Raciocínio Lógico Superior

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Apostilas 2010 CONCURSO MTE www.apostilas2010.com Conteúdo desta Apostila 1 Conceitos básicos de raciocínio lógico : a. Introdução b. proposições ; c. valores lógicos das proposições ; d. sentenças abertas ; e. número de linhas da tabela verdade f. conectivos ; g. proposições simples ; h. proposições compostas . 2 Tautologia . 3 Operação com conjuntos . 4 Cálculos com porcentagens . 5 Exercícios 1 Conceitos básicos de raciocínio lógico: Raciocínio Lógico Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema. Se soubéssemos não haveria problema. É necessário, portanto, que comece por explorar as possibilidades, por experimentar hipóteses, voltar atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se conformem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se. Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando se trata de resolver problemas difíceis. Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa concluímos que estivemos raciocinando. Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico. RACIOCÍNIO LÓGICO Utilize os links em cada conteúdo para transitar melhor pela apostila! Para Voltar ao Início

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Conteúdo desta Apostila

1 Conceitos básicos de raciocínio lógico:

a. Introduçãob. proposições; c. valores lógicos das proposições; d. sentenças abertas; e. número de linhas da tabela verdadef. conectivos;g. proposições simples;h. proposições compostas.

2 Tautologia.

3 Operação com conjuntos.

4 Cálculos com porcentagens.

5 Exercícios

1 Conceitos básicos de raciocínio lógico:

Raciocínio Lógico

Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema. Se soubéssemos não haveria problema.É necessário, portanto, que comece por explorar as possibilidades, por experimentar hipóteses, voltar atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se conformem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se.Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando se trata de resolver problemas difíceis.Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa concluímos que estivemos raciocinando.Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico.

RACIOCÍNIO LÓGICO

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a. Introdução

INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO

A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos públicos necessita, de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática.

Este o motivo para que você faça paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário.

Aqueles alunos que cursaram exatas talvez considerem a parte da revisão matemática meio redundante, porém, aconselhamos só dispensar esta revisão quem continua usando a matemática como ferramenta de trabalho no seu dia a dia. Um pequeno lapso de memória, muito comum quando não se vê a matéria por algum tempo, na hora da prova, pode significar pontos Preciosos.

Concomitantemente com a revisão acima mencionada, você deve estudar, todas as grandes famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê-los.

Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, mesmo os melhores alunos terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos.

Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico na seção PROVAS RESOLVIDAS, como não poderia deixar de ser, serão do tipo 'charada' ou 'quebra-cabeças'.

Já mencionamos que iremos indicar o método a ser adotado para se chegar à solução da maneira mais rápida possível. Porém, como cada problema pode ser abordado de inúmeras maneiras, fica o aluno livre para seguir seu próprio raciocínio

Pedimos, inclusive, que sempre que você julgar ter encontrado um caminho mais simples ou mais lógico que o nosso, que nos comunique para, assim, podermos ir aprimorando gradativamente nossa didática. Será de inestimável ajuda.

Onde for necessário daremos o devido embasamento teórico.

Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão.

Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos públicos.

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Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50 % dos problemas. Os outros 30 % podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de raciocínio lógico que iremos ensinar ao longo das questões.

Como não é preciso tirar nota 10 para passar num concurso público, acreditamos que este site vai atender satisfatoriamente a maioria dos candidatos.

Os exercícios que aparecem em, por serem muito similares aos dos concursos que você irá enfrentar em breve, servem tanto para treino como para acompanhamento dos seu desempenho. É com base nas respostas a estas questões que você poderá avaliar seus conhecimentos.

b. proposições;

Proposição

Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:

1. Frases que não são proposições

o Pare! o Quer uma xícara de café? o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada

2. Frases que são proposições

o A lua é o único satélite do planeta terra (V) o A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) o O numero 712 é ímpar (F) o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V)

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Composição de Proposições

É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições,

1. A = "Maria tem 23 anos"2. B = "Maria é menor"

Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos:

1. "Maria não tem 23 anos" (nãoA)

2. "Maria não é menor"(não(B))

3. "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)

4. "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B)

5. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)

6. "Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B)

7. "Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B))

8. "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B))

9. Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B)

10. Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => B)

11. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)

12. "Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C <=> não(B))

c. valores lógicos das proposições;

Algumas Leis Fundamentais

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Lei do Meio Excluido

Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V): não há meio termo.

Lei da Contradição

Uma proposição não pode ser, simultaneamente, Ve F.

Lei da Funcionalidade

O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicamente determinada pelos valores lógicos de suas proposições constituintes.

d. sentenças abertas;

São sentenças que não podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas.

Ex: Paulo está muito....Não acredito em...... sempre que ele vem.

e. número de linhas da tabela verdade

Tabela-Verdade

A tabela-verdade, como se sabe, é um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições. Abaixo segue a tabela-verdade dos conectivos aqui tratados,

Negação

A ~(A), ou -A, ou /A, ou ainda, A'

F V

V F

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A B

Conjunção

A . B, ou AB

Disjunção

A + B

Implicação

A => B

Equivalência

A <=> B

F F F F V V

F V F V V F

V F F V F F

V V V V V V

Alguns destaques das tabelas-verdade tratadas:

A negação, como o próprio nome diz, nega a proposição que tem como argumento. Tem como símbolo o acento "~" , ~A,ou, algumas vezes, uma barra sobre a variavel lógica, Ã, ou o sinal "-", -A, ou o símbolo "/", /A, ou ainda, o sinal "'", A'. Lembre-se que o símbolo nada mais é que uma simples representação da negação. O que é relevante é que o significado do símbolo seja explicitamente declarado. Aqui, os símbolos mais usados para a negação são o sinal "'", e barra por sobre a

variável lógica, . O símbolo mais utilizado para a conjunção, em Eletrônica Digital, é o ponto ".".

