Raciocinio Logico 1486

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1 Caro(a) concurseiro(a), Primeiramente, gostaríamos de fazer uma breve apresentação. Prof. Alexandre Lima: Como vai? Sou Auditor-Fiscal Tributário Municipal de São Paulo (“Fiscal do ISS/SP”) desde 1998. Também sou professor de Estatística e Contabilidade (Geral, Gerencial e de Custos). Servi à Marinha do Brasil por 14 anos, como oficial do Corpo de Engenheiros e Técnicos Navais. Cursei Ciências Navais com ênfase em Eletrônica pela Escola Naval e Engenharia Elétrica com ênfase em Telecomunicações pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Obtive os graus de Mestre e Doutor em Engenharia Elétrica pela Escola Politécnica da USP. Prof. Moraes Junior: Tudo bem? Sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovado em 5 o lugar para as Unidades Centrais no concurso de 2005 e trabalho na Coordenação-Geral de Fiscalização. Sou professor de Contabilidade Geral, Avançada, Análise das Demonstrações Financeiras, Contabilidade de Custos, Matemática Financeira, Estatística e Raciocínio Lógico. Além disso, servi, durante 17 anos, à Marinha da Brasil, como oficial de carreira e trabalhei 1 ano, no Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada, como assessor da presidência. Sou Bacharel em Ciências Navais (ênfase em Eletrônica) pela Escola Naval e em Engenharia Elétrica (ênfase em Telecomunicações) pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. No ano passado, ministramos um curso de Teoria e Exercícios, que foi um grande sucesso. Parte desse curso (Teoria e alguns exercícios comentados) se transformou em um livro que será lançado Editora Método: Raciocínio Lógico, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística. O livro já está pronto e em fase final de revisão e deverá estar disponível para compra até o final de março. Por essa razão, o curso “Raciocínio Lógico para Traumatizados” de 2011 será um curso de exercícios comentados e resolvidos. Contudo, não se preocupe, pois os comentários serão detalhados e a teoria será explicada. A idéia é que o livro e o curso se complementem. Procuraremos comentar e resolver, em média, 40 exercícios por aula. Como os conceitos matemáticos não mudam, utilizaremos questões das principais bancas: Esaf, Cespe, FCC, FGV e Cesgranrio. Portanto, o curso é voltado para todos os concursos que cobram Raciocínio Lógico Quantitativo propriamente dito e as outras vertentes da Matemática. O curso terá uma aula a cada quinze dias, para que você possa estudar com calma e tirar as suas dúvidas com tranquilidade.

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  • Curso Online - Raciocnio Lgico-Quantitativo para Traumatizados em Exerccios, incluindo Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica

    Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

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    Caro(a) concurseiro(a), Primeiramente, gostaramos de fazer uma breve apresentao. Prof. Alexandre Lima: Como vai? Sou Auditor-Fiscal Tributrio Municipal de So Paulo (Fiscal do ISS/SP) desde 1998. Tambm sou professor de Estatstica e Contabilidade (Geral, Gerencial e de Custos). Servi Marinha do Brasil por 14 anos, como oficial do Corpo de Engenheiros e Tcnicos Navais. Cursei Cincias Navais com nfase em Eletrnica pela Escola Naval e Engenharia Eltrica com nfase em Telecomunicaes pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Obtive os graus de Mestre e Doutor em Engenharia Eltrica pela Escola Politcnica da USP.

    Prof. Moraes Junior: Tudo bem? Sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovado em 5o lugar para as Unidades Centrais no concurso de 2005 e trabalho na Coordenao-Geral de Fiscalizao. Sou professor de Contabilidade Geral, Avanada, Anlise das Demonstraes Financeiras, Contabilidade de Custos, Matemtica Financeira, Estatstica e Raciocnio Lgico. Alm disso, servi, durante 17 anos, Marinha da Brasil, como oficial de carreira e trabalhei 1 ano, no Instituto de Pesquisa Econmica Aplicada, como assessor da presidncia. Sou Bacharel em Cincias Navais (nfase em Eletrnica) pela Escola Naval e em Engenharia Eltrica (nfase em Telecomunicaes) pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. No ano passado, ministramos um curso de Teoria e Exerccios, que foi um grande sucesso. Parte desse curso (Teoria e alguns exerccios comentados) se transformou em um livro que ser lanado Editora Mtodo: Raciocnio Lgico, incluindo Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica. O livro j est pronto e em fase final de reviso e dever estar disponvel para compra at o final de maro. Por essa razo, o curso Raciocnio Lgico para Traumatizados de 2011 ser um curso de exerccios comentados e resolvidos. Contudo, no se preocupe, pois os comentrios sero detalhados e a teoria ser explicada. A idia que o livro e o curso se complementem. Procuraremos comentar e resolver, em mdia, 40 exerccios por aula. Como os conceitos matemticos no mudam, utilizaremos questes das principais bancas: Esaf, Cespe, FCC, FGV e Cesgranrio. Portanto, o curso voltado para todos os concursos que cobram Raciocnio Lgico Quantitativo propriamente dito e as outras vertentes da Matemtica. O curso ter uma aula a cada quinze dias, para que voc possa estudar com calma e tirar as suas dvidas com tranquilidade.

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    Veja o contedo programtico:

    Aula Data Contedo 0 07/03 Modelos de Questes Comentadas e Resolvidas 1 27/05 Sinais, Fraes, Decimais.

    Expoentes e Radicais. Fatorao. Aplicaes da lgebra Equaes e Inequaes

    2 10/06 Conjuntos e Funes. 3 24/06 Matrizes, Determinantes e Soluo de Sistemas Lineares.

    Progresses Aritmtica e Geomtrica 4 08/07 Trigonometria.

    Geometria. 5 22/07 Estruturas Lgicas: Proposies; Valores Lgicos das

    Proposies; Sentenas Abertas; Nmero de Linhas da Tabela Verdade; Conectivos; Proposies Simples; Proposies Compostas. Tautologia. Contradio. Contingncia. Implicaes Lgicas: Implicao entre Proposies; Propriedade das Implicaes Lgicas; Relaes entre Implicaes. Equivalncias Lgicas: Equivalncia entre Proposies; Equivalncia entre Sentenas Abertas; Propriedade das Equivalncias Lgicas; Operao com Conjuntos. Lgica de Argumentao e Diagramas Lgicos.

    6 05/08 Estatstica Descritiva. Grficos, tabelas, sries, tipos de variveis, distribuies de freqncia, medidas de posio (mdia, mediana e moda), medidas de disperso (desvio padro etc.), medidas de assimetria, medidas de curtose, diagramas de caixa (box plots) e diagrama de ramo-e-folhas.

    7 19/08 Anlise Combinatria: combinaes, arranjos e permutaes. Probabilidades: conjuntos, eventos, axiomas, probabilidades conjunta e condicional, independncia, regras de adio, regra da multiplicao, teoremas da probabilidade total e de Bayes.

    8 02/09 Varivel Aleatria: definio, funo discreta de probabilidade, funo de distribuio de probabilidade, funo densidade de probabilidade. Valor Esperado: mdia, varincia e valor esperado de funo de varivel aleatria. Desigualdade de Chebyshev. Principais distribuies de probabilidade (binomial, Poisson, normal etc.).

    9 16/09 Varivel Aleatria Bivariada: funo de probabilidade conjunta, funo de probabilidade marginal, funo de probabilidade condicional. Variveis aleatrias independentes. Esperanas envolvendo duas ou mais variveis: correlao e covarincia. Introduo Regresso Linear.

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    10 30/09 Amostragem. Amostragem aleatria, teorema do limite

    central, distribuies amostrais. 11 14/10 Estimao de Parmetros. Estimador e estimativa, justeza,

    vcio de estimao, eficincia, erro quadrtico mdio, mtodo da mxima verossimilhana. Estimao por ponto e por intervalo. Intervalos de confiana.

    12 28/10 Testes de hipteses para mdias, propores e varincias populacionais. Valor-p (probabilidade de significncia). Testes de hipteses no paramtricos (aderncia e independncia).

    13 11/11 Inferncia Estatstica e Anlise de Varincia do modelo de Regresso Linear Simples.

    14 25/11 Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples. Equivalncia Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos: Desconto racional simples e desconto comercial simples.

    15 09/12 Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalizao contnua. Equivalncia Composta de Capitais. Descontos: Desconto racional composto e desconto comercial composto.

    16 23/12 Sistemas de Amortizao Taxa Interna de Retorno: TIR do acionista e TIR do projeto. Payback e Valor Presente Lquido. Metodologia de precificao de ttulos pblicos e privados: ttulos pr-fixados, ttulos ps-fixados, ttulos com pagamentos de cupons, debntures.

    Finalmente, esperamos que este curso seja bastante til para voc e que possa auxili-lo(a) de forma substantiva na preparao da disciplina de Raciocnio Lgico Quantitativo. As dvidas sero sanadas por meio do frum do curso, ao qual todos os matriculados tero acesso. As crticas ou sugestes podero ser enviadas para as seguintes caixas postais: Prof. Moraes Junior: [email protected] Prof. Alexandre Lima: [email protected]. Finalmente, gostaramos de salientar a voc, concurseiro(a): NUNCA DESISTA DOS SEUS SONHOS. Deus nos deu o livre arbtrio para que possamos determinar nosso destino. Se voc deseja ser aprovado em um concurso pblico, lute por isso, faa com dedicao, com sacrifcio, sempre visando ao seu objetivo. Desta forma, voc conseguir ser aprovado!

