RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

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SISTEMA DE ENSINO RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO Estruturas Lógicas Livro Eletrônico

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Livro Eletrônico
Apresentação do Professor ...........................................................................................4
Representação das Proposições ................................................................................... 21
Tabelas-verdade ...........................................................................................................47
Negação de Proposições Compostas ........................................................................... 80
Proposições Logicamente Equivalentes ....................................................................... 98
Fundamentação Teórica .............................................................................................. 124
Autoavaliação ............................................................................................................ 154
Gabarito ..................................................................................................................... 156
Porcentagem ...............................................................................................................177
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Razão Centesimal ........................................................................................................177
Proporcionalidade (Regra de Três Simples e Composta) ............................................. 190
Leitura e Interpretação de Tabelas e Gráficos ............................................................ 218
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Assuntos do Edital
1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação. 3 Diagramas lógicos. 4 Aritmética. 5 Lei-
tura e interpretação de tabelas e gráficos.
ApresentAção do professor
Olá, tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande alegria que tenho
o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo com você, que pretende ingressar
no serviço público. Já tenho mais de 17 anos de experiência em aulas presenciais e mais de 08
anos em aulas online, possuo mais de 03 obras escritas, dentre elas podemos citar: Raciocínio
Lógico Matemático – Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm, 2019, 3ª Edição;
Mais de 400 Questões Comentadas de Raciocínio Lógico – CESPE/Cebraspe, 4ª Edição, 2019.
De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como a banca CESPE exige
o assunto indicado nesta aula.
No material iremos responder às questões de outras bancas para melhor entender os as-
suntos, porém teremos várias questões da banca examinadora, para que você tenha êxito em
seu concurso.
Pensando nisso teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois, além de apren-
dermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo interpretar suas
aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores métodos de resolução
que, no decorrer desses 17 anos como professor, me dediquei para que os meus alunos alcan-
çassem seus sonhos no serviço público nos diversos processos seletivos em todo do Brasil.
No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem dado muito
certo, que se trata:
2. Métodos e dicas de resolução rápida;
3. Esquemas estratégicos
4. Questões comentadas
5. Autoavaliação.
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Parte 1 – estruturas Lógicas
Estruturas Lógicas: sentenças, sentenças fechadas, sentenças abertas, proposições, lin-
guagem lógica e natural, proposições simples e compostas, operadores lógicos.
Uma brincadeira antes de começarmos, porque nada melhor que o bom ânimo para uma
caminhada pelo mundo da lógica.
Questão do Parque de Diversões
Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhado por
um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:
– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.
– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.
– “Foi a Mara”, disse Manuel.
– “O Mário está mentindo”, disse Mara.
– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.
Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem
entrou sem pagar foi:
Obs.: o Comentário está no final deste módulo. Boa sorte!
estruturas Lógicas
Meu(minha) querido(a), para que possamos atingir com excelência os resultados almeja-
dos nessa ciência que é conhecida como ciência do raciocínio, é importante ressaltar desde
o início que a lógica formal não se ocupa com os conteúdos pensados ou com os objetos re-
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Estruturas Lógicas RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
feridos pelo pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressa
através da “linguagem”. O objeto da lógica é a proposição, que exprime, através da linguagem,
os JUÍZOS formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um
sujeito.
Sendo assim, daqui em diante, não nos será dado a liberdade de interpretarmos o conteúdo
da informação e sim a maneira como as informações se relacionam entre si.
Se eu te falar que na lógica formal o conjunto de proposições abaixo corresponde a um
raciocínio correto, o que você me diria?
“É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo,
todo cachorro é vegetal.”
Pois bem, o exemplo acima foi retirado de uma prova para Delegado da Polícia Federal,
realizada pela banca Cespe, ou seja, não podemos nos prender ao conteúdo e sim à maneira
que as proposições se relacionam.
Isso se prende ao fato de estarmos trabalhando com a lógica formal. Você sabia que o
raciocínio lógico é uma ramificação da filosofia? Que a ferramenta de trabalho nesse conteúdo
é o “pensamento” e a maneira que você expressa o pensamento é fundamental não só para a
filosofia em si, mas para as diversas ciências que integram o nosso mundo.
Curiosidade: um bom advogado é dotado de um raciocínio lógico bem apurado em suas
defesas, que são argumentos lógicos, constituídos de premissas (pensamentos) e uma tese
(pensamento). Por isso temos que tais argumentos serão bem construídos caso haja uma
relação de validade entre as premissas e a conclusão. E isso se dá pela forma, estrutura que o
argumento é construído, proporcionando um raciocínio correto.
Gosto de falar: “quem fica bom em lógica, fica bom em tudo”, Risos!
Você deve estar se perguntando:
Na lógica formal, como posso ler uma sentença e não poder interpretá-la? 
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Bem, vamos lá: às vezes nos será dado a oportunidade de interpretar o conteúdo, em que
mostrarei a você nas questões comentada mais à frente, em que iremos verificar a presença
de ferramentas lógicas para que possamos analisar o conteúdo.
Bem, mãos à obra: vamos aprender aqui alguns conceitos que serão imprescindíveis para
resolução das questões de concursos.
Primeiro conceito: “SENTENÇA”: expressão de um pensamento completo, são compostas
por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito).
Vejamos alguns exemplos do que vem a ser uma sentença.
a) André é uma pessoa que se preocupa com o próximo.
b) O estudo de raciocínio lógico não é difícil.
c) Que dia você participará de mais uma reunião de estudos?
d) Que matéria mais gostosa de estudar!
e) Faça com os outros aquilo que gostaria que fizessem com você, seja caridoso.
Dê um exemplo para cada tipo de sentença a seguir:
É importante ressaltar que o pensamento será uma sentença quando o mesmo tiver sentido
completo, independente do seu tipo.
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Vamos agora classificar as sentenças quanto a sua interpretação lógica, isto é, podem ser
abertas ou fechadas.
1. sentenças abertas
São aquelas que não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma mais simples
de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser nem V (verdadeiro) nem
F (falso).