O símbolo mais utilizado para a disjunção, em Eletrônica Digital, é o sinal "+". A única função da implicação lógica (A => B, onde A é o antecedente e B é o

conseqüente) é afirmar o conseqüente no caso do antecedente ser verdadeiro. Segundo Quine, a única maneira de se negar a implicação lógica como um todo é quando isto não ocorre, isto é, tem-se o antecedente (A) V e o consequente (B) é F. Apenas neste caso, a implicação (A => B) é F. Em todos os outros casos é V.

A equivalência sempre é V quando os dois argumentos possuem o mesmo valor lógico (seja, este valor, V ou F).

f. conectivos;

Note que, para compor proposições usou-se os símbolos

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~ não (negação),

^ e (conjunção),

V ou (disjunção),

=> (implicação)

<=> (equivalência).

São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para

representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18 anos. Assim,

não(B) representa Maria não é menor, uma vez que B representa Maria é menor.

g. proposições simples;

Apresentam apenas uma sentença:

Ex:João é gordo. (V)Pedro foi ao parque. (V)2 é maior do que 5 (F)

h. proposições compostas.

Apresentam mais de uma sentença:

Ex:

Se João não vier, eu ficarei triste.5 é maior do que 3 e menor do que 8.

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2 Tautologia.

Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

A tautologia, independente dos valores associados à sentença, conferem ao resultadoo valor V (Verdadeiro)

3 Operação com conjuntos.

RACIOCÍNIO LÓGICO NA TEORIA DOS CONJUNTOS

Não iremos expor toda a Teoria dos Conjuntos, pois não é esta a proposta deste curso, nem há necessidade de nos aprofundarmos tanto

Neste capítulo relembraremos apenas alguns tópicos, para nos familiarizarmos com a linguagem e a simbologia.

Apresentaremos alguns exercícios resolvidos que servirão de embasamento para a teoria. Antes de olhar a solução tente resolvê-los. Será uma ótima forma de relembrar este assunto.

3.1. Recordando

3.1.1. Relações de pertinência:

Î e Ï (relacionam elemento com conjunto)

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3.1.2. Relações de inclusão:

Ë, Ì, Í (relacionam um conjunto com outro conjunto)

3.1.3. Subconjunto:

diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B.

3.1.4. Conjunto potência ou conjunto das partes de um conjunto:

chama-se conjunto potência (representado por 2A) ou conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), o conjunto cujos elementos são todos as partes de A, isto é: P(A) = {x / x Ì A}.

3.1.5. Operações com conjuntos:

dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, tais que A Ì S e B Ì S, denomina-se:

- União (È) :

A È B = {x / x ÎA ou x ÎB}

- Interseção (Ç) :

A Ç B = {x / x ÎA e x ÎB}

- Diferença ( - ) :

A - B = {x / x ÎA e x ÏB}

- Complementar ( CsA ou A'):

CsA = {x ÎS / x ÏA}

Nota: dados dois conjuntos A e B, tais que A Ì B, tem-se: CBA = B - A = {x / x Î B e x Ï A}.

Se A Ë B não tem sentido CBA.

3.1.6. Produto Cartesiano:

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Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais que x ÎA e y ÎB.

Simbolicamente escreve-se:

A . B = {(x,y) / x ÎA e y ÎB}

3.2. Exercício para firmar os conceitos

A solução é dada na sequencia. Tente resolvê-los antes de olhar as respostas.

3.3.1. Exercício 1

Construa um diagrama representativo de três conjuntos A, B e C contidos no conjunto-universo S, tais que:

A Ë B,

B Ë A,

C Ì A e

C Ì B

3.3.2. Exercício 2

Considere o conjunto

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

e determine:

a) o número de subconjuntos de A

b) o número de subconjuntos de A que

possuem dois elementos

c) o número de subconjuntos de A que

possuem sete elementos

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d) o número de subconjuntos de A que

possuem nove elementos

3.3.3. Exercício 3

Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmônica tocam:

a) instrumentos de sopro ou de corda ?

b) somente um dos dois tipos de

instrumento ?

c) instrumentos diferentes dos dois

citados ?

3.3.4. Exercício 4

Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em três concursos A, B, e C, obteve-se os resultados tabelados a seguir:

ConcursosN. de

aprovados

A 150

B 140

C 100

A e B 45

A e C 30

B e C 35

A, B e C 10

Pergunta-se:

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a) quantas pessoas fizeram os três concursos?b) quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos?c) quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos?d) quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C?

3.4 Solução dos exercícios propostos

3.4.1 Exercício 1

A Ë B, B Ë A, C Ì A, C Ì B, A Ì S, B Ì S e C Ì S

3.4.2. Exercício 2

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

a) o número de subconjuntos de A

P(A) = 2n = 210 = 1.024

b) o número de subconjuntos de A que possuem dois elementos

P(A) com 2 elementos = C10,2

C10,2= 10! / (10-2)! . 2!

C10,2 = 10 . 9 / 2 = 90 / 2 = 45

c) o número de subconjuntos de A que

possuem sete elementos

P(A) com 7 elementos = C10,7

C10,7 = 10! / (10 - 7)! . 7! = 10! / 3! . 7!

C10,7 = 10 . 9 . 8 / 3 . 2 = 720 / 6 = 120

d) o número de subconjuntos de A que possuem nove elementos

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P(A) com 9 elementos = C10,9

C10,9 = 10! / (10-9)! . 1! = 10! / 9! = 10

Quem não se lembra de análise combinatória terá dificuldade em entender o acima exposto.

Porém, alertamos que num curso como este, estes assincronismos serão frequentes. Se fossemos entrar em Raciocínio Lógico somente depois de feita toda a revisão de matemática do 2. grau o curso ficaria muito maçante para a grande maioria.

Não devemos esquecer que este curso se destina a pessoas com curso superior e que por conseguinte têm obrigação de saber de antemão toda a matemática de 2. grau.

Sugerimos, para quem não consegue acompanhar alguns tópicos da matéria, que aguarde a aula em que será dada a revisão matemática respectiva para então voltar ao assunto.

Por outro lado, é bom que o candidato vá se acostumando a enfrentar problemas para os quais não está preparado.

Num concurso de seleção sempre haverá um problema ou outro que, devido à vastidão da matéria, não foi abordado em aula.

3.4.3. Exercício 3

Solução: Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica.

