Radiação Térmica – Processos,

Propriedades e Troca de Radiação

entre Superfícies (Parte 2)

• Objetivo: calcular a troca por radiação entre duas ou mais superfícies.

• Essa troca depende das geometrias e orientações das superfícies, das propriedades radiativas e

das temperaturas.

• Inicialmente a análise será feita considerando um meio não-participante (não emite, nem

absorve, nem dispersa). O vácuo preenche perfeitamente essa exigência e os gases são uma

excelente aproximação.

• Os tópicos a serem desenvolvidos são:

1. Desenvolver a noção do fator de forma (características geométricas)

2. Calcular a troca radiativa entre superfícies que formam um invólucro (corpos negros)

3. Calcular a troca radiativa entre superfícies que formam um invólucro (superfícies difusas e

cinzentas)

4. Considerar efeitos de um meio participante (um gás intermediário que absorve a radiação)

1 – O Fator de Forma (Fator de Configuração)

1.1 – O Fator de Forma Integral

• ijF é definido como a fração da radiação que deixa a superfície i e que é interceptada pela

superfície j.

• Duas superfícies arbitrárias iA e jA

com temperaturas iT e jT

• Superfícies conectadas por uma reta

de comprimento R que forma ângulos

iθ e jθ com as normais às superfícies

in e jn

• Os valores de ,R iθ e jθ variam com

a posição das áreas elementares iA e

jA

• A taxa na qual a radiação deixa idA e é interceptada por jdA pode ser calculada como:

ijiiiji ddAIdq →→ = ωθcos

• iI é a intensidade da radiação que deixa a superfície i e ijd −ω é o ângulo sólido subentendido

por jdA quando visto de .idA Utilizando a definição do ângulo sólido tem-se:

jiji

iji dAdAR

Idq2

coscos θθ=→

• Considerando que a superfície i emite e reflete difusamente ( )ii IJ π= e que a radiosidade é

uniforme sobre a superfície ,iA a taxa total na qual a radiação deixa a superfície i e é

interceptada por j pode ser obtida pela integração sobre as duas superfícies:

∫ ∫=→i jA jiA

jiiji dAdA

RJq

2

coscos

π

θθ

• Da definição do fator de forma como a fração da radiação que deixa iA e é interceptada por ,jA

,iijiij JAqF →= segue que:

∫ ∫=i jA jiA

ji

iij dAdA

RAF

2

coscos1

π

θθ

• A equação acima serve superfícies emissoras e refletoras difusas e com radiosidade uniforme.

1.2 – Relações do Fator de Forma

• Relação de reciprocidade: jijiji FAFA =

• Regra do somatório para um invólucro: ∑=

=N

jijF

1

1

• Exigência da conservação da energia

• O termo iiF é a fração da radiação que deixa

i e é interceptada por i

• Superfície côncava, 0≠iiF

• Superfície plana ou convexa, 0=iiF

• Para um invólucro com N superfícies, é

necessário um total de 2

N fatores de forma.

• Nas figuras abaixo podem ser vistos configurações 2D e 3D para o cálculo do fator de forma.

Retângulos paralelos Discos coaxiais paralelos

• Para uma superfície com n componentes

( ) ∑=

=n

kikji FF

1

( )

∑

∑

=

==n

kk

n

kkik

ij

A

FA

F

1

1

2 – Troca de Radiação do Corpo Negro

• Não há reflexão. A energia sai apenas como resultado da emissão, e toda a radiação incidente é

absorvida ( ).,ibi EJ =

• A troca líquida de radiação entre duas superfícies que podem ser aproximadas como um corpo

negro é a taxa líquida na qual a radiação deixa a superfície i devido sua interação com j ou a

taxa líquida na qual j recebe radiação devido à sua interação com i.