Iremos observar que são chamadas de abertas porque não são passíveis de interpretação.
“O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário, transforman-
do a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F”, segundo a banca
Cespe.
Observe o exemplo abaixo:
Exemplo: Ela foi a melhor aluna do curso de Raciocínio Lógico para carreiras tribunais.
Daí surge a pergunta:
Por que sentença aberta? 
Vamos entender o porquê.
Na lógica bivalente, que é o nosso caso, os  pensamentos devem ser interpretados de
02(duas) formas, ou seja, podem ser valorados como (VERDADEIRO) ou (FALSO), conforme os
Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional, que veremos daqui a pouco.
No exemplo acima, temos um pensamento que não é passível de valoração, uma vez que
não sabemos quem é o sujeito. Dessa forma, tais pensamentos são ditos sentenças abertas.
Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, observe atentamente
os exemplos abaixo e as considerações realizadas:
a. “Aquele é juiz do TRT da 1.ª Região”, (Quem é ele?)
Não podemos definir quem é o sujeito, ou até mesmo a qual conjunto ele pertence.
b. “x + 5 = 10”. (Quem é o x? É número? É objeto? O que é?)
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Daí você me diz:
Padilha, o x só pode ser 5, me ensinaram assim nas séries iniciais, pois se trata de uma
equação do 1º grau.
Bem, vamos lá:
Concordo contigo até um certo ponto, pois só podemos dizer que o x é igual a 5, caso esti-
vermos trabalhando com conjuntos numéricos, e indicarmos que x pertence a um determinado
conjunto numérico, pois até então não sabemos do que se trata a incógnita x.
Para melhor compreensão, o conceito matemático de equação é: “toda sentença matemá-
tica aberta que exprime uma relação de igualdade.”
Que bacana! A matemática nos ajudando a compreender os conceitos lógicos.
Você sabia que a filosofia utilizou os símbolos matemáticos para simbolizar seus pensa-
mentos? Quando chegarmos em linguagem, você vai ficar surpreso com tantas novidades que
farão você entender de uma vez por toda essa ciência denominada Lógica.
c. “{x ∈ R/ x > 2}”. (Qual o valor de x?)
Nesse exemplo sabemos que x pertence ao conjunto dos números reais, porém não conse-
guimos definir qual o valor, uma vez que temos uma desigualdade, ou seja, temos um intervalo
de valores como resposta. Nesse caso x pode ser qualquer número maior que dois, ou seja,
não há um sujeito específico.
d. Que prova mais difícil! (FRASE EXCLAMATIVA)
Frases exclamativas são consideradas como sentenças abertas, pois expressam pensa-
mentos subjetivos, aos quais não temos uma interpretação formal.
É importante ressaltar uma definição citada pela banca Cespe em uma de suas provas:
“Na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição simples, constituída
esquematicamente por um sujeito e um predicado, sempre nas formas afirmativa ou negativa,
excluindo-se as interrogativas e exclamativas.”
Bem, podemos inferir que, segundo a banca, uma frase exclamativa se trata de uma sen-
tença aberta em que não podemos interpretar de maneira lógica, isto é, como verdadeira ou
falsa.
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E se eu lhe dissesse que nem sempre isso que foi dito é verdade, você acreditaria? Em que,
Padilha? A afirmação feita pela Universidade em dizer que toda sentença exclamativa é uma
sentença aberta.
Observe o exemplo de uma questão realizada pela própria banca em 2008, em que vamos
analisar somente um item da questão, vejamos:
Questão 1 (CESPE) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser
julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o
seguinte diálogo:
(1) Você sabe dividir? — Perguntou Ana.
(2) Claro que sei! — Respondeu Mauro.
(3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? — Pergun-
tou Ana.
(4) O resto é dois. — Respondeu Mauro, após fazer a conta.
(5) Está errado! Você não sabe dividir. — Respondeu Ana.
A partir das informações e do diálogo acima, julgue o item que se segue.
1. A frase (2) é uma proposição.
Certo.
Analisando a questão, podemos verificar que se trata de uma conversação a ser analisada, ou
seja, a banca nos dá a oportunidade de analisarmos o diálogo, sendo assim, vejamos:
Ana pergunta a Mauro se ele sabe dividir, o mesmo responde que sim, porém o número que
Ana indica é o 12111 (11000 + 1100 + 11), que é divisível por 3, em que o resto é igual 0 (zero).
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Mauro afirma que o resto é 2 (dois), uma resposta errada.
Após considerarmos o diálogo, segundo o enunciado, algumas frases podem ser valoradas da
seguinte forma:
(1). Você sabe dividir? (Sentença aberta – não possui valoração) — perguntou Ana.
(2). Claro que sei! (Sentença fechada – proposição – pode ser valorada de acordo com o diá-
logo) — respondeu Mauro.
(3). Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? (Sentença
aberta – não possui valoração) — perguntou Ana.
(4). O resto é dois. (Sentença fechada – proposição – pode ser valorada de acordo com o diálo-
go — respondeu Mauro, após fazer a conta.
(5). Está errado! Você não sabe dividir. (Sentença fechada (verdadeira) – proposição – pode ser
valorada de acordo com o diálogo — respondeu Ana.
Gostaria que analisássemos apenas a segunda frase, uma vez que as demais serão vistas
mais à frente, ok?
Quando Mauro afirmar que: – “Claro que sei!”, temos uma sentença exclamativa, porém quan-
do temos a oportunidade de analisarmos o conteúdo, o que não é comum na lógica formal,
podemos inferir, de acordo com os cálculos realizados, que o resto da divisão não é 2(dois) e
sim 0(zero), o que faz termos a certeza que ele não sabe dividir e que consequentemente sua
frase exclamativa é falsa, isto é, podemos valorar essa sentença.
Que legal, uma situação em que muitos iriam afirma que a frase dois seria uma sentença aber-
ta, o que na verdade não é. Beleza, gostou?