DICA: Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora.

Passo 1

60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai no meio

Passo 2

a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100

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b) 240 tocam instrumento de sopro.

240 - 60 = 180

Voltando ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:

Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam:

a) instrumentos de sopro ou de corda ?

Pelos dados do problema:

100 + 60 + 180 = 340

b) somente um dos dois tipos de instrumento ?

100 + 180 = 280

c) instrumentos diferentes dos dois citados ?

500 - 340 = 160

Nota: Para quem está familiarizado com a Teoria dos Conjuntos, a solução poderia também ser obtida através da fórmula:

a) n (S È C) = n (S) + n (C) - n (S Ç C)

= 240 + 160 - 60 = 340

b) [n (S) - n (S Ç C)] + [n (C) - n (C Ç S)] =

[ 240 - 60] + [ 160 - 60 ] = 180 + 100 = 280

c) n (F) - n (S È C) = 500 - 340 = 160

3.4.4 Exercício 4

Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em três concursos A, B, e C, obteve-se os resultados tabelados a seguir:

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ConcursosN. de

aprovados

A 150

B 140

C 100

A e B 45

A e C 30

B e C 35

A, B e C 10

Solução:

Nota: só vamos ensinar o método visual, através do diagrama. Todavia, nada impede que o proble-ma seja resolvido pelas fórmulas correspondentes

Passo 1:

Fazer o diagrama e começar a preenchê-lo de dentro para fora com os dados disponíves: A, B e C = 10

Passo 2:

Se 10 pessoas já foram aprovadas em A, B e C, quantas restaram só em AeB, AeC e BeC:

A e B = 45 - 10 = 35A e C = 30 - 10 = 20B e C = 35 - 10 = 25

Passo 3:

Agora, só falta calcular quantos foram aprovados em um único concurso, para podermos terminar de preencher o diagrama.

A = 150 - ( 35 + 20 + 10 ) = 85 B = 140 - ( 35 + 10 + 25 ) = 70 C = 100 - ( 20 + 10 + 25 ) = 45

Após preencher corretamente o diagrama, qualquer pergunta pode ser facilmente respondida. Basta retirar do diagrama os dados correspondentes :

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a) quantas pessoas fizeram os três concursos?

Todas. Somando os dados do diagrama obtemos:

85+35+70+20+10+25+45 = 290

b) quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos?

85 + 70 + 45 = 200

c) quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos?

Cuidado: 'pelo menos dois' não exclui 'em todos os três'. Temos que somar, portanto, todo o miolo:

35 + 20 + 10 + 25 = 90

d) quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C?

Esta resposta é um dado direto do diagrama: = 35

4 Cálculos com porcentagens.

PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

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Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

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Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro

Fator de Multiplicação

10% 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4767% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

DescontoFator de

Multiplicação10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

IV. RACIOCÍNO LÓGICO EM SUCESSÕES DE PALAVRAS

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Neste capítulo apresentaremos várias sucessões de palavras escritas obedecendo a uma ordem lógica. Evidentemente a lógica aplicada a uma sucessão poderá ser diferente da utilizada em outra.

A lógica na escrita, às vezes, pode parecer até absurda, mas nossa intenção é mostrar problemas onde se empregam os mais diversos raciocínios possíveis.

Assim, se no concurso aparecer um problema sem sentido aparente, você estará treinado para uma lógica que muitas vezes não é nada matemática.

4.1. Exercícios resolvidos

4.1.1. Exercício 1

Uma propriedade lógica define a sucessão: SEGURO, TERRA, QUALIDA-DE, QUILATE, SEXTANTE, SABIO, .....

Escolha a alternativa que preenche corretamente a lacuna:

a. JADE b. CHINÊS c. TRIVIAL d. DOMÍNIO e. ESCRITURA

4.1.2. Exercício 2

A sucessão seguinte de palavras obedece a uma ordem lógica:

VIL, RUIM, FEIO, BOIOU, X.

Escolha a alternativa que substitui X corretamente:

a. MALVADO b. CAPIXABA c. SOTEROPOLITANO d. BONITO e. PIAUIENSE

4.1.3. Exercício 3

Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica:

HOMERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO, ..............

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Determine a alternativa que preenche logicamente a lacuna:

a. PÉS b. MÃO c. COSTAS d. BRAÇO e. TRONCO

4.1.4. Exercício 4

Observe a sucessão a seguir composta de letras do alfabeto da língua portuguesa e escolha a alternativa que determina X corretamente:

B, D, G, L, Q, X

a. R b. U c. X d. A e. H

4.2. Soluções dos exercícios propostos

4.2.1. Exercício 1

A sucessão é formada de palavras cujas três primeiras letras são as mesmas dos dias da semana. Portanto, a palavra que preenche corretamente a lacuna é DOMÍNIO, cujas três primeiras letras são as mesmas de DOMINGO. Alternativa d.

4.2.2. Exercício 2

A sucessão é formada, sucessivamente, de palavras tais que na primeira há apenas uma vogal, na segunda há duas vogais juntas, na terceira três vogais juntas, na quarta quatro vogais juntas. Evidentemente, na quinta palavra, deverá haver cinco vogais juntas. Logo, X é a palavra PIAUIENSE. Alternativa e.

4.2.3. Exercício 3

Os vocábulos da sucessão dada rimam, sucessivamente, com os algarismos pares do sistema de numeração decimal.

Homero rima com zeroDepois rima com doisTeatro rima com quatro

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Deveis rima com seisCoito rima com oito

O próximo par é dez. Das alternativas apresentadas, o vocábulo que rima com dez é pés. Alternativa a.

4.2.4. Exercício 4

Cada elemento da série é formado por uma letra. Do B para o D pula uma letra. Do D para o G, duas. Do G para o L, três. Do L para o Q quatro. Do Q em diante deve-se pular cinco letras, logo o X. Alternativa c.

Raciocínio Lógico – Questões

Vamos lá!

Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento.b) Camile e Carla não foram ao casamento.c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou.d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou.e) Vera e Vanderléia não viajaram.

