Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática,...

Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Aula 7 - Questões Comentadas e Resolvidas

Análise Combinatória: combinações, arranjos e permutações. Probabilidades: conjuntos, eventos, axiomas, probabilidades conjunta e condicional, independência, regras de adição, regra da multiplicação, teoremas da probabilidade total e de Bayes.

Julgue os itens a seguir.

1. As placas dos automóveis do Brasil são compostas por três letras e quatro números. O número máximo de veículos que podem ser licenciados pelo Detran, de acordo com esse padrão de confecção das placas, é menor que 180.000.

Resolução

PRELIMINARES

Fatorial: seja n um número inteiro não negativo. O fatorial de n, representado pelo símbolo n!, é definido conforme abaixo:

n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)....3.2.1

Exemplos:

I) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800

II) 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362.880 III) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320 IV) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 V) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 VI) 5! = 5.4.3.2.1 =120 VII) 4! = 4.3.2.1 = 24 VIII) 3! = 3.2.1 = 6 IX) 2! = 2.1 = 2 X) 1! = 1 XI) 0! = 1 (por definição)

É importante saber o conceito de fatorial para a prova, não porque cairá fatorial (na verdade, não vai cair uma questão específica sobre fatorial na prova), mas em virtude dos conceitos de Permutação, Arranjo e Combinação. Portanto, memorize o que foi exposto acima.

Princípio Fundamental da Contagem (Regra do Produto): Caso um evento qualquer ocorra em n etapas consecutivas e independentes da seguinte maneira:

Primeira etapa: existem k1 maneiras diferentes de ocorrer o evento.

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Segunda etapa: existem k2 maneiras diferentes de ocorrer o evento. Terceira etapa: existem k3 maneiras diferentes de ocorrer o evento. (...) Enésima etapa: existem kn maneiras diferentes de ocorrer o evento.

Número Máximo de Placas = 175.760.000.

GABARITO: Certo

2. O número de arranjos das letras a, b e c, tomadas duas de cada vez, é igual a 6.

Resolução

PRELIMINARES

Arranjos Simples

Uma coleção (ou conjunto) de n elementos constitui uma população de tamanho n (a ordem dos n elementos não importa). Duas populações são diferentes se uma contém pelo menos um elemento não contido na outra (neste caso, diz-se que elas têm naturezas distintas). Uma subpopulação de tamanho r de uma população de tamanho n é um subconjunto de r elementos tomados da população original. De forma análoga, duas subpopulações são


Número Total de Maneiras de Ocorrer o Evento = k1.k2.k3.k4...kn

Voltemos à resolução do item.

Nosso alfabeto possui 26 letras (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, W, Z). Nós utilizamos a base decimal, que possui 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

A placa é composta da seguinte maneira:

(Letra) (Letra) (Letra) (Número) (Número) (Número) (Número)

Exemplo: LAG 2134

Logo, para a primeira letra, temos 26 possibilidades, assim como para a segunda e para a terceira. Para o primeiro número temos 10 possibilidades, assim como para o segundo, para o terceiro e para o quarto.

Portanto, o número máximo de placas (veículos licenciados) seria:

(Letra) (Letra) (Letra) (Número) (Número) (Número) (Número)

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263 x 104


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior diferentes, isto é, têm naturezas distintas, se uma tem pelo menos um elemento diferente da outra.

leva em consideração a ordem de sua disposição

GABARITO: Certo

3. Suponha que o seu Internet Banking exija que você cadastre uma senha de seis dígitos, com as seguintes características:

• só é possível utilizar os algarismos de 0 a 9; e

• os dígitos devem ser distintos.

Então o número máximo de senhas que você pode criar é maior que 152.000.

Resolução

Observe que a senha 012345 é diferente da senha 102345, ou seja, a ordem dos dígitos gera possibilidades diferentes. Além disso, a senha 012345 é


Seja uma população de n elementos Qualquer arranjo ordenado

é denominado uma amostra ordenada (arranjo ordenado) de

tamanho r.

Considere uma urna genérica contendo n bolas numeradas distintas. As bolas são removidas uma a uma. Quantas amostras ordenadas distintas de tamanho r podem ser formadas? Há dois casos:

(i) Amostragem com reposição. Neste caso, temos n escolhas para a primeira bola, n escolhas para a segunda bola, e assim sucessivamente. Deste modo, há nr amostras ordenadas distintas de tamanho r.

(ii) Amostragem sem reposição. Neste caso, temos n escolhas para a primeira bola, (n-1) escolhas para a segunda bola, e assim sucessivamente. Deste modo, há

amostras ordenadas distintas de tamanho r.

A equação define a fórmula do arranjo simples, pois fornece o número de agrupamentos (amostras) ordenados possíveis de n elementos um conjunto, tomados r a r, considerando r elementos distintos.

Portanto, o número de arranjos das letras a, b e c, tomadas duas de cada vez.

São: ab, ba, ac, ca, bc, cb. Observe que um arranjo


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior diferente da senha 012346, ou seja, a natureza do elementos também gera possibilidades diferentes.

Contudo, você poderia perguntar: mas professores, preciso saber a fórmula do arranjo para resolver esta questão? A resposta é não. Basta utilizar o que temos que melhor: o raciocínio, ou se preferir, o raciocínio lógico.

A senha a ser criada será formada por seis números distintos. O "dígito 1" (D1), temos 10 possibilidades (de 0 a 9). Contudo, para o "dígito 2" (D2), como os números devem ser distintos, teríamos 9 possibilidades, pois devemos retirar o número utilizado no "dígito 1". Para o "dígito 3" (D3), teríamos 8 possibilidades, e assim por diante.

Deste modo teríamos,

10 x 9 x 8 x 7 x 6 x " 5 = 151.200 senhas distintas. (D1) (D2) (D3) (D4) (D5) (D6)

Viu como é fácil! E nem foi necessário usar a fórmula do arranjo.

Mas, se você é fanático(a) por fórmulas e prefere memorizá-las, obtemos o mesmo resultado utilizando a fórmula do arranjo simples (sabendo que as possibilidades serão distintas em virtude da ordem e da natureza dos elementos):

• n = 10 algarismos

• r = 6 dígitos (senha)

A10,6 = n!/(n - r)! = 10!/(10 - 6)! = 10!/4! = (10.9.8.7.6.5.4!)/4! = 151.200.

Nota: bizu de fatorial para a prova:

10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = 10.9.8.7.6! = 10.9.8.7.6.5! = = 10.9.8.7.6.5.4! = 10.9.8.7.6.5.4.3! = = 10.9.8.7.6.5.4.3.2! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

Generalizando:

n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)! = ...

GABARITO: Errado

4. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de permutações possíveis de seus elementos é 24

Resolução

PRELIMINARES




Permutações Simples

Quando os arranjos são formados por todos os elementos do conjunto dado e, além disso, diferem entre si somente em função da ordem de seus elementos, temos uma permutação simples. Assim, a permutação de n elementos distintos, tomados n de cada vez, será dada por

GABARITO: Certo

5. Cinco concurseiros(as) compraram cinco passagens aéreas para conhecer o país ESÁFIO. As passagens vieram com os seguintes assentos marcados: 1A, 1B, 1C, 1D e 1E. Podemos afirmar que o número de possibilidades distintas de ocupação dos cinco lugares reservados no avião é igual a 24 (considere que não seja preciso levar em conta o nome de cada pessoa nas passagens aéreas).

Resolução

Devemos calcular o número de possibilidades de cinco concurseiros(as) sentarem-se em cinco lugares diferentes. Não há como variar a natureza dos elementos, tendo em vista que 5 concurseiros(as) ocuparão 5 assentos distintos. As possibilidades serão diferentes entre si apenas em função da ordem. Logo, trata-se de permutação.

É necessário guardar a fórmula da permutação para resolver a questão? A resposta é NÃO. Vejamos o raciocínio a seguir.

Comecemos pelo assento 1A. Qualquer uma das cinco pessoas pode ocupar este assento. Temos então cinco possibilidades de ocupação para o lugar 1A.


Ressaltamos que, na permutação, os agrupamentos ou possibilidades serão diferentes entre si pela ordem apenas.

Deste modo,

Permutações possíveis (somente para conferência):


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Mas somente uma de quatro pessoas pode ocupar o assento 1B, pois uma delas assentou-se no lugar 1A. Logo, há quatro possibilidades de ocupação para o lugar 1B. Na sequência, somente três pessoas podem ocupar o assento 1C, haja vista que duas delas já estão sentadas nos lugares 1A e 1B, e assim sucessivamente. Deste modo, o esquema de possibilidades de ocupação é o seguinte:

(Lugar 1A) (Lugar 1B) (Lugar 1C) (Lugar 1D) (Lugar 1E)

Note que, como as pessoas são colocadas ao redor da mesa, as arrumações {P1,P5,P4,P3,P2} e {P3,P2,P1,P5,P4} são iguais, pois, para cada pessoa selecionada, os vizinhos à esquerda e à direita permanecem os mesmos. Deste modo, o giro de uma dada arrumação (como {P1,P5,P4,P3,P2}) ao redor da mesa não altera a disposição dos elementos, pois a mesa é circular.