( ) ijiiji FJAq =→ ( ) jijjij FJAq =→

biijiji EFAq =→ bjjijij EFAq =→

ijjiij qqq →→ −=

bjjijbiijiij EFAEFAq −=

as 4TEb σ= e jijiji FAFA =

( )44jiijiij TTFAq −= σ

• Com N superfícies mantidas a temperaturas diferentes, a transferência líquida da radiação da

superfície i é devido à troca com as superfícies restantes: ( )∑=

−=N

jjiijii TTFAq

1

44σ

3 – Troca de Radiação Entre Superfícies Cinzentas Difusas em um Invólucro

• Ao contrário do corpo negro, agora a reflexão da superfície deve ser considerada.

• Considerações: superfícies do invólucro

isotérmicas, radiosidade e irradiação

uniformes, superfícies opacas ( )0=τ ,

cinzentas (independência do comprimento

de onda) e difusas (independência

direcional), e o meio no interior do

invólucro é não-participante.

• O problema é do tipo no qual iT é

conhecido em cada uma das superfícies e o

objetivo é determinar o fluxo de calor

radiativo líquido "iq de cada superfície.

• Da lei de Kirchhoff, .αε =

3.1 – Troca Líquida de Radiação em uma Superfície

• iq é a taxa líquida na qual a radiação deixa uma superfície i, representa o efeito líquido das

interações radiativas ocorrendo na superfície. Ele é igual à diferença entre a radiosidade e a

irradiação da superfície e pode ser representado como:

( )iiii GJAq −= (figura b)

( )iiiii GEAq α−= (figura c)

• Da definição de radiosidade, iiii GEJ ρ+= e sabendo que iii εαρ −=−= 11 obtém-se que:

( ) iii

ibii

A

JEq

εε−

−=

1

• Da equação anterior define-se uma resistência radiativa da superfície (figura d) na forma:

ii

i

Aε

ε−1

3.2 – Troca por Radiação entre Superfícies

• A taxa total na qual a radiação atinge a superfície i oriunda de todas as superfícies é

.1

∑=

=N

jjjjiii JAFGA

• Da relação de reciprocidade ∑=

=N

jjiijii JAFGA

1

e eliminando iA obtém-se .1

∑=

=N

jjiji JFG

Substituindo em ( )iiii GJAq −= obtém-se .1

−= ∑

=

N

jjijiii JFJAq

• Da regra do somatório tem-se que

−= ∑∑

==

N

jjiji

N

jijii JFJFAq

11

de tal forma que:

( )( ) ∑∑∑

==−

=

=−

=−=N

jij

N

j iji

jiN

jjiijii q

FA

JJJJFAq

111

1

• ( )ji JJ − é o potencial motriz e ( ) 1−ijiFA é a resistência espacial ou geométrica.

• Combinando a troca líquida por radiação em uma superfície e entre superfícies obtém-se:

( ) ( )∑=

−

−=

−

− N

j iji

ji

iii

ibi

FA

JJ

A

JE

111 εε

• A expressão anterior é o balanço de

radiação para o nó de radiosidade associado

com a superfície i

• A taxa de transferência de radiação para i

através de sua resistência da superfície deve

ser igual a taxa líquida da transferência de

radiação de i para todas as outras superfícies

através das resistências geométricas

correspondentes

• A equação anterior é útil quando a

temperatura iT da superfície é conhecida. Se

a taxa líquida de radiação for conhecida é

melhor aplicar ( )∑

=−

−=

N

j iji

jii

FA

JJq

11

• A seguinte metodologia pode ser aplicada para a análise da transferência de calor por radiação

em cavidades:

1. Aplicar ( )∑

=−

−=

N

j iji

jii

FA

JJq

11

quando a taxa líquida de radiação for conhecida

2. Aplicar ( ) ( )∑

=−

−=

−

− N

j iji

ji

iii

ibi

FA

JJ

A

JE

111 εε

quando a temperatura for conhecida (e assim calcular biE ).

3. Calcular os fatores de forma que aparecem nas equações acima.

4. Resolver um sistema de N equações para calcular as radiosidades .,...,, 21 NJJJ

5. Utilizar a equação ( ) iii

ibii

A

JEq

εε−

−=

1 para determinar iq para cada superfície de iT conhecida ou

para determinar iT para cada superfície com iq conhecido.

