Raciocínio Lógico Para Concursos Www.iaulas.com.Br[1]

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PRÓ-CONCURSO DE PERNAMBUCO Pró-Concurso de Pernambuco Rua Corredor do Bispo, 85 – Boa Vista – Recife-PE Fones: 3222.6231 / 3231.1064 www.proconcursope.com.br  A  A  p  p o o s s t t i i l l a a  d d e e  R R a a c c i i o o c c í í n n i i o o  L L ó ó g g i i c c o o  Profº Weber Campos [email protected] [email protected]

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  • PR-CONCURSO DE PERNAMBUCO

    Pr-Concurso de Pernambuco Rua Corredor do Bispo, 85 Boa Vista Recife-PE

    Fones: 3222.6231 / 3231.1064 www.proconcursope.com.br

    AAppoossttiillaa ddee RRaacciiooccnniioo LLggiiccoo

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    Pr-Concurso de Pernambuco

    Programas de Raciocnio Lgico de Concursos Pblicos

    CONCURSOS DA FCC TRT/PE 2006 Esta prova visa a avaliar a habilidade do candidato em entender a estrutura lgica de relaes arbitrrias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictcios; deduzir novas informaes das relaes fornecidas e avaliar as condies usadas para estabelecer a estrutura daquelas relaes. Os estmulos visuais utilizados na prova, constitudos de elementos conhecidos e significativos, visam a analisar as habilidades dos candidatos para compreender e elaborar a lgica de uma situao, utilizando as funes intelectuais: raciocnio verbal, raciocnio matemtico, raciocnio seqencial, orientao espacial e temporal, formao de conceitos, discriminao de elementos. Em sntese, as questes da prova destinam-se a medir a capacidade de compreender o processo lgico que, a partir de um conjunto de hipteses, conduz, de forma vlida, a concluses determinadas. MPE-PE 2006 ICMS-SP 2006 TRT 24 Regio 2006 BACEN 2006 TCE SP 2005 TRT 23 Regio 2004 TRT 9 Regio 2004 TRF 4 Regio 2004

    CONCURSOS DA ESAF

    AFC/CGU 2006 1. Estruturas lgicas. 2. Lgica de argumentao. 3. Diagramas lgicos. Auditor Fiscal MG 2005 e MPU 2004 1. Estruturas lgicas. 2. Lgica de argumentao. 3. Diagramas lgicos. 4. lgebra linear. 5. Probabilidades. 6. Combinaes, Arranjos e Permutaes. AFC STN 2005 Fiscal do Trabalho 2003 Analista de Plan. e Oramento MPOG 2003 Analista de Controle Externo TCU 2002 1. Estruturas Lgicas. 2. Lgica de Argumentao. 3. Diagramas Lgicos. 4. lgebra Linear. 5. Probabilidades. 6. Combinaes, Arranjos e Permutao. 7. Geometria Bsica. 8. Trigonometria. Fiscal do Recife 2003 1. Estruturas lgicas. 2. Lgica de argumentao. 3. Diagramas lgicos.

    CONCURSOS DO CESPE TRT Maranho 2005 1. Estruturas lgicas. 2. Lgica de argumentao. 3. Diagramas lgicos. 4. lgebra linear. 5. Probabilidades. 6. Combinaes, Arranjos e Permutaes. 7. Geometria bsica ATIA TCE-PE 2004 TCE Esprito Santo 2004 Tribunal de Contas da Unio 2004 1. Compreenso de estruturas lgicas. 2. Lgica de argumentao: analogias, inferncias,

    dedues e concluses. 3. Diagramas lgicos. 4. Fundamentos de matemtica. 5. Princpios de contagem e probabilidade.

    Agente, Escrivo, Delegado e Perito PF 2004 1. Compreenso de estruturas lgicas. 2. Lgica de argumentao: analogias, inferncias,

    dedues e concluses. 3. Diagramas lgicos. 4. Princpios de contagem e probabilidade Papiloscopista da Polcia Federal 2004 1. Compreenso de estruturas lgicas. 2. Lgica de argumentao: analogias, inferncias,

    dedues e concluses. 3. Fundamentos de Matemtica.

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    NDICE

    CONCEITOS INICIAIS - Proposio: Simples e Composta - Conectivos Lgicos Conjuno: A e B Disjuno: A ou B Disjuno Exclusiva: ou A ou B Condicional: Se A ento B Bicondicional: A se e somente se B Negao: no A - Representao das proposies em linguagem simblica - Representao das proposies em linguagem idiomtica - Determinao do Valor Lgico de uma Proposio Composta - Construo da Tabela-Verdade para uma Proposio Composta - Tautologia - Contradio - Contingncia - Negao de Proposies Compostas - Proposies Logicamente Equivalentes DIAGRAMAS LGICOS - Proposies Categricas - Representao das Proposies Categricas por Diagramas de Conjuntos ARGUMENTO - Argumento Vlido - Argumento Invlido - Mtodos para testar a validade dos argumentos INTRODUO A TEORIA DOS CONJUNTOS INTRODUO A ANLISE COMBINATRIA (Princpio Fundamental da Contagem) EXERCCIOS PROPOSTOS - CONCEITOS DE LGICA, CONECTIVOS LGICOS E TABELAS-VERDADE - QUESTES QUE ENVOLVEM NEGAO - EQUIVALNCIA ENTRE PROPOSIES COMPOSTAS - DIAGRAMAS LGICOS - ARGUMENTO - QUESTES DE ASSOCIAO - MENTIRAS E VERDADES - SEQUNCIAS LGICAS DE LETRAS - SEQUNCIAS LGICAS DE PALAVRAS - SEQUNCIAS LGICAS DE NMEROS - SEQUNCIAS LGICAS DE FIGURAS - QUESTES LGICAS QUE ENVOLVEM DADOS - QUESTES LGICAS QUE ENVOLVEM PALITOS - QUESTES LGICAS COM FIGURAS - QUESTES DE CONJUNTOS - PROBLEMAS LGICOS - PROBLEMAS ARITMTICOS - PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - QUESTES LGICAS DE INTERPRETAO DE TEXTO GABARITO

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    CONCEITOS INICIAIS # PROPOSIO

    Denomina-se proposio a toda sentena, expressa em palavras ou smbolos, que exprima um juzo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lgicos possveis: verdadeiro ou falso.

    So exemplos de proposies as seguintes sentenas declarativas:

    O nmero 6 par. Existe um nmero mpar menor que dois. Todos os homens so mortais. Nenhum porco espinho sabe ler. O co late e o gato mia. 2 + 8 = 10 5 > 7 A Terra o maior planeta do Sistema Solar. A polarizao horizontal indicada para ondas terrestres. Mriam quer um sapatinho novo ou uma boneca.

    No so proposies as sentenas como as interrogativas, as exclamativas e as imperativas:

    Qual o seu nome? Caramba! Preste ateno ao sinal.

    # PROPOSIO SIMPLES

    Uma proposio dita proposio simples quando no contm qualquer outra proposio como sua componente. No se pode subdividi-Ia em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposio. Exemplo: Fabola foi ao cinema. Luciana brasileira. # PROPOSIO COMPOSTA

    Uma proposio que contenha qualquer outra como sua parte componente dita proposio composta. Isso quer dizer que uma proposio composta quando se pode extrair como parte dela, uma nova proposio. Exemplo:

    A sentena "Cnthia irm de Maurcio e de Jlio" uma proposio composta pois possvel retirar-se dela duas outras proposies:

    "Cnthia irm de Maurcio" e "Cnthia irm de Jlio". # CONECTIVOS LGICOS

    Existem alguns termos e expresses que esto freqentemente presentes nas proposies compostas, tais como "no", "e", "ou", "se ... ento" e "se e somente se" aos quais denominamos conectivos lgicos. Os conectivos lgicos agem sobre as proposies a que esto ligados de modo a criar novas proposies. Exemplo:

    A sentena "Se x no maior que y, ento x igual a y ou x menor que y" uma proposio composta na qual se pode observar alguns conectivos lgicos ("no", "se ... ento" e "ou") que esto agindo sobre as proposies simples "x maior que y", "x igual a y" e "x menor que y".

    O valor lgico (verdadeiro ou falso) de uma proposio composta depende somente do valor lgico de cada uma de suas proposies componentes e da forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lgicos utilizados.

    As proposies compostas podem receber denominaes especiais, conforme o conectivo lgico usado para ligar as proposies componentes, como veremos a seguir.

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    So apresentados no quadro abaixo os conectivos lgicos, bem como seus significados e a estrutura

    lgica generalizada da proposio composta respectiva.

    Conectivos (linguagem idiomtica)

    Conectivos(Smbolo) Estrutura lgica Exemplo

    e Conjuno: A B Joo ator e alagoano. ou Disjuno: A B Irei ao cinema ou praia.

    se ... ento Condicional: A B Se chove ento faz frio.

    se e somente se Bicondicional: A B Vivo se e somente se sou feliz. no ~ Negao: ~A O nmero 2 no mpar

    # CONJUNO: A e B

    Denominamos conjuno a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "e". A conjuno A e B pode ser representada simbolicamente como:

    A B Exemplo:

    Dadas as proposies simples: A: Andr pianista. B: Andr brasileiro.

    A conjuno A e B pode ser escrita como: Andr pianista e brasileiro.

    Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, a

    conjuno " A e B " corresponder interseo do conjunto A com o conjunto B, A B

    Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjuno "A e B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.

    A B A e B

    V V V V F F F V F F F F

    A conjuno "A e B" verdadeira somente quando A verdadeira e B tambm verdadeira.

    Para que a conjuno "A e B" seja falsa basta que pelo menos uma de suas proposies componentes seja falsa. # DISJUNO: A ou B

    Denominamos disjuno a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "ou".

    A B

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    A conjuno A ou B pode ser representada simbolicamente como: A B

    Exemplo: Dadas as proposies simples:

    A: Alberto fala espanhol. B: Alberto universitrio.