Sol.: Neste tipo de questão, devemos dispor as proposições, uma a uma, na seqüência em que foram trazidas no enunciado. Teremos:

Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento.

Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou.

Se Vanderléia viajou, o navio afundou.

Ora, o navio não afundou.

Observamos que as três primeiras proposições são do tipo: “Se PREMISSA A, então PREMISSA B”. Para este tipo de proposição, obedeceremos às regras da lógica matemática, previstas no quadro-resumo abaixo:

Quadro-Resumo: “Se premissa A, então premissa B”:Premissa A ----------- Premissa B

(V) (V)Premissa A ----------- Premissa B

(F) (V) ou (F)Premissa A Premissa B

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(F) (F)Premissa A Premissa B

(V) ou (F) (V)

Ora, normalmente, o modelo de questão que estamos resolvendo costuma trazer, ao final do enunciado, uma “premissa incondicional”. Esta “premissa incondicional” funciona como ponto de partida da resolução, e será sempre considerada por nós como a “verdade” do enunciado.

Neste nosso caso, a premissa incondicional, a qual consideraremos como “verdade do enunciado” e ponto de partida da resolução é a seguinte: “ora, o navio não afundou”!

Daí, desenvolveremos o seguinte raciocínio: partiremos da “verdade” e procuraremos nas proposições acima, qualquer uma delas que fale a respeito do fato de o navio ter afundado ou não. Onde encontraremos essa premissa? Na terceira proposição! Teremos:

Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento.

Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou.

Se Vanderléia viajou, o navio afundou. (F) (F)

Ora, o navio não afundou.(V)

Concluímos até aqui que é falsa a premissa que “Vanderléia viajou”. Daí, procuraremos algum outro lugar que fale acerca do fato de Vanderléia ter ou não viajado. Onde encontraremos? No segunda proposição. Teremos, portanto:

Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento.

Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. (F)

Se Vanderléia viajou, o navio afundou. (F) (F)

Ora, o navio não afundou.(V)

E, em decorrência disso, de acordo com o quadro-resumo que rege este tipo de estrutura “Se PREMISSA A, então PREMISSA B”, teremos que:

Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento.

Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. (F) (F)

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Se Vanderléia viajou, o navio afundou. (F) (F)

Ora, o navio não afundou.(V)

Na seqüência, após esta nossa conclusão de que é falsa a premissa que “Carla não foi ao casamento”, procuraremos alguma outra premissa que diga respeito a esse fato, ou seja, sobre se a Carla foi ou não foi ao casório! Onde encontraremos isso? Na primeira proposição. Teremos:

Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. (F)

Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. (F) (F)

Se Vanderléia viajou, o navio afundou. (F) (F)

Ora, o navio não afundou.(V)

Finalmente, a última conclusão que iremos extrair, com base no nosso quadro-resumo que rege a estrutura em tela, é a seguinte:

Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. (F) (F)

Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. (F) (F)

Se Vanderléia viajou, o navio afundou. (F) (F)

Ora, o navio não afundou.(V)

Pronto! Agora, resta-nos elencar as conclusões todas do nosso raciocínio. Foram as seguintes:

O navio não afundou. (premissa incondicional, “verdade” do enunciado); Vanderléia não viajou. (conclusão da terceira proposição); Carla foi ao casamento. (conclusão da segunda proposição); Vera não viajou. (conclusão da primeira proposição).

Daí, compararemos nossas conclusões acima com as opções de resposta. E chegamos, enfim, à resposta da questão, que é a opção E (Vera e Vanderléia não viajaram).

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Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo:

a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatrizd) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatrize) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz

Sol.: Iniciemos, dispondo as proposições uma após outra. Teremos:

Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia.

Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar.

Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia.

Ora, Beto não briga com Bia.

Já sabemos que esta última premissa (“Beto não briga com Bia”) é a premissa incondicional, a “verdade” do enunciado e ponto de partida da resolução da questão! Nesta resolução, saltaremos os saltos intermediários, e apresentaremos já todo o raciocínio desenvolvido. Ok? Teremos o seguinte:

Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. (F) (F)

Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. (F) (F)

Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. (F) (F)

Ora, Beto não briga com Bia. (V)

Daí, as conclusões que extrairemos do nosso raciocínio são as seguintes: Beto não briga com Bia. (“premissa incondicional”); Bia não vai ao bar. (conclusão da terceira premissa); Beatriz não briga com Bia. (conclusão da segunda premissa); Beraldo não briga com Beatriz.

Em comparação com as opções de resposta, concluímos que a resposta correta será o item C (“Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz”).

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08) Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa. a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.Sol.: Transcrevendo as proposições do enunciado, teremos:

Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice.

Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa.

Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda.

Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.

O ponto de partida da resolução é a nossa premissa incondicional, no caso, a última (“nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa”).

O que há de novidade nesta questão? É justamente a presença de uma nova “estrutura”. Observaram? É a estrutura presente na segunda proposição (“ou Ana é filha de Alice ou Ênia é filha de Elisa”). Trata-se da estrutura “ou PREMISSA A, ou PREMISSA B”.

Quando formos analisar essa nova estrutura, teremos que seguir o disposto no seguinte quadro-resumo abaixo:

Quadro-Resumo: “Ou premissa A, ou premissa B”:Premissa A ----------- Premissa B

(V) (V) ou (F)Premissa A ----------- Premissa B

(F) (V) Premissa A Premissa B

(V) (F)Premissa A Premissa B

(V) ou (F) (V)

Sabendo disso, passemos ao desenvolvimento do nosso raciocínio. Teremos:

Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. (F) (F)

Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. (V) (F)

Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. (F) (F)

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Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa. (V)

Daí, extraímos as seguintes conclusões: Ênia não é filha de Elisa; Inês não é filha de Isa. (premissas incondicionais); Ana é filha de Alice. (conclusão da segunda proposição); Flávia não é filha de Fernanda. (conclusão da primeira proposição); Paula é filha de Paulete (conclusão da terceira proposição).

Comparando nossas conclusões acima com as opções de resposta, chegamos à opção B (“Paula é filha de Paulete, Ana é filha de Alice”). Resposta da questão!