O nosso objetivo aqui é fazer de você um candidato competitivo, e isso só será possível quan-
do soubermos o conteúdo e seus detalhes.
e. Você não vai tirar férias este ano de novo? (FRASE INTERROGATIVA)
As frases interrogativas são sempre abertas, pois realmente não temos como valorá-las.
Nas diversas provas realizadas desde 2008, não vi nenhuma frase interrogativas possuindo
valor lógico, isto é, verdadeira ou falsa.
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f. Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. (FRASE INTERROGATIVA)
As frases imperativas são sempre abertas, pois realmente não temos como valorá-las. Nas
diversas provas realizadas desde 2008, não vi nenhuma frase imperativa possuindo valor lógi-
co, isto é, verdadeira ou falsa.
2. sentenças Fechadas
Depois de entendermos o que são sentenças abertas, podemos, de uma forma excludente,
entender de forma simples as sentenças fechadas.
Bem, podemos definir que se trata de pensamentos completos, aos quais podemos deter-
minar o sujeito.
As sentenças fechadas possuem valoração lógica, isto é, podem ser verdadeiras ou falsas,
porém nunca ambas.
Aí você me pergunta:
Josimar, como funciona essa questão de valoração de um pensamento (sentença fechada)?
Bem, antes de explicar, gostaria de lhe dizer que existem 03(três leis ou princípios) que re-
gem os pensamentos fechados, que daqui a pouco iremos chamá-los de proposição.
Quais são esses princípios? Vou descrevê-los abaixo:
• princípio do terceiro excluído;
• princípio da não contradição;
Por enquanto não vou defini-los, porém, quando falarmos de Proposições, aprofundaremos
em seus conceitos e exemplificaremos. Aguarde!
Voltando em valorações lógicas, quero dizer que temos apenas 02 valores para um pensa-
mento, pois estamos trabalhando dentro da lógica bivalente, não me interessa a validade do
pensamento, apenas a sua forma, isso quer dizer novamente que não iremos valorar os pensa-
mentos pelo conteúdo, a não ser que a questão nos permita fazer.
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Exemplo de sentenças fechadas:
Exemplo: Mariana foi aprovada em química geral (pode ser V ou F)
Exemplo: o vereador Vitor não participou do esquema (pode ser V ou F)
Um bom indício que o conteúdo está sendo analisado é quando temos a sentença dentro das
aspas.
“O governo brasileiro está fragilizado devido à corrupção”. (sentença fechada).
3. ProPosições
Pela definição podemos dizer que proposição é uma sentença (afirmativa ou negativa) for-
mada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais
se podem atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso).
Também podemos falar que essa valoração também é chamada de valor-lógico ou valor-
-verdade.
Na verdade, podemos então inferir que as sentenças fechadas são denominadas de pro-
posições, beleza?
A partir do diagrama abaixo, que criei, acredito que possamos ter uma ideia geral de como
entendermos os pensamentos (sentenças):
Vejamos o diagrama (esquema):
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O que seria expressões?
Bem, podemos dizer que são frase que não possuem sentido completo.
Por exemplo: “dois terços”, ou seja, não temos um sujeito e um predicado.
Seria interessante agora citarmos quais são os Princípios Fundamentais da Lógica Propo-
sicional na Lógica bivalente, e defini-los:
O Princípio da Identidade: afirma que todo o enunciado da forma p ⊃ p é verdadeiro, ou
seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia.
Quer dizer que, se um pensamento (proposição) for verdadeiro, então será sempre verda-
deiro.
O Princípio da Não Contradição afirma que todo o enunciado da forma p ∧¬p é falso, ou
seja, todo o enunciado desse tipo é contraditório.
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Temos agora que um pensamento (proposição) não pode ser verdadeiro e falso simulta-
neamente.
O Princípio do Terceiro Excluído afirma que todo o enunciado da forma p ∨ ¬ p é verdadei-
ro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia.
Nesse princípio temos que não possuímos uma terceira valoração, caso exista, deve ser
excluída.
Curiosidade, fique ligado!
Vamos de curiosidade agora, uma vez que nosso objetivo é estarmos super preparados
para nossa prova, então não custa aprender um pouco mais, ainda mais quando temos ques-
tões de concursos cobrando tal assunto.
Observe o trecho abaixo retirado de um livro que é referência no estudo da Lógica em todo
o Brasil:
“Lógica Polivalente – A suposição de que, sob cada interpretação, toda a proposição é ver-
dadeira ou falsa (PRINCÍPIO DA BIVALÊNCIA) está na base da lógica clássica, proposicional e
quantificacional. Um passo natural na generalização da lógica bivalente é a introdução demais
valores lógicos além dos clássicos Verdade e Falsidade. A possibilidade de um terceiro valor
lógico parece remontar ao Cap. IX do tratado De Interpretatione de Aristóteles que considerou,
num contexto modal, proposições contingentes futuras como, por exemplo: “A manhã haverá
uma batalha naval”, às quais não pode ser atribuído, no momento presente, um valor lógico de-
terminado e sugerem a existência de um terceiro valor lógico. Esta possibilidade foi o ponto de
partida da análise filosófica encetada pelo lógico polaco Lukasiewicz nas primeiras décadas
do presente século para a concepção de uma lógica trivalente”.
Enciclopédia de termos lógico-filosóficos – direção de João Branquinho, Desidério Murcho e Nelson Gonçalves Gomes-2000-2005
A partir do texto acima que me deixou na época de “cabelos em pé”, segundo ditado po-
pular, me vi na obrigação de apresentar aos meus alunos para que os mesmos não fossem
surpreendidos, então quero agora lhe mostrar uma questão de concurso público exigindo o
conhecimento de lógica trivalente.
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Aplicação de Lógica Trivalente
Questão 2 (CESPE/SEBRAE/2014) Em um tipo de lógica trivalente, no conjunto de todas
as proposições, somente é analisada aquela proposição P cujo valor lógico, representado por
v(P), assume exatamente uma entre as seguintes opções: verdade (V), falsidade (F) e incerteza
(I). Julgue o item abaixo:
A lógica trivalente apresentada não obedece ao princípio do terceiro excluído.
