Random Sequence Generationby Cellular Automata

Stephen Wolfran

Sílvia Regina Leite Magossi

Prof. Dr. Marco Aurélio Amaral Henriques (Orientador)

Data: 09/10/2015

O estado inicial de um registrador é usado como semente ou chave .

O valor 𝑎(𝑡) alcançado por uma particular célula através do tempo, pode então servir como uma sequência randômica. Um texto cifrado C pode ser obtido de um texto em claro binário P.

𝐶𝑖 = 𝑃𝑖 𝑋𝑂𝑅 𝑎(𝑡)

O texto em claro pode ser recuperado repetido a mesma operação, mas somente se a sequência 𝑎𝑖 é conhecida.

Este abstract discute uma cifra de fluxo baseado num simples CA unidimensional. Este CA consiste de um registrador circular com N células.Cada célula 𝑎𝑖 igual a 0 ou 1 , os valores são atualizados sincronicamente em tempo discreto, e seguindo de acordo com a regra 30.

𝑎𝑖′ = 𝑎𝑖−1 𝑋𝑂𝑅 (𝑎𝑖 𝑂𝑅 𝑎𝑖+1)

Discute a utilização de vários métodos para avaliar o comportamento deum CA – Autômato Celular regra 30.

“Apesar da simplicidade de sua construção, todas as conjecturasapresentadas, consideram seu comportamento complicado a ponto deparecer randômico para propósitos práticos.”

Objetivo:

Seções do artigo:1. Geração de Sequência Randômica;2. Autômato Celular;3. Um Gerador de Sequências Randômica;4. Propriedades Globais;5. Propriedades de Estabilidade;6. Um Particular Estado Inicial;7. Propriedades Funcionais;8. Propriedades da Computação Teórica;9. Comportamento de Tamanho Finito;10.Propriedades Estatísticas;11.Implementação Prática;12.Esquemas Alternativos;13.Discussão.

Métodos utilizados para análise dessas sequências:

• Empíricos;• Combinatorial;• Estastísticos;• Teoria de Sistemas Dinânicos;• Teoria Computacional;

A partir das avaliações: Um eficiente gerador de números randômicos então é sugerido.

Propósito de PRNGs – algoritmos Probabilístico:

• Amostragem no Método Monte Carlo (estatístico);

• Imitação Processos Estocásticos Natural;

• Jogos de Azar(devido a sua imprevisibilidade);

• Criptografia de dados.

Como gerar uma sequência randômica em um computador digital?

1. Iniciamos com uma semente de comprimento fixo;

2. Iterativamente aplicamos alguma transformação;

3. Progressivamente extraímos uma sequência randômica tão longa quanto possível.

Como considerar que ela é randômica?

1. Nenhum padrão pode ser reconhecido;

2. Nenhuma previsão pode ser feita sobre ela; e

3. Nenhuma descrição simples dela pode ser encontrada.

Sequência Randômca

Mas, o fato da sequência ser produzida pela iteração de uma transformação definida , então

essa sequência randômica pode mesmo assim ser vista como randômica se nenhuma computação sobre ela revelar esta simples descrição.

A semente original deve ser transformada de tal forma complicada que as computações não podem recuperá-las.

Aceitabilidade das sequências randômicas geradas por computadores digitais:

Sequencias geradas por transformações

Simples

Comportamento Complicado (qdo.

Iteradas)

Difícil descrição desse Comportamento

Nenhuma Computação Complexa pode revelar a

semente

Geração de sequências randômicas

São baseadas em :

• Relação de congruência linear da forma x’ = ax + b mod n

• Linear feedback shift register (Análogo ao Autômato Celular).

Características desses geradores

• Linearidade e simplicidade • Análise completa algébrica • Permitem que certas propriedade

de aleatoriedades sejam provadas

• Algoritmos eficientes para prever sequências (ou deduzir suas sementes )

• Limitando o grau de aleatoriedade.