Quero lembrar que as questões desse tipo das que resolvemos hoje foram minuciosamente trabalhadas e explicadas na apostila que elaborei, e que está à disposição dos interessados aqui no Site como um e-produto.

Próxima aula, trarei a conclusão destas questões do Simulado, e trataremos acerca de um outro tipo muito comumente cobrado nas provas da Esaf, que diz respeito a enunciados de “Verdade & Mentira”. São questões aparentemente complexas, mas depois que aprendemos a técnica de resolução, tornam-se muito fáceis! Um exemplo de questão desse modelo (verdades e mentiras) é o enunciado que se segue:

Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.– “Foi a Mara”, disse Manuel.– “O Mário está mentindo”, disse Mara.– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi:

a) Máriob) Marcosc) Marad) Manuele) Maria

RACIOCÍNIO LÓGICO – VERDADES & MENTIRAS

Olá, amigos! Todos bem? Espero que sim!Hoje, seguirei explicando um assunto de Raciocínio Lógico, o qual muito

possivelmente irá constar entre as questões da prova do MPU (Ministério Público da União), que por sinal já tem data marcada!

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Aos que vão fazer prova pra nível médio, 4 de julho passará a ser conhecido como o “dia da independência”! Não a dos EUA, mas o SEU DIA DA INDEPENDÊNCIA! Não é verdade? Que maravilha!

Mas, antes de comemorarmos, vamos à luta! O primeiro assunto de hoje envolverá enunciados, nos quais encontraremos uma

série de declarações entrelaçadas entre si, e que, a princípio, não sabemos se são declarações verdadeiras ou mentirosas. Facilmente identificaremos que a questão é uma dessas, de “verdades & mentiras”. Vejamos uma delas abaixo:

01) (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:Armando: "Sou inocente"Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado"Juarez: "Armando disse a verdade"Tarso: "Celso mentiu"Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e)Tarso

Sol.: Pois bem! Questão recente da Esaf, extraída de uma prova de nível superior. Percebemos que as cinco pessoas envolvidas na trama do enunciado (Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso) estão fazendo uma declaração! Que pode ser uma verdade ou uma mentira! Como procederemos?

O primeiro passo será, senão outro, relacionar todas as declarações feitas no enunciado. Façamos isso:

Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu"

Agora, veremos que, além das declarações, o enunciado dessas questões de “verdade e mentira” SEMPRE nos fornecerão alguma ou algumas INFORMAÇÕES ADICIONAIS!

Estas informações adicionais serão a base do raciocínio que iremos desenvolver para resolver a questão! Em geral, são informações referentes às pessoas envolvidas na situação do enunciado, ou referentes ao número de pessoas que estariam mentindo ou dizendo a verdade, em suas declarações!

Procuremos nesse nosso enunciado, se há e quais são essas informações adicionais! Achamos? Claro. São as seguintes:

1º) O crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa.Podemos inclusive traduzir essa informação apenas como sendo: Só há um culpado!

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E, teremos ainda:2º) Apenas um dos suspeitos mentiu e todos os outros disseram a verdade.Traduziremos por: Só há um mentiroso!

Percebamos que, até aqui, nada fizemos, além de reunir os dados do enunciado, com os quais iremos trabalhar a nossa resolução. Mas esse procedimento é ESSENCIAL!

Daí, transcrevendo novamente tudo o que vamos precisar para “matar a questão”, teremos:

INFORMAÇÕES ADICIONAIS:1º) Só há um culpado.2º) Só há um mentiroso.

DECLARAÇÕES:1º) Armando: "Sou inocente"2º) Celso: "Edu é o culpado" 3º) Edu: "Tarso é o culpado"4º) Juarez: "Armando disse a verdade"5º) Tarso: "Celso mentiu"

Passemos à resolução propriamente dita! O que faremos agora é CRIAR UMA HIPÓTESE de verdades ou mentiras para as

declarações que dispomos, partindo do que nos fornecem as informações adicionais. Acerca da verdade ou mentira das declarações, o que nos dizem as informações

adicionais? Ora, dizem-nos que haverá apenas um mentiroso! Logo, você pode perfeitamente criar a HIPÓTESE de que a pessoa que mente seja a

primeira da fila (a que está fazendo a primeira declaração), no caso, o Armando. Se você está SUPONDO que o Armando está mentindo, restará perfeitamente claro que as demais pessoas estarão dizendo a verdade (uma vez que sabemos que só há um mentiroso)!

Daí, para essa nossa PRIMEIRA HIPÓTESE, podemos até criar um esqueminha.Vejamos: hipótese I

DECLARAÇÕES: 1º) Armando: "Sou inocente" --------------- Mentira2º) Celso: "Edu é o culpado" --------------- Verdade3º) Edu: "Tarso é o culpado" ---------------- Verdade4º) Juarez: "Armando disse a verdade" ---- Verdade5º) Tarso: "Celso mentiu" ------------------- VerdadeE agora, o que fazer? Ora, não podemos esquecer que essas atribuições de

VERDADE e MENTIRA que fizemos para cada declaração são apenas uma HIPÓTESE, uma SUPOSIÇÃO. Não sabemos ainda se esta HIPÓTESE será aquela que resolverá a questão!

E como poderemos estar certos se esta hipótese servirá para nós? TESTANDO-A!É o que faremos agora. Iremos extrair as CONCLUSÕES desta nossa HIPÓTESE

criada. Vejamos:

hipótese I1º) Armando: "Sou inocente" --------------- Mentira

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2º) Celso: "Edu é o culpado" --------------- Verdade3º) Edu: "Tarso é o culpado" ---------------- Verdade4º) Juarez: "Armando disse a verdade" ---- Verdade5º) Tarso: "Celso mentiu" ------------------- Verdade

CONCLUSÕES: Da primeira declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Armando está

dizendo, então, concluímos que: Armando é culpado. Da segunda declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Celso está

declarando, então, concluímos que: Edu é culpado.

