RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVORACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVORACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVORACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

1. Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios. 2. Deduzirnovas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estruturadaquelas relações. 3. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio verbal. 4.Raciocínio matemático (que envolva, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais – operações,propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal, conjuntosnuméricos complexos, números e grandezas proporcionais, razão e proporção, divisão proporcional, regrade três simples e composta, porcentagem). 5. Raciocínio sequencial. 6. Orientações espacial e temporal. 7.Formação de conceitos. 8. Discriminação de elementos. 9. Compreensão do processo lógico que, a partir deum conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.

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Antes de começarmos vamos observar que vai cair na prova conhecimentos do candidato se o mesmoentende a estrutura lógicaestrutura lógicaestrutura lógicaestrutura lógica de relações arbitrárias relações arbitrárias relações arbitrárias relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios eDeduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estruturadaquelas relações. Além disso compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínioverbal .

Entende-se por estruturas lógicas as que são formadas pela presença de proposições ou sentenças lógicas (sãoaquelas frases que apresentam sentido completo, como por exemplo: Homero é culpado).

Observe que a estrutura lógica vai ligar relações arbitrárias e, neste caso, nada deverá ser levado para aprova a não ser os conhecimentos de Lógica propriamente dita, os alunos muitas vezes caem em erros como:

Se Ana foi à praia então Paulo foi pescar, ora eu sou muito amigo de uma Ana e de um Paulo e ambosdetestam ir à praia ou mesmo pescar, auto induzindo respostas absurdas.

Dessa forma, as relações são arbitrárias, ou seja, não importa se você conhece Ana, Homero ou Paulo. Nãoimporta o seu conhecimento sobre as proposições que formam a frase, na realidade pouco importam se asproposições são verdadeiras ou falsas. Quero dizer que o seu conhecimento sobre a frase deverá serarbitrário, vamos ver através de outro exemplo:

Todo cavalo é um animal azul

Todo animal azul é árvore

Logo Todo cavalo é árvore

Observe que podemos dizer que tem-se acima um argumento lógico, formado por três proposiçõescategóricas (estas têm a presença das palavras Todo, Algum e Nenhum), as duas primeiras serãodenominadas premissas e a terceira é a conclusão.

Observe que as três proposições são totalmente falsas, mas é possível comprovar que a conclusão é umaconseqüência lógica das premissas, ou seja, que se considerar as premissas como verdadeiras, a conclusãoserá, por conseqüência, verdadeira, e este argumento será considerado válido logicamente.

A arbitrariedade é tanta que na hora da prova pode ser interessante substituir as proposições por letras, veja:

Todo A é B

Todo B é C

Logo Todo A é C

A arbitrariedade ainda se relaciona a pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios.

Cobra-se no edital o ato de deduzir novas informações das relações fornecidas, ou seja, o aspecto daDedução Lógica poderá ser cobrado de forma a resolver as questões.

As questões das provas poderão tratar das seguintes áreas:

1. Estruturas Lógicas: Proposição.

2. Lógica de Argumentação.

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Entendo o conhecimento dos três primeiros itens como o entendimento da Lógica propriamente dita.Normalmente nos editais como da prova da Funasa 2009 duas questões, pelo menos, têm caído destadisciplina e na prova da Funai não será diferente.

Resumindo: Nenhum conhecimento mais profundo de lógica formal ou matemática será necessário pararesolver TODAS as questões de raciocínio lógico-analítico cobradas nesse edital.

Veremos agora a parte teórica dos itens apresentados acima.

Observe essas frases:

Qual dessas frases você imagina que possa ser uma proposição?

Se você respondeu que é a última, acertou. Sabe por quê? Apenas a última frase pode ser submetida a umaanálise lógica. Eu posso examinar se ela é falsa ou verdadeira. É uma frase propositiva. Ela propõe umconceito. As perguntas e as exclamações não são proposições.

Para construir um argumento, precisamos de proposições. Tanto as premissas quanto a conclusão de umargumento são proposições. Vamos observar um argumento:

Nesse argumento, tenho três proposições (as duas primeiras são as premissas e a última é a conclusão).Através das premissas eu chego a uma conclusão. Em outras palavras, as premissas sustentam minhaconclusão.

Podemos classificar as proposições. Elas podem ser classificadas quanto à quantidade e quanto à qualidade.

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Quanto à quantidade, as proposições podem ser universais ou particulares. Quanto à qualidade, as proposições podem ser afirmativas ou negativas.

Exemplificando:

Esta é uma proposição universal afirmativa, pois afirma que toda a classe das palavras proparoxítonas estáincluída na classe das palavras acentuadas. Todo membro da primeira classe será automaticamente membroda segunda. Esta proposição pode ser representada da seguinte forma:

Vamos a um outro exemplo:

Esta é uma proposição universal negativa, pois ela exclui totalmente os membros da primeira classe (osmonossílabos) da classe das palavras proparoxítonas.

A representação desta proposição será:

Agora vamos observar uma proposição um pouco diferente:

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Neste caso, a proposição é particular afirmativa, pois afirma que alguns membros da classe das palavrasparoxítonas são também membros da classe das palavras acentuadas. Essa proposição não afirma nem negaque todas as palavras proparoxítonas são acentuadas. Ela não se manifesta a esse respeito.

Esta proposição pode ser representada assim:

Mas quantos membros de uma classe são necessários para caracterizar "alguns"? Costuma-se de dizer que emlógica "alguns" significa "pelo menos um".

Finalmente, temos o caso da seguinte proposição:

Nesse caso, temos uma proposição particular negativa, pois ela declara que alguns elementos de uma classe(as palavras oxítonas) estão excluídos de uma outra classe (as palavras acentuadas).

Pode-se representar essa proposição como:

Temos então uma tabela dos tipos de proposição.

Uma proposição é singular quando seu termo-sujeito refere-se a apenas um ser.

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Por exemplo,

Classificação das proposiçõesClassificação das proposiçõesClassificação das proposiçõesClassificação das proposiçõesPara facilitar a classificação das proposições, usamos as letras A, I, E, O.

Esta classificação pode ser facilmente memorizada se lembrarmos das palavras:

Vamos classificar algumas proposições usando letras:

Observamos que é uma proposição universal afirmativa.

Outro exemplo:

Neste caso, temos uma proposição universal negativa.

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Agora podemos voltar àquela proposição inicial, lembra?

Nesse caso, temos uma proposição universal afirmativa. Esse é o tipo de proposição A.

Resta um pequeno detalhe. A proposição é verdadeira ou falsa?

