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Raciocínio Lógico Matemático

Cap. 2 ‐ Lógica Matemática

Capítulo2 Professor: Sérgio Destácio Faro

Capítulo 2 Professor: Sérgio Destácio Faro

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1. Lógica Matemática

No primeiro capítulo, discutimos uma série de conceitos atrelados à lógica de

uma forma geral, mas de forma tendenciosa buscamos também fazer uma

introdução à lógica matemática. Você pode constatar isto, especialmente por

intermédio dos exemplos dados, assim como da linguagem utilizada. Para continuar este estudo da lógica matemática, e de forma mais didática e

pedagógica, se faz necessário relembrar alguns conceitos fundamentais, tais como:

• Expressão é uma composição de palavras sem formar um sentido completo

(sem predicado).

• Frase ou sentença é uma composição de palavras que exprimem um

sentido completo; isto é, formado por sujeito e predicado.

Veja o quadro abaixo e note a diferença básica quanto ao sentido.

Expressão Frase ou sentença

1. O imenso navio 1. O imenso navio está quebrado.

2. A bela mulher 2. A bela mulher mora longe

3. O grande sonho 3. O grande sonho acabou

4. A disciplina de raciocínio lógico

matemático

4. A disciplina de raciocínio lógico

matemático faz parte dos estudos

formativos.

De forma análoga, temos na Matemática as expressões e as sentenças.

O quadro abaixo exemplifica isto.


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Expressão Sentença

1) x + 4 1) x + 4 = 10

2) 2x 2) 2x = 12

3) 2 + 8 3) 2 + 8 =10

4) 30 - 6 4) 30 – 6 = 24

É importante salientar que:

As expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter

números são chamadas de expressões algébricas ou literais.

As letras nas expressões são chamadas variáveis ou incógnitas, o

que significa que o valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico.

A palavra incógnita significa "desconhecida".

As sentenças matemáticas podem ser classificadas como fechadas ou abertas. Sentenças fechadas são aquelas que são formadas por valores

conhecidos e as abertas são aquelas que possuem valores desconhecidos.

Na tabela, dada anteriormente, podemos verificar que os dois últimos

exemplos se tratam de sentenças fechadas.

3) 2 + 8 =10

4) 30 – 6 = 24

Da mesma tabela, temos que as duas primeiras sentenças são abertas, pois

não temos, o valor de x.

As sentenças abertas são usadas para representar relações entre

grandezas de uma maneira genérica ou representar relações entre

grandezas, onde uma ou algumas delas são desconhecidas.


Toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade

chama-se equação. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer

dizer “igual”.

1) x + 4 = 10

2) 2x = 10

É fácil determinar o valor numérico que torna cada uma destas sentenças

verdadeiras.

x + 4 = 10 Substitua x = 6 e verifique a igualdade: 6 + 4 = 10

2x = 10 Substitua x = 5 e verifique a igualdade: 2 (5) = 10

2x = duas vezes x (dobro de x)

3x = três vezes x (triplo de x)

4x = quatro vezes x ( quádruplo de x) e assim por diante...

A seguir, faremos uma aplicação destas noções na resolução de

determinados problemas. Perceba que não temos a preocupação, aqui, de resolvê-

los e sim de representá-los matematicamente, montando as respectivas equações.

1. Qual é o número inteiro cujo triplo é 21?

Neste caso, podemos representar por x o valor desconhecido e por 3x o

triplo deste valor e desta forma montar a seguinte equação que representa este

enunciado:

3x = 21

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2. A diferença entre o triplo de um número e o quádruplo de outro é 5.

Para esta afirmação, podemos utilizar para os números desconhecidos (as

incógnitas) as letras x e y, e desta forma compor a seguinte equação:

3x – 4y = 5

a) Proposições

O raciocínio lógico trabalha com proposições, que é um conceito

fundamental no estudo da lógica. Destacamos do dicionário, a seguinte definição para a palavra proposição:

6. Lóg. Expressão verbal ou simbólica suscetível de ser dita verdadeira

ou falsa; sentença. [Cf. preposição e, nesta acepção, enunciado e juízo.] Fonte: Dicionário Aurélio Buarque de Holanda

Podemos classificar as proposições em simples ou compostas.

• Proposição simples nada mais é do que uma frase ou sentença declarativa.

É constituída de um conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um

pensamento de sentido completo. Não contém nenhuma outra proposição

como parte integrante de si mesma.