Levando a

Grau de Aleatoriedade

Pode ser definido em cima das classes computacionais, as quais não podemdescobrir seu padrão.

A sequência é randômica o suficiente para uma aplicação em um sistemaparticular, se as computações desempenhadas por esse sistema não foremefetivamente sofisticadas o suficiente para estar habilitadas a encontrarpadrões na sequência.

A computação que usa uma sequência randômica toma um tempo limite , eexiste um limite para o grau de aleatoriedade que a sequência deve ter.

Testes estatísticos de aleatoriedade imitam (emulam) várias computaçõessimples encontradas na prática, e checam que propriedade estatísticas dasequência, concordam com as previsões se cada elemento ocorreupuramente de acordo com probabilidades.

Análise Assintótica

• Um PRNG eficiente poderia produzir uma sequência de comprimento L num tempo máximo polinomial em L (e linear na grande maioria dos computadores).

• Sempre será possível deduzir tal semente ( de comprimento S) para tal sequência por uma exaustiva pesquisa na qual toma um tempo no máximo O(2s).

• Mas se de fato uma computação exponencialmente longa for necessária para encontrar algum padrão na sequência, então a sequência poderia ser randômica o suficiente para muitas aplicações práticas.

• Nenhum limite inferior em complexidade computacional é conhecido.

• Potencialmente então é possível mostrar que um problema pode serequivalente a uma das classes.

• Mostrar que o problema de deduzir a semente para certas sequências é NP-completo, e mostrar também alguma forma uniforme de redução paragarantir que o problema é difícil sempre, bem como no pior caso.

Análise Assintótica

2. Autômato Celular

CA Unidimensional ( K= 2 e r=1)

• Consiste de uma linha de células com valores de 0 – k-1;• Atualizados paralelamente em tempo discreto de acordo com uma regra

fixa;

• Propósitos matemáticos CA com infinitos número de células • Implementações práticas Finito número de células e condições limite

periódicas;

• Simplicidade em sua Construção ;• Comportamentos Diversos;• Iniciando de Condições iniciais desordenadas ou condições iniciais simples,

uma única célula preta (1);

Quatro Classes Básicas são identificadas:

1. Padrões homogêneos;2. Padrões alterados dentro de simples estruturas periódicas;3. Padrões não periódicos e Caóticos;4. Complicadas estruturas localizadas;

3. Padrões não periódicos e Caóticos

Alguns CA resultam em padrões muito complexos e que não se pode prever em detalhes.As transformações são complicadas e sofisticadas a partir de condições iniciais consideradas irredutíveis

Esses padrões podem ser encontrado somente pela simulação direta ou observação.

Prever comportamento de CA computações.

As computações para prever um CA (classe 3) são mais complicadas que a sua própria evolução.

Conjectura:

CA (alguns da classe 3) são computacionalmente sofisticados irredutível.

Uma saída para análise é a simulação ou observação.

Devemos abandonar a matemática convencional e contar com resultados empíricos e da matemática experimental.

Não há um caminho computacionalmente curto ou uma forma matemática finita para fazer previsões e análise possível

Como consequência:

Questões referentes a CA com tempo infinito ou tamanho limite infinito não podem ser respondidas por limites computacionais e são consideradas indecidíveis.

Questões referentes a CA com tempo finito e tamanho finito análise computacional podem ser computacionalmente intratável podendo requer tempo computacional exponencial.

CA Linear

Possíveis previsões e análise algumas regras da classe 3 que satisfaz o princípio da superposição (regra 60).• Descrição algébrica do comportamento .• Deduzir a saída de sua evolução por uma computação mínima (reduzida)

CA Não-Linear

• Nenhum método geral prevê seu comportamento.• Possível irredutibilidade computacional. • Confiar em experimentos empíricos e experimentais.

3.Um Gerador de Sequências Randômica

223= 256 regras de CA que dependem de 3 células

Possuem dois possíveis valores (K=2 (0,1) , r = 1).