Certo.
Vamos lá, o item está correto, uma vez que, na lógica bivalente, temos o princípio do terceiro
excluído que afirma que uma proposição será verdadeira ou falsa, não admitindo um terceiro
valor, mas caso exista deverá ser excluído. Na lógica trivalente, já aceitamos o terceiro valor,
que se trata da Incerteza.
Ufa! Quanta informação. Vamos retornar à nossa lógica proposicional bivalente, uma vez
que é a mais cobrada nos processos seletivos. E nada melhor do que fazermos um exemplo
bem bacana para entendermos mais um pouco a diferença entre sentenças abertas e proposi-
ções (sentenças fechadas).
Temos uma questão que deixa claro a diferença entre proposições e sentenças abertas no
concurso para o cargo de analista do SEBRAE realizada pelo CESPE em 2008, na qual o Cespe
realizou a seguinte afirmação a ser julgada:
“A seguinte proposição “Ninguém ensina ninguém” é um exemplo de sentença aberta”.
Olha só que interessante, pois a banca exige do candidato uma diferenciação entre os con-
ceitos já citados, em que muitos iriam ficar interpretando a frase sugerida. O que se deve perce-
ber é que quando o Cespe cita que a proposição “Ninguém...” é uma sentença aberta, torna-se
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uma contradição, uma vez que uma proposição pode ser valorada, o que não ocorre com uma
sentença aberta (não há como se valorar). Dessa forma temos a certeza o item está errado.
Vejamos algumas aplicações para fixarmos os conceitos apresentados.
Questão 3 (FCC/SFASP/AG. FIS. RENDAS) Considere as seguintes frases:
Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
(x+y) / 5 é um número inteiro.
João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS.
c) I e II são sentenças abertas.
d) I e III são sentenças abertas.
e) II e III são sentenças abertas
Letra c.
No item I, temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o melhor jogador
do mundo em 2005, logo a sentença é aberta.
No item II, vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua resultado in-
teiro. Ex.: x=5 e y= 10, temos (5 + 10) / 5 = 3 (3 pertence aos inteiros); pode acontecer o mesmo
com x= 20 e y=10, temos (20 + 10)= 15 e etc., logo a sentença é aberta;
No item III, aí sim, temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem é o Secretário
da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da Silva.
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Questão 4 (FCC/SFASP/AG. FIS. RENDAS/ADAPTADA) Das quatro frases abaixo, três de-
las têm uma mesma característica lógica e comum, enquanto uma delas não têm essa carac-
terística.
III – O jogo terminou empatado?
IV – Escreva uma poesia.
A Frase que não possui essa característica comum é a
a) IV.
b) III.
c) I.
d) II.
Letra d.
Das frases acima, temos quatro sentenças:
I – Que Belo dia! (Não possui uma interpretação lógica – sentença exclamativa – não há como
valorar.
II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico – sentença afirmativa – há como valorar.
III – O jogo terminou empatado? – Sentença interrogativa – não há como valorar.
IV – Escreva uma poesia. – Sentença imperativa – não há como valorar.
Dentre as quatro apenas uma pode ser valorada, logo temos uma proposição. Nesse caso tra-
ta-se da segunda frase.
Questão 5 (UNB/CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) Na lógica de primeira ordem, uma pro-
posição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de
variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às
variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x, tem-se
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que x – 2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui inter-
pretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
( ) A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x” é verdadeira para  todos
Os valores de x que estão no conjunto
( ) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira
para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.
O primeiro item está errado, pois, quando atribuímos a x o valor de ½, a desigualdade torna-se
falsa. Por exemplo: “∀ x2 > x = V”
(½)2 > ½ ⇒ ¼ > ½ (F).
O segundo item: “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” está errado, pois, se veri-
ficarmos os elementos do conjunto, eles não são divisíveis por 2 e 3 (ao mesmo tempo). Por
exemplo: o número 10 é divisível por 2, porém não é divisível por 3; o número 15 é divisível por
3, mas não é divisível por 2. Logo o item está Falso. Para que o item estivesse correto, a sen-
tença deveria ser: “Existem números que são divisíveis por 2 ou por 3”.
Questão 6 (UNB/CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) A frase “Quanto subiu o percentual de
mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.
Certo.
O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interrogativa.
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Estruturas Lógicas RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
4. Linguagem da Lógica FormaL
Obs.: Linguagem da lógica formal?
Você sabia que esse assunto tem sido explorado por lógicos e matemáticos desde
os tempos de Aristóteles, mas tomou rumos fascinantes principalmente a partir dos
escritos de Frege, no século XIX. Quando surgiram as primeiras linguagens formais
(Frege, Peano, Russell, Carnap), o ponto de vista dos estudiosos era basicamente “rea-
lista” e “normativo”.
Primeiramente é importante entender a necessidade de saber ler e escrever na lógica for-
mal, uma vez que a filosofia utiliza linguagem própria para expressar seus pensamentos, ou
seja, simbolizar as proposições.
Nessa minha caminhada como professor nos últimos anos, percebi que muitos alunos
possuem muita dificuldade em interpretar as questões, bem como identificar qual o método
mais adequado a ser utilizado na referida questão. Daí me perguntava, por quê?
A resposta é simples e direta, a pessoa não consegue entender o que está escrito, logo fica
quase impossível responder.
Então lhe faço uma pergunta:
“Essa sua lógica estava discriminada no edital?”
Com certeza a reação não é a melhor possível, lamentável.
Mas chegou a nossa hora, concorda? Agora sim, vamos aprender o primeiro passo na lógi-
ca formal, que é saber transcrever da linguagem natural (Língua Portuguesa) para a linguagem
da lógica formal.
Para iniciarmos vamos primeiramente falar de proposições simples e compostas, pois elas
que vão fazer parte da construção do raciocínio, inclusive temos que saber que as proposições
possuem representação.