Resposta: Através de uma tabela-verdade

A tabela-verdade, como se sabe, é um instrumento eficiente para a especificação de uma composição deproposições.

A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:

· Princípio da IdentidadePrincípio da IdentidadePrincípio da IdentidadePrincípio da Identidade:::: Todo objeto é idêntico a si mesmo.

· Princípio da ContradiçãoPrincípio da ContradiçãoPrincípio da ContradiçãoPrincípio da Contradição:::: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas éfalsa.

· Princípio do Terceiro Excluído:Princípio do Terceiro Excluído:Princípio do Terceiro Excluído:Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.

Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamenteexclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.

Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos osvalores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade :

1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

p ~p

V F

F V

2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjunctos são verdadeiros.

p q p Ù q

V V V

V F F

F V F

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F F F

3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjunctos são falsos.

p q p Ú q

V V V

V F V

F V V

F F F

4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e oconseqüente é falso.

p q p ® q

V V V

V F F

F V V

F F V

5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ouambos verdadeiros ou ambos falsos

p q p « q

V V V

V F F

F V F

F F V

ExemploExemploExemploExemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p)

p q ((p Ú q) ® ~p) ®®®® (q Ù p)

V V V F F VVVV V

V F V F F VVVV F

F V V V V FFFF F

F F F V V FFFF F

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NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ouF, que se excluem. Para nnnn atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição

de 2 (V e F) elementos nnnn a nnnn. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2nnnn. Assim, para duas

proposições são 22222 = 4 linhas; para 3 proposições são 23333 = 8; etc.

ExemploExemploExemploExemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p Ù q) ® r) terá 8 linhas como segue :

p q r ((p Ù q) ®®®® r )

V V V V VVVV

V V F V FFFF

V F V F VVVV

V F F F VVVV

F V V F VVVV

F V F F VVVV

F F V F VVVV

F F F F VVVV

NOTA:NOTA:NOTA:NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual:inclusivoinclusivoinclusivoinclusivo (disjunção) ÚÚÚÚ ("vel") e exclusivo exclusivo exclusivo exclusivo ÚÚÚÚ ( "aut") onde p ÚÚÚÚq significa ((p Ú q) Ù~ (p Ù q)).

p q ((p Ú q) ÙÙÙÙ ~ (p Ù q))

V V V FFFF F V

V F V VVVV V F

F V V VVVV V F

F F F F F F F V F

Agora vamos para o segundo item: Lógica de Argumentação Lógica de Argumentação Lógica de Argumentação Lógica de Argumentação

A noção de argumentoargumentoargumentoargumento é fundamental para a lógica. Argumento é um conjunto de enunciados que estãorelacionados uns com os outros. Argumento é um raciocínio lógico.Observe o seguinte argumento:

Todos os homens são mortais.Sócrates é homem.Logo, Sócrates é mortal.

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Este é um argumento formado por duas premissas e uma conclusão.

Os dois primeiros enunciados são as premissas e o último enunciado é a conclusão. Os fatos apresentadosnas premissas servem de evidência para a conclusão, isto é, são eles que sustentam a conclusão.

Para que o argumento seja válido, não basta que a conclusão seja verdadeira. É preciso que as premissas e aconclusão estejam relacionadas corretamente. Distinguir os raciocínios corretos dos incorretos é a principaltarefa da lógica.

Os argumentos sempre apresentam uma ou mais premissas e uma conclusão.

Silogismo categórico é um argumento composto por três enunciados, sendo duas premissas e umaconclusão.

Vejamos um exemplo:

Todo molusco é invertebrado. premissaO caracol é um molusco. premissaLogo, o caracol é invertebrado. conclusão

Observamos que este argumento tem a mesma forma lógica do primeiro argumento apresentado. Ambos sãosilogismos categóricos. Ambos são argumentos válidos. Todos os argumentos que apresentarem esta formalógica serão argumentos válidos.

Todo A é B.C é A.Logo, C é B.

ProposiçõesProposiçõesProposiçõesProposições

Tanto as premissas quanto a conclusão de uma argumento são proposições.Vamos observar:

Levando em conta que:termo/sujeito = homemtermo/predicado = mortalVerdade e validade

Já sabemos que argumento é a passagem de uma ou mais premissas a uma conclusão. Sabemos também que é

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preciso que a conclusão derive das premissas. Pois bem, quando a conclusão é uma conseqüência necessáriadas premissas, dizemos que o argumento é válido. Quando a conclusão não é uma conseqüência necessáriadas premissas, dizemos que o argumento é inválido.

A validade de um argumento, portanto, depende se sua estrutura, depende da maneira como esteargumento está organizado. Vejamos o argumento abaixo:

Todos os ziriguiduns são tchutchucas.Pedrinho é um ziriguidum.Logo, Pedrinho é um tchutchuca.

Este é um argumento válido. Isto quer dizer que, mesmo não sabendo o que significa ziriguidum outchutchuca, sabemos com certeza que, se as duas premissas forem verdadeiras, a conclusão também seráverdadeira.

Para você pensar:Para você pensar:Para você pensar:Para você pensar:Você acha que existe relação entre a validade de um argumento e a verdade das proposições? Por quê?

Podemos representar esta proposição da seguinte maneira:

Todo S é P.

Vejamos esta outra proposição:

Todo metal é condutor de eletricidade.

Se observamos bem, vemos que esta última proposição pode ser representada da mesma maneira:

Todo S é P.

Concluímos que a lógica não se interessa particularmente pela hombridade de Sócrates ou pelaspropriedades dos metais. Não é o conteúdo das proposições que interessa à lógica. A lógica tem grandeinteresse nos raciocínios e naquilo que torna alguns argumentos válidos e outros inválidos.

Verdade e validadeVerdade e validadeVerdade e validadeVerdade e validade

Já sabemos que argumento é a passagem de uma ou mais premissas a uma conclusão. Sabemos também que épreciso que a conclusão derive das premissas. Pois bem, quando a conclusão é uma conseqüência necessáriadas premissas, dizemos que o argumento é válido. Quando a conclusão não é uma conseqüência necessáriadas premissas, dizemos que o argumento é inválido.

A validade de um argumento, portanto, depende se sua estrutura, depende da maneira como esteargumento está organizado. Vejamos o argumento abaixo:

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Todos os ziriguiduns são tchutchucas.Pedrinho é um ziriguidum.Logo, Pedrinho é um tchutchuca.

Este é um argumento válido. Isto quer dizer que, mesmo não sabendo o que significa ziriguidum outchutchuca, sabemos com certeza que, se as duas premissas forem verdadeiras, a conclusão também seráverdadeira.