Dentre as 256 regras , há várias regras linear similar a equação:

Mas, há duas regras (regra 30 equivalente a regra 86) que são consideras melhores como geradoras de números randômicos, são não linear.fórmula:

Ou :

Segue padrões produzidos na figura abaixo

Regra 30 Regra 86

A regra 45 reflexão equivalente a regra 75Dada pelas fórmulas:

O que faz as regras 30 e 45 possuirem potencial para geração de sequências randômicas, é a aparente aleatoriedade da coluna vertical .

Segue padrões produzidos pela regra 45, na figura abaixo :

Regra 45 Regra 75

Este artigo discute várias aproximações para analises da regra 30 e a sequência que ela produz . Enquanto pouco pode rigorosamente ser provado, a maior evidência é que a sequência de fato tem um alto grau de aleatoriedade.

4. Propriedades GlobaisCaracteriza usando método Teoria de Sistemas Dinâmicos

• Observação do comportamento com todos os possíveis estados iniciais e possibilidade de geração de padrões;

• Utilização do cálculo da entropia para medir o grau de irreversibilidade .

Padrão produzido pela evolução do CA regra 30 , a partir de um estado inicial desordenado.

Tamanho infinito

A abordagem nessa seção é contar as possíveis sequências e padrão que possam ocorrer, e para caracterizá-las (utilizando métodos da teoria de Sistemas Dinâmicos).

Ao observarmos a estrutura da figura anterior :Suspeitar Uma simples linha de célula em qualquer ângulo pode teruma sequência de valores arbitrários.

Como identificar que isto ocorre?• A regra 30 é surjectiva ou onto (mapeamento de uma configuração

de CA para outro).

Função

Sobrejetora e

não injetoraFunção Bijetora

Para obter o valor de uma determinada faixa de células X é necessário X+2 sequências do passo anterior. Para determinar a é necessário

• Uma configuração A pode sempre ser obtida como imagem dealguma configuração de A- , de acordo com A = ΦA-

• Uma possível configuração A- (não única) pode ser encontradainiciando com um candidato par de valores de células.

A

A-

Aplicando a fórmula , a partir de uma configuração A- obtemos uma configuração A, (A = φA-), dados os valores ai , ai-1 , e assim por diante, e os valores a-

i+1 e a-i , como seu predecessor e

podendo-se escolher dentro dos quatro possíveis caminhos.

ai-4 ai-3 ai-2 ai-1 ai

???? ???? ???? ???? a-i a-

i+1

A

A-

ai-1 = a’i ai a+1

0 1 1 1

1 0 1 1

0 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

Em cada caso dos valores restante 𝑎𝑖−𝑗− , todos são

unicamente determinados pela equação:

Entropia

Começando com um conjunto inicial, o qual contém todas as configurações com igual probabilidade, todas essas sequências, novamente ocorrerão com igual frequência, e o cálculo da entropia fornecerá a caracterização do número das possíveis sequências que poderão ocorrer, medindo o grau de irreversibilidade do sistema.

Conhecer cerca de 1.2 dos valores das sequências das células é o suficiente emprincípio, para determinar os valores de todas as outras.

Na prática entretanto, a função a qual fornece a configuração inicial em termosdessas sequências temporal tornam-se rapidamente intratavelmentecomplicadas. Discutidas na seção 7.

5. Propriedades de Estabilidade

Pequenas perturbações no estado inicial, geram mudanças nos padrões. A região afetada aumenta de tamanho com o tempo, refletindo a instabilidade de padrões gerados.

A sequência de valores das célulasem uma configuração, iniciando deum ponto particular, pode serrepresentada como um número real.

Esta instabilidade implica que, mudanças localizadas nas informações,eventualmente propagam através do CA. A razão da transmissão dainformação da direita e da esquerda são determinadas pelos diferentespadrão das encostas.Essas diferenças nos dão os expoentes de Lyapunov λL e λR da evolução de

um autômato celular.