    Prof. Alexandre Lima Prof. Moraes Junior

    Abril/2011

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    Modelo de Questes Resolvidas

    1. (Analista de Processos Organizacionais-Administrao-Bahiags- 2010-FCC) Sendo x e y nmeros reais, definiremos a operao tal que xy igual a xy. Partindo-se dessa definio, correto dizer que (xy) (yx) igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(xy) (D) 2(xy) (E) 2x Resoluo Primeiramente, no precisa se assustar com smbolo e outros que possam vir a aparecer em questes desse tipo. O que voc precisa tirar de informao da questo qual o significado do smbolo. No caso desta questo, o smbolo significa o sinal de menos. Portanto: xy = xy; ou seja, = (menos). Portanto, basta pegar a informao dada na questo, substituir na expresso que a questo informa e calcular o resultado. Vamos l: (xy) (yx) = (x y) (y x). Beleza at aqui? Repare que, no segundo termo: (y x) = (+ y x). Se retirarmos os parnteses, teramos: + y x = y + x. Portanto, o que temos que guardar, para adio e subtrao, : 1. Normalmente, no mostramos o sinal de mais (+) no primeiro termo, ou seja, (x + y) = (+ x + y). 2. Menos () com mais (+) igual a menos (): + = . 3. Menos () com menos () igual a mais (+): = +. Voltando, a nossa questo, teramos: (xy) (yx) = (x y) (y x) = x y y + x = 2x 2y. Como aparece o nmero 2 nos dois termos, podemos colocar em evidncia (todos os termos esto multiplicados por 2). Logo: 2x 2y = 2 . (x y). GABARITO: C

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    2. (Analista Judicirio-rea Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do

    total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 25

    deveriam ser

    analisados e 47

    referiam-se ao atendimento ao pblico interno. Com essa

    informao, correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um nmero compreendido entre (A) 10 e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e 220. Resoluo Se consideramos que o nmeros total de projetos igual a X, sabemos que:

    Projetos a serem analisados = X . 25

    Projetos relacionados ao pblico interno = X . 47

    Repare que o nmero de projetos a serem analisados e o nmero de projetos relacionados ao pblico interno devem ser nmeros naturais, certo? Claro! Voc j viu algum analisar meio processo ou um processo negativo? Risos. Pois . Esta a informao chave da questo, pois, se so nmeros naturais, o nmero total de processos deve ser divisvel por 5 e divisvel por 7. Tambm falaremos dos critrios de divisibilidade em aula posterior, mas, no momento, temos que saber que, se um nmero deve ser divisvel por 5 e divisvel por 7, ele deve ser divisvel por 5 x 7 = 35 (que o mnimo mltiplo comum de 5 e 7). Generalizando, se um nmero divisvel por A e divisvel por B, ele deve ser divisvel pelo mnimo mltiplo comum de A e B. Portanto, basta conhecer os mltiplos de 35 para verificarmos a resposta correta. Veja: 1 x 35 = 35 2 x 35 = 70 3 x 35 = 105 4 x 35 = 140 5 x 35 = 175 6 x 35 = 210 7 x 35 = 245

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    Logo, o nmero total de projetos X pode ser: 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245,... Analisando as alternativas, temos que verificar em qual delas no h algum dos nmeros supramencionados: (A) 10 e 50. 35 est compreendido entre 10 e 50. (B) 60 e 100. 70 est compreendido entre 60 e 100. (C) 110 e 160. 105 e 140 esto compreendidos entre 110 e 160. (D) 150 e 170. no h nmero divisvel por 35 neste intervalo (E) 180 e 220. 210 est compreendido entre 180 e 220. GABARITO: D 3. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criana hoje a diferena entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha h dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos. Resoluo Idade Hoje = X Idade Daqui a 10 anos = X + 10 Idade H 2 anos = X 2 Pelo enunciado: a idade de uma criana hoje (X) a diferena entre a metade

    da idade que ela teria daqui a dez anos 10

    2X +

    e a metade da idade que ela

    tinha h dois anos 2

    2X

    . Ou seja, transformamos o enunciado em uma

    expresso:

    10 2 10 2 12 62 2 2 2

    X X X XX X anos+ + += = = =

    GABARITO: E

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    4. (Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de Natal/RN2008-Esaf) Uma funo definida no conjunto dos nmeros inteiros satisfaz a igualdade: f(x) (x + 1) f( 2 x) = 3 x , para todo x inteiro. Com estas informaes, conclui-se que f(0) igual a: a) 2-1/3 b) 2-1/3 c) 21/3 d) 2-2/3 e) 2-2/3 Resoluo Para resolver a questo, temos que relembrar duas propriedades de potncias: I) xn : xm = xn m diviso de potncias de mesma base conserva a base e subtrai os expoentes. Ex: 24 : 22 = 22

    II) (xn)m = xn . m potncia de potncia multiplica os expoentes. Ex: (24)2 = 28 Sabemos, de nossa aula que:

    2 = 21/2 3 x = x1/3 Portanto, podemos substituir a expresso f(x) (x + 1) f( 2 x) = 3 x por: f(x) (x + 1) f(21/2 x) = x1/3 O enunciado da questo pede que calculemos f(0), ou seja, o valor da expresso para x = 0. Substituindo x na expresso, teramos: x = 0 f(0) (0 + 1) f(21/2 0) = 01/3 f(0) 1 x f(21/2) = 0 f(0) = f(21/2) (I) Beleza. Sabemos que f(0) = f(21/2). Contudo, no temos o valor de f(21/2). Tudo bem, no temos ainda, mas podemos substituir x = 21/2 na mesma expresso, que vale para qualquer x, e calcular f(21/2). Vamos l: x = 21/2 f(21/2) (21/2 + 1) . f(21/2 21/2) = (21/2)1/3 f(21/2) (21/2 + 1) f(0) = 2 (1/2).(1/3) f(21/2) (21/2 + 1) f(0) = 21/6 (II) Como calculamos, em (I), que f(0) = f(21/2), substituindo (I) em (II): f(21/2) (21/2 + 1) f(0) = 21/6 f(0) (21/2 + 1) . f(0) = 21/6 f(0) 21/2 . f(0) f(0) = 21/6

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    f(0) f(0) 21/2 . f(0) = 21/6 21/2 . f(0) = 21/6

    f(0) =

    16

    12

    2

    2

    f(0) = 21/6 1/2 Repare que, no expoente de 2, temos que fazer o seguinte clculo: 1 1 1 1 3 1 3 2 16 2 6 2 3 6 6 3

    = = = =

    O m.m.c (mnimo mltiplo comum) dos denominadores 2 e 6 igual a 6. Veremos o procedimento de clculo do m.m.c com mais detalhes na aula 1. f(0) = 2 (1-3)/6 f(0) = 2 -2/6 = 2 -1/3 GABARITO: A 5. (Analista Judicirio-rea: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC) Um criptograma aritmtico um esquema operatrio codificado, em que cada letra corresponde a um nico algarismo do sistema decimal de numerao. Considere que o segredo de um cofre um nmero formado pelas letras que compem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN)2 = MOON Sabendo que tal segredo um nmero maior que 5.000, ento a soma M + O + O + N igual a (A) 16 (B) 19 (C) 25 (D) 28 (E) 31 Resoluo Calma. No precisa ficar nervoso. A questo parece difcil, mas no . Vejamos. Vamos, literalmente, decifrar a questo. I) Se o segredo do cofre a palavra MOON e cada letra corresponde a um algarismo, temos: M = algarismo dos milhares. O = algarismo das dezenas e das centenas (iguais) N = algarismo das unidades

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    II) Alm disso, outras informaes importantes so que o segredo (MOON) maior que 5.000 e que um nmero de dois algarismos (IN) elevado ao quadrado igual a MOON. Alm disso, o algarismo das dezenas de IN (I) diferente de quaisquer algarismos do segredo (MOON). Como faremos o teste? Vamos adotar o seguinte procedimento. I Repare que os algarismos das unidades (N) do nmero elevado ao quadrado (IN) tem que ser igual ao algarismo das unidades do segredo (MOON). Ora, quais so os nmeros de 1 a 9 que elevados ao quadrado possuem algarismos das unidades iguais? Vejamos 02 = 0 (ok) 12 = 1 (ok) 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 (ok) 62 = 36 (ok) 72 = 49 82 = 64 92 = 81 Por enquanto, temos que N pode ser 0, 1, 5 ou 6. II Com isso, quais so os nmeros de dois algarismos (I0 ou I1 ou I5 ou I6) possveis? So eles: 10, 11, 15, 16, 20, 21, 25, 26, 30, 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 66, 70, 71, 75, 76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95, 96. Repare ainda que: (60)2 = 3.600, que menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) maior que 60. (70)2 = 4.900, que menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) maior que 70. Com isso todos os nmeros menores ou iguais a 70 tambm tero os seus quadrados menores que 5.000. Com isso, eliminamos 10, 11, 15, 16, 20, 21, 25, 26, 30, 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 66 e 70. Nossa lista de testes ficou com: 71, 75, 76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95, 96. IV Vamos testar os demais: (IN)2 = (71)2 = 71 x 71 = 5.041 ( maior que 5.000, mas no atende a outra caracterstica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (4) no igual ao algarismo das centenas (0)).

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    (IN)2 = (75)2 = 75 x 75 = 5.625 ( maior que 5.000, mas no atende a outra caracterstica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (2) no igual ao algarismo das centenas (6)). (IN)2 = (76)2 = 76 x 76 = 5.776 Ser que este nmero atende todas as especificaes da questo? Vejamos: I = 7 N =6 (IN)2 = MOON = 762 = 5.776 maior que 5.000 e o algarismo das dezenas (7) igual ao algarismo das centenas (7). Tudo bem at aqui? Sim, mas repare que o algarismo das dezenas de IN (I = 7) igual do algarismo O (O = 7) do segredo, fato que no possvel, pois I diferente de O. Portanto, 76 tambm no serve. Continuando os nossos testes: (IN)2 = (80)2 = 80 x 80 = 6.400 ( maior que 5.000, mas no atende a outra caracterstica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (0) no igual ao algarismo das centenas (4)). (IN)2 = (81)2 = 81 x 81 = 6.561 ( maior que 5.000, mas no atende a outra caracterstica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (6) no igual ao algarismo das centenas (5)). (IN)2 = (85)2 = 85 x 85 = 7.225 maior que 5.000 e o algarismo das dezenas (2) igual ao algarismo das centenas (2). Tudo bem at aqui? Sim. Alm disso, o algarismo das dezenas de IN (I = 8) diferente do algarismo O (O = 2) do segredo. Portanto, o segredo 7.225. M = 7 O = 2 O = 2 N = 5 A questo pede a soma: M + O + O + N = 7 + 2 + 2 + 5 = 16 GABARITO: A

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    6. (AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que trs pirmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 Resoluo Coloquei esta questo aqui com o objetivo de mostrar que as equaes, praticamente, sero utilizadas para resolver todos os problemas de prova. Sempre teremos que utilizar uma equao, seja ela de primeiro ou segundo grau. Vamos resoluo da questo. Primeiramente, vamos verificar as informaes fornecidas para que possamos montar nossas equaes: Peso da Esfera = Pe Peso do Cubo = Pcb Peso do Cone = Pcn Peso da Pirmide = Pp De acordo com a questo, a esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. Pe + Pcb = Pcn (I) Ainda de acordo com a questo, a esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirmide. Pe = Pcb + Pp Pp = Pe Pcb (II) E, finalmente, que dois cones pesam o mesmo que trs pirmides. 2.Pcn = 3.Pp (III) A questo deseja saber quantos cubos pesa a esfera. Substituindo (II) em (III): Pp = Pe Pcb (II) 2.Pcn = 3.Pp (III) 2.Pcn = 3.(Pe Pcb) Pcn = (3/2).(Pe Pcb) Pcn = 1,5.(Pe Pcb) (IV)