GABARITO: Errado

7. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de subconjuntos possíveis de seus elementos é igual a 16.


Ps = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

GABARITO: Errado

6. O número de maneiras distintas em que cinco indivíduos (P1, P2, P3, P4 e P5) podem assentar-se ao redor de uma mesa circular é 120.

Resolução

Permutações Circulares: problemas que envolvem n pessoas em torno de uma mesa circular.

= 120 possibilidades

É claro que também podemos resolver este item através da aplicação da fórmula da permutação (as possibilidades são distintas em virtude da ordem dos elementos):



Resolução

Devemos determinar o número de subconjuntos possíveis. Portanto, pouco importa a ordem, tendo que vista que o conjunto {1, 2, 3}, por exemplo, é igual ao conjunto {2, 1, 3}. Contudo, a natureza influencia nas possibilidades, pois o conjunto {1, 2, 3}, por exemplo, é diferente do conjunto {1, 2, 4}. Logo, deve ser utilizada a combinação.

Neste caso, é mais fácil determinar todos os subconjuntos por número de elementos, ou seja, o subconjunto vazio, os subconjuntos com 1 elemento, os subconjuntos com 2 elementos, os subconjuntos com 3 elementos e os subconjuntos com 4 elementos.

conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 1 a 1.

pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 4 a 4.


Subconjunto vazio: apenas 1 grupo. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 0 a 0:

Subconjuntos com 1 elemento: grupos. Vamos

Subconjuntos de 2 elementos: 6 grupos. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 2 a 2:

Observe que aqui não importa a ordem, tendo em vista que, por exemplo, o subconjunto {1,2} é igual ao subconjunto {2,1}:

Subconjuntos de 3 elementos: grupos. Vamos conferir pela fórmula da combinação? Neste caso seria a combinação de 4 elementos, tomados 3 a 3:

Subconjuntos de 4 elementos: apenas 1 grupo. Vamos conferir



12 21 31 41 51 61 13 23 32 42 52 62 14 24 34 43 53 63 15 25 35 45 54 64 16 26 36 46 56 65

A tabela acima, por sua vez, é diferente do número de amostras que podem ser formadas com reposição (62 = 36):


Logo, o número total de subconjuntos é: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.

Nota:

Generalizando:

( )

REVISÃO DA NOÇÃO DE COMBINAÇÕES SIMPLES

Suponha que desejemos saber o seguinte: quantas subpopulações (grupos) de tamanho r podem ser formadas a partir de uma população de tamanho n? Por exemplo, considere 6 bolas numeradas de 1 a 6. Quantos grupos de tamanho 2 podem ser formados? A tabela abaixo mostra que 15 grupos de tamanho 2 podem ser formados:

12 23 34 45 56 13 24 35 46 14 25 36 15 26 16

Note que isto é diferente do número de amostras ordenadas que podem ser formadas sem reposição (arranjos simples). A tabela a seguir mostra que = 6 x 5 = 30 arranjos podem ser obtidos:


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65 16 26 36 46 56 66

Note que os grupos da primeira tabela (aquela com 15 grupos) diferem entre si somente em função da natureza de seus elementos e que a ordem não importa. Neste caso, diz-se que a primeira tabela relaciona as 15 combinações (simples) possíveis de n = 6 elementos tomados 2 a 2.

GABARITO: Certo

8. O número de grupos distintos de 3 pessoas que podem se formados com João, Maria, José, Mário e Joana é maior que 10.

Resolução

Quando formamos grupos de pessoas, a ordem não importa, pois o grupo Maria, José e Mário, por exemplo, é igual ao grupo José, Maria e Mário. Contudo, a natureza dos elementos é relevante, tendo em vista que o grupo João, Maria e José, por exemplo, é diferente do grupo João, Maria e Joana (os elementos José e Joana não pertencem aos dois grupos).


Adotaremos no restante desta aula a notação

de n elementos tomados r a r.

para a combinação

Uma fórmula geral para o número de combinações de tamanho r em uma

população de tamanho n pode ser deduzida como a seguir. Considere uma urna com n bolas distintas. Nós já sabemos que o número de arranjos de n elementos, tomados r de cada vez, é Agora considere uma subpopulação específica de tamanho r. Para esta subpopulação, há r! arranjos distintos. Desta forma, para combinações (subpopulações) devem existir diferentes amostras ordenadas de tamanho r. Portanto,

ou

A fórmula acima define o coeficiente binomial.


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Portanto, teremos uma combinação de 5 pessoas (João - J1, Maria - M1, José - J2; Mário - M2 e Joana - J3), tomadas 3 a 3 (o exemplo pede grupos distintos de 3 pessoas):

Combinações possíveis (somente para conferência):

Note que o grupo {J1,M1,J2} é equivalente ao grupo {M1,J2,J1}, pois a ordem não importa neste caso.

GABARITO: Errado

9. Você está se preparando para realizar a prova de Raciocínio Lógico-Quantitativo do próximo concurso público e estabeleceu como objetivo resolver (e acertar) 16 das 20 questões possíveis. Então o número de grupos de 16 questões que podem ser selecionadas é menor que 5.000

Resolução

A ordem das questões não importa. Contudo, a natureza das questões importa, pois você pode, por exemplo, em uma possibilidade, acertar as questões de 1 a 16 e, em outra possibilidade, acertar as questões de 1 a 15 e 17. Logo, não podemos utilizar o conceito da permutação, mas sim o da combinação das 20 questões da prova, tomadas 16 a 16:

GABARITO: Certo

10. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher?

A) 15

B) 45

C) 31



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior D) 18

E) 25

Resolução

As equipes podem ter 1 mulher e 1 homem (M, H) ou 2 mulheres (M, M).

11. (AFRFB/2009/ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

A) 16

B) 28

C) 15

D) 24

E) 32

I - Total de Retas Possíveis (considerando pontos não colineares)

A ordem não importa, pois a reta AB, por exemplo, seria igual a reta BA. Contudo, a natureza importa, pois a reta AB é diferente da reta AC. Devemos calcular a combinação de 7 pontos, tomados 2 a 2.

O número de equipes do tipo (M, H) é dado por 3 x em que o fator 3 representa o número de mulheres e distintas formadas por homens.

corresponde ao número de equipes

O número de equipes do tipo (M, M) é dado por denota o número de equipes distintas formadas por mulheres.

O número n de equipes de vendas distintas que podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher é então dado por


GABARITO: D



II - Total de Retas formadas por 4 pontos não colineares

III - Total de Retas formadas por 4 pontos colineares

GABARITO: A

12. (APO/2010/ESAF) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:

A) 2.440

B) 5.600

C) 4.200

D) 24.000

E) 42.000

Resolução

Será adotada a notação

Total de Possibilidades = 210 x 20 x 1 = 4.200

GABARITO: C

13. (APO/2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela


= 1 reta. Se os pontos são colineares, já estão na mesma reta

Número N de Retas determinadas pelos 7 pontos:


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a:

A) 30 %

B) 80 %

C) 62 %

D) 25 %

E) 75 %

Resolução

A probabilidade de Carlão pertencer à comissão é dada pela razão (vide item 15.1 da aula passada)

P = (no de resultados favoráveis)/(no de resultados possíveis).

Sabe-se que foi formada uma comissão de 3 pessoas entre 5, com a restrição de que Denilson não pertence à comissão. Então o "no de resultados possíveis" (= número de elementos do espaço amostral do experimento aleatório) é igual ao número de comissões de 3 pessoas que podem ser formadas sem o Denilson (neste caso temos uma população de n=4 pessoas):

O "no de resultados favoráveis" é igual ao número de comissões de 3 pessoas que poderiam ser formadas com a presença do Carlão:

Logo, P = 3/4 = 75%.

GABARITO: E

14. (APO/2010/ESAF) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se a aposta máxima. Como ganha na Mega-sena quem acerta todos os seis números sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de:

A) 20.000.000.

B) 3.300.000.

C) 330.000.

D) 100.000. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 13


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior E) 10.000.

Resolução

A probabilidade de uma pessoa que fez a aposta máxima acertar na Mega-Sena é dada por

P = (no de resultados favoráveis)/(no de resultados possíveis).

Como a gente determina o "no de resultados possíveis"? Basta pensar no experimento aleatório "sorteio da Mega-Sena". Sabemos que são escolhidos, por ocasião do sorteio, 6 números de forma aleatória. Assim, o "no de resultados possíveis" (= número de elementos do espaço amostral) é dado por C60 ,6 , que representa o número de enuplas (ou vetores) com 6 elementos que podem ser obtidas a partir de 60 números.

E o "no de resultados favoráveis"? Se você parar para pensar um pouco a respeito, chegará a conclusão que o "no de resultados favoráveis" é igual ao número de enuplas com 6 elementos que podem ser obtidas a partir de uma

PROBABILIDADE DE ACERTO NA MEGA-SENA

Quantidade de Valor da Probabilidade de acerto números jogados Aposta (R$) (1 em ...)