    A disjuno "A ou B" pode ser escrita como: Alberto fala espanhol ou universitrio.

    Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, a disjuno "A ou B" corresponder unio do conjunto A com o conjunto B,

    A B

    Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjuno "A ou B"

    para cada um dos valores que A e B podem assumir.

    A B A ou B

    V V V V F V F V V F F F

    A disjuno "A ou B" falsa somente quando A falsa e B tambm falsa. Para que a disjuno "A ou B" seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposies componentes seja verdadeira. # DISJUNO EXCLUSIVA: ou A ou B H um terceiro tipo de proposio composta, bem parecido com a disjuno que acabamos que ver, mas com uma pequena diferena. Comparemos as duas sentenas abaixo:

    1) Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta

    2) ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta

    A diferena sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentena v-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso no impedir que a segunda parte (te darei uma bicicleta) tambm o seja. J na segunda proposio, se for verdade que te darei uma bola, ento teremos que no ser dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que te darei uma bicicleta, ento teremos que no ser dada a bola.

    Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situaes mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante ser necessariamente falsa.

    Ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, falsas.

    Na segunda sentena acima, este tipo de construo uma disjuno exclusiva, pela presena dos dois conectivos ou, que determina que uma sentena necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Da, o nome completo desta proposio composta disjuno exclusiva.

    E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjuno exclusiva s ser verdadeira se houver uma das sentenas verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjuno exclusiva ser falsa.

    O smbolo que designa a disjuno exclusiva o v. E a tabela-verdade ser, pois, a seguinte:

    A B

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    A B ou A ou B

    V V F V F V F V V F F F

    Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjuno exclusiva "ou p ou q" corresponder unio do conjunto p com o conjunto q, excluindo apenas a parte relativa interseco.

    # CONDICIONAL: Se A ento B

    Denominamos condicional a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "Se ... ento" ou por uma de suas formas equivalentes.

    A proposio condicional "Se A, ento B" pode ser representada simbolicamente como: A B

    Exemplo: Dadas as proposies simples:

    A: Jos alagoano. B: Jos brasileiro.

    A condicional "Se A, ento B" pode ser escrita como:

    A B: Se Jos alagoano, ento Jos brasileiro.

    As seguintes expresses podem se empregar como equivalentes de "Se A, ento B":

    Se A, B. Todo A B. B, se A. A condio suficiente para B. Quando A, B. B condio necessria para A. A implica B. A somente se B.

    Exemplo: Dada a condicional Se chove, ento faz frio, so expresses equivalentes:

    Se chove, faz frio. Toda vez que chove, faz frio. Faz frio, se chove. Chover condio suficiente para fazer frio. Quando chove, faz frio. Fazer frio condio necessria para chover. Chover implica fazer frio. Chove somente se faz frio.

    Exemplo: Marque certo (C) ou errado (E). Se nasci em Recife, ento sou pernambucano.

    Da: ( ) Nascer em Recife condio suficiente para ser pernambucano. ( ) Nascer em Recife condio necessria para ser pernambucano. ( ) Ser pernambucano condio suficiente para nascer em Recife. ( ) Ser pernambucano condio necessria para nascer em Recife. ( ) Nasci em Recife somente se sou pernambucano. ( ) Sou pernambucano somente se nasci em Recife. ( ) Nascer em Recife condio suficiente e necessria para ser pernambucano.

    Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, a proposio condicional "Se A ento B" corresponder incluso do conjunto A no conjunto B (A est contido em B):

    A B

    A

    B

    p q

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    Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposio condicional

    "Se A ento B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. A B A B V V V V F F F V V F F V

    Uma condicional "Se A ento B" falsa somente quando a condio A verdadeira e a concluso

    B falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposio condicional, a nica situao que no pode ocorrer uma condio verdadeira implicar uma concluso falsa.

    Alguns dos resultados da tabela anterior podem parecer absurdos primeira vista. A fim de esclarecer o significado de cada um dos resultados possveis numa sentena condicional,

    considere a seguinte situao: Numa tarde de domingo um casal est sentado no sof da sala de seu apartamento assistindo a um filme quando a campainha toca. A mulher, que se diz sensitiva, fala: "Se for uma mulher, ento ela estar trazendo um pacote nas mos". O marido que no costuma dar muita importncia s previses da mulher resmunga: "Vamos ver se voc est mesmo certa!" e vai abrir a porta.

    Em que conjunto de situaes poderemos dizer que a previso da mulher estava errada?

    H quatro hipteses a serem analisadas:

    1 - Quem tocou a campainha era realmente uma mulher que estava mesmo trazendo um pacote nas mos. Nesse casos teremos que reconhecer que a previso da mulher era correta (este caso corresponde ao que est descrito na primeira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional).

    2 - Quem tocou a campainha era realmente uma mulher, porm ela no estava trazendo um pacote nas mos. Nesse caso, podemos dizer que a previso da mulher mostrou-se errada (este caso corresponde ao que est descrito na segunda linha da tabela-verdade apresentada para a condicional).

    3 - Quem tocou a campainha no era uma mulher embora estivesse mesmo trazendo um pacote nas mos. Nesse caso, no podemos dizer que a previso da mulher estava errada pois ela no disse que somente uma mulher poderia estar trazendo um pacote nas mos. Acontece que toda proposio deve ser ou verdadeira ou falsa e esta no falsa. Ento verdadeira! (este caso corresponde ao que est descrito na terceira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional).

    4 - Quem tocou a campainha no era uma mulher e nem mesmo estava trazendo um pacote nas mos. Nesse caso, tambm no podemos dizer que a previso da mulher estava errada pois a previso de que a pessoa traria um pacote nas mos estava condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. No sendo uma mulher, no teria necessariamente que trazer um pacote nas mos. Novamente, a proposio no falsa. Logo verdadeira. (este caso corresponde ao que est descrito na quarta linha da tabela-verdade apresentada para a condicional).

    IMPORTANTE: Usualmente, quando empregarmos uma sentena do tipo "se A ento B" esperamos que exista entre A e B alguma forma de relacionamento ou que guardem entre si alguma relao de causa e efeito. No entanto, para a Lgica, no importa se existe ou no alguma relao entre A e B. Veja abaixo as seguintes proposies que so consideradas verdadeiras.

    "Se um quadrado tem sete lados ento fala-se o portugus no Brasil". "Se um nmero inteiro termina com o algarismo 8 ento este nmero par". Se um tringulo tem trs lados ento o nmero sete primo" .

    # BICONDICIONAL: A se e somente se B

    Denominamos bicondicional a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "se e somente se".

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    A proposio bicondicional "A se e somente se B" pode ser representada simbolicamente como: AB . Exemplo: Dadas as proposies simples:

    A: Mauro criativo. B: Mauro brasileiro.

    A proposio bicondicional "A se e somente se B" pode ser escrita como: A B: Mauro criativo se e somente se Mauro brasileiro.

    Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, a

    proposio bicondicional "A se e somente se B" corresponder igualdade dos conjuntos A e B. Uma proposio bicondicional "A se e somente se B" equivale proposio composta:

    se A ento B e se B ento A, ou seja, A B a mesma coisa que (A B) e (B A)

    Podem-se empregar tambm como equivalentes de "A se e somente se B" as seguintes

    expresses: A se e s se B. Se A ento B e se B ento A. A somente se B e B somente se A. A condio suficiente para B e B condio suficiente para A. B condio necessria para A e A condio necessria para B. Todo A B e todo B A. Todo A B e reciprocamente.

    Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposio

    bicondicional "A se e somente se B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.

    A B A B

    V V V V F F F V F F F V

    A proposio bicondicional "A se e somente se B" verdadeira somente quando A e B tm o

    mesmo valor lgico (ambas so verdadeiras ou ambas so falsas), sendo falsa quando A e B tm valores lgicos contrrios. # NEGAO: no A

    Dada uma proposio qualquer A denominamos negao de A proposio composta que se

    obtm a partir da proposio A acrescida do conectivo lgico "no" ou de outro equivalente. A negao "no A" pode ser representada simbolicamente como:

    ~A

    Da as seguintes frases so equivalentes entre si.

    Lgica no fcil.

    A = B

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    No verdade que Lgica fcil.

    falso que Lgica fcil.

    Uma proposio A e sua negao "no A" tero sempre valores lgicos opostos. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negao "no A"

    para cada um dos valores que A pode assumir. A no A

    V F F V

    Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposio qualquer e sua negao nunca podero

    ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.

    Se a proposio A for representada como conjunto atravs de um diagrama, a negao "no A" corresponder ao conjunto complementar de A (tudo que est fora de A), simbolizado por Ac .

    RESUMO: No quadro abaixo, revemos para cada estrutura lgica, as condies em que ela verdadeira e em que falsa.