Ora, basta analisarmos estas duas primeiras conclusões, e já percebemos que elas estão entrando em CHOQUE, estão INCOMPATÍVEIS, estão CONFLITANTES! E por quê? Porque uma das nossas INFORMAÇÕES ADICIONAIS nos diz que SÓ HÁ UM CULPADO.

Somente estas duas primeiras conclusões já nos levariam a dois culpados pelo crime, o que não pode acontecer!

Daí, descobrimos que A PRIMEIRA HIPÓTESE NÃO FUNCIONOU! Não é com ela que chegaremos à resposta da questão. E quando isso ocorrer, o que teremos de fazer, então? Teremos, obviamente, de passar a uma SEGUNDA HIPÓTESE!

Se na primeira hipótese (que falhou), dissemos que o mentiroso era a primeira pessoa, podemos perfeitamente agora supor que quem disse a mentira foi a segunda pessoa da fila, aquela que fez a segunda declaração. Então, de acordo com essa nova hipótese, teríamos que:

(hipótese descartada!)

hipótese I hipótese II1º) Armando: "Sou inocente" --------------- Mentira Verdade2º) Celso: "Edu é o culpado" --------------- Verdade Mentira 3º) Edu: "Tarso é o culpado" ---------------- Verdade Verdade4º) Juarez: "Armando disse a verdade" ---- Verdade Verdade5º) Tarso: "Celso mentiu" ------------------- Verdade Verdade

Para descobrirmos se a HIPÓTESE II servirá para a nossa resolução, teremos que extrair dela as nossas conclusões.

Teremos:

CONCLUSÕES: Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Armando está

dizendo, então, concluímos que: Armando é inocente. Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Celso está

declarando, então, concluímos que: Edu é inocente. Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Edu está

declarando, então, concluímos que: Tarso é culpado. Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Juarez está

declarando, então, concluímos que: Armando diz a verdade. Neste momento, temos que

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nos reportar ao ARMANDO, e confirmar se ele, nesta nossa hipótese, está mesmo dizendo a verdade! E aí? Armando diz a verdade ou não? Sim, ele diz. Então, esta nossa quarta conclusão está COERENTE com as demais.

Da quinta e última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Tarso está dizendo, então, concluímos que: Celso mentiu. Também aqui nos reportaremos ao CELSO, e conferiremos se ele de fato mentiu! E aí, Celso mentiu ou não? Sim! Pela nossa hipótese em análise, Celso de fato mentiu. Deste modo, novamente, não achamos nenhuma INCOMPATIBILIDADE entre essa conclusão e as demais.

Feita essa análise, eu pergunto: as conclusões que extraímos da nossa SEGUNDA HIPÓTESE estão COMPATÍVEIS ENTRE SI? Estão de acordo com o que mandam as INFORMAÇÕES ADICIONAIS? Ou, ao contrário, estariam entrando em choque umas com as outras? Ora, observamos que as conclusões são COMPATÍVEIS, e estão plenamente de acordo com as informações adicionais do enunciado. Daí, diremos que esta segunda hipótese é a que de fato resolve a questão!

Quem foi o culpado do crime? O culpado foi Tarso, e somente ele! Questão respondida!

Uma observação: se, acaso, ao trabalharmos com a SEGUNDA HIPÓTESE, houvéssemos chegado (como se deu com a primeira hipótese) a conclusões conflitantes entre si, e conflitantes com as informações adicionais do enunciado, então teríamos que criar uma TERCEIRA HIPÓTESE, e passar a analisá-la, tal qual foi feito com as anteriores. E esse processo de criação da hipótese e análise das conclusões iria se repetir, até que chegássemos a uma hipótese da qual extrairíamos conclusões compatíveis, coerentes entre si, e que estariam de acordo com as informações adicionais do enunciado.

Dito isso, podemos traçar uma seqüência de passos, que podem ser úteis na resolução de qualquer questão de “verdade & mentira”.

1º Passo) Transcrever todas as DECLARAÇÕES do enunciado;2º Passo) Transcrever todas as INFORMAÇÕES ADICIONAIS, que guiarão o

nosso raciocínio, durante a resolução;3º Passo) Criar uma HIPÓTESE de verdades ou mentiras para as

DECLARAÇÕES, tendo por base o que dispõem as INFORMAÇÕES ADICIONAIS;4º Passo) Testar a HIPÓTESE criada, extraindo todas as conclusões dela oriundas,

e comparando essas conclusões entre si, e em relação às INFORMAÇÕES ADICIONAIS. Caso tais conclusões estejam compatíveis entre si, e compatíveis com as

informações adicionais, então esta será a HIPÓTESE que resolverá, de fato, o nosso problema.

Caso contrário, se se verificar que as conclusões extraídas daquela HIPÓTESE são incompatíveis entre si, ou que vão de encontro ao que prescrevem as informações adicionais, então diremos que tal HIPÓTESE falhou! Não serviu para resolver a nossa questão! Nesse caso, CRIA-SE UMA NOVA HIPÓTESE, e reinicia-se o procedimento de análise (4º Passo).

Só isso! Beleza, né não?Questãozinha garantida na prova! Um pontinho a mais pra gente comemorar!

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Passemos a mais um exemplo!

02) (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.– “Foi a Mara”, disse Manuel.– “O Mário está mentindo”, disse Mara.– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi:a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel

e) Maria

Sol.: Novamente temos aqui cinco pessoas envolvidas na situação do enunciado. Cada qual faz uma declaração, e nós não sabemos, a priori, quem está falando a verdade ou quem está mentindo. Daí, não resta dúvida: estamos diante de uma questão de “verdades & mentiras”.

Aliás, esse nome (“verdades & mentiras”) nem é um nome técnico. Eu é que tenho mania de dar nomes às coisas, e resolvi chamar assim... O importante é que você saiba identificar o tipo de questão, e como resolvê-la. Passemos aos nossos passos de resolução.

Reunindo as DECLARAÇÕES e as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, teremos:

INFORMAÇÕES ADICIONAIS:1º) Só há um que entrou sem pagar.2º) Só há um mentiroso.