6 2,00 50.063.860 7 14,00 7.151.980 8 56,00 1.787.995 9 168,00 595.998 10 420,00 238.399 11 924,00 108.363 12 1.848,00 54.182 13 3.432,00 29.175


aposta com 15 números, ou seja,

Nota: você acabou de aprender como é calculada a tabela abaixo, que pode ser encontrada no site da Caixa Econômica Federal:


Observe que uma aposta na Mega-Sena com 15 números custa R$ 10.010,00. 0 preço é justificado pela probabilidade de acerto, que é de aproximadamente 1 em 10.000, como calculado nesta questão.

GABARITO: E

15. (ICMS-RJ/2008/FGV) Os jogadores A e B se encontram para jogar uma partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será vencedor aquele que primeiro ganhar três sets.

Por exemplo, partidas terminadas poderão ter como resultado: AAA, AABA, BABAB, etc. Então, o número de possíveis resultados para uma partida terminada é:

A) 4.

B) 10.

C) 6.

D) 20.

E) 8.

Resolução


A partida termina em 3 sets se os resultados são: AAA ou BBB resultados.

A partida termina em 4 sets se os resultados são: AABA, BBAB, ABAA, BABB, BAAA ou ABBB

A partida termina em 5 sets se os resultados são: AABBA, BBAAB, ABBAA, BAABB, BBAAA, AABBB, ABABA, BABAB, BAABA, ABBAB, BABAA ou ABABB 12 resultados.

Portanto, há (2 + 6 + 12) = 20 resultados possíveis.

GABARITO: D

16. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?

A) 3003

B) 2980


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior C) 2800

D) 3006

E) 3005

GABARITO: A

17. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:

A) 56

B) 5760

C) 6720

D) 3600

E) 4320

Resolução

Ágata possui 8 cores disponíveis para utilizar em 5 listras:

18. (AFTN/1998/ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:

A) 5400

B) 165

C) 1650


Resolução

A ordem das questões não importa neste caso. Logo, não utilizaremos uma permutação e sim uma combinação das 15 questões da prova, tomadas 10 a 10.

GABARITO: C

Hipótese 2: 2 homens e 1 mulher:




E) 5600

Resolução

Comissões de 5 pessoas, sendo 3 homens e 2 mulheres:

1) Como 3 das pessoas do grupo serão homens, temos um total de 10 homens (a ordem não importa); logo, teremos uma combinação de 10, tomados 3 a 3:

2) Como 2 das pessoas do grupo serão mulheres, temos um total de 10 mulheres e a ordem não importa, teremos uma combinação de 10, tomados 2 a 2:

Total de Comissões = 120 x 45 = 5.400

GABARITO: A

19. (AFT/2010/ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher?

A) 192.

B) 36.

C) 96.

D) 48.

E) 60.

Resolução

Hipótese 1: 1 homem e 2 mulheres:



Total = 60 + 36 = 96

GABARITO: C

20. (AFT/2010/ESAF/Adaptada) Em um grupo de 100 pessoas, 15 das 40 mulheres do grupo são fumantes e 15 dos 60 homens do grupo também são fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas do grupo, sem reposição, a probabilidade de exatamente quatro delas serem homens fumantes é dada por:


Resolução

I - Total de possibilidades de 4 homens fumantes em um grupo de 5 pessoas:

II - Total de possibilidades de grupos de 5 pessoas:

Probabilidade

GABARITO: B

21. (AFRFB/2009/ESAF/Adaptada) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

A) 72

B) 12

C) 216

D) 720

E) 360

Resolução


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Pela questão, homens (H) e mulheres (M) devem sentar à mesa redonda de forma intercalada, conforme a figura abaixo:

Posição 1 (Homens) = 3 Posição 2 (Mulheres) = 3 Posição 3 (Homens) = 2 Posição 4 (Mulheres) = 2 Posição 5 (Homens) = 1 Posição 6 (Mulheres) = 1 Total = 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 36

Como a questão fala em mesa redonda sem cabeceira, não deve haver uma referência. Deste modo, as possibilidades acima e a abaixo seriam iguais:

Teríamos as seguintes opções:


Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 1 H1 M1 H2 M2 H3 M3 2 H1 M1 H2 M3 H3 M2 3 H1 M2 H2 M1 H3 M3 4 H1 M2 H2 M3 H3 M1 5 H1 M3 H2 M1 H3 M2 6 H1 M3 H2 M2 H3 M1 7 H1 M1 H3 M2 H2 M3 8 H1 M1 H3 M3 H2 M2 9 H1 M2 H3 M1 H2 M3


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 10 H1 M2 H3 M3 H2 M1 11 H1 M3 H3 M1 H2 M2 12 H1 M3 H3 M2 H2 M1 13 H2 M1 H1 M2 H3 M3 14 H2 M1 H1 M3 H3 M2 15 H2 M2 H1 M1 H3 M3 16 H2 M2 H1 M3 H3 M1 17 H2 M3 H1 M1 H3 M2 18 H2 M3 H1 M2 H3 M1 19 H2 M1 H3 M2 H1 M3 20 H2 M1 H3 M3 H1 M2 21 H2 M2 H3 M1 H1 M3 22 H2 M2 H3 M3 H1 M1 23 H2 M3 H3 M1 H1 M2 24 H2 M3 H3 M2 H1 M1 25 H3 M1 H1 M2 H2 M3 26 H3 M1 H1 M3 H2 M2 27 H3 M2 H1 M1 H2 M3 28 H3 M2 H1 M3 H2 M1 29 H3 M3 H1 M1 H2 M2 30 H3 M3 H1 M2 H2 M1 31 H3 M1 H2 M2 H1 M3 32 H3 M1 H2 M3 H1 M2 33 H3 M2 H2 M1 H1 M3 34 H3 M2 H2 M3 H1 M1 35 H3 M3 H2 M1 H1 M2 36 H2 M3 H2 M2 H1 M1

Por ser uma mesa circular sem cabeceira, temos que as seguintes possibilidades são iguais, pois estão apenas deslocadas de posição:




Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 1 H1 M1 H2 M2 H3 M3

22 H2 M2 H3 M3 H1 M1 29 H3 M3 H1 M1 H2 M2

Observe as seqüências: H1-M1-H2-M2-H3-M3 H2-M2-H3-M3-H1-M1 = H1-M1-H2-M2-H3-M3 H3-M3-H1-M1-H2-M2 = H1-M1-H2-M2-H3-M3

Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 2 H1 M1 H2 M3 H3 M2 24 H2 M3 H3 M2 H1 M1 27 H3 M2 H1 M1 H2 M3

Sejam as seqüências: H1-M1-H2-M3-H3-M2 H2-M3-H3-M2-H1-M1 = H1-M1-H2-M3-H3-M2 H3-M2-H1-M1-H2-M3 = H1-M1-H2-M3-H3-M2

Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição 6 3 H1 M2 H2 M1 H3 M3 20 H2 M1 H3 M3 H1 M2 35 H3 M3 H2 M1 H1 M2

Considere as seqüências: H1-M2-H2-M1-H3-M3 H2-M1-H3-M3-H1-M2 = H1-M2-H2-M1-H3-M3 H3-M3-H1-M2-H2-M1 = H1-M2-H2-M1-H3-M3

E assim sucessivamente. Portanto, teríamos: Número de Possibilidades = 36/3 = 12 possibilidades

GABARITO: B

22. (AFRFB/2009/ESAF) Considere um retângulo formado por pequenos quadrados iguais, conforme a figura abaixo. Ao todo, quantos quadrados de quaisquer tamanhos podem ser contados nessa figura?

A) 128

B) 100

C) 64 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 21



E) 18

Resolução

Para o retângulo do enunciado, somente é possível formar quadrados com "1 quadrado", com "4 quadrados" e com "9 quadrados".

Quadrados formados por "1 quadrado" = 3 x 6 = 18


Quadrados formados por "4 quadrados" = 5 (duas primeiras linhas) + 5 (duas últimas linhas) = 10



Quadrados formados por "9 quadrados" = 4

Total = 18 + 10 + 4 = 32 quadrados

GABARITO: D

23. (APO-MPOG/2OO8/ESAF) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a:

A) 30

B) 40

C) 246

D) 124

E) 5

Resolução

A gaveta guarda 24 meias de cores diferentes, a saber, 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. As meias são de 4 cores diferentes (este dado é essencial para a solução da questão).




Suponha que Mário retire quatro meias da gaveta, só que uma de cada cor (preta, branca, azul e amarela). É certo que a 5a meia será de uma cor que já foi retirada na gaveta e neste caso garante-se que Mário terá em mãos um par de mesma cor. Portanto, o número mínimo de meias que deverão ser retiradas da gaveta é 5.

GABARITO: E

24. (Analista de Finanças e Controle-STN/2008/ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:


A) 681.384

B) 382.426

C) 43.262

D) 7.488

E) 2.120

Resolução

90 pares de sapatos ^ acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Ana retira do closed quatro caixas de sapatos.