Para você pensar:Para você pensar:Para você pensar:Para você pensar:Você acha que existe relação entre a validade de um argumento e a verdade das proposições? Por quê?

Vamos para o próximo tópico

Raciocínio matemático (que envolva, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais – operações,Raciocínio matemático (que envolva, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais – operações,Raciocínio matemático (que envolva, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais – operações,Raciocínio matemático (que envolva, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais – operações,propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal, conjuntospropriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal, conjuntospropriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal, conjuntospropriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal, conjuntosnuméricos complexos, números e grandezas proporcionais, razão e proporção, divisão proporcional, regranuméricos complexos, números e grandezas proporcionais, razão e proporção, divisão proporcional, regranuméricos complexos, números e grandezas proporcionais, razão e proporção, divisão proporcional, regranuméricos complexos, números e grandezas proporcionais, razão e proporção, divisão proporcional, regrade três simples e composta, porcentagem). de três simples e composta, porcentagem). de três simples e composta, porcentagem). de três simples e composta, porcentagem).

Agora sim, matemática crua!

Vamos por partes:

Conjuntos Racionais e Reais – Operações,propriedade e problemas envolvendo as quatro operações

Um número racional é o que pode ser escrito na forma

mmmm

nnnnonde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero.Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade dedivisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim:ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos osnúmeros racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o

conjunto dos números racionais negativos. O número zerozerozerozero é também um número racional.

Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos númerosracionais.

Dízima periódica

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Uma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp...

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qualusamos os três pontos: ............ após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou operíodo dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta apostila usaremos operíodo sublinhado.

Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos: Dízimas periódicas

1. 0,3333333... = 0,3

2. 1,6666666... = 1,6

3. 12,121212... = 12,12

4. 0,9999999... = 0,9

5. 7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3

2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período.Por exemplo:

1. 0,83333333... = 0,83

2. 0,72535353... = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real quepode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformaruma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Parapessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência,deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar númerosracionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do EnsinoSuperior.

A geratriz de uma dízima periódica

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Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um númeroracional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemostrabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar comofunciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo.Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

10 S - S = 3

donde segue que

9 S = 3

Simplificando, obtemos:

S =S =S =S =

1111

3333

= 0,33333...= 0,33333...= 0,33333...= 0,33333... = = = = 0,0,0,0,3333

ExercícioExercícioExercícioExercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

0,99999... = 0,9 = 1

2. Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período temagora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais daforma:

T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:

100 T = 31 + T

de onde segue que

99 T = 31

e simplificando, temos que

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T =T =T =T =

31 31 31 31

99999999

= 0,31313131...= 0,31313131...= 0,31313131...= 0,31313131... = = = = 0,0,0,0,31313131

3. Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um númerocom 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos estenúmero como uma soma de infinitos números decimais da forma:

R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para oprimeiro membro para obter:

R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8

Assim:

10R - 71 - R + 7,1 = 0,8

Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

90 R = 647

Obtemos então:

T =T =T =T =

647647647647

90909090

= 7,1888...= 7,1888...= 7,1888...= 7,1888... = = = = 7,17,17,17,18888

4. Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo.Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para oprimeiro membro para obter:

U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

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Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

1000(U-7) - (U-7) = 4

Assim:

1000U - 7000 - U + 7 = 4

Obtemos então

999 U = 6997

que pode ser escrita na forma:

T =T =T =T =

6997 6997 6997 6997

999999999999

= 7,004004...= 7,004004...= 7,004004...= 7,004004... = = = = 7,7,7,7,004004004004

Números irracionais

Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nemmesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo:Exemplo:Exemplo:Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000...

Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reaisque não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:

e = 2,718281828459045...,Pi = 3,141592653589793238462643...

que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros degravidade, previsão populacional, etc...

Exercício:Exercício:Exercício:Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numéricoé um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.

Representação, ordem e simetria dos racionais

Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada.Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medidacomo a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente daesquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotadapor convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva.Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor

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do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está àdireita na reta numerada.

Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele écaracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Qque é 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 é -3/4.(b) O oposto de 5 é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente deum espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distânciado ponto virtual -q ao espelho.

Módulo de um número racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elementooposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

ExemplosExemplosExemplosExemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até aorigem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.

A soma (adição) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adiçãoentre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

a a a a

bbbb

++++

c c c c

dddd

====

ad+bc ad+bc ad+bc ad+bc

bdbdbdbd

Propriedades da adição de números racionaisPropriedades da adição de números racionaisPropriedades da adição de números racionaisPropriedades da adição de números racionais

FechoFechoFechoFecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda éum número racional.

Associativa:Associativa:Associativa:Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa:Comutativa:Comutativa:Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

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Elemento neutro:Elemento neutro:Elemento neutro:Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q + 0 = q

Elemento oposto:Elemento oposto:Elemento oposto:Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (-q) = 0

Subtração de números racionais:Subtração de números racionais:Subtração de números racionais:Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adiçãodo número p com o oposto de q, isto é:

p - q = p + (-q)

Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

A Multiplicação (produto) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produtode dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

a a a a

bbbb

××××

c c c c

dddd

====

ac ac ac ac

bdbdbdbd

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab semnenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale emtoda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto dedois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da multiplicação de números racionaisPropriedades da multiplicação de números racionaisPropriedades da multiplicação de números racionaisPropriedades da multiplicação de números racionais

FechoFechoFechoFecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é umnúmero racional.

AssociativaAssociativaAssociativaAssociativa: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

ComutativaComutativaComutativaComutativa: Para todos a, b em Q:

a × b = b × a

Elemento neutroElemento neutroElemento neutroElemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q × 1 = q

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Elemento inversoElemento inversoElemento inversoElemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que

q × q-1 = 1

Esta última propriedade pode ser escrita como:

a a a a

bbbb

××××

b b b b

aaaa

= 1= 1= 1= 1

Divisão de números racionaisDivisão de números racionaisDivisão de números racionaisDivisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação demultiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra daforma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?

A divisão de números racionais esclarece a questão:

a a a a

bbbb

÷÷÷÷

c c c c

dddd

====

a a a a

bbbb

××××

d d d d

cccc

====

ad ad ad ad

bcbcbcbcNa verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação étambém desnecessária no conjunto dos números racionais.

Propriedade distributiva (mista)

DistributivaDistributivaDistributivaDistributiva: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Potenciação de números racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e onúmero n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:

(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25

ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente én=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadradopode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido porV=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.

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Raízes de números racionais

A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro númeroracional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que onúmero q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).

Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical nestetrabalho. Assim:

r = Rn[q] equivale a q = rn

Por deficiência da linguagem de documentos PDF , que ainda não implementou sinais matemáticos,

denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (deordem 2) de um número racional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro númeroracional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.

Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.

Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:

(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.(c) R[144] = 12 pois 12²=144.(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.

ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos númerosracionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada maistarde no contexto dos Números Complexos.

Erro comumErro comumErro comumErro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas oaparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um númeronegativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outronúmero racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos sãoválidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.

Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.

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ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:

(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.

(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.

Média aritmética e média ponderada

Média aritmética:Média aritmética:Média aritmética:Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritmética

entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:

A=A=A=A=

xxxx1111 + x + x + x + x2222 + x + x + x + x3333 +...+ x +...+ x +...+ x +...+ xnnnn

nnnn

ExemploExemploExemploExemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:

A=A=A=A=

12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33 12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33 12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33 12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33

9999

====

352352352352

9999

==== 39,1139,1139,1139,11

o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.

Média aritmética ponderada:Média aritmética ponderada:Média aritmética ponderada:Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn,

de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A média

aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, istoé:

P=P=P=P=

xxxx1111 p p p p1111 + x + x + x + x2222 p p p p2222 + x + x + x + x3333 p p p p3333 +...+ x +...+ x +...+ x +...+ xnnnn p p p pnnnn

pppp1111 + p + p + p + p2222 + p + p + p + p3333 +...+ p +...+ p +...+ p +...+ pnnnn

ExemploExemploExemploExemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$ 50,0010 ganham R$ 60,0020 ganham R$ 25,00

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15 ganham R$ 90,00 7 ganham R$ 120,00

Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

P=P=P=P=

50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7

12 + 10 + 20 + 15 + 712 + 10 + 20 + 15 + 712 + 10 + 20 + 15 + 712 + 10 + 20 + 15 + 7

====

3890 3890 3890 3890

64646464

=60,78=60,78=60,78=60,78

Médias geométrica e harmônica

Média geométrica:Média geométrica:Média geométrica:Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2,

x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto

é:

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]

ExemploExemploExemploExemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação práticaAplicação práticaAplicação práticaAplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro éo menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométricaentre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo sópode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidasdos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica:Interpretação gráfica:Interpretação gráfica:Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamentede uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB eBC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com umcompasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e terminando em C.O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A

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medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Média harmônica:Média harmônica:Média harmônica:Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A média

harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:

Conjunto dos números complexos

Podemos dizer que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros e racionais, que oconjunto dos inteiros está contido dentro do conjunto dos racionais, veja essa relação em forma dediagrama:

Ao resolvermos a raiz de alguns números percebemos que as soluções encontradas eram números decimaisinfinitos e que não obedeciam a uma seqüência, portanto, esses números iriam participar de um conjuntochamado irracionais, representados pela letra I maiúscula. Esse conjunto fica à parte, ele e nenhum dosoutros conjuntos citados acima está contido no conjunto dos irracionais.

A união dos conjuntos racionais com os irracionais forma o conjunto dos reais, representado pela letra Rmaiúscula, veja o diagrama abaixo:

Nem esses conjuntos satisfizeram alguns cálculos, então foi preciso que criassem mais um conjunto

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numérico, esse seria um pouco diferente dos outros, pois iria conter em sua estrutura a letra i. Suarepresentação é feita pela letra maiúscula C.

Esse conjunto é chamado de conjunto dos números complexos, veio pra resolver raízes com índices pares eradicando negativo, pois no conjunto dos reais essa operação não teria solução.

Podemos concluir que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

Como em qualquer conjunto numérico, no conjunto dos números complexos existe uma maneira específicade aplicar as operações (adição, subtração, multiplicação e divisão). Antes de aplicarmos as operaçõesdevemos saber que um número complexo qualquer é indicado na maioria das vezes pela letra z e a suaforma geométrica é z = a + biz = a + biz = a + biz = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária.

Adição e subtraçãoAdição e subtraçãoAdição e subtraçãoAdição e subtração

Dado dois números z1 = 2 – i e z2 = -3 + 7i. Somando os dois teremos:

z1 + z2 = (2 – i) + (-3 + 7i) z1 + z2 = 2- i – 3 + 7i z1 + z2 = 2 – 3 – i + 7i z1 + z2 = - 1 + 6i

Dado dois números z1 = 2 – i e z2 = -3 + 7i. Somando os dois teremos:

z1 - z2 = (2 – i) - (-3 + 7i) z1 - z2 = 2- i + 3 - 7i z1 - z2 = 2 + 3 – i - 7i z1 - z2 = 5 - 8i

Podemos concluir que para subtrair ou adicionar números complexos devemos operar parte real com partereal e parte imaginária com parte imaginária.

De uma maneira geral podemos representar a adição e a subtração com números complexos da seguinteforma.

Dados dos números complexos qualquer z1 = a + bi e z2 = c + di, veja a adição e subtração entre eles.

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) z1 + z2 = a + bi + c + di z1 + z2 = a + c + bi + di Portanto, a adição de dois números complexos quaisquer pode ser calculada da seguinte forma: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)iz1 + z2 = (a + c) + (b + d)iz1 + z2 = (a + c) + (b + d)iz1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) z1 - z2 = a + bi - c - di

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z1 - z2 = a - c + bi - di Portanto, a subtração de dois números complexos quaisquer pode ser calculada da seguinte forma: z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i

Os números complexos são multiplicados com base na propriedade distributiva, sempre lembrando que umnumeral complexo é formado por uma parte real e uma imaginária. Veja:

→4 + 3i Re(z) = 4 e Im(z) = 3 →2 – 5i Re(z) = 2 e Im(z) = –5 →4 + 3i Re(z) = 4 e Im(z) = 3 →12 – 9i Re(z) = 12 e Im(z) = –9

Multiplicando os complexosMultiplicando os complexosMultiplicando os complexosMultiplicando os complexos

Exemplos

a) (2 + 5i) * (1 – 2i) 2 – 4i + 5i – 5i² (lembrando que i² = – 1) 2 – 4i + 5i – 5 *(–1) 2 – 4i + 5i + 6 8 + i

b) (4 + 3i) * (2 + 6i) 8 + 24i + 6i + 18i² (lembrando que i² = – 1) 8 + 24i + 6i + 18 * (–1) 8 + 24i + 6i – 18 –10 + 30i

c) (6 – 3i) * (–3 + 7i) –18 + 42i + 9i – 21i² (lembrando que i² = – 1) –18 + 42i + 9i – 21 * (–1) –18 + 42i + 9i + 21 3 + 51i

d) (10 + 10i) * (10 – 10i) 100 – 100i + 100i – 100i² (lembrando que i² = – 1) 100 – 100i + 100i – 100 * (–1) 100 + 100 + 0i 200 + 0i 200

e) 4 + 3i + (1 – 2i) * (3 + i) 4 + 3i + (3 + i – 6i – 2i²) 4 + 3i + 3 + i – 6i – 2i² (lembrando que i² = – 1) 4 + 3i + 3 + i – 6i – 2 * (–1)