Utilizamos, por convenção, letras minúsculas do nosso alfabeto p,q r, s,... ,

chamadas letras ou variáveis proposicionais. Veja os exemplos abaixo:

p: O Brasil, no futebol, é pentacampeão.

q: O número 4 é um número quadrado perfeito.

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ATENÇÃO!!! Utilizamos “p” e “q” para as proposições simples, mas poderíamos utilizar “a”

e “b”, ou quaisquer outras letras minúsculas.

Número quadrado perfeito é um número

cuja extração da raiz quadrada é exata.

Ex.: √4 = 2, pois 2² =2x2 = 4.

• Proposição composta é uma proposição formada por mais de uma

proposição simples.

Normalmente, utilizamos, por convenção, letras maiúsculas do nosso

alfabeto P, Q, R, S,... , chamadas letras proposicionais. Eis alguns exemplos:

P: Chove e o trânsito está complicado.

Q: Lula é o atual Presidente do Brasil e Obama é o dos Estados Unidos.

R: 0 < 1 e 7 ≠ 4

S: Se Pedro é estudante, então lê livros.

Podemos concluir, portanto, que as proposições são sentenças fechadas e

que podem ser avaliadas logicamente como verdadeiras ou falsas. Elas afirmam

fatos ou exprimem juízos que formamos.

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b) Princípios da lógica:

Como vimos no capítulo anterior, para que os argumentos sejam válidos,

eles têm que atender aos seguintes princípios da lógica clássica:

Princípio da identidade; Princípio da não contradição;

Princípio do terceiro excluído.

Estes princípios serão estudados com mais detalhes neste capítulo.

A lógica clássica é, portanto, governada por estes três princípios (entre

outros):

• Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. Esta é uma condição do próprio

pensamento. Um objeto só pode ser conhecido e pensado se for percebido e

conservado com sua identidade.

“A é A” ou de forma equivalente “O QUE REALMENTE É”. De acordo com

este princípio, podemos dizer: A = A.

Mais alguns exemplos:

“Sonho é sonho”.

“Trabalho é trabalho”.

“Energia é energia”

• Princípio da Não-Contradição: É também conhecido como Princípio da Não-Identidade. Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas

certamente é falsa.

“A é A e é impossível que seja ao mesmo tempo não-A”.


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Existe uma dicotomia entre “SER” e “NÃO-SER”, pois quando uma

possibilidade ocorre a outra é excluída.

Por exemplo:

“Todos os comentaristas afirmaram que Dunga, técnico da seleção brasileira

de futebol, errou na convocação dos jogadores para a Copa-2010”.

Tal premissa (afirmação) pode ser verdadeira ou falsa e sendo falsa não

pode ser verdadeira.

• Princípio do Terceiro Excluído: “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um

destes casos e não um terceiro”. Equivale ao“ser” ou “não ser”. Tal princípio

define a decisão de um dilema – “ou isto ou aquilo”.

Eis alguns exemplos: “ Ou é William Young o autor do livro ‘A Cabana ‘ ou não é”;

“ Ou aceitamos a verdade ou aceitamos a mentira”.

“ Ou buscamos mudanças ou ficamos na mesmice”.

“ Ou A = X ou A =Y, e não há terceira possibilidade”.

Para você refletir (1) Frases de Albert Einstein.

Na sua opinião, há lógica, nas frases destacadas a seguir, feitas pelo grande

“gênio” Albert Einstein? (Fazem sentido? Em caso afirmativo, em quais contextos?)

Pense sobre isto!

1) “Se A é o sucesso, então A é igual a X mais Y mais Z. O trabalho é X; Y é o lazer; e Z é manter a boca fechada”.

2) “Não há nada mais insano do que fazer as coisas sempre da mesma maneira e esperar que os resultados sejam diferentes"

Veja no final da apostila a resposta comentada.

http://www.pensador.info/autor/Albert_Einstein/


c) Valores Lógicos das Proposições:

Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é

verdadeira (V) e a falsidade se a proposição é falsa (F).

Observe que se a sentença for fechada; isto é; a sentença tem todos os

elementos conhecidos, podemos classificá-la como verdadeira ou falsa.

As proposições abaixo são todas verdadeiras:

(a) Até o último dia possível para declaração do imposto de renda, mais de 3

milhões de pessoas ainda não haviam feito sua declaração.

(b) Vitória é a capital do Espírito Santo.