O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:

Retiradas ^ total de quatro caixas de sapatos Primeira Caixa = 89 (total de caixas menos a caixa 20, que será a terceira caixa a ser retirada)

Segunda Caixa = 88 (total de caixas, menos a primeira retirada e menos a caixa 20, que será a terceira caixa a ser retirada)

Terceira Caixa = 1 (tem que ser a caixa 20)

Quarta Caixa = 87 (total de caixas, menos a primeira retirada, menos a segunda retirada e menos a caixa 20)

Número de Retiradas Possíveis = 89 x 88 x 1 x 87 = 681.384

resposta é a alternativa "a"). Difícil é ver isso na correria da prova. E por isso que preferimos as soluções tradicionais, pois, você certamente, perderia mais tempo tentando descobrir algum "macete" do que resolvendo a questão por meio dos conceitos.

GABARITO: A

25. (Analista Administrativo-ANEEL/2006/ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:

A) 1.920

B) 1.152

C) 960

D) 540

E) 860

Resolução

Grupo: 3 meninos e 6 meninas.

Fila de Cinema:há nove lugares localizados lado a lado.

Deve-se cumprir os seguintes requisitos:

1. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. 2. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. 3. Todas as meninas querem sentar-se juntas.

4. Todos os meninos querem sentar-se juntos.

Poderemos ter duas situações:

Situação 1: meninos nos primeiros lugares

Exemplo:

Lugar 1: Caio


acima para achar a alternativa correta


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Nota: os algarismos das unidades (últimos algarismos) das respostas são diferentes. Portanto, basta multiplicar os algarismos das unidades dos valores


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Lugar 2: Beto Lugar 3: Menino Lugar 4: Menina 1 Lugar 5: Menina 2 Lugar 6: Ana Lugar 7: Beatriz Lugar 8: Menina 3 Lugar 9: Menina 4

Situação 2: meninas nos primeiros lugares

Exemplo:

Lugar 1: Menina 1 Lugar 2: Menina 2 Lugar 3: Ana Lugar 4: Beatriz Lugar 5: Menina 3 Lugar 6: Menina 4 Lugar 7: Caio Lugar 8: Beto Lugar 9: Menino

Passemos à análise do número total de possibilidades. Como as meninas são segregadas dos meninos, podemos calcular, de forma separada, o número de permutações associados às meninas (N1) e o número de permutações associados aos meninos (N2). Após, multiplicaremos N1 por N2 (aplicação do princípio fundamental da contagem) e em seguida multiplicaremos o resultado anterior por 2 (para obter 2N1N2) , pois deve-se levar em conta que as meninas ou os meninos podem estar nos primeiros lugares (daí o fator 2).

No caso das meninas, podemos considerar Ana e Beatriz como se fossem uma única pessoa, pois elas sempre sentarão juntas. Além disso, há duas possibilidades de sentarem juntas (Ana-Beatriz ou Beatriz-Ana). Logo, teríamos uma permutação de n = 5.

Número de maneiras diferentes das meninas se sentarem:

No total de diferentes maneiras (meninos e meninas) Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 26

(*) o fator 2 surge das possibilidades Ana-Beatriz ou Beatriz-Ana

Raciocínio análogo pode ser aplicado ao caso dos meninos, ou seja, podemos considerar Caio e Beto como se fossem uma única pessoa, pois eles sempre sentarão juntos. Além disso, há duas possibilidades de sentarem juntos (Caio-Beto ou Beto-Caio). Assim, teríamos uma permutação de n = 2.

Número de maneiras distintas dos meninos se sentarem:

N2 = 2 x P2 = 2 x 2! = 2 x 2 x 1 = 4



266.


GABARITO: A

26. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1a Região/2001/FCC). Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160, assinam o jornal A, 35 assinam os 2 jornais A e B, 201 não assinam B e 155 assinam apenas 1 jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma família selecionada ao acaso, dentre as n, assinar A dado que assina B, são dados, respectivamente, por

A) 180 e 160/266

B) 250 e 35/75

C) 266 e 7/13

D) 266 e 35/76

E) 266 e 35/266

Resolução

Se 35 das 160 famílias que assinam o jornal A também assinam o jornal B, então o número das famílias que só assinam A é igual a 160 - 35) = 125. Se 155 famílias assinam apenas um jornal, então (155 - 125 = 30 corresponde ao números de famílias que somente assinam B. Se 201 famílias não assinam B, e, dado que 125 famílias assinam somente A, então temos (201 - 125) = 76 famílias que não assinam nenhum dos dois jornais. O diagrama de Venn abaixo ilustra o nosso raciocínio.

O número de famílias no espaço amostral



27. (Analista Técnico/SUSEP/2006/ESAF) Os eventos E 1 e E2 são os conjuntos de pontos que podem estar tanto em E1, quanto em E2, como em ambos simultaneamente. Então, a probabilidade de uma ocorrência ser do evento E1 ou E2 é dada por:

Resolução

28. (ICMS-RJ/2010/FGV) Se A e B são eventos independentes com

Resolução


Logo, P(A|B) = 35/65 = 7/13.

A questão pede que seja calculada a probabilidade condicional P(A|B) = P(AB)/P(B).

A probabilidade do evento A =

Logo, a resposta é a alternativa B.

GABARITO: B

A) 0,2.

B) 0,4.

C) 0,5.

D) 0,7. E) 0,9.

GABARITO: C




pois A e B são eventos independentes. Assim,

GABARITO: D

29. (ICMS-RJ/2009/FGV) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para

A) 0,13

B) 0,22

C) 0,31

D) 0,49

E) 0,54

Resolução

(Regra da Adição de Probabilidades)

Como não foi dado o valor de testaremos os valores de

dados em cada uma das alternativas, levando em conta a restrição deve ser, no

mínimo, igual a

NÃO é uma medida de

probabilidade.

NÃO é uma medida de

probabilidade.

satisfaz a restrição

NÃO satisfaz a restrição

NÃO satisfaz a restrição

GABARITO: C


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 30. (Analista Legislativo/Contador da Câmara dos Deputados/2007/FCC) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y apresentam erro, a possibilidade do sistema apresentar erro é

A) 5%

B) 4,1%

C) 3,5%

D) 3%

E) 1,3%

Resolução

Trata-se de uma aplicação direta do teorema da probabilidade total. Devemos determinar a probabilidade do sistema apresentar erro, seja o pedido de processamento originado pelo cliente Z ou pelo cliente Y.

Assim,

P(erro) = P(erro|Z).P(Z) + P(erro|Y).P(Y),

em que P(erro|Z) = 2% = 0,02, P(Z) = 30% = 0,30, P(erro|Y) =1% =0,01 e P(Y) = 70% = 0,70. Substituindo esses valores obtemos,

P(erro) = (0,02 x 0,30) + (0,01 x 0,70) = 0,013 = 1,3%

GABARITO: E

31. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) Do total de títulos em poder de um investidor, 1/8 é do tipo T1, 1/4 é do tipo T2, e o restante do tipo T3. Sabe-se que as probabilidades de se obter uma taxa real de juros positiva com estas aplicações são 0,60 com T1, 0,70 com T2 e 0,80 com T3. Se for escolhido um título aleatoriamente entre estes em poder do investidor e verificar-se que apresentou uma taxa real de juros não positiva, a probabilidade dele ser do tipo T3 é

A) 50%

B) 40%

C) 30%

D) 20%

E) 10%



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Pede-se que seja calculada a probabilidade do título aleatoriamente escolhido ser do tipo T3 sabendo-se que o mesmo apresentou uma taxa

Agora, podemos construir a seguinte tabela:


real de juros não positiva

probabilidade condicional

ou seja, trata-se do cálculo da

em que denota o evento "título escolhido apresenta taxa real de juros não

positiva" e é a probabilidade total de se obter uma taxa real de juros

não positiva.

Porque é a probabilidade total de se obter

Observe que os eventos exaustivos, pois

são mutuamente exclusivos e

Logo,

A equação acima nos dá a probabilidade total (não condicional) do evento como uma soma das probabilidades condicionais ponderadas,

respectivamente, pelas probabilidades dos eventos exaustivos 3.

O enunciado forneceu Portanto,

Além disso,



em que o numerador é a probabilidade de um título ser do tipo T3 e ter taxa real não positiva, ou seja,

Finalmente, obtemos

GABARITO: A

32. (Analista Técnico/SUSEP/2010/ESAF). Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo?

A) 30%

B) 7,5%

C) 25%

D) 15%

E) 12,5%

Resolução

A questão cobra a aplicação do Teorema de Bayes. Devemos calcular a probabilidade de que a pessoa tenha doença (= causa) dado que o resultado do exame foi negativo (= efeito observado):


Desejamos calcular

como

temos que

A fórmula acima é o Teorema (ou Regra) de Bayes.

Em geral, se A1, A2, ..., Ak forem eventos mutuamente exclusivos e exaustivos e B for qualquer evento, então a regra de Bayes pode ser reescrita como




em que "S" denota a parcela saudável da população (isto é, que não possui a doença), "D" representa a parcela da população que tem a doença, "-" e "+" denotam "resultado negativo" e "resultado positivo", respectivamente.