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rePresentação das ProPosições
As proposições podem ser representadas por letras, sendo essas maiúsculas ou minúscu-
las.
Exemplo:
p: As praias do Rio Grande do Norte trazem uma paz sem limites.
q: O mundo precisa de pessoas que se importam com o próximo.
r: Alunos dedicados conseguem alcançar seus sonhos.
Por mais que pareça simples, teremos mais à frente várias questões comentadas de con-
cursos que exigem do candidato a diferença entre proposições simples e compostas; E nesses
últimos anos tem aumentado o número de questões e, que se diga de passagem, temos algu-
mas bem difíceis.
Vamos então entender essa diferença.
Proposições Simples ou Básicas: são as proposições que expressam apenas um pensa-
mento.
Uma dica legal é você perceber que temos apenas uma ação, ou seja, apenas um sujeito
(podendo ser simples ou composto), um verbo e um predicado.
Ex.: Brasília é uma cidade com uma arquitetura admirável.
Ex.: João Pedro alcançou uma vaga no concurso dos seus sonhos.
Proposições Compostas: podemos defini-las como sendo proposições que expressam
mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas
proposicionais ou apenas fórmulas.
Uma dica legal é você perceber que temos mais uma ação, ou seja, apenas um sujeito (po-
dendo ser simples ou composto), mais de um verbo e um predicado.
Ex.: a lógica é uma ciência do raciocínio e a matemática nos ensina a entender o universo.
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É importante lembrar que as proposições compostas precisam de uma ferramenta deno-
minada “operador lógico”. O que vem a ser operadores lógicos?
Vamos então para mais uma definição importantíssima nessa nossa caminhada lógica.
5. oPeradores ou conectivos Lógicos
Os conectivos lógicos são elementos que operam as proposições simples já vistas para
formarem novas proposições, as proposições compostas.
Vou lhe apresentar um quadro abaixo com os operadores lógicos:
Nesses últimos concursos, observei que têm sido constante alguns termos que indicam ope-
radores lógicos, principalmente quando se trata do operador condicional.
Vejamos:
Condicional:
“Se..., então...” pode ser escrito: Quando, Quem, Aquele, Como, todo etc. Na verdade pode
ser qualquer termo, desde que expresse a ideia de condição.
Conjunção:
“e” pode ter situações que não aparece operador, porém temos que interpretar que está
implícito, veja os exemplos retirados das provas da Polícia Federal em 2012/13: “Não basta a
mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta”, “Não sou traficante, sou usuário”.
Para resolver os itens é necessário que o candidato interprete que se trata de uma proposições
compostas, operadas por um conectivo de conjunção “e”.
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Bicondicional:
“Se, e somente se” pode ser interpretado: “assim como”.
Como sabemos que a nossa ferramenta de trabalho é o pensamento (proposição), deve-
mos ter muito cuidado com a maneira que transcrevemos da linguagem natural para a lingua-
gem da lógica formal, pois se simbolizarmos de maneira errônea, estaremos comprometendo
todo o conjunto de pensamentos.
Com essa preocupação e quando chegarmos mais à frente, na análise de um argumento,
poderemos evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas
na linguagem da lógica formal.
Os operadores são responsáveis em construir os pensamentos de maneira formal, então
teremos uma hierarquia quanto à intensidade do operador, isto é, sua força. Vejamos:
A “ordem de precedência” para os conectivos (traz o sentido principal da frase)
1 – bicondicional
2 – condicional
4 – negação
Portanto, o conectivo mais “forte” é o bicondicional e o mais “fraco” é a negação.
Na linguagem da lógica formal, qual a importância dos parênteses e como utilizá-lo?
O uso desse recurso faz-se presente na simbolização das proposições, pois evita qualquer tipo
de ambiguidade. Observe os exemplos a seguir.
I – p → (r ∧ s).
II – (p → r) ∧ s.
III – r → ((p ∧ s) → q).
IV – (r → p) ∧ (s → q).
A proposição I é uma condicional, pois o conectivo principal é o →. A  proposição II é uma
conjunção, pois o conectivo principal é o ∧. Então, I e II não têm o mesmo significado, apesar
de possuírem as mesmas proposições e os mesmos conectivos na mesma ordem. O mesmo
acontece com os exemplos III e IV.
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Há casos em que os parênteses podem ser retirados para que simplifiquem as proposições
colocadas, caso não apareça alguma ambiguidade.
Porém, para que se possa retirar os parênteses, é preciso seguir algumas convenções, cujas
mais importantes são:
A “ordem de precedência” para os conectivos é: ~ depois de ∧ depois de ∨ depois de → depois de
↔, essa ordem é crescente. Sendo assim, o elemento mais “fraco” é ~ e o mais “forte” é o ↔.
Observe a proposição: r ∧ p ↔ s → q
Portanto, essa proposição é bicondicional e jamais uma condicional ou uma conjunção. Mas,
para que se converta o seu sentido em numa condicional, os parênteses são obrigatórios.
((r ∧ p) ↔ s) → q)
r ∧ (p ↔ (s → q))
O que você acha de várias questões comentadas? Então vamos lá, para que você aprenda,
de forma definitiva, os assuntos até aqui apresentados.
É importante conhecer alguns símbolos matemáticos, uma vez que a filosofia – Lógica
Formal – os utiliza para sua linguagem.
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Questão 7 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO) A sentença “A aprovação em um concurso é con-
sequência de um planejamento adequado de estudos” pode ser simbolicamente representada
pela expressão lógica P→ Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.
Errado.
A sentença “A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de
estudos” corresponde uma proposição simples, pois temos apenas um pensamento. Assim
podemos afirmar que o item está errado.
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Questão 8 (CESPE/STJ). Designando por p e q as proposições “Mariana tem tempo suficien-
te para estudar” e “Mariana será aprovada nessa disciplina”, respectivamente, então a propo-
sição “Mariana não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nesta disciplina” é
equivalente a ¬p ∧ ¬q.
Certo.