Curiosidade:Será que existe uma maneira de medir o quanto caótico é o comportamento de um sistema dinâmico?

Para medirmos o quão sensível é o sistema, é necessário medirmos a taxa com a qual dois pontos muitopróximos se distanciam mediante a evolução do sistema.

O matemático russo Alexander M. Lyapunov (1857-1918) desenvolveu um método de medida doafastamento entre dois pontos iniciais considerando que a taxa de aumento da distância entre eles sejaexponencial. A sensibilidade às condições iniciais de um sistema pode ser medida pelo expoente deLyapunov.

6. Um Particular Estado Inicial

250 passos Regra30

As duas próximas figuras mostram 2 escalas de padrão produzidos a partir de uma configuração contendo uma simples célula não zero.

2000 passos Regra30Notável complexidade é evidente.

Regularidades definidas: Sequência de células na diagonal do lado esquerdo do padrão , são periódicas, com pequenos períodos.

Os períodos curtos do lado esquerdo da figura são apresentados com um alto grau de irreversibilidade no CA regra30 para sequências na diagonal .

Esta figura mostra o comprimento do ciclo mais longo, como uma função de N. Esses comprimentos aumentam exponencialmente em N (ajustes dos valores para exibir gráfico)

Regra 60 Regra 30

9. Comportamento de Tamanho Finito

Para implementações práticas: registradores de tamanho finito.Número total de possíveis estados em um CA de tamnho N = 2N

Evolução pode ser representada por um diagrama de transição de estado finito – DTEF.

Diagrama de transição de estado finito

1. Cada DTEF contém um conjunto deciclos, alimentado por árvorestransientes.

2. O ciclo deve ser considerado como um“atrator”, sendo que seus estadosevoluem irreversivelmente como uma“basins of attraction”

Observações:

• Muitas configurações tem um único predecessor, existem poucas ramificações no DTEF.

• Existem partes idênticas no diagrama , há frequentes ciclos idênticos relacionados ao deslocamento em suas configurações . Além disso os ciclos são frequentemente divisível por N ou seus fatores.

• As árvores transitórias alimentam cada uma dessas sequências e são idênticas.

Diagrama de Transição de Estado Finito

N = 5 N = 4

Todos os estados que estão dentro do ciclo maior

4 12 estados (ciclo + cauda)

5 30

116

Comprimento médio antes de alcançar o ciclo

Tabela apresentada no artigo: CELLULAR AUTOMATA: IS RULE 30 RANDOM?

Para um grande N, observamos que a maioria dos estados (valores) seencontram no ciclo mais longo (composto pelo ciclo e caudas), e os valoresque não estão no ciclo são atraídos para ele.

Isto significa que qualquer escolha o mais arbitrária possível do estado inicialpoderia estar evoluindo para ele.

O baixo grau de ramificação na árvore transitória implica que os pontosalcançados, a partir de um estado inicial, poderia estar fortementeuniformemente distribuídos em volta do ciclo.

Observação:

Se existissem pequenos ciclos, então as sequências produzidas por um CA poderia ser realmente previsível.Se nenhuma previsão pode ser feita por algum tempo computacionalmente polinomial, o comprimento do ciclo deve em geral aumentar de forma assintótica mais rápido que polinomial em N. Este comportamento é apoiado pela equação:

Se de fato a evolução do autômato celular regra30 é computacionalmenteirredutível, então uma complexa computação deve sempre ser requerida paradeterminar os valores no comprimento do ciclo que aparecer. E isto não é o melhorcaminho para descobrir os sucessores.

O melhor caminho é repetir a aplicação da regra 30.Note que se os comprimentos dos ciclos estudados são O(2M) onde ambos 2N-M e 2M

são grande, então não há sucesso nesse problema com processamento paralelo.

OBRIGADA