• O tratamento para uma superfície virtual corresponde a uma abertura de área iA através da qual

as superfícies internas da cavidade trocam energia por radiação com uma grande vizinhança a

vizT consiste em aproximar a abertura como um corpo negro de área ,iA temperatura vizi TT = e

propriedades .1== ii αε

3.3 – O Invólucro com Duas Superfícies

• O exemplo mais simples de um invólucro é um que envolve duas superfícies que trocam

radiação uma com a outra.

A taxa líquida da transferência de radiação a

partir da superfície 1, ,1q deve ser igual à taxa

líquida de transferência de radiação para a

superfície 2, ,2q− e as duas grandezas devem

ser iguais à taxa líquida na qual a radiação é

trocada entre 1 e 2. Assim sendo:

1221 qqq =−=

( )

22

2

12111

1

42

41

22

2

12111

1

2112 111111

AFAA

TT

AFAA

EEq bb

ε

ε

ε

ε

σ

ε

ε

ε

ε −++

−

−=

−++

−

−=

• Casos especiais importantes encontram-se resumidos na tabela abaixo:

3.4 – Blindagens de Radiação

• Construídas de material de baixa emissividade (alta refletância) utilizadas para reduzir a

transferência líquida de radiação entre duas superfícies. Considere a colocação de uma

blindagem de radiação, superfície 3, entre dois planos grandes e paralelos.

• Sem a blindagem de radiação, a taxa líquida de

transferência de radiação entre as superfícies 1 e 2 é

dada por ( )

111 21

42

41

12−+

−=

εε

σ TTAq

• Com a blindagem de radiação, resistências adicionais

estão presentes, e a taxa de transferência de calor é

reduzida

• Lembrando que 12,33,1 == FF tem-se que: ( )

2,3

2,3

1,3

1,3

21

42

411

12 1111

ε

ε

ε

ε

εε

σ

−+

−++

−=

TTAq

3.5 – A Superfície Reirradiante

• Essa superfície idealizada é caracterizada pela transferência líquida nula por radiação ( ).0=iq

Ela é bem aproximada por superfícies reais que são bem isoladas em um lado e para as quais os

efeitos de convecção podem ser desprezados no lado oposto.

• De ( )iiii GJAq −= e ( ) iii

ibii

A

JEq

εε−

−=

1 segue que .biii EJG == Em um invólucro, a temperatura

de equilíbrio de uma superfície reirradiante é determinada por sua interação com outras

superfícies e é independente da emissividade da superfície reirradiante.

• Para um invólucro de três superfícies, com uma superfície R reirradiante:

• Com 0=Rq a transferência líquida de radiação da superfície 1 deve ser igual a transferência

líquida por radiação para a superfície 2. Tem-se que:

( ) ( )[ ] 22

21

221112111

1

2121 1

11

11

AFAFAFAA

EEqq

RR

bb

ε

ε

ε

ε −+

+++

−

−=−=

−

• Pode-se aplicar ( ) iii

ibii

A

JEq

εε−

−=

1 às superfícies 1 e 2 para determinar as radiosidades 1J e .2J

• Conhecendo-se 1J e 2J e as resistências geométricas, a radiosidade da superfície reirradiante

RJ pode ser determinada do balanço de radiação ( ) ( )

.011 22

2

11

1 =−

=−

R

R

R

R

FA

JJ

FA

JJ

• A temperatura da superfície reirradiante pode então ser determinada da exigência que

.4RR JT =σ

4 – Transferência de Calor Combinada

• Em muitas situações a condução e/ou a convecção devem ser consideradas nas análises de

transferência de calor.

• Balanço de energia na superfície:

condiconviradiexti qqqq ,,,, ++=

• radiq , é determinado por procedimentos

padrões para um invólucro conforme

discutidos anteriormente.

• No caso específico em que ,,extiq conviq , e condiq , são nulos, a superfície é reirradiante.