A questão exige do candidato uma interpretação quanto à linguagem da lógica formal, isto é,
transcrever da linguagem natural para linguagem da lógica formal.
“Mariana não tem tempo suficiente para estudar (¬p) e (∧) não será aprovada nessa disciplina
(¬q)” é equivalente a escrever a ¬p ∧ ¬q. Dessa forma podemos inferir que o item está correto.
Questão 9 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO) A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode
ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q, em que P e Q são proposições
adequadamente escolhidas.
Certo.
A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode ser simbolicamente representada pela ex-
pressão lógica P ∧ Q, uma vez que temos uma proposição composta conjuntiva podendo ser
representada por P ∧ Q. O item está correto.
Questão 10 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO) A sentença “Somente por meio da educação,
o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania” pode ser sim-
bolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q ∧ R, em que P, Q e R são proposições
adequadamente escolhidas.
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Errado.
A sentença “Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvol-
ver um sentimento de cidadania” representa uma proposição simples, logo temos sua repre-
sentação por apenas uma letra e não conforme o item sugeriu. Dessa forma o item está errado.
(CESPE/SERPRO/2013) Considere o diálogo abaixo:
— Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais!
— Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias.
Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração
de Mário.
Questão 11 (CESPE/SERPRO/2013) A declaração de Mário é equivalente a “Se o indivíduo
trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias”.
Certo.
A banca mais uma vez exige do candidato uma interpretação quanto à linguagem da lógica for-
mal. A proposição “Aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias” tem o mesmo
significado de uma proposição condicional “Se o indivíduo trabalha com o que gosta, então ele
trabalha com o que gosta”. O item está certo pois o termo “aquele” tem o mesmo significado
do termo “se...,então ...”.
Questão 12 (CESPE/SERPRO/2013) “Se o indivíduo estiver sempre de férias, então ele traba-
lha com o que gosta” é uma proposição equivalente à declaração de Mário.
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Errado.
De acordo com a proposição (declaração) feita por Mário, temos que se trata de uma condi-
cional, em que a mesma não possui a propriedade comutativa, ou seja, P → Q equivalente (não
tem o mesmo significado) Q → P.
Aí você me pergunta:
O que é a propriedade comutativa?
Bem, esse assunto será visto mais à frente com profundidade, pois se trata de uma das Leis
de Equivalências lógicas. Porém vou lhe adiantar que o único operador lógico que não permite
trocar de posições suas proposições simples é o conectivo condicional. Logo podemos infe-
rir que:
P → Q ≠ Q → P.
Como sabemos agora que não é permitido a comutação, pois as interpretações não são as
mesmas, temos que o item está errado.
O único operador lógico que não permite trocar de posições (comutar) suas proposições sim-
ples é o conectivo condicional.
P → Q ≠ Q → P.
Questão 13 (CESPE/STF) A sentença: “Um governo efetivo precisa de regras rígidas, de tri-
bunais que desempenhem suas funções com seriedade e celeridade e de um sistema punitivo
rigoroso” pode ser corretamente representada pela expressão (P ∧ Q) ∧ R, em que P, Q e R
sejam proposições convenientemente escolhidas.
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Errado.
Essa questão é interessante, pois se trata de uma proposição simples e não composta, uma
vez que temos apenas um verbo que liga o sujeito ao um predicado. É bom ficar esperto, pois
temos muitas questões dessa forma, em que o aluno pensa que, por ser grande a proposição,
ela tem que ser composta.
Nesse caso o item está errado.
Questão 14 (CESPE/STF) A sentença “um ensino dedicado à formação de técnicos negligen-
cia a formação de cientistas” constitui uma proposição simples.
Certo.
Temos novamente uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode ser interpreta-
da de forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa, logo é uma proposição simples.
Questão 15 (CESPE/STF) A sentença “A indicação de juízes para o STF deve ser consequên-
cia de um currículo que demonstre excelência e grande experiência na magistratura” pode ser
corretamente representada na forma P → Q, em que P e Q sejam proposições simples conve-
nientemente escolhidas.
Errado.
Novamente uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode ser interpretada de
forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa, logo é uma proposição simples. A maneira que a
banca simbolizou está considerando a proposição como composta, uma vez que temos a pre-
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sença de um operador lógico condicional, que indicaria mais de uma proposição sendo conec-
tada. Dessa forma o item está errado.
Questão 16 (CESPE/SEBRAE) A frase “Pedro e Paulo são analistas do Sebrae” é uma propo-
sição simples.
Certo.
O item está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples), o que
podemos observar é que a proposição possui sujeito composto.
Questão 17 (CESPE/SEBRAE) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para
Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por
um conectivo de conjunção.
Certo.
O item está certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por um conectivo
de conjunção “e”.
• I – Rio Branco é a capital do estado de Rondônia.
• II – Qual é o horário do filme?
• III – O Brasil é pentacampeão de futebol.
• IV – Que belas flores!
Nessa lista há exatamente 4 proposições.
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Certo.
Na questão acima temos as proposições:
• Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pensamento)
• Qual é o horário do filme? (sentença)
• O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento).
• Que belas flores! (sentença)
• Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições – 2 pensamentos)
Logo, temos 4 proposições. O item está certo.
Questão 19 (UNB/CESPE/STF/TÉCNICO JUDICIÁRIO)
I – Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.
II – A resposta branda acalma o coração irado.
III – O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem.
IV – Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade.
Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.
a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo
de conjunção.
b) A segunda frase é uma proposição lógica simples.
c) A terceira frase é uma proposição lógica composta.
d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.
Letra b.
I – Errado. Temos duas sentenças imperativas (não são proposições) ligadas por um conecti-
vo de conjunção, logo podemos afirmar que não é uma proposição.
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II – Correto. Temos apenas uma ideia completa (proposição simples).
III – Errado. Temos apenas uma ideia completa (proposição simples).
IV – Errado. Temos duas proposições simples (pensamentos) conectadas por um conectivo
condicional “Se..., então...”.
