P1<av~ T o2ú ;fJ /_1_

~ ,7h- Pf GF/5' - u FE 5

A simetria é esférica ( devido às condições de contorno) e o pontencial pode ser escrito como

00

<p (r , 0) = L [Anrn + Bnr-(n+l)J Pn (cos 0) = n=O

00

n=2

B1 B2 Loo Bn ( 0) +- + - 2 cos 0 + --1 Pn cos . r r rn+ n.=2

A condição ele contorno no infinito diz que tp(oo,0) = -E0rcos0, de modo que deve-mos anular todos os termos do tipo rk com k 2. Além disso, A1 = - Eo, Ficamos então com

( ) B 1 B2 Bn n ( 0) <p r, 0 = Ao - E0r cos 0 + 7 + cos 0 + rn+I •n cos .

n=2

Note agora que a esfera está carregada, de modo que o termo Bif r não pode se anular e, ainda por cima, deve dar o resultado B1 = Q/41réo, já que sobre a superfície da esfera devemos ter um potencial

8 Q <p (a. , 0) = --.

47iéoa

Assim, a condição de contorno sobre a superfície da esfera fica (Ao = O)

( 0) Q ( B2 ) Loo B 11 Q <fJ a, = -4 - + 2 - Eaa cos0 + --Pn (cos0) = --7réoa a a.11+1 41ré a ' n=2 O

ou seja

( B2 E ) Bn - "aa cos0 + an+I Pn (cos0) = O, n=2

para qualquer 0. Como os polinômios de Legendre são linearmente incle . d t d . . . . ,pen en .es,

evemos ter que ca_da coeficiente de Pn ( cos 0) acima (mcluindo O cos 0 = Pi ( cos 0)) deve anular-se. Assnn, ficamos com

B2 = Eoa.3 e Bn = O se n 2.

O potencial fica, portanto,

. <p (a ,B) = 4,~,r + ( E::' - E0r) cosB

que nada mais é do que o potencial para urna es~er·a de d . . ' ' sca.rreqa a num campo lét .· . um forme (resultado obtido no corpo do texto) adicionad · t . e 11co carregada com centro na origem (lembre-se que val ª ao po . e~cml de uma esfera

- ' e a superpos1çao par·a . l ~ da equaçao de Laplace). ' as so uçoes

Davi C. Rodrigues

Questão 2 da prova.�

Mecânica Quântica

Questão 3. Faça uma descrição, o mais completa possível, da Representação de Heisenberg da mecânica quântica, fornecendo equações e diagramas. Fale como é feita abordagem, abordando dentre outros aspectos, a equação de Heisenberg, os estados quânticos do sistema, base, autovalores, observáveis correspondentes às grandezas físicas, etc. Didaticamente, caso ache oportuno, poderá comentar como a Representação de Heisenberg difere da Representação de Schrödinger.

Solução:

Representação de Heisenberg da mecânica quântica é tratada na maioria dos livros-texto de mecânica quântica e em muitas Notas de Aula, incluindo sites (como Wikipédia) que dão bons tutoriais.

Algumas sugestões são:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Representa%C3%A7%C3%A3o_de_Heisenberg https://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_picture https://ocw.mit.edu/courses/chemistry/5-74-introductory-quantum-mechanics-ii-spring-2004/lecture-notes/3.pdf https://uncw.edu/phy/documents/Shafer_09.pdf pp- 20-23

Na Representação de Heisenberg os operadores (observáveis físicos) são em geral dependentes do tempo, enquanto o estado quântico do sistema é independente do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações se diferem basicamente pela mudança na dependência do tempo. Vamos ver como isso acontece:

Estado quântico do sistema é independente do tempo =>

! ; em outra notação podemos escrever:

!

Os Operadores (observáveis físicos) são em geral dependentes do tempo => ! .

Na Representação de Heisenberg, podemos definir um operador A como:

!

Como não poderia deixar de ser (pois os resultados da natureza (física) não dependem da teoria que se usa para analisar a natureza), os valores esperados das grandezas físicas na Representação de Heisenberg e de Schrödinger são iguais:

!

Como não poderia deixar de ser (pois os resultados da natureza (física) não dependem da teoria que se usa para analisar a natureza), os autovalores das grandezas físicas na Representação de Heisenberg e de Schrödinger são iguais (eles são preservados):

! A evolução temporal dos Operadores (observáveis físicos) na Representação de Heisenberg, é dada por:

! Se o operador depender explicitamente do tempo, é melhor escrever a Equação de Movimento de Heisenberg de uma forma mais geral:

! É interessante observar pela equação acima que o operador Hamiltoniano do sistema desempenha um papel fundamental na evolução temporal dos Operadores (observáveis físicos). Observe-se que o operador Hamiltoniano desempenha um papel desempenha um papel fundamental dos estados quânticos do sistema físico na da Representação de Schrödinger (lembre-se que a Equação da Schrödinger que tem também o operador H como um “baluarte”).