DECLARAÇÕES:1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel"2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" 3º) Manuel: "Foi a Mara"4º) Mara: "Mário está mentindo"5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos"E chegou o momento de criarmos a nossa primeira HIPÓTESE. Sabendo que só há um mentiroso (informação adicional do enunciado), podemos

dizer que quem mentiu foi, por exemplo, a primeira pessoa a fazer uma declaração. Neste caso, o Marcos. Daí, teríamos que:

hipótese I 1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel"----- Mentira 2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" --------------- Verdade 3º) Manuel: "Foi a Mara" -------------------------------- Verdade 4º) Mara: "Mário está mentindo"------------------------ Verdade 5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos"----------------- Verdade

Agora, para TESTAR A HIPÓTESE I, tiraremos dela as nossas conclusões:

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CONCLUSÕES: Da primeira declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Marcos está

dizendo, então, concluímos que: Foi o Marcos e foi o Manuel.

Pronto! A análise desta HIPÓTESE I morre por aqui mesmo! Nem iremos adiante! E por quê? Porque a nossa primeira conclusão já é INCOMPATÍVEL com o que nos diz a INFORMAÇÃO ADICIONAL do enunciado, segundo a qual somente uma pessoa entrou sem pagar. E a conclusão acima nos diz que quem entrou sem pagar foi o Marcos e foi o Manuel. Duas pessoas, portanto! E não pode!

O que concluímos com isso? Que a primeira HIPÓTESE falhou! Criaremos, pois, uma segunda HIPÓTESE. Já que só há um mentiroso, vamos

passar a MENTIRA agora para a mão da segunda pessoa da fila, qual seja, o Mário. Teremos, pois, que:

(hipótese descartada!)

hipótese I hipótese II1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel"----- Mentira Verdade 2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" --------------- Verdade Mentira3º) Manuel: "Foi a Mara" -------------------------------- Verdade Verdade4º) Mara: "Mário está mentindo"------------------------ Verdade Verdade5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos"----------------- Verdade Verdade

Passemos às conclusões desta nova HIPÓTESE. Teremos:

CONCLUSÕES: Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Marcos está

dizendo, então, concluímos que: Não foi o Marcos e não foi o Manuel. Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Mário está

dizendo, então, concluímos que: Não foi o Manuel e não foi a Maria. Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Manuel está

dizendo, então, concluímos que: Foi a Mara. Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Mara está dizendo,

então, concluímos que: Mário está mentindo. Aqui, como já sabemos, temos que parar, e procurar saber se o Mário está mesmo mentindo, ou se não está. E aí, de acordo com a nossa hipótese II, o Mário está mesmo mentindo? SIM. Vemos, pois, que esta quarta conclusão está de coerente. Seguimos em frente!

Da última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Maria está dizendo, então, concluímos que: Foi a Mara ou foi o Marcos. Isso quer dizer que um dos dois entrou no parque sem pagar. Ou um, ou outro! Vamos analisar o que nos dizem as demais conclusões que extraímos acima, acerca da Mara e acerca do Marcos. A primeira conclusão nos diz: “Não foi o Marcos”. E a terceira conclusão nos diz: “Foi a Mara”. Então está perfeito! Ou seja, essa nossa última conclusão (Foi a Mara ou foi o Marcos) está inteiramente de acordo, inteiramente compatível com as demais conclusões.

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Enfim, percebemos que a segunda HIPÓTESE, que acabamos de analisar, forneceu-nos conclusões que não conflitaram entre si, e nem foram incompatíveis com as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado. Em outras palavras: a HIPÓTESE II funcionou! É ela quem nos dará a resposta da questão. E então, quem foi a pessoa que entrou sem pagar? Foi a Mara. Questão respondida!

Façamos mais uma!

03) (ESAF) Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações:Nestor: "Marcos é casado com Teresa"Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina"Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra"Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:a) Sandra, Teresa, Reginab) Sandra, Regina, Teresac) Regina, Sandra, Teresad) Teresa, Regina, Sandrae) Teresa, Sandra, Regina

Sol.: Sem mais delongas, transcrevamos as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado e as DECLARAÇÕES. Teremos:

INFORMAÇÕES ADICIONAIS:1º) O marido de Sandra mentiu.2º) O marido de Tereza disse a verdade.

DECLARAÇÕES:1º) Nestor: " Marcos é casado com Tereza"2º) Luís: "Marcos e casado com Regina" 3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra"Pois bem! Vamos criar a nossa primeira HIPÓTESE. Vamos supor, por exemplo,

que o primeiro da fila, o Nestor, esteja dizendo a verdade. Vejamos:

hipótese I1º) Nestor: " Marcos é casado com Tereza"----------- Verdade2º) Luís: "Marcos e casado com Regina" --------------- 3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra"------------Ora, segundo uma das INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, sabemos

que aquele que diz a VERDADE é o marido de Tereza. Daí, decorre que se estamos supondo (nesta primeira HIPÓTESE) que o Nestor disse a VERDADE, então teremos que Nestor é o marido de Tereza. Mas, se assim é, vejamos o que foi que o Nestor, falando a VERDADE, declarou: “Marcos é casado com Tereza”.

Percebemos aí um choque de informações! A Tereza estaria sendo casada com o Nestor e com o Marcos. E não pode!

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Daí, resta-nos concluir que essa primeira HIPÓTESE falhou! Ou seja, constatamos que Nestor não pode estar dizendo a VERDADE. Partiremos para uma nova HIPÓTESE: a de que Nestor está mentindo! Teremos:

(hipótese descartada!)

hipótese I hipótese II1º) Nestor: " Marcos é casado com Tereza"----------- Verdade Mentira2º) Luís: "Marcos é casado com Regina" --------------- 3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra"------------

Vamos lá! Agora estamos dizendo que o Nestor está falando uma MENTIRA. Segundo as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, a pessoa que mente é o marido de Sandra. Logo, a primeira conclusão nossa é a de que Nestor é marido de Sandra.

Ora, como o Nestor está mentindo (segundo nossa hipótese II), então, pelo que ele declarou, concluímos que Marcos não é casado com Tereza.