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    Substituindo (IV) em (I): Pe + Pcb = Pcn (I) Pcn = 1,5.(Pe Pcb) (IV) Pe + Pcb = 1,5.(Pe Pcb) Pe + Pcb = 1,5.Pe 1,5.Pcb 1,5.Pe Pe = Pcb + 1,5.Pcb 0,5.Pe = 2,5.Pcb Pe = 5.Pcb GABARITO: B 7. (Professor de Matemtica-Secretaria de Estado da Educao-SP-2010-FCC) Na equao x3 + 3x2 + x 1 = 0, substituindo-se x por z 1 obtm-se uma equao em z sem o termo quadrtico, o que facilita sua resoluo. A partir disso, podem-se obter tambm as solues da equao original, uma das quais (A) 2 (B) 2 1 (C) 2 (D) 3 2 (E) 3 2 2 Resoluo Bom, a questo j est nos indicando que caminho devemos seguir, ou seja, devemos substituir a incgnita x da equao por z 1 (transformao): x3 + 3x2 + x 1 = 0 (z 1)3 + 3.(z 1)2 + (z 1) 1 = 0 Vamos calcular separadamente: (z 1)2 = (z 1).(z 1) = z.(z 1) 1.(z 1) (z 1)2 = z.z + z.(-1) 1.z 1.(-1) (z 1)2 = z2 z z + 1 = z2 2z + 1 S estou fazendo as contas detalhadamente para que voc possa treinar, mas, na verdade, j estudamos que: (a b)2 = a2 2ab + b2. Portanto: (z 1)2 = z2 2.z.1 + 12 = z2 2z + 1 Para calcular (z 1)3 basta fazer (z 1)2.(z 1): (z 1)3 = (z 1)2.(z 1) = (z2 2z + 1).(z 1) (z 1)3 = z2.(z 1) 2z.(z 1) + 1.(z 1) (z 1)3 = z2.z + z2.(1) 2z.z 2z.(1) + 1.z + 1.(1) (z 1)3 = z3 z2 2z2 + 2z + z 1

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    (z 1)3 = z3 3z2 + 3z 1 Logo, temos: (z 1)2 = z2 2z + 1 (z 1)3 = z3 3z2 + 3z 1 Substituindo tudo na equao abaixo: x3 + 3x2 + x 1 = 0 (z 1)3 + 3.(z 1)2 + (z 1) 1 = 0 z3 3z2 + 3z 1 + 3.( z2 2z + 1) + z 1 1 = 0 z3 3z2 + 3z 1 + 3z2 +3.(-2z) + 3.1 + z 2 = 0 z3 3z2 + 3z 1 + 3z2 6z + 3 + z 2 = 0 z3 3z2 + 3z2 + 3z 6z + z 1 + 3 2 = 0 z3 2z = 0 Repare que todos os termos da equao possuem z. Portanto, podemos colocar o z em evidncia: z3 2z = 0 z.(z2 2) = 0 Repare que, se temos A.B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou ambos so iguais a zero. Portanto, na equao z.(z2 2) = 0, temos as seguintes opes: z = 0 ou z2 2 = 0 z2 = 2 z = 2 (repare que 2 elevado ao quadrado igual a 2). Cuidado, pois achamos as razes da equao transformada para z e a questo pergunta as razes para equao com a varivel x. Contudo, sabemos que a transformao foi x = z 1. Portanto, as razes da equao x3 + 3x2 + x 1 sero: z = 0 Como x = z 1 Como x = 0 1 x = 1 z = 2 Como x = z 1 Como x = 2 1 x = 2 1 z = 2 Como x = z 1 Como x = 2 1 x = 2 1 GABARITO: B

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    8. (Especialista em Polticas Pblicas e Gesto Governamental-MPOG-2009-Esaf) Se uma companhia telefnica cobrasse uma taxa de assinatura bsica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente franquia, que de 20 pulsos, quanto um assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no ms? a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00 Resoluo Esta uma questo que temos que montar a funo. Ou seja, o tipo de questo que aparece muito em prova, onde a lgebra aplicada vida real, por meio de funes. Taxa de Assinatura Bsica (Mensal) = R$ 100,00 Franquia = 20 pulsos Pulso Excedente = R$ 0,50 por pulso Repare que o valor excedente somente ser cobrado somente sobre os pulsos que ultrapassarem os 20 pulsos da franquia. Valor Excedente = 0,50 . (P F) = 0,50 . (P 20) P = nmero de pulsos por ms F = franquia = 20 pulsos Valor a ser Pago (P) = Taxa Bsica + Valor Excedente Valor a ser Pago (P) = 100 + 0,50 . (P 20) Valor a ser Pago (P = 50) = 100 + 0,50 . (50 20) Valor a ser Pago (P = 50) = 100 + 0,50 . 30 = R$ 115,00 GABARITO: D 9. (Assistente Tcnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por 1. b) Multiplicado por 16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por 2/3.

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    Resoluo Repare que a questo pede o determinante de uma matriz 4 x 4. A, voc poderia indagar: o professor ficou maluco, pois ele ensinou apenas o procedimento de clculo das matrizes quadradas de ordem 1 (1 x 1), ordem 2 (2 x 2) e de ordem 3 (3 x 3). E a? Como fazer? Bom esta questo envolve as propriedades dos determinantes, que so aplicveis a quaisquer matrizes quadradas, independentemente da ordem. Vamos relembrar a propriedade que ser utilizada na questo: Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um nmero k, o determinante na nova matriz A ser o produto de k pelo determinante de A: det A= k . det A. Tambm vale para a diviso por k: det A= (1/k) . det A. Consideramos a matriz 4 x 4 igual Aerminantede A igual a: det(A) I. Linha 2 da matriz Amultiplicadapor2:logo,onovrminanteser:Novrminante=2xdet(A) II. Linha 3 da matriz Adivididapor3:logo,onovrminanteser:Novrminante=2xdet(A)x(1/3)= (-2/3) x det(A) GABARITO: E 10. (AFRFB-2009-Esaf) Um projtil lanado com um ngulo de 30 em relao a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetria inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade mdia, nos cinco primeiros segundos, de 900 km/h, a que altura em relao ao ponto de lanamento este projtil estar exatamente cinco segundos aps o lanamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km Resoluo Esta uma questo de aplicao prtica do tringulo retngulo e suas relaes. A questo estabelece que a trajetria inicial pode ser aproximada por uma linha reta. Portanto, inicialmente, vamos determinar quanto que o projtil percorreu em 5 segundos: Velocidade Mdia = 900 km/h, ou seja, o projtil capaz de percorrer 900 km em 1 hora.

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    Fazendo uma regra de trs: 900 km ===== 1 hora = 60 minutos = 60 x 60 = 3.600 segundos Distncia ===== 5 segundos Multiplicando em cruz:

    Distncia x 3.600 = 900 x 5 Distncia = 900 53.600

    = 1,25 km

    Contudo, a trajetria do projtil forma um ngulo de 30 em relao ao plano horizontal. Portanto, temos o tringulo retngulo abaixo, onde a hipotenusa distncia percorrida e a altura do projtil aps 5 segundos ser um dos catetos: A questo pede a altura (h) que o projtil estar a 5 segundos do lanamento. Das relaes trigonomtricas, temos:

    Seno 30 = _cateto oposto

    hipotenusa=

    1,25h

    (I)

    Tambm sabemos, da teoria, que:

    Seno 30 = 12

    (II)

    Portanto, temos: 1,25

    h=

    12

    h = 1,25

    2 h = 0,625 km

    GABARITO: B Abraos e at a prxima aula, Bons estudos, Moraes Junior [email protected] Alexandre Lima [email protected]

    30

    1,25 h

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    Questes Comentadas e Resolvidas Nesta Aula 1. (Analista de Processos Organizacionais-Administrao-Bahiags- 2010-FCC) Sendo x e y nmeros reais, definiremos a operao tal que xy igual a xy. Partindo-se dessa definio, correto dizer que (xy) (yx) igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(xy) (D) 2(xy) (E) 2x 2. (Analista Judicirio-rea Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do

    total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 25

    deveriam ser

    analisados e 47

    referiam-se ao atendimento ao pblico interno. Com essa

    informao, correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um nmero compreendido entre (A) 10 e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e 220. 3. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criana hoje a diferena entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha h dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos.

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    4. (Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de Natal/RN2008-Esaf) Uma funo definida no conjunto dos nmeros inteiros satisfaz a igualdade: f(x) (x + 1) f( 2 x) = 3 x , para todo x inteiro. Com estas informaes, conclui-se que f(0) igual a: a) 2-1/3 b) 2-1/3 c) 21/3 d) 2-2/3 e) 2-2/3 5. (Analista Judicirio-rea: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC) Um criptograma aritmtico um esquema operatrio codificado, em que cada letra corresponde a um nico algarismo do sistema decimal de numerao. Considere que o segredo de um cofre um nmero formado pelas letras que compem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN)2 = MOON Sabendo que tal segredo um nmero maior que 5.000, ento a soma M + O + O + N igual a (A) 16 (B) 19 (C) 25 (D) 28 (E) 31 6. (AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que trs pirmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1

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    7. (Professor de Matemtica-Secretaria de Estado da Educao-SP-2010-FCC) Na equao x3 + 3x2 + x 1 = 0, substituindo-se x por z 1 obtm-se uma equao em z sem o termo quadrtico, o que facilita sua resoluo. A partir disso, podem-se obter tambm as solues da equao original, uma das quais (A) 2 (B) 2 1 (C) 2 (D) 3 2 (E) 3 2 2 8. (Especialista em Polticas Pblicas e Gesto Governamental-MPOG-2009-Esaf) Se uma companhia telefnica cobrasse uma taxa de assinatura bsica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente franquia, que de 20 pulsos, quanto um assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no ms? a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00 9. (Assistente Tcnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por 1. b) Multiplicado por 16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por 2/3.