Questão 20 (UNB/CESPE/SEBRAE/ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens
subsequentes.
a) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples.
b) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de propo-
sição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.
Certo, Certo.
a) O primeiro item está correto, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição
simples).
b) O segundo item está correto, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por
um conectivo de conjunção “e”.
Questão 21 (CESPE/MINISTÉRIO DAS RELAÇÕES EXTERIORES) Proposições são senten-
ças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não cabem a elas ambos
os julgamentos. As proposições simples são frequentemente simbolizadas por letras maiús-
culas do alfabeto, e as proposições compostas são conexões de proposições simples. Uma
expressão da forma A ∧ B é uma proposição composta que tem valor lógico V quando A e B
forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida “A e B”. A expressão ¬A, “não A”, tem valor
lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão A ∨ B, lida como “A ou B”, tem valor
lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão A→B tem
valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as seguintes
leituras: “se A então B”, “A é condição suficiente para B”, “B é condição necessária para A”. Uma
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Estruturas Lógicas RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
argumentação lógica correta consiste de uma sequência de proposições em que algumas são
premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são obrigatoria-
mente verdadeiras por consequência das premissas.
Considerando as informações acima, julgue o item.
Considere a seguinte lista de sentenças:
I – Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?
II – O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.
III – As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respec-
tivamente, x e y.
IV – O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.
Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças, apenas uma delas não é proposição.
Errado.
I – A primeira sentença é interrogativa, logo não pode ser valorada, ou seja, é uma sentença
aberta.
II – A segunda frase é uma proposição, pois pode ser valorada, isto é, verdadeira ou falsa.
III – A terceira frase é uma sentença aberta, pois não se sabe o valor de x e y.
IV – A quarta frase é uma proposição, pois possui interpretação lógica.
Dessa forma, podemos inferir que o item está errado.
(CESPE/2008) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬, ∧
e→ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e então, res-
pectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de pro-
posições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos,
esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais.
Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras
P, Q, R e S:
P: Nesse país o direito é respeitado.
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R: O cidadão se sente seguro.
S: Todos os trabalhadores têm emprego.
Considere também que os símbolos “∨”, “∧”, “→” e “¬” representem os conectivos lógicos
“ou”, “e”, “se...,então” e “não”, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens
seguintes.
Questão 22 (CESPE/2008) A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão
não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por P ∧ (¬R).
Certo.
O item está correto, pois temos o conectivo de conjunção representado pela palavra “mas” e o
segundo conjuntivo negativo: ¬R. Dessa forma a simbolização está de acordo.
Questão 23 (CESPE/2008) A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores
têm emprego” pode ser representada simbolicamente por Q → S.
Certo.
O item está correto, pois temos um operador condicional que opera as proposições “Q” e “S”,
nessa ordem, e não podemos esquecer que o condicional é o único que possui a propriedade
comutativa.
Questão 24 (CESPE/2008) A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores te-
rem emprego é uma consequência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser represen-
tada simbolicamente por (Q∧ S) → P.
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Dica do Padilha!
Como já sabemos que o único operador lógico que não permi-
te trocar de posições (comutar) suas proposições simples é o
conectivo condicional. P → Q ≠ Q → P.
O conectivo condicional é o que nos traz mais surpresas, logo
tenho mais uma dica importante para você:
Tomando a proposição P → Q como exemplo podemos dar no-
mes às suas proposições simples, observe:
P(antecedente) → Q(consequente), nessa ordem.
Errado.
A partir da dica acima ficou fácil, pois a proposição “O país ser próspero e todos os trabalha-
dores terem emprego” é o consequente, ou seja, temos uma proposição condicional e o ante-
cedente é a proposição “Nesse país o direito e respeitado”.
Dessa forma o item está errado, pois o conectivo condicional não possui a propriedade cono-
tativa, ou seja, (Q∧S) → P não é equivalente a P → (Q∧ S).
Questão 25 (CESPE/BANCO DO BRASIL/2007) Na lista de frases apresentadas abaixo, há
exatamente três proposições.
– A expressão X + Y é positiva
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira
– O que é isto?
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Errado.
Gostaria que você ficasse bem atento ao comentário sobre a primeira sentença, pois teremos
uma interpretação bem interessante:
Temos quatro sentenças:
– “A frase dentro destas aspas é uma mentira”. Essa frase não possui uma interpretação ló-
gica (V ou F), pois, se valorarmos como verdadeira, ela se tornará falsa, uma vez que informa
que a frase é falsa; caso seja valorada como falsa, tornar–se–á verdadeira e assim por diante.
Logo, é uma sentença aberta.
Dica do Padilha!
Nessa questão é necessário analisar o conteúdo da informa-
ção, e isso fica claro uma vez que a sentença encontra-se den-
tro de aspas. Não se esqueça, pois, se não analisar o conteúdo,
teremos uma proposição e na verdade o pensamento é aberto.
– A expressão X + Y é positiva. Essa frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois
não sabemos quais são os valores de X e Y. Ex.: Se X = 1 e Y = 2, temos que 1 + 2 = 3 (positivo),
mas se tivermos X = –1 e Y = –3, temos que –1+(–3) = –4 (negativo). Logo, é uma sentença
aberta.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. Essa frase possui uma interpretação lógica,
uma vez que Pelé marcou mais de dez gols para a seleção brasileira, sendo falsa a frase. Logo,
é uma proposição.
– O que é isto? Essa frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois trata–se de uma
sentença interrogativa, a qual não pode ser valorada. Logo é uma sentença aberta e o item está
errado.
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(CESPE/CENSIPAM/2006) Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas
abaixo.
R: A repressão ao crime é importante.
S: A liberdade é fundamental.
Com base nessas informações, julgue os itens.
Questão 26 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “A liberdade é fundamental, mas o ho-
mem precisa de limites”, pode ser corretamente representada por P∧ ¬S.
Errado.
O item está errado, pois se trata se uma proposição conjuntiva em que o primeiro conjuntivo é
“A liberdade é fundamental” e segundo conjuntivo “O homem precisa de limites” é representa-
do simbolicamente por S ∧ P.
