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TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

Ralph dos Santos Silva

Departamento de Métodos EstatísticosInstituto de Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Técnicas de Amostragem

Sumário

Informações Auxiliares na Amostragem

Estimador da Razão

Estimador da Razão na Amostragem Estratificada




O que são informações auxiliares?I O interesse da amostragem é estimar parâmetros populacionais

relativos à uma (ou mais) determinada variável y .I A unidade i da população está associada a observação (valor) yi da

variável de interesse.I Além da variável y pode-se ter associada à unidade i uma (ou mais)

variável x correlacionada com y , que pode ser usada como variávelauxiliar.

Por que usar?I Para melhorar a precisão das estimativas!



Onde e quando?I As variáveis auxiliares podem ser usadas na definição do plano

amostral ou na definição dos estimadores.I Já vimos dois usos: estratificação e seleção PPT (ambos na definição

do plano amostral).

Exemplos:I Variável de interesse: número de cabeças de gado.I Auxiliares: área do estabelecimento rural, valor da produção em uma

pesquisa anterior, localização, área de pastagem, etc.

I Variável de interesse: valor do faturamento da empresa.I Auxiliares: pessoal ocupado, ramo de atividade, localização, quantidade

produzida, etc.



Exemplo real do Censo Demográfico

Desde 1960 o Censo do Brasil tem dois questionários:I BÁSICO (efetivamente um censo), aplicado a todos os domicílios com

poucos quesitos (variáveis): sexo, idade, alfabetização, situação ecaracterísticas básicas do domicílio

I AMOSTRA, aplicado a uma amostra de domicílios (10% nas cidadesgrandes e 20% nas cidades pequenas, no Censo 2000): todas asvariáveis do questionário básico mais outras características dodomicílio, fecundidade, cor ou raça, deficiências, nupcialidade,escolaridade, religião, migração, mão-de-obra e rendimento.

As variáveis do questionário básico são usadas como variáveis auxiliarespara a estimação das variáveis pesquisadas apenas no questionário daamostra.

I Calibração dos pesos amostrais.



Uso das informações auxiliares:I No plano amostral: estratificação, seleção com PPT.I Na estimação de parâmetros: vamos ver (ou pelo menos começar a

ver):I Estimadores de razão.I Estimadores de regressão.I Estimadores de pós-estratificação.


Estimador da Razão

Definindo uma razão

Definição de razão:I Razão é a relação (quociente) entre duas variáveis de uma população.

Exemplos:I Relação entre os gastos das famílias com saúde e a renda total das

famílias.I Produtividade da terra: razão entre a quantidade de soja colhida e a

área plantada de soja.I Renda per capita: relação entre o PIB de um país e o número de

habitantes.

Não confundir com proporção que é sempre o total de uma contagem deunidades com certa característica, dividido pelo número de unidades dapopulação.


Estimador da Razão

Estimador de uma razão

I Então, uma razão será definida como:

R =YX

=

∑Ni=1 Yi∑Ni=1 Xi

=YX.

Suponha uma AAS.I Um estimador intuitivo para R é a razão na amostra:

r = R =Y

X=

∑ni=1 yi∑ni=1 xi

=yx.


Estimador da Razão

Propriedades do Estimador da Razão

I O estimador r é tendencioso.I Exemplo prático:

I Seja uma população P3 com Y = {2, 1, 4} e X = {4, 2, 5}.I Calculando a razão entre Y e X temos R = 7/11.I Supondo AAS, temos 3 possíveis amostras de tamanho 2 e a distribuição

amostral de r é dada por:

r 1/2 2/3 5/7Pr(r) 1/3 1/3 1/3

I Portanto, E(r) = 79/126 6= R = 7/11.

I Note que os estimadores das médias de y e x são não tendenciosos,porém r é tendencioso.


Estimador da Razão

Propriedades do Estimador da RazãoI O estimador r é consistente:

I Definição: seja Θ um estimador de baseado em uma amostra de tamanhon. O estimador será dito consistente se:

ΘN = θ.

I Logo, r é consistente porque se o calcularmos sobre toda a populaçãoteremos rN = R.

I O estimador r é dito assintoticamente não tendencioso, ou seja: atendenciosidade do estimador tende a zero quando n→ N.