    Estrutura lgica verdade quando falso quando

    A B A e B so, ambos, verdade um dos dois for falso A B um dos dois for verdade A e B, ambos, so falsos

    A B nos demais casos A verdade e B falso A B A e B tiverem valores lgicos iguais A e B tiverem valores lgicos diferentes

    ~A A falso A verdade

    # REPRESENTAO DAS PROPOSIES EM LINGUAGEM SIMBLICA EXEMPLO 1: Encontre a representao usando conectivos lgicos para cada uma das sentenas apresentadas nos itens de a a h, considerando que as letras P, Q, R e T representam as seguintes proposies: P: Ana artista Q: Carlos carioca R: Jorge juiz S: Breno alto a) Jorge juiz e Breno alto

    resposta: R S

    AAC

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    b) Carlos carioca ou Breno alto resposta: Q S

    c) Breno alto e Ana no artista resposta: S ~P

    d) Ana no artista e Carlos no carioca resposta: ~P ~Q

    e) Se Jorge juiz, ento Breno no alto. resposta: R ~S

    f) Se Ana artista e Jorge no juiz, ento Breno alto resposta: (P R) S

    g) Carlos Carioca condio necessria para que Ana seja artista. resposta: P Q

    h) Jorge juiz se e s se Ana no artista. resposta: R ~P

    EXEMPLO 2: Sejam as proposies P: Carlos rico , Q: Carlos alto e R: Carlos fala alemo. Traduzir para a linguagem simblica as seguintes proposies: a) Carlos rico, mas fala alemo

    resposta: P R b) Carlos no alto ou rico, mas fala alemo

    resposta: (~Q P) R c) Carlos rico ou no rico, e fala alemo

    resposta: (P ~P) R d) Carlos rico ou alto, mas no fala alemo

    resposta: (P Q) ~R e) Carlos rico e alto, ou no fala alemo

    resposta: (P Q) ~R f) falso que Carlos rico mas que no fala alemo Aqui, note que a afirmao Carlos rico mas no fala alemo. Escrevendo em linguagem simblica:

    P ~R Agora, dizer que essa afirmao falsa, dar falsidade a toda a expresso simblica, assim:

    resposta: ~(P ~R) g) falso que Carlos alto ou fala alemo, mas que no rico Da mesma forma que na questo anterior, a afirmao Carlos alto ou fala alemo mas, no rico. E a escrevemos:

    resposta: ~((Q R) ~P) # REPRESENTAO DAS PROPOSIES EM LINGUAGEM IDIOMTICA EXEMPLO 3: Dadas as proposies P: Joo pobre e Q: Laura fala ingls, encontre a sentena relacionada com cada representao simblica dada nos itens abaixo: a) ~P Q

    resposta: Se Joo no pobre, ento Laura fala ingls b) ~~P

    ~(Joo no pobre), da resposta: Joo pobre

    c) ~P Q P resposta: Se Joo no pobre e Laura fala ingls, ento Joo pobre

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    d) P ~Q resposta: Joo pobre ou Laura no fala ingls

    e) Q P resposta: Se Laura fala ingls, ento Joo pobre

    f) P Q resposta: Joo pobre ou Laura fala ingls

    g) P ~Q resposta: Se Joo pobre, ento Laura no fala ingls

    # DETERMINAO DO VALOR LGICO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA # Ordem de Precedncia dos Conectivos: 1) ~ (Negao)

    2) , (Conjuno , Disjuno) 3) (Condicional) 4) (Bicondicional) # Determinao do Valor Lgico de algumas Proposies Compostas Bsicas Considere que: P: uma proposio, que pode ter valor lgico V ou F. V: valor lgico verdadeiro F: valor lgico falso Agora, observe o valor lgico das seguintes sentenas: P ~P F P F F P ~P V P V V P P V P V V Exerccios: Os valores lgicos de P e Q so V e F, respectivamente, determinar o valor lgico da proposio: 01) ~P Q P 02) (P v Q) (P Q) 03) (P ~Q) v P 04) ~(P Q) ~P ~Q Os valores lgicos de P e Q so F e F respectivamente, determinar o valor lgico da proposio: 05) (P Q) (P ~P Q)

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    Os valores lgicos de P, Q e R so V, V e F respectivamente, determinar o valor lgico da proposio: 06) ~((Q R) ~P) 07) (Q R ~P) (~Q P R) O valor lgico de Q V, determinar o valor lgico da proposio: 08) P ~R Q 09) (P Q) (~Q ~P) GABARITO: 1.V 2.F 3.V 4.V 5.V 6.V 7.V 8.V 9.V

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    # CONSTRUO DA TABELA-VERDADE PARA UMA PROPOSIO COMPOSTA Exemplo 01) ~( P ~Q) P Q ~Q P ~Q ~(P ~Q) V V V V F F F V V F F V

    Exemplo 02) ~(P Q) ~(Q P) P Q (P Q) (Q P) ~(P Q) ~(Q P) ~(P Q) ~(Q P) V V F V F V F V V F F V

    Exemplo 03) (P ~R) (Q ~R ) P Q R ~R P ~R Q ~R P ~R Q ~R V V V F V V F V V F V F V F F F F V V V F V F V F F V V F F F F

    Exemplo 04) (PQ) (QR) (PR) P Q R (PQ) (QR) (PQ) (QR) (PR) (PQ) (QR) (PR) V V V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F V

    Chegou o momento de passarmos a conhecer trs outros conceitos: Tautologia, Contradio e Contingncia.

    # TAUTOLOGIA:

    Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

    Em palavras mais simples: para saber se uma proposio composta uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Da, se a ltima coluna da tabela-verdade s apresentar verdadeiro (e nenhum falso), ento estaremos diante de uma Tautologia. S isso! Exemplo: A proposio (p q) (p q) uma tautologia, pois sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

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    p q p q p q (p q) (p q) V V V V V

    V F F V V

    F V F V V

    F F F F V Observemos que o valor lgico da proposio composta (p q) (p q), que aparece na ltima coluna, sempre verdadeiro. Passemos a outro exemplo de Tautologia: [(p q) (p s)] p .

    Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia:

    p q s p q p s (p q) (p s) [(p q) (p s)] p V V V V V V V V V F V F F V V F V V V V V V F F V F F V F V V V F F V F V F V F F V F F V F F F V F F F F F F V

    Demonstrado! Observemos que o valor lgico da proposio composta [(p q) (p s)] p, que aparece na ltima coluna, sempre verdadeiro, independentemente dos valores lgicos que p, q e s assumem. # CONTRADIO:

    Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

    Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposio composta, se todos os resultados da ltima coluna forem FALSO, ento estaremos diante de uma contradio. Exemplo 1:

    A proposio "p ~p" (p se e somente se no p) uma contradio, pois sempre falsa, independentemente do valor lgico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

    p ~p p ~p V F F F V F

    Exemplo 2: A proposio (p ~q) (p q) tambm uma contradio, conforme verificaremos por meio da construo de sua da tabela-verdade. Vejamos:

    p q (p ~q) (p q) (p ~q) (p q) V V F V F

    V F V F F

    F V V F F

    F F F F F

  • Raciocnio Lgico 16 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Observemos que o valor lgico da proposio composta (p ~q) (p q), que aparece na ltima coluna de sua tabela-verdade, sempre Falso, independentemente dos valores lgicos que p e q assumem. # CONTINGNCIA:

    Uma proposio composta ser dita uma contingncia sempre que no for uma tautologia nem uma contradio.

    Somente isso! Voc pegar a proposio composta e construir a sua tabela-verdade. Se, ao final, voc verificar que aquela proposio nem uma tautologia (s resultados V), e nem uma contradio (s resultados F), ento, pela via de exceo, ser dita uma contingncia! Exemplo:

    A proposio "p (p q)" uma contingncia, pois o seu valor lgico depende dos valores lgicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

    p q (p q) p (p q) V V V V

    V F F F

    F V F V

    F F F V E por que essa proposio acima uma contingncia? Porque nem uma tautologia e nem uma contradio! # NEGAO DE PROPOSIES COMPOSTAS

    Um problema de grande importncia para a lgica o da identificao de proposies equivalentes negao de uma proposio dada.

    A negao de uma proposio deve ter sempre valor lgico oposto ao da proposio dada. Em outras palavras, a negao de uma proposio deve ser contraditria com a proposio dada. A tabela abaixo mostra as equivalncias mais comuns para as negaes de algumas proposies compostas:

    Negativas das Proposies Compostas:

    negao de (p e q) ~p ou ~q negao de (p ou q) ~p e ~q negao de (p q) p e ~q

    # NEGAO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM Os termos todo, algum e nenhum aparecem freqentemente nas questes de concursos, e necessitaremos muitas vezes de efetuar as negaes desses termos. O quadro abaixo mostra as negaes para cada um deles.

    Proposio Negao da proposio Algum ... Nenhum ... Nenhum ... Algum ... Todo ... Algum ... no ...

    Resolveremos alguns exemplos para que fique bem claro como se faz essas negaes. Exemplos: 1) Negao de: Algum carro veloz Basta trocar o ALGUM por NENHUM! Resposta: Nenhum carro veloz.

  • Raciocnio Lgico 17 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    2) Negao de: Alguma arara no amarela Basta trocar o ALGUM por NENHUM! Nenhuma arara no amarela (Resposta!)

    Podemos escrever a proposio: Nenhuma arara no amarela, de outra forma equivalente (veja equivalncia entre nenhum e todo na pgina 17):

    Toda arara amarela (tambm Resposta!) 3) Negao de: Nenhuma msica triste Basta trocar o NENHUM por ALGUM! Alguma msica triste (Resposta!) 4) Negao de: Nenhum exerccio no difcil Basta trocar o NENHUM por ALGUM! Algum exerccio no difcil (Resposta!) 5) Negao de: Toda meditao relaxante Basta trocar o TODO por ALGUM...NO! Alguma meditao no relaxante. 6) Negao de: Todo o poltico no rico Faremos duas solues: 1 SOLUO: Basta trocar o TODO por ALGUM...NO! Algum poltico no no rico. Apareceu na proposio acima uma dupla negao (veja dupla negao na pgina 18). Da, os dois no se anulam, resultando na proposio seguinte:

    Algum poltico rico.(Resposta!) 2 SOLUO: Podemos transformar a proposio dada inicialmente: Todo poltico no rico para a seguinte forma equivalente (veja equivalncia entre nenhum e todo na pgina 17): Nenhum poltico rico E agora faremos a negao pedida na questo. Basta trocar o NENHUM por ALGUM! Algum poltico rico.(Chegamos mesma resposta anterior!) Veja mais outros exemplos: 7) Negao de: Algum ganhou o bingo Basta trocar o ALGUM por NENHUM! Resposta: Ningum ganhou o bingo. 8) Negao de: Algum dia ela me amar Basta trocar o ALGUM por NENHUM! Resposta: Nenhum dia ela me amar, ou melhor: Nunca ela me amar.

  • Raciocnio Lgico 18 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    # PROPOSIES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes (ou simplesmente que so

    equivalentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados de suas tabelas-verdade so idnticos.

    Uma conseqncia prtica da equivalncia lgica que ao trocar uma dada proposio por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de diz-la.