O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori:

- P(D) = 30% = 0,3

- P(S) = 1 - 0,3 = 0,7

- P(+|S) = 0,1 (falso positivo)

- P(-|D) = 0,3 (falso negativo)

Logo, P(+|D) = 1 - P(-|D) = 1 - 0,3 = 0,7. Além disso, temos que P(-|S) = 1 - P(+|S) = 1 - 0,1 = 0,9.

REVISÃO DO TEOREMA DE BAYES

De acordo com o cálculo das probabilidades


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Observe que o denominador da fórmula anterior é a probabilidade total de B ocorrer.

O Teorema de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vários eventos


que podem causar ou provocar a ocorrência de B. Por este motivo, o

Teorema de Bayes também é conhecido como o teorema que nos dá a probabilidade da causa dado o efeito observado (evento B).

Na prática, a probabilidade é conhecida como probabilidade a posteriori de dado é denominada probabilidade a priori de

dado é a probabilidade da causa ou a priori de Geralmente, as

probabilidades a priori são estimadas a partir de medições passadas ou pressupostas pela experiência, ao passo que as probabilidades a posteriori são medidas ou calculadas a partir de observações.

Exemplo. A probabilidade de que um novo teste de baixo custo identifique corretamente alguém com AIDS, dando positivo, é 0,99; e a probabilidade de que o teste identifique corretamente alguém sem AIDS, dando negativo, é 0,95. Suponha que a incidência de AIDS na população seja igual a 0,0001. Uma pessoa é escolhida ao acaso, faz o teste e o resultado dá positivo. Qual é a probabilidade de que esse indivíduo tenha AIDS?

Devemos calcular a probabilidade de que o indivíduo tenha AIDS (= causa) dado que o resultado do teste foi positivo (= efeito observado):

em que "S" denota a parcela saudável da população (isto é, não infectada pelo vírus), "D" representa a parcela da população que tem a doença (ou seja, a parcela infectada) e "+" denota o evento "resultado positivo".


- P(S) = 1 - 0,0001;

- P(D) = 0,0001;

- P(+|D) = 0,99;

- P(-|S) = 0,95;

Logo, P(+|S) = 1 - P(-|S) = 1 - 0,95 = 0,05. Além disso, temos que P(-|D) = 1 - P(+|D) = 1 - 0,99 = 0,01.

A figura a seguir ilustra a aplicação do Teorema de Bayes nesta questão:



POPULAÇAO

Nota: podemos descrever o espaço amostral

RESULTADO DO TESTE

do experimento aleatório proposto pelo exemplo utilizando a notação genérica

= {(X,Y): X = 0 ou 1, Y = 0 ou 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

Assim, os resultados elementares de

(0, 0) = (S, -)

(0, 1) = (S, +)

(1, 0) = (D, -)

(1, 1) = (D, +)

GABARITO: E

33. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se:

A) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula.

B) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.

C) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.

D) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.

E) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.

Resolução

Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A e vice-versa.

GABARITO: D

34. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 35


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:

A) 0

B) 10/19

C) 19/50

D) 10/50

E) 19/31

Resolução

Vamos fazer uma tabela, para facilitar o entendimento:

Moças Cabelos Cabelos Cabelos Total Loiros Pretos Ruivos

Olhos Azuis 18 9 4 31 Olhos Castanhos 8 9 2 19 Total 26 18 6 50

Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:

Evento A = "moça de cabelos loiros ou ruivos" Evento B = "moça de olhos castanhos"


GABARITO: B

35. (ICMS-RJ/2009/FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar.

Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B na final é

rodada) x P(A vencer B na final), pois os quatro experimentos aleatórios são independentes.

Na primeira rodada, as seguintes duplas podem ser formadas:

Estado Civil Sexo

Total Estado Civil M F Total

Solteiro 300 200 500 Casado 200 100 300 Viúvo 100 100 200 Total 600 400 1.000



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) 1/2

B) 1/4

C) 1/6

D) 1/8

E) 1/12

Resolução

• 1a possibilidade: (A,B) e (C,D)

• 2a possibilidade: (A,C) e (B,D)

• 3a possibilidade: (A,D) e (B,C)

Também temos que P(A vencer a 1a rodada) = P(B vencer a 1a rodada) = P(A vencer B na final) = 1/2, pois em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar.

Logo,

P(A vencer B na final) = 2/3 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 2/24 = 1/12.

GABARITO: E

36. (ICMS-RJ/2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo).


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva é igual a:

A) 0,6.

B) 0,2.

C) 0,5.

D) 0,7.

E) 0,4.

Resolução

P(sexo Feminino ou Viúva) = P(sexo Feminino) + P(Viúva) - P(sexo Feminino e Viúva).

P(sexo Feminino) = 400/1.000 P(Viúva) = 200/1.000 P(sexo Feminino e Viúva) = 100/1.000

Logo, P(sexo Feminino ou Viúva) = 400/1.000 + 200/1.000 -100/1.000 = 500/1.000 = 0,5.

GABARITO: C

37. (ICMS-RJ/2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um


espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e Então, pode-se dizer que A e B são eventos:

A) mutuamente exclusivos.

B) complementares.

C) elementares.

D) condicionais.

E) independentes.

A e B são eventos independentes.

GABARITO: E

38. (TFC-CGU/2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) 0,10

B) 0,12

C) 0,15

D) 0,20

E) 0,24

Resolução

I - Probabilidade de sortear três homens:

Total de Engenheiros = 6

p(três homens) = (6/10) x (5/9) x (4/8) = (3/5) x (5/9) x (1/2) = 0,1667

II - Probabilidade de sortear três mulheres:

Total de Engenheiras = 4

p(três mulheres) = (4/10) x (3/9) x (2/8) = (2/5) x (1/3) x (1/4) = 0,0333

Probabilidade de Sortear Três Pessoas do Mesmo Sexo (P)

P = P(três homens) + P(três mulheres) = 0,1667 + 0,0333 = 0,20

GABARITO: D

39. (Assistente Técnico-Administrativo-MF/2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair um número 6 é de 20%, enquanto que as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?

A) 20%

B) 27%

C) 25%

D) 23%

E) 50%

Resolução

Dado viciado: P(X = 6) = 0,2

As probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = (1-0,2)/5 = 0,8/5 = 0,16.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Ao se jogar o dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?

I - Dado jogado pela primeira vez:

P(X par na jogada 1) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) = 0,16 + 0,16 + 0,20 = 0,52

II - Dado jogado pela segunda vez:

P(X par na jogada 2) = 0,52

Probabilidade de um número par sair duas vezes (eventos independentes):

P(par nas duas vezes) = P(X par na jogada 1) x P(X par na jogada 2) = 0,52 x 0,52 = 27,04%

GABARITO: B

40. (Adm. Pleno/Petrobrás/2005/CESGRANRI0) Joga-se um dado não tendencioso. Se o resultado não foi "quatro", qual é a probabilidade de que tenha sido "um"?

A) 1/5

B) 1/6

C) 1/9

D) 1/12

E) 1/18

Resolução

Se já se sabe, a priori, que o resultado não foi "quatro", então só nos restam cinco possibilidades equiprováveis. Logo, a probabilidade de que tenha sido "um" é igual a 1/5.

Também podemos resolver aplicando a fórmula da probabilidade condicional,

que ao mesmo tempo seja diferente de "quatro" é igual a probabilidade de se obter "um",

pois a probabilidade de que o resultado dê "um" e




GABARITO: A

41. (TCE-ES/Economia/2001/ESAF) Num teste de múltipla escolha, um estudante sabe uma questão ou "chuta" a resposta. Seja 2/3 a probabilidade de que o estudante saiba uma questão do teste. Suponha que cada questão tenha 5 alternativas e que a probabilidade de acertar no "chute" seja 1/5. Assinale a opção que dá a probabilidade condicional de que o estudante saiba realmente uma pergunta que respondeu corretamente.

A) 1/5

B) 2/15

C) 10/11

D) 2/3

E) 13/15

Resolução

Esta questão aborda o Teorema de Bayes. Um possível método de resolução é baseado no uso de um diagrama binário como o que se segue abaixo:

Então



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior O enunciado diz que a probabilidade de que o estudante saiba uma questão do teste (X=1) é 2/3, ou seja, PX(1) = 2/3. Logo, PX(0) = 1 - 2/3 = 1/3 (probabilidade de o estudante não saber a questão).

Observe que Y=0 denota o evento "resposta errada", enquanto que Y=1 representa a "resposta certa". A probabilidade de acertar no "chute" é 1/5, ou seja, a probabilidade de transição

Py|x(110) = 1/5.

Então, a probabilidade de transição complementar Py|x(0|0) (probabilidade de errar no "chute") é dada por

Py|x(0|0) = 1 - Py|x(1|0) = 4/5.

Está implícito que a probabilidade de o estudante acertar a resposta quando sabe a questão é igual a 1, isto é,

Py|x(1|1) = 1.

Logo, a probabilidade de errar quando sabe a questão é nula, pois

Py |x(0|1) = 1 - 1 = 0.

