7/24/2019 R3 - Reologia, Remetro Capilar

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1. Introduo

1.1 Equaes bsicas

O fuxo que ocorre no interior de um capilar um fuxo

de presso atravs de um tubo longo. A gura 1 mostra o

esquema de um remetro capilar. O polmero, que est em

repouso no reservat!rio ou barril, empurrado por um

pisto atravs de um tubo capilar de raio "c e comprimento

#c. $esse capilar pode%se considerar que o fuxo est em

regime permanente de cisal&amento quando #c '' "c. #ogo,

o valor absoluto da tenso de cisal&amento na parede est

relacionado ( presso ), ao longo do comprimento do

capilar, pela seguinte rela*o+

w=P .Rc

2. Lc

qua*o 1

-ada velocidade de descida do pisto /p0 correspondea uma taxa de cisal&amento no capilar, pois a vao

calculada no pisto 2p igual ( vao no capilar 2c0, ou

se3a+

Qp=Qc

Ou aindaVp.Ap=Vc. Ac

qua*o 4

Onde /c a velocidade do polmero no capilar, Ap e

Ac so as reas da se*o transversal do pisto e do capilar,

respectivamente. #embrando que a taxa de cisal&amento +

=dVcdr

1

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qua*o 5

A tenso de cisal&amento no capilar c calculada atravs da 6or*a 7 que o polmero 6a contra o

pisto, a qual medida atravs de um transdutor de

presso, sendo que

c= F

Ac

qua*o 8

7inalmente, a viscosidade do material pode ser

calculada, pois

=c

c

qua*o 9

A queda de presso P representada pela

seguinte expresso+

P=P (z=0 )P (z=Lc )=PbPlc

qua*o :

m que )b a presso no barril ou reservat!rio e )lc

a presso na sada do capilar.

4

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7igura 1+ squema de um remetro capilar

)ara fuidos no $e;tonianos, que o caso do fuidoda prtica de &o3e propileno0, se 6or con&ecida uma

expresso matemtica especca para a 6un*o viscosidade

possvel obter equa*ncias, ento a taxa de

cisal&amento na parede ser expressa por+

= 4Q

R c3

3n+1

4n

qua*o ?

Assim, a equa*o reol!gica de estado de um polmero

que segue a #ei das )ot>ncias ser expressa por+

5

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PRc

2Lc =m.

4Q

R c3

n3n+1

4 n

n

qua*o @

Assim, tra*ando%se os grcos dos dados experimentais log

PRc

2Lcversus log

4Q

R c3 0 podemos obter uma lin&a reta,

cu3a intersec*o dessa lin&a com o eixo ser m e sua

inclina*o ser n.

1.4 Correo de Rabinowitsch

=e uma equa*o que relacione a viscosidade ( taxa de

cisal&amento de um determinado polmero no estiver

disponvel, ento no possvel obter a equa*o para o

perl de velocidades e para a taxa de cisal&amento na

parede. -ontudo, existe uma 6orma de calcular a

viscosidade desde que se ten&a um grande nBmero de

dados. )rimeiro, pode ser mostrado que, para um fuido

especco a uma temperatura xa, existe uma rela*o Bnica

entre a tenso de cisal&amento na parede e a taxa de

cisal&amento na parede, tal rela*o Bnica a viscosidade.

Csso signica que, se dados experimentais de presso em

6un*o da vao, comprimento de capilar e raio de capilar

so obtidos, todos esses dados devem estar na mesma

curva do grco log4Q

R c3 versus log

PRc

2Lc . )ara

experimentos envolvendo remetros capilares e fuidos

ne;tonianos, a taxa de cisal&amento na parede pode ser

expressa por+

= 4Q

R c3

3+b

4

8

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qua*o D

Onde b +

b=

d 4 Q

R c3

dPRc

2Lc

qua*o 1E

sta equa*o con&ecida como equa*o de

"abino;itsc& ou corre*o de "abino;itsc&. Fal equa*o

representa o desvio do comportamento $e;toniano do

fuido. =e o fuido 6or ne;toniano, b G 1Hn. O termo3+b

4

representa a corre*o de "abino;itsc&.

Assim, podemos concluir para um grco de log w

versus log , tambm con&ecido como curva de fuxo,

pode 6ornecer uma indica*o da naturea do fuido. =e os

dados podem ser a3ustados por uma lin&a reta com

inclina*o igual a 1, o fuido apresenta um comportamento

$e;tonianoI se os dados se a3ustam em uma lin&a reta com

inclina*o di6erente de um, ento o fuido segue a #ei das

)ot>ncias e a inclina*o da reta igual a n. Jma curva com

comportamento no%linear indica que o comportamento do

fuido no $e;toniano e no segue a #ei das )ot>ncias.