Ora, ora: se já sabemos que o Marcos não é casado com a Tereza e também não é casado com a Sandra (quem é casado com a Sandra é o Nestor), então só restou uma mulher para ser o par do Marcos. Quem? A Regina, obviamente. Daí, temos que a nossa segunda conclusão é que o Marcos é casado com Regina.

Ora, ora, ora: vejamos as declarações acima! Tem alguém que está confirmando essa conclusão a que acabamos de chegar? Sim! O Luís está dizendo exatamente isso que já constatamos: “Marcos é casado com Regina”. Daí, percebemos que o Luís está dizendo a VERDADE! E se Luís diz a VERDADE, então, conforme as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, ele (Luís) será o marido de Tereza.

Pronto! Chegamos à definição dos três casais: Luís é casado com Tereza;Marcos é casado com Regina; e Nestor é casado com Sandra.

Questão respondida! Vamos pra saideira.

04) (ESAF) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

Sol.: Essa é das fáceis! E questão igualzinha a essa aqui já caiu em mais de uma prova da Esaf. Portanto, fiquemos ligados! É um pontinho a mais garantido pra nós!

O que temos que fazer aqui? Temos apenas que analisar uma frase. A seguinte:

“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”

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A coisa é bem simples: o que pode talvez entornar um pouco o caldo aqui nessa frase é que o nosso cérebro costuma raciocinar com mais facilidade com declarações afirmativas do que com as negativas.

Daí, o jeito mais fácil de compreender essa frase é transformando os “núcleos negativos” em “núcleos positivos” equivalentes!

Ora, vamos identificar o que seria o primeiro “núcleo negativo” desta sentença. Acharam? Claro. São as palavras: “Não é verdade”. Pelo que poderíamos trocar esse “núcleo”, para que ele ficasse na afirmativa? Poderia ser: “É mentira”.

Percebamos que “Não é verdade” tem exatamente o mesmo significado de “É mentira”. A diferença é que um núcleo está na negativa (“não é verdade”) e o outro, na afirmativa (“é mentira”).

Meio caminho andado! Resta encontrarmos o outro “núcleo negativo” da frase. Achamos? Claro: “Não

dormem a sesta”. Como poderíamos dizer a mesma coisa, de uma maneira afirmativa? Poderíamos dizer, por exemplo: “Ficam acordados”.

Observemos que tanto faz eu dizer “Não dormem”, como dizer “Ficam acordados”. São perfeitamente equivalentes!

Agora, sim! Vamos transcrever a sentença trazida pelo enunciado e depois, reescrevê-la nos moldes das alterações que fizemos. Teremos:

“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”

“É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados”

Confira novamente que as duas frases acima são perfeitamente equivalentes entre si!

Agora, veja como ficou mais fácil a compreensão. O que o enunciado quer? Ele quer que seja verdadeira essa sentença. Daí, para que seja mentira que todos os aldeões da aldeia fiquem acordados, basta

que apenas um deles, um dos aldeões, durma a sesta! É o que nos diz a opção C, que é a resposta da questão!

Ficou claro? Todos entenderam? Entenderam mesmo? De verdade?Então, veja se você é capaz de matar essa frase abaixo:

“Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras”

Suponha que a questão lhe peça que você identifique qual a condição suficiente e necessária para que a frase acima esteja correta.

E aí? Ora, e aí que você irá fazer da mesma forma que fizemos na resolução anterior. Ou seja, você vai tentar transformar os “núcleos negativos” da sentença em “núcleos afirmativos” correspondentes!

O “não é verdade” você troca por “É mentira”. E o “não são magras” você troca por “são gordas”.Daí, nossa nova frase, que é perfeita e exatamente correspondente à anterior, será:

“É mentira que todas as pessoas daquela família são gordas”

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Daí, ficou muito fácil deduzir que, para que seja mentira que todas as pessoas daquela família sejam gordas, basta que uma delas seja magra! Seria esta a resposta desta questão.

SIMULADO DE QUESTÕES DE “VERDADE & MENTIRA”

01) (ESAF) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02) (ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição:Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.”Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.”Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se, respectivamente:a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesab) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragãoc) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragãod) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouroe) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro

03) (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa:Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente:a) André, Caio, Beto, Dênisb) André, Caio, Dênis, Beto

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c) Beto, André, Dênis, Caiod) Beto, André, Caio, Dênise) Caio, Beto, Dênis, André

04) (ESAF) Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz – Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que:a) Y fala a verdade.b) a resposta de Y foi NÃO.c) ambos falam a verdade.d) ambos mentem.e) X fala a verdade.

05) (ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:a) Janete, Tânia e Angélicab) Janete, Angélica e Tâniac) Angélica, Janete e Tâniad) Angélica, Tânia e Janetee) Tânia, Angélica e Janete

GABARITO: 01) D 02) E 03) B 04) E 05) B

Exercícios

01 - Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C

02- Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P" Premissa 2: "X não está contido em P" Pode-se, então, concluir que, necessariamente a) Y está contido em Z b) X está contido em Z

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c) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Y e) X não está contido nem em Y e nem em Z

03- A operação Å x é definida como o dobro do quadrado de x. Assim, o valor da expressão Å 21/2 - Å [ 1Å 2 ] é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6

04- Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso

05- Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120

06- De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200

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07- Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

08- Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

09- Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, a) D ocorre e B não ocorre b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre

10- Ou A=B, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A=D. Ora, B=D. Logo: a) B ¹ C b) B ¹ A c) C = A d) C = D e) D ¹ A

11- De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano

12- Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia

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c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta, então o gato não mia

13- Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina b) Sandra, Regina, Teresa c) Regina, Sandra, Teresa d) Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina

14- A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

15- Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

16- Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês

17- Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina

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d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia

18- Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que: a) Lauro é culpado e Sônia é culpada b) Sônia é culpada e Roberto é inocente c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente

19- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto

20- Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira prometo que vos darei ou um cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". O jovem sábio disse, então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada". Para manter a promessa feita, o rei: a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa

GABARITO

01 C 02 B 03 C 04 E 05 D 06 D 07 E 08 A 09 C 10 A 11 B 12 C 13 D

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14 E 15 A 16 B 17 A 18 C 19 E 20 B