Finalmente, chegamos a uma versão completa do DIAGRAMA BINÁRIO:

Note que as probabilidades PY(0) e PY(1) são calculadas pelo Regra da Probabilidade Total.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Se o estudante acertou a resposta (Y=1 é o efeito observado), a probabilidade condicional de que o estudante saiba realmente a pergunta (X=1 é a causa) é dada por (Regra de Bayes)

GABARITO: C

42. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) A probabilidade de que o preço da farinha de trigo aumente em determinado mês é estimada em 40%. Se isso ocorre, a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente é de 50%; caso contrário, a probabilidade de aumento do pão francês será de apenas 10%. Se o preço do pão francês subiu, a probabilidade de que o preço da farinha de trigo tenha sofrido majoração é igual a:

Resolução

O enunciado diz que a probabilidade de que o preço da farinha de trigo aumente em determinado mês (X=1) é estimada em 40%. Logo, temos as seguintes probabilidades a priori: PX(1) = 0,40 e PX(0) = 1 - 0,40 = 0,60. Observe que X=0 denota o evento "preço da farinha de trigo não aumentou".


A) 1/13

B) 2/10

C) 6/13

D) 6/11

E) 10/13


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Foi dito que se X=1 (preço da farinha de trigo aumentou), a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente (Y=1) é de 50%, ou seja, foi dada a probabilidade de transição

Py|x(1|1) = 0,50.

Então, a probabilidade de transição complementar Py|x(0|1) (probabilidade de que o preço do pão francês não aumente (Y=0) dado que o preço da farinha de trigo aumentou (X=1)) é dada por

Py|x(0|1) = 1 - 0 ,50 = 0,50.

Caso o preço da farinha de trigo NÃO aumente (X=0), a probabilidade de aumento do pão francês (Y=1) será de apenas 10%, ou seja,

Py|x(1|0) = 0,10.

Portanto, se o preço da farinha de trigo NÃO aumentar (X=0), a probabilidade do preço do pão francês também NÃO aumentar (Y=0) será de

Py|x(0|0) = 1 - 0 ,10 = 0,90.

Agora, chegamos a uma versão completa do DIAGRAMA BINÁRIO:

Note que as probabilidades PY(0) e PY(1) são calculadas pelo Teorema da Probabilidade Total.

Se o preço do pão francês subiu (Y=1 é o efeito observado), a probabilidade de que o preço da farinha de trigo tenha sofrido majoração (X=1 é a causa) é, pelo Teorema de Bayes, dada por




GABARITO: E

43. (Analista do BACEN/2002/ESAF) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A.

Resolução


A) 0,400

B) 0,030

C) 0,012

D) 0,308

E) 0,500

ou seja, o Teorema de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vários

Seja um espaço amostral Q. Considere os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos

que

e um evento qualquer B. O Teorema de Bayes afirma

eventos que podem causar ou provocar a ocorrência de B. Por este

motivo, o Teorema de Bayes também é conhecido como o teorema que nos dá a probabilidade da causa

(evento B).

dado o efeito observado

Na prática, a probabilidade é conhecida como probabilidade a

posteriori de é denominada probabilidade a priori de

probabilidade da causa ou a priori de

Geralmente, as probabilidades a priori são estimadas a partir de medições passadas ou pressupostas pela experiência, ao passo que as probabilidades a posteriori são medidas ou calculadas a partir de observações.


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Devemos calcular a probabilidade de que o motor defeituoso escolhido ao acaso tenha sido fabricado em A. O motor observado pode ser defeituoso (evento "D") ou não defeituoso (evento "ND"). Ou seja, pede-se para determinar a probabilidade de que a fábrica A tenha causado o defeito observado no motor selecionado:


X = 0, P(A) = 0,4

X= 1, P(B) = 0,6

proposto pela questão utilizando a notação genérica

Portanto,

P(ND|A) = 1 - P(D|A) = 1 - 0,02 = 0,98 e

P(ND|B) = 1 - P(D|B) = 1 - 0,03 = 0,97.

A figura a seguir ilustra a aplicação do Teorema de Bayes nesta questão:

= {(X,Y): X = 0 ou 1, Y = 0 ou 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

Para a questão, os resultados elementares de Q são:


Y = 0, P(ND) = ?

do experimento aleatório Nota: podemos descrever o espaço amostral




(0, 0) = (A, ND)

(0, 1) = (A, D)

(1, 0) = (B, ND)

(1, 1) = (B, D)

GABARITO: D

44. (Analista do BACEN/Área 2/2010/CESGRANRIO) A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um automóvel é 3/4. Para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 1/6, e para um indivíduo de classe C, ela é de 1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um fusca é 1/10, enquanto que, para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 3/5 e para um indivíduo de classe C, é de 3/10. Sabendo-se que a revendedora XPTO vendeu um Fusca, a probabilidade de o comprador pertencer à classe B é

A) 0,527

B) 0,502

C) 0,426

D) 0,252

E) 0,197

Resolução

Sabendo-se que a revendedora XPTO vendeu um Fusca (efeito) qual é a probabilidade de o comprador pertencer à classe B (causa)? Ou seja, qual é o valor de P(B|Fusca)?

A pergunta formulada acima indica, de forma inequívoca, que é preciso aplicar o Teorema de Bayes (probabilidade da causa dado o efeito observado) para resolver a questão. O equacionamento da probabilidade P(B|Fusca) pelo Teorema de Bayes fornece

P(B|Fusca) = P(Fusca|B)P(B)/P(Fusca)

Neste ponto da resolução, precisamos confirmar se os dados fornecidos pelo enunciado viabilizam a aplicação do Teorema de Bayes. Recordaremos, a seguir, o enunciado deste importante teorema do cálculo de probabilidades.

Sejam os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos

definidos sobre o espaço amostral então é válida a relação

Se Z é um evento qualquer de



Quem faria o papel do evento Z? Este evento representa a compra de um Fusca por um indivíduo de qualquer classe, cuja probabilidade é denotada por P(Fusca). A probabilidade total P(Fusca) é dada por

P(Fusca) = P(Fusca|A)P(A) + P(Fusca|B)P(B) + P(Fusca|C)P(C)

ou seja

P(Fusca) = (1/10)x(3/4) + (3/5)x(1/6) + (3/10)x(1/20) = 0,19

Logo

A banca utilizou o arredondamento 0,5263 ~ 0,527 (opção A).


O que seria o espaço amostral dado o enunciado do problema? Quais seriam os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos definidos sobre

Suponha que represente o espaço amostral dos indivíduos das classe A, B e C que compram automóveis. Neste caso, temos os seguintes eventos mutuamente exclusivos e exaustivos:

- Evento A: indivíduo da classe A comprar um automóvel. Neste caso, a freqüência relativa ao evento A é 3/4, ou seja, P(A) = 3/4;

- Evento B: indivíduo da classe B comprar um automóvel, em que P(B) = 1/6;

- Evento C: indivíduo da classe C comprar um automóvel, em que P(C) = 1/20.

Será que a equação P(A) + P(B) + P(C) = 1 é verificada?

P(B) + P(C) = 1 - P(A) = 1 - 3/4 = / = 0,25

P(B) + P(C) = 1/6 + 1/20 a 0,167 + 0,05 = 0,217 * 0,25

Há uma discrepância de (0,25 - 0,217) = 0,033. Depreende-se que a banca considerou a aproximação

P(A) + P(B) + P(C) = 0,967 a 1



GABARITO: A

45. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas?

A) 20,00%.

B) 21,67%.

C) 25,00%.

D) 11,00%.

E) 33,33%.

Resolução

Vamos supor que há um total de 100 alunos

56% dos alunos = Área de Ciências Humanas = 56 alunos

44% dos alunos = Área de Ciências Exatas = 44 alunos 5% estudam matemática = 5 alunos 6% estudam física = 6 alunos Não é possível estudar mais de um curso.

Percentual (Matemática ou Física/Ciências Exatas) = (5 + 6)/44 = 11/44 = 1/4 = 25%

GABARITO: C

46. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1a região/2001/FCC) Duas urnas guardam bolas brancas e pretas. Uma das urnas tem 3 bolas brancas e 1 preta enquanto que a outra tem 3 bolas brancas e 3 pretas. Escolhendo-se uma urna ao acaso e em seguida, sucessivamente e com reposição duas de suas bolas, a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta é

A) 7/8.

B) 7/16.

C) 3/8.

D) 7/32.

E) 3/16.

Resolução




A probabilidade de escolher qualquer uma das urnas é 1/2. O sorteio das duas bolas é feito com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada retorna para a urna, de modo que as probabilidades de ocorrência das bolas são mantidas no 2° sorteio.

Temos as seguintes probabilidades de sorteio para a urna que guarda 3 bolas brancas e 1 preta: P(bola branca) = 3/4 e P(bola preta) = 1/4.

Para a outra urna temos: P(bola branca) = P(bola preta) = 3/6 = 1/2.

A probabilidade pedida é a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta. A ordem de ocorrência não foi especificada, isto é, podemos ter branca no 1° sorteio e preta no 2° sorteio ou o inverso. Quais são as possibilidades? Há quatro casos possíveis:

1) escolha de uma bola branca no 1° sorteio e de uma bola preta no 2° sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 1 preta (caso 1) ou

2) caso 2: escolha de uma bola preta no 1° sorteio e de uma branca no 2° sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 1 preta (caso 2) ou

3) escolha de uma bola branca no 1° sorteio e de uma bola preta no 2° sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 3 pretas (caso 3) ou

4) escolha de uma bola preta no 1° sorteio e de uma branca no 2° sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 3 pretas (caso 4).