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    10. (AFRFB-2009-Esaf) Um projtil lanado com um ngulo de 30 em relao a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetria inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade mdia, nos cinco primeiros segundos, de 900 km/h, a que altura em relao ao ponto de lanamento este projtil estar exatamente cinco segundos aps o lanamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km GABARITO: 1 C 2 D 3 E 4 A 5 A 6 B 7 B 8 D 9 E 10 B

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    Bibliografia

    ALENCAR FILHO, Edgard de, Iniciao Lgica Matemtica. So Paulo. Nobel, 2002. ANDRADE, Nonato de, Raciocnio Lgico para Concursos. Rio de Janeiro. Ed. 2008. ATENFELDER, Srgio, Matemtica Financeira para todos os concursos: com todas as questes comentadas. Rio de Janeiro. Elsevier, 2007. BARROS, Dimas Monteiro de, Raciocnio lgico, matemtico e quantitativo. So Paulo. Novas Conquistas, 2001. BARROS, Dimas Monteiro de, Lgica para concursos. Araatuba. So Paulo. Novas Conquistas, 2005. BARROS, Dimas Monteiro de, Enigmas, desafios, paradoxos e outros divertimentos lgicos e matemticos. Araatuba. So Paulo. Editora MB, 2009. CARVALHO FILHO, Srgio de, Estatstica Bsica para concursos: teoria e 150 questes. Niteri/RJ. Impetus, 2004. CESAR, Benjamim, Matemtica Financeira: teoria e 640 questes. 5a Edio. Rio de Janeiro. Impetus, 2004. DEWDNEY, A. K., 20.000 Lguas Matemticas: um passeio pelo misterioso mundo dos nmeros. Traduo: Vera Ribeiro; Reviso: Vitor Tinoco. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 2000. DOLCE, Osvaldo, Fundamentos da Matemtica Elementar. 9: Geometria Plana/ Dolce Osvaldo, Jos Nicolau Pompeo. 8a Edio. So Paulo. Atual, 2005. DOXIADIS, Apstolos, Tio Petros e a conjectura de Goldbach: um romance sobre os desafios da Matemtica. Traduo: Cristiane Gomes de Riba. So Paulo. Ed. 34, 2001. DOWNING, Douglas, Estatstica Aplicada/Douglas Downing, Jeffrey Clark. Traduo: Alfredo Alves de Faria. 2a Edio. So Paulo. Saraiva, 2006. GUEDJ, Denis, O teorema do papagaio. Traduo: Eduardo Brando. So Paulo. Companhia das Letras, 1999. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemtica Elementar. 1: Conjuntos, Funes/ Gelson Iezzi, Carlos Murakami. 8a Edio. So Paulo. Atual, 2004.

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    IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemtica Elementar. 3: Trigonometria/ Gelson Iezzi. 8a Edio. So Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemtica Elementar. 4: Seqncias, Matrizes, Determinantes, Sistemas/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan. 7a Edio. So Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemtica Elementar. 6: Complexos, Polinmios, Equaes/Gelson Iezzi. 7a Edio. So Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemtica Elementar. 11: Matemtica Comercial, Matemtica Financeira, Estatstica Descritiva/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan, David Mauro Degenszajn. 1a Edio. So Paulo. Atual, 2004. MORGADO, Augusto Csar, Raciocnio Lgico-Quantitativo: teoria, questes resolvidas, questes de concursos e mais de 850 questes/Augusto Csar Morgado, Benjamim Csar de Azevedo Costa. 4a Edio. Rio de Janeiro. Elsevier, 2009. NORBIM, Fernando Dalvi, Raciocnio Lgico Descomplicado: Mais de 400 questes resolvidas, comentadas e com gabarito oficial. Rio de Janeiro. Editora Cincia Moderna Ltda, 2009. Enrique, Raciocnio Lgico: voc consegue aprender. Rio de Janeiro. Elsevier, 2005. SINGH, Simon, O ltimo Teorema de Fermat: a histria do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos. Traduo: Jorge Luiz Calife; 7a Edio. Rio de Janeiro. Record, 2000. SINGH, Simon, O livro dos cdigos. Traduo: Jorge Luiz Calife; 7a Edio. Rio de Janeiro. Record, 2001. STEWART, Ian, Ser que Deus joga dados? Traduo: Maria Luiza X. de A. Borges; Reviso: Ildeu de Castro Moreira. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 1991. TAHAN, Malba, 1895-1974, O homem que calculava/Malba Tahan. 44a Edio. Rio de Janeiro. Record, 1997.

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    Aula 1 - Questes Comentadas e Resolvidas Sinais, Fraes, Decimais. Expoentes e Radicais. Fatorao. Aplicaes da lgebra Equaes e Inequaes Como falamos na aula demonstrativa, vamos ver questes de vrias bancas. Afinal, o conceito matemtico o mesmo. A ideia deixar voc bem preparado para resolver quaisquer questes. Como complemento a esse curso de exerccios, indicamos o nosso livro, que j est venda nas melhores livrarias do pas: Raciocnio Lgico, incluindo Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica Editora Mtodo Moraes Junior e Alexandre Lima 1a Edio Abril/2011. (Assistente em Administrao-FUB-2010-Cespe) 1 Considere que os preos de venda de dois veculos sejam inversamente proporcionais aos seus tempos de uso e diretamente proporcionais aos seus rendimentos, expressos em km/L, e que o primeiro, com trs anos e seis meses de uso, tenha sido vendido por R$ 40.000,00. Nessa situao, se o

    segundo tiver trs anos e oito meses de uso e se o seu rendimento for 34

    do

    rendimento do primeiro, ento esse segundo veculo dever ser vendido por menos de R$ 30.000,00. Resoluo Para que possamos resolver este item, temos que entender dois conceitos: inversamente proporcional e diretamente proporcional. Vamos l. Se A diretamente proporcional a B, conforme A aumenta, B tambm aumenta, ou, conforme A diminui B tambm diminui. No entendeu? Vamos ver um exemplo: Suponha que o preo de feijo aumenta quando o preo da gasolina aumenta e diminui quando o preo da gasolina diminui. Portanto, os preos do feijo e da gasolina so diretamente proporcionais. Se A inversamente proporcional a B, conforme A aumenta, B diminui, ou, conforme A diminui B aumenta. No entendeu? Vamos ver um exemplo: Suponha que o preo de feijo diminui quando o preo do arroz aumenta e aumenta quando o preo do arroz diminui. Portanto, os preos do feijo e do arroz so inversamente proporcionais.

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    Vamos ver exemplos numricos. Exemplo 1: Diretamente Proporcionais Preo do Feijo Preo da Gasolina

    R$ 2,00 R$ 1,00 R$ 4,00 R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 4,00

    Repare que o preo do feijo sempre duas vezes o valor do preo da gasolina. Portanto, se o preo da gasolina aumenta de R$ 2,00 para R$ 4,00, o preo do feijo tambm aumenta de R$ 4,00 para R$ 8,00. Por outro lado, se o preo da gasolina diminui de R$ 2,00 para R$ 1,00, o preo do feijo tambm diminui de R$ 4,00 para R$ 2,00. Nesse caso, poderamos deduzir a seguinte frmula para os preos diretamente proporcionais: Preo do Feijo = 2 x Preo da Gasolina Exemplo 2: Inversamente Proporcionais Preo do Feijo Preo do Arroz

    R$ 4,00 R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 2,00 R$ 1,00 R$ 4,00

    Repare que se o preo do arroz aumenta de R$ 1,00 para R$ 2,00, o preo do feijo diminui de R$ 4,00 para R$ 2,00. Por outro lado, se o preo do arroz diminui de R$ 4,00 para R$ 2,00, o preo do feijo aumenta de R$ 1,00 para R$ 2,00. Nesse caso, poderamos deduzir a seguinte frmula para os preos inversamente proporcionais: Preo do Feijo = 4/Preo do Arroz Generalizando, teramos: I Diretamente proporcionais: A = k . B II Inversamente proporcionais: A = k/B Onde k a constante de proporcionalidade entre A e B.

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    E a? Pronto para resolver a questo? Vamos analis-la: I - Considere que os preos de venda de dois veculos... Dessa primeira parte, podemos retirar o seguinte: temos dois veculos, cada um com seu preo de venda. Veculo 1 Preo de Venda 1 = PV1 Veculo 2 Preo de Venda 1 = PV2 Utilizamos PV1 e PV2 apenas para facilitar e simplificar a identificao. II - Considere que os preos de venda de dois veculos sejam inversamente proporcionais aos seus tempos de uso... Ou seja, os preos de vendas dos veculos, definidos por ns como PV1 e PV2, so inversamente proporcionais aos seus tempos de uso. Vamos chamar os tempos de uso da seguinte maneira: Tempo de Uso do Veculo 1 = T1 Tempo de Uso do Veculo 2 = T2 Portanto, teremos a primeira relao:

    11

    kPVT

    =

    22

    kPVT

    =

    III - Considere que os preos de venda de dois veculos sejam diretamente proporcionais aos seus rendimentos, expressos em km/L... Ou seja, os preos de vendas dos veculos, definidos por ns como PV1 e PV2, so diretamente proporcionais aos seus rendimentos (em km/L), onde: km = quilmetro L = litro km/L = quilmetro por litro Vamos chamar os rendimentos da seguinte maneira: Rendimento do Veculo 1 = R1 Rendimento do Veculo 2 = R2

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    Portanto, teremos a segunda relao:

    1 1.PV k R=

    2 2.PV k R= Juntando as relaes, teramos:

    1 11

    kPV RT

    = i (I)

    2 22

    kPV RT

    = i (II)

    Se dividirmos (I) por (II), teramos (o objetivo dessa diviso eliminar a constante de proporcionalidade):

    1

    1 1

    22

    2

    k RPV T

    k RPVT

    =

    1

    1 1

    22

    2

    RPV T

    RPVT

    =

    Aqui, precisamos lembrar que a diviso de uma frao por outra equivale a multiplicao da frao do numerador pelo inverso da frao do denominador. No entendeu? Veja:

    Frao: min

    a numeradorb deno ador=

    Exemplo: 1

    1 5 1 5 534 3 4 3 4 125

    = = =

    Frao do numerador = 13

    Frao do denominador = 45

    Inverso da Frao do Denominador = 54

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    Voltando a nossa frmula, teramos:

    1

    1 1

    22

    2

    RPV T

    RPVT

    = 1 1 22 1 2

    PV R TPV T R

    = 1 1 22 2 1

    PV R TPV R T

    =

    Pronto! Chegamos a nossa relao para resolver a questo: 1 1 2

    2 2 1

    PV R TPV R T

    =

    Agora, vamos extrair os valores numricos! IV - ... e que o primeiro, com trs anos e seis meses de uso, tenha sido vendido por R$ 40.000,00. Portanto, o veculo 1 possui tempo de uso de trs anos e seis meses e foi vendido por R$ 40.000,00. Preo de Venda 1 = PV1 = R$ 40.000,00 Tempo de Uso do Veculo 1 = T1 = 3 anos e 6 meses Vamos transformar o tempo de uso em meses. Sabemos que 12 meses corresponde a 1 ano. Portanto, teremos: T1 = 3 anos x 12 meses + 6 meses = 36 + 6 = 42 meses At aqui, temos o seguinte:

    Relao: 1 1 2

    2 2 1

    PV R TPV R T

    =

    PV1 = R$ 40.000,00 T1 = 42 meses V - Se o segundo tiver trs anos e oito meses de uso e se o seu rendimento for 34

    do rendimento do primeiro, ento esse segundo veculo dever ser vendido

    por menos de R$ 30.000,00. Tempo de Uso do Veculo 2 = T2 = 3 anos e 8 meses T2 = 3 anos x 12 meses + 8 meses = 36 + 8 = 44 meses

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    Alm disso, o item informa que o rendimento do segundo veculo 34

    do

    rendimento do primeiro veculo:

    2 134

    R R=

    Agora, finalmente, temos todos os valores para resolver a questo:

    Relao: 1 1 2

    2 2 1

    PV R TPV R T

    = (I)

    PV1 = R$ 40.000,00 T1 = 42 meses T2 = 44 meses

    2 134

    R R=

    Substituindo todos os valores na relao (I):

    1 1 2

    2 2 1

    1

    21

    40.000 443 424

    PV R TPV R T

    RPV R

    =

    =

    2

    40.000 1 443 424

    PV =

    Repare que 134

    o inverso de 34

    . Portanto, igual a 43

    .

    2

    40.000 4 443 42PV

    =

    Como 44 e 42 so divisveis por 2, podemos dividir os dois nmeros por 2 que a relao no se altera.

    2

    40.000 4 223 21PV

    =

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    Repare que podemos dividir ambos os lados da relao por 4, que a igualdade no se altera:

    2

    40.000 4 224 3 4 21PV

    =

    2

    10.000 1 223 21PV

    =

    2

    10.000 223 21PV

    =

    Para achar o PV2 basta multiplicar em cruz(voc multiplica em cruz um lado pelo outro da igualdade, pois mais fcil para os clculos). Vejamos:

    2

    10.000 223 21PV

    =

    10.000 . 3 . 21 = PV2 . 22 30.000 . 21 = PV2 . 22 Repare que podemos dividir ambos os lados da relao por 22, que a igualdade no se altera:

    230.000 21 22

    22 22PV =

    PV2 = 30.000 . 2122

    Como 21 menor que 22, temos certeza que PV2 ser menor que R$

    30.000,00, tendo em vista que 2122

    menor que 1.

    GABARITO: Certo

    2 Na proporo 5 7 11x y z= = , sabe-se que 2x + y + 3z = 250. Nesse caso,

    correto afirmar que x + y + z < 110. Resoluo O item informa uma proporo e logo depois informa uma equao entre as variveis. Para resolv-lo, primeiramente, a partir da proporo, achamos as relaes entre as variveis x, y e z.

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    Depois, substitumos as relaes na equao dada. Vamos l: I Relaes entre as variveis x, y e z

    5 7 11x y z= =

    I.1 Relao entre x e y

    5 7x y=

    Vamos achar x em funo de y (tambm possvel achar y em funo de x, mas preferimos achar x em funo de y). Para isso, precisamos eliminar o 5 do denominador de x. Basta passar o 5 multiplicando para o outro lado da igualdade. No entendeu? Vejamos:

    5 7x y=

    Se multiplicarmos por 5 ambos os lados da igualdade, ela no se altera:

    5 55 7 5 7x y x y= =

    Simplificando o lado esquerdo da igualdade:

    55 55 7 7x y yx = =

    Ou seja, o mesmo que passarmos o 5 para o outro lado da igualdade multiplicando (seria multiplicar por metade de uma cruz risos somente para um lado). I.2 Relao entre as variveis y e z

    7 11y z=

    Para substituirmos na equao dada (2x + y + 3z = 250), temos que deixar duas variveis em funo de uma nica. J achamos a relao entre x e y. Agora, vamos calcular z em funo de y. Para isso, basta passar o 11 (denominador de z) para o outro lado da equao multiplicando.

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    J aprendemos como se faz acima. Por isso, faremos a conta diretamente:

    11117 11 7 7y z y yz= = =

    II Substituio das relaes na equao dada (2x + y + 3z = 250) Relaes:

    57yx =

    117yz =

    Substituindo as relaes na equao, teramos:

    2x + y + 3z = 250 2.57y

    + y + 3. 11

    7y

    = 250

    Repare que, do lado direito da equao, temos trs termos. Dois com denominador 7 e um com denominador 1 (o termo y). Portanto, vamos reduzir ao denominador comum. Para isso, temos que calcular o mnimo mltiplo comum. Epa, epa, epa, professores? Como calcularemos o mnimo mltiplo comum? Vejamos: O Mnimo Mltiplo Comum (mmc) de dois ou mais nmeros calculado utilizando o seguinte procedimento: I. Fazer a fatorao dos nmeros (em fatores primos), separadamente; e Para fazer uma fatorao em nmeros primos, voc deve pegar o nmero que deseja fatorar e efetuar a diviso pelos nmeros primos a comear do 2 (dois). Nmeros primos: so nmeros inteiros, maiores que o nmero 1 (um), que so divisveis apenas por eles mesmos e por 1 (um). Exemplos: 2, 3, 5, 7,... Se a diviso do nmero a ser fatorado pelo nmero primo no for exata (o resto da diviso for diferente de zero), voc deve dividi-lo pelo nmero primo seguinte (em ordem crescente), e assim por diante. A fatorao acaba quando o resultado da diviso por um nmero primo for 1 (um). No entendeu? Vamos ver um exemplo.

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    Exemplo: Fatorar o nmero 12. Passo 1: Dividir 12 pelo primeiro nmero primo (2) 12 dividido por 2 igual a 6 com resto 0 (zero). Portanto, 2 primeiro fator primo de 12. Passo 2: Pegar o resultado da diviso do passo 1 (podemos considerar que o nmero a ser fatorado agora o 6) e dividir ainda pelo primeiro nmero primo (2) 6 dividido por 2 igual a 3 com resto 0 (zero). Portanto, 2 o segundo fator primo de 12. Passo 3: Pegar o resultado da diviso do passo 2 (podemos considerar que o nmero a ser fatorado agora o 3) e dividir ainda pelo primeiro nmero primo (2) 3 dividido por 2 igual a 1 com resto 1 (um). Portanto, 2 no o terceiro fator primo de 12. Passo 4: Como o resultado da diviso do passo 3 foi diferente de zero, devemos utilizar o prximo nmero primo (em ordem crescente). No caso, ser o 3. Pegar o resultado da diviso do passo 2 (podemos considerar que o nmero a ser fatorado agora o 3) e dividir pelo prximo nmero primo (3) 3 dividido por 3 igual a 1 com resto 0 (zero). Portanto, 3 o terceiro fator primo de 12. Para facilitar, utilizamos a seguinte representao:

    12 2 6 2 3 1

    3

    12 : 2 = 6 6 : 2 = 3 3 : 3 = 1 Fatorao de 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 II. mmc = produto de todos os fatores comuns e no comuns elevados ao maior expoente. Exemplo: Calcule o mnimo mltiplo comum de 8 e 6.

    8 2 4 2 2 2 1

    Fatorao de 8 = 2 x 2 x 2 = 23

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    6 2 3 3 1

    Fatorao de 6 = 2 x 3 Para achar o mnimo mltiplo comum, teramos: Fatores comuns e no comuns: 8 = 23 6 = 2 x 3 Fator Comum = 2 Fator No Comum = 3 Maiores expoentes: Maior expoente de 2 = 3 Fator Comum elevado ao maior expoente = 23

    Maior expoente de 3 = 1 Fator No Comum = 31 = 3 mmc (8,6) = 23 x 3 = 24 No caso de nosso item mais simples, pois o mmc entre qualquer nmero e 1 o prprio nmero. Como temos que calcular o mmc entre 1 e 7, ele ser o prprio 7. Portanto, basta multiplicar e dividir o termo y por 7 (para que no altere a equao). Vejamos:

    2.57y

    + y + 3. 11

    7y

    = 250

    2.57y

    + y.77

    + 3. 11

    7y

    = 250

    Agora que o lado direito da equao est todo com o denominador 7 podemos fazer a conta:

    2 5 7 3 11 250

    7 7 7y y y + + =

    10 7 33 250

    7 7 7y y y+ + =

    10 7 33 250

    7y y y+ +

    =

    50 250

    7y=

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    Como os dois lados da igualdade so divisveis por 50, vamos fazer a simplificao: 50 50 1 1250 250

    7 7 50 50y y= =

    57y=

    Fazendo a nossa famosa multiplicao em cruz: y . 1 = 7 . 5 y =35 Ufa! Achamos y! Para achar x e z, basta substituir o valor de y nas relaes. Lets go! Lembre que 35 dividido por 7 igual 5!

    5 5 35 5 5 257 7yx x x x= = = =

    11 11 35 11 5 557 7yz z z z= = = =

    III Verificando se o item est certo ou errado De acordo com o item Nesse caso, correto afirmar que x + y + z < 110. Como j temos os valores de x, y e z, basta calcular a soma: x + y + z = 35 + 25 + 55 = 115 Como 115 maior que 110, o item est errado. GABARITO: Errado (Administrativa-MPS-2010-Cespe) A soma dos salrios de 3 empregados de uma empresa igual a R$ 3.500,00 e esses salrios so nmeros diretamente proporcionais a 7, 11 e 17. Nesse caso, correto afirmar que 3 o valor do salrio intermedirio igual a R$ 1.100,00. Resoluo Vamos interpretar a questo. I - A soma dos salrios de 3 empregados de uma empresa igual a R$ 3.500,00...