I Pode-se mostrar que:

T (r) = B(r) ' R(N − n)Nn

[S2

x

X2 −

Sxy

XY

]=

R(N − n)Nn

[(CVx)

2 − ρCVx CVy

]I ρ é o coeficiente de correlação de entre as variáveis x e y .I Então, nota-se que T (r)→ 0 quando n→ N.

I Temos que r será não tendencioso se Y = ρSy

SxX .


Estimador da Razão


I Erro quadrático médio de r :

EQM(r) = Var(r) + [T (r)]2 = Var(r)[1 +

[T (r)]2

Var(r)

].

I Logo r será aproximadamente não tendencioso se[T (r)]2

Var(r)' 0.

I Na prática, admitimos[T (r)]2

Var(r)6 0, 01 ou

|T (r)|√Var(r)

6 0, 10.

I Pode-se mostrar queT (r)√Var(r)

= −ρ?√

Var(x)X

, sendo ρ? o coeficiente

de correlação entre r e x .I Como o coeficiente de correlação é no máximo 1 em valor absoluto,

temos que:|T (r)|√Var(r)

6 CV(x).


Estimador da Razão


I Então, para que a tendenciosidade do estimador r seja pequenadevemos ter uma amostra de tamanho n tal que

CV(x) 6 0, 10 ou n0 >

[CVx

0, 10

]2

⇒ n >n0

1 + (n0/N),

sendo CVx o coeficiente de variação populacional da variável auxiliar x .

Exemplo:

Deseja-se estimar a razão entre uma variável y e outra x . Sabe-se por umapesquisa anterior que S2

x é da ordem de 100 e sua média é 5. Qual deve sero tamanho da amostra para que a tendenciosidade da estimativa sejadesprezível, sabendo-se que a população tem 5.000 unidades?

n0 =

[(10/5)

0, 1

]2

= 202 = 400⇒ n >400

1 + (400/5000)= 370, 37.


Estimador da Razão

Variância do Estimador da Razão

I Quando pudermos supor a tendenciosidade de estimação desprezível,

ou seja,|T (r)|√Var(r)

6 0, 10, podemos calcular a variância de r por:

Var(r) ' 1− f

nX2 [S2

y + R2S2x − 2ρRSx Sy ] =

1− f

nX2 ×

1N − 1

N∑i=1

(Yi −RXi)2.

I Se a média de x for conhecida Var(r) pode ser estimada por

v(r) ' 1− f

nX2 [s2

y + r 2s2x −2rsxy ] =

1− f

nX2 ×

1n − 1

n∑i=1

(yi − rxi)2 =

1− f

nX2 s2

r .

Se a média de x for desconhecida, substitui-se X por x na fórmulaacima.


Estimador da Razão

Exemplo:

Seja a população P3 dada na tabela:

Ui Yi Xi

1 3 22 2 33 5 5

I Calcular a razão populacional entre y e x .I Estimar R para todas as AAS possíveis de tamanho 2.I Calcular a tendenciosidade verdadeira e a aproximada para r .I Calcular o EQM verdadeiro e o aproximado para r .I Calcule a variância verdadeira e aproximada para r .


Estimador da Razão

Margem de Erro do Estimador da Razão

I Seja: n0x >

[CVx

0, 1

]2

e n0y >

[CVy

0, 1

]2

.

I Seja: n > máx{

30;n0x

1 + (n0x/N);

n0y

1 + (n0y/N)

}.

I Assim, temos que:r − R√Var(r)

≈ N (0, 1).

I Logo: D(r) = z1−α/2√

Var(r) e Dr (r) = z1−α/2CV(r).

I Estimado por: d(r) = z1−α/2√

v(r) e dr (r) = z1−α/2cv(r).


Estimador da Razão

Estimadores de Razão para Total e Média

Problema (Bolfarine e Bussab):I Deseja-se estimar a quantidade de açúcar que pode ser extraída de um

caminhão de laranja. As unidades populacionais são as laranjas e avariável de interesse y é:

I Yi : quantidade de açúcar na laranja i .

I Acontece que não se conhece o número de laranjas, N, do caminhãopara utilizar o estimador Y = Ny .

I Por outro lado, sabe-se que a quantidade de açúcar está correlacionadacom o tamanho ou peso da laranja. Então, a variável x definida como

I Xi : peso da laranja i .

I Esta pode ser usada como variável auxiliar.I Podemos, então definir a razão ou quantidade média de açúcar por

unidade de peso como R = Y/X , ou seja, a quantidade média deaçúcar por unidade de peso é o total de açúcar pelo peso total da cargade laranja.