9

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7igura 4+ Krco de tenso na parede versus taxa de

cisal&amento aparente na parede curvas de fuxo0 para a0

7luido $e;tonianoI b0 7luido $o%$e;toniano que segue a

#ei das )ot>ncias c0 7luido no%ne;toniano que no segue

a lei das )ot>ncias.

1.5 Correo de Bagley

A queda de presso te!rica P atravs de um

capilar pode ser expressa pela equa*o :. ste valor

correto quando o fuido $e;toniano, de baixo peso

molecular e o fuxo est plenamente desenvolvido, no

apresentando v!rtices na entrada, elasticidade, tempos de

relaxa*o elevados, etc. )orm, na prtica, quando as

propriedades reol!gicas de polmeros 6undidos so medidas,

observa%se uma queda na presso da entrada, como ilustra

a gura 5.

:

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7igura 5+ )resso atravs de um capilar

A presso na entrada do capilar, isto m em G E,

menor que )b para o caso de fuidos no%$e;tonianos ou

polmeros 6undidosI ou se3a, ocorre redu*o na presso de

entrada do capilar por causa dos e6eitos $o%$e;tonianos

mencionados anteriormente. Assim, torna%se necessrio

corrigir essa di6eren*a na presso de entrada, 3 que seu

valor infuir diretamente no valor de w e

consequentemente no valor da viscosidade.

Jm procedimento utiliado para a corre*o dessa

di6eren*a de presso consiste em calcular o comprimento

do capilar necessrio para se obter um fuxo

completamente desenvolvido. La gura anterior pode%se

observar que, se o capilar tivesse um comprimento #c M

e"c, a presso na entrada desse capilar seria )b. Assim,

w seria expressa como+

2 (Lc+eRc )

w=PRc

?

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qua*o 11

O produto e"c representa o comprimento do tubo

capilar necessrio para obter%se um fuxo plenamentedesenvolvido, com uma queda de presso igual ( queda de

presso extra resultante dos e6eitos de entrada deo capilar.

O procedimento de corre*o dos e6eitos de entrada no

capilar con&ecido como correo de Bagley.

7igura 8+ Krco para a determina*o da -orre*o de

Nagle

)ara determinar o valor de e, utiliam%se diversos

capilares de dimetros 4"c similares, mas com

comprimentos #c di6erentesI grcos de P em 6un*o

de #c sobre "c, a uma mesma taxa de cisal&amento, so

ento obtidos.-omo a vao 2 e o dimetro do capilar 4"c

so os mesmos para todos os capilares, ento as taxas de

cisal&amento sero as mesmas.A intersec*o da reta com

o eixo &oriontal corresponde ao valor de e. =ubstituindo na

equa*o 11, possvel calcular a taxa de cisal&amento

corrigida.

@

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2. ateriais e !"todos

#. Resultados e discusses

Femos, para um capilar com 4E mm de comprimento e

dimetro de 1mm, a temperatura de 1D9o -, os dados da

tabela 1+

$abela 1% $a&as de cisalha!ento a'licadas e suas

res'ecti(as (elocidades

$a&a de cisalha!ento )s*+1, -elocidade )!!s,1D,1 E,E1E:1

1DD,: E,11E@D?D4,: E,88E9E1D@8,D 1,1E4?49D94,E 5,5E::?

Assim, temos que o raio do capilar E,9 mm e como sua rea

circular, vem+

A c= r2= . (0,5mm )2=0,7853 mm2

#.1 Clculo da ta&as de cisalha!ento

As taxas de cisal&amento so dadas pela equa*o 5+

=dVc

dr

como, pela equa*o 4+

Q=Vp . A p=Vc.Ac

Femos

R c3

=dVc

dr =

dQ

dAc

dRc=

Q

Ac . Rc=

4 Q

=

4Q

R c3=

4.Vp.Ap

R c3 =

4.Vp. R p2

R c3

D

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Onde o raio do pisto ?,9 mm e o raio do capilar E,9mm.

Assim, temos+

$abela 2% Clculo das ta&as de cisalha!ento

-elocidade -c

)!!s,

$a&a de

cisalha!ento

)1s,E,E1E:1 1D,ED@

E,11E@D 1DD,:E4E,88E9E ?D4,D

1,1E4?4E 1D@8,D5,5E::? 9D94,EE

#.2 Clculo da tenses de cisalha!ento

Femos, pela equa*o 1+

c= F

AcG P .