    A equivalncia lgica entre duas proposies, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p q , ou simplesmente por p = q.

    Comearemos com a descrio de algumas equivalncias lgicas bsicas, as quais convm conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas solues de diversas questes.

    Equivalncias Bsicas: 1) p e p = p

    Exemplo: Andr inocente e inocente = Andr inocente

    2) p ou p = p

    Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema

    3) p e q = q e p

    Exemplo: o cavalo forte e veloz = o cavalo veloz e forte

    4) p ou q = q ou p

    Exemplo: o carro branco ou azul = o carro azul ou branco

    5) p q = q p

    Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo

    6) p q = (p q) e (q p)

    Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo ento vivo, e se vivo ento amo

    Equivalncias da Condicional: As duas equivalncias que se seguem so de fundamental importncia. Veremos vrias questes

    de concurso que so resolvidas atravs delas.

    Estas equivalncias podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparao entre as tabelas-verdade. Ficam como exerccio para casa estas demonstraes. So as seguintes as equivalncias da condicional:

    1) Se p, ento q = Se no q, ento no p. Na linguagem lgica, teremos que:

    p q = ~q ~p Observando a relao simblica acima, percebemos que a forma equivalente para pq pode ser obtida pela seguinte regra:

    1) Trocam-se os termos da condicional de posio;

    2) Negam-se ambos os termos da condicional.

    Como exemplo, obteremos a proposio equivalente a condicional seguinte:

    Se chove, ento me molho.

  • Raciocnio Lgico 19 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Usaremos a regra explicada acima.

    Primeiramente, escreveremos na linguagem lgica, teremos: chove me molho. 1) Trocam-se os termos da condicional de posio: me molho chove 2) Negam-se ambos os termos da condicional: no me molho no chove

    Pronto! O resultado final o seguinte:

    Se no me molho, ento no chove.

    2) Se p, ento q = no p ou q. Na linguagem lgica, teremos que:

    p q = ~p ou q Como vemos, a uma outra forma equivalente para uma proposio condicional. Agora, a sua forma equivalente no uma outra condicional, mas sim, uma disjuno, pois o smbolo do implica trocado pelo conectivo ou.

    Observando a relao simblica acima, percebemos que essa outra forma equivalente para pq pode ser obtida pela seguinte regra:

    1) Nega-se o primeiro termo;

    2) Troca-se o smbolo do implica pelo ou;

    3) Mantm-se o segundo termo.

    Como exemplo, obteremos a proposio equivalente a condicional seguinte:

    Se chove, ento me molho.

    Usaremos a regra explicada acima.

    Primeiramente, escreveremos na linguagem lgica, teremos: chove me molho. 1) Nega-se o primeiro termo: no chove;

    2) Troca-se o smbolo do implica pelo ou;

    3) Mantm-se o segundo termo: me molho.

    Pronto! O resultado final o seguinte:

    No chove ou me molho.

    Desses resultados, conclumos que as trs sentenas abaixo so equivalentes entre si.

    1) Se chove, ento me molho.

    2) Se no me molho, ento no chove.

    3) No chove ou me molho.

    Se precisarmos transformar uma disjuno numa condicional, podemos usar a mesma relao mostrada anteriormente, ou seja:

    ~p ou q = p q

    A nica coisa diferente entre as duas relaes, que nesta colocamos a disjuno no primeiro membro da igualdade e a condicional no segundo membro da igualdade. S isso!

    A relao simblica acima nos mostra que podemos transformar uma disjuno numa condicional equivalente, atravs da seguinte regra:

    1) Nega-se o primeiro termo;

  • Raciocnio Lgico 20 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    2) Troca-se o ou pelo smbolo ; 3) Mantm-se o segundo termo.

    praticamente a mesma regra que vimos anteriormente para transformar uma condicional em uma disjuno.

    Como exemplo, obteremos a condicional que equivalente disjuno seguinte:

    O carro branco ou a moto no azul.

    Usaremos a regra explicada acima.

    1) Nega-se o primeiro termo: O carro no branco;

    2) Troca-se o ou pelo smbolo . 3) Mantm-se o segundo termo: a moto no azul.

    O resultado o seguinte:

    O carro no branco a moto no azul. Ou seja:

    Se o carro no branco, ento a moto no azul.

    Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorizao, teremos:

    p q = ~q ~p p q = ~p ou q ~p ou q = p q

    Importante: Para obtermos a proposio equivalente deveremos sempre usar as regras que foram apresentadas! As frmulas da tabela acima so somente para nos ajudar a lembrar destas regras!

    Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negao: 1) Leis associativas:

    (p e q) e s = p e (q e s)

    (p ou q) ou s = p ou (q ou s)

    2) Leis distributivas:

    p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s)

    p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s)

    3) Lei da dupla negao:

    ~(~p) = p

    Da, concluiremos ainda que:

    S no no P = S P Todo S no no P = Todo S P Algum S no no P = Algum S P Nenhum S no no P = Nenhum S P

    Exemplos: 1) A bola de futebol no no esfrica = A bola de futebol esfrica 2) Todo nmero inteiro no no racional = Todo nmero inteiro racional 3) Algum nmero racional no no natural = Algum nmero racional natural 4) Nenhum nmero negativo no no natural = Nenhum nmero negativo natural

  • Raciocnio Lgico 21 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Equivalncias com o smbolo da negao: ~(p e q) = ~p ou ~q

    ~(p ou q) = ~p e ~q

    ~(p q) = p e ~q ~(p q) = [(p e ~q) ou (~p e q)]

    Talvez alguma dvida surja em relao ltima linha da tabela acima. Porm, basta nos lembrarmos da forma equivalente da bicondicional:

    (p q) = (p q) e (q p) (Obs.: por isso que a bicondicional tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!) Da, para negar a bicondicional acima, teremos na verdade que negar a sua conjuno equivalente.

    E para negar uma conjuno, j sabemos, negam-se as duas partes e troca-se o E por um OU.

    Equivalncia entre nenhum e todo: Aqui temos uma equivalncia entre dois termos muito freqentes em questes de prova. uma

    equivalncia simples, de fcil compreenso, e que nos ser muito til. Vejamos:

    1) Todo A no B = Nenhum A B

    Exemplo: Todo mdico no louco = Nenhum mdico louco.

    2) Nenhum A no B = Todo A B

    Exemplo: Nenhuma arte no bela = Toda arte bela.

    Colocando essas equivalncias numa tabela, teremos:

    Todo A no B = Nenhum A B

    Nenhum A no B = Todo A B

  • Raciocnio Lgico 22 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    DIAGRAMAS LGICOS

    Consideramos que uma questo de Diagramas Lgicos, quando ela traz diagramas ou quando temos que usar diagramas para chegarmos a soluo da questo. Os diagramas geralmente so crculos, mas tambm podem ser outras figuras: quadrado, tringulo, ... .

    Os diagramas lgicos sero bastante usados nas solues das questes que envolvem os termos: todo, algum e nenhum.

    # PROPOSIES CATEGRICAS

    As proposies formadas com os termos todo, algum e nenhum so chamadas de proposies categricas, e so elas:

    Todo A B Nenhum A B Algum A B Algum A no B

    Todo A B Proposies do tipo Todo A B afirmam que o conjunto A est contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A tambm elemento de B.

    Ateno: dizer que Todo A B no significa o mesmo que Todo B A.

    Todo gacho brasileiro Todo brasileiro gacho Nenhum A B Enunciados da forma Nenhum A B afirmam que os conjuntos A e B so disjuntos, isto , A e B no tem elementos em comum.

    Dizer que Nenhum A B logicamente equivalente a dizer que Nenhum B A.

    Exemplo:

    Nenhum diplomata analfabeto = Nenhum analfabeto diplomata

    Algum A B Por conveno universal em Lgica, proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

    Contudo, quando dizemos que Algum A B, pressupomos que nem todo A B. Entretanto, no sentido lgico de algum, est perfeitamente correto afirmar que alguns alunos so ricos, mesmo sabendo que todos eles so ricos.

    Dizer que Algum A B logicamente equivalente a dizer que Algum B A.

    Exemplo:

    Algum mdico poeta = Algum poeta mdico

    Tambm, so equivalentes as expresses seguintes:

    Algum A B = Pelo menos um A B = Existe um A que B

    Exemplo:

    Algum poeta mdico = Pelo menos um poeta mdico = Existe um poeta que mdico

  • Raciocnio Lgico 23 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Algum A no B Proposies da forma Algum A no B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que no pertence ao conjunto B.

    Dizer que Algum A no B logicamente equivalente a dizer que Algum A no B, e tambm logicamente equivalente a dizer que Algum no B A.

    Exemplo:

    Algum fiscal no honesto = Algum fiscal no honesto = Algum no honesto fiscal

    Ateno: dizer que Algum A no B no significa o mesmo que Algum B no A.

    Exemplo:

    Algum animal no mamfero Algum mamfero no animal IMPORTANTE: Nas proposies categricas, usam-se tambm as variaes gramaticais dos verbos ser e estar, tais como , so, est, foi, eram, ..., como elo de ligao entre A e B. # Reviso

    Como mais adiante teremos vrias questes envolvendo as palavras todo, algum e nenhum, resolvemos listar algumas regras que j foram vistas.

    Todo A no B equivalente a Nenhum A B Nenhum A no B equivalente a Todo A B

    A negao de Todo A B Algum A no B (e vice-versa) A negao de Algum A B Nenhum A B (e vice-versa)

    # REPRESENTAO DAS PROPOSIES CATEGRICAS As proposies categricas sero representadas por diagramas de conjuntos para a soluo de diversas questes de concurso.

    Cada proposio categrica tem um significado em termos de conjunto, e isso quem definir o desenho do diagrama; e veremos adiante que uma proposio categrica pode possuir mais de um desenho.

    Relembremos os significados, em termos de conjunto, de cada uma das proposies categricas:

    Todo A B = todo elemento de A tambm elemento de B.

    Nenhum A B = A e B no tem elementos em comum.