(c) π > 3

(d) Um vulcão islandês comprometeu o tráfego aéreo em boa parte da Europa.

As proposições abaixo são todas falsas:

π = 3,1415...

(a) Obama é o atual presidente do Brasil.

(b) Todos os livros utilizados nos cursos universitários são de baixo custo.

(c) Não há vulcão na Europa.

(d) 8x 9 = 81

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d) Notação de Valor Lógico

O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p), por

convenção.

• Se p é verdadeira (V), escrevemos: V(p) = V.

Ex.: p: O Sol é uma estrela. Logo, indicamos: V(p) = V

q: A Terra é um planeta. V(q) = V

Portanto, os exemplos dados de proposições simples têm valor lógico

verdadeiro (V), pois as proposições são verdadeiras.

• Se p é falsa (F), escrevemos: V(p) = F

Ex.: p: 3 é a metade de 5. Logo, indicamos: V(p) = F

q: 5 é o dobro de 3. V(q) = F

Nestes exemplos de proposições simples o valor lógico é F, pois as

proposições são falsas. (3 não é a metade de 5, tampouco 5 é o dobro de 3.)

De forma análoga, uma proposição composta P indica-se por V(P).

Ex.: P: Luiz Inácio Lula da Silva é Prefeito de São Paulo e Fábio Júnior é cantor.

Logo, indicamos: V(P) = F

Você observou que embora uma das proposições seja verdadeira, o valor

lógico da proposição composta é considerado F (falsa)?

Veja mais um exemplo:

Q: 8 = 5 + 3 e 64 = 8 x 8. Neste caso, ambas as proposições são

verdadeiras, logo indicamos o valor lógico da proposição composta Q por V(Q) = V.


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e) As Tabelas-Verdade: Passaremos agora, para o estudo das tabelas-verdade. Elas são muito

importantes para a compreensão da lógica, pois organizam, resumem e facilitam

nossas análises.

Nosso objetivo é construir uma tabela-verdade, na qual preencheremos com

todos os possíveis valores lógicos.

Para uma única proposição “p”, temos duas possibilidades:

Ou é verdadeira (V) ou é falsa (F).

Ex.: p: A Lua é o Satélite natural do planeta Terra.

Veja que este é um exemplo de proposição verdadeira.

Vamos ver outra proposição:

p: Júpiter é uma estrela do nosso sistema solar.

Neste exemplo, temos uma proposição falsa, pois Júpiter é um planeta e não

uma estrela.

De forma sucinta, podemos utilizar a tabela-verdade abaixo:

p

V

F

Agora, estamos prontos para analisar as proposições compostas por

intermédio de tabelas-verdade.

Assim sendo, para uma proposição composta cujas proposições simples são

p e q, os valores lógicos possíveis são:

1. Ambas são verdadeiras

2. A primeira é verdadeira e a segunda é falsa

3. A primeira é falsa e a segunda é verdadeira

4. Ambas são falsas.


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Veja um exemplo de aplicação da tabela-verdade:

1. A capital de São Paulo é São Paulo (p) e de Minas Gerais é Belo

Horizonte (q). (ambas verdadeiras)

2. A capital de Santa Catarina é Florianópolis (p) e do Rio de Janeiro é

Niterói (q). (a primeira proposição está correta, mas a segunda não, pois a capital

do Rio de Janeiro é Rio de Janeiro)

3. A capital do Paraná é Cascavel (p) e a da Bahia é Salvador (q).(a primeira

proposição é falsa, pois a capital do Paraná é Curitiba. Já a segunda proposição é

verdadeira)

4. A capital do Mato Grosso é Campo Grande (p) e do Mato Grosso do Sul é

Cuiabá (q), (ambas as proposições são falsas, pois há uma inversão)

Preenchendo a tabela com os valores lógicos respectivos, temos:

Proposições p q

1 V V

2 V F

3 F V

4 F F

Veja, agora, outra aplicação de tabela-verdade

1) 1 + 4 = 3 + 2 e 5 x 11 = 11 x 5

2) 6 x 7 = 2 x 21 e 5x 8 = 2 x 19

3) (8-1) x 10 = 71 e (8- 1) x 10 = 70

4) (3+2) x 5 = 20 e (4 +2) x 5 = 35


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Preenchendo a tabela com os valores lógicos respectivos, temos:

Proposições p q

1 V V

2 V F

3 F V

4 F F

Caso tenha encontrado alguma dificuldade em compreender os valores

lógicos preenchidos na tabela anterior, observe as etapas de desenvolvimento a

seguir:

1) 1 + 4 = 3 + 2 e 5 x 11 = 11 x 5

5 = 5 (V) 55 = 55 (V)

2) 6 x 7 = 2 x 21 e 5x 8 = 2 x 19

42 = 42 (V) 40 = 38 (F)

3) (8-1) x 10 = 71 e (8- 1) x 10 = 70

7 x 10 = 71 7 x 10 = 70

70 = 71 (F) 70 = 70 (V)

4) (3+2) x 5 = 20 e (4 +2) x 5 = 35

5 x 5 = 20 6 x 5 = 35

25 = 20 (F) 30 = 35 (F)

Atenção!!!

As tabelas verdade serão muito úteis na análise de argumentos lógicos, que

veremos adiante.


2. Conectivos Lógicos

Conectivos são termos, símbolos ou palavras que estão frequentemente

presentes nas proposições compostas, tais como: e; ou; se... então; se e somente se.

Dizendo de outra forma:

As proposições simples podem ser combinadas entre si para formarmos as

proposições compostas e, para formar tais combinações usaremos conectivos lógicos. Dentre eles, destacamos os seguintes:

Conectivos Significado

^ e

v ou ,

→ se...então...,

↔ se e somente se

Exemplos:

P: O número 325 é ímpar e o número 326 é par.

Q: 2 >1 ou 4 é um número ímpar.

R: Se tiver o aumento salarial esperado, então poderei trocar de celular.

S: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.

Triângulo equiângulo- todos os

seus ângulos internos são

congruentes (medem 60°)

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3. Operações Lógicas sobre Proposições

A elaboração de proposições novas a partir de outras proposições é

chamada de operações lógicas. Cada conectivo indica uma operação lógica

diferente.

Efetuamos, frequentemente, várias operações lógicas, que passaremos a

detalhar a seguir. Observe a utilização dos conectivos lógicos vistos anteriormente.

• Conjunção “e” (símbolo ) : ^

Dadas duas proposições p e q, a conjunção dessas proposições será a

proposição composta p e q (indica-se com a notação p q); isto é, a operação

lógica da conjunção funciona da mesma forma que a conjunção "e". ^

Vamos exemplificar:

1º Exemplo:

p: Está muito frio

q: estou bem agasalhado

p q: "Está muito frio e estou bem agasalhado." ^

Neste caso, a proposição composta p q será verdadeira, somente na

hipótese de ambas as proposições p e q serem verdadeiras. ^

2º Exemplo:

p: A neve é branca (V) q: 10 > 0 (V) p q: A neve é branca e 10 > 0 (V) ^

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Observe que neste segundo exemplo, ambas as proposições p e q são

verdadeiras, e portanto p q também será verdadeira. ^

3º Exemplo:

p: Brasil é um país da América do Sul.(V) q: 0 > 10 (F) p q: Brasil é um país da América do Sul e 0 > 10 (F) ^

Neste exemplo, uma das proposições é falsa, logo p q também será falsa.

Resumindo, podemos dizer que quando pelo menos uma das

proposições dadas é falsa, a conjunção destas proposições

será falsa também.

^

O valor lógico da conjunção de duas proposições pode ser definido pela

seguinte tabela-verdade:

P Q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

^

• Disjunção “ou” (símbolo: v)

Dadas duas proposições p e q, a disjunção dessas proposições será a

proposição composta “p ou q”(indica-se com a notação p v q)

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1º Exemplo: p: 9> 5 (V) q: 3= 3 (V) p v q: 9 > 5 ou 3= 3 (V)

Veja mais alguns exemplos:

2º Exemplo: p: 3 > 2 (V) q: 3= 0 (F) p v q: 3 > 2 ou 3= 0 (V) 3º Exemplo: p: 3 x 4 = 2 x 8 (F) q: 3= 3 (V) p v q: 3 x 4 = 2 x 8 ou 3= 3 (V)

Verifique que a disjunção p v q (p ou q) será verdadeira

quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira.

4º Exemplo: p: 5x 9 = 90 : 3 (F) q: 3= 6 (F) p v q: 5x 9 = 90 : 3 ou 3= 6 (F)

Se ambas as proposições são falsas, aí temos a disjunção p v q falsa

também.