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    Vamos identificar os salrios dos empregados conforme abaixo: Salrio do Empregado 1 = S1 Salrio do Empregado 2 = S2 Salrio do Empregado 3 = S3 S1 + S2 + S3 = 3.500 II - ... e esses salrios so nmeros diretamente proporcionais a 7, 11 e 17. Logo, podemos tirar as seguintes relaes:

    S1 = k . 7 Basta dividir por 7 os dois lados da igualdade 17Sk =

    S2 = k . 11 Basta dividir por 11 os dois lados da igualdade 211Sk =

    S3 = k . 17 Basta dividir por 17 os dois lados da igualdade 317Sk =

    Ou, de forma direta (eliminando a constante de proporcionalidade k): S1 + S2 + S3 = 3.500

    31 2

    7 11 17SS S

    = =

    III Clculo do salrio intermedirio (S2): Repare que temos a soma dos salrios e as relaes entre eles. Portanto, basta achar, por exemplo, S1 e S3 em funo de S2 (que o salrio intermedirio solicitado no item) e substituir na equao da soma dos salrios. Vamos l: III.1 Relao entre S1 e S2:

    1 2

    7 11S S

    =

    Multiplicando por 7 ambos os lados da igualdade, o valor no se altera:

    1 2 21

    77 77 11 11S S SS = =

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    III.2 Relao entre S2 e S3:

    32

    11 17SS

    =

    Multiplicando por 17 ambos os lados da igualdade, o valor no se altera:

    32 23

    1717 1711 17 11

    SS SS = =

    III.3 Substituindo as relaes obtidas na equao da soma dos salrios: S1 + S2 + S3 = 3.500

    21

    711

    SS =

    23

    1711

    SS =

    S1 + S2 + S3 = 3.500 2 227. 17. 3.50011 11S SS+ + =

    Temos trs termos, dois com denominador 11 e um com denominador 1. Portanto, o mnimo mltiplo comum (m.m.c) entre 11 e 1 11. Lembre que o m.m.c entre um nmero N e 1 N. Portanto, teramos:

    2 22

    2 22

    2 2 2

    2

    7. 17. 3.50011 11

    7. 17.11 3.50011 11 11

    7. 11. 17. 3.50011

    35. 3.50011

    S SS

    S SS

    S S S

    S

    + + =

    + + =

    + + =

    =

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    Repare que podemos dividir os dois lados da equao por 35:

    2

    2

    2

    35. 3.50011

    35. 1 13.50011 35 35

    10011

    S

    S

    S

    =

    =

    =

    Multiplicando os dois lados da igualdade por 11:

    2 22100 11 100 11 1.10011 11

    S S S= = =

    GABARITO: Certo 4 a diferena entre o maior salrio e o menor salrio superior a R$ 1.200,00. Resoluo Para calcular a diferena entre o maior salrio (S3) e o menor salrio (S1), basta fazer a diferena das relaes de S3 com S2 e de S1 com S3.

    21

    711

    SS =

    23

    1711

    SS =

    S3 S1 = 2 2 217 7 10

    11 11 11S S S

    =

    J calculamos S2 no item anterior: S2 = R$ 1.100,00. Substituindo S2 no resultado obtido acima:

    S3 S1 = 210 10 1.100 10 100 1.000

    11 11S

    = = =

    Portanto, S3 S2 = R$ 1.000,00. GABARITO: Errado

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    (Polcia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que um pai pretenda distribuir a quantia de R$ 4.100,00 a 3 filhos, de 11, 13 e 17 anos de idade, em valores diretamente proporcionais s suas idades, julgue os itens a seguir. 5 O filho mais novo receber uma quantia superior a R$ 1.150,00. Resoluo Mais uma questo de proporcionalidade. Vamos interpretar: I - Considerando que um pai pretenda distribuir a quantia de R$ 4.100,00 ... Quantia Distribuda = Q = R$ 4.100,00 II - ...a 3 filhos, de 11, 13 e 17 anos de idade, ... Idade do Filho Mais Novo = F1 = 11 anos Idade do Filho do Meio = F2 = 13 anos Idade do Filho Mais Velho = F3 = 17 anos III - ...em valores diretamente proporcionais s suas idades. Valor Recebido pelo Filho Mais Novo = V1 Valor Recebido pelo Filho do Meio = V2 Valor Recebido pelo Filho Mais Velho = V3 Portanto, temos que: Q = V1 + V2 + V3 = R$ 4.100,00 Repare que os valores recebidos so diretamente proporcionais s idades dos filhos. Portanto, teramos: F1 = k . V1 F2 = k . V2 F3 = k . V3 Onde k a constante de proporcionalidade. Fazendo diretamente (agora, j podemos fazer assim e na hora da prova tambm faa direto):

    31 2

    1 2 3

    FF FV V V

    = =

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    Substituindo os valores das idades: F1 = 11 anos F2 = 13 anos F3 = 17 anos

    1 2 3

    11 13 17V V V

    = =

    IV - O item deseja saber a quantia recebida pelo filho mais novo (V1). Portanto, vamos determinar as relaes entre V1 e V2 e entre V1 e V3: IV.1 Relao entre V1 e V2:

    1 2

    11 13V V

    =

    Multiplicando em cruz, teramos: 11 x V2 = 13 x V1 Dividindo os dois lados da igualdade por 11 (para deixar V2 isolado):

    2 1

    12

    1 111 1311 1113

    11

    V V

    VV

    =

    =

    IV.2 Relao entre V1 e V3:

    1 3

    11 17V V

    =

    Multiplicando em cruz, teramos: 11 x V3 = 17 x V2 Dividindo os dois lados da igualdade por 11 (para deixar V3 isolado):

    3 1

    13

    1 111 1711 1117

    11

    V V

    VV

    =

    =

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    IV.3 Clculo de V1: V1 + V2 + V3 = 4.100

    12

    1311

    VV =

    1

    317

    11VV =

    Substituio as relaes na equao:

    V1 + V2 + V3 = 4.100 1 1113 17 4.100

    11 11V VV + + =

    Temos trs termos, dois com denominador 11 e um com denominador 1. Portanto, o mnimo mltiplo comum (m.m.c) entre 11 e 1 11. Lembre que o m.m.c entre um nmero N e 1 N. Portanto, teramos:

    1 11

    1 1 1

    1

    13 1711 4.10011 11 11

    11 13 17 4.10011

    41. 4.10011

    V VV

    V V V

    V

    + + =

    + + =

    =

    Dividindo os dois lados da equao por 41:

    1

    1

    1

    41. 4.10011

    41. 1 14.10011 41 41

    10011

    V

    V

    V

    =

    =

    =

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    Multiplicando por 11 ambos os lados da igualdade:

    1

    1

    1

    10011

    11 100 1111

    1.100

    V

    V

    V

    =

    =

    =

    GABARITO: Errado 6 Os 2 filhos mais velhos recebero, juntos, uma quantia inferior a R$ 2.900,00. Resoluo Como calculamos no item anterior, o filho mais novo recebeu R$ 1.100,00. Tambm sabemos que a quantia total que o pai deu aos filhos foi de R$ 4.100,00. Portanto, os dois filhos mais velhos receberam a diferena entre o valor total que o pai deu aos filhos e o valor que filho mais novo recebeu. Vamos aos clculos: V1 + V2 + V3 = 4.100 V1 = 1.100 1.100 + V2 + V3 = 4.100 V2 + V3 = 4.100 1.100 V2 + V3 = 3.000 GABARITO: Errado Uma equipe composta por 12 garis foi contratada para recolher o lixo deixado no local onde se realizou um evento. Sabe-se que cada gari dessa equipe capaz de recolher 4 kg de lixo em um minuto. Com base nessas informaes e assumindo que todos os garis da equipe trabalhem no ritmo descrito anteriormente e que sejam recolhidos 3.600 kg de lixo, julgue os itens subsequentes. 7 Em 15 minutos de trabalho, 6 garis dessa equipe recolheriam 10% do lixo. Resoluo Primeiramente, vamos estudar o conceito de regra de trs simples: Regra de Trs Simples: formada por uma igualdade entre duas razes (proporo). Exemplo: Com 10 kg de farinha possvel fazer 100 pes. Quantos quilogramas de farinha so necessrios para produzir 5.000 pes?

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    As grandezas quantidade de farinha e quantidades de pes so diretamente proporcionais, pois quanto maior a quantidade de pes, maior a quantidade de farinha. 10 kg de farinha ===== 100 pes x ===== 5.000 pes 100.x = 10 . 5.000 x = 10 . 50 = 500 kg de farinha Vamos utilizar somente o nosso raciocnio para resolver o item: I - Uma equipe composta por 12 garis foi contratada para recolher o lixo deixado no local onde se realizou um evento. Sabe-se que cada gari dessa equipe capaz de recolher 4 kg de lixo em um minuto. As informaes importantes so: - Total de garis na equipe = 12 - Capacidade de recolhimento de lixo de um gari = 4 kg/minuto kg = quilograma II - Com base nessas informaes e assumindo que todos os garis da equipe trabalhem no ritmo descrito anteriormente e que sejam recolhidos 3.600 kg de lixo, julgue os itens subsequentes. As informaes importantes so: - Todos os garis trabalham no mesmo ritmo (capacidade de recolhimento de 4 kg por minuto). - Total de lixo a ser recolhido = 3.600 kg. III - Em 15 minutos de trabalho, 6 garis dessa equipe recolheriam qual percentual de lixo (em relao ao lixo total)? Se 1 gari recolhe 4 kg de lixo por minuto, 6 garis recolheriam quantos kg? Basta fazer uma regra de trs simples. Vejamos: 1 gari === 4 kg/minuto 6 garis === X X = 6 x 4 = 24 kg/minuto Portanto, 6 garis recolheriam 24 kg/minuto. E quanto esses mesmos 6 garis recolheriam em 15 minutos? A outra regra de trs. Vejamos: 24 kg === 1 minuto Y === 15 minutos Y = 24 x 15 = 360 kg

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    Finalmente, qual seria o percentual recolhido em relao ao total de lixo? Total de lixo a ser recolhido = T = 3.600 kg Total de lixo recolhido por 6 garis em 15 minutos = R = 360 kg Percentual de Lixo que foi recolhido = P

    360 13.600 10

    RPT

    = = =

    Repare que dividimos a frao, no numerador e no denominador, por 360 e

    chegamos frao de um dcimo 1

    10

    .

    Mas o item fala em percentual. Como acharemos o valor? Repare que a palavra percentual, significa por cento ou por cem. Portanto, devemos achar uma frao, cujo denominador seja 100. Como j temos 10 no denominador, basta multiplicar por 10. Para no alterar a frao, multiplicamos o numerador e o denominador por 10. Vejamos:

    Percentual =1 10 10.

    10 10 100=

    Ou seja, teramos 10 por cento (por cem) do lixo recolhido. Podemos

    representar o percentual (por cento ou por cem) como %.