Convém esclarecer que a dedução da Equação de Movimento de Heisenberg poderia ter sido “formulada” a partir da mecânica clássica, usando o princípio da correspondência entre a mecânica quântica e a mecânica clássica:

[ , ]quântico/iħ = { , }clássico Ou seja, partindo de

! Chega-se imediatamente à Equação de Movimento de Heisenberg.

Gabarito da Questao de Mecanica Quantica

6 de fevereiro de 2019

(a)Atraves da equacao de Heisenberg

d a(t)

dt=

i

~ [H, a(t)] = i![a†(t)a(t) + 1/2, a(t)] = i![a†(t), a(t)]a(t) = �i!a(t),

portanto a(t) = e�i!t

a(0).Tomando o hermitiano temos a

†(t) = ei!t

a†(0) e fica evidente que o operador

Hamiltoniano H = ~! a†(t)a(t) = ~! e

i!ta†(0) e�i!t

a(0) = ~! a†(0)a(0) nao evolui ao

longo do tempo, como esperado. O valor medio da energia e

hEi = h�| H |�i = ~! h�| a†(0)a(0) + 1/2 |�i = ~! (a(0) |�i)† (a(0) |�i) + ~!2

h�||�i ,

= ~! (� |�i)† (� |�i) + ~!2

= ~!�⇤� h�||�i+ ~!

2= ~!

✓|�|2 + 1

2

◆.

(b)Valor medio da posicao num instante t e

hx(t)i = h�| x(t) |�i =r

~2m!

h�| a†(t) + a(t) |�i

=

r~

2m!h�| ei!ta†(0) + e

�i!ta(0) |�i =

r~

2m!

�ei!t

�⇤ + e

�i!t��h�||�i ,

=

r2~m!

|�| cos (!t+ ✓) .

Valor medio do momento no instante t

hp(t)i = h�| p(t) |�i = i

r~m!

2h�| a†(t)� a(t) |�i

1

= i

r~m!

2h�| ei!ta†(0)� e

�i!ta(0) |�i = �1

i

r~m!

2

�ei!t

�⇤ � e

�i!t��h�||�i

= �p2~m!|�| sin (!t+ ✓) = m

d hx(t)idt

.

O estado coerente evolui, em termos de valores medios, exatamente como um os-

cilador harmonico classico com as seguintes condicoes iniciais: xcl(0) =q

2~m! |�| cos ✓

e xcl(0) =hp(0)im = �

q2~!m |�| sin ✓. Ou seja, as condicoes iniciais sao completamente

gerais e fixadas pelas constantes |�| e ✓.

(c)Pela equacao de Heisenberg

d x(t)

dt=

i

~ [H, x(t)] = i!

r~

2m![a†(t)a(t), a†(t) + a(t)]

= i!

r~

2m!

�a†(t)[a(t), a†(t)] + [a†(t), a(t)]a(t)

�=

i

m

r~m!

2

�a†(t)� a(t)

�

=p(t)

m,

como esperado. A evolucao do operador momento e

d p(t)

dt=

i

~ [H, p(t)] = �!

r~m!

2[a†(t)a(t), a†(t)� a(t)],

= �!

r~m!

2

�a†(t)[a(t), a†(t)]� [a†(t), a(t)]a(t)

�= �m!

2

r~

2m!

�a†(t) + a(t)

�,

= �!2mx(t).

Portantod2x(t)

dt2= �!

2x(t).

Tomando o valor medio para um estado |qi qualquer (lembrando que o estado naoevolui no tempo)

hq| d2x(t)

dt2|qi = �!

2 hq| x |qi ,

d2 hq| x(t) |qi

dt2= �!

2 hx(t)i ,

d2 hx(t)idt2

= �!2 hx(t)i .

2

Exatamente a equacao para o oscilador classico, cuja solucao geral e

hx(t)i = x0 cos!t+x0

!sin!t,

onde x0 e x0 sao constantes que representam, respectivamente, hx(0)i e hx(0)i.No caso de um autoestado de energia |ni

hx(t)in = hn| x(t) |ni =r

~2m!

hn| a†(t) + a(t) |ni

=

r~

2m!

⇣pn+ 1 hn||n+ 1i+

pn hn||n� 1i

⌘= 0,

devido a ortogonalidade dos autoestados. De forma analoga

hp(t)in = hn| p(t) |ni = i

r~m!

2hn| a†(t)� a(t) |ni

= i

r~m!

2

⇣pn+ 1 hn||n+ 1i �

pn hn||n� 1i

⌘= 0.

Portanto um autoestado de energia fornece, na media, uma solucao do osciladorclassico com as condicoes iniciais: xcl(0) = xcl(0) = 0. Ou seja, uma solucao classicatrivial onde o oscilador classico esta em repouso na origem (mınimo da energia po-tencial).

As condicoes iniciais associadas ao estado coerente ja foram determinadas na letra

(b) e sao dadas por xcl(0) =q

2~m! |�| cos ✓ e xcl(0) =

hp(0)im = �

q2~!m |�| sin ✓. Essas

sao condicoes iniciais completamente gerais, mostrando que qualquer solucao classicapode ser descrita, na media, por um estado coerente adequado.

3