O valor lógico da conjunção de duas proposições pode ser definido pela

seguinte tabela-verdade:


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p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

• Condicional “se p então q” (símbolo: p→q)

Na condicional p→q, p é chamado de antecedente e q é o consequente. O

símbolo “→” é chamado símbolo de implicação.

A proposição condicional “se p então q” é uma proposição

composta que só admite valor lógico falso no caso em que a

proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, sendo

verdade nas demais situações.

O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela seguinte

tabela-verdade:

p q p→q

V V V

V F F

F V V

F F V


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Vamos dar alguns exemplos:

1º Exemplo: p: O mês de Janeiro tem 31 dias (V) q: Um dia tem 24 horas (V) p→q: Se o mês de Janeiro tem 31 dias, então um dia tem 24 horas (V)

2º Exemplo: p: O mês de Janeiro tem 31 dias (V) q: Um dia tem 60 horas (F) p→q: Se o mês de Janeiro tem 31 dias, então um dia tem 60 horas (F) 3º Exemplo: p: O mês de Janeiro tem 28 dias (F) q: Um dia tem 24 horas (V) p→q: Se o mês de Janeiro tem 28 dias, então um dia tem 24 horas (V)

Atenção!!!

Uma condicional p→q não afirma que o conseqüente q se deduz ou é

conseqüência do antecedente p. Temos que fazer uso dos valores lógicos da

condicional definidos pela tabela-verdade. 4º Exemplo: p: O mês de Janeiro tem 28 dias (F) q: Um dia tem 12 horas (F) p→q: Se o mês de Janeiro tem 28 dias, então um dia tem 12 horas. (V)

• Proposição Bicondicional “se e somente se” (símbolo: ↔ )

O valor lógico da proposição bicondicional só será verdadeiro

no caso em que ambas as proposições apresentarem valores

lógicos iguais, ou seja, as duas verdadeiras ou as duas falsas.


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O valor lógico da bicondicional de duas proposições é dado pela seguinte

tabela-verdade:

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplos: 1º Exemplo: p: “O açúcar é doce” (V) q: “O Estado de São Paulo está localizado no Brasil. (V)

p↔q: “O açúcar é doce, se e somente se o Estado de São Paulo está localizado no

Brasil”. (V)

Observe que neste caso, a proposição bicondicional é logicamente

verdadeira, pois ambas as proposições simples são verdadeiras. O mesmo ocorre

no próximo exemplo.

2º Exemplo: p: 7 x 8 = 56 (V) q: 16 + 16 = 32 (V)

p↔q: 7 x 8 = 56, se e somente se 16 + 16 = 32. (V)

3º Exemplo: p: 7 x 8 = 54 (F) q: 16 + 16 = 30 (F)

p↔q: 7 x 8 = 54, se e somente se 16 + 16 = 30. (V)


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Observe agora, que mesmo sendo ambas as proposições simples falsas, a

proposição bicondicional será verdadeira.

Observação :

• Negação: não (símbolo ~)

Não podemos dizer que seja um conectivo e sim um modificador, pois se

uma proposição p for verdadeira, a sua negação (~p) será falsa, e se a proposição

p for falsa, a sua negação (~p) será verdadeira.

O valor lógico da negação de uma preposição é definido pela seguinte

tabela-verdade:

p ~p

V F

F V

Vamos aos exemplos:

1º Exemplo: p: O Sol não está surgindo

~p: O Sol está surgindo.

Ficou claro para você que se a proposição inicial for verdadeira, isto é , “O

Sol não está surgindo”, sua negação “O Sol está surgindo” será falsa?

2º Exemplo: p: O dia está lindo.

~p: O dia não está lindo.

Atenção!!! p e sua negação ~p sempre terão valores lógicos opostos.


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TNo segundo exemplo quando dizemos que: “O dia está lindo”, e dizemos

também que a sentença é verdadeira, logo a negação dessa sentença, “O dia não

está lindo”, será falsa.

3º Exemplo: p: 5 + 5 = 12 (F) ~p: 5 + 5 ≠ 12 (V)

Veja que neste exemplo, temos uma proposição p, cujo valor lógico é

V(p) = F, logo sua negação terá valor lógico V(~p) = V.

REFLEXÃO:

Resposta comentada (1)

As frases, certamente, fazem sentido! Há lógica naquilo que é dito. Quanto

aos contextos, estes podem variar, pois são pessoais.

A relação (verdadeira ou falsa) que faremos das proposições; isto é daquilo

que se afirma, será a base para a avaliação lógica e, portanto para fazer um juízo.

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