I - Forma (S,P) de uma equao do segundo grau

Sendo x1 e x2 as razes, temos as seguintes frmulas para a soma S e o produto P das razes.

E x2 Sx + P = 0, que a forma (S,P) da equao do 2 grau. Esta maneira de apresentar a equao do 2 grau bastante conveniente, uma vez que permite conhecer a soma das razes e o produto das razes, sem resolver a equao. Este fato, facilita at a soluo mental da equao, sem aplicao da frmula de Bhaskara. Exemplos: a) x2 5x + 6 = 0 Soma das razes = S = 5 Produto das razes = P = 6 Ora, os nmeros que somados d 5 e multiplicados d 6, so 2 e 3 que so as razes da equao. b) x2 x 12 = 0 S = 1 e P = -12 Os nmeros que somados igual 1 e multiplicados d - 12 so 4 e 3 , que so as razes da equao. c) x2 +3x - 4 = 0 S = - 3 e P = -4 Os nmeros que somados d 3 e multiplicados d 4 so 4 e 1, que so as razes da equao. d) x2 + x - 999000 = 0 S = -1 e P = -999000 Verifique mentalmente que as razes so -1000 e 999. A soluo pela frmula de Bhaskara seria um pouco trabalhosa. Perceberam? Com a prtica, voc ser capaz de resolver muitas equaes do 2 grau, sem o uso da frmula de Bhaskara, com o uso do mtodo acima.

Com a forma (S,P) da equao do 2 grau [x2 Sx + P=0], podemos resolver o problema inverso da determinao das razes, ou seja, compor a equao cujas razes so conhecidas. Exemplo: Qual a equao do 2 grau cujas razes so 10 e 78? Temos: S = 10+78 = 88 e P = 10.78 = 780 Logo, a equao : x2 88x + 780 = 0. Qual a equao cujas razes so -4 e 100? Temos: S = -4 + 100 = 96 e P = -4(100) = -400 Logo, a equao procurada x2 - 96x 400 = 0.

II - Equaes AlgbricasSendo P(x) um polinmio em C , chama-se equao algbrica igualdade P(x) = 0 . Portanto , as razes da equao algbrica , so as mesmas do polinmio P(x) . O grau do polinmio , ser tambm o grau da equao . Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 uma equao do 4 grau . Propriedades importantes : P1 - Toda equao algbrica de grau n possui exatamente n razes . Exemplo: a equao x3 - x = 0 possui 3 razes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos ento que o conjunto verdade ou conjunto soluo da equao dada S = {0, 1,-1}. P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , ento P(x) divisvel por x - b . Esta propriedade muito importante para abaixar o grau de uma equao , o que se consegue dividindo P(x) por x - b , aplicando o dispositivo prtico de Briot-Ruffini. Briot - matemtico ingls - 1817/1882 e Ruffini - matemtico italiano - 1765/1822. P3 - Se o nmero complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , ento o conjugado a - bi tambm ser raiz . Exemplo: qual o grau mnimo da equao P(x) = 0, sabendo-se que trs de suas razes so os nmeros 5, 3 + 2i e 4 - 3i. Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i so tambm razes. Logo, por P1, conclumos que o grau mnimo de P(x) igual a 5, ou seja, P(x) possui no mnimo 5 razes. P4 - Se a equao P(x) = 0 possuir k razes iguais a m ento dizemos que m uma raiz de grau de multiplicidade k . Exemplo: a equao (x - 4)10 = 0 possui 10 razes iguais a 4 . Portanto 4 raiz dcupla ou de multiplicidade 10 . Outro exemplo: a equao x3 = 0, possui trs razes iguais a 0 ou seja trs razes nulas com ordem de multiplicidade 3 (razes triplas). A equao do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas razes reais iguais a 4, (x = x = 4). Dizemos ento que 4 uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equao algbrica P(x) = 0 for nula , ento a unidade raiz da equao (1 raiz). Exemplo: 1 raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes igual a zero . P6 - Toda equao de termo independente nulo , admite um nmero de razes nulas igual ao menor expoente da varivel . Exemplo: a equao 3x5 + 4x2 = 0 possui duas razes nulas . A equao x100 + x12 = 0, possui 100 razes, das quais 12 so nulas!

P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , x n so razes da equao aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 , ento ela pode ser escrita na forma fatorada : ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0 Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 so as razes de uma equao do 3 grau , ento podemos escrever: (x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0

III - Produto de Stevin

Simon Stevin, fsico, engenheiro e matemtico holands (1548 - 1620). o produto de qualquer nmero de binmios do 1 grau, da forma (x+ a), ondea um nmero real ou complexo. Para dois binmios, teremos: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab Para trs binmios, teremos: (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc A memorizao destas frmulas fcil e til para agilizar clculos.

IV Exerccios

1) Um fazendeiro quer construir um curral retangular. Para cerc-lo, dispe de 400 metros de arame e de uma parede j existente. Sabendo que a cerca de arame ter 4 voltas, determinar as dimenses desse curral para que sua rea seja mxima. 2) O nmero -3 a raz da equao x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condies, determine o valor do coeficiente c:

3) Se voc multiplicar um nmero real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, voc vai obter o quntuplo do nmero x. Qual esse nmero? 4) Duas velas de alturas iguais so acesas no mesmo instante. A primeira se consome em 4 horas e a segunda, em 3 horas. Supondo que cada vela queima-se com velocidade constante, quantas horas aps terem sido acesas, a altura da primeira vela o dobro da altura da segunda? 5). Calcule o valor mximo ou mnimo da funo f(x) = + x +2.

6) Um fazendeiro quer construir um curral retangular. Para cerc-lo, dispe de 400 metros de arame e de uma parede j existente. Sabendo que a cerca de arame ter 4 voltas, determinar as dimenses desse curral para que sua rea seja mxima 7) O lucro mensal de uma empresa dado por L = -x + 30x -5, em que x a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal mximo possvel? 8). A temperatura y da gua no radiador de carro varia, durante os primeiros trs minutos depois de acionado o motor, de acordo com a frmula y =4x + 10x + 25 ,com 0 x 3 ,na qual y a temperatura em C e x o tempo decorrido em minutos a partir do instante em que o motor foi acionado. Aps esses trs minutos iniciais, a temperatura mantm-se constante. Nessas condies: a. calcule a temperatura no instante em que o motor acionado. b. Calcule a temperatura nos instantes x = 1, x = 2, x = 3. c. Esboce o grfico da temperatura y em funo de x, com x 10 . 9)Use produto de Stevin para resolver as equaes : A) (x+3)(x+5) = B) (x+10)(x+4) = C) (x - 7)(x+4) = D) (x - 6)(x - 7) = E) (x+3)(x+4)(x+5) = F) (x+1)(x-3)(x+8) = G) (x+5)(x+3)(x+2) = H) (x-3)(x-2)(x+7) =

Extra )Uma moeda de cinco centavos colocada sobre uma mesa. O nmero de moedas de cinco centavos que se podem colocar, tangentes ao redor dela : A) 6 B) 4 C) 5 D) 8 E) Nenhuma das respostas anteriores verdadeira.