I Ou ainda, Y = RX , o total de açúcar é o peso da carga vezes aquantidade média de açúcar por unidade de peso.


Estimador da Razão

I Agora ficou fácil! Basta uma amostra de n laranjas para que possamosestimar R, ou seja, calcular

r =yx, e, consequentemente, YR = rX ,

sendo X o peso total da carga de laranjas!I Portanto, podemos definir um estimador de razão para o total de uma

variável de interesse y a partir de uma variável auxiliar x como:

YR = rX ,

sendoI r é o estimador da razão entre y e x .I X é o total conhecido para a variável auxiliar x .

I Para a média temos:

yR = rX =YR

N.


Estimador da Razão

I As variâncias desses estimadores são dadas por:

Var(YR) = X 2Var(r) e Var(yR) = X2Var(r).

No caso de AAS, tem-se:

S2R ' S2

y + R2S2x − 2RSxy =

1N − 1

N∑i=1

(Yi − RXi)2.

Var(YR) ' N × N − nn

S2R e Var(yR) '

N − nnN

S2R = (1− f )

S2R

n.

I Veja que as fórmulas são parecidas com as dos estimadores naturais daAAS, a menos do S2.

I Pode-se estimar as variâncias desses estimadores por:

v(YR) = X 2v(r) e v(yR) = X2v(r).

I No caso de AAS tem-se:

s2R ' s2

y + r 2s2x − 2rsxy =

1n − 1

n∑i=1

(yi − rxi)2.

v(YR) ' N × N − nn

s2R e v(yR) '

N − nnN

s2R = (1− f )

s2R

n.


Estimador da Razão

Exemplo

Foi feita uma pesquisa por AAS em 100 colégios de uma população formadapor 468 colégios. A tabela mostra os resultados amostrais para as variáveisnúmero de estudantes, y , e número de professores, x , dos colégiospesquisados. Sabe-se que o total de professores para o conjunto de escolasé 15.000.

n∑468

i=1 yi∑468

i=1 y2i

∑468i=1 xi

∑468i=1 x2

i∑468

i=1 yixi

100 44988 36248004 3099 144209 2160390

1. Estimar o total de alunos usando o estimador natural.

2. Estimar o total de alunos usando estimador de razão.

3. Comparar as estimativas das variâncias dos estimadores.


Estimador da Razão

Comparação do estimador de razão com o natural

I Variância do estimador natural do total na AAS:

VarAAS(Y ) = N2 1− fn

S2y .

I Variância do estimador de razão do total:

VarAAS(YR) = N2 1− fn

S2R .

I Então, para que o estimador de razão seja melhor devemos ter:

VarAAS(YR) < VarAAS(Y )⇔ ρ(x , y) >12

CVx

CVy,

utilizando-se o fato que

S2R < S2

y ⇒ S2y + R2S2

x − 2ρ(x , y)RSx Sy < S2y .




Pode-se definir dois estimadores de razão diferentes para o total (ou média)na Amostragem Estratificada:

I Estimador de razão combinada: YRCI Será baseado nos estimadores estratificados dos totais populacionais de y

e x, ou seja, Yae e Xae;

I Estimador de razão separada: YRSI Será baseado nos estimadores dos totais de x e y dentro de cada um dos

estratos, ou seja, nos Yh e Xh.

Vamos supor uma Amostra Estratificada com AAS dentro de cada estrato,denotando por AES.



Estimador de razão combinada:

YRC =Yae

XaeX =

∑Hh=1 Yh∑Hh=1 Xh

X =yae

xaeX = rRCX .

I Veja que o estimador da razão combinada só depende do conhecimentodo total populacional, X , da variável auxiliar x e não dos totais porestrato.

I O estimador da razão combinada é consistente.I O estimador da razão combinada é tendencioso.I Como vimos no caso de AAS, quando temos AES também podemos ter

a tendenciosidade desprezível, pois pode-se demonstrar que:

|T (YRC)|√Var(YRC)

6 CV(Xae)

I Na prática é usual considerar a tendenciosidade desprezível se:

CV(Xae) = CV(xae) 6 0, 1.



I Então, para que a tendenciosidade seja considerada desprezível é bomque se tenha uma estimativa da média (ou total) da variável auxiliar xprecisa.