Na próxima aula, veremos mais sobre os termos “primeiro conjuntivo” e “segundo conjuntivo”,
não se preocupe, será na aula de tabelas-verdade.
Questão 27 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “A repressão ao crime é importante, se a
justiça deve ser severa”. Pode ser corretamente representada por R→ Q.
Errado.
O item está errado, pois se trata se uma proposição condicional em o antecedente é a pro-
posição “a justiça deve ser severa” e o consequente é a proposição “A repressão ao crime é
importante”. É importante ressaltar que a proposição condicional é a única que não possui a
propriedade comutativa, isto é, a representação simbólica correta é Q → R.
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Dica do Padilha!
Vale a pena ressaltar que a partícula “se” anuncia o anteceden-
te, independente de como esteja escrito na linguagem natural,
enquanto o termo “então” anuncia o consequente, ok?
Questão 28 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “Se a justiça não deve ser severa nem
a liberdade fundamental, então repressão ao crime não é importante”, pode ser corretamente
representada por (¬Q) ∧ (¬S) →¬R.
Certo.
O item está correto, pois se trata se uma proposição condicional em que o antecedente é a
proposição composta “a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental” e o conse-
quente é a proposição negativa “A repressão ao crime não é importante”.
O termo “nem” é a contração do “e” com o “não”.
Questão 29 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “Ou o homem não precisa de limites e
a repressão ao crime não é importante, ou a justiça deve ser severa”, pode ser corretamente
representada por ((¬P) ∧ (¬R)) ∨ Q.
Errado.
Esse item é bem tranquilo e está errado, pois trata– se uma proposição disjuntiva exclusiva,
isto é, “ou...ou...”, em que o conectivo correto seria ∨.
Questão 30 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “Se a justiça deve ser severa, então o
homem precisa de limites” pode ser corretamente representada por Q → P.
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Certo.
O item está correto, pois se trata se uma proposição condicional em o antecedente é a propo-
sição “a justiça deve ser severa” e o consequente é a proposição “O homem precisa de limites”.
Obs.: Para finalizarmos a nossa série de questões comentadas, quero apresentar um comen-
tário de uma questão muito bem-feita pela banca Vunesp. Vamos lá.
Questão 31 (VUNESP/POLÍCIA CIVIL SP) Em um reino distante, um homem cometeu um
crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada, o rei mandou que cons-
truíssem duas forcas e determinou que fossem denominadas de Forca da Verdade e Forca da
Mentira. Além disso, ordenou que na hora da execução o prisioneiro deveria proferir uma sen-
tença assertiva qualquer. Se a sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da
Verdade. Se, por outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Men-
tira. Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua asserção.
Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a execução foi cancela-
da! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o prisioneiro teria proferido.
a) “Está chovendo forte”.
b) “O carrasco não vai me executar”.
c) “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”.
d) “Dois mais dois é igual a cinco”.
e) “Serei enforcado na Forca da Mentira”.
Letra e.
A banca Vunesp exige um conhecimento de sentenças fechadas (proposições) e sentenças
abertas. Uma bela questão em que o examinador soube aplicar de maneira concreta os princí-
pios fundamentais da Lógica Proposicional.
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Estruturas Lógicas RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
Segundo a questão, existem duas forcas para execução do prisioneiro, no qual, se proferisse
uma sentença verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade, mas, por outro lado,
se a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. À primeira vista, te-
mos uma interpretação que tal situação é absurda, porém quando analisamos pelo ponto de
vista lógico, podemos interpretar que existem pensamentos passíveis de valoração (V ou F)
dentro da lógica bivalente e pensamentos completos que não possuem interpretação, ou seja,
sentenças abertas.
Nesse caso, o prisioneiro, ao proferir a sentença, deixou o carrasco completamente sem saber
o que fazer, pois aquilo que ele ouviu não proporcionou a execução do prisioneiro, ou seja, uma
sentença que não conduzia à forca da verdade nem à forca da mentira, sendo dessa forma a
execução cancelada. Bem, isso se deve ao fato de que a sentença se tratava de um pensamen-
to completo que não era nem verdadeiro nem falso, ou seja, uma SENTENÇA ABERTA.
Analisando as opções, devemos encontrar a sentença aberta que o prisioneiro proferiu, propor-
cionando sua absolvição.
a) “Está chovendo forte”: É uma proposição, pois pode ser verdadeira ou falsa. Seria executado
de qualquer forma.
b) “O carrasco não vai me executar”: É uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa.
Seria executado na forca da mentira.
c) “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”. É uma proposição, pois pos-
sui valoração, no caso verdadeira. Seria executado na forca da verdade.
d) “Dois mais dois é igual a cinco”. É uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa.
Seria executado na forca da mentira.
e) “Serei enforcado na Forca da Mentira”. A sentença não é nem verdadeira e nem falsa. Pois,
se tentarmos valorar como verdadeira, ela se torna falsa; e, se tentarmos valorar como falsa,
se torna verdadeira, ou seja, não possui valoração – sentença aberta.
Parte 2 – tabeLas-verdade – veretativas
Meu(minha) querido(a), nosso primeiro passo é entender como se constrói uma tabela-ver-
dade. Porém vamos entender o motivo de se chamar tabela-verdade.
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As tabelas-verdade apresentam as possíveis interpretações para uma proposição simples
ou composta, sabendo que na lógica bivalente as valorações possíveis, valores lógicos, que
nós temos são:
Daí surge a pergunta:
Só temos esses dois valores?
Bem, vamos lá. Para que possamos valorar as proposições simples ou compostas, temos
que entender que as únicas possibilidades são essas, então não custa apresentar a vocês as
03(três) leis do Pensamento ou Os Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional.
A Lógica como a ciência do raciocínio ou do pensamento é que existem exatamente três
leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para que o pensar
se desenvolva de maneira “correta”. Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente,
os nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Principio de Não Con-
tradição) e Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apro-
priadas a di