As probabilidades dos 4 casos acima são:

P(caso 1) = (1/2)x(3/4)x(1/4) = 3/32

P(caso 2) = (1/2)x(1/4)x(3/4) = 3/32

P(caso 3) = P(1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8

P(caso 4) = P(1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8

Temos que somar as probabilidades dos 4 casos. Logo, a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta é

(2 x 3/32) + (2 x 1/8) = 3/16 + 1/4 = 7/16.

GABARITO: B



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 47. (AFPS/2002/ESAF) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C

A) 0,50

B) 0,08

C) 0,00

D) 1,00

E) 0,60

Resolução

Trata-se de aplicação da regra da multiplicação: P(DC) = P(D|C).P(C).

P(DC) = P(D|C).P(C) = 0,2 x 0,4 = 0,08.

GABARITO: B

(Analista do INSS com formação em estatística/2008/Cespe) Texto para os itens de 48 a 52

Um projeto do governo tinha como objetivo atrair para o sistema previdenciário uma parcela de trabalhadores que não eram contribuintes do INSS. Na ocasião em que tal projeto havia sido proposto, pelos cálculos do governo, existiam no país 19 milhões de trabalhadores com mais de 16 anos e renda mensal de um ou mais salários mínimos que não contribuíam para a previde ncia. Esses trabalhadores foram classificados de acordo com tres perfis A, B e C, e a distribuicão do número de trabalhadores em cada perfil está no quadro acima. A expectativa do governo era a seguinte: entre as pessoas com o perfil A, a probabilidade de entrada para o sistema previdenciário era de 0,8; para as de perfil B, a probabilidade de entrada para o sistema era de 0,5 e os de perfil C entrariam no sistema com uma probabilidade igual a 0,1.

Correio Braziliense, 15/11/2006, p. A-14 (com adaptações).

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens seguintes.

48. Na ocasião em que o projeto havia sido proposto, a probabilidade de uma pessoa entre os 19 milhões de trabalhadores entrar para o sistema previdenciário era superior a 0,35 e inferior a 0,40.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

Dados:

P(entrada|A) = 0,8, P(entrada|B) = 0,5 e P(entrada|C) = 0,1.

P(A) = 3/19, P(B) = 8/19 e P(C) = 8/19. Note que P(A) + P(B) + P(C) = 3/19 + 2 x 8/19 = 1, pois A, B e C são eventos mutuamente exclusivos.

A probabilidade total de uma pessoa entrar para o sistema previdenciário é dada por

P(entrada) = P(entrada|A).P(A) + P(entrada|B).P(B) + P(entrada|C).P(C)

P(entrada) = (0,8 x 3/19) + (0,5 x 8/19) + (0,1 x 8/19) = 7,2/19 = 0,38.

Portanto, a probabilidade de uma pessoa entre os 19 milhões de trabalhadores entrar para o sistema previdenciário era superior a 0,35 e inferior a 0,40. O item está certo.

GABARITO: Certo

49. A expectativa do governo era de que mais de 7 milhões de trabalhadores fossem atraídos para o sistema previdenciário.

Resolução

P(entrada) = 0,38 = 38% representa a fração da população que entraria para o sistema da previdência. Logo, a expectativa do governo era de que

0,38 x 19 milhões = 7,22 milhões fossem atraídos para o INSS. O item está certo.

GABARITO: Certo

50. Um trabalhador que atende às condições do projeto do governo, decidiu entrar para o sistema de previdência. A probabilidade de ele ser um trabalhador do perfil A é superior a 0,4.

Resolução

O item poderia ser parafraseado da seguinte forma: dado que um trabalhador entrou para o sistema de previdência, qual é a probabilidade de ter o perfil A, ou seja, qual é a probabilidade da causa ser o grupo A?

Precisamos aplicar a regra de Bayes (probabilidade da causa dado o efeito):

P(A|entrada) = P(entrada|A).P(A)/P(entrada),





1. Percebeu a sutileza deste item?

GABARITO: Errado.

52. O número esperado de trabalhadores do perfil A que entrarão no sistema previdenciário aumenta à medida que a aumenta.

Resolução

A expectativa do número de trabalhadores do perfil A que entrarão no sistema previdenciário aumentará se a probabilidade P(entrada|A) aumentar. O aumento de a é consequência do aumento de P(entrada|A) e não sua causa, como sugerido pelo item. Assim, concluímos que o item está errado.

GABARITO: Errado

Logo tem um valor fixo (= 0,64) e não pode assumir qualquer valor entre 0 e

= 0,64 = P(T1 e T2 entrarem no sistema|A) = P(entrada|A) x P(entrada|A) = 0,8 x 0,8

sistema conceito de independência. Então,

P(T2 entrar no sistema dado que T1 foi escolhido) = P(T2 entrar no sistema), pois a escolha aleatória de T1 não muda a probabilidade de T2 entrar no

Sejam os dois trabalhadores selecionados do grupo A denotados por T1 e T2. Suponha que você escolha T1 e depois T2. Como o espaço amostral é muito grande (lembre que o grupo A tem 3 milhões de pessoas), podemos considerar que

Resolução

51. Por ser uma probabilidade, pode assumir qualquer valor entre 0 e 1.

inferior a 0,4. O item está errado.

Nota: você notou que as contas acima foram feitas de forma aproximada? Recomendamos que você adote esta tática na prova. Deste modo, o tempo economizado na resolução desta questão poderá ser usado para resolver outra(s) questão(ões).

GABARITO: Errado

Ainda com relação ao texto e considerando que a probabilidade de dois trabalhadores selecionados aleatoriamente entre aqueles com o perfil A entrarem para o sistema previdenciário é igual a a, julgue os itens subseqüentes.

P(A|entrada) = (0,8 x 3/19)/0,38 = (0,8 x 3/19)/0,4 = 2 x 3/19 = 1/3 = 0,33



Abraços e até a próxima aula,

Bons estudos,

Moraes Junior [email protected]

Alexandre Lima [email protected]




Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula

Julgue os itens a seguir.

1. As placas dos automóveis do Brasil são compostas por três letras e quatro números. O número máximo de veículos que podem ser licenciados pelo Detran, de acordo com esse padrão de confecção das placas, é menor que 180.000.

2. O número de arranjos das letras a, b e c, tomadas duas de cada vez, é igual a 6.

3. Suponha que o seu Internet Banking exija que você cadastre uma senha de seis dígitos, com as seguintes características:

• só é possível utilizar os algarismos de 0 a 9; e

• os dígitos devem ser distintos.

Então o número máximo de senhas que você pode criar é maior que 152.000.

4. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de permutações possíveis de seus elementos é 24

5. Cinco concurseiros(as) compraram cinco passagens aéreas para conhecer o país ESÁFIO. As passagens vieram com os seguintes assentos marcados: 1A, 1B, 1C, 1D e 1E. Podemos afirmar que o número de possibilidades distintas de ocupação dos cinco lugares reservados no avião é igual a 24 (considere que não seja preciso levar em conta o nome de cada pessoa nas passagens aéreas).

6. O número de maneiras distintas em que cinco indivíduos (P1, P2, P3, P4 e P5) podem assentar-se ao redor de uma mesa circular é 120.

7. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. O número de subconjuntos possíveis de seus elementos é igual a 16.

8. O número de grupos distintos de 3 pessoas que podem se formados com João, Maria, José, Mário e Joana é maior que 10.

9. Você está se preparando para realizar a prova de Raciocínio Lógico-Quantitativo do próximo concurso público e estabeleceu como objetivo resolver (e acertar) 16 das 20 questões possíveis. Então o número de grupos de 16 questões que podem ser selecionadas é menor que 5.000

10. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher?

A) 15

B) 45

C) 31

D) 18

E) 25

11. (AFRFB/2009/ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

A) 16

B) 28

C) 15

D) 24

E) 32

12. (AP0/2010/ESAF) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:

A) 2.440

B) 5.600

C) 4.200

D) 24.000

E) 42.000

13. (AP0/2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a:



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) 30 %

B) 80 %

C) 62 %

D) 25 %

E) 75 %

14. (AP0/2010/ESAF) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se a aposta máxima. Como ganha na Mega-sena quem acerta todos os seis números sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de:

A) 20.000.000.

B) 3.300.000.

C) 330.000.

D) 100.000.

E) 10.000.

15. (ICMS-RJ/2008/FGV) Os jogadores A e B se encontram para jogar uma partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será vencedor aquele que primeiro ganhar três sets.

Por exemplo, partidas terminadas poderão ter como resultado: AAA, AABA, BABAB, etc. Então, o número de possíveis resultados para uma partida terminada é:

A) 4.

B) 10.

C) 6.

D) 20.

E) 8.

16. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?

A) 3003

B) 2980

C) 2800

D) 3006

E) 3005




17. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:

A) 56

B) 5760

C) 6720

D) 3600

E) 4320

18. (AFTN/1998/ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:

A) 5400

B) 165

C) 1650

D) 5830

E) 5600

19. (AFT/2010/ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher?