I Como anteriormente, fixa-se o coeficiente de variação da estimativa damédia de x em, no máximo, 10%.

I Logo, vamos calcular um tamanho de amostra tal que:

n >

1N2

H∑h=1

N2h S2

h(x)ah

0, 01X2 +

1N2

H∑h=1

NhS2h(x),

sendo ah um valor que depende da alocação de amostra utilizada.



I Se o tamanho da amostra for suficiente para que a tendenciosidade sejadesprezível, uma fórmula para a variância aproximada será:

Var(YRC) ' N2[Var(yae) + R2Var(xae)− 2RCov(xae, yae)].

I Como temos AAS dentro de cada estrato:

Var(YRC) 'H∑

h=1

Nh(Nh − nh)

nh[S2

h(y) + R2S2h(x)− 2RSh(x , y)],

I Ou ainda,

Var(YRC) 'H∑

h=1

Nh

Nh − 1× Nh − nh

nh

Nh∑j=1

[(Yhj − Y h)− R(Xhj − X h)]2.



A variância pode ser estimada por:

v(YRC) 'H∑

h=1

Nh(Nh − nh)

nh[s2

h(y) + r 2RCs2

h(x)− 2rRCsh(x , y)],

sendo

s2h(y) =

1nh − 1

nh∑j=1

(yhj − yh)2

s2h(x) =

1nh − 1

nh∑j=1

(xhj − xh)2

s2h(x , y) =

1nh − 1

nh∑j=1

(xhj − xh)(yhj − yh).

Para a média temos as seguintes fórmulas:

yRC =YRC

N, Var(yRC) =

1N2 Var(YRC), e v(yRC) =

1N2 v(YRC).



Exemplo

A tabela mostra informações de todas as fazendas de uma regiãoestratificadas segundo sua área. A variável de interesse, y , é a área complantação de milho e a variável auxiliar, x , é a área total de cada fazenda. Aideia é comparar a precisão de diversos estimadores para uma amostra detamanho 100, sendo 70 fazendas selecionadas no estrato 1.

Estrato Acres Nh Y X S2y S2

x Sxy R1 <160 1580 19,40 82,56 312 2055 494 0,23502 >160 430 51,63 244,85 922 7357 858 0,2109

Total 2010 26,30 117,28 620 7619 1453 0,2243



Estimador de razão separada:

YRS =H∑

h=1

YhR =H∑

h=1

yh

xhXh

H∑h=1

rhXh.

I É baseado nos estimadores de razão dos totais de cada estrato.I Para este estimador é preciso conhecer os valores dos totais da variável

auxiliar x para cada um dos estratos.I É um estimador consistente, pois usa um estimador de razão para os

totais dos estratos que, por sua vez, é um estimador consistente.I Quanto à tendenciosidade, é necessário que se tenha tamanhos de

amostras nos estratos, nh, suficientemente grandes para que atendenciosidade de cada YhR seja desprezível.

I Se cada estrato tiver aproximadamente o mesmo nível de tendência,pode-se admitir que a tendenciosidade do estimador do total seja Hvezes a tendenciosidade do estimador dos totais de cada estrato, ouseja: |T (Y RS)|√

Var(Y RS)6√

HCV(X h)



I Na prática, pode-se admitir:

|T (Y RS)|√Var(Y RS)

6√

HCV(X h) 6 0, 20.

I A variância aproximada do estimador é dada por:

Var(YRS) 'H∑

h=1

Nh(Nh − nh)

nh[S2

h(y) + R2hS2

h(x)− 2RhSh(x , y)],

I Ou ainda,

Var(YRS) 'H∑

h=1

Nh

Nh − 1× Nh − nh

nh

Nh∑j=1

[(Yhj − Y h)− Rh(Xhj − X h)]2.

I A variância pode ser estimada por:

v(YRS) 'H∑

h=1

Nh(Nh − nh)

nh[s2

h(y) + r 2h s2

h(x)− 2rhsh(x , y)].



Comparação dos estimadores de razão combinada e separada

X Os dois estimadores são equivalentes quando Rh = R para todos osestratos (pelo menos aproximadamente).

X Caso exista uma grande diferença entre os Rh será aconselhável o usodo estimador da razão separada.

X Intuitivamente, nestes casos, é preferível usar a razão separada, já queé baseado em informações mais detalhadas da variável auxiliar x .

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