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4 + 3i + 3 + i – 6i + 2 9 – 2i

f) (2 – 3i) * (1 – 5i) – 4i – 8 2 – 10i – 3i + 15i² – 4i – 8 (lembrando que i² = – 1) 2 – 10i – 3i + 15 * (–1) – 4i – 8 2 – 10i – 3i – 15 – 4i – 8 2 – 15 – 8 – 10i – 3i – 4i –21 – 17i

g) (–12 – 5i) * (5 + 5i) – 4i + 7 –60 – 60i – 25i – 25i² – 4i + 7 (lembrando que i² = – 1) –60 – 60i – 25i – 25 * (–1) – 4i + 7 –60 – 60i – 25i + 25 – 4i + 7 –60 + 25 + 7 – 60i – 25i – 4i –60 + 32 – 89i –28 + 89i

h) (4 + 3i) * (2 – 5i) + (4 – 3i) * (2 + 5i) 8 – 20i + 6i – 15i² + (8 + 20i – 6i + 15i²) 8 – 20i + 6i – 15i² + 8 + 20i – 6i + 15i² 8 + 8 – 20i + 20i + 6i – 6i – 15i² + 15i² 16

i) (3 + 30i) * (2 – 3i) + 4 – 5i 6 – 9i + 60i – 90i² + 4 – 5i (lembrando que i² = – 1) 6 – 9i + 60i – 90 * (–1) + 4 – 5i 6 – 9i + 60i + 90 + 4 – 5i 6 + 90 + 4 – 9i + 60i – 5i 100 + 46i

j) (20 – 4i) * (2 + 5i) + (8 + 9i) * (7 – 10i) + 4 + 6i 40 + 100i – 8 – 20i² + (56 – 80i + 63i – 90i²) + 4 + 6i 40 + 100i – 8 – 20i² + 56 – 80i + 63i – 90i² + 4 + 6i (lembrando que i² = – 1) 40 + 100i – 8 – 20 * (–1) + 56 – 80i + 63i – 90 * (–1) + 4 + 6i 40 + 100i – 8 + 20 + 56 – 80i + 63i + 90 + 4 + 6i 40 – 8 + 20 + 56 + 90 + 4 + 100i – 80i + 63i + 6i 202 + 89i

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Aplicação dos números complexosAplicação dos números complexosAplicação dos números complexosAplicação dos números complexos

Ao resolver uma equação do segundo grau encontramos um valor para l, se esse valor for negativo dizemosque a solução será vazia, pois no conjunto dos reais não é possível encontra raiz quadrada de númeronegativo. Nessa situação é preciso utilizar os números complexos para obter a solução.

Dentro do conjunto dos números complexos foi criado o número i2 = 1. Essa regra será utilizada para aresolução de raízes de radicando negativo e índice par.

Veja o exemplo abaixo:

Calcule a raiz da equação x2 – 6x + 13 = 0.

x2 – 6x + 13 = 0 a = 1 b = - 6 c = 13

l = b2 – 4ac

l = (-6)2 – 4.1.13 l = 36 – 52 l = - 16

x = - b ± √l 2a

x = - (-6) ± √-16 2 . 1

x = 6 ± √-16 2

x’ = 6 + √-16 2

x” = 6 - √-16 2

As duas soluções encontradas x’ e x” são impossíveis no conjunto dos reais, mas para o conjunto dosnúmeros complexos irá existir uma solução, pois iremos calcular o valor da √-16. Veja como:

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Substituído 4i no lugar da √-16, temos,

x’ = 6 + 4i = 3 + 2i 2

x” = 6 – 4i = 3 – 2i 2

Portanto, a solução da equação será: S = {3 + 2i, 3 – 2i}.

Números e Grandezas Proporcionais Números e Grandezas Proporcionais Números e Grandezas Proporcionais Números e Grandezas Proporcionais

* Grandeza * Grandeza * Grandeza * Grandeza

È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, comoconseqüência o outro varia também.

Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em:velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadasentre si.

Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo davelocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.

Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número deoperários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir.

A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificadacomo Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.

Grandeza Diretamente Proporcional Grandeza Diretamente Proporcional Grandeza Diretamente Proporcional Grandeza Diretamente Proporcional

È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionaisquando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção esentido.

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Page 30: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02 y”.

Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas ocusto total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.

Grandeza Inversamente Proporcional Grandeza Inversamente Proporcional Grandeza Inversamente Proporcional Grandeza Inversamente Proporcional

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente navariação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários.

Exemplo: Velocidade e tempo.

Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmocarro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.

* * * * RAZÃO E PROPORÇÃO RAZÃO E PROPORÇÃO RAZÃO E PROPORÇÃO RAZÃO E PROPORÇÃO

RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre diferentede zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.

Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12

a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10

a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18

Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número éconseqüente.

Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente.

seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente.

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Page 31: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de outra, ou vice-versa,dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c

PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.

Obs.:

Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º termos sãochamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos deuma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extr emos.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

1 – Propriedade Fundamental

Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.

2/5 = 4/10 » 5 x 4 = 20 | 2 x 10 = 20

Aplicação:

7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos

Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35.

2 – Composição

Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como asoma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação:

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Page 32: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor desses números.

a = menor

b = maior

Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.

3 – Decomposição

Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo,assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação:

Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é 48.

a = maior

b = menor

a – b = 48

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Page 33: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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Portanto,

Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36

4 – Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquerantecedente está para seu conseqüente.

Aplicação:

Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4

Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.

5 – Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos conseqüentes, assimcomo qualquer antecedente está para o seu conseqüente.

6 – Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim comoo quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.

Aplicação:

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Page 34: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar essasmedidas.

a = largura b = comprimento

a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10

a = largura = 10m, b= comprimento = 15m

7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma nova proporção.

Aplicação:

A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. Determinar essesnúmeros.

Logo, a² = 144, a = 12.

Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor de “a”.

Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma de divisão no qual determinam-sevalores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão que não temvariação.

Exemplos para fixação de definiçãoExemplos para fixação de definiçãoExemplos para fixação de definiçãoExemplos para fixação de definição

Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistemade modo que a+b=120, cuja solução segue de:

a/2 = b/3 à a + b = a+b/2+3 à 120/5 = 24

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Page 35: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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Então: a=48 e b= 72.

Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e 2. Desta forma, será montado osistema de modo que a + b = 60, cuja solução sugue no cálculo abaixo:

a/4 = b/2 à a + b = a + b/4+2 à 60/6 = 10

Então: a=40 e b= 20.

A divisão proporcional pode ser:A divisão proporcional pode ser:A divisão proporcional pode ser:A divisão proporcional pode ser:

- Direta- Direta- Direta- Direta

- Inversa- Inversa- Inversa- Inversa

- Direta e Inversa ao mesmo tempo.- Direta e Inversa ao mesmo tempo.- Direta e Inversa ao mesmo tempo.- Direta e Inversa ao mesmo tempo.

Divisão em partes diretamente proporcionaisDivisão em partes diretamente proporcionaisDivisão em partes diretamente proporcionaisDivisão em partes diretamente proporcionais

O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o número proporcionalestá para a parte que a representa.

Exemplos de fixação de definição:Exemplos de fixação de definição:Exemplos de fixação de definição:Exemplos de fixação de definição:

a) Uma pessoa divide o valor de R$ 12.000,00 proporcionalmente as idades de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qualo valor que cada um receberá?

Resolução:Resolução:Resolução:Resolução:

2 + 4 + 6 = 12

12 : 12.000

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Page 36: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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2 : X

12 : 12.000

4 : X

12 : 12.000

6 : X

O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.000,00 + R$ 4.000,00+R$ 6.000,00tendo o resultado geral o capital de R$ 12.000,00.

b) Dividir o número 240, em partes diretamente proporcional a 2, 4 e 6.

Resolução:Resolução:Resolução:Resolução:

Chamaremos das incógnitas “x”, “y” e “z” as partes que serão determinadas, assim:

x + y + z = 240

Pela definição dada, temos: x/2 = y/4 = z/6

x + y + z = 240

x/2 = y/4 = z/6 (aplica-se a propriedade das proporções)

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Page 37: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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x + y + z = 240 = 20202020

2 + 4 + 6 = 12 = 1111

Para determinar as partes, é necessário montar uma proporção para cada uma delas, com a proporçãoencontrada.

20 = x --> x . 1 = 20 . 2 à x = 40

1 2

20 = y --> y . 1 = 20 . 4 à y = 80

1 4

20 = z --> z . 1 = 20 . 6 à x = 120

1 6

Checando os resultados:Checando os resultados:Checando os resultados:Checando os resultados:

x + y + z = 240

40 + 80 + 120 = 240

c) Dividir o número 360, em partes diretamente proporcional a 4, 5 e 6.

Resolução:Resolução:Resolução:Resolução:

Chamaremos das incógnitas “x”, “y” e “z” as partes que serão determinadas, assim:

x + y + z = 360

Pela definição dada, temos: x/4 = y/5 = z/6

x + y + z = 360

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Page 38: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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x/4 = y/5 = z/6 (aplica-se a propriedade das proporções)

x + y + z = 360 = 24242424

4 + 5 + 6 = 15 = 1111

Para determinar as partes, é necessário montar uma proporção para cada uma delas, com a proporçãoencontrada.

24 = x --> x . 1 = 24 . 4 à x = 96

1 4

24 = y --> y . 1 = 24 . 5 à y = 120

1 5

24 = z --> z . 1 = 24 . 6 à z = 144

1 6

Checando os resultados:Checando os resultados:Checando os resultados:Checando os resultados:

x + y + z = 360

96 + 120 + 144 = 360

d) Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a 1/2, 1/3, 1/4

Resolução:Resolução:Resolução:Resolução:

Vale observar que agora estamos tratando de números fracionários.

Como os números quocientes são predeterminados são em frações, temos que determinar as fraçõesequivalentes, assim:

m.m.c (2,3,4) = 12

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Page 39: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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1/2, 1/3, 1/4 à 6/12, 4/12, 3/12

Montando os cálculos:

x + y + z = 169

x/1/2 = y/1/3 = z/1/4

Com o mmc das frações:

x + y + z = 169

x/6 = y/4 = z/3

x + y + z = 169

6 + 4 + 3 = 13

Logo: 13/1 é a razão equivalente13/1 é a razão equivalente13/1 é a razão equivalente13/1 é a razão equivalente

Calculando as partes separadamente:Calculando as partes separadamente:Calculando as partes separadamente:Calculando as partes separadamente:

13/1 = x/6

x . 1 = 6 . 13

x = 78

13/1 = y/4

Y . 1 = 4 . 13

y = 52

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13/1 = z/3

Z . 1 = 3 . 13

z = 39

Checando os cálculos temos:Checando os cálculos temos:Checando os cálculos temos:Checando os cálculos temos:

78 + 52 + 39 = 169

78/6 = 13

52/4 = 13

39/3 = 13

Regra de três simplesRegra de três simplesRegra de três simplesRegra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quaisconhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:Passos utilizados numa regra de três simples:Passos utilizados numa regra de três simples:Passos utilizados numa regra de três simples:

1º)1º)1º)1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesmalinha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º)2º)2º)2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º)3º)3º)3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar

consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energiaproduzida?

Solução: montando a tabela:

Área (mÁrea (mÁrea (mÁrea (m2222)))) Energia (Wh)Energia (Wh)Energia (Wh)Energia (Wh)1,2 4001,5 x

Identificação do tipo de relação:

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Page 41: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: AumentandoAumentandoAumentandoAumentando a área de absorção, a energia solar aumentaaumentaaumentaaumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãodiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ªcoluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora500 watts por hora500 watts por hora500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h)Velocidade (Km/h)Velocidade (Km/h)Velocidade (Km/h) Tempo (h)Tempo (h)Tempo (h)Tempo (h)400 3480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: AumentandoAumentandoAumentandoAumentando a velocidade, o tempo do percurso diminuidiminuidiminuidiminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas sãoinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ªcoluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas domesmo tipo e preço?

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Page 42: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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Solução: montando a tabela:

CamisetasCamisetasCamisetasCamisetas Preço (R$)Preço (R$)Preço (R$)Preço (R$)3 1205 x

Observe que: AumentandoAumentandoAumentandoAumentando o número de camisetas, o preço aumentaaumentaaumentaaumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãodiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se onúmero de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por diaHoras por diaHoras por diaHoras por dia Prazo para término (dias)Prazo para término (dias)Prazo para término (dias)Prazo para término (dias)8 205 x

Observe que: DiminuindoDiminuindoDiminuindoDiminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumentaaumentaaumentaaumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãoinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Regra de três compostaRegra de três compostaRegra de três compostaRegra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamenteproporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão

necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada

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Page 43: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

HorasHorasHorasHoras CaminhõesCaminhõesCaminhõesCaminhões VolumeVolumeVolumeVolume8 20 1605 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: AumentandoAumentandoAumentandoAumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuirdiminuirdiminuirdiminuir o número de caminhões. Portanto arelação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª colunaseta para cima na 1ª colunaseta para cima na 1ª colunaseta para cima na 1ª coluna).