    Algum A B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

    Algum A no B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que no pertence ao conjunto B.

    Junto com as representaes das proposies categricas, analisaremos a partir da verdade de uma das proposies categricas, a verdade ou a falsidade das outras.

    1. Se a proposio Todo A B verdadeira, ento temos duas representaes possveis:

  • Raciocnio Lgico 24 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    O conjunto A dentro do conjunto B O conjunto A igual ao conjunto B

    Em ambas as representaes acima, observe que todo elemento de A tambm elemento de B. Da as duas representaes so vlidas para a proposio Todo A B.

    Quando Todo A B verdadeira, os valores lgicos das outras proposies categricas so os seguintes:

    Nenhum A B necessariamente falsa.

    Algum A B necessariamente verdadeira.

    Algum A no B necessariamente falsa.

    2. Se a proposio Nenhum A B verdadeira, ento temos somente a representao:

    No h elementos em comum entre os dois conjuntos (No h interseco!)

    Quando Nenhum A B verdadeira, os valores lgicos das outras proposies categricas so os seguintes:

    Todo A B necessariamente falsa.

    Algum A B necessariamente falsa.

    Algum A no B necessariamente verdadeira.

    3. Se a proposio Algum A B verdadeira, temos quatro representaes possveis:

    A

    B

    A B

    A B

    A = B

    BA

    A B

    A = B

    a b

    a

    a Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum. b

    Todos os elementos de A esto em B.

    c Todos os elementos de B esto em A. d O conjunto A igual ao conjunto B

  • Raciocnio Lgico 25 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Em todas as quatro representaes acima, observe que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Da, todas as quatro representaes so corretas para a proposio Algum A B.

    Quando Algum A B verdadeira, os valores lgicos das outras proposies categricas so os seguintes:

    Nenhum A B necessariamente falsa.

    Todo A B indeterminada, pois pode ser verdadeira (em b e d) e pode ser falsa (em a e c).

    Algum A no B indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e b) e pode ser falsa (em c e d).

    4. Se a proposio Algum A no B verdadeira, temos trs representaes possveis:

    Em todas as trs representaes acima observe que o conjunto A tem pelo menos um elemento que no pertence ao conjunto B.

    Os valores lgicos das outras proposies categricas so os seguintes: Todo A B necessariamente falsa.

    Nenhum A B indeterminada, pois pode ser verdadeira (em c) e pode ser falsa (em a e b).

    Algum A B indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e b) e pode ser falsa (em c).

    Algum vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor buscar entender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resoluo das questes abaixo, conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos diagramas lgicos!

    Ou seja, a coisa bem mais fcil do que aparenta. Passemos s resolues!

    Exerccio: (Especialista em Polticas Pblicas Bahia 2004 FCC) Considerando todo livro instrutivo como uma proposio verdadeira, correto inferir que:

    a) Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

    b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

    c) Algum livro no instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.

    d) Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.

    e) Algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

    A B A

    B

    A B

    a Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum. b

    Todos os elementos de B esto em A.

    c No h elementos em comum entre os dois conjuntos.

  • Raciocnio Lgico 26 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Sol.:

    Temos que a proposio todo livro instrutivo verdadeira. Baseando-se nesta proposio, construiremos as representaes dos conjuntos dos livros e das coisas instrutivas. Como vimos anteriormente h duas representaes possveis:

    Pode haver questo mais fcil que esta?

    A opo A descartada de pronto: nenhum livro instrutivo implica a total dissociao entre os diagramas. E estamos com a situao inversa!

    A opo B perfeitamente escorreita! Percebam que nos dois desenhos acima os conjuntos em vermelho e em azul possuem elementos em comum. Resta necessariamente perfeito que algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

    Resposta: opo B.

    J achamos a resposta correta, mas continuaremos a anlise das outras opes.

    A opo C incorreta! Pois a proposio algum livro no instrutivo necessariamente falsa. Isso pode ser constatado nos dois desenhos acima, vejam que no h um livro sequer que no seja instrutivo.

    A opo D incorreta! Pois na anlise da opo B j havamos concludo que algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

    A opo E incorreta! Pois na anlise da opo C j havamos concludo que algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente falsa.

    livro

    instrutivo livro instrutivo =

    a b

  • Raciocnio Lgico 27 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    ARGUMENTO

    Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser conseqncia das primeiras!

    Dito de outra forma, argumento a relao que associa um conjunto de proposies p1, p2, ... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposio c, chamada de concluso do argumento.

    No lugar dos termos premissa e concluso podem ser tambm usados os correspondentes hiptese e tese, respectivamente.

    Vejamos alguns exemplos de argumentos:

    Exemplo 1) p1: Todos os cearenses so humoristas.

    p2: Todos os humoristas gostam de msica.

    c : Todos os cearenses gostam de msica.

    Exemplo 2) p1: Todos os eltrons so partculas negativas.

    p2: O neliun uma partcula negativa.

    c : O neliun um eltron.

    O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima chamado silogismo. Ou seja, silogismo aquele argumento formado por duas premissas e a concluso.

    Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lgicos, interessados em verificar se eles so vlidos ou invlidos! isso o que interessa. Ento, passemos a seguir a entender o que significa um argumento vlido e um argumento invlido.

    # ARGUMENTO VLIDO:

    Dizemos que um argumento vlido (ou ainda legtimo ou bem construdo), quando a sua concluso uma conseqncia obrigatria do seu conjunto de premissas.

    Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a prpria concluso podero ser visivelmente falsas (e at absurdas!), e o argumento, ainda assim, ser considerado vlido. Isto pode ocorrer porque, na Lgica, o estudo dos argumentos no leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compem o argumento, mas to somente a validade deste.

    Exemplo 03: O silogismo...

    p1: Todos os homens so pssaros. p2: Nenhum pssaro animal.

    c: Portanto, nenhum homem animal.

    ... est perfeitamente bem construdo, sendo, portanto, um argumento vlido, muito embora a validade das premissas e da concluso sejam totalmente questionveis.

    Repetindo: o que vale a construo, e no o seu contedo! Ficou claro? Se a construo est perfeita, ento o argumento vlido, independentemente do contedo das premissas ou da concluso!

    Agora a questo mais importante: como saber que um determinado argumento mesmo vlido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento utilizando-se de diagramas de conjuntos. Trata-se de um mtodo muito til e que ser usado com freqncia em questes que pedem a verificao da validade de um argumento qualquer. Vejamos como funciona, usando esse exemplo acima.

    Quando se afirma, na premissa p1, que todos os homens so pssaros, poderemos representar essa frase da seguinte maneira:

  • Raciocnio Lgico 28 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) esto includos, ou seja, pertencem ao conjunto maior (dos pssaros).

    E ser sempre essa a representao grfica da frase Todo A B. Dois crculos, um dentro do outro, estando o crculo menor a representar o grupo de quem se segue palavra todo.

    Ficou claro? Pois bem! Faamos a representao grfica da segunda premissa.

    Temos, agora, a seguinte frase: Nenhum pssaro animal. Observemos que a palavra-chave desta sentena nenhum. E a idia que ela exprime de uma total dissociao entre os dois conjuntos. Vejamos como fica sua representao grfica:

    Ser sempre assim a representao grfica de uma sentena Nenhum A B: dois conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum.

    Tomemos agora as representaes grficas das duas premissas vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos:

    Agora, comparemos a concluso do nosso argumento Nenhum homem animal com o desenho das premissas acima. E a? Ser que podemos dizer que esta concluso uma conseqncia necessria das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens est totalmente separado (total dissociao!) do conjunto dos animais.

    Resultado: este um argumento vlido!

    Para testar a validade do argumento acima, consideramos as duas premissas como verdadeiras, mesmo sabendo que eram absurdas. Perceberam?

    Conjunto dos pssaros

    Conjunto dos homens

    Conjunto dos Animais

    Conjunto dos Pssaros

    Homens

    Pssaros

    Animais

  • Raciocnio Lgico 29 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Num raciocnio dedutivo (lgico) no possvel estabelecer a verdade de sua concluso se as premissas no forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das premissas tarefa que incube cincia, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Qumica, Direito, etc., assuntos que talvez desconheamos por completo! E ainda assim, teremos total condio de averiguar a validade do argumento!

    Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento invlido.

    # ARGUMENTO INVLIDO:

    Dizemos que um argumento invlido tambm denominado ilegtimo, mal construdo, falacioso ou sofisma quando a verdade das premissas no suficiente para garantir a verdade da concluso.

    Entenderemos melhor com um exemplo.

    Exemplo 04:

    p1: Todas as crianas gostam de chocolate.

    p2: Patrcia no criana.

    c: Portanto, Patrcia no gosta de chocolate.

    Veremos a seguir que este um argumento invlido, falacioso, mal construdo, pois as premissas no garantem (no obrigam) a verdade da concluso.

    Patrcia pode gostar de chocolate mesmo que no seja criana, pois a primeira premissa no afirmou que somente as crianas gostam de chocolate.

    Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifcio, que o argumento em anlise invlido. Vamos l:

    Comecemos pela primeira premissa: Todas as crianas gostam de chocolate. J aprendemos acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos:

    Analisemos agora o que diz a segunda premissa: Patrcia no criana. O que temos que fazer aqui pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poder estar localizada a Patrcia, obedecendo o que consta nesta segunda premissa.

    Vemos facilmente que a Patrcia s no pode estar dentro do crculo das crianas. a nica restrio que faz a segunda premissa. Isto posto, conclumos que a Patrcia pode estar em dois lugares distintos do diagrama: 1) Fora do conjunto maior; 2) Dentro do conjunto maior (sem tocar o crculo das crianas!). Vejamos:

    crianas

    Pessoas que gostam de chocolate

    crianas

    Pessoas que gostam de chocolate

    x Patrcia x Patrcia

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    Pr-Concurso de Pernambuco

    Finalmente, passemos anlise da concluso: Patrcia no gosta de chocolate. Ora, o que nos resta para sabermos se este argumento vlido ou no, justamente confirmar se esse resultado, ou seja, se esta concluso, necessariamente verdadeira! O que vocs dizem? necessariamente verdadeiro que Patrcia no gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, respondemos que no! Pode ser que ela no goste de chocolate (caso esteja fora do crculo maior), mas tambm pode ser que goste (caso esteja dentro do crculo maior)!