    Percentual = 10%

    GABARITO: Certo 8 Para recolher 800 kg de lixo em 20 minutos, sero necessrios 10 garis dessa equipe. Resoluo Quantos garis seriam necessrios para recolher 800 kg em 20 minutos? Primeiramente, vamos verificar quanto lixo 1 gari recolheria em 20 minutos: Se 1 gari recolhe 4 kg de lixo por minuto, 6 garis recolheriam quantos kg? Basta fazer uma regra de trs simples. Vejamos: 4 kg === 1 minuto X === 20 minutos X = 4 x 20 = 80 kg

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    Ou seja, 1 gari recolhe 80 kg de lixo em 20 minutos. Agora ficou fcil! Como queremos saber quantos garis recolhem 800 kg, para multiplicar 80 kg por 10, isto , 10 garis. Ficou em dvida? Ento vamos calcular: 1 gari === 80 kg (em 20 minutos) Y === 800 kg (em 20 minutos)

    80 x Y = 800 Y = 80080

    Y = 10 garis

    GABARITO: Certo Considerando que a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8 anos, que essas idades, em anos, sejam medidas por nmeros inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade, julgue os itens a seguir. 9 Se a diferena entre as idades dos meninos for 2 anos, ento o produto das medidas dessas idades, em anos, ser inferior a 14. Resoluo Vamos interpretar a questo: I - Considerando que a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8 anos, ... Vamos nomear as idades da seguinte forma: Idade do Menino 1 = I1 Idade do Menino 2 = I2 Portanto, temos a nossa primeira equao: I1 + I2 = 8 II - ... que essas idades, em anos, sejam medidas por nmeros inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade. Logo, as idades so nmeros inteiros. Vamos estudar o que so nmeros inteiros. Nmeros Inteiros: englobam os nmeros naturais (inteiros positivos) e seus opostos (inteiros negativos), ou seja, so conhecidos como nmeros inteiros positivos e negativos, tais como: ...-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...

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    Em relao ao item, temos que as idades I1 e I2 so nmeros inteiros e que so maiores ou iguais a 2 anos (cada menino tem, pelo menos, 2 anos de idade). III - De acordo com o item a ser julgado: Se a diferena entre as idades dos meninos for 2 anos, ento o produto das medidas dessas idades, em anos, ser inferior a 14. Vamos verificar se est certo ou errdo. III.1 - Se a diferena entre as idades dos meninos for 2 anos... Vamos considerar que a idade do menino 2 maior (tanto faz para a resoluo considerar uma ou outra maior). Portanto, teramos: I2 I1 = 2 (A) Alm disso, sabemos, da primeira equao, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas equaes e duas variveis. Para resolv-lo, basta determinar a relao entre I1 e I2 em uma equao e substituir em outra. I2 I1 = 2 I2 = 2 + I1 (C) Substituindo o valor de I2 na equao (A): I1 + I2 = 8 I1 + 2 + I1 = 8 2.I1 = 8 2 2.I1 = 6

    I1 = 62

    I1 = 3

    Substituindo o valor de I1 na relao (C): I2 = 2 + I1 I2 = 2 + 3 I2 = 5 III.2 - ... ento o produto das medidas dessas idades, em anos, ser inferior a 14. Vamos calcular o produto das idades: I1 . I2 = 3 x 5 = 15, que superior a 14. GABARITO: Errado 10 Se a diferena entre as idades dos meninos for maior que 3 anos, ento um dos meninos ter idade superior a 5 anos.

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    Resoluo Aqui, no h como sairmos calculando as idades para diferena igual a 3, 4, 5, etc. Se fizermos dessa maneira, precisaramos de uma prova com 48 horas de durao. Risos. Repare que o item fala que se diferena entre as idades dos meninos for maior que 3 anos, ento um dos meninos ter idade superior a 5 anos. Ora, quando calculamos, no item anterior, para diferena entre as idades dos meninos igual a 2 anos, j encontramos um menino com 5 anos de idade. Portanto, basta realizar os mesmos clculos, agora com diferena de idade igual a 4 anos (que maior que 3). Se j encontrarmos um menino com idade superior a 5 anos, ento o item estar correto. Vejamos: I2 I1 = 4 (A) Alm disso, sabemos, da primeira equao, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas equaes e duas variveis. Para resolv-lo, basta determinar a relao entre I1 e I2 em uma equao e substituir em outra. I2 I1 = 4 I2 = 4 + I1 (C) Substituindo o valor de I2 na equao (A): I1 + I2 = 8 I1 + 4 + I1 = 8 2.I1 = 8 4 2.I1 = 4

    I1 = 42

    I1 = 2

    Substituindo o valor de I1 na relao (C): I2 = 4 + I1 I2 = 4 + 2 I2 = 6 (que maior que 5 anos) Ainda acha que no vale para todos os casos. Ento, vamos fazer mais dois casos: Caso 1: Diferena entre as idades igual a 5 anos I2 I1 = 5 (A) Alm disso, sabemos, da primeira equao, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas equaes e duas variveis. Para resolv-lo, basta determinar a relao entre I1 e I2 em uma equao e substituir em outra. I2 I1 = 5 I2 = 5 + I1 (C)

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    Substituindo o valor de I2 na equao (A): I1 + I2 = 8 I1 + 5 + I1 = 8 2.I1 = 8 5 2.I1 = 3

    I1 = 32

    I1 = 1,5 (no serve, pois, de acordo as definies, as idades so

    nmeros inteiros). Caso 2: Diferena entre as idades igual a 6 anos I2 I1 = 6 (A) Alm disso, sabemos, da primeira equao, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas equaes e duas variveis. Para resolv-lo, basta determinar a relao entre I1 e I2 em uma equao e substituir em outra. I2 I1 = 6 I2 = 6 + I1 (C) Substituindo o valor de I2 na equao (A): I1 + I2 = 8 I1 + 6 + I1 = 8 2.I1 = 8 6 2.I1 = 2

    I1 = 22

    I1 = 1 (no serve, pois, de acordo as definies, as idades

    devem ser superiores a 2). Portanto, a nica opo possvel, para diferena entre as idades maior que 3, seria essa diferena igual a 4. Como vimos, considerando a diferena igual a 4, um dos meninos possui idade de 6 anos. GABARITO: Certo (Professor-Secretaria de Educao do Estado da Bahia-2010-Cespe) 11. Em determinado estado da Federao, o sindicato local dos professores das escolas particulares negociou com os patres e conseguiu um reajuste total dos salrios em aproximadamente 28%. Para que cada professor calculasse quanto passaria a ganhar, foram dadas as seguintes instrues: calcular X = (carga horria mensal) (valor da hora-aula) 4,5; calcular o descanso semanal remunerado dado por Y = X 6; calcular a regncia de classe, que 2% de (X + Y); calcular o adicional noturno (somente para aqueles que tivessem atuao aps as 22 h), dado por N = Z + 2% de Z, em que Z = 20% do valor da hora-aula multiplicado pela quantidade de horas noturnas trabalhadas e pelo fator 5,25. Desse modo, o salrio do professor foi calculado por X + Y + regncia de classe + adicional noturno. Nessa situao hipottica, considerando-se que um professor de escola particular do estado em questo trabalhe em uma escola cuja carga horria mensal seja de 50 horas e que pague R$ 25,60 por hora-aula, se, em determinado ms, esse professor trabalhar 3 horas aps as 22 h, ento, de acordo com as instrues

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    acima citadas, o seu salrio bruto nesse ms, calculado com duas casas decimais, ser de A R$ 8.144,64. B R$ 6.856,01. C R$ 6.936,65. D R$ 8.065,61. Resoluo No se assuste com o tamanho do enunciado. Vamos interpret-lo com calma. I - Em determinado estado da Federao, o sindicato local dos professores das escolas particulares negociou com os patres e conseguiu um reajuste total dos salrios em aproximadamente 28%. Primeira informao: Reajuste Total de Salrios dos Professores = 28% (aproximadamente) II - Para que cada professor calculasse quanto passaria a ganhar, foram dadas as seguintes instrues: calcular X = (carga horria mensal) (valor da hora-aula) 4,5; ... Primeira frmula para o clculo do novo salrio (Clculo de X): X = (Carga Horria Mensal) x (Valor da Hora-Aula) x 4,5 III - ...calcular o descanso semanal remunerado dado por Y = X 6; ... Segunda frmula para o clculo do novo salrio (Y = descanso semanal remunerado): Y = X 6 IV - ...calcular a regncia de classe, que 2% de (X + Y); ... Terceira frmula para o clculo do novo salrio: Regncia de Classe = 2% x (X + Y) V - ...calcular o adicional noturno (somente para aqueles que tivessem atuao aps as 22 h), dado por N = Z + 2% de Z, em que Z = 20% do valor da hora-aula multiplicado pela quantidade de horas noturnas trabalhadas e pelo fator 5,25. Quarta frmula para o clculo do novo salrio (valor do adicional noturno somente para aqueles que trabalharem aps as 22 horas): N = Z + 2% x Z Z = 20% x Valor da Hora-Aula x Horas Noturnas Trabalhadas x 5,25

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    VI - Desse modo, o salrio do professor foi calculado por X + Y + regncia de classe + adicional noturno. Salrio do Professor = X + Y + Regncia de Classe + Adicional Noturno Onde, X = (Carga Horria Mensal) x (Valor da Hora-Aula) x 4,5 Y = X 6 Regncia de Classe = 2% x (X + Y) Adicional Noturno = N = Z + 2% x Z Z = 20% x Valor da Hora-Aula x Horas Noturnas Trabalhadas x 5,25 VII - Nessa situao hipottica, considerando-se que um professor de escola particular do estado em questo trabalhe em uma escola cuja carga horria mensal seja de 50 horas e que pague R$ 25,60 por hora-aula, se, em determinado ms, esse professor trabalhar 3 horas aps as 22 h, ento, de acordo com as instrues acima citadas, o seu salrio bruto nesse ms, calculado com duas casas decimais, ser de: Devemos considerar os seguintes dados para o clculo do salrio de determinado professor: Carga Horria Mensal = 50 horas Valor da Hora-Aula = R$ 25,60 Horas Noturnas Trabalhadas = 3 horas VII.1 Clculo do adicional noturno: Adicional Noturno = N = Z + 2% Z = 20% x Valor da Hora-Aula x Horas Noturnas Trabalhadas x 5,25 Z = 20% x R$ 25,60 x 3 horas x 5,25 = 20% x 403,20 Lembre-se que 20% , em portugus, 20 por cento ou 20 por cem. Portanto,

    pode ser representado por 20

    100.