A) 192.

B) 36.

C) 96.

D) 48.

E) 60.

20. (AFT/2010/ESAF/Adaptada) Em um grupo de 100 pessoas, 15 das 40 mulheres do grupo são fumantes e 15 dos 60 homens do grupo também são fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas do grupo, sem reposição, a probabilidade de exatamente quatro delas serem homens fumantes é dada por:


21. (AFRFB/2009/ESAF/Adaptada) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

A) 72

B) 12

C) 216

D) 720

E) 360

22. (AFRFB/2009/ESAF) Considere um retângulo formado por pequenos quadrados iguais, conforme a figura abaixo. Ao todo, quantos quadrados de quaisquer tamanhos podem ser contados nessa figura?

A) 128

B) 100

C) 64

D) 32

E) 18

23. (APO-MPOG/2008/ESAF) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a:

A) 30

B) 40

C) 246

D) 124

E) 5





Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 24. (Analista de Finanças e Controle-STN/2008/ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:

A) 681.384

B) 382.426

C) 43.262

D) 7.488

E) 2.120

25. (Analista Administrativo-ANEEL/2006/ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:

A) 1.920

B) 1.152

C) 960

D) 540

E) 860

26. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1a Região/2001/FCC). Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160, assinam o jornal A, 35 assinam os 2 jornais A e B, 201 não assinam B e 155 assinam apenas 1 jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma família selecionada ao acaso, dentre as n, assinar A dado que assina B, são dados, respectivamente, por

A) 180 e 160/266

B) 250 e 35/75

C) 266 e 7/13

D) 266 e 35/76

E) 266 e 35/266

27. (Analista Técnico/SUSEP/2006/ESAF) Os eventos E1 e E 2 são os conjuntos de pontos que podem estar tanto em E1, quanto em E2, como em



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior ambos simultaneamente. Então, a probabilidade de uma ocorrência ser do evento E1 ou E2 é dada por:


28. (ICMS-RJ/2010/FGV) Se A e B são eventos independentes com probabilidades P[A]=0,4 e P[B]=0,5 então

A) 0,2.

B) 0,4.

C) 0,5.

D) 0,7. E) 0,9.

29. (ICMS-RJ/2009/FGV) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para

A) 0,13

B) 0,22

C) 0,31

D) 0,49

E) 0,54

30. (Analista Legislativo/Contador da Câmara dos Deputados/2007/FCC) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y apresentam erro, a possibilidade do sistema apresentar erro é

A) 5%

B) 4,1%

C) 3,5%

D) 3%

E) 1,3%


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 31. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) Do total de títulos em poder de um investidor, 1/8 é do tipo T1, 1/4 é do tipo T2, e o restante do tipo T3. Sabe-se que as probabilidades de se obter uma taxa real de juros positiva com estas aplicações são 0,60 com T1, 0,70 com T2 e 0,80 com T3. Se for escolhido um título aleatoriamente entre estes em poder do investidor e verificar-se que apresentou uma taxa real de juros não positiva, a probabilidade dele ser do tipo T3 é

A) 50%

B) 40%

C) 30%

D) 20%

E) 10%

32. (Analista Técnico/SUSEP/2010/ESAF). Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo?

A) 30%

B) 7,5%

C) 25%

D) 15%

E) 12,5%

33. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se:

A) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula.

B) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.

C) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.

D) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.

E) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.

34. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:

A) 0

B) 10/19

C) 19/50

D) 10/50

E) 19/31

35. (ICMS-RJ/2009/FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar.

Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B na final é

A) 1/2

B) 1/4

C) 1/6

D) 1/8

E) 1/12

36. (ICMS-RJ/2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo).

Estado Civil Sexo

Total Estado Civil M F Total

Solteiro 300 200 500 Casado 200 100 300 Viúvo 100 100 200 Total 600 400 1.000

Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva é igual a:

A) 0,6.

B) 0,2.

C) 0,5.

D) 0,7.

E) 0,4.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 37. (ICMS-RJ/2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e Então, pode-se dizer que A e B são eventos:

A) mutuamente exclusivos.

B) complementares.

C) elementares.

D) condicionais.

E) independentes.

38. (TFC-CGU/2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:

A) 0,10

B) 0,12

C) 0,15

D) 0,20

E) 0,24

39. (Assistente Técnico-Administrativo-MF/2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair um número 6 é de 20%, enquanto que as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?

A) 20%

B) 27%

C) 25%

D) 23%

E) 50%

40. (Adm. Pleno/Petrobrás/2005/CESGRANRI0) Joga-se um dado não tendencioso. Se o resultado não foi "quatro", qual é a probabilidade de que tenha sido "um"?

A) 1/5

B) 1/6

C) 1/9

D) 1/12

E) 1/18 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 64



41. (TCE-ES/Economia/2001/ESAF) Num teste de múltipla escolha, um estudante sabe uma questão ou "chuta" a resposta. Seja 2/3 a probabilidade de que o estudante saiba uma questão do teste. Suponha que cada questão tenha 5 alternativas e que a probabilidade de acertar no "chute" seja 1/5. Assinale a opção que dá a probabilidade condicional de que o estudante saiba realmente uma pergunta que respondeu corretamente.

A) 1/5

B) 2/15

C) 10/11

D) 2/3

E) 13/15

42. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) A probabilidade de que o preço da farinha de trigo aumente em determinado mês é estimada em 40%. Se isso ocorre, a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente é de 50%; caso contrário, a probabilidade de aumento do pão francês será de apenas 10%. Se o preço do pão francês subiu, a probabilidade de que o preço da farinha de trigo tenha sofrido majoração é igual a:

A) 1/13

B) 2/10

C) 6/13

D) 6/11

E) 10/13

43. (Analista do BACEN/2002/ESAF) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A.

A) 0,400

B) 0,030

C) 0,012

D) 0,308

E) 0,500

44. (Analista do BACEN/Área 2/2010/CESGRANRIO) A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um automóvel é 3/4. Para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 1/6, e para um indivíduo de classe C, ela é de



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um fusca é 1/10, enquanto que, para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 3/5 e para um indivíduo de classe C, é de 3/10. Sabendo-se que a revendedora XPTO vendeu um Fusca, a probabilidade de o comprador pertencer à classe B é

A) 0,527

B) 0,502

C) 0,426

D) 0,252

E) 0,197

45. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas?

A) 20,00%.

B) 21,67%.

C) 25,00%.

D) 11,00%.

E) 33,33%.

46. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1a região/2001/FCC) Duas urnas guardam bolas brancas e pretas. Uma das urnas tem 3 bolas brancas e 1 preta enquanto que a outra tem 3 bolas brancas e 3 pretas. Escolhendo-se uma urna ao acaso e em seguida, sucessivamente e com reposição duas de suas bolas, a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta é

A) 7/8.

B) 7/16.

C) 3/8.

D) 7/32.

E) 3/16.

Resolução

47. (AFPS/2002/ESAF) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C

A) 0,50



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior B) 0,08

C) 0,00

D) 1,00

E) 0,60




(Analista do INSS com formação em estatística/2008/Cespe) Texto para os itens de 48 a 52

Um projeto do governo tinha como objetivo atrair para o sistema previdenciário uma parcela de trabalhadores que não eram contribuintes do INSS. Na ocasião em que tal projeto havia sido proposto, pelos cálculos do governo, existiam no país 19 milhões de trabalhadores com mais de 16 anos e renda mensal de um ou mais salários mínimos que não contribuíam para a previde ncia. Esses trabalhadores foram classificados de acordo com tres perfis A, B e C, e a distribuicão do número de trabalhadores em cada perfil está no quadro acima. A expectativa do governo era a seguinte: entre as pessoas com o perfil A, a probabilidade de entrada para o sistema previdenciário era de 0,8; para as de perfil B, a probabilidade de entrada para o sistema era de 0,5 e os de perfil C entrariam no sistema com uma probabilidade igual a 0,1.

Correio Braziliense, 15/11/2006, p. A-14 (com adaptações).

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens seguintes.

48. Na ocasião em que o projeto havia sido proposto, a probabilidade de uma pessoa entre os 19 milhões de trabalhadores entrar para o sistema previdenciário era superior a 0,35 e inferior a 0,40.

49. A expectativa do governo era de que mais de 7 milhões de trabalhadores fossem atraídos para o sistema previdenciário.

50. Um trabalhador que atende às condições do projeto do governo, decidiu entrar para o sistema de previdência. A probabilidade de ele ser um trabalhador do perfil A é superior a 0,4.

Ainda com relação ao texto e considerando que a probabilidade de dois trabalhadores selecionados aleatoriamente entre aqueles com o perfil A entrarem para o sistema previdenciário é igual a a, julgue os itens subseqüentes.

51. Por ser uma probabilidade, a pode assumir qualquer valor entre 0 e 1.

52. O número esperado de trabalhadores do perfil A que entrarão no sistema previdenciário aumenta à medida que a aumenta.




Bibliografia

Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010.


Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática,...

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