    Enfim, o argumento invlido, pois as premissas no garantiram a veracidade da concluso!

    # MTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS Os diferentes mtodos utilizados para testar a validade de um argumento so mostrados a seguir: 1) Utilizando diagramas de conjuntos Esta forma indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo, algum e nenhum, ou os seus sinnimos: cada, existe um, .... Consiste na representao das premissas por diagramas de conjuntos, e posterior verificao da verdade da concluso. 2) Construindo a tabela-verdade do argumento Esta forma mais indicada quando no se puder resolver pelo mtodo descrito acima, que ocorre quando nas premissas no aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os conectivos ou , e, e . Baseia-se na construo da tabela verdade, destacando uma coluna para cada premissa e outra para a concluso. Aps a construo da tabela verdade, verificar quais so as linhas da tabela em que os valores lgicos das premissas tm valor V. Se em todas essas linhas, os valores lgicos relativos a coluna da concluso, forem tambm V, o argumento vlido. Se ao menos uma daquelas linhas tiver na coluna da concluso um valor F, ento o argumento invlido. Este mtodo tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve vrias proposies simples, mas atravs deste mtodo podemos observar e entender, claramente, a validade do argumento. 3) Considerar premissas verdadeiras e verificar o valor lgico da concluso Esta forma bem fcil e rpida para mostrar a validade de um argumento, mas s devemos utiliz-la na impossibilidade do primeiro mtodo. Este mtodo inicia-se considerando as premissas como verdades, e atravs de operaes lgicas com os conectivos, descobrir o valor lgico da concluso, que deve resultar em verdade para que o argumento seja vlido.

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    Pr-Concurso de Pernambuco

    Na seqncia, um quadro que resume os quatro mtodos, e quando se deve lanar mo de um ou de outro, em cada caso. Vejamos:

    Deve ser usado quando... No deve ser usado quando...

    O argumento vlido quando...

    1 Mtodo

    Utilizao dos Diagramas

    (circunferncias)

    o argumento apresentar as palavras todo, nenhum, ou

    algum

    o argumento no apresentar tais

    palavras.

    a partir dos diagramas verificarmos que a concluso

    uma conseqncia obrigatria das premissas.

    2 Mtodo

    Construo da Tabela-Verdade do argumento

    em qualquer caso, mas

    preferencialmente quando o argumento tiver no

    mximo duas proposies simples.

    o argumento apresentar mais

    de trs proposies

    simples.

    nas linhas da tabela em que os valores lgicos das

    premissas tm valor V, os valores lgicos relativos a coluna da concluso forem

    tambm V.

    3 Mtodo

    Considerando as premissas

    verdadeiras e verificando o valor

    lgico da concluso

    o 1 Mtodo no puder ser empregado, e houver uma

    premissa... ...que seja uma proposio

    simples; ou ... que esteja na forma de

    uma conjuno (e).

    nenhuma premissa for uma

    proposio simples ou uma

    conjuno.

    o valor encontrado para a concluso obrigatoriamente

    verdadeiro.

    Exerccios: Classifique os seguintes argumentos como vlido ou invlido. 1. P Q ~P___ Q 2. P Q Q____ P 3. P Q ~P____ ~Q 4. P Q R ~Q R______ ~P e R 6. Se no trabalho, ento no compro um carro. Trabalho ou serei aprovado em Matemtica. No trabalho.___________________________ Serei aprovado em Matemtica e no compro o carro.

    Gabarito: 1.vlido 2. invlido 3. invlido 4. vlido 6. vlido

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    Pr-Concurso de Pernambuco

    INTRODUO TEORIA DOS CONJUNTOS

    Agora relembraremos alguns tpicos da teoria dos conjuntos, para nos familiarizarmos com a linguagem e a simbologia. Relaes de pertinncia (relacionam elemento com conjunto):

    (pertence), (no pertence)

    Relaes de incluso (relacionam um conjunto com outro conjunto): (est contido), (contm), (no est contido), ( no contm)

    Subconjunto: diz-se que A subconjunto de B se todo elemento de A tambm elemento de B. Conjunto das partes de um conjunto: chama-se conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), o conjunto cujos elementos so todos as partes de A, isto : P(A) = {x | x A}.

    O nmero de subconjuntos de um conjunto A dado por 2n, em que n o nmero de elementos de A. Operaes com conjuntos: dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, denomina-se: - Unio (): A B = {x / xA ou xB} - Interseo (): A B = {x / xA e xB} - Diferena ( - ) : A - B = {x / x A e xB} - Complementar (A'): A' = {x S | xA} Exemplo 1: Considere o diagrama acima onde o retngulo representa o conjunto-universo S e os crculos representam os conjuntos A e B.

    Agora determine: a) o conjunto A d) o nmero de elementos de B g) A B j) B - A b) o conjunto B e) o nmero de subconjuntos de A h) A B l) A' c) o nmero de elementos de A f) o nmero de subconjuntos de B Ii) A B m) B' Soluo a) A = {a, b, c, d, e} b) B = {d, e, f, g, h, i} c) n(A) = 5 d) n(B) = 6 e) 2n = 25 = 32 f) 2n = 26 = 64 g) A B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} h) A B = {d, e} i) A - B = {a, b, c} j) B - A = {f, g, h, i} l) A' = S - A = {f,g,h,i,j,l,m,n} m) B' = S - B = {a,b,c,j,l,m,n} Exemplo 2: Construa um diagrama representativo de trs conjuntos A, B e C contidos no conjunto universo S, tais que: A B , B A , C A e C B

    Soluo:

    A B C

    S

    B

    f g h i

    d e

    m

    n

    l j

    S

    a b c

    A

  • Raciocnio Lgico 33 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    INTRODUO ANLISE COMBINATRIA

    Questes de anlise combinatria sero aquelas que perguntaro de quantas formas pode ocorrer um determinado evento. Vejamos alguns exemplos:

    1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema?

    2) Quantos nmeros de trs algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5)?

    3) Quantos tipos de saladas, feita de trs tipos de frutas diferentes, podem ser formados com as seguintes frutas: banana, ma, pra, uva, laranja, mamo, melo?

    Enfim! Situaes como essas acima sero resolvidas por meio de tcnicas que conheceremos a partir de agora. Ou seja, a Anlise Combinatria se presta ao seguinte: a descobrir o nmero de maneiras possveis de se realizar um determinado evento, sem que seja necessrio descrever todas essas maneiras!

    Um exemplo melhor, para esclarecer o que foi dito: suponhamos que eu tenho uma moeda na mo e vou lan-la trs vezes para o ar. A pergunta : quantos so os resultados possveis para esses trs lanamentos da moeda?

    Ora, se fssemos tentar descrever todas as possibilidades, poderamos faz-lo por intermdio de um desenho, chamado diagrama da rvore. Da seguinte forma:

    1 Lanamento 2 Lanamento 3 Lanamento Resultados

    Cara ------ C, C, C Cara

    Coroa ------ C, C, K Cara

    Cara ------ C, K, C Coroa

    Coroa ------ C, K, K

    Cara ------ K, C, C Cara

    Coroa ------ K, C, K Coroa

    Cara ------- K, K, C Coroa

    Coroa ------ K, K, K

    Nos resultados, chamamos cara de C, e coroa de k. E assim, por meio do desenho acima, percebemos que h oito diferentes possveis resultados para o lanamento de uma moeda trs vezes! Ocorre que seria muito custoso termos que, a cada novo problema, fazer o tal do diagrama da rvore!

    A entra a Anlise Combinatria! Usando tcnicas simples, podemos chegar ao resultado procurado, sem precisar desenhar as resultados possveis!

    # PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM:

    Chamaremos essa primeira tcnica apenas de Princpio da Contagem. Ok?

    Consiste em qu? Consistem em dividirmos o nosso evento em etapas. E para cada uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobriremos qual o seu nmero de resultados possveis!

  • Raciocnio Lgico 34 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Tomemos o exemplo da moeda acima. O evento consiste em lanar uma moeda trs vezes. Da, fica bem fcil dividi-lo em etapas: cada etapa ser um lanamento. Confere?

    Destarte, teremos:

    1 etapa) 1 lanamento da moeda;

    2 etapa) 2 lanamento da moeda;

    3 etapa) 3 lanamento da moeda.

    Pois bem! Conforme dissemos, temos que descobrir os resultados possveis individuais de cada etapa.

    Ou seja, ao lanarmos a moeda a primeira vez, quantos sero os resultados possveis para esse primeiro lanamento? Dois, obviamente! (Cara ou coroa!). O mesmo se dar com o segundo lanamento e com o terceiro. Da, teremos:

    1 etapa) 1 lanamento da moeda 2 resultados possveis 2 etapa) 2 lanamento da moeda 2 resultados possveis 3 etapa) 3 lanamento da moeda 2 resultados possveis Finalmente, o Princpio da Contagem vem nos dizer: agora, basta multiplicar os resultados parciais (de cada etapa), e teremos o resultado total (para todo o evento)!

    Teremos: 2x2x2= 8 A mesma resposta do diagrama da rvore! Sem precisarmos fazer desenho algum, conclumos que h oito possveis resultados para o lanamento de uma moeda trs vezes!

    Passemos a outro exemplo, igualmente simples:

    Num hospital, existem 3 portas de entrada (P1, P2 e P3) que do para um saguo, no qual existem 4 elevadores (E1, E2, E3 e E4). Um visitante deve dirigir-se ao 5 andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poder faz-lo?