    Z = 20

    100 x 403,20 =

    210

    x 403,20 = 2 x 40,32 = 80,64

    Adicional Noturno = N = Z + 2% x Z Aqui, como temos Z nos dois termos a direita da equao, podemos coloc-lo em evidncia. Vejamos: N = Z + 2% x Z = Z x (1 + 2%)

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    Sabemos que 2% igual a 2

    100, que igual a 0,02. Est em dvida? Vamos

    relembrar alguns conceitos: Decimais: so fraes especiais, tendo em vista que seus denominadores sero sempre mltiplos de 10 (10, 100, 1.000, 10.000, etc.), tambm chamados potncias de 10. As potncias de 10 so: 10 = 101 10 x 10 = 102 = 100 10 x 10 x 10 = 103 = 1.000 10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105 = 100.000 (...) Repare que o expoente do 10 indica o nmero de zeros do resultado, colocando sempre o 1 na frente. Exemplo: 105 = 100.000 (5 zeros) O nmero de casas decimais direita da vrgula indica o nmero de zeros da potncia de 10 que ser escrita no denominador. Exemplos: A) 0,45 H dois nmeros aps a vrgula (4 e 5). Portanto, a potncia de 10 escrita no denominador ser 102 = 100.

    0,45 = 45

    100

    B) 0,451 H trs nmeros aps a vrgula (4, 5 e 1). Portanto, a potncia de 10 escrita no denominador ser 103 = 1.000.

    0,451 = 451

    1.000

    C) 23,13335 H cinco nmeros aps a vrgula (1, 3, 3, 3 e 5). Portanto, a potncia de 10 escrita no denominador ser 105 = 100.000.

    23,13335 = 2.313.335100.000

    D) 0,25 H dois nmeros aps a vrgula (2 e 5). Portanto, a potncia de 10 escrita no denominador ser 102 = 100.

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    0,25 = 25 1

    100 4= repare que possvel simplificar o 25 do numerador com o

    100 do denominador, dividindo ambos por 25. Entendeu agora? Ento vamos em frente. N = Z x (1 + 2%) = Z x (1 + 0,02) = 1,02 x Z = 1,02 x 80,64 = 82,2528 Como a questo pediu at a segunda casa decimal: N = 82,25 VII.2 Clculo do X: X = (Carga Horria Mensal) x (Valor da Hora-Aula) x 4,5 X = 50 horas x R$ 25,60 x 4,5 = 5.760 VII.3 Clculo do Y: Y = X 6 Y = 5.760 6 = 960 VII.4 Clculo da Regncia de Classe: Regncia de Classe = 2% x (X + Y) Regncia de Classe = 0,02 x (5.760 + 960) Regncia de Classe = 0,02 x 6.720 Regncia de Classe = 134,40 VII.5 Clculo do Salrio do Professor: Salrio do Professor = X + Y + Regncia de Classe + Adicional Noturno Salrio do Professor = 5.760 + 960 + 134,40 + 82,25 Salrio do Professor = R$ 6.936,65 GABARITO: C 12. Em certo ano, determinada cooperativa conseguiu vender a caixa de laranja ao preo de R$ 6,00 na safra e de R$ 13,00 na entressafra, tendo arrecadado um total de R$ 880.000,00 pela venda de 100 mil dessas caixas. Nesse caso, denominando-se por x e y, respectivamente, as quantidades de caixas vendidas pela cooperativa na safra e na entressafra, as equaes que modelam adequadamente a situao descrita so x + y = 100.000 e A 6y +13x = 880.000. B 6x +13y = 880. C 6x +13y = 880.000. D 6y +13x = 880.

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    Resoluo Repare que x a quantidade de caixas de laranja vendidas na safra e que y a quantidade de caixas de laranja vendidas na entressafra. O preo da caixa de laranja na safra foi de R$ 6,00 e na entressafra foi de R$ 13,00. Sabe-se que: x + y = 100.000 (foram vendidas, ao todo, 100.000 caixas de laranja). Alm disso, sabe-se que o valor total arrecadado foi de R$ 880.000,00. Esse valor formado pelo total de caixas de laranja vendidas na safra (x) multiplicado pelo preo da caixa na safra (R$ 6,00), somado ao total de caixas de laranja vendidas na entressafra (y) multiplicado pelo preo da caixa na entressafra (R$ 13,00). Vejamos: 6.x + 13.y = 880.000 GABARITO: C 13. Em uma de suas viagens a Braslia, Carlos, que mora em Barreiras-BA, leu o seguinte anncio em determinado jornal: Vendo carro muito econmico a gasolina. 13 km/L dentro do permetro urbano; 15 km/L fora. Tanque: 50 L Carlos comprou o carro anunciado e decidiu dirigi-lo at Barreiras. No incio da viagem, ele abasteceu o tanque do veculo com gasolina at o limite mximo. Aps percorrer 280 km da viagem, Carlos parou em outro posto de combustvel e reabasteceu novamente o tanque com gasolina, at o limite mximo. Depois disso, Carlos viajou sem parar at Barreiras, circulando apenas em rodovias fora do permetro urbano dos municpios por onde passou, percorrendo o total de 670 km desde sua sada de Braslia. Considerando-se verdadeiras as informaes do anncio de venda do carro, a quantidade mxima de quilmetros que Carlos pode percorrer nesse veculo no permetro urbano da cidade de Barreiras, sem realizar novo abastecimento de combustvel, igual a A 572. B 312. C 338. D 360.

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    Resoluo Vamos interpretar a questo. I - Em uma de suas viagens a Braslia, Carlos, que mora em Barreiras-BA, leu o seguinte anncio em determinado jornal: Vendo carro muito econmico a gasolina. 13 km/L dentro do permetro urbano; 15 km/L fora. Tanque: 50 L Carlos comprou o carro anunciado e decidiu dirigi-lo at Barreiras. Portanto, temos duas informaes importantes sobre o consumo do carro comprado por Carlos: Consumo no Permetro Urbano = PD = 13 Km/L Consumo fora do Permetro Urbano = PF = 15 Km/L Onde: Km = quilmetro L = litro Alm disso, a questo informa que o tanque do carro de 50 litros. II - No incio da viagem, ele abasteceu o tanque do veculo com gasolina at o limite mximo. Aps percorrer 280 km da viagem, Carlos parou em outro posto de combustvel e reabasteceu novamente o tanque com gasolina, at o limite mximo. Depois disso, Carlos viajou sem parar at Barreiras, circulando apenas em rodovias fora do permetro urbano dos municpios por onde passou, percorrendo o total de 670 km desde sua sada de Braslia. Portanto, a ordem cronolgica foi a seguinte. II.1 Incio da viagem: Carlos abasteceu o veculo at o limite mximo (50 litros). II.2 Percorreu 280 km e novamente abasteceu o veculo at o limite mximo (50 litros). II.3 Viajou sem parar at Barreiras, somente fora do permetro urbano e a distncia total percorrida foi de 670 Km. Repare que ele j havia percorrido 280 Km. Logo, a distncia percorrida fora do permetro urbano foi de: Distncia Percorrida Fora do Permetro Urbano = 670 280 = 390 Km

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    Portanto, ele estava com o tanque cheio (50 litros) e percorreu 390 Km. O consumo fora do permetro urbano de 15 Km/L. Vamos calcular quantos litros sobraram ao chegar a Barreiras: Distncia Percorrida = 390 Km Consumo por litro (fora do permetro urbano) = 15 Km/L Fazendo uma regra de trs simples: 1 Litro === 15 Km X Litros === 390 Km

    15 . X = 1 . 390 X = 39015

    X = 26 Litros

    Portanto, ainda h 24 Litros (50 Litros 26 Litros) no tanque do carro. II.4 - Quantidade mxima de quilmetros que Carlos pode percorrer nesse veculo no permetro urbano da cidade de Barreiras, sem realizar novo abastecimento de combustvel. Litros Restantes do Tanque = 24 litros Consumo por litro (dentro do permetro urbano) = 13 Km/L Distncia Mxima = 13 km/L x 24 litros = 312 Km GABARITO: B 14. Considere que, no resultado de exame de colesterol a que um paciente se submeteu, o LDL (low density lipoprotein) tenha sido igual a 125 mg/dL. Nessa situao, se o resultado do LDL fosse fornecido em g/L, o novo valor seria igual a A 1.250. B 12,5. C 1,25. D 0,125. Resoluo Vamos relembrar a unidade de medida em questo: Para medir massa: grama (g) Quilograma (kg) = 1.000 gramas = 103 gramas Hectograma (hg) = 100 gramas = 102 gramas Decagrama (dag) = 10 gramas = 101 gramas Grama (g) = 1 grama

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    Decigrama (dg) = 0,1 grama = 10-1 grama Centigrama (cg) = 0,01 grama = 10-2 grama Miligrama (mg) = 0,001 grama = 10-3 grama Para medir capacidade: litro (l) Quilolitro (kl) = 1.000 litros = 103 litros Hectolitro (hl) = 100 litros = 102 litros Decalitro (dam) = 10 litros = 101 litros Litro (l) = 1 litro Decilitro (dl) = 0,1 litro = 10-1 litro Centilitro (cl) = 0,01 litro = 10-2 litro Mililitro (ml) = 0,001 litro = 10-3 litro A questo informa o valor de: 125 mg/dL (cento e vinte e cinco miligramas por decilitro). Para converter miligrama para grama, temos que multiplicar a miligrama por 10-3, pois cada miligrama equivale a 0,001 grama. Por outro lado, para decilitro para litro, temos que o decilitro por 10-1, pois cada decilitro equivale a 0,1 litro. Portanto, teramos a seguinte conta:

    125 mg/L = 125,0 x 3

    1

    1010

    gL

    E agora? Como dividiremos 10-3 por 10-1. Vamos relembrar a diviso de potncias. xn xm = xn m diviso de potncias de mesma base conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplo: 28 22 = 28-2 = 26 Em relao questo, temos: 10-3 10-1 = 10-3-(-1) = 10-3+1 = 10-2

    Portanto, teramos: 125 mg/dL = 125,0 x 3

    1

    1010

    gL

    = 125,0 x 10-2 g/L

    E como faremos esta multiplicao? Multiplicao por potncias de 10 simples. Se o expoente for positivo, andamos com a vrgula do nmero que est sendo multiplicado para a direita. Por outro lado, se o expoente for negativo, andamos com a vrgula do nmero que est sendo multiplicado para a esquerda.

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