Razes e Propores

Razo de dois nmeros

A razo do nmero a para o nmero b o quociente de a por b (onde b

diferente de zero), onde o numerador a recebe o nome de antecedente e o denominador

b recebe o nome de consequente. Ou seja, a razo uma diviso.

Representao:

(lemos: a para b) ou, a : b .

Exemplo 1: A razo de 3 para 12 :

Exemplo 2: A razo entre 5 e :

Exemplo 3: Em uma partida de basquete Rafael fez 15 arremessos, acertando 9

deles. Nessas condies:

a) Qual a razo do nmero de acertos para o nmero total de arremessos de

Rafael?

b) Qual a razo entre o nmero de arremessos que Rafael acertou e o nmero

de arremessos que ele errou?

Exemplo 4: Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2008, 30 vitrias,

18 empates e 12 derrotas. Qual a razo do nmero de vitrias para o nmero total de

partidas disputas? R =

Algumas razes especiais

Velocidade Mdia

, onde D a distncia percorrida e t o tempo gasto em percorr-la.

Escala

Densidade de um corpo

, onde m a massa desse corpo e v o volume desse corpo.

Densidade demogrfica

Exemplos:

1. Um trem percorreu a distncia de 453 km em 6 horas. Qual foi a velocidade

mdia do trem no percurso?

2. Uma pedra preciosa tem 67,2 g de massa e ocupa um volume de 16cm3.

Qual a densidade dessa pedra preciosa?

PROPORO

Dados quatros nmeros em certa ordem (a, b, c e d) diferentes de zero,

dizemos que eles formam uma proporo quando a razo entre os dois primeiros (a e b)

igual razo entre os dois ltimos (c e d), ou seja, a igualdade entre duas ou mais

razes.

, ou a : b = c : d ,onde lemos a est para b assim como c est para

d

Na proporo tem-se: a, b, c, d so os termos da proporo (respectivamente

1, 2 ,3 e 4 )

a e c so os antecedentes;

b e d so os consequentes;

a e d so os extremos;

b e c so os meios.

QUARTA PROPORCIONAL: o elemento que completa a proporo (2

consequente)

, a quarta proporcional o d.

TERCEIRA PROPORCIONAL: o terceiro termo que completa a proporo,

cujos meios so iguais.

, a terceira proporcional neste caso o d.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORES:

Em toda proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos. Se

, ento a.d = b.c

Exemplo 1: Verifique se so verdadeiras as seguintes propores:

a) 6/7=24/28

b) 2/3=12/15

Exemplo 2: Encontre o valor de x sabendo que

:

Grandezas Diretamente Proporcionais: quando as grandezas admitem

variaes no mesmo sentido, ou seja, quando o aumento de uma provoca um aumento

proporcional no valor da outra, ou quando a diminuio de uma provoca uma

diminuio proporcional da outra.

Exemplo de grandezas diretamente proporcionais:

1. Tempo de viagem e distncia percorrida por um carro que se desloca com

uma velocidade constante de 80 Km/h.

Tempo de

viagem (h)

Distncia

percorrida (km)

1 80

2 160

3 240

4 320

Neste exemplo observa-se que:

Portanto em grandezas diretamente proporcionais a razo entre elas igual a uma

constante K, onde possvel escrever:

Grandezas Inversamente Proporcionais: quando as grandezas admitem variaes

em sentidos contrrios, ou seja, quando o aumento de uma provoca uma diminuio

proporcional no valor da outra ou vice-versa.

Exemplo de grandezas inversamente proporcionais:

1. Nmeros de dias e nmeros de trabalhadores para a construo de uma obra

so grandezas inversamente proporcionais.

Nmero de

Operrios

N de dias de

Trabalhos

1 12

2 6

3 4

4 3

Neste exemplo observa-se que:

,

ou

1.12 = 2.6 = 3.4 = 4.3 = 12

Portanto em grandezas inversamente proporcionais a razo se d entre um das

grandezas e o inverso da outra, sendo o resultado igual a uma constante K, onde

possvel escrever:

.

Diviso em Partes Proporcionais

1. Definio: A diviso em partes proporcionais consiste em dividir um

nmero em determinada quantidade de partes obedecendo a um certo critrio,

logo estaremos realizando uma diviso proporcional.

2. Classificao:

Diviso em Partes Diretamente Proporcionais: Corresponde diviso de um

determinado valor em parcelas proporcionais a outros valores pr-determinados,

obtendo-se com isso uma proporo.

Exemplo: Divida o nmero 70 em partes proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5.

Diviso em Partes Inversamente Proporcionais: Corresponde a diviso de um

determinado valor em partes diretamente proporcionais ao inverso de outros valores

pr-determinados, obtendo-se com isso uma proporo.

Exemplo: Divida o nmero 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5, e 6.

REGRA DE TRS SIMPLES E COMPOSTA

Definio: uma regra que possibilita comparar grandezas (diretamente ou

inversamente proporcionais) com o objetivo de determinar o valor de uma delas.

1. REGRA DE TRS SIMPLES

A Regra de Trs Simples ocorre quando relacionamos duas grandezas. Para a

resoluo de um problema de regra de trs devemos primeiramente identificar as duas

grandezas presentes no problema, em seguida devemos verificar se essas grandezas so

diretamente ou inversamente proporcionais, e por fim montamos a proporo para

encontrarmos a soluo.

Exemplo 1:

Um navio parte para uma viagem em alto mar, levando reservas suficientes para

alimentar seus 12 tripulantes durante 30 dias. Ao partir verifica que tem 3 passageiros

clandestinos. Quantos dias vo durar a reserva de alimento?

Exemplo 2:

Em um supermercado constatou-se que um caixa leva em mdia 5 minutos para

atender trs clientes. Qual o tempo que este caixa vai levar para atender 36 clientes?

2. REGRA DE TRS COMPOSTA

Quando relacionamos mais de duas grandezas.

Exemplo 1:

Duas mquinas produzem 32 peas de certo produto em 4 dias. Quantas peas

produziro 5 mquinas iguais a essas em 3 dias?

Exemplo 2:

Trabalhando durante 6 dias, 5 operrios produzem 400 peas. Quantas peas desse

mesmo tipo sero produzidas por 7 operrios, trabalhando durante 9 dias?

Exemplo 3:

Se 8 pedreiros constroem em 6 dias um muro de 40 m de comprimento, quantos

pedreiros sero necessrios para construir, em 14 dias, um muro de 70 m de

comprimento?