Rc

2. Lc

Onde Ac a rea do capilar em questo, 3 calculada, P

a varia*o de presso, "c o raio do capilar E,9 mm0 e #c o

comprimento do capilar 4E mm0. Assim, de acordo com a

tabela 6ornecida no excel, possvel clcular a tenso de

cisal&amento para as 9 medidas+

$abela #% $enses de cisalha!ento calculadas

/resso P )/a, $enso de cisalha!ento

c )/a,

14,65.105 1@514,9

43,96.105 98D9E,E

80,35.105 1EE85?,9

106,63.105 1554@?,9

155,14.105 1D5D49,E

1E

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#.# Clculo da Correo de Rabinowitsch 'ara a ta&a de

cisalha!ento

Femos, pela equa*o 1E, o clculo do coeciente b para

calcular a -orre*o de "abino;itsc&+

b=

d 4 Q

R c3

dPRc

2Lc

Ou se3a, b a rela*o entre a derivada da taxa decisal&amento pela derivada da tenso de cisal&amento. Ou se3a,

devemos tra*ar o grco logartmico lnd 0 versus ln d c 0, ou

se3a, o grco de taxa de cisal&amento versus tenso de

cisal&amento e seu coeciente angular ser b. Assim, temos+

$abela 0% Clculo do coeciente b

$enso de

cisalha!entoc )/a,

$a&a de

cisalha!ento )1s,

n ) c

3 &

n )

3y

Coecie

nte b

1@514,9 1D,ED@ D,@1955D1

::

4,D8D9 4,8E14

98D9E,E 1DD,:E4 1E,D181?@

D:

9,4D:5 4,8E14

1EE85?,9 ?D4,D 11,91?4DE

D4

:,:?9: 4,8E14

1554@?,9 1D@8,D 11,@EE4:5

?5

?,9D55 4,8E14

1D5D49,E 9D94,EE 14,1?944:

??

@,:D18

@

4,8E14

4rco 1% n )d , (ersus ln )d c ,5 onde a !elhor reta 6oi

traada.

11

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6x0 G 4.8x % 4E.?:

"P G E.DD

$enso de cisalha!ento (ersus ta&a

#inear 0

Femos, de acordo com a equa*o D+

= 4Q

R c3

3+b

4

Assim, possvel atualiar a tabela 4 para novos valores da

taxa de cisal&amento corrigida atravs da corre*o "abino;itsc&,

que sero multiplicadas por 1,59E5.

$abela 7% $a&as de cisalha!ento corrigidas 'or Rabinowitsch

$a&a de cisalha!ento

se! a correo )1s,

$a&a de cisalha!ento

corrigida 'or Rabinowitsch

)1s,1D,ED@ 49,?@

1DD,:E4 4:D,94?D4,D 1E?E,:91D@8,D 4:@E,41

9D94,EE @E5:,D@

#.0 Clculo da Correo de Bagley 'ara ca'ilar 8 9 1:

#.7 Clculo do ;ndice de 'ot

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Krco 4+ "ela*o do logartmo da tenso de cisal&amento com o

logartimo da taxa de cisal&amento

6x0 G E.81x M @.::

"P G E.DD

2og da ta&a de cisalha!ento (ersus o log da tenso de cisalha!ento

#inear 0

$abela =% $a&a de cisalha!ento e $enso de cisalha!ento

> 3 n )

c

? 3 n )

D,@1955D1::

4,D8D9

1E,D181?@D

:

9,4D:5

11,91?4DED

4

:,:?9:

11,@EE4:5?

5

?,9D55

14,1?944:?

?

@,:D18@

7oi tra*ado o grco dos dados experimentais log

PRc

2Lcversus log

4Q

R c3 0 para as 9 medidas avaliadas.

Os valores plotados esto contidos na tabela :. A

intersec*o da reta com o eixo ser m e sua inclina*o

ser n. A equa*o da reta, 6ornecida pelo xcel, 6oi+

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y (x )=0,4135x+8,6634

Ou se3a, m @,::58 e n a inclina*o da reta.)ortanto, temos que n +

n=0,4135

Assim, n vale E,8159 e di6erente de um. Femos, de

acordo com a teoria, que o propileno , de 6ato, um fuido

no%ne;toniano, mas como sua inclina*o di6erente de

um, ele obedece a #ei das )ot>ncias, de acordo com a gura

4. Assim, o propileno um fuido $o%$e;toniano que

obedece a lei das )ot>ncias.

#.= Esboo das cur(as de (iscosidade (ersus ta&a de

cisalha!ento

3.6.1 Curva viscosidade versus taxa de cisalhamento para as

primeiras taxas e tenses de cisalhamento calculadas

3.6.2 Curva viscosidade versus taxa de cisalhamento para a

Correo de Rabinowitsch

3.6.3 Curva viscosidade versus taxa de cisalhamento para a

Correo de Bale!

3.6." Curva viscosidade versus taxa de cisalhamento

considerando o #uido como sendo $o%$ewtoniano seuindo a

lei das &ot'ncias

#.@ Cur(as 'resso (ersus te!'o obtidas

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