AumentandoAumentandoAumentandoAumentando o volume de areia, devemos aumentaraumentaraumentaraumentar o número de caminhões. Portanto a relação édiretamente proporcional (seta para baixo na 3ª colunaseta para baixo na 3ª colunaseta para baixo na 3ª colunaseta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo xcom o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões25 caminhões25 caminhões25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serãomontados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

HomensHomensHomensHomens CarrinhosCarrinhosCarrinhosCarrinhos DiasDiasDiasDias8 20 54 x 16

Observe que: AumentandoAumentandoAumentandoAumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumentaaumentaaumentaaumenta. Portanto a relação édiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

AumentandoAumentandoAumentandoAumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumentaaumentaaumentaaumenta. Portanto a relação também édiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo xcom o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

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Logo, serão montados 32 carrinhos32 carrinhos32 carrinhos32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros eaumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechasconcordantes para as grandezas diretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para asinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias12 dias12 dias12 dias.

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. PratiquePratiquePratiquePratique tentando fazer esses exercícios:

1)1)1)1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2piscinas? Resposta: 6 horas.

2)2)2)2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3)3)3)3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quantotempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4)4)4)4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidademédia de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5)5)5)5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25minutos? Resposta: 2025 metros.

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PORCENTAGEMPORCENTAGEMPORCENTAGEMPORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ouquantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimalRazão centesimalRazão centesimalRazão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimalrazão centesimalrazão centesimalrazão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimaistaxas centesimaistaxas centesimaistaxas centesimais ou taxas percentuaistaxas percentuaistaxas percentuaistaxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagemporcentagemporcentagemporcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

PorcentagemPorcentagemPorcentagemPorcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

• Calcular 10% de 300.

• Calcular 25% de 200kg.

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Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8%dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual delucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou emrelação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃOFATOR DE MULTIPLICAÇÃOFATOR DE MULTIPLICAÇÃOFATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valorapenas multiplicando esse valor por 1,101,101,101,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%,multiplicamos por 1,201,201,201,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou LucroAcréscimo ou LucroAcréscimo ou LucroAcréscimo ou Lucro Fator de MultiplicaçãoFator de MultiplicaçãoFator de MultiplicaçãoFator de Multiplicação

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00R$ 11,00R$ 11,00R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

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Page 47: RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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DescontoDescontoDescontoDesconto Fator de MultiplicaçãoFator de MultiplicaçãoFator de MultiplicaçãoFator de Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00R$ 9,00R$ 9,00R$ 9,00

Agora voltamos ao raciocínio lógico no edital.....

Raciocínio Sequencial

Raciocínio sequencial nada mais é do que as famosas sequências em que a questão mistura números ouletras e pergunta qual será o próximo... Exemplo : Complete a sequência: ( 1, e, 2, 4, f....)

Em matemática, uma sequência (ou uma sucessão) é uma lista ordenada de objetos ou eventos. Exemplos desequências são comuns na vida cotidiana,já que frequentemente nos deparamos com situações em queenumeramos elementos de um conjunto seguindo uma determinada ordenação.

Por exemplo, podemos falar:

1. Da sucessão dos presidentes de um país; 2. Da sequência dos episódios de uma minissérie de televisão; 3. Da sucessão de Papas do Vaticano; 4. Da sequência dos pratos de um banquete.

E assim por diante.

Repare que há dois aspectos importantes: o tipo e a ordem dos elementos. Todos os elementos de umasucessão são do mesmo tipo (por exemplo: apenas presidentes) e obedecem uma ordenação (por exemplo:primeiramente ocorre o primeiro episódio da minissérie, depois o segundo episódio, depois o terceiroepisódio...).

Uma sequência é definida como sendo um conjunto S, dotado das seguintes características:

1. Todos os seus elementos são do mesmo tipo (por exemplo: capítulos de uma telenovela);

2. Os elementos também são denominados termos da sequência;

3. Cada termo possui uma posição definida, dentro do conjunto S;

4. A posição de cada termo é determinada por um número natural, denominado índice;

5. Cada termo possui um único índice, e cada índice pertence a um único termo (correspondênciabiunívoca);

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6. Dois termos só podem ser permutados se os seus respectivos índices também forem.

São exemplos de sequência:

S1 = (domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado)

S2 = (1º de dezembro, 2 de dezembro, 3 de dezembro,..., 29 de dezembro, 30 de dezembro, 31 de dezembro)

S3 = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

S4 = (-59, -32, 21, -1, 0, 1, 2, 3, -5, 933)

S5 = (1, 2, 3, 4, 5, 6...)

S6 =

S7 =

S8 = (a1, a2, a3, a4, a5,..., an...)

Observe que:

• As sequências S1, S2, S3 e S4 possuem um número finito de termos. Este tipo de sequência édenominado sequência finita;

• As sequências S5, S6, S7 e S8 possuem um número infinito de termos. Este tipo de sequência édenominado sequência infinita;

• As sequências S3, S4, S5, S6 e S7 são numéricas, pois seus termos são números;

• As sequências S1 e S2 são não-numéricas, pois seus termos não são números;

• A sequência S8 é genérica: não sabemos se a1, a2, a3, a4 etc. representam números ou não-números.Ela será numérica ou não-numérica dependendo do contexto em que for utilizada;

• S2 possui mais termos que S1, mas ambas são sequências finitas: S1 possui 7 termos (os 7 dias dasemana) e S2 possui 31 termos (os 31 dias do mês de dezembro);

• As sequências S3 e S5 parecem ser iguais, mas S3 possui apenas 6 termos, enquanto que as reticênciasem S5 indicam que a contagem de seus termos jamais termina;

• As sequências S6 e S7 parecem ser iguais, mas em S6 todos os termos têm sinal positivo, enquantoque em S7 os termos com denominador par têm sinal negativo;

• Nem toda sequência é "bonitinha": muitas vezes os termos serão muito diferentes uns dos outros, eidentificar um padrão entre eles será tão difícil que permanecerá desconhecido. Um bom exemplodisto é a sequência S4;

• O primeiro termo da sequência S8 é a1, o segundo termo é a2, o terceiro termo é a3, e assim pordiante;

• A notação an é utilizada para representar um termo genérico da sequência. Como an é o termo deíndice n, dizemos que ele é o n-ésimo (ou enésimo) termo da sequência;

• an não pode ser o "último" termo de S8, pois S8 é uma sequência infinita, e uma sequência infinitanão possui um "último termo".

