2 1050.762 525.3810 5.5499 0.0216Residuals 11 1041.319 94.6653 - -

$`Adjusted means` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk1 A 988.8645 4.3512 a a2 C 973.6117 4.3512 ab b3 B 967.5238 4.3512 b b duncan t scott_knott1 a a a2 b b b3 b b b

$`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t)1 A - C 15.2528 0.0728 0.0306 0.0306 0.03062 A - B 21.3407 0.0134 0.0134 0.0067 0.00533 C - B 6.0879 0.5983 0.3438 0.3438 0.3438

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.9014p.value Bartlett test 0.1274coefficient of variation (%) 1.0000first value most discrepant 14.0000second value most discrepant 13.0000third value most discrepant 6.0000

Ocorre efeito significativo para tratamentos e para a covariável. Sem problemas

quanto à normalidade e homogeneidade de variâncias.

A seguir se procede a análise sem considerar a covariável (peso inicial). Assim, temos

um delineamento inteiramente ao acaso (função “ea1( )” design=1). Repare que não ocorre

30

diferença entre as médias dos tratamentos e aumenta o coeficiente de variação, demonstrando

a importância da análise de covariância neste exemplo.

resultado=ea1(datacov[,-2], design=1)

resultado

$`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>Ftreatments 2 173.3333 86.6667 0.1635 0.851Residuals 12 6360.0000 530.0000 - -

$Means treatment mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 A 980 10.2956 a a a a a2 B 978 10.2956 a a a a a3 C 972 10.2956 a a a a a

$`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t)1 A - B 2 0.9897 0.8930 0.8930 0.89302 A - C 8 0.8487 0.8487 0.6110 0.59283 B - C 6 0.9113 0.6875 0.6875 0.6875

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.3583p.value Bartlett test 0.1274coefficient of variation (%) 2.3600first value most discrepant 13.0000second value most discrepant 12.0000third value most discrepant 14.0000

Contrastes de médias

O objetivo deste tópico não é demonstrar contrastes entre pares de médias ou os

chamados “testes de comparações múltiplas”. Os mesmos são demonstrados nos tópicos

anteriores em cada exemplo apresentado segundo o tipo de esquema experimental e

delineamento estatístico. Neste tópico demonstraremos como proceder para comparar grupos

de médias.

Primeiro vamos demonstrar como fazer contrastes de grupos de médias utilizando a

função “ec( )” do pacote “easyanova”. Carregando exemplo de Kaps e Lamberson (2009)

contido no pacote “easyanova”.

require(easyanova)

31

data(data1)

Para visualizar os dados:

data1

Diet Gain1 d1 2702 d1 3003 d1 2804 d1 2805 d1 2706 d2 2907 d2 2508 d2 2809 d2 29010 d2 28011 d3 29012 d3 34013 d3 33014 d3 30015 d3 300

Realizando a analise de variância:

resultado=ea1(data1, design=1)

Observando o resultado:

resultado

$`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>Ftreatments 2 3640 1820.0000 6.1348 0.0146Residuals 12 3560 296.6667 - -

$Means treatment mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott1 d3 312 7.7028 a a a a a2 d1 280 7.7028 b b b b b3 d2 278 7.7028 b b b b b

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$`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t)1 d3 - d1 32 0.0310 0.0124 0.0124 0.01242 d3 - d2 34 0.0223 0.0223 0.0112 0.00883 d1 - d2 2 0.9816 0.8574 0.8574 0.8574

$`Residual analysis` valuesp.value Shapiro-Wilk test 0.8937p.value Bartlett test 0.5662coefficient of variation (%) 5.9400first value most discrepant 7.0000second value most discrepant 12.0000third value most discrepant 11.0000

Desdobrando em contrastes ortogonais.

Primeiro contraste, fazendo d3 versus demais, ocorrendo diferença significativa.

mg1=312mg2=c(278,280)sdg1=7.7028sdg2=c(7.7028,7.7028)df=12

ec(mg1,mg2,sdg1,sdg2,df)

grupos contrast standard.error tcal p.value1 group.1 vs group.2 66 18.8679 3.5 0.0044

Segundo contraste, fazendo d1 versus d2, sem ocorrência de diferença significativa.

mg1=280mg2=278sdg1=7.7028sdg2=7.7028df=12

ec(mg1,mg2,sdg1,sdg2,df)

grupos contrast standard.error tcal p.value1 group.1 vs group.2 2 10.8934 0.18 0.8574

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Ou então fazendo via funções do R base, primeiro criando uma matriz de contrastes

ortogonais.

c=matrix(c(-1,-1,2,1,-1,0),ncol=2)c=t(c)c

[,1] [,2] [,3][1,] -1 -1 2[2,] 1 -1 0

Invertendo (inversa generalizada) a matriz de contrastes ortogonais.

c1=ginv(c)c1

[,1] [,2][1,] -0.1666667 5.000000e-01[2,] -0.1666667 -5.000000e-01[3,] 0.3333333 2.076565e-17

Modelo com os contrastes e o resultado.

contrasts(data1$Diet)=c1m=lm(Gain~Diet, data=data1)summary(m) Call:lm(formula = Gain ~ Diet, data = data1)

Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -28 -11 0 12 28

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 290.000 4.447 65.209 <2e-16 ***Diet1 66.000 18.868 3.498 0.0044 ** Diet2 2.000 10.893 0.184 0.8574 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

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Residual standard error: 17.22 on 12 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.5056, Adjusted R-squared: 0.4231 F-statistic: 6.135 on 2 and 12 DF, p-value: 0.01461

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Referências

KAPS, M. and LAMBERSON, W. R. Biostatistics for Animal Science: an

introductory text. 2nd Edition. CABI Publishing, Wallingford, Oxfordshire, UK,

2009. 504p.

SAMPAIO, I. B. M. Estatistica aplicada a experimentacao animal. 3nd Edition.

Belo Horizonte: Editora FEPMVZ, Fundacao de Ensino e Pesquisa em Medicina

Veterinaria e Zootecnia, 2010. 264p.

R-Fácil (2014)

URL http://r-facil.webnode.com/

R Core Team (2014). R: A language and environment for statistical computing.

R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL

http://www.R-project.org/ .

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