    Caso decidssemos tentar desenhar uma resoluo, mediante o diagrama da rvore, faramos o seguinte: E1 (P1, E1) E2 (P1, E2) E3 (P1, E3) E4 (P1, E4)

    E1 (P2, E1) E2 (P2, E2) . E3 (P2, E3) E4 (P2, E4)

    E1 (P3, E1) E2 (P3, E2) P3 E3 (P3, E3) E4 (P3, E4)

    Em azul, esto as doze possibilidades distintas de, usando uma das trs portas e um dos quatro elevadores, chegarmos ao quinto andar!

    Ocorre que j aprendemos que o tal desenho acima desnecessrio! Mais rpido e eficaz ser utilizar o princpio da contagem. Para tanto, dividiremos o evento (chegar ao 5 andar do hospital) em duas etapas:

    P1

    P2

  • Raciocnio Lgico 35 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    1 etapa) a escolha de uma porta de entrada;

    2 etapa) a escolha de um elevador.

    Feito isso, descobriremos o nmero de resultados possveis, individualmente, para cada etapa. Teremos:

    1 etapa) a escolha de uma porta de entrada 3 resultados possveis; 2 etapa) a escolha de um elevador ---------- 4 resultados possveis. Manda o princpio da contagem que multipliquemos os resultados parciais, e teremos:

    3x4=12 A mesma resposta do diagrama da rvore!

    A partir dos dois exemplos que acabamos de ver, j possvel apresentar formalmente o princpio fundamental da contagem. Vejamos:

    Enunciado do Princpio da Contagem: Se um acontecimento pode ocorrer por vrias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: P1 o nmero de possibilidades da 1 etapa; P2 o nmero de possibilidades da 2 etapa; . . Pk o nmero de possibilidades da k-sima etapa, ento:

    (P1 x P2 x ... x Pk) o nmero total de possibilidades do acontecimento ocorrer! Seguiremos apresentando e resolvendo alguns outros exemplos que podem ser resolvidos empregando-se o princpio fundamental da contagem:

    Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1, 2 e 3 lugares? Sol.:

    Quais sero as etapas desse evento? Ora, a definio do 1 colocado, a do 2 e a do 3!

    Trs etapas, portanto. Teremos:

    1 etapa) Definio do 1 colocado 4 resultados possveis; 2 etapa) Definio do 2 colocado 3 resultados possveis; 3 etapa) Definio do 3 colocado 2 resultados possveis. Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

    4x3x2 = 24 Resposta! Ou seja, podem ser formados 24 diferentes resultados de 1, 2 e 3 colocados numa corrida, dispondo-se de 4 competidores.

    De quantos modos trs pessoas podem ficar em fila indiana? Sol.:

    Fila indiana, voc sabe, aquela em que uma pessoa fica atrs da outra.

    Da, as etapas do evento sero: definir quem vai na cabea da fila, quem vai no meio e quem vai no fim.

    Teremos:

    1 etapa) definio do 1 da fila: 3 resultados possveis; 2 etapa) definio do 2 da fila: 2 resultados possveis; 3 etapa) definio do 3 da fila: 1 resultado possvel.

  • Raciocnio Lgico 36 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Da, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

    3x2x1 = 6 Resposta! Podem ser formadas seis diferentes filas indianas, com trs pessoas!

    Joo vai a um restaurante disposto a comer um s prato de carne e uma s sobremesa. O cardpio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeio?

    Sol.:

    Qual o evento? Ora, fazer uma refeio! Pelos dados da questo, as etapas para a composio deste evento (e os resultados possveis para cada uma delas) sero as seguintes:

    1 etapa) definio da carne 8 resultados possveis; 2 etapa) definio da sobremesa 5 resultados possveis. Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

    8x5 = 40 Resposta! Podem ser compostas 40 distintas refeies, dispondo-se de oito tipos de carne e 5 tipos de sobremesa!

    Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados? Sol.:

    O objetivo formar um casal. Ora, um casal composto de um homem e uma mulher! Logo, para cumprir esse objetivo, dividiremos o evento em duas etapas:

    1 etapa) escolha do homem 80 resultados possveis; 2 etapa) escolha da mulher 90 resultados possveis. Pelo princpio da contagem, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

    80x90 = 7200 Resposta!

    O sistema telefnico de So Paulo utiliza sete dgitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dgito seja sempre dois (2), e que o dgito zero (0) no seja utilizado para designar estaes (2 e 3 dgitos), quantos nmeros de telefones diferentes poderemos ter?

    Sol.:

    O evento agora compor um nmero de telefone, observando as restries previstas no enunciado! Como teremos 7 dgitos, trabalharemos tambm com 7 etapas! Cada etapa corresponde, naturalmente, escolha do respectivo dgito.

    Este exemplo se diferencia dos anteriores, pois aqui teremos que redobrar nossa ateno, uma vez que o enunciado estabelece exigncias especficas para algumas das etapas do evento. Por exemplo, dito que o primeiro dgito ser sempre 2. dito tambm que na escolha do segundo e do terceiro dgitos no poderemos usar o algarismo zero!

    Essas restries tero que ser observadas quando formos fazer o clculo dos resultados parciais! Teremos:

    1 etapa) Definio do 1 dgito 1 resultado possvel (s pode ser 2); 2 etapa) Definio do 2 dgito 9 resultados possveis. Seno, vejamos: dispomos dos algarismos do sistema decimal, para escolher um deles que ocupar o 2 dgito. So eles: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}. So dez algarismos! Ocorre que o enunciado amarra que o algarismo zero no pode ocupar essa segunda casa! Da, restam nove resultados possveis! Idntico raciocnio se repetir para a prxima etapa.

    3 etapa) Definio do 3 dgito 9 resultados possveis. 4 etapa) Definio do 4 dgito 10 resultados possveis!

  • Raciocnio Lgico 37 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    Aqui no h nenhuma exigncia especfica, e nenhuma restrio! Ou seja, pode ser usado qualquer algarismo do sistema decimal (e so 10!). O mesmo raciocnio se repetir para as trs ltimas etapas.

    5 etapa) Definio do 5 dgito 10 resultados possveis. 6 etapa) Definio do 6 dgito 10 resultados possveis. 7 etapa) Definio do 7 dgito 10 resultados possveis. Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

    1x9x9x10x10x10x10 = 810.000 Resposta!

    Um edifcio tem 8 (oito) portas. De quantas formas uma pessoa poder entrar no edifcio e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?

    Sol.:

    Iniciemos nossa anlise. Qual o objetivo da questo? Fazer com que uma pessoa entre e saia de um edifcio. Para tanto, dispor a pessoa de um total de oito portas!

    Ocorre que o enunciado determina que a porta de sada dever ser diferente da de entrada. Em suma: precisamos escolher uma porta para entrar e uma para sair, de um total de oito portas!

    Da:

    Conjunto Universo: {Porta1, Porta2, Porta3, Porta4, Porta5, Porta6, Porta7, Porta8}

    Subgrupo: Porta de entrada Porta de sada

    Da, teremos:

    1 etapa) Escolha da porta de entrada: 8 resultados possveis; 2 etapa) Escolha da porta de sada: 7 resultados possveis. Multiplicando-se os resultados individuais, teremos:

    8 x 7 = 56 Resposta!

    Uma linha ferroviria tem 16 estaes. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estao de partida e de chegada, respectivamente?

    Sol.:

    O conjunto universo um grupo de 16 estaes.

    O objetivo formar um bilhete, que defina uma partida e uma chegada.

    Pelos dados da questo, as etapas para a composio deste evento (e os resultados possveis para cada uma delas) sero as seguintes:

    1 etapa) bilhete de partida

    16 resultados possveis; 2 etapa) bilhete de entrada

    Estao de partida e estao de chegada podem ser iguais? No! Tem que ser distintas! Da, teremos: 15 resultados possveis.

    Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

    16x15 = 240 Resposta!

  • Raciocnio Lgico 38 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    EXERCCIOS DE RACIOCNIO LGICO

    # CONCEITOS DE LGICA, CONECTIVOS LGICOS E TABELAS-VERDADE 01. (ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em

    comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocnio lgico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia.

    A frase que no possui essa caracterstica comum a (A) I. (D) IV. (B) II. (E) V. (C) III. 02. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere a proposio Paula estuda, mas no passa no concurso. Nessa

    proposio, o conectivo lgico (A) disjuno inclusiva. (D) condicional. (B) conjuno. (E) bicondicional. (C) disjuno exclusiva. 03. (ICMS/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies.

    p q ? V V F V F V F V F F F F

    A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao (A) p q (D) p q (B) p q (E) ~(p q) (C) ~(p q) 04. (BACEN 2006 FCC) Sejam as proposies: p: atuao compradora de dlares por parte do Banco Central; q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica em q, ento (A) a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio necessria para fazer frente ao

    fluxo positivo. (B) fazer frente ao fluxo positivo condio suficiente para a atuao compradora de dlares por parte do

    Banco Central. (C) a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio suficiente para fazer frente ao

    fluxo positivo. (D) fazer frente ao fluxo positivo condio necessria e suficiente para a atuao compradora de dlares

    por parte do Banco Central. (E) a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central no condio suficiente e nem

    necessria para fazer frente ao fluxo positivo. 05. (TCE PIAU 2005 FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se um cliente faz

    uma reclamao formal, ento aberto um processo interno e o departamento de qualidade acionado. De acordo com essa afirmao correto concluir que

    (A) a existncia de uma reclamao formal de um cliente uma condio necessria para que o departamento de qualidade seja acionado.

    (B) a existncia de uma reclamao formal de um cliente uma condio suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado.

    (C) a abertura de um processo Interno uma condio necessria e suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado.

    (D) se um processo interno foi aberto, ento um cliente fez uma reclamao formal (E) no existindo qualquer reclamao formal feita por um cliente, nenhum processo interno poder ser

    aberto.

  • Raciocnio Lgico 39 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    06. Encontre o valor lgico das proposies abaixo: a) 3+4=7 ou 2+2=4 b) 83 c) 6 5 8 > 6 j) 3 > 5 8 > 6 k) 7 > 8 ~(5 < 4) l) ~(5 > 17) 9 < 4

    07. (Tc Controle Interno RJ 99 FCC) Dadas as proposies

    I) ~( 1 + 1 = 2 3 + 4 = 5 ) II) ~( 2 + 2 4 3 + 5 = 8 ) III) 43 64 ( 3 + 3 = 7 1 + 1 = 2 ) IV) (23 8 42 43) V) 34 = 81 ~ ( 2 + 1 = 3 5 x 0 = 0)

    A que tem valor lgico FALSO a (A) IV (B) V (C) III (D) II (E) I 08. (Tc. Controle Interno RJ 99 FCC) Dadas as proposies compostas:

    I) 3+4=7 53=125 II) 3+2=6 4+4=9 III) 3 >1 ( no um nmero real) IV) 2 >1 20=2 V) 2>0 2

  • Raciocnio Lgico 40 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    12. (Gestor Fazendrio MG/2005/Esaf) Considere a afirmao P: P: A ou B Onde A e B, por sua vez, so as seguintes afirmaes: A: Carlos dentista B: Se Enio economista, ento Juca arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmao P falsa. Logo: a) Carlos no dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto. b) Carlos no dentista; Enio economista; Juca no arquiteto. c) Carlos no dentista; Enio economista; Juca arquiteto. d) Carlos dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto. e) Carlos dentista; Enio economista; Juca no arquiteto. 13. (TCE-SP 2005 FCC) As afirmaes de trs funcionrios de uma empresa so registradas a seguir: - Augusto: Beatriz e Carlos no faltaram ao servio ontem. - Beatriz: Se Carlos faltou ao servio ontem, ento Augusto tambm faltou. - Carlos: Eu no faltei ao servio ontem, mas Augusto ou Beatriz faltaram. Se as trs afirmaes so verdadeiras, correto afirmar que, ontem, APENAS (A)Augusto faltou ao servio. (D) Augusto e Beatriz faltaram ao servio. (B) Beatriz faltou ao servio. (E) Beatriz e Carlos faltaram ao servio. (C) Carlos faltou ao servio. 14. (Analista BACEN 2005 FCC) Aldo, Ben e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A

    seguir so registradas as declaraes dadas pelos trs, aps a concluso do projeto: - Aldo: No verdade que Ben e Caio executaram o projeto. - Ben: Se Aldo no executou o projeto, ento Caio o executou. - Caio: Eu no executei o projeto, mas Aldo ou Ben o executaram. Se somente a afirmao de Ben falsa, ento o projeto foi executado APENAS por (A) Aldo. (D) Aldo e Ben. (B) Ben. (E) Aldo e Caio. (C) Caio. 15. (TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposio: "na eleio para a prefeitura, o candidato A ser

    eleito ou no ser eleito. Do ponto de vista lgico, a afirmao da proposio caracteriza (A) um silogismo. (D) uma contingncia. (B) uma tautologia. (E) uma contradio. (C) uma equivalncia.

    16. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere as afirmaes abaixo.

    I. O nmero de linhas de uma tabela-verdade sempre um nmero par. II. A proposio (10 < 10 ) (8 - 3 = 6) falsa. III. Se p e q so proposies, ento a proposio (p q) (~q) uma tautologia.

    verdade o que se afirma APENAS em (A) I. (D) I e II. (B) II. (E) I e III. (C) III. 17. (ICMS/SP 2006 FCC) Seja a sentena ~{[ (p q) r] [ q (~p r)] }. Se considerarmos que p falsa, ento verdade que (A) essa sentena uma tautologia. (B) o valor lgico dessa sentena sempre F. (C) nas linhas da Tabela-Verdade em que p F, a sentena V. (D) nas linhas da Tabela-Verdade em que p F, a sentena F. (E) faltou informar o valor lgico de q e de r.

  • Raciocnio Lgico 41 Prof. Weber Campos

    Pr-Concurso de Pernambuco

    18. (Agente da Polcia Federal 2004 CESPE) Texto para os prximos sete itens.

    Considere que as letras P, Q, R e T representem proposies e que os smbolos , , e sejam operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e, ou e ento, respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informaes apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 1. Se as proposies P e Q so ambas verdadeiras, ento a proposio ( P) ( Q) tambm verdadeira. 2. Se a proposio T verdadeira e a proposio R falsa, ento a proposio R ( T) falsa. 3. Se as proposies P e Q so verdadeiras e a proposio R falsa, ento a proposio (P R) ( Q)

    verdadeira. 19. (TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposio Hoje choveu, Q represente a proposio

    Jos foi praia e R represente a proposio Maria foi ao comrcio. Com base nessas informaes e no texto, julgue os itens a seguir:

    1. A sentena Hoje no choveu ento Maria no foi ao comrcio e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P (R Q)

    2. A sentena Hoje choveu e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P Q 3. Se a proposio Hoje no choveu for valorada como F e a proposio Jos foi praia for valorada como

    V, ento a sentena representada por P Q falsa. 4. O nmero de linhas da tabela-verdade de (Q R) P inferior a 9. # QUESTES QUE ENVOLVEM NEGAO 20. Assinale a assertiva incorreta.

    a) A negao de "2 par e 3 mpar" "2 no par ou 3 no mpar" . b) A negao de "5 primo ou 7 par" "5 no primo e 7 no par'. c) A negao de 2 5 2 5. d) A negao de "algum nmero primo par" "todo nmero primo no par". e) A negao de "nenhum nmero inteiro" "algum nmero inteiro" .

    21. D uma negao para cada uma das proposies abaixo.

    a) O tempo ser frio e chuvoso. b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova. c) Maria no morena ou Regina baixa. d) Se o tempo est chuvoso ento est frio. e) Todos os corvos so negros. f) Nenhum tringulo retngulo. g) Alguns sapos so bonitos. h) Algumas vidas no so importantes.

    22. (TRT 9 Regio 2004 FCC) A correta negao da proposio "todos os cargos deste concurso so de

    analista judicirio. : (A) alguns cargos deste concurso so de analista judicirio. (B) existem cargos deste concurso que no so de analista judicirio. (C) existem cargos deste concurso que so de analista judicirio. (D) nenhum dos cargos deste concurso no de analista judicirio. (E) os cargos deste concurso so ou de analista, ou no judicirio. 23. (CVM 2000 ESAF) Dizer que a afirmao todos os economistas so mdicos falsa, do ponto de vista

    lgico, equivale a dizer que a seguinte afirmao verdadeira: a) pelo menos um economista no mdico b) nenhum economista mdico c) nenhum mdico economista d) pelo menos um mdico no economista e) todos os no mdicos so no economistas

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    24. (SERPRO 96) Se no verdade que Alguma professora universitria no d aulas interessantes, ento verdade que:

    a) todas as professoras universitrias do aulas interessantes; b) nenhuma professora universitria d aulas interessantes; c) nenhuma aula interessante dada por alguma professora universitria; d) nem todas as professoras universitrias do aulas interessantes; e) todas as aulas no interessantes so dadas por professoras universitrias.

    25. (AFC 2002 ESAF) Dizer que no verdade que Pedro pobre e Alberto alto, logicamente

    equivalente a dizer que verdade que: a) Pedro no pobre ou Alberto no alto. b) Pedro no pobre e Alberto no alto. c) Pedro pobre ou Alberto no alto. d) se Pedro no pobre, ento Alberto alto. e) se Pedro no pobre, ento Alberto no alto.

    26. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) A negao da afirmao condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-

    chuva" : a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) no est chovendo e eu levo o guarda-chuva c) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva e) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva

    27. (TRT Paran (cargo N13) 2004 FCC) Em uma declarao ao tribunal, o acusado de um crime diz:

    "No dia do crime, no fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: - hoje no compro nada. Isso posto, no tenho nada a declarar sobre o crime.

    Embora a dupla negao seja utilizada com certa freqncia na lngua portuguesa como um reforo

    da negao, do ponto de vista puramente lgico, ela equivale a uma afirmao. Ento, do ponto de vista lgico, o acusado afirmou, em relao ao dia do crime, que (A) no foi a lugar algum, no comprou coisa alguma do vendedor e no tem coisas a declarar sobre o

    crime. (B) no foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (C) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (D) foi a algum lugar, no comprou coisa alguma do vendedor e no tem coisas a declarar sobre o crime. (E) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e no tem coisas a declarar sobre o crime.

    28. (ICMS/SP 2006 FCC) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. (A) As proposies ~(p q) e (~p ~q) no so logicamente equivalentes. (B) A negao da proposio Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo est bom, a proposio Ele

    no faz caminhada se, e somente se, o tempo no est bom. (C) A proposio ~[ p ~(p q)] logicamente falsa. (D) A proposio Se est quente, ele usa camiseta, logicamente equivalente proposio No est

    quente e ele usa camiseta. (E) A proposio Se a Terra quadrada, ento a Lua triangular falsa.

    29. (TRT PARAN (cargo S17) 2004 FCC) Em um trecho da letra da msica Sampa, Caetano Veloso se

    refere cidade de So Paulo dizendo que ela o avesso, do avesso, do avesso, do avesso. Admitindo que uma cidade represente algo bom. e que o seu avesso represente algo ruim, do ponto de vista lgico, o trecho da msica de Caetano Veloso afirma que So Paulo uma cidade

    (A) equivalente a seu avesso. (D) ruim. (B) similar a seu avesso. (E) boa. (C) ruim e boa. 30. (TRT PARAN (cargo 124) 2004 FCC) O avesso de uma blusa preta branco. O avesso de uma cala

    preta azul. O avesso de uma bermuda preta branco.O avesso do avesso das trs peas de roupa (A) branco e azul. (D) azul. (B) branco ou azul. (E) preto. (C) branco.

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    EQUIVALNCIA ENTRE PROPOSIES COMPOSTAS 31. (ICMS/SP 2006 FCC) Das proposies abaixo, a nica que logicamente equivalente a