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Orientações espacial e temporal

Orientação espacial e temporal verifica a capacidade de abstração no espaço e no tempo. Costuma sercobrado em questões sobre a disposições de dominós, dados, baralhos, montagem de figuras com subfiguras,dentre outras. Inclui também as famosas sequências de figuras nas quais se pede a próxima. Serve paraverificar a capacidade do candidato em resolver problemas com base em estímulos visuais.

Aconselhamos nesse caso treinar! Só isso.

Esse tópico não exige conhecimentos teóricos, somente a prática.

Existe um site simples porém com alguns quizes e testes de raciocínio que serão utilíssimos para resoluçãode questões que envolvam oreintação espacial e temporal.Acesse:

http://br.syvum.com/qi/

Formação de conceitos,discrimina ção de elementos e compreensão do processo lógico que, a partir de umconjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.

Formação de conceitos e discriminação de elementos trata da soluções de questões nas quais ainda não setem um conceito ou uma forma definida e que exige sua criação para ser resolvida. São tipicamente aquelasquestões nas quais aparentemente não tivemos nenhum contato prévio com seu conteúdo, mas que épossível encontrar com base no que já sabemos o conceito ou a forma a ser resolvida.

A formação de conceitos em problemas matemáticos é um conceito bastante amplo e está ligado, em tese,com a capacidade de síntese conceitual, de maneira contextualizada e encadeada. Em outras palavras, estáligada à organização das idéias de cunho matemático de forma articulada com várias áreas do conhecimentoligado ou não à matemática. Nesse sentido, pode envolver vários assuntos numa só questão. Por meio daformação de conceito é que percebemos relações entre entidades (pessoas, objetos, variáveis,...) eestruturamos nosso pensamento. A compreensão do processo lógico segue a linha de conhecimento docandidato e cobra as conclusões que ele teve sobre os fatos e hipóteses.

Resumindo : A Organizadora Cetro fala um monte de coisa, mas para traduzir em conteúdo mesmo é difícil.

Outras provas já trouxeram o mesmo conteúdo programático e consultando-as, você nota apenas uma coisa:são QUESTÕES LÓGICAS!

Aí, você pode me dizer: ‘Claro, essa é uma prova de Raciocínio Lógico!!!'

É que a Cetro gosta de cobrar questões que não exigem um prévio conhecimento de um conteúdoespecífico. Ela gosta de cobrar questões que fazem o aluno pensar logicamente. Confira as seguintes

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questões e veja o raciocínio:

01.Considere a seguinte seqüência de igualdades:

35 × 35 = 1 225

335 × 335 = 112 225

3 335 × 3 335 = 11 122 225

33 335 × 33 335 = 1 111 222 225

. . .

Com base na análise dos termos dessa seqüência, é correto afirmar que a soma dos algarismos do produto 33333 335 × 33 333 335 é

(A) 28

(B) 29

(C) 30

(D) 31

(E) 33

02. Um cidadão viveu a sexta parte da sua existência como criança, um doze avos como jovem e uma sétimaparte como adulto solteiro. Seis anos após ter se casado comprou um iate no qual viveu com a esposa porexatamente a metade da sua existência. Vendeu o iate tendo vivido ainda três anos. Quantos anos viveu ocidadão?

(A) 56

(B) 63

(C) 72

(D) 84

(E) 96

03.Na seqüência seguinte, o número que aparece entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação.

65(20)13 – 96(16)24 – 39(52)3 – 336( ? )48

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Segundo essa lei, o número que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

(A) 18

(B) 24

(C) 28

(D) 32

(E) 36

É disso que estou falando. Além de saber somar, subtrair, multiplicar e dividir, o concurseiro tem quepensar!!! Nas provas, aparecem questões com seqüências lógicas, figuras com números que você precisarádescobrir qual a lógica desses números, associação lógica, enfim, questões que fazem o aluno ‘mexer com ocucoruto’.

Então, o negócio é resolver bastante exercício. Dêem uma olhada em provas e no site que falei acima quetrazem questões desse tipo.

Agora vamos comentar as questões:

01. Vocês notaram que a cada multiplicação o número 3 vai aumentando? No 1º cálculo, tínhamos um (35),no 2º, dois (335) e por aí vai. No resultado, também tem uma lógica. A quantidade de’1’ é igual a de ‘3’ damultiplicação. E a de ‘2’, é sempre 1 a mais. E sempre o número termina com um ‘5’.

Exemplo:

35 × 35 = 1 225

Temos um ‘3’, um ‘1’, dois ‘2’ e termina com um ‘5’.

Logo, 33 333 335 × 33 333 335 tem:

Sete ‘3’. Daí, teremos sete ‘1’, oito ‘2’ e terminando com um ‘5’. Ficou assim:

1 111 111 222 222 225

Somando os algarismos, teremos 28.

Resposta correta: letra A

02. Chamaremos da idade do cidadão de I. Então:

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Criança = sexta parte = 1/6 . I

Jovem = um doze avos = 1/12 . I

Adulto = sétima parte = 1/7 . I

Casado = metade de sua existência = 1/2 . I

Antes de casar = + 6 anos

Após vender o iate = + 3 anos

Então:

I = 1/6 . I + 1/12 . I + 1/7 . I + 1/2 . I + 6 + 3 (MMC = 84)

=> 84I = 14I + 7I + 12I + 42I + 504 + 252

=> 84I – 75I = 756

=> 9I = 756

=> I = 84

Resposta correta: letra D

03. Aqui, é ‘olhômetro’! Tem que conhecer alguns números para descobrir qual a formação da questão.Olhasó, 65 dividido por 13 dá 5. Multiplicando por 4, encontramos 20. Será que é assim? Vamos ver!

2ª seqüência: 96 dividido por 24 dá 4. Multiplicando por 4, encontramos 16.

3ª seqüência: 39 dividido por 3 dá 13. Multiplicando por 4, encontramos 52.

Encontramos a ‘lei de formação’.

Então:

Final: 336 dividido por 48 dá 7. Multiplicando por 4, encontramos 28.

Resposta correta: letra C

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Nossa apostila termina aqui pessoal mas os seus estudos não! Acesse nosso portal e treine muito as questõesde raciocínio lógico. Nossa seção QUIZZ Urbano dará uma atenção especial para os concurseiros da Funai.

Abraço a todos e